Page 1
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI
DEPARTAMENTUL CONSTRUCŢII DE BETON ARMAT
EXEMPLE PENTRU CALCULUL
ELEMENTELOR DE BETON ARMAT
- Pentru uzul studenţilor din anii II şi III ai Facultăţii de Hidrotehnică
specializarea ISPM şi ACH -
ing. Eugen Enache
BUCUREŞTI
2013
Page 2
NOTA : Acest material este destinat studenţilor de la specializările ISPM şi ACH din
cadrul Facultăţii de Hidrotehnică a UTCB şi va fi utilizat numai în scop didactic în cadrul
procesului de invăţământ. Folosirea lui în alte scopuri decât cele necesare procesului de
învăţământ implică numai răspunderea utilizatorului.
Page 3
Schema 1.1 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată –
Încovoiere - Verificare
Exemplu 1 - Să se determine momentul MRd al grinzii cu secţiunea din figură.
Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1.Se stabilesc rezistenţele pentru beton şi oţel:
2
2
/83,34715,1
400
/33,135,1
20
mmNf
f
mmNf
f
s
yk
yd
c
ck
cd
2. Se calculează a=55 mm în funcţie de condiţiile de
durabilitate.
3. d = h – a=600-55=545 mm
4. mmfb
fAx
cd
yds97,204
33,1318,0250
83,3471571
5. xlim = mmd
ydcu
cu03,364545
1074,1105,3
105,3
33
3
unde 3
1074,1200000
83,347
s
yd
ydE
f
6. Se verifică x xlim 204,97 mm ≤ 364,03 mm DA 7
7. Se calculează : mmx
dz 01,4632
97,2048,0545
2
8. MRd = As fyd z=1571∙347,83∙463,01=253,01 kNm Stop
250
2 10
montaj
5 20
600
Page 4
Schema 1.2 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată –
Încovoiere - Dimensionare
Exemplu 1 - Să se armeze secţiunea unei grinzi cu dimensiunile 300x700 mm, solicitată
de un moment încovoietor MEd=240 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel
S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de durabilitate; valoarea a se estimează la
a 60 mm
3. d = h – a=700-60=640 mm
4. Se calculează MRd,lim =Fc zlim =1367,59∙0,47=642,77 kNm
considerând x = xlim , xlim = mmd
ydcu
cu48,427640
1074,1105,3
105,3
33
3
Fc = bxlim fcd = 300∙0,8∙427,48∙1∙13,33=1367,59 kN şi
zlim= mmmx
d 47,001,4692
48,4278,0640
2
lim
(vezi Schema 1.1)
5. Se verifică MEd MRd,lim 240 kNm 642,77 kNm DA 6
6. Se calculează momentul încovoietor al rezultantei Fc (a eforturilor de compresiune
din beton) faţă de armătura As :
b x fcd [d-(x/2)]=MEd (ecuaţie de gradul II în x)
300∙0,8∙x∙1∙13,33∙(640-2
8,0 x)=240∙10
6
7. Se calculează x din ecuaţia de la punctul 6. Rezultă x=127,35 mm
8. Cu valoarea x de la punctul 7 se calculează cantitatea de armătură necesară
231,1171
83.347
33,13135,1278,0300mm
f
fxbA
yd
cd
s
9. Se calculează As,min
As,min=2
56,274640300400
2,226,026,0 mmdb
f
f
yk
ctm
sau
As,min=2
6,2496403000013,00013,0 mmdb
Page 5
Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.
Rezultă As,min=274,56 mm2
10. Se verifică As As,min 1171,31 mm2 274,56 mm
2 NU: 11
11. As calculată la (8) este bună Stop
Obs. Se alege armătura reală respectând prevederile constructive pentru grinzi.
De exemplu se poate alege varianta 220+316, ceea ce înseamnă 628+603=1231 mm2
care acoperă necesarul de 1171,31 mm2.
300
210
montaj
2 20
3 16
700
Page 6
Schema 1.3 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată –
Încovoiere - Dimensionare secţiune de beton
Exemplu 1 - Să se dimensioneze secţiunea unei grinzi solicitată de un moment
încovoietor cu valoarea MEd=260 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel
S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se alege în funcţie de tipul elementului un coeficient de armare optim opt. De
exemplu pentru grinzi opt =0,01
3. Se alege b în funcţie de tipul elementului. Se alege b=250 mm
4. Se calculează
26,033,131
83,34701,0
cd
yd
optf
f
d
x
5. Se calculează
mm
d
x
d
xfb
Md
cd
Ed29,587
26,02
1126,033,131250
10260
2
11
6
6. Se alege o valoare pentru a în funcţie de condiţiile de durabilitate.
Se alege a 55 mm
7. Se calculează valoarea h prin rotunjire la 10 mm pentru plăci şi 50 mm pentru grinzi
h = d + a=587,29+55=642,29 mm Se rotunjeşte la h=650 mm
8. Pentru grinzi se recomandă ca:
2
1
3
1
h
b respectiv
2
1
650
250
3
1 inegalitate care se verifică.
În concluzie dimensiunile secţiunii grinzii vor fi b=250 mm şi h=650 mm (250x650 mm)
Page 7
Schema 2.1 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată –
Încovoiere - Verificare
Exemplu 1 – Să se determine momentul încovoietor MRd al grinzii cu secţiunea din
figură. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi
clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=60 mm şi a’=45 mm în funcţie de
condiţiile de durabilitate
3. d = h – a=550-60=490 mm
4. Se calculează mmfb
fAfAx
cd
ydsyds35,193
33,1318,0250
83,34740283,3471884'
5. Se calculează xlim = mmd
ydcu
cu29,327490
1074,1105,3
105,3
33
3
6. Se verifică x xlim 193,35 mm 327,29 mm DA 7 –8
7. Se calculează xmin = mma
ydcu
cu49,8945
1074,1105,3
105,3
33
3
'
unde s
yd
yd
E
f
8. Se verifică x xmin 193,35 mm 89,49 mm DA 9
9. ''
2adfA
xdfxbM
ydscdRd=
kNm94,2744549083,3474022
35,1938,049033,13135,1938,0250
250
2 16
6 20
550
Page 8
Schema 2.2 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată –
Încovoiere - Dimensionare
Exemplu 1 – Să se armeze secţiunea unei grinzi cu dimensiunile 300x700 mm pentru un
moment încovoietor MEd=450 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
Armătura comprimată este alcătuită din 314.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi
clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=60 mm şi a’=45 mm în funcţie de condiţiile
de durabilitate;valoarea a se estimează pentru că nu se
cunoaşte armătura dar a’ se poate calcula deoarece
armătura A’s este dată.
3. d = h – a=700-60=640 mm
Cazul în care armătura A’s este dată din alte considerente
4. MEd = A’s fyd (d-a’)=462∙347,83∙(640-45)=95,61 kNm
5. Se calculează M1=MEd - MEd=450-95,61=354,39 kNm
6. Se verifică M1 0 354,39 kNm 0 NU 8
8. Se calculează As1 numai cu momentul M1 =354,39 kNm cu Schema 1.2.(secţiune
dreptunghiulară simplu armată).
Rezultă As1=1816,07 mm2 (calculată cu acelaşi a=60 mm)
9. '
1 sssAAA =1816,07+462 =2278,07 mm
2
Se calculează As,min
As,min=2
56,274640300400
2,226,026,0 mmdb
f
f
yk
ctm
sau
As,min=2
6,2496403000013,00013,0 mmdb
Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.
Rezultă As,min=274,56 mm2
Se verifică As As,min 2278,07 mm2 274,56 mm
2 NU: rezultă că aria
calculată la punctul 9 este bună Stop
300
314
700
Page 9
Obs. Se alege armătura reală respectând prevederile constructive pentru grinzi.
De exemplu se pot alege 622, ceea ce înseamnă 2281 mm2
care acoperă necesarul de
2278,07 mm2.
300
314
6 22
700
Page 10
Schema 2.2 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată –
Încovoiere - Dimensionare
Exemplu 2 – Să se armeze secţiunea unei grinzi cu dimensiunile 300x700 mm pentru un
moment încovoietor MEd=670 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=60 mm şi a’=45 mm în funcţie de condiţiile de durabilitate; ambele
valori sunt estimate pentru că nu se cunosc armăturile.
3. d = h – a=700-60=640 mm
Cazul în care armătura A’s nu este cunoscută
10. Se calculează xlim = mmd
ydcu
cu48,427640
1074,1105,3
105,3
33
3
11. Se calculează MRd,lim =Fc zlim =1367,59∙0,47=642,77 kNm
Fc = b xlim fcd = 300∙0,8∙427,48∙1∙13,33=1367,59 kN şi
zlim= mmmx
d 47,001,4692
48,4278,0640
2
lim (vezi Schema 1.1)
12. Se verifică MEd MRd,lim 670 kNm 642,77 kNm NU 13
13. MEd = MEd –MRd,lim=670-642,77=27,23 kNm
14. 2
6
'
'57,131
4564083,347
1023,27mm
adf
MA
yd
Ed
s
15. 2
6
'
lim
lim,66,407157,131
83,34701,469
1077,642mmA
fz
MA
s
yd
Rd
s
Se calculează As,min
As,min=2
56,274640300400
2,226,026,0 mmdb
f
f
yk
ctm
sau
As,min=2
6,2496403000013,00013,0 mmdb
Page 11
Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.
Rezultă As,min=274,56 mm2
Se verifică As As,min 4071,66 mm2 274,56 mm
2 NU: rezultă că aria
calculată la punctul 15 este bună Stop
Obs. Se alege armătura reală respectând prevederile constructive pentru grinzi.
De exemplu se pot alege 5 28+3 22 3079+1140=4219 mm2 pentru As şi 2 12
226 mm2
pentru A’s.
300
2 12
3 28
3 22+ 2 28
700
Page 12
Schema 3.1 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere - Verificare
Exemplu 1 - Să se determine momentul MRd al grinzii cu secţiunea din figură.
Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa
betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=50 mm în funcţie de
condiţiile de durabilitate
3. d = h – a=550-50=500 mm
4. Se calculează lăţimea activă de placă beff
=1000 mm
5. yd
cdfeff
s
f
fhbA
lim corespunzătoare la x=hf
2
lim80,4598
83,347
33,1311201000mm
f
fhbA
yd
cdfeff
s
6. Se verifică As As lim 763 mm2 4598,80 mm
2 NU:(x hf ) 7
7. Se calculează MRd ca pentru o secţiune dreptunghiulară simplu armată cu
b=beff=1000 mm cu Schema 1.1. La Schema 1.1 se trece direct la punctul 4, respectiv
calculul valorii x.
Rezultă în final o valoare a momentului încovoietor MRd=130,05 kNm.
120
250
1000
550
210
montaj
318
Page 13
Schema 3.1 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere - Verificare
Exemplu 2 - Să se determine momentul MRd al grinzii cu secţiunea din figură.
Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa
betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=75 mm în funcţie de
condiţiile de durabilitate
3. d = h – a=700-75=625 mm
4. Se calculează lăţimea activă de placă beff
=1000 mm
5. yd
cdfeff
s
f
fhbA
lim corespunzătoare la x=hf
2
lim87,3065
83,347
33,131801000mm
f
fhbA
yd
cdfeff
s
6. Se verifică As As lim 3927 mm2 3065,87 mm
2 DA: ( x hf ) 8
8. 2
40,229983,347
33,131802501000mm
f
fhbbA
yd
cdfeff
IIs
9. sIIsIs
AAA =3927-2299,40=1627,6 mm2
10. Se calculează MI cu Schema 1.1 şi cu AsI ca pentru o secţiune dreptunghiulară cu
dimensiunile b şi h
1 .Idem
2. a 50 mm deoarece AsI este mai mică decât As
3. d = h – a=700-50=650 mm
4. mmfb
fAx
cd
ydIs35,212
33,1318,0250
83,3476,1627
5. xlim = mmd
ydcu
cu16,434650
1074,1105,3
105,3
33
3
6. Se verifică x xlim 212,35 mm ≤ 434,16 mm DA 7
7. Se calculează : mmx
dz 06,5652
35,2128,0650
2
80
250
1000
700
210
montaj
825
Page 14
8. MRd =MI= AsI fyd z=1627,6∙347,83∙565,06=319,9 kNm
Se revine la Schema 3.1:
11. kNmh
dfAMf
ydIIsII88,467
2
8062583,34740,2299
2
12. MRd = M I + M II =319,9+467,88=787,78 kNm Stop
Page 15
Schema 3.2 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere - Dimensionare
Exemplu 1 - Să se armeze secţiunea grinzii din figură solicitată de un moment
încovoietor MEd=200 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa
betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de
durabilitate; valoarea a se estimează la
a 45 mm
3. d = h – a=500-45=455 mm
4. Se calculează lăţimea activă de placă beff=700
mm
5.
2lim
f
cdfeff
hdfhbM corespunzător la x = hf
kNmh
dfhbMf
cdfeff79,309
2
8045533,13180700
2lim
6. Se verifică MEd ≥ Mlim 200 kNm ≥ 309,79 kNm NU:(x hf ) 7
7. Se calculează As ca pentru o secţiune dreptunghiulară cu lăţimea beff =700 mm cu
Schema 1.2 şi MEd=200 kNm
Rezultă As = 1337,02 mm2
Se calculează As,min
As,min=2
13,130455200400
2,226,026,0 mmdb
f
f
yk
ctm
sau
As,min=2
30,1184552000013,00013,0 mmdb
Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.
Rezultă As,min=130,13 mm2
Se verifică As As,min 1337,02 mm2 130,13 mm
2 NU: rezultă că aria
calculată la punctul 7 este bună Stop
Obs. Se alege armătura reală respectând prevederile constructive pentru grinzi.
80
200
700
500
Page 16
De exemplu se poate alege varianta 316+318, ceea ce înseamnă 603+763=1366 mm2
care acoperă necesarul de 1337,02 mm2.
80
200
700
500
210
montaj
316
318
Page 17
Schema 3.2 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere - Dimensionare
Exemplu 2 - Să se armeze secţiunea grinzii din figură solicitată de un moment
încovoietor MEd=325 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa
betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de
durabilitate; valoarea a se estimează la
a 70 mm
3. d = h – a=500-70=430 mm
4. Se calculează lăţimea activă de placă
beff=700 mm
5.
2lim
f
cdfeff
hdfhbM corespunzător la x = hf
kNmh
dfhbMf
cdfeff13,291
2
8043033,13180700
2lim
6. Se verifică MEd ≥ Mlim 325 kNm ≥ 291,13 kNm DA: (x hf ) 8
8.
kNmh
dfhbbMf
cdfeffII61,218
2
805050033,13180200700
2
Aici s-a considerat a=50 mm pentru a calcula d=h-a=500-50 la o secţiune cu mai
puţină armătură decât la secţiunea reală a grinzii.
9. MI =MEd - MII=325-218,61=106,39 kNm
10. Se calculează AsI cu Schema 1.2 şi cu momentul MEd=MI=106,39 kNm pentru o
secţiune dreptunghiulară cu dimensiunile b=200 mm şi h=500 mm
1. Idem
2. a 50 mm
3. d=h-a=500-50=450 mm
4. MRd,lim =Fc zlim =641,06∙0,33=211,55 kNm
considerând x = xlim , xlim = mmd
ydcu
cu57,300450
1074,1105,3
105,3
33
3
Fc = bxlim fcd = 200∙0,8∙300,57∙1∙13,33=641,06 kN şi
zlim= mmmx
d 33,077,3292
57,3008,0450
2
lim
(vezi Schema 1.1)
80
200
700
500
Page 18
5. Se verifică MEd MRd,lim 106,39 kNm 211,55 kNm DA 6
6. b x fcd [d-(x/2)]=MEd (MEd=MI=106,39 kNm)
200∙0,8∙x∙1∙13,33∙(450-2
8,0 x)=106,39∙10
6
7. Soluţia este x=124,67 mm
8. 244,764
83.347
33,13167,1248,0200mm
f
fxbA
yd
cd
sI
Se revine la Schema 3.2 la punctul 11:
11. 2
6
92,1532
2
805050083,347
1061,218
2
mmh
df
MA
f
yd
II
IIs
Şi aici s-a considerat a=50 mm pentru a calcula d=h-a=500-50 deoarece şi la
această secţiune este mai puţină armătură decât la secţiunea reală a grinzii.
12. As = As I As II =764,44+1532,92=2297,36 mm2
Stop
NOTĂ – În cazul x hf situaţia As As,min este rar întâlnită în practică , deci nu mai
este necesar verificarea condiţiei respective.
Se alege varianta de armare, de exemplu 320+325, ceea ce înseamnă 942+1473=
2415 mm2
care acoperă necesarul de 2297,92 mm2.
80
200
700
500
210
montaj
320
325
Page 19
Schema 4.3 - Secţiunea dreptunghiulară armată simetric –
Compresiune excentrică - Verificare
Exemplu 1 - Să se determine momentul MRd pentru secţiunea din figură; efortul axial
NEd=500 kN. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa
betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=50 mm şi a’=50 mm în funcţie
de condiţiile de durabilitate
3. d = h – a=500-50=450 mm
4. mmfb
Nx
cd
Ed77,93
33,1318,0500
105003
5. xlim = mmd
ydcu
cu57,300450
1074,1105,3
105,3
33
3
6. Se verifică x xlim 93,77 mm 300,57 mm DA : 8
8. Suntem în cazul x = 93,77 mm ≤ 2a’=2∙50=100 mm
Deci
kNm
adfAad
NMydsEdc
75,2745045083,34712562
5045010500
'2
'
3
9. Se calculează excentricitatea adiţională ei =max {h/30 , 20 mm}=
=max{30
500;20}=20 mm
10. MRd = Mc – NEd ei =274,75-500∙0,020=264,75 kNm Stop
500
500
4 20
4 20
Page 20
Schema 4.4 - Secţiunea dreptunghiulară armată simetric –
Compresiune excentrică - Dimensionare
Exemplu 1 - Să se armeze secţiunea din figură pentru care MEd=250 kNm şi efortul axial
NEd=400 kN. Se va utiliza armarea simetrică 'ss
AA . Materialele utilizate sunt beton
C20/25 şi oţel S400.
1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi
tipul şi clasa oţelului folosite
fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm
2
2. Se calculează a=50 mm şi a’=50 mm în funcţie de
condiţiile de durabilitate
3. d = h – a=500-50=450 mm
4. mmfb
Nx
cd
Ed02,75
33,1318,0500
104003
5. xlim = mmd
ydcu
cu57,300450
1074,1105,3
105,3
33
3
6. Se verifică x xlim 75,02 mm 300,57 mm DA : 8
8. Se calculează excentricitatea adiţională ei =max {h/30 , 20 mm}=
=max{30
500;20}=20 mm
9. Mc = MEd Nei =250+400∙0,02=258 kNm
10. Suntem în cazul x=75,02 mm ≤ 2a’ =2∙50=100 mm
Deci 2
36
36,12795045083,347
2
504501040010258
'
2
'
' mmadf
adNM
AA
yd
Edc
ss
11. Se verifică condiţia privind armarea minimă totală a secţiunii
As,min=2
3
11583,347
1040010,010,0mm
f
N
yd
Ed
sau
As,min=0,002 Ac=0,002∙500∙500=500 mm2
Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.
Rezultă As,min=500 mm2
Se verifică As As,min 1279,36 mm2 500 mm
2 NU: rezultă că aria
calculată la punctul 10 este bună. Trebuie observat că aria de armătură calculată se
500
500
Page 21
referă doar la o latură a secţiunii transversale iar aria minimă se referă la toată aria de
armătură a secţiunii. Stop
De exemplu se poate alege varianta armării 2 22+2 20, ceea ce înseamnă
760+628=1388 mm2
care acoperă necesarul de 1279,36 mm2.
500
500
2 22
2 20
2 22
2 20
Page 22
Bibliografie
1. *** - Notiţe de curs şi aplicaţii-anul II ACH şi anul II ISPM
2. E.Enache – Ghid pentru calculul elementelor de beton armat, UTCB 2013