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1Exemples dapplication
Sommaire de louvrage
Partie A lments de mcanique des fluidesChapitre 1 Notions
gnrales sur les fluidesChapitre 2 coulement des fluidesPartie B
Dplacement des liquides et des mlangesChapitre 3 PompesChapitre 4
Installations jetChapitre 5 Transport pneumatique et hydraulique
des solidesPartie C Dplacement des gazChapitre 6
VentilateursChapitre 7 CompresseursChapitre 8 Installations de
videPartie D Tuyauterie et stockage des fluidesChapitre 9
Distribution et circulation des fluidesChapitre 10 Stockage des
fluidesChapitre 11 Mesures des fluides
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2Exemples dapplication du chapitre 1Notions gnrales sur les
fluides
nonc 1.1Dterminer la densit de lair sous un vide de 440 mm Hg,
40 C.
Solution 1.1Masse molculaire de lair (79 % azote et 21 % oxygne,
en volume) :
M = 0,79 28 + 0,21 32 = 28,8 kg/kmol
Dans la relation 1.3, 0 = M/22,4 est la densit des gaz des
conditions normales,ainsi, il vient aprs remplacement :
= (M/22,4)273p/Tp0 = 28,8 273(760 440)/22,4 233 760
= 0,615 kg/m3
nonc 1.2Calculer la viscosit dune suspension dun solide en eau,
obtenue dans unrcipient dans lequel, V = 10 m3 deau, on ajoute m =
1 000 kg de produit solide.Temprature de la suspension : T = 20
CDensit relative de la phase solide : d = 1,2
Solution 1.2Volume de la phase solide :
Vs = m/ = 1 000/1 200 = 0,833 m3
Concentration volumique de la phase solide en suspension :
= Vs/(V + Vs) = 0,077 m3/m3
T = 20 C, la viscosit de leau est l = 1,0 103 Pa.s. La relation
1.10 permetde dterminer la viscosit de la suspension :
s = l(1 + 2,5) = 1,0 103(1 + 2,5 0,077)
s = 1,19 1,0 103 Pa.sLa mme viscosit calcule avec la relation
1.11 conduit la valeur :
s = l[0,59/(0,77 )2] = 1,0 103 0,59/(0,77 0,077)2
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3s = 1,23 103 Pa.s
nonc 1.3De lazote se trouve dans un rcipient de 2,0 m3. La
pression est de 23,5 bar et latemprature de 128 C. Calculer la
masse dazote contenue dans le rcipient etcomparer le rsultat avec
la valeur obtenue avec la relation du gaz parfait.
Solution 1.3Le tableau 1.2 indique pour lazote la paire Tcr =
147,13 C et pcr = 33,92 bar. Onpeut dterminer ensuite la pression
et la temprature rduites :
pr = p/pcr = 23,5/33,92 = 0,7
Tcr = T/Tcr = (273,15 128)/(273,15 147,13) = 1,15Un coup dil sur
labaque (voir figure 1.2) nous permet de trouver pour lefacteur de
compressibilit : Z = 0,8.En appliquant la relation 1.15, on trouve
:
m = MpV/ZRT = 28 103 23,5 105 2,0/0,8 8,314 145o M = 28 g/mol
est la masse molaire de lazote.
m = 136,5 kgSi lon avait calcul la masse de lazote laide de la
relation du gaz parfait, onaurait :
m* = Zm = 0,8 136,5 = 109,1 kgsoit un cart de 20 %.
nonc 1.4Un manomtre form par un tube en U un seul liquide, du
mercure, est reli pardeux points une canalisation horizontale
transportant du gaz. La diffrence deniveau z du mercure dans le
tube est de 25 mm.Calculer la diffrence de pression entre les deux
points, si par la canalisationpasse :a) de leau ;b) de lair 20 C et
la pression atmosphrique.
Solution 1.4Puisque la pression dans un mme fluide doit tre gale
en tout point dun planhorizontal (figure Ex.1, plan a-a), on crit
lgalit :
p1 + z1g = 2 + z2g + zmang
-
4On obtient aprs remplacement de z2 par (z1 z) :p1 p2 = z(man
)g
relation dans laquelle est la densit du fluide passant dans la
canalisation, ycompris dans les deux branches, et man la densit du
liquide dans le tubemanomtrique.Dans les conditions nonces z = 25
mm et man = 13 600 kg/m3, on dduit :a) pour leau, avec = 1 000
kg/m3 :
p1 p2 = 0,025(13 600 1 000)9,81 = 3 090 Pab) pour lair 20 C
:
= 29 273/22,4 293 = 1,2 kg/m3
p1 p2 = 0,025(13 600 1,2)9,81 = 3 335 PaDans cette ultime galit
il rsulte que, pour lappareil fonctionnant en manomtrediffrentiel
un seul liquide, on peut ngliger la correction pour la densit du
gaz(
-
5Solution 2.1Lenthalpie spcifique de leau 86 C peut tre, soit
lue dans les tables devapeur, soit dtermine par le calcul
(transformation pression constante) :
h1 = cp(T2 T1) = 4 190(86 0) = 360 103 J/kgavec cp = 4 190
J/kgK, la chaleur spcifique de leau.La masse volumique de leau T1
tant 1 = 1/v1 = 1/0,0010325 = 968,5 kg/m3, onobtient pour le dbit
massique la valeur G = Gv = 0,01033 968,5 = 10 kg/s(avec v1 volume
massique donn par les tables et Gv = 37,2/3 600 = 0,01033
m3/s).Travail massique communiqu par la pompe lunit de masse de
liquide :
W = Ea/G = 8,2 103/10 = 0,82 103 J/kg
Chaleur cde par leau dans lchangeur de chaleur :
Q = 1 500/G = 1 500/10 = 150 103 J/kgLe signe moins signifie que
lnergie a t enleve au systme.En substituant ce rsultat dans
lquation 2.9 et en ngligeant la variationdnergie cintique due la
vitesse dcoulement de leau entre les deux points,on a :
h2 360 103 + 9,8(20 0) = 150 103 + 0,82 103
On obtient lenthalpie de leau au point 2 :
h2 = 210,62 103 J/kg
ce qui donne :
T2 = h2/cp = 210,62 103/4 190 = 50,2 C
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6nonc 2.2Un liquide ayant les caractristiques de leau T = 20 C
scoule librement pargravitation, travers une conduite d = 25 mm,
dun rservoir vers un appareil deproduction. La diffrence de niveau
entre les deux appareils qui respirent latmosphre est z = 3,0 m. La
longueur totale de la conduite, sur laquelle sontmonts deux coudes
90 et un robinet, est L = 8,0 m. Densit du liquide : = 998
kg/m3Calculer le dbit de liquide scoulant dans la conduite si le
robinet estcompltement ouvert.
Figure Ex.2 Illustration de lnonc 2.2.
Solution 2.2Lquation de Bernoulli applique entre le niveau du
liquide dans le rservoir(point 1) et le bout de la conduite lentre
dans le racteur (point 2) permetdcrire (figure Ex.2) :
z1 + w1_/2g + p1/g = z2 + w2_/2g + p2/g + ht (1)tant donn que p1
= p2 et w2 >> w1, lquation (1) devient :
z1 z2 = w2_/2g + hf + hsou encore :
zg = (w2_/2)[1 + (L/d) + ] (2)o hs est la perte de charge dans
les singularits et hf la perte de charge parfrottement dans la
conduite.Pour un liquide tel que leau, une temprature ordinaire, et
pour un nombre deReynolds allant jusqu 100 000, ce qui est notre
cas, on adopte un coefficient defrottement = 0,025.La somme des
coefficients de rsistance locale aboutit aux valeurs :
-
7Robinet 2,0Entre dans la conduite 0,5Coude 2 1,1 = 2,2Total =
4,7Ainsi, en portant les valeurs numriques dans lquation (2), on
obtient :
3 998 9,81 = 998(w2_/2)[1 + 0,025(8/0,025) + 4,7]do :
w2_ = 58,86/13,7 = 4,3
w2 = 2,07 m/sLe dbit maximal de liquide, avec un robinet
totalement ouvert, sera :
Gv = (pid_/4)w2 = (pi 0,025_/4) 2,07 = 4,0 10 m3/s
Gv = 3,6 m3/h
nonc 2.3On doit transporter, avec une conduite en acier de
diamtre intrieur d1 = 250 mm,un dbit Gv = 0,736 m3/s dair dont la
temprature est T = 20 C. un point 2, la conduite prsente une
modification de diamtre (vasement), lesnouvelles caractristiques
tant d2, w2 et p2.Densit de lair 20 C : = 1,2 kg/m3Viscosit
dynamique de lair 20 C : = 18,1 106 N.s/m2a) Calculer le
coefficient de frottement .b) Calculer le diamtre d2 en sachant que
(p1 p2) = w2(w2 w1), afin que lachute de pression due au frottement
ne dpasse pas pf = 50 N/m2.
Solution 2.3a) Pour lcoulement en rgime turbulent, on peut
employer la relation deBlasius :
= 0,316/Re1/4 = 0,316/(w1d1/)1/4
En explicitant la vitesse dans lexpression du dbit, on a :
w1 = 4G1/pid1_
Il vient aprs remplacement de w1 dans lexpression du coefficient
de frottement :
= 0,316/(4Gv/d1pi)1/4
do, avec les valeurs numriques :
= 0,316/[4 0,736 1,2/0,25 1,81 106 pi]1/4
-
8 = 0,014b) Lquation de Bernoulli applique entre les points 1 et
2 scrit sous la forme :
p1 + w12/2 = p2 + w22/2 + pfdo on tire pour la perte de charge
:
pf = (p1 p2) + (w12 w22)/2 (1)En introduisant la valeur de (p1
p2) en (1), on dduit :
pf = [2w2(w2 w1) + w12 w22]/2 = (w1 w2)2/2 (2)Enfin, pour les
points 1 et 2, lquation de continuit permet dcrire :
w2 = w1(A1/A2)Ainsi lexpression (2) devient :
pf = w12[1 (A1/A2)]2/2 = w12[1 (d1/d2)2]2/2 (3)Puisque la valeur
maximale admise pour pf est 50 N/m2, on trouve, partir de(3), le
diamtre d2 :
d2 = d1/[1 (2pf/w12)1/2]1/2 = 0,25/[1 (2 50/152 1,2)]
d2 = 0,40 m
w1 = 4Gv/(pid12) = 4 0,736/(pi 0,252) = 15 m/s
nonc 2.4De lair T = 20 C scoule travers une conduite de longueur
L = 5 000 m et dediamtre intrieur d = 150 mm.Dbit volumique de lair
: Q = 0,15 m3/sLa conduite dbouche la pression p2 = 1,2
bar.Calculer la pression de lair au dpart afin de maintenir le dbit
constant.
Solution 2.4La diffrence de pression entre les deux points
reprsente la chute de pression dueau frottement. Dans ces
conditions, lquation scrit :
p1 p2 = (L/d)(q/A)2vm la pression atmosphrique et 20 C, la
densit de lair est = 1,205 kg/m3. Ledbit masse dair devient :
q = Q = 0,15 1,205 = 0,18 kg/sSection de la conduite dcoulement
:
A = pid2/4 = pi(0,15)2/2 = 0,0176 m2
-
9Do la vitesse moyenne :
w = Q/A = 0,15/0,0176 = 8,52 m/sLe dbit masse surfacique aura la
valeur :
qA = q/A = 0,18/0,0176 = 10,227 kg/m2.sAvec = 0,0181 103 la
viscosit de lair T = 20 C, on calcule le nombre deReynolds :
Re = dw/ = 1,205 0,15 8,52/0,0181 103 = 85 000En supposant que
la rugosit absolue /d = 0,001, on trouve laide dudiagramme de Moody
un coefficient de frottement = 0,023.Le volume massique de lair la
pression p2 sera :
v2 = (22,4/29)(293/273)(1/1,2) = 0,690 m3/kgalors que le mme
volume la pression p1 scrit :
v1 = (22,4/29)(293/273)(1/p1) = 0,829/p1 m3/kgce qui nous permet
de calculer le volume moyen :
vm = (v1 + v2)/2 = [0,690 + (0,829/p1)]/2 = (0,690p1 +
0,829)/2p1Il vient aprs remplacement des valeurs numriques dans la
relation de la perte decharge :
p1 120 103 = 0,0023(5 000/0,15)(10,227)2(0,690p1 + 0,829)/2p1En
regroupant, on aboutit lquation :
p12 147 936p1 11 700 = 0dont la solution est :
p1 = 148 000Cela signifie que, pour garder le dbit constant, la
pression de lair sonadmission dans la conduite doit avoir, au
moins, la valeur :
p1 = 1,48 bar
nonc 2.5Un dbit Q (en m3/s) de gaz chauds circule dans une
canalisation de diamtre d(en m). Les gaz ont une densit = 0,82
kg/m3 et la viscosit = 1,23 105 kg/m.s.tablir une relation qui
exprime le coefficient de frottement en fonction du dbitet du
diamtre de la canalisation.
Solution 2.5
-
10
Comme il sagit dun coulement en rgime turbulent, on peut
utiliser la relationde Blasius, pour exprimer le coefficient de
frottement. Ainsi :
= 0,316/Re0,25 = 0,316/(wd/)0,25
Or Q = (pid2/4)w donc w = 4Q/pid2Il rsulte aprs le remplacement
de w dans lexpression de :
= 0,316/(4Q/pid)0,25
ou encore, aprs avoir introduit les valeurs de la densit et de
la viscosit :
= 0,018(d/Q)0,25
nonc 2.6Un mlange deau et dair scoule, une temprature T = 50 C,
travers uneconduite dont le diamtre intrieur d = 40 mm.Dbit masse
de leau : G = 0,08 kg/sDbit masse de lair : qm = 0,024 kg/sLes
caractristiques physiques des fluides T = 50 C sont :
- densit de leau w = 998,1 kg/m3- tension superficielle de leau
w = 0,0677 N/m (J/m2)- viscosit de leau w = 0,55 mPa.s- densit de
lair a = 1,093 kg/m3
a) Calculer, laide du diagramme de Backer, le rgime dcoulement
biphasique.b) Vrifier si lcoulement est accompagn dun phnomne
drosion.
Solution 2.6a) Le dbit masse par unit de surface sera :eau GA =
4G/pid2 = 4 0,08/pi(0,04)2 = 63,7 kg/s.m2air qmA = 4Ga/pid2 = 4
0,024/pi(0,04)2 = 19,1 kg/s.m2Les coefficients caractrisant les
fluides sexpriment par les relations :
k1 = 2,11 106[a1/2w7/6/w1/3w]k1 = 2,11 106[1,0931/2
998,17/6/(0,55 103)1/3 0,0677] = 1,245
k2 = 34,65/(aw)1/2 = 34,65/(1,093 998,1)1/2 = 1,05La lecture du
diagramme logarithmique de Backer nous donne les valeurs :
qmAk2 = 19,1 1,05 = 20,05 kg/s.m2
(GA/qmA)k1 = (63,7/19,1) 1,245 = 4,152Le point dintersection de
ces deux valeurs indique un coulement de typeannulaire.
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11
b) Une indication sur lapparition du phnomne drosion est donne
parlquation :
mwm2 = 15 000o la densit moyenne :
m = (GA + qmA)/[(GA/w) + (qmA/m)] (2.87)et la vitesse moyenne
:
wm = ww + wa (2.88)En introduisant les valeurs numriques, on
obtient :
m = (63,7 + 19,1)/[(63,7/998,1) + (19 1/1,093)] = 4,72 kg/m3
wm = ww + wa = (GA/m) + (qmA/m) = [(63,7/998,1) + (19
1/1,093)]
wm = 17,54 m/sce qui permet de vrifier la condition :
mwm2 = 4,72 (17,54)2 = 1 452La valeur dtermine est beaucoup trop
petite pour quil y ait un problmequelconque drosion.
Exemples dapplication du chapitre 3Pompes
nonc 3.1Une pompe piston double effet transporte un dbit-volume
deauGv = 22,5 m3/h.Diamtre du piston : D = 125 mmDiamtre de la tige
: D1 = 35 mmRayon de la manivelle : R = 136 mmVitesse de rotation :
N = 62 tr/minCalculer le coefficient de dbit (rendement volumique)
de la pompe.
Solution 3.1Le volume deau dplac par le piston une rotation de
manivelle sera :
V = (2A A1)L = (pi/4)(2D2 D12)2Rrelation dans laquelle A et A1
sont respectivement laire de la section du piston etde la tige (en
m) ; L = 2R signifie que la course du piston est gale au double
durayon de la manivelle (en m).
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12
En introduisant les valeurs numriques on obtient :
V = (pi/4)[2 (0,125)2 (0,035)2]2 0,136
V = 0,0064 m3
Le dbit thorique de la pompe la vitesse de rotation n = 62
tr/min devient :
Gv,th = NV = 62 0,0064 = 0,397 m3/min
Gv,th = 0,397 60 = 23,85 m3/hDs lors, on trouve facilement le
coefficient de dbit :
v = Gv/Gv,th = 22,5/23,85
v = 0,94
nonc 3.2Une pompe piston simple effet transporte un dbit-volume
deau Gv dunrservoir o la pression p1 = 1 bar vers un appareil de
production o p2 = 3 bar.Pour une vitesse de leau w = 1,4 m/s dans
une conduite de diamtre d = 80 mm,les pertes de charge sont estimes
hf = 10 m. Lappareil est situ une hauteurz = 20 m.Rendement
volumtrique : v = 0,85Donnes constructives de la pompe :
- diamtre du piston D = 150 mm- course du piston L = 200 mm
a) Calculer la vitesse de rotation de la pompe.b) Calculer la
puissance ncessaire la pompe avec les donnes suivantes :
- rendement mcanique : m = 0,95- rendement hydraulique : h =
0,90
Solution 3.2a) En utilisant lexpression du dbit pour les pompes
piston, on peut crire :
N = Gv60/vALLe dbit deau calcul avec lquation du dbit sera :
Gv = w(pid2/4) = 1,4(pi 0,082/4) = 0,007 m3/sLaire de la section
du piston est gale :
A = (piD2/4) = (pi 0,152/4) = 0,017 m2
En portant les valeurs numriques dans la relation donnant la
vitesse de rotation,on en dduit :
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13
N = 0,007 60/0,85 0,017 0,2
N 150 tr/minb) La hauteur dlvation de la pompe ou la hauteur
totale se dtermine enappliquant lquation de Bernoulli et en
considrant w1 = w2 :
Zm = p/g + z + hf = (3 1) 105/1 000 9,81 + 20 + 10
Zm = 50,4 mDo la puissance du moteur ncessaire larbre de la
pompe :
Ea = GvgZm/1 000t = 0,007 1 000 9,81 50,4/1 000 0,855
Ea = 4,0 kWLe rendement total est :
t = mh = 0,95 0,90 = 0,855
nonc 3.3La vitesse de rotation dune pompe volumtrique engrenages
simples estN = 480 tr/min. Les dents, en nombre z = 12, ont une
largeur b = 42 mm.La surface de la section dune dent, limite par le
primtre extrieur de la rouevoisine, est S = 960 mm2. La pompe doit
transporter un dbit deauGv = 0,4 m3/min.Calculer le coefficient de
dbit de la pompe.
Solution 3.3Le dbit volume de la pompe engrenages simples
sobtient avec la relation :
Gv = v(2SbzN/60)dans laquelle v est le coefficient de dbit.Le
dbit thorique deau transfr par la pompe sera (v = 1,0) :
Gv,th = 2 0,96 103 0,042 12 480/60
Gv,th = 7,74 103 m3/s
Le dbit rel ou effectif donn par lnonc est Gv = 0,4/60 = 6,66
103 m3/sDs lors, on obtient le coefficient de dbit :
v = Gv/Gv,th = 6,66 103/7,74 103
v = 0,86
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14
nonc 3.4Soit une pompe centrifuge dont les caractristiques pour
une vitesse de rotationN = 2 500 tr/min sont reprsentes sur la
figure Ex.3. La pompe transvase de leauentre deux appareils
distants dune longueur L = 20 m et dune hauteur z = 10 m.
Figure Ex.3 Illustration pour les noncs 3.4 et 3.6.
Diamtre intrieur des tubulures : d = 40 mmLongueur quivalente
due aux pertes de charge singulires : hf = 80 mRendement lectrique
du moteur : el = 0,95Rendement de transmission : tr = 0,9Les deux
appareils respirent la pression atmosphrique.a) Calculer le
dbit-volume de la pompe.b) Calculer la puissance sur larbre de la
pompe.
Solution 3.4a) Lapplication de lquation de Bernoulli se
rapportant aux fluides rels uncircuit contenant une pompe conduit
la relation :
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15
Zm = (z2 z1) + (w22 w12)/2g + (p2 p1)/g + hfEt en tenant compte
de lnonc du problme, on peut faire les deux hypothsesp1 = p2 et
(w22 w12), ngliger par rapport hf. Ainsi la relation de Bernoulli
serduit :
Zm = 10 + hfIl sensuit que la perte de charge sur la conduite
reliant les deux appareils est unefonction du dbit Gv et de la
hauteur manomtrique Zm fournir par la pompe.Le calcul de hf se fait
avec la formule classique :
hf = (L/d)w2/2gEn supposant lcoulement turbulent et les
conduites neuves, on utiliselexpression de Blasius pour dterminer
le coefficient de frottement :
= 0,3164/Re0,25 = 0,3164/(wd/)0,25
que lon introduit dans lquation de hf :
hf = 0,0161(/)0,25(w)1,75L/(d)1,25
En exprimant la vitesse par lquation de dbit, il vient, aprs
remplacement desvaleurs disponibles :
- d = 0,040 mm- L = 20 + 80 = 100 m- = 1 000 kg/m3- = 1,0 mPa.s-
hf = 0,0161(/)0,25(4Gv/pid2)1,75L/(d)1,25- hf = 344,4 103Gv1,75
Ds lors, la hauteur manomtrique devient :
Zm = 10 + 344,4 103Gv1,75
En divisant Gv par 3 600 (les courbes caractristiques de la
pompe sont exprimesen m3/h), on en dduit :
Zm = 10 + 0,2058Gv1,75
La courbe que lon peut construire avec cette quation coupe la
courbecaractristique, pour N = 2 500 tr/min, au point F, dfini par
Zm = 38,4 m etGv = 16,7 m3/hDisposant de la valeur du dbit, on peut
vrifier les hypothses admises :
- nombre de Reynolds :
Re = 3,7 0,04 1 000/103 = 148 000 coulement turbulent
- hauteur dynamique :
w2/2g = (3,7)2/2 9,81 = 0,7 m 2,5 % acceptableavec w = (Gv/3
600)/(4/pi0,042) = 3,7 m/s
-
16
b) Le calcul numrique de la puissance sur larbre de la pompe
seffectue avec larelation :
Ea = GvgZm/g = (16,7/3 600) 1 000 9,81 38,4/0,65
Ea = 2 689 Wdans laquelle, le rendement global est donn par
:
g = eltrt = 0,95 0,9 0,76 = 0,65La valeur du rendement total se
rapportant au point F est lue sur la courbecaractristique de la
pompe.Avec une rserve de puissance de 1 kW, on va choisir un moteur
de 3,75 kW,voire mme 4 kW.
nonc 3.5Une pompe centrifuge transporte de leau T = 20 C, entre
deux points(rservoir-appareil) distancs de L = 125 m (y compris la
dnivellationz = 25 m), travers une conduite de diamtre d = 100
mm.Dbit vhicul : Gv = 0,008 m3/sDensit de leau 20 C : = 998
kg/m3Viscosit dynamique de leau 20 C : = 1,0 mPa.sRendement total
de la pompe : t = 0,7a) Calculer les pertes de charge totales par
friction.b) Calculer la puissance du moteur ncessaire la pompe.
Solution 3.5a) Vitesse de leau dans la conduite :
w = Gv/A0 = 0,008/0,00785 = 1,02 m/so A0 = pid2/4 = pi(0,1)2/4 =
0,00785 m2tant donn les caractristiques du fluide, lcoulement sera
certainement de typeturbulent.Nombre de Reynolds :
Re = wd/ = 0,1 1,02 998/1 103 = 101 700Les pertes de charge par
friction, exprimes en J/kg, se composent :1. de pertes par
contraction la sortie du rservoir :
C1 = 0,55(1 A1/A0) = 0,55(1 0) = 0,55puisque la section du
rservoir A1 >> A0 et o C1 est le coefficient de
contraction.Do la perte de charge :
F1 = C1w2/2 = 0,55 [(1,02)2/2] = 0,286 J/kg
-
17
2. de pertes dans la conduite droite :
F2 = (L/d)(w2/2) = 0,02 125/0,1)[(1,02)2/2] = 13,005 J/kgo, pour
Re = 100 000 et /d = 0,0004 sur le diagramme de Moody (voirfigure
2.7), on a un coefficient de frottement = 0,02.3. de pertes dans
les coudes :
F3 = 2C3(w2/2) = 2 0,75[(1,02)2/2] = 0,780 J/kg4. de pertes par
friction lentre dans lappareil (orifice profilhydrodynamique) :
C4 = (1 A0/A2)2 = 1,0avec F4 = C4w2/2 = 1,0 [(1,02)2/2] = 1,04
J/kgLes pertes totales reprsentent la somme des pertes numres :
Ft = F = 0,286 + 13,005 + 0,780 + 1,04
Ft = 15,111 J/kgb) Lnergie spcifique de pompage est obtenue
partir de la relation :
W = gz + F = 9,81 25 + 15,11 = 260,11 J/kgdans laquelle on a pos
w1 = w2 et p1 = p2Lnergie spcifique effective vaut alors :
Wef = W/t = 260,11/0,7 = 371,6 J/kgtant donn que le dbit masse G
= Gv = 0,008 998 = 7,98 kg/s, on en dduitpour la puissance
ncessaire larbre de la pompe :
E = GWef = 7,98 371,6/1 000
E = 2,96 kW
nonc 3.6Une pompe centrifuge sert transvaser de leau vers un
appareil situ z = 30 mplus haut que le plan de la pompe.Largeur de
la conduite de refoulement : L = 100 mDiamtre intrieur de la
conduite de refoulement : d = 50 mmRugosit relative de la paroi :
/d = 0,002Calculer, laide de la courbe caractristique hauteur
manomtrique/dbit (voirfigure Ex.3), le dbit deau arrivant lappareil
si la vanne, sur la conduite aprsla pompe, est compltement
ouverte.
Solution 3.6
-
18
La puissance dveloppe par la pompe doit lever le dbit deau la
hauteur z eten mme temps vaincre la perte de charge dans la
conduite due au frottement.En ngligeant lnergie cintique, une
quation de bilan entre les points 1 (pompe)et 2 (appareil) permet
dcrire :
gz + p/ = pf /ou encore :
z + p/g = (L/d)w2/2gPuisque p = p2 p1 p1 et p/g = Zm, lquation
de bilan devient :
30 Zm = (300/0,05)w2/2 9,81 (1)tant donn que les valeurs de p1
et w sont inconnues, on doit procder par essais ;on donne une
valeur fictive la vitesse de leau w et ensuite on vrifie
lgalit(1).On fait un premier essai avec w = 1,5 m/s. Le dbit volume
deau aura la valeur :
Gv = wA0 3 600 = 1,5 (pi/4)0,052 3 600 = 1,5 1,96 103 3 600
Gv = 10,6 m3/h laquelle correspond une hauteur manomtrique Zm =
43,0 m.Le nombre de Reynolds
Re = wd/ = 1,5 0,05 1 000/1,0 103 = 75 000permet de dterminer le
coefficient de frottement dans le diagramme de Moody ;pour /d =
0,002, on trouve = 0,026.En remplaant w et dans (1), on obtient
:
30 43,0 = 0,026(100/0,05)1,52/2 9,81
soit 13,0 6,0
La valeur prise pour la vitesse tant trop petite, on refait le
calcul avecw = 2,0 m/s. Le dbit deau transporte devient :
Gv = wA0 3 600 = 2,0 (pi/4)0,052 3 600 = 2,0 1,96 103 = 14,1
m3/hvaleur qui conduit une hauteur manomtrique Zm = 40,5 m.Le
nombre de Reynolds vaut :
Re = wd/ = 2,0 0,05 1 000/1,0 103 = 100 000Le diagramme de Moody
nous donne, pour une rugosit /d = 0,002, uncoefficient de
frottement = 0,0256.En portant ces valeurs dans (1), on a :
30 40,5 = 0,0256(100/0,05)2,02/2 9,81
soit 10,5 = 10,44
-
19
Les valeurs de lgalit tant trs proches, on peut accepter w = 2,0
m/s, ce quiconduit au dbit recherch :
Gv = 14,1 m3/h
nonc 3.7De leau de condensation, T = 90 C, doit tre pompe par
une pompe centrifugedun collecteur ayant une respiration la
pression atmosphrique (patm = 750 mmHg).La charge de liquide
(NPSHp) ncessaire la tubulure daspiration de la pompedoit tre
suprieure de 2,5 m la valeur de la tension de vapeur donne pour
leau 90 C, afin dviter la cavitation.En admettant une perte de
charge dans la conduite daspiration hf = 1,2 m et ensachant que la
pompe se trouve situe z1 = 2,0 m sous le condenseur, calculer
leniveau minimal de leau dans le condenseur ncessaire pour viter la
cavitation(montage de la figure Ex.4).
Figure Ex.4 Illustration pour lnonc 3.7.
Solution 3.7En crivant une quation simplifie dnergie pour le
systme (entre le niveau duliquide dans le collecteur et la pompe),
on exprime la hauteur manomtrique decharge la tubulure daspiration
par :
Zm = p/g + z0 hf
-
20
La marge de scurit NPSHp (supplment minimal de pression) dont il
faut tenircompte pour viter la cavitation est :
NPSHp = Zm (pv/g) = (patm/g pv/g) + z0 hfavec patm = 750 mm Hg =
100 kN/m2 et pv = 611 mm Hg = 81,466 kN/m2 lapression de vapeur
saturante T = 90 C.En introduisant les valeurs numriques, il vient
:
2,5 = (100 81,466)103/1 000 9,81 + z0 1,2do :
z0 = 2,5 + 1,6 1,9 = 2,2 mOn en dduit le niveau minimal de
liquide dans le collecteur :
z = z0 z1 = 2,2 2,0
z = 0,2 m
nonc 3.8Afin daugmenter le dbit et/ou la pression dans
ladduction deau, deux pompessont couples :
- en srie, avec Zm1 = 25 m, Zm2 = 40 m, 1 = 0,70 et 2 = 0,75- en
parallle, avec Gv1 = Gv2 = 25 m3/h, 1 = 0,70 et 2 = 0,75
a) Calculer le rendement du couplage pour chaque type de
montage.b) En supposant les pompes identiques (1,2 = 0,8), calculer
leur rendement total.
Solution 3.8a) Pour le couplage des pompes en srie, la hauteur
manomtrique totale est gale la somme des hauteurs manomtriques de
chaque pompe. On peut donc crire :
Zmt = Zm1 + Zm2
Gvt = Gv1 = Gv2
Et = E1 + E2On calcule le rendement du montage :
t = Eu/Et = gGvtZmt/[(gGv1Zm1/1) + (gGv2Zm2/2)]
t = (25 + 40)/[(25/0,7) + (40/0,75)]
t = 0,73Dans le cas dun couplage en parallle, le dbit de
linstallation sera gal lasomme des dbits de chaque pompe. Cela nous
permet dcrire :
-
21
Zmt = Zm1 = Zm2
Gvt = Gv1 + Gv2
Et = E1 + E2Le rendement total est dans ce cas :
t = Eu/Et = gGvtZmt/[(gGv1Zm1/1) + (gGv2Zm2/2)]
t = (25 + 25)/[(25/0,7) + (25/0,75)]
t = 0,724b) Si les pompes sont identiques, 1 = 2 = 0,8. Le
rendement total sera :
- pour le montage en srie :
t = (Zm1 + Zm2)/(Zm1 + Zm2)/1t = 1 = 0,8
- pour le montage en parallle :
t = (Gv1 + Gv2)/(Gv1 + Gv2)/1t = 1 = 0,8
On remarque que, dans les deux situations, les rendements sont
les mmes :
t = 1 = 2
nonc 3.9De leau est aspire dun puits avec une pompe air-lift. Le
puits est profond deZt = 120 m et le niveau de leau se trouve Zp =
50 m de la surface.Dbit dair consomm Q = 5 m3/min, une pression de
compression p2 = 7 bar.Compression isentropique avec = 1,4.Travail
thorique effectif ralis par la pompe : Et = 21,6 kJ/sRendement de
la pompe air-lift : p = 20 %a) Calculer le dbit deau que lon peut
monter avec cette pompe si le diamtre dela conduite est d = 80
mm.b) Calculer la vitesse moyenne du mlange air-eau dans la
conduite.
Solution 3.9a) Lanalyse fait appel lexpression donnant le
travail ncessaire pour unecompression de lair adiabatique :
p1Q[/( 1)][(p2/p1)(/( 1) 1] = 1 105
0,083[(1,4/0,4)][(7/1)1,4/0,4 1]
-
22
= 21,6 kJ/so Q = 5 m3/min = 0,083 m3/sPuissance ncessaire pour
cette compression : Et = 21,6 kJ/sNous obtenons la puissance utile
de la pompe :
Eu = 20Et/100 = 0,2 21,6 = 4,32 kW
Le dbit deau lev la surface se calcule partir de la puissance
utile Eu :
G = Eu/Zpg = 4 320/50 9,81 = 8,81 kg/s
Gv = 8,81 3 600/1 000
Gv = 31,7 m3/hb) La vitesse moyenne dpend de la pression de lair
dans la conduite. En tenantcompte de Zs = Zt Zp = 120 50 = 70 m, la
pression la base du puits estconsidre comme tant Zs = 70 m CE, on
trouve alors :
p1 = Zsg = 70 1 000 9,81
p1 = 686,7 kN/m2
La pression la surface est la pression atmosphrique, donc p2 =
100 kN/m2La moyenne de pression est :
pm = (p1 + p2)/2 = (686,7 + 100)/2 = 393,35 kN/m2Le volume
spcifique de lair cette pression et 0 C sera :
va = (22,4/29)(100/393,35) = 0,196 m3/kgDans des conditions
standard, le volume spcifique de lair a une valeur de :
Va0 = 22,4/29 = 0,772 m3/kgdo Q0 = 0,083/0,772 = 0,107 kg/sOn
obtient les dbits dair et deau :
- dbit-volume moyen de lair :
Qm = Q0va = 0,107 0,196 = 0,02 m3/s- dbit-volume deau :
Gvw = G/w = 8,81/1 000 = 0,0088 m3/s
- dbit-volume total du mlange :
Gm.mel = Qm + Gvw = 0,02 + 0,0088 = 0,0288 m3/sOn calcule la
vitesse moyenne du mlange air-eau dans la conduite, avecA0 =
pi(0,08)2/4 = 5,024 103 m2 :
wm = Gv.mel/A0 = 0,0288/(pid2/4) = 0,0288/5,024 103
-
23
wm = 5,73 m/s
nonc 3.10On sait que, dans une pompe et sur les conduites
daspiration et de refoulement, ily a une dgradation de lnergie due
aux pertes de charge diverses.En considrant un dbit deau transport
par la pompe T = 20 C, on constateque, pour une hauteur dlvation
effective z = 7 m et une augmentation depression de p1 = 1 bar p2 =
8 bar, la variation de la temprature de leau estT = 0,3 C.Calculer
le rendement mcanique de la pompe.
Solution 3.10Par unit de masse, le travail dpens afin daugmenter
la pression du dbit deauau niveau prvu scrit :
W = g[(p2 p1)/g + z]/m = 9,81[(8 1)/1 000 9,81 + 7]/mW = 786,6/m
(1)
Par ailleurs, daprs lquation 1.12 dans laquelle on considre
lnergie caloriqueintroduite dans le systme Q = 0, on a :
W = (h2 h1) + gzo W est le travail dentranement reu par larbre
de la machine (en J/kg) et (h2 h1) la variation effective de
lenthalpie de leau (en J/kg).tant donn que h2 h1 = cpT = 4 180 0,3
= 1 254 J/kg, on dduit le travailfourni larbre :
W = 1 254 + (9,81 7) = 1 322,67 J/kgIl vient aprs lintroduction
de cette valeur dans (1) :
m = 786,6/1 322,67 = 0,6
nonc 3.11Une pompe diaphragme dont la capacit dlivre chaque coup
de piston estV = 10 dm3 fonctionne avec une vitesse de rotation N =
60 tr/min. Soit E = 6 kWla puissance moyenne communique au
fluide.a) Calculer la pression diffrentielle fournie par la pompe
en sachant que = 1,0.b) Calculer la prcision sur le dbit si la
vitesse de rotation de laxedentranement varie de 2 tr/min.
Solution 3.11
-
24
a) Le dbit de la pompe se dterminant avec Gv = V(N/60) = 0,01
(60/60) = 0,01 m3/s, on obtient la pression diffrentielle :
p = E/Gv = 6 000/1 0,01 = 6 105 N/m2
p = 6 barb) Le dbit tant proportionnel la vitesse de rotation,
il sensuit quune variationde la vitesse de rotation implique une
variation du dbit ; on obtient ainsi :
N/N = Gv/Gvdo :
Gv/Gv = (2/60) 100 = 3,33 %
Gv = 0,033 0,01 = 0,33 103 m3/s
Exemples dapplication du chapitre 4Installations jet
nonc 4.1Un fluide gazeux ( = 1,3), qui entre dans un ajutage
convergent-divergent latemprature T1 = 250 C, subit une dtente
adiabatique de manire que, dans lasection de sortie, la pression
soit p2 = 1,1 105 N/m2.a) Calculer la pression du gaz lentre dans
lajutage, en sachant que la dtenteprovoque une baisse de temprature
de 30 %.b) Calculer la vitesse du gaz sa sortie de lajutage.
Solution 4.1a) Pour dterminer la pression p1, on part de la
relation :
(T2/T1) = (p2/p1)( 1)/
que lon peut crire aussi sous la forme :
(p2/p1) = (T2/T1)/( 1)
Ainsi, on tire pour la pression de sortie :
p2 = p1(T2/T1)/( 1)
Avec les valeurs numriques T1 = 250 + 273 = 523 K et T2 = 0,7T1
+ 273 = 0,7 250 + 273 = 448 K, on obtient :
p1 = 1,1 105(523/448)1,3(1,3 1)
p1 = 2,15 105 N/m2
-
25
b) En considrant que la vitesse w1 lentre de la tuyre est
ngligeable parrapport w2, la relation 4.6 nous permet dcrire :
w2 = {2(/ 1)p1v1[1 (p2/p1)( 1)/]}1/2 = {2(/ 1)RT1[1 (p2/p1)(
1)/]}1/2
w2 = {2(1,3/1,3 1)287 523[1 (1,1 105/2,15 105)(1,3
1)/1,3]}1/2
w2 = 431,7 m/s
nonc 4.2Une tuyre de Laval a les caractristiques de construction
et de fonctionnementsuivantes :
- fluide : air parfait [ = 1,40]- dtente isentrope de p1 = 10
bar et T1 = 300 C p2 = 1 bar- dbit dair Q = 4 kg/s- angle
douverture de la partie supersonique = 10- vitesse initiale
nulle
Calculer la longueur de la partie divergente de la tuyre :a)
dans le cas o lcoulement se fait sans frottement dans la tuyre ;b)
si lcoulement se fait avec frottement (coefficient de vitesse
).
Figure Ex.5 Illustration pour lnonc 4.2.
Solution 4.2a) La pression au col de la tuyre sera :
pcr = p1[2/( + 1)](/ 1) = 10[2/(1,4 + 1)]1,4/1 0,4 = 10
0,5283
pcr = 5,283 barDo la temprature critique :
-
26
Tcr = T1[2/( + 1)] = 527 [2/(1,4 + 1)] = 527 0,8333 = 477,5 KEt
la vitesse de lair dans la section minimale :
wcr = (rTcr)1/2 = (1,4 287,5 477,5)1/2 = 438 m/sLe volume
spcifique de lair aux conditions critiques aura la valeur :
vcr = rTcr/pcr = 287,5 477,5/5,283 105 = 0,260 m3/kgDaprs
lquation gnrale du dbit massique, laire de la section dcoulementau
col de la tuyre devient :
Amin = Qvcr/wcr = 4 0,260/438 = 0,00237 m2
do le diamtre :
dmin = (4Amin/pi)1/2 = (4 0,00237/pi)1/2 = 0,0055 m = 55 mmOn
calcule la vitesse de lair sa sortie de la tuyre :
w2 = {2(/ 1)p1v1[1 (p2/p1)( 1/)]}1/2
w2 = {2(1,4/1,4 1)10 105 0,165[1 (1/10)(1,4 1/1,4)]}1/2 = 746
m/s
v1 = rT1/p1 = 287,5 573/10 105 = 0,165 m3/kgLe volume spcifique
de lair la sortie de la tuyre est donn par la relation :
v2 = v1(p1/p2)(1/) = 0,165(10/1)1/1,4 = 0,855 m3/kgDans ces
conditions, on obtient laire de la section de sortie :
A2 = Qv2/w2 = 4 0,855/746 = 0,00458 m2
do, il rsulte pour le diamtre :
d2 = (4A2/pi)1/2 = (4 0,00458/pi)1/2 = 0,0077 m = 77 mmLa
longueur de la partie divergente pour un angle douverture =
10(figure Ex.5a) devient :
L = (d2 dmin)/2tg5 = (77 55)/2 0,0875 = 125,7 mm
L = 12,6 cmb) Lcoulement de lair avec frottement est reprsent
sur le diagramme h-s(figure Ex.5b) par la droite A-D ; le point F
correspond la section de la tuyre ola vitesse dcoulement est gale
la vitesse locale du son, et le point C, lasection minimale de
cette mme tuyre. On peut donc crire :
D1D/CE = AD1/ACet, tant donn que h/s = T, on exprime ces
segments de droite par :
D1D = (h3 h2)/T3
-
27
CE = (hs hcr)/Ts laide de lquation de lcoulement adiabatique
pour les gaz, il rsulte :
h3 h2 = w22(1 2)/2
h1 h3 = 2w22/2
hs hcr = wcr2(1 12)/2
h1 hcr = 12wcr2/2dans lesquelles 1 est le coefficient de vitesse
se rapportant au convergent et lecoefficient de vitesse relatif la
tuyre entire. partir de ce systme dquations, on dduit la relation
:
[(1 2)/2](Ts/T3) = (1 12)do, aprs remplacement des tempratures
Ts et T3 par Tcr et T2 qui sontsensiblement gales, on obtient :
12 = 1 [(1 2)/2](Tcr/T2)Par ailleurs, la temprature de lair la
sortie pour lcoulement sans frottement ala valeur :
T2 = T1(p1/p2)(1 )/ = 537 (10/1)(1,4 1/1,4) = 294 KAinsi on peut
calculer le coefficient de vitesse caractrisant le divergent :
1 = {1 [(1 0,96_)/0,962](477/294)}1/2 = 0,94et la vitesse
minimale :
wmin = 1wcr = 0,94 438 = 411 m/sLa temprature minimale sera ds
lors :
Tmin = Tcr + (1 12)(1 )/wcr2/2r = 477 + (1 0,942)(1 1,4)/1,4
Tmin = 484 KCalculons laire de la section minimale de la tuyre
:
Amin = Qvmin/wmin = QrTmin/wminpcr = 4 287,5 484/411 5,283
105
Amin = 0,00256 m2
valeur qui nous permet de trouver dmin :
dmin = (4Amin/pi)1/2 = (4 0,00256/pi)1/2 = 0,057 m = 57 mmLa
vitesse de lair la sortie de la tuyre pour lcoulement avec
frottement sera :
w2f = w2 = 0,96 746 = 716 m/s
-
28
Par la suite, il est possible de calculer la temprature de lair
la sortie :
T3 = T1 [( 1)/r]wcr2/2 = 573 [(1,4 1)/1,4 287,5] 7162/2 = 318
KLa section et le diamtre la sortie de la buse sont :
A2 = Qv2/w2 = QrT3/w2f p2 = 4 287,5 318/716 1 105 = 0,0051
m2
d2 = (4A2/pi)1/2 = (4 0,0051/pi)1/2 = 0,00866 m = 86,6 mmdo la
longueur de la partie divergente de la tuyre au cas o il y a
coulementavec frottement :
L = (d2 dmin)/2tg5 = (86,6 57)/2 0,0875 = 135 mm
L = 13,5 cm
nonc 4.3Une tuyre de sablage est alimente avec de lair parfait
provenant dun rservoirdans lequel rgnent les conditions p1 = 3 bar
et T1 = 67 C et o la vitesse peut treconsidre comme
nulle.Lalimentation de ce dispositif est assure laide dun
compresseur ayant unecapacit daspiration Qv = 120 m3/h aux
conditions pa = 1 bar et Ta = 18 C.La dtente seffectue jusqu la
pression p2 = 1 bar.a) Dfinir le type de tuyre utiliser.b) Calculer
les conditions critiques.c) Calculer le diamtre du col de la
tuyre.
Solution 4.3a) Lair tant considr comme parfait, = 1,40.Ltat
gnrateur de la dtente est celui rgnant dans le rservoir : p1 = 3
bar etT1 = 60 C = 333 K.Le rapport de dtente de la tuyre est :
p2/p1 = 1/3 = 0,333Cette valeur tant infrieure celle du rapport
de pression critique (pour lair,0,528), la tuyre doit donc tre de
forme convergente-divergente : il sagit doncdune tuyre de Laval.b)
Il est ncessaire dtablir la valeur des divers paramtres utiles au
col de latuyre (conditions critiques).Masse volumique critique
:
cr = 1[2/( + 1)]1/( 1) = (p1/rT1)[2/( + 1)]1/(1,4 1)
cr = (3 105/287,5 333)[2/(1,4 + 1)]1/( 1) = 1,99 kg/m3
Temprature critique :
-
29
Tcr = T1[2/( + 1)] = 333[2/(1,4 + 1)] = 277 KVitesse critique
(au col) :
wcr c = [rTcr]1/2 = [1,4 287,5 277]1/2 = 334 m/sc) Le dbit masse
dair stablit en considrant le compresseur :
Q = Qva = (100/3 600)1,209 = 3,36 102 kg/so la masse volumique
de lair a laspiration rsulte de :
va = rTa/pa = 287,5 288/1 105 = 0,827 m3/kgsoit a = 1/va =
1/0,827 = 1,209 kg/m3Compte tenu du dbit masse par unit de surface
:
(Q/A0)c = wcrcr = 334 1,99 = 665 kg/s.m2
on trouve pour la section du col de la tuyre :
Aoc = Q/wcrcr = 3,36 102/665 = 50,6 106 m2
do le diamtre du col :
dc = 8,02 mm
nonc 4.4Calculer, en ngligeant les pertes, le vide thorique que
lon peut obtenir aumoyen dun jet deau dans la chambre de mlange de
ljecteur deau de lafigure Ex.6.
Figure Ex.6 Illustration pour lnonc 4.4.
la sortie du diffuseur (pression atmosphrique, p2 = 1,013 105),
la vitesse dujet est de 2,7 m/s. Le diamtre du jet d2 = 50 mm dans
la section 2 est deux foisplus grand que dans la section 1.
-
30
En sachant que le dbit deau dalimentation (T1) est 9,6 m3/h, la
diffrence deniveau de liquide entre T1 est T2 est gale 22 m, que le
rendement se situe autourde 20 % et que le liquide aspirer a une
densit = 1 050 kg/m3, dterminer ledbit du liquide aspirer (de
densit = 1 050 kg/m3) si la hauteur daspiration z2(gale z3) est de
4 m.
Solution 4.4Lquation de Bernoulli, dans laquelle on nglige les
pertes, crite entre lessections 1 et 2, se prsente sous la forme
:
z1 + (p1/g) + (w12/2g) = z2 + (p2/g) + (w22/2g)tant donn la
position horizontale de la pompe, z1 = z2 et, comme d2 = d1 :
w1 = (A2/A1)w2 = (50/25)2 2,7 = 12,8 m/slquation de Bernoulli
nous permet de dterminer la pression en (1) :
p1 = p2 + (w22 w12)/2 = 1,013 105 + (2,72 12,82) 1 050/2
p1 = 101 300 82 188 = 19 111 PaLe vide thorique sera alors :
Videth = p2 p1 = 101 300 19 111 = 82 189 Pa
Videth = (82 189/101 300) 760 = 617 mgAvec le rendement du
dispositif = 0,2, la puissance consomme par ljecteurest :
Ec = Gvg(z1 z2) = 9,6 1 050 9,81(22 4)/3 600 = 471 WCe qui donne
la puissance utile de ljecteur :
Eu = Ec = 0,2 471 = 94,2 Wdo lon tire le dbit que lon peut
aspirer :
Gv = Eu/gz2 = 94,2/(1 050 9,81 4) = 2,28 103 m3/s
Gv = 8,23 m3/h
nonc 4.5On souhaite rchauffer Gv2 = 50 m3/h deau de Tw1 = 20 C
Tw2 = 60 C aumoyen dun rchauffeur jet de vapeur. La vapeur motrice
arrive sous unepression de 3 bar.
Solution 4.5
-
31
Une lecture sur la table de vapeur permet de trouver la valeur
de lenthalpiespcifique pour la vapeur 3 bar (4 bar absolus), h = 2
737,6 kJ/kg.Chaleur spcifique de leau : cp2 = 4,2 kJ/kgOn obtient
pour la consommation de vapeur :
G1 = Gv2cp2T/(h cpTw2) = 60 1 000[4,2(60 20)/(2 736 4,2 50)]
G1 = 4 055,4 kg/ho T = Tw2 Tw
nonc 4.6La vapeur sortant dun vaporateur la temprature T2 = 50 C
est aspire par unjecteur vapeur aliment avec de la vapeur du rseau
sous pression p1 = 8 bar.Le mlange, assimil des vapeurs deau, est
refoul dans le corps de chauffe une temprature de saturation T = 70
C.Calculer la quantit de solution que lon peut vaporer avec 1 kg de
vapeur vive.
Solution 4.6On lit sur le diagramme enthalpique (voir figure
4.13) ou dans les tables devapeurs les valeurs de lenthalpie :
- pour p1 = 8 bar, h1A = 662 kcal/kg- pour p2 = 0,126 bar, h2B =
505 kcal/kg et h2C = 618 kcal/kg- pour p = 0,312 bar, hD = 655
kcal/kg
Les valeurs des pressions p2 et p correspondent respectivement
aux tempratures50 C et 70 C.Les diffrences denthalpie reprsentant
la dtente de la vapeur vive sont :
h1 = h1A h2B = 662 505 = 157 kcal/hrespectivement la compression
de la vapeur aspire est :
h2 = hD h2C = 655 618 = 37 kcal/hLe rapport h2/h1 = 37/157 =
0,235 permet de trouver sur le diagramme dePetzold, pour une
pression p2 = 0,126 bar, un rendement du diffuseur qui varieentre
0,69 et 0,74. Supposons dif = 0,7. Le diagramme de la figure 4.11
indique,pour cette valeur du rendement et pour un rapport
denthalpies gal 0,235, unrapport de dbits G1/G2 = 1,15.Il est donc
ncessaire de disposer de 1,15 kg de vapeur vive pour aspirer 1 kg
devapeur dvaporation. La quantit de vapeur de mlange G1 + G2 = 2,15
kg pourravaporer 2,15/1,06 = 2 kg de solution.
Remarque
Ljectocompression a dautant plus dintrt que la pression de
vapeurmotrice est leve et que la diffrence entre la pression de la
vapeurdvaporation et la pression de la vapeur de chauffage est
faible.
-
32
nonc 4.7On utilise une pompe liquide jet deau pour diluer de
lacide chlorhydriqueHCl 30 % ayant une temprature de 20 C.La
concentration de leau motrice est 0 % et la pression p1 = 3,5
bar.Dbit dacide aspir : G2 = 1 000 kg/h pour une pression
daspiration p2 = 1,0 barPression de refoulement : p = 1,8 bara)
Calculer le dbit de mlange (pour le choix de la pompe).b) Calculer
la concentration de la solution dilue.
Solution 4.7a) Le rapport de pression conduit la valeur :
= p/p1 = (p p2)/(p1 p2) = (1,8 1,0)/(3,5 1,0) = 0,32Pour un
rapport de densits 2/1 = 1,15/1,0 = 1,15, daprs le diagramme de
lafigure 4.14, le rapport de pressions demande une consommation
spcifique deliquide moteur Csp = 1,8.Il est possible de dterminer
le dbit du liquide moteur en crivant :
G1 = CspG2 = 1,8 1 000 = 1 800 kg/h
Le dbit de mlange est la somme de deux dbits :
G = G1 + G2 = 1 800 + 1 000
G = 2 800 kg/hAinsi le choix de la taille de la pompe se fera en
fonction de la valeur de G.b) Pour calculer la concentration du
mlange, on peut galement crire :
Csp = (C2 C)/(C C1) = (0,3 C)/(C 0)do, aprs regroupement, on
obtient lgalit :
2,8C = 0,3
C 0,1La solution du mlange aura donc une concentration de 10
%.
nonc 4.8On utilise une pompe vide jet de vapeur pour aspirer un
dbit G2 = 100 kg/h devapeur deau 150 C et p2 = 6 mbar. Pression de
la vapeur motrice/ p1 = 3 bar.Le refoulement se fait dans un
condenseur dont la temprature de leau derefroidissement est Tw = 20
C.a) Calculer la surconsommation de vapeur motrice si la temprature
de leau derefroidissement augmente Tw = 30 C.
-
33
b) Calculer le nombre dtages de la pompe vide afin daspirer
sousp2 = 0,1 mbar et de refouler dans un condenseur p = 56
mbar.
Solution 4.8a) On adopte T = 4 C ; ainsi, pour une temprature de
condensation Tc = 24 C,la pression au condensateur est p = 30
mbar.La consommation tant une fonction des rapports de pressions,
il est ncessaire deconnatre :
- le taux de dtente = p1/p2 = 3 103/6 = 500- le taux de
compression pi = p/p2 = 30/6 = 5
Une lecture du diagramme de la figure 4.15 nous donne une
consommationspcifique Csp = 1,85. Do la consommation de vapeur
motrice :
G1 = CspG2 = 1,85 100 = 185 kg/hSi la temprature de leau de
refroidissement devient Tw = 30 C, pour T = 5 C,on a une temprature
de condensation Tc = 35 C, donc une pression p = 56 mbar.On obtient
cette fois K = 56/6 9,3. Une nouvelle lecture du diagramme donneCsp
= 3,5.La surconsommation en vapeur motrice sera :
= (3,5 1,85) 100/1,85
= 89 %b) Pour une pression daspiration p2 = 0,1 mbar, le taux de
compression sera :
pi = 56/0,1 = 560Pour atteindre des pressions basses, il est
ncessaire dinstaller plusieurs jecteursen srie. Gnralement, on doit
avoir un taux de compression pi 10. Ainsi, il fautprvoir trois
tages de compression (figure Ex.7) ayant chacun un taux pidenviron
8,25. La pression motrice tant identique pour tous les tages, le
taux decompression admissible pour chaque tage est fonction de la
pression daspiration.
Figure Ex.7 Exemple de montage dune pompe vide trois tages avec
condenseurspar surface pour des pressions daspiration jusqu 5
mbar.
a : pompe jet. b : condenseur.
-
34
Exemples dapplication du chapitre 5Transport pneumatique et
hydraulique des solides
nonc 5.1On cherche dterminer la dimension la plus petite des
particules qui se dposentdans une canalisation de gaz de forme
carre, de ct a = 1,0 m et de longueurL = 240 m.Vitesse du gaz dans
la canalisation : wg = 6 m/sViscosit : = 0,03 103Densit du gaz : g
= 0,8 kg/m3Densit des particules : p = 2 400 kg/m3
Solution 5.1Le temps ncessaire au gaz pour traverser la
canalisation sera :
t = L/w = 240/6 = 40 sDans cet intervalle de temps, vont se
dposer uniquement les particules dont lavitesse relle de
sdimentation nest pas plus petite que :
w0 = a/t = 1/40 = 0,025 m/sOn calcule le diamtre des particules
de forme sphrique dont la vitesse thoriquede sdimentation est deux
fois plus grande, cest--dire w0,th = 0,05 m/s.Le critre de
Lyascenko nous donne :
Ly = w0,th3f2/pg = (0,05)3 0,82/0,03 103 2 400 9,81
Ly = 1,13 104
Sur le diagramme de la figure 5.1, on lit la valeur Re = 0,1 de
laquelle on dduit :
-
35
dp = Ref/w0,thf = 0,1 0,03 103/0,05 0,8 = 0,075 103 m
dp = 75 m
nonc 5.2Calculer la dimension des plus grandes particules de
carbonate de calcium, deforme sphrique, qui peuvent tre entranes
par un courant deau scoulant lavitesse w = 0,6 m/s. Temprature de
leau : T = 10 CViscosit de leau 10 C : l = 1,3 103 Pa.sDensit du
carbonate de calcium : p = 2 710 kg/m3
Solution 5.2On calcule la valeur du critre de Lyascenko :
Ly = w03l2/(p l)g = (0,6)3 1 0002/1,3 103 (2 710 1 000) 9,81
Ly = 9,88 103
laide du diagramme de la figure 5.1, pour Ly = 9,88 103, on
trouve :Ar = 2,0 106
Respectivement :
Re = 2,7 103
Do le diamtre maximal des particules entranes par leau :
dp = Rel/w0l = 2,7 103 1,3 103/0,6 1 000 = 5,85 103 m
dp = 5,85 mm
nonc 5.3On transporte une suspension de cellulose, 4 % dans leau
(fluide non newtoniendu type loi en puissance), par un systme de
transport hydraulique une vitessewmix = 1,5 m/s.Densit de la
suspension : = 990 kg/m3Longueur de la canalisation : L = 120
mDiamtre de la canalisation : d = 150 mmProprits dcoulement du
fluide :
- k = 22,0 indice de consistance- n = 0,575 indice
dcoulement
a) Calculer la perte de charge pc dans la canalisation en
utilisant lquation pourun coulement laminaire. Vrifier avec le
critre ReG quil sagit bien duncoulement laminaire.
-
36
b) Calculer la perte de charge pc en utilisant la mthode du
coefficient defrottement fNN.
Solution 5.3a) On obtient pour la perte de charge :
pc = 4k(L/d)[8w/d]n = 4 22(120/0,15)(8 1,5/0,15)0,575
pc = 8,75 105 N/m2 = 8,75 barOn vrifie le rgime dcoulement avec
la relation 5.49 dans laquelle on aremplac k[(3n + 1)/4n]n par k
:
ReG = dnw2 n/8n 1k = [(0,15)0,575(1,5)1,425 990]/80,425 22 =
65,2qui montre que lcoulement est bien laminaire.b) On calcule le
coefficient de frottement fNN :
fNN = 16/ReG = 16/65,2 = 0,245do la perte de charge :
pc = 4fNN(L/d)(w2/2) = 4 0,245(120/0,15)[(1,5)2/2]990
pc = 8,746 105 N/m2
nonc 5.4On fait transporter du charbon pulvrulent, de taille dp
1 mm ets = 1 600 kg/m3, dans une installation hydraulique dont la
conduite est delongueur L = 20 km et de diamtre d = 500 mm.Dure du
transport : t = 3 hLa suspension est constitue de 50 % en poids de
charbon et de 50 % eau(f = 1 000 kg/m3).Calculer le nombre de
stations de pompage, si la puissance effective Eu = 125 kWet le
rendement des pompes = 0,7.La suspension est considre comme un
fluide non newtonien du type loi enpuissance avec les
caractristiques n = 0,2 et k = 0,6.
Solution 5.4Lquation de Bernoulli entre le point de chargement
et le point de rcuprationdu charbon scrit :
gz + w2/2 + p/m + W + F = 0Puisque p1 = p2 = patm et tant donn
la longueur de la conduite, les pertes decharge par frottement sont
dominantes, par rapport aux autres termes delquation ; ainsi
lquation devient :
-
37
W + F = 4fNNw2L/dOn calcule la vitesse de la suspension :
w = L/t = 20 000/3 3 600 = 1,85 m/sce qui nous permet de
dterminer le dbit :
G = wAm = 1,85 (pi 0,52/4) 1 230 = 446,5 kg/so la densit de la
suspension rsulte de lexpression :
m = 2fs/(f + s) = 2 1 000 1 600/(1 000 + 1 600) = 1 230
kg/m3
On calcule le critre de Reynolds gnralis :
ReG = dnw2 n/8n 1k[(3n + 1)/4n]n
ReG = (0,50,2 1,851,8 1 230/80,8 0,6) [4 0,2/(1 + 3 0,2)] = 24
850Il sagit donc dun coulement turbulent.Le diagramme de la figure
5.9 donne, pour n = 0,2, fNN = 0,018, do la perte decharge :
W = F = 4 0,018 (1,85)2 20 103/0,5 = 985,68 J/kgLa puissance
totale dpense pour le transport est :
Ea = WG/ = 985,68 446,5/0,7 = 628,7 kWdo le nombre de stations
:
n = Ea/Eu = 628,7/125 = 5 stations
nonc 5.5On transporte du sable dans un convoyeur pneumatique
long de 200 m un dbitG = 1,0 kg/s. Caractristiques du sable :
- taille moyenne du grain dm = 1,25 mm- densit = 2 600 kg/m3
Calculer le dbit dair ncessaire pour le transport, le diamtre de
la conduite et lachute de pression entre les points de chargement
et de dchargement.
Solution 5.5Pour les installations conventionnelles de transport
pneumatique lintrieur desconduites, on utilise en rgle gnrale un
rapport de x = 5 entre le dbit masse dusolide et le dbit masse du
gaz. Ainsi, le dbit dair sera :
Ga = G/x = 1,0/5 = 0,20 kg/set, en considrant la densit de lair
a = 1,3 kg/m3, on obtient :
Gva = Gaa = 0,20 1,3 = 0,26 m3/h
-
38
Afin de limiter la perte de charge, la vitesse de lair dans
linstallation ne doit pasdpasser 30 m/s. En ignorant le volume
occup par le sable (environ 0,2 % decelui de lair), on aboutit une
section de conduite :
A = Gva/wa = 0,26/30 = 0,0087 m2
do le diamtre de la conduite :
d = (4A/pi)1/2 = (4 0,0087/pi)1/2 = 0,105 m
d = 105 mmIl faut choisir le diamtre lgrement suprieur
disponible. Pour lexercice, onprend une valeur trs proche, soit DN
= 100 mm.Pour le sable dont la taille est dm = 1,25 mm et la densit
= 2 600 kg/m3, lavitesse de chute ( calculer ou consulter dans les
tables) est w0 = 4,7 m/s.Vitesse relative air-sable :
wa w = 4,7/[0,468 + 7,25(4,7/2 600)1/2] = 6,05 m/sAire de la
section de la conduite DN = 100 mm (di = 101,6 mm) :
A = pi 0,10162/4 = 0,0081 m2
La vitesse de lair :
wa = 0,26/0,0081 = 32,1 m/snous permet de calculer la vitesse du
sable :
w = 32,1 6,05 = 26,05 m/sOn calcule le nombre de Reynolds, pour
lequel on a pris la densit de lair1,3 kg/m3 et la viscosit 1,7 105
Ns/m2 :
Re = wda/a = 26,05 0,102 1,3/1,7 105 = 2,03 105
Le diagramme de Moody pour cette valeur nous donne un facteur de
frottement = 0,004.En introduisant dans lquation de la perte de
charge pour lcoulement de lairuniquement, on obtient :
pa = 4(L/d)(awa2/2) = 4 0,004(200/0,102)(1,30 32,12/2)
pa = 21 012 N/m2 = 21,01 kN/m2
En supposant lcoulement incompressible et des conditions
isothermiques :
(psusp/pa)(w2/G) = 2 805/w0psusp = (2 805paG)/(w0w2) = (2 805
21,01 1,0)/(4,7 18,652)
psusp = 18,5 kN/m2
-
39
nonc 5.6On utilise un cyclone pour la sparation des particules
de solide transportes dansun courant dair T = 25 C.Diamtre minimal
des particules : d = 80 mDbit du courant dair : qm = 2 000
kg/hCoefficient de rsistance du cyclone : = 160Calculer le diamtre
du cyclone en sachant que la rsistance hydraulique admisede
lappareil est p/a = 740.
Solution 5.6On calcule la vitesse radiale w dans la partie
cylindrique du cyclone :
wc2 = 2(p/c)/ = 2 740/160 = 9,25
wc = 3,04 m/sLa densit de lair 25 C tant :
a = 0T0/T = 1,29(273/298) = 1,18 kg/m3
le dbit volumique dair sera :
Q = qm/a = 2 500/1,18 = 2 118,6 m3/h
Q = 2 118,6/3 600 = 0,558 m3/sDo le diamtre du cyclone :
D = (4Q/piwc)1/2 = (4 0,558/pi 3,04)1/2 = 0,496 m
D = 0,50 m
Exemples dapplication du chapitre 6Ventilateurs
nonc 6.1Un dbit masse dair Qm = 20 000 kg/h doit tre assur par
un ventilateur dans uneinstallation de schage. La diffrence de
pression entre les points de refoulementet daspiration est pt = 400
N/m2.Puissance installe du moteur lectrique : E = 2,50 kW des
conditions normales, la densit de lair a la valeur 0 = 1,29
kg/m3.a) Calculer le rendement du moteur lectrique :
- en t, quand la temprature de lair est T1 = 27 C- en hiver,
quand la temprature de lair descend T2 = 10 C
-
40
b) Calculer les puissances du moteur, dans les mmes conditions
de temprature,si le ventilateur fonctionne une altitude z = 2 000
m.
Solution 6.1a) tant donn que la densit de lair varie avec la
temprature selon lexpression = 0T/T1, on va dterminer cette
densit.
- En t (T1 = 273 + 27 = 300) :1 = 1,29 273/300 = 1,174 kg/m3
- do le dbit volume :
Q1 = Qm/3 6001 = 20 000/3 600 1,174 = 4,73 m3/s- En hiver (T2 =
273 10 = 263) :
2 = 1,29 273/263 = 1,339 kg/m3
- avec Q2 = Q2/3 6002 = 20 000/3 600 1,339 = 4,15 m3/sOn exprime
le rendement du moteur :
- en t : 1 = Q1pt/1 000E = 4,73 400/1 000 2,51 = 0,757
- en hiver : 2 = Q2pt/1 000E = 4,15 400/1 000 2,52 = 0,664
une altitude de 2 000 m, la densit de lair des conditions
normales estz = 1,007 kg/m3.En t, T1 = 27 C, on aura :
- une densit dair z1 = 1,007 273/300 = 0,916 kg/m3- un dbit
volume dair Q1 = 20 000 0,916/3 600 = 5,09 m3/s- une puissance
lectrique consomme E1 = 5,09 400/0,757 1 000
E1 = 2,69 kWEn hiver, T2 = 10 C, on aura :
- une densit dair z2 = 1,007 273/263 = 1,045 kg/m3- un dbit
volume dair Q2 = 20 000 1,045/3 600 = 5,81 m3/s- une puissance
lectrique consomme E2 = 5,81 400/0,664 1 000
E2 = 3,50 kW
nonc 6.2Un ventilateur, destin des gaz de hauts-fourneaux, doit
assurer un dbitQ = 100 m3/s.
-
41
Les gaz, de masse spcifique = 1,20 kg/m3, sont aspirs une
pressionp1 = 1 008 N/m2 et refouls afin dalimenter des fours sous
une pressionp2 = 2 000 N/m2.Rendement du ventilateur : = 0,7Le
tronon de canalisation laspiration prsente une perte de charge
totalehf.asp = 140 mm CE ; aprs le ventilateur, la perte de charge
est hf.ref = 120 mm CE.La vitesse moyenne du fluide gazeux lentre
du ventilateur est wasp = 20 m/s,celle de la sortie est wref = 25
m/s.a) Calculer la hauteur manomtrique totale, exprime en mm CE et
en Pa.b) Calculer la puissance effective (absorbe) prvoir pour le
choix du moteurdentranement.
Solution 6.2a) La hauteur manomtrique totale se calcule en
additionnant les hauteursdaspiration et de refoulement, et en
tenant compte des pertes de charge.Daprs lquation de Bernoulli,
dans laquelle on nglige la vitesse des gaz dansle haut-fourneau et
le four, ainsi que la diffrence des cotes entre les diffrentspoints
du parcours des gaz :
ht = href hasp = (wref2/2g + pst,ref/g) (wasp2/2g + pst,asp/g)o
href = p2/g + hf,ref = (2 000/1,2 9,81)(1,20/1 000) + 120
href = 203 + 120 = 323 mm CEet hasp = p1/g hf,asp = (1 008/1,2
9,81)(1,20/1 000) 140
hasp = 102 140 = 38 mm CE
En faisant la diffrence :
ht = 323 (38) = 361 mm CEou, puisque 1 Pa = 0,1019 mm CE :
pt = 3 543 Pab) En utilisant les donnes prcdentes, on trouve
pour la puissance effective :
E = Qpt/1 000 ef = 100 3 543/1 000 0,7
E = 506,2 kW
nonc 6.3Sur le tronon daspiration dun ventilateur centrifuge
existe un vide de 15,8 mmCE. Le manomtre mont sur la gaine de
refoulement tout de suite aprs leventilateur indique une
surpression de 20,7 mm CE. Un anmomtre mont sur letronon de
refoulement indique une vitesse du fluide gazeux w = 21,0 m/s.
Lesdiamtres des conduites daspiration et de refoulement d = 250 mm
sont
-
42
identiques. La vitesse de rotation de lappareil est N = 960
tr/min pour uneconsommation dnergie E = 0,70 kW.a) Calculer la
pression dveloppe par le ventilateur et le rendement.b) Calculer de
quelle manire varie le dbit si le nombre de rotations augmente 1
150 tr/min.
Solution 6.3a) tant donn que le diamtre des canalisations est le
mme, les pertes depression dues la pression dynamique sur la
canalisation dadmission,respectivement de refoulement sont
identiques ; la pression dveloppe par leventilateur sera :
p = p2 p1 = [0,0207 9,81 (0,0158 9,81)] 1 000
p = 354 PaLe calcul du dbit du ventilateur nous donne :
Q = (pid2/4)w = (pi 0,252/3 600) 21,0 = 1,03 m3/sDs lors, il est
possible de dterminer la puissance thorique du ventilateur :
Eth = (1,03 354)/1 000 = 0,368 kWet ensuite le rendement
effectif :
ef = Eth/E = 0,368/0,77
ef = 0,53b) Si la vitesse de rotation passe N = 1 150 tr/min,
les relations 6.9 6.11permettent dcrire pour le dbit :
Q = Q(N/N)
Q = 1,03(1 150/960) = 1,24 m3/set pour la puissance :
E = E(N/N)3 = 0,70(1 150/960)3
E = 1,20 kW
nonc 6.4 lessai dun ventilateur centrifuge, dont la vitesse de
rotation estN = 1 500 tr/min, on obtient les valeurs suivantes
:
Q (m3/h) 100 360 700 1 000 1 600 2 000
-
43
p (mm CE) 46,0 43,2 44,0 43,5 39,5 32,2
Le couplage du ventilateur un rseau de ventilation montre que,
en fonctionnant la mme vitesse de rotation, les pertes de pression
dues lcoulement dundbit volume dair Q = 1 350 m3/h dans le rseau
sont :
- pd = 8,7 mm CE, pression dynamique dpense pour obtenir la
vitesse delair la sortie du rseau ;
- pf + ps = 29,4 mm CE, perte de pression par frottement,
respectivementdue aux rsistances locales ;
- pst = p2 p1 = 13,0 mm CE, pression statique.Calculer le dbit
du ventilateur coupl au rseau.
Solution 6.4On doit reprer le point dintersection entre les deux
caractristiques respectivesdu ventilateur et du rseau.La
caractristique du rseau se prsente sous la forme dune parabole
dontlquation est :
p = aQ2 + bo le premier terme aQ2 reprsente la somme des pertes
de pression pd + pf+ ps et dont la variation est proportionnelle au
carr du dbit ; a est uneconstante ; le second terme b correspond la
pression statique, donc ladiffrence entre les pressions de
refoulement et daspiration.Voici quelques points de cette parabole
:
Q (m3/h) aQ2 b p
1 350 38,1 13,0 51,4
1 350/1,5 = 900 38,1/1,52 = 16,9 13,0 29,9
1 350/2 = 675 38,1/2,02 = 9,5 13,0 22,5
1 350/2,5 = 540 38,1/2,52 = 6,1 13,0 19,1
0 0 13,0 13,0
En traant sur un graphique (p, en ordonne et Q, en abscisse)
lescaractristiques respectives du ventilateur et du rseau
conformment aux valeursobtenues lessai et selon les points donns
dans le tableau prcdent, il rsulteque le point dintersection
donnant le dbit du ventilateur correspond Q = 1 175 m3/h (figure
Ex.8).
Figure Ex.8 Illustration de lexercice 6.4.
-
44
Exemples dapplication du chapitre 7Compresseurs
nonc 7.1Un compresseur deux tages aspire un dbit volume dair Q =
400 Nm3/h latemprature T1 = 18 C et la pression P1 = 1 bar.Le
refoulement se fait la temprature T2 = 80 C et la pression P2 = 6
bar.Entre les tages, lair traverse un refroidisseur o sa temprature
est ramene savaleur initiale ( pression constante).Le rapport entre
la course et le diamtre du piston, au premier tage qui dispose
dedeux cylindres, est L1/D1 = 1,1. Le mme rapport, au deuxime tage,
a la valeurL2/D2 = 1,2.Vitesse de rotation : N = 550 tr/minEspace
mort : k = 0,05a) Calculer lexposant polytropique de la
compression.b) Calculer les dimensions des cylindres.c) Calculer la
puissance utile ncessaire la compression.
Solution 7.1a) Le rapport optimal de compression pour un tage
sera :
pi = Px/P1 = P2/Px = (P2/P1)1/2 = (6/1)1/2 = 2,45Ainsi la
pression intermdiaire devient :
Px = piP1 = 2,45 1 = 2,45 barLexposant polytropique sobtient en
utilisant la relation 7.8 :
T2/T1 = pi(n 1)/n
do on tire n sous la forme :
-
45
n = lnpi/lnpi(T1/T2) = ln(2,45)/ln(2,45) (291/353)
n = 1,27b) Le coefficient de remplissage sobtient avec la
relation 7.15 :
v = 1 k[pi(1/n) 1] = 1 0,05[(2,45)1/1,27 1] = 0,949Le dbit
volumique dair aspir par le compresseur sera :
Q1 = Q0(T1/T2) = 400(291/273) = 426,4 m3/hOn en dduit le volume
dair aspir par le cylindre du premier tage une coursedu piston
:
Va1 = Q1/iN = 426,4/2 550 60 = 0,00646 m3
En tenant compte du coefficient de remplissage, le volume du
cylindre devient :
VC1 = Va1/v = 0,00646/0,949 = 0,0068 m3
Puisque VC1 = (piD12/4)L1 et L1 = 1,1D1, on peut exprimer le
diamtre du cylindresous la forme :
D1 = (4VC1/1,1pi)1/3 = (4 0,0068/1,1 pi)1/3
D1 = 0,199 mAlors :
L1 = 1,1D1 = 1,1 0,199 = 0,219 m
do la longueur totale du cylindre :
Lt1 = (1 + k)L1 = (1 + 0,05) 0,219
Lt1 = 0,23 mLe volume dair aspir dans le cylindre du deuxime
tage une course du pistonpeut se dterminer avec la relation :
Va2 = (Q1/N)(P1/Px) = (426,4/550 60)(1/2,45) = 0,00527 m3
En suivant le mme raisonnement qui nous a permis de calculer D1
et Lt1, onaboutit :
VC2 = Va2/v = 0,00527/0,949 = 0,00556 m3
Il rsulte pour le diamtre et la course du piston :
D2 = (4 0,00556/1,2pi)1/3
D2 = 0,180 m
L2 = 1,2D2 = 1,2 0,180 = 0,217 m
do la longueur totale du cylindre du deuxime tage :
-
46
Lt2 = (1 + k)L2 = (1 + 0,05) 0,217
Lt2 = 0,228 mc) La puissance utile ncessaire la compression se
dduit partir de larelation 7.8 dans laquelle on a remplac V par Q
:
Eu = (2n/n 1)P1Q1[pi(n 1)/n 1] = (2n/n 1)P1Q1[(T2/T1) 1]
Eu = (2 1,27/1,27 1) 100 103 (426,4/3 600)[(353/291) 1]
Eu = 23 740 W = 23,74 kW
nonc 7.2Un compresseur est utilis pour assurer un dbit dair
comprim QK = 200 m3/h P2 = 40 bar. Lair, aspir la pression P1 = 1
bar, arrive dans le compresseur latemprature T = 20 C. La
compression de lair a lieu de manire adiabatique.a) Calculer le
nombre dtages de compression et la rpartition des pressions
partage.b) Calculer la puissance mcanique demande pour la
compression, si celle-ci,considre comme adiabatique, a un rendement
gl = 0,8.c) Calculer le dbit deau de refroidissement dans les
refroidisseurs, enconsidrant une lvation de la temprature de leau
Tw = 8 C.
Figure Ex.9 Illustration pour lnonc 7.2 : (a) schma de
linstallation ;(b) reprsentation des cycles dans le diagramme
T-S.
Solution 7.2a) En choisissant un rapport de compression pi = 4,
on peut crire :
N = (logPN + 1 logP1)/logpi = (log40 log1)/log4
-
47
N = 2,66On adopte 3 tages.En ngligeant les pertes de pression
entre les tages, le degr de compression pipar tage sera (figure
Ex.9a) :
pi_ = 40/1 = 3,42
ce qui donne la rpartition approximative par tage suivante :
Pi Pf
tage 1 1,0 3,42tage 2 3,42 11,70tage 3 11,70 40,0
b) Le travail thorique ncessaire la compression se calcule selon
la relation :Wad = NRT1(/ 1)[(Pi/Pf)( 1)/)i 1]
Supposons que, dans le refroidisseur, lair se refroidit jusqu 30
C. Enremplaant les valeurs dans la formule, il rsulte :
Wad = 3 287 303 (1,4/0,4)[(40/1)(0,4/1,4) 3 1]
Wad = 383 221 J/kgavec T = 273 + 30 = 303 K.La puissance absorbe
sur larbre du compresseur, en tenant compte du rendementglobal, se
dtermine partir des relations 7.22 et 7.28 :
Eac = QKWad/3 600avec = 1,29 kg/m3 la densit de lair :
Eac = 200 1,29 383 221/3 600 0,8
Eac = 34 330 W = 34,33 kWc) Pour trouver la consommation en eau
dans les refroidisseurs, il faut calculer latemprature aprs les
tages 2 et 3 de compression, en considrant quaprs lestages 1 et 2,
lair se refroidit 30 C (figure Ex.9b).
Remarque
Dans le cylindre du premier tage de compression, la temprature
la fin dela compression sera plus petite tant donn que lair est
aspir 20 C et non 30 C.
En utilisant lquation
T2 = T1(P2/P1)( 1)/
-
48
on obtient :
T2 = 303(3,42)0,4/1,4
T2 = 430 K = 157 COn suppose que la chaleur spcifique de lair
aux trois tages de compressionreste constante et gale cpa = 1,01
kJ/kg.K. Il rsulte que leau de refroidissementdoit vacuer une
quantit de chaleur gale :
Q = QKcpa(T2 T1)/3 600
Q = 200 1,29 1,01 103(157 303)
Q = 27,578 kWOn peut galement calculer Q avec :
Q = WadQK/3 600 = 383 221 200 1,29/3 600 = 27,464 kWPuisque la
temprature de leau de refroidissement subit une lvation
detemprature Tw = 8 C, la quantit deau ncessaire rsulte de lquation
:
G = Q/cpwTw = 27,578/4,18 8 = 0,825 kg/s
Gv = 0,825 3 600/1 000
Gv = 2,97 m3/h
nonc 7.3Dans une petite unit de production industrielle, un
procd de fabricationncessite un dbit dair comprim qm = 65 kg/h, une
pression P2 = 4 bar.On dispose dun compresseur piston, simple effet
et ayant les caractristiquessuivantes :
- diamtre du cylindre D = 150 mm- longueur de la course L = 200
mm- nombre de tours N = 250 tr/min- espace mort k = 5 %-
compression polytropique avec n = 1,2
a) Calculer le dbit dair comprim obtenu avec ce compresseur. Au
cas o il fautle coupler une soufflante, quelle doit tre la pression
de lair avant de pntrerdans la conduite daspiration du compresseur
?b) Calculer la pression limite de refoulement laquelle le dbit
devient nul.
Solution 7.3a) En considrant la pression de lair laspiration P1
= 1 bar, la relation 7.15 nouspermet de dterminer le rendement
volumique thorique :
-
49
v.th = 1 k[(P2/P1)1/n 1] = 1 0,05 [(4/1)1/1,2 1]
v.th = 0,891En adoptant un coefficient volumtrique p = 0,9, le
rendement volumtriquedevient :
v = 0,9v.th = 0,9 0,891 = 0,802Le dbit volume du compresseur
rsulte de la relation :
Q = vALN/60 = 0,802 0,01766 0,2 250/60avec A = piD2/4 = pi
(0,15)2/4 = 0,01766 m2 laire de la section du cylindre
Q = 0,0118 m3/s = 42,5 m3/hSi lon considre que lair a t aspir la
temprature ambiante, donc ayant unedensit = 1,2 kg/m3, on trouve
pour le dbit masse :
qm = Q = 42,5 1,2 = 51,0 kg/hb) On constate que le compresseur
ne peut pas satisfaire la demande en aircomprim la pression de 4
bar. En consquence, on va le coupler avec unesoufflante.La
soufflante doit comprimer lair de la pression initiale jusqu une
pression :
Px = 65/51 = 1,275 bar
nonc 7.4Comparer le travail mcanique thorique ncessaire la
compression de 1 m3dair de la pression P1 = 1 bar :a) la pression
P2 = 1,1 barb) la pression P2 = 6 barOn va dterminer la valeur du
travail mcanique avec la formulethermodynamique pour une
compression adiabatique, ainsi quavec la formulehydraulique en
considrant lair comme un gaz non compressible.
Figure Ex.10 Illustration pour lnonc 7.4.
-
50
Solution 7.4a) P1 = 100 kPa et P2 = 110 kPa. laide de la
relation 7.7 relative au travail dpens pour la compression de 1
m3dair, aux conditions daspiration, on obtient :
Wtd = (/ 1)P1[(P2/P1)( 1)/ 1]
Wtd = (1,4/0,4)100 103[(1,1)0,4/1,4 1] = 9 637,5 J/m3
La formule hydraulique nous permet dcrire pour la mme
compression :
Whd = VP = 1 (110 100) 103 = 10 000 J/m3
dans laquelle P = P2 P1.b) La formule thermodynamique aboutit
:
Wtd = (1,4/0,4) 100 103[(6,0)0,4/1,4 1] = 233 230 J/m3
Le mme travail calcul avec la formule hydraulique est :
Whd = 1 (600 100) 103 = 500 000 J/m3
En comparant les deux variantes, on remarque que, dans le
premier cas(compression jusqu P2 = 1,1 bar), la diffrence entre les
deux rsultats est :
= (10 000 9 637,5) 100/10 000 = 3,6 %Ce cas correspond ltage
limite de compression de lair avec les ventilateurs,pour lesquels
le calcul de la puissance dentranement se fait daprs la
formulehydraulique.Dans le deuxime cas (P2/P1 = 6), relatif la
compression de lair avec lecompresseur, la diffrence entre les deux
formules dpasse 100 %. Il est videntque, pour le calcul de la
puissance, on doit toujours utiliser la formulethermodynamique.Sur
le diagramme thorique indiquant le travail dun compresseur
piston(figure Ex.10), on voit que la surface abcd (compression P2 =
1,1 bar) est
-
51
approximativement gale abde tandis que la surface afge
(compression P2 = 6 bar) diffre beaucoup de la surface afhe.
nonc 7.5Comparer la temprature de lair, le travail mcanique
thorique ncessaire et lerendement volumique la fin dune compression
de type adiabatique de P1 = 1 bar P2 = 7 bar, si lopration est
effectue :a) avec un compresseur piston mono-tag ;b) avec un
compresseur deux tages et refroidissement intermdiaire ramenantlair
sa temprature daspiration T = 18 C.Lespace mort k reprsente 5 % du
volume V.
Solution 7.5a) La temprature de lair la fin de la compression
est dtermine avec larelation 7.7 :
T2 = T [(P2/P1)( 1)/]
T2 = 291 [(7/1)(1,4 1)/1,4] = 291 1,744
T2 = 507,5 K = 234,5 CT1 = 273 + T = 273 + 18 = 291 K et =
1,4.On obtient le travail mcanique spcifique ncessaire la
compression aussi partir de la relation 7.7 :
W*ad = (/ 1)rT1[(P2/P1)( 1)/ 1] = (1,4/0,4) 287 291 (1,744
1)
W*ad = 217 478 J/kget pour lair 8 310/29 = 287 J/kgLe rendement
volumtrique rsulte de la relation 7.15 :
v = 1 k[(P2/P1)(1/) 1] = 1 0,05[(7/1)1/1,4 1]
v = 0,85b) Le degr de compression dans chaque tage sobtient avec
pi = (7/1)1/2 = 2,645.La temprature aprs chaque tage de compression
sera :
T2 = T1(P2/P1)( 1)/ = 291 (2,645)0,4/1,4 = 291 1,32
T2 = 384 K et T = 111 COn en dduit le travail thorique total
dpens dans les deux tages :
W*ad = 2 287 291(1,4/0,4) [(7/1)0,4/21,4 1]
W*ad = 192 924 J/kg
-
52
Le rendement volumique, pour la compression deux tages, est
:
v = 1 0,052[(2,645)1/1,4 1]
v = 0,95Comparaison des deux compresseurs :
Nombre dtages 1 2
Temprature la fin de la compression 234,5 C 111 C
Travail mcanique thorique dpens 217 478 J/kg 192 924 J/kg
Rendement volumique 0,85 0,95
Cette comparaison montre la supriorit dune compression deux
tages et cecidautant plus que le rapport de compression est plus
grand.
nonc 7.6On aspire du mthane partir dun rservoir sous pression P1
= 2 bar, traversune canalisation de longueur L = 300 m et de
diamtre d = 150 mm. Au bout de lacanalisation, un compresseur
accrot la pression du gaz jusqu P2 = 8 bar.Lcoulement est considr
isothermique, la temprature du mthaneT1 = 293 C.Masse molculaire du
mthane : M = 16 kg/kg.molViscosit du mthane : = 1,10 105 Pa.s ( Tm
= 293 C)La canalisation dont la surface est propre a un coefficient
de frottement = 0,02.Calculer le dbit-masse et la puissance du
compresseur si le rendement globalgl = 0,65.
Solution 7.6La densit du mthane la pression moyenne Pm = (P1 +
P2)/2 = 5 bar est :
m = (16/22,4)(273/293)(500 103/101,3 103) = 3,285 kg/m3
Laire de la section de la conduite est :
A = pid2/4 = pi 0,152/4 = 1,76 102 m2
On calcule le dbit avec la relation 2.31, pour un gaz idal en
coulementisotherme permanent :
[(qm/A)_ln(P2/P1)] (P2 P1)/vm + (L/2d)(qm/A)_ = 0qui devient,
aprs remplacement des valeurs numriques et en tenant compte de1/vm
= m :
[(qm/A)2ln(8/2)] (8 2) 105 3,285 + 0,02 (300/0,15)(qm/A)2 =
0
-
53
(qm/A)2 = 9,21 104
qm = 3,03 102 1,76 102
qm = 5,34 kg/sOn obtient la puissance effective (accouplement
sur arbre) :
Eac = qmPmvmln(P2/P1)/ = 5,34 5 105(1/3,285)ln(8/2)/0,65
Eac = 17,33 105 W = 1 733 kW
Exemples dapplication du chapitre 8Installations de vide
nonc 8.1Afin de limiter la perte de charge 10 % maximum,
calculer la vitessedcoulement admissible dans une conduite sous
vide de diamtre d = 100 mm etde longueur L = 10 m. Le fluide
transport est de la vapeur deau unetemprature de 5 C et une
pression totale de 20 mbar.
Solution 8.1On utilise labaque de la figure 8.2 qui donne la
vitesse dcoulement de lair. Ony observe que, pour une canalisation
de diamtre 100 mm et de longueur 10 m, lavitesse admissible pour
lair 20 C est wa = 58 m/s.Pour la vapeur deau, il faut multiplier
cette valeur par le facteur de correction,calcul avec la relation
8.25 :
f = (T/Mpt)1/2 = (278/18 20)1/2 0,88do :
ws = fwa = 0,88 58 = 0,87 58
ws 51 m/s
nonc 8.2On doit faire la mise sous vide dune enceinte pc = 10 Pa
(air 20 C) avec unepompe dont la vitesse de pompage est S = 900
m3/h. La canalisation reliant lapompe lenceinte a un diamtre de 100
mm et une longueur de 8 m(figure Ex.11).
Figure Ex.11 Illustration pour lnonc 8.2.
-
54
a) Calculer la vitesse de pompage effective.b) Calculer la
pression la bride daspiration de la pompe.c) Localiser le point de
linstallation o la rsistance lvacuation de lair estmaximale.
Solution 8.2Avant de procder au calcul, il est ncessaire dtablir
le rgime dcoulement. Enfaisant le produit pd = 10 0,1 = 1,0 Pa.m,
on voit quil sagit dun rgimelaminaire.a) On suppose la pression
moyenne dans la conduite pm = 10 Pa. Aprs avoirdtermin la pression
la bride daspiration, on refait le calcul pour disposerdune valeur
de pm plus prcise.La conductance quivalente est obtenue avec la
relation 8.26 :
1/Ceq = (1/Cor.lam) + (1/Cline.lam) = (1/18d) + (1/1
364d4pm/L)
1/Ceq = (1/18 0,1) + [1/1 364 (0,1)4 10/10] = 0,555 + 7,331 =
7,886do la vitesse de pompage effective :
1/Sef = (1/Ceq) + (1/S2) = (7,886) + (1/0,25) = 11,886
Sef = 0,084 m3/sComme le flux gazeux est conservatif :
Qp = pcSef = p2S2ce qui donne, pour la pression la bride
daspiration de la pompe :
p2 = pcSef/S2 = 10 0,084/0,25
p2 = 3,4 Pab) Cette valeur de la pression nous permet de
calculer une valeur plus exacte pourla pression moyenne :
pm = (pc + p2)/2 = (10 + 3,4)/2 = 6,7 PaOn trouve pour la
conductance quivalente :
1/Ceq = (1/18 0,1) + [1/1 364 (0,1)4 6,7/10] = 0,555 + 10,94 =
11,5
-
55
et finalement :
1/Sef = (1/Ceq) + (1/S2) = (11,5) + (1/0,25) = 15,5
Sef = 0,064 m3/sc) Daprs la relation 8.26, la conductance totale
Ctot correspond la vitesse depompage effective :
1/Ctot = 1/Cor + 1/Cline + 1/S2 = 0,555 + 10,94 + 4 = 15,5do lon
tire pour les rsistances au pompage :
- entre orifice : (0,555/15,5) 100 = 3,6 %- conduite :
(10,94/15,5) 100 = 70,6 %- pompe : (4/15,5) 100 = 25,8 %
On remarque que la majeure partie de cette rsistance est
reprsente par laconduite. Afin daugmenter la vitesse dvacuation du
gaz, on doit soit diminuerla longueur de la conduite, soit
augmenter le diamtre. Cette dernire solution estla meilleure car la
vitesse de pompage varie avec d3.
nonc 8.3En disposant dune pompe vide dune capacit nominale S =
100 m3/h (28 l/s),on doit faire passer la pression de p1 = 970 mbar
p2 = 1 mbar dans uneinstallation de volume V = 2 000 l remplie
dair, travers une conduitecomprenant L = 10 m de tuyau de diamtre
d1 = 25 mm et 3 robinets de diamtred2 = 20 mm et de longueur Lrob =
30 mm.a) Calculer le temps ncessaire pour atteindre le vide exig.b)
Calculer la diminution du temps dvacuation de lair si les diamtres
passentde 25 d1 = 50 mm et de 20 d2 = 40 mm.
Solution 8.3a) En appliquant la relation 8.15 avec pm = 1 mbar =
102 Pa, le calcul de laconductance aboutit :
- pour la conduite :
C1 = 1 364d4(pm/L) = 1 364 (0,025)4 102/10 = 5,33 103 m3/s =
5,33 l/s- pour les robinets :
C2 = 1 364d4pm/Ls = 1 364 (0,02)4 102/(18 0,02 + 0,03)
C2 = 55,96 103 m3/s = 55,96 l/s
- o Ls = Leq + Lrob ; la longueur de tuyauterie quivalente
sajoute salongueur relle. Pour un rgime laminaire, le rtrcissement
peutsexprimer par environ 18d2.
On obtient pour ladmittance quivalente :
-
56
1/Ceq = (1/C1) + (3/C2) = (1/5,33) + (3/55,96) = 0,241Le calcul
du dbit rel, en tenant compte que le dbit nominal de la pompe estS
= 28 l/s, nous donne la valeur :
1/Sef = (1/Ceq) + (1/S) = (0,241) + (1/28) = 0,277soit un dbit
rel :
Sef = 3,61 l/sLa relation 8.28 permet de dterminer le temps de
vidange de linstallation :
t = (V/Sef)2,303log(p1/p2) = (2 000/3,61) 2,303 log(970/1)
t = 3 810 s = 63,5 min
Remarque
Si le temps est considr trop long, il serait inutile de prendre
une pompe pluspuissante et le problme ne peut tre rsolu quen
augmentant le diamtre desconduites.
b) Avec les nouveaux diamtres, les valeurs de ladmittance
deviennent :- pour la conduite :
C1 = 1 364d4pm/L = 1 364 (0,05)4 102/10 = 85,25 103 m3/s
C1 = 85,25 l/s- pour les robinets :
C2 = 1 364d4pm/Ls = 1 364 (0,04)4 102/(18 0,04 + 0,03) = 465,58
103 m3/s
C2 = 465,58 l/sOn obtient pour ladmittance quivalente :
1/Ceq = (1/C1) + (3/C2) = (1/85,25) + (3/465,58) = 0,018On
calcule le dbit rel, en tenant compte que le dbit nominal de la
pompe :
1/Sef = (1/Ceq) + (1/S) = (0,018) + (1/28) = 0,0474
Sef = 21,1 l/sDo le nouveau temps de vidange :
t = (2000/21,1)2,303log(970/1) = 652 s
t 11 min
nonc 8.4
-
57
On doit maintenir un rcipient sous un vide pc = 105 torr. Pour
ce faire, on coupleune pompe diffusion (de vitesse S1) une pompe
primaire piston tournant dontla vitesse est S2. Le tube C1 reliant
le rcipient la pompe diffusion est long deL1 = 10 cm pour un
diamtre d1 = 8 cm. La conduite entre les deux pompes a unelongueur
L2 = 100 cm et un diamtre d2 = 1,5 cm. On estime le dbit de
fuitesqF = 103 torr.litres/s et la pression la bride daspiration de
la pompe primairep2 = 102 torr.Calculer les vitesses de pompage S1
et S2 des deux pompes ainsi que la vitesseeffective de la pompe
primaire.
Solution 8.4On suppose quune fois lquilibre atteint dans le
systme, le dbit de fuitescorrespond au flux gazeux aspir par la
pompe diffusion. Ds lors le flux aspirpar la pompe diffusion est le
mme que celui absorb par la pompe primaire. Onpeut crire :
Qp = qF = S1ef pc = S1p1 = S2ef p2 = S2 p2Selon lquation 8.27
applique la relation du flux, on obtient les vitesses depompage
:
S1 = qFC1/(C1pc qF)
S2 = qFC2/(C2p2 qF)On calcule les conductances :
C1 = 12,1d13/(L1 + 4d1/3) = 12,1 63/(10 + 4 6/3) = 145 l/s
C2 = 12,1d23/(L2 + 4d2/3) = 12,1 1,53/(100 + 4 1,5/3) = 0,40
l/sIl rsulte pour les deux vitesses :
S1 = 103 145/(145 105 103) = 322 l/s
S2 = 103 0,40/(0,40 102 103) = 0,133 l/s = 8,0 l/minSoit la
vitesse de pompage effective de la pompe primaire :
S2ef = 103/102 = 0,1 l/s = 6 l/min
nonc 8.5Calculer la pression limite que lon peut atteindre dans
un tube en utilisant unepompe dont la vitesse effective de pompage
est Sef = 300 l/s.Les dimensions du tube sont : diamtre intrieur di
= 20 cm et longueurL = 100 cm.On considre que le flux qui pntre
dans le tube provient uniquement dudgazage sous vide de lenveloppe
mtallique. Le dbit de dgazage spcifique(aprs 4 heures) est Kd = 107
torr.litres/s.cm2.
-
58
Solution 8.5Puisque la seule source qui vient alimenter le tube
est la dsorption et ensupposant que la variations de Sef en
fonction de la pression est nulle (Vdp/dt = 0),la relation devient
:
Sp = qd = KdAmPour un tube cylindrique :
Am = pidiL = pi 20 100 = 6 280 cm2
Le dbit de dgazage de cette surface sera :
qd = KdAm = 107 6 280 = 628 106 torr.litres/s
La pression limite dans le tube est :
plim = qd/Sef = 628 106/300
plim = 2,1 106 torr
nonc 8.6Il est demand de maintenir sous un vide de pression p =
50 mbar, une installationdont le volume est denviron 15 m3. La
longueur de ltanchit est estime Let = 10 m, avec des fuites qet de
200 g/h par mtre de joint. Le dbit daspirationde dfinition (air 20
C) se situe autour de Qv = 18 kg/h.Une vrification de laugmentation
de pression dans linstallation est effectue pardeux mesures, avec
et sans introduction de gaz.La premire mesure, aprs t1 = 120 s,
rvle une diffrence de pressionp1 = 10 mbar.La mesure avec
introduction de gaz Qp2 = 4 kg/h donne, toujours aprs t2 = 120
s,une augmentation de pression p1 = 10 mbar.Calculer le dbit
massique ncessaire la pompe installer.
Solution 8.6Ce dbit massique se rpartit entre les gaz et les
vapeurs librs par les produits vacuer et le flux qui pntre dans
linstallation :
Qp = QV + QFLe flux QF qui pntre dans lenceinte de linstallation
a comme origineltanchit et le dgazage des matriaux sous vide.Pour
un volume de 15 m3, suivant ltat de la surface, le dgazage des
matriauxest compris entre 4 et 7 kg/h. On prend qd = 5 kg/h.Air de
fuite : qF = qetLet = 0,2 10 = 2,0 kg/hSupposons que le flux entant
dans linstallation QF se situe entre 2 et 5 kg/h.On choisit en
premire approximation QF = 4 kg/h. Ainsi le dbit
massiquedaspiration devient :
-
59
Qp = 18,0 + 4,0 = 22,0 kg/h
Qp = 23,09(T/M) = 233 22,0 = 5 126 mbar.l/sDo la vitesse de
pompage de la pompe :
S = Qp/p = 5 126/50 = 102,5 l/s = 369 m3/hLe contrle de la
pression aprs les deux mesures permet de dterminer un flux
depntration dans lappareil :
QF = (Qp2t2/p2){1/[(t1/p1) (t2/p2)]}
QF = (932 120/30) {1/[(120/10) (120/30)]}
QF = 466 mbar.l/sLa vitesse de pompage relle sera :
S = Qp/p = (4 194 + 466)/50 = 93,2 l/s
S = 335,5 m3/h
nonc 8.7On souhaite raliser dans un rcipient un vide de 0,9 bar
(pression p1 = 0,1 bar).On considre que la compression de lair dans
la pompe vide est polytropique,avec lexposant n = 1,25. Refoulement
la pression atmosphrique : p2 = 1 bara) Calculer le travail
mcanique thorique de compression consomm au momento le vide dans le
rcipient atteint la valeur 0,1 bar, cest--dire que la pressiondans
lenceinte est p1 = 0,9 bar.b) Calculer le travail mcanique thorique
de compression consomm au momento le vide devient 0,3 bar (p1 = 0,7
bar).c) Calculer le travail mcanique thorique de compression
consomm au momento lon obtient le vide ncessaire de 0,9 bar.
Solution 8.7La relation 7.8 donne le travail de compression
polytropique spcifique (1 m3) dela pompe :a) p2/p1 = 1 105/0,9 105
= 1,11
n/(n 1) = 1,25/0,25 = 5
(n 1)/n = 0,25/1,25 = 0,2do en remplaant :
Wt = p1[n/(n 1)][(p2/p1)(n 1)/n 1]
Wt = 0,9 105 5[1,110,2 1]
-
60
Wt = 9 490 J/m3
b) p2/p1 = 1 105/0,3 105 = 3,33Wt = 0,3 105 5[3,330,2 1]
Wt = 40 839 J/m3
c) p2/p1 = 1 105/0,1 105 = 10,0Wt = 0,1 105 5[100,2 1]
Wt = 29 245 J/m3
On observe que le travail mcanique passe par un maximum et cest
pour cettevaleur que lon choisit la puissance du moteur lectrique
de la pompe vide.
Exemples dapplication du chapitre 9Distribution et circulation
des fluides
nonc 9.1Afin dassurer un dbit G = 2 880 kg/h de vapeur deau
sature, il faut installer unrobinet de rglage sur une conduite pour
une dtente adiabatique de p1 = 20 bar p2 = 12 bar.On considre quil
ny a pas de vaporisation (cavitation) dans le robinet.Exposant
adiabatique pour une vapeur sature : = 1,135a) Calculer le Kv de la
vanne.b) Calculer le dbit de vapeur si par le mme robinet on fait
passer de la vapeursurchauffe p1 = 24 bar et T = 300 C.
Solution 9.1a) Lexpression du dbit-masse pour lcoulement dun
fluide compressible travers un orifice se prsente sous la forme
:
G = Ap1(2/rT)1/2
o est le facteur de dbit qui est dtermin avec la relation :
= {(/ 1)[(p2/p1)(2/) (p2/p1)( + 1/)]}1/2
En portant les valeurs numriques et en tenant compte que le
rapportp2/p1 = 12/20 = 0,6, il vient :
= {(1,135/0,135)[(0,6)(2/1,135) (0,6)(2,135/1,135)]}1/2 = 0,45La
constante massique r se dduit en appliquant lquation dtat :
r = p1v1/T1 = 20 105 0,09954/485 = 410 J/kg.K
-
61
avec v1 = 0,09954 m3/kg le volume massique de vapeur 20 bar et
T1 = Tsat+ 273 = 212 + 273 = 485 KAinsi on obtient la surface de
lorifice :
A = G(rT/2)1/2/p1 = [0,8(410 485/2)1/2]/0,45 20 105
A = 2,80 104 m2
En appliquant la relation 9.6, on trouve :
Kv = 5,04 104 A = 5,04 104 2,80 104
Kv = 14,1 m3/hb) Pour la vapeur surchauffe, lexposant
adiabatique est =1,30.Le rapport des pressions tant p1/p2 = 12/24 =
0,5, la fonction de dbit aura lavaleur :
= {(1,30/0,130)[(0,5)(2/1,30) (0,5)2,30/1,30]}1/2 = 0,47avec
:
v1 = 0,09888 m3/kg le volume massique de vapeur 24 bar et 300
CT1 = Tsat + 273 = 300 + 273 = 573 Kr = 24 105 0,09888/573 = 415
J/kg.K la constante massiqueOn peut donc calculer le dbit de vapeur
:
G = Ap1(2/rT1)1/2 = 0,47 2,80 104 24 105(2/415 573)1/2
G = 0,916 kg/s = 3 297 kg/h
nonc 9.2On transporte de lair comprim une temprature moyenne de
30 C avec uneconduite en acier de longueur L = 2 000 m et de
diamtre d = 0,4 m. Le dbit dairG = 7 000 kg/h doit arriver la
sortie de la conduite la pression p2 = 1,8 bar.On considre que les
pertes de pression dans la conduite sont dues uniquement
aufrottement et on adopte un coefficient de frottement =
0,025.Densit de lair des conditions normales : a = 1,29
kg/m3Calculer la pression initiale ncessaire au transport de
lair.
Solution 9.2Dans le cas de conduites longues transportant du
gaz, le calcul des pertes depression par frottement se fait par
lintgration de la forme diffrentielle de laformule de Fanning-Darcy
:
dp = (/d)(w2/2)dL (1)
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62
dans laquelle la densit et la vitesse w sont fonctions de la
pression du gaz, quidiminue le long de la conduite, et le produit w
qui reprsente la vitesse massiquedu courant dair reste constant.En
exprimant et w par les caractristiques de lair des conditions
normales :
= 0(pT0/p0T)respectivement :
w = w0(p0T/pT0)et en les portant dans lquation de la chute de
pression (1), on obtient :
dp = (/2d)(pT0/p0T)[(w0p0T/pT0)2]dL (2)En considrant lcoulement
isotherme sur toute la conduite, on regroupe tous lesparamtres
constants (y compris ) en un terme not k :
k = 0w02p0T/2dT0Ainsi, lquation diffrentielle (2) scrit sous la
forme :
pdp = kdL
En intgrant cette quation entre les limites p1 (pression
initiale) et p2 (pressionfinale) :
pdp = kdLon obtient :
(p12 p22)/2 = kL
(p12 p22) = 2kL (3)Dans les conditions de lnonc, la vitesse de
lair, 0 C et 1 bar, est :
w0 = 4 7 000/1,29 3 600 pi 0,4_ = 12,0 m/s
Il sensuit :
k = 0,025 1,29 122 100 000 303/2 0,4 273 = 644,3 103
En introduisant les valeurs numriques dans lquation (3), on
aboutit :p12 (180 103)2 = 2 644,3 103 2 000
ce qui donne pour la pression initiale :
p1 = 187 103 N/m2
p1 = 1,87 bar
nonc 9.3
-
63
Une conduite en acier de diamtre d = 40 mm et dpaisseur = 2 mm
vhiculeun dbit deau Gv = 2,0 103 m3/s.On suppose une fermeture
instantane de la vanne ct sortie se trouvant unedistance L = 650
m.a) Calculer la contrainte dtirement la suite de laugmentation de
pression dansla tuyauterie.b) Calculer la phase du coup de
blier.
Solution 9.3a) La vitesse de propagation de londe de choc est
donne par la formule deJoukowski et, pour la tuyauterie rigide en
acier transportant de leau, se prsentesous la forme :
c = 1 425/[1 + 0,01(d/)]1/2
c = 1 425/[1 + 0,01(40/2)]1/2 = 1 301 m/sSoit laugmentation de
la pression lors de la fermeture instantane des vannes :
p = cwavec w = Gv/A0 = 4 2,0 103/pi(0,042/4) = 1,6 m/sEn
exprimant cette variation de pression en mtres colonne de liquide
:
h = p/g = cw/g = 1 301 1,6/9,81 = 212 mce qui correspond 2 080
kN/m2, soit environ 21 bar.La contrainte dtirement la suite de la
variation de pression sera :
= pd/2 = 2 080 103 40/2 2 = 0,21 108 N/m2
Cet accroissement de tension, ajout la valeur de construction =
1,1 108 N/m2, approche de la valeur limite dlasticit de lacier. cet
effet il faut monter sur la tuyauterie des soupapes de sret qui
souvrentautomatiquement lorsque la pression devient suprieure la
valeur normale.b) La phase du coup de blier sobtient daprs