Examples of Tasks from CCSS Edition Course 2, Unit 3

Coordinate Methods

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Examples of Tasks from CCSS Edition Course 2, Unit 3

Getting Started The tasks below are selected with the intent of presenting key ideas and skills. Not every answer is complete, so that teachers can still assign these questions and expect students to finish the tasks. If you are working with your student on homework, please use these solutions with the intention of increasing student understanding and independence. A list of questions to use as you work together, prepared in English and Spanish, is available. Encourage students to refer to their class notes and Math Toolkit entries for assistance. Comments in red type are not part of the solution.

As you read these selected homework tasks and solutions, you will notice that some very sophisticated communication skills are expected. Students develop these over time. This is the standard for which to strive. See Research on Communication.

The Geometry and Trigonometry page might help you follow the conceptual development of the ideas you see in these examples.

Main Mathematical Goals for Unit 3 Upon completion of this unit, students should be able to:

• use coordinates to represent points, lines, and geometric figures in a plane and on a computer or calculator screen. (usar coordenadas para representar puntos, líneas y figuras geométricas en un plano y sobre una pantalla de una computadora o una calculadora.)

• use coordinate representations of shapes to analyze and reason about their properties. (usar representaciones de coordenadas de formas para analizar y razonar sobre de sus propiedades.)

• use coordinate methods and programming techniques as a tool to implement computational algorithms, to model rigid transformations and similarity transformations, and to investigate properties of shapes that are preserved under various transformations. (usar métodos de coordenadas y técnicas de programación como una herramienta para aplicar los algoritmos computacionales, modelar las transformaciones rígidas y las transformaciones de similtud, y para investigar las propiedades de las formas que se conservan en virtud de diversas transformaciones.)

• build and use matrix representations of polygons and transformations and use these representations to create computer animations (construir y usar las representaciones y las transformaciones de matrices de polígonos y utilizar estas representaciones para crear la animación en la computadora.)

What Solutions are Available? Lesson 1: Investigation 1—Applications Task 3 (p. 181), Connections Task 13 (p. 186),

Reflections Task 21 (p. 189), Review Task 35 (p. 193) Investigation 2—Applications Task 9 (p. 184), Reflections Task 24 (p. 189), Extensions Task 32 (p. 192), Review Task 38 (p. 193) Investigation 3—Connections Task 20 (p. 188), Extensions Task 33 (p. 192), Review Task 41 (p. 194)

http://www.wmich.edu/cpmp/parentresource3/questions.html

http://www.wmich.edu/cpmp/parentresource3/questions-s.html

http://www.wmich.edu/cpmp/parentresource3/researchoncommunication.html

http://www.wmich.edu/cpmp/parentresource3/geometrystrand.html

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Lesson 2: Investigation 1—Applications Task 1 (p. 217), Applications Task 2 (p. 217), Applications Task 3 (p. 218), Applications Task 5 (p. 218), Extensions Task 29 (p. 227), Review Task 36 (p. 229) Investigation 2—Applications Task 8 (p. 220), Applications Task 10 (p. 221), Connections Task 15 (p. 223), Extensions Task 33 (p. 228), Review Task 40 (p. 230) Investigation 3—Applications Task 12 (p. 222), Connections Task 16 (p. 223), Connections Task 20 (p. 225), Extensions Task 35 (p. 229), Review Task 43 (p. 230)

Lesson 3: Investigation 1—Applications Task 1 (p. 243), Applications Task 3 (p. 244) Connections Task 7 (p. 245) Investigation 2—Applications Task 5 (p. 244), Connections Task 11 (p. 246), Extensions Task 19 (p. 249), Review Task 24 (p. 251), Review Task 25 (p. 251)

Selected Homework Tasks and Expected Solutions (These solutions are for tasks in the CCSS Edition book.

For homework tasks in books with earlier copyright dates, see Helping with Homework.)

Lesson 1, Investigation 1, Applications Task 3 (p. 181) Students should enter the program in their calculators as a time-saver since they will regularly need to find distances. It is also recommended, but not required, that students enter the slope and midpoint programs into their calculators. Some students have difficulty getting a program to run because of syntax errors. Those students may need extra help by the teacher or a group member. Troubleshooting can be very educational. (Los estudiantes deben poner el programa en sus calculadoras como un ahorro de tiempo-ya que regularmente tienen que encontrar las distancias. También se recomienda, pero no es un requisito, que los estudiantes inscriban el programa de la pendiente y el punto medio en sus calculadoras. Algunos estudiantes tienen dificultad en ejecutarse un programa a causa de errores de sintaxis. Puede ser que esos estudiantes necesiten ayuda adicional del profesor o un miembro del grupo. Solucionando problemas nuevos puede ser muy educativo.)

a. This program uses the algorithm by inputting the coordinates of the two points, calculating the distance, and outputting the result of the calculation. (Este programa utiliza el algoritmo por introduciendo las coordenadas de los dos puntos, cálculando la distancia, y resultando las calculaciones en la salida.)

b. (A, B) and (C, D)

c. The formula in the processing adds the differences squared of the x-coordinates and y-coordinates and then takes the square root of that sum. (La fórmula en la tramitación añade las diferencias cuadradas de las coordenadas x y las coordenadas y luego toma la raíz cuadrada de dicha suma.)

d. Students should enter the program and verify that it runs. (Los estudiantes deben entrar el programa y comprobar que funciona.)

http://www.wmich.edu/cpmp/parentresource3/helpingwithhomework.html

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Lesson 1, Investigation 1, Connections Task 13 (p. 186)

a.

b. Visually, Emily and Miguel have scores closer to Section A’s mean scores, whereas Jim and Anne have scores closer to Section B’s mean scores. Students may choose to assign Gloria to either section since visually there seems to be little difference in the distances from her ordered pair to the mean points for Sections A and B. (Visualmente, Emily y Miguel tienen las puntuaciones más cerca a las puntuaciones medias de la Sección A, mientras que Jim y Anne tienen puntajes más cerca a las puntuaciones medias de la Sección B. Los estudiantes pueden optar por asignar a Gloria a cualquier sección, parece haber poca diferencia en las distancias de su par ordenado a la media de puntos para las secciones A y B.)

c–d. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 1, Investigation 1, Reflections Task 21 (p. 189) To show two triangles are congruent by using the coordinates of the vertices, you would use the distance formula to determine whether or not the corresponding sides were the same length. (Para mostrar que dos triángulos son congruentes con las coordenadas de los vértices, utilizaría la fórmula de distancia para determinar si las partes correspondentes eran de las mismas longitudes o no.)

Lesson 1, Investigation 1, Review Task 35 (p. 193) a. If color is preserved, there is horizontal translation symmetry of dark sections to dark sections and

light sections to light sections. There is also 180˚ rotational symmetry about the points where the vertical and horizontal white bars intersect. (Si se conserva el color, hay simetría de traducción horizontal de las secciones oscuras a oscuras y de las secciones claras a claras. Existe también la simetría de una rotación de 180˚ sobre los puntos donde las barras verticales y horizontales se cruzan.)

b. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 1, Investigation 2, Applications Task 9 (p. 184)

a. M( b2 , c2 ); N( a!+!b2 , c2 )

b. The slope of MN is 0a2

= 0 and the slope of AB is 0. So, the lines are parallel. (La pendiente de MN

es 0a2

= 0 y la pendiente de AB es 0. Entonces, las líneas son paralelas.)

c. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

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Lesson 1, Investigation 2, Reflections Task 24 (p. 189) • For the slope, the order in which you subtract makes no difference as long as the first coordinate in

each difference comes from the same point. If you mix points, the slopes computed are not correct. (Para la pendiente, el orden en que usted resta no hace ninguna diferencia en cuanto que la primera coordenada en cada diferencia venga del mismo punto. Si usted mezcla los puntos, las pendientes computadas no son correctas.)

• For the distance formula, it makes no difference whether you evaluate x1 – x2 or x2 – x1 since the square of each is the same. The same can be said for the y values. (Para la fórmula de distancia, no hay diferencia con la evaluación de x1 – x2 o x2 – x1 desde que la cuadrada de cada una es la misma. Se puede decir lo mismo para los valores de y.)

Lesson 1, Investigation 2, Extensions Task 32 (p. 192) a. The taxi-distance between points O and P is 8. (La distancia del taxi entre los puntos O y P es 8.)

The taxi-distance between points T and R is 13. (La distancia del taxi entre los puntos T y R es 8.)

b–c, e–f. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

d.

The remainder of this part is to be completed by the student. (El resto es para ser completado por el estudiante.)

Lesson 1, Investigation 2, Review Task 38 (p. 193) a. x2 + 6x + 9

b–c. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

d. p2 – 36

Lesson 1, Investigation 3, Connections Task 20 (p. 188) a. i. The grid represents the pairs of numbers for the miles away

from the police post traveled by the two officers. The horizontal axis represents Highway 45. The vertical axis represents Highway 20. (0, 0) represents the state police post. (El cuadro representa los pares de números para las millas de distancia del puesto de policía que viajaron los oficiales. El eje horizontal representa la Autopista 45. El eje vertical representa la Autopista 20. (0, 0) representa el puesto de la policía del estado.)

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ii. Officer 1 is at point O1(0, y) and Officer 2 is at point O2(x, 0). Point P represents the officers’ two locations: x-coordinate for Kelley and y-coordinate for Jacobs. (El Oficial 1 está en el punto O1(0, y) y el Oficial 2 está en el punto O2(x, 0). El punto P representa la ubicación de los dos oficiales: la coordenada x para Kelley y la coordenada y para Jacobs.)

b. If the signal can be relayed through the police station, then any point in the shaded square indicates a point (O2, O1) where the officers can talk to each other. Using a geometric interpretation of probability, use the figure at the right to determine P(less than 25). (Si la señal puede ser transmitida a través de la estación de policía, entonces cualquier punto del cuadro oscuerecido indica un punto (O2, O1) donde los oficiales pueden hablar uno al otro. Usando una interpretación geométrica de la probabilidad, utiliza la figura a la derecha para determinar P(menos de 25).)

c. The officers’ two locations are identified by the ordered pair (x, y). If x2 !+!y2 ≤ 25 or x2 + y2 ≤ 625, the distance between the two officers is less than 25 miles. Thus, a point inside the quarter circle will indicate positions for Officer Jacobs and Officer Kelley such that they are less than 25 miles apart. Using a geometric interpretation of probability, use the figure at the right to determine P(less than 25). (Las ubicaciones de los dos oficiales están identificadas por el par ordenado (x, y). Si x2 !+!y2 ≤ 25 o

x2 + y2 ≤ 625, la distancia entre los dos oficiales es menos de 25 millas. Por lo tanto, un punto en el interior del cuarto círculo indicará las posiciones para el Oficial Kelley y el Oficial Jacobs y de tal modo que son menos de 25 millas de distancia. Usando una interpretación geométrica de la probabilidad, utiliza la figura a la derecha para determinar P(menos de 25).)

Lesson 1, Investigation 3, Extensions Task 33 (p. 192) To construct perpendicular bisectors in CPMP-Tools, select a segment that forms one side of the triangle and construct the midpoint. Then select both the side of the triangle and the midpoint to construct the perpendicular bisector. Once the three perpendicular bisectors are constructed, select them and construct the intersection point G. (See the screen on the left below.) Then construct , , and using the segment tool and find the lengths of these segments as shown on the second screen below. (Para construir mediatrices perpendiculares en CPMP-Tools, seleccione un segmento que constituye uno de los lados del triángulo y construye el punto medio. Luego, seleccione el lado del triángulo y el punto medio para construir la mediatriz perpendicular. Una vez que las tres mediatrices perpendiculares se hayan construidas, seleccionelas y construir el punto de intersección G. (ver la pantalla a la izquierda abajo.) Luego construir , , y utilizando la herramienta del segmento y encontrar las longitudes de estos segmentos como se muestra en la segunda pantalla abajo.)

http://www.wmich.edu/cpmp/CPMP-Tools/index.html

http://www.wmich.edu/cpmp/CPMP-Tools/index.html

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a. The three perpendicular bisectors appear to intersect at one point. (Click and drag a vertex of the triangle to quickly explore any cases.) (Las tres mediatrices perpendiculares parecen cruzarse en un punto. (Haga clic y arrastre un vértice del triángulo para explorar rápidamente los casos.))

b–d. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 1, Investigation 3, Review Task 41 (p. 194) a. 30

(22)(10) = C(28)(12) , so C ≈ $45.82.

b. 30 = k(22)(10), so k = 322 ≈ 0.136. The constant of proportionality indicates that it costs 13.6¢ per square foot to paint the walls. (La constante de proporcionalidad indica que cuesta 13,6¢ por pie cuadrado para pintar las paredes.)

Lesson 2, Investigation 1, Applications Task 1 (p. 217) a, c, d. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

b.

A 90˚ counterclockwise rotation about the origin. (Una rotación de 90˚ contrahorario sobre el origen.)

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Lesson 2, Investigation 1, Applications Task 2 (p. 217) a. ii. The scale on this grid is 2. (La escala del cuadro es 2.)

ai, aiii, b. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 2, Investigation 1, Applications Task 3 (p. 218) a. iii. The scale on this grid is 2. (La escala del cuadro es 2.)

ai, aii, b. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 2, Investigation 1, Applications Task 5 (p. 218) a. Triangle PQR is an isosceles right triangle. The slope of PQ is 0.5 and the slope of QR is –2. Since

the slope of QR is the opposite reciprocal of the slope of PQ , the lines are perpendicular. Alternatively, students can use the converse of the Pythagorean Theorem to conclude that ∠Q is a right angle. Since PQ = QR = 20 , the triangle is isosceles. (El triángulo PQR es un triángulo isosceles rectángular. La pendiente de PQ es 0,5 y la pendiente de QR es -2. Dado que la pendiente de QR es el recíproco contrario de la pendiente de PQ , las líneas son perpendiculares. Alternativamente, los estudiantes pueden utilizar el correspondiente del Teorema de Pitágoras a la conclusión de que ∠Q es un ángulo rectángular. Que PQ = QR = 20 , el triángulo es isósceles).

b, cii, ciii, d–e. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

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c. i.

Lesson 2, Investigation 1, Extensions Task 29 (p. 227) a. The slope of the line containing preimage points (a, b) and (c, d) is d!–!bc!–!a . The coordinates of the

image points under a 180˚ rotation about the origin are (–a, –b) and (–c, –d). The slope of the line containing the image points is –d!+!b–c!+!a = –1(d!–!b)–1(c!–!a) = d!–!bc!–!a . The image and preimage lines have equal slopes and so they must be parallel. (La pendiente de la línea que contiene puntos “preimage” (a, b) y (c, d) se d!–!bc!–!a . Las coordenadas de la imagen de puntos en una rotación de 180˚ sobre el origen son (–a, –b) y (–c, –d). La pendiente de la línea que contiene la imagen es –d!+!b–c!+!a = –1(d!–!b)–1(c!–!a) = d!–!bc!–!a . La imagen y las líneas de “preimage” tienen pendientes iguales y por eso tienen que ser paralelas.)


Lesson 2, Investigation 1, Review Task 36 (p. 229) a. $1,576.52 b. 70 years (70 años)

Lesson 2, Investigation 2, Applications Task 8 (p. 220) a.

Size transformation centered at the origin of magnitude 3 (Tamaño de la transformación centrada en el origen de magnitud 3.)


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Lesson 2, Investigation 2, Applications Task 10 (p. 221) a–b.

c–f. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 2, Investigation 2, Connections Task 15 (p. 223) a. A′ = (kx1, ky1) and B′ = (kx2, ky2)

b. Ivan is correct. (Ivan tienen razón.) distance A′B′ = (kx1!–!kx2)2!+!(ky1!–!ky2)2 (1) Distance formula (fórmula de distancia) distance A′B′ = k2(x1!–!x2)2!+!k2(y1!–!y2)2 (2) Distributive property and Power of a Product (la propidad distributiva y la potencia de un producto) (ab)2 = a2b2 distance A′B′ = k (x1!–!x2)2!+!(y1!–!y2)2 (3) distance A′B′ = k • (distance AB) (4)

c. The slope of AB! "##

is y1!–!y2x1!–!x2.

The slope of !A !B! "###

is …

d. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 2, Investigation 2, Extensions Task 33 (p. 228)

a.

The image is a rectangle with double the length of the base and triple the height of the square. (La imagen es un rectángulo con el doble de la longitud de la base y el triple de la altura del cuadrado.)

b. Only the point A(0, 0) is its own image. (Sólo el punto A(0, 0) es su propia imagen.)

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c. Yes. For example, suppose we take the points (0, 0), (2, 1), and (4, 2) (points need not be restricted to the square ABCD). These points are collinear, as all three fall on the line y = 12 x. The transformation sends these points to (0, 0), (4, 3), and (8, 6), respectively. These points are also collinear, as all three fall on the line y = 34 x. Students should check this result by trying their own set of three collinear points. (Sí. Por ejemplo, supongamos que tenemos los puntos (0, 0), (2, 1), y (4, 2) (los puntos no se limitan al cuadrado ABCD). Estos puntos están alineados, ya que los tres entran en la línea y = 12 x. La transformación envía estos puntos a (0, 0), (4, 3), y (8, 6), respectivamente. Estos puntos también son colineales, como los tres caen en la línea y = 34 x. Los estudiantes deben comprobar este resultado por intentar su propio conjunto de tres puntos alineados.)

Students may also reason through this problem abstractly. In this case, their answer to Part c might look like the following: (También los estudiantes pueden solucionar este problema a través de la razón abstracta. En este caso, su respuesta a la Parte c puede tener un aspecto como el siguiente):

Yes. If the collinear preimage points are (a, b), (c, d), and (e, f), the image points are (2a, 3b), (2c, 3d), and (2e, 3f). The slopes of the line segments containing the image points can be

represented by 3(b!–!d)2(a!–!c) , 3(d!–! f )2(c!–!e) , and 3(a!–!e)2(b!–! f ) . Since the preimage points are collinear and

b!–!da!–!c , d!–! fc!–!e , and a!–!eb!–! f are therefore equal, the image points are collinear. (Sí. Si los puntos

colineales “preimage” son (a, b), (c, d), y (e, f), los puntos de la imagen son (2a, 3b), (2c, 3d), y (2e, 3f). Las pendientes de los segmentos de línea que contienen los puntos de la imagen pueden

ser representados por 3(b!–!d)2(a!–!c) , 3(d!–! f )2(c!–!e) , y 3(a!–!e)2(b!–! f ) . Los puntos de “preimage” están alineados y

b!–!da!–!c , d!–! fc!–!e , y a!–!eb!–! f y por lo tanto son iguales, los puntos de la imagen están alineados.)

d–f. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 2, Investigation 2, Review Task 40 (p. 230) a. 4 • 500 = 2,000

b. 1,800

c–f. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

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Lesson 2, Investigation 3, Applications Task 12 (p. 222) a–b. This method correctly performs the size transformation

centered at A(2, 1). The center A is moved to the origin by the initial translation (x, y) → (–2, –1); this also moves the position of rPQR to r1. Then the size transformation is applied using the center (0, 0). Finally, the image r2 along with the center is translated back, using the opposite of the original translation. This triple composition sends the point (2, 1) to its original position. (Este método realiza correctamente el tamaño de transformación centrada en A(2, 1). El centro A se mueve a la origen de la traducción inicial (x, y) → (–2, –1), lo que también se mueve la posición de rPQR a r1. Entonces el tamaño de la transformación se aplica utilizando el centro (0, 0). Por último, la imagen r2 junto con el centro se traduce de vuelta, utilizando el contrario de la traducción original. Esta triple composición envía el punto (2, 1) a su posición original.)


Lesson 2, Investigation 3, Connections Task 16 (p. 223) a. i. (h, k) = (–5, 0)

A(a, b) → A1(a – 5, b)

ii. A2(5 – a, b)

iii. (h, k) = (5, 0) A′(10 – a, b)

iv. (x, y) → (10 – x, y)


Lesson 2, Investigation 3, Connections Task 20 (p. 225) a. Counterclockwise

rotation of 90˚ Size transformation (x, y) → (–y, x) → (–ky, kx)

Counterclockwise Size transformation rotation of 90˚ (x, y) → _______________ → _______________

b. Size transformation Translation (a, b) (x, y) → (kx, ky) → (kx + a, ky + b)

Translation (a, b) Size transformation (x, y) → _______________ → _______________

The remainder of this part is to be completed by the student. (El resto es para ser completado por el estudiante.)


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Lesson 2, Investigation 3, Extensions Task 35 (p. 229) a. Translate C(a, b) to origin (x, y) → (x – a, y – b)

Size transformation → (k(x – a), k(y – b)) Translate back to C(a, b) → (k(x – a) + a, k(y – b) + b) = (kx – (k – 1)a, ky – (k – 1)b)

b–c. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 2, Investigation 3, Review Task 43 (p. 230) a. Mean time: 13.8 minutes

Median time: 14 minutes

b. One possible set of 5 times is 9, 9, 20, 21, and 22. Mean time: 14.6 minutes Median time: 14 minutes There are many solutions to this problem. Students should work to find another set of five times that leads to the desired result. (Hay muchas soluciones a este problema. Los estudiantes deben trabajar para encontrar otro conjunto de cinco veces que lleva al resultado deseado.)


a. 90˚ clockwise rotation matrix: 0 1–1 0!

"#

$

%&

b. As can be seen by the diagram, the image of P is Q and the image of R is P . The coordinate of Q can be found by symmetry. Thus, the 45˚ clockwise rotation matrix is

22

22

– 22

22

!

"

###

$

%

&&&

. (Como se puede ver en el diagrama, la imagen

de P es Q y la imagen de R es P. La coordenada de Q se puede encontrar por la simetría. Así, la matriz de rotación 45˚

en sentido horario es 22

22

– 22

22

!

"

###

$

%

&&&

.)



a. The matrix representation for a reflection across the x-axis is 1 00 –1!

"#

$

%& . (La matriz de representación

de una reflexión a través del eje x es 1 00 –1!

"#

$

%& .)

b, d. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

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c. Hint: The composite transformation can be found by multiplying the matrices for Parts a and b. Students should think about how the order for the matrix product is determined. (Pista: La transformación compuesto se puede encontrar multiplicando las matrices para las Partes a y b. Los estudiantes deben pensar en cómo se determina la orden del producto de la matriz.)

Lesson 3, Investigation 1, Connections Task 7 (p. 245) a. P′( 12 , 3

2 ) and Q′(– 32 , 12 )

b. a bc d!

"#

$

%&10

!

"#

$

%& =

1232

!

"

###

$

%

&&&

, so a = 12 and c = 32 .

a bc d!

"#

$

%&01

!

"#

$

%& =

_________________

R60˚ = 12 ___32 ____

!

"

##

$

%

&&



a. (1) 51 1 6 62 5 5 2!

"#

$

%&

(2) 5 00 5!

"#

$

%&1 1 6 62 5 5 2!

"#

$

%&

Both ways result in 5 5 30 3010 25 25 10!

"#

$

%& .


Lesson 3, Investigation 2, Connections Task 11 (p. 246)

a. The transformation matrix for a reflection across the x-axis is 1 00 –1!

"#

$

%& . Since

1 00 –1!

"#

$

%&

2 =

1 00 1!

"#

$

%& = I,

the transformation matrix for a reflection across the x-axis is a “square root” of I. (La matriz de

transformación de una reflexión a través del eje x es 1 00 –1!

"#

$

%& . Desde

1 00 –1!

"#

$

%&

2 =

1 00 1!

"#

$

%& = I, la

matriz de transformación para una reflexión en todo el eje x es una “raíz cuadrada” de I)


c. Since the image of each point under the composition of a line reflection (half-turn) with itself is the original point, any matrix that represents a line reflection would be a “square root” of I. Thus, there are an infinite number of “square roots” of I. (Porque la imagen de cada punto por debajo de la composición de una línea de reflexión (media vuelta) con ella misma es el punto original, cualquier matriz que representa una línea de reflexión sería una “raíz cuadrada” de I. Por lo tanto, hay un número infinito de “raíces” de I.)

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Lesson 3, Investigation 2, Extensions Task 19 (p. 249)

a. The product is x!+!2y!+!31

!

"

###

$

%

&&&

. This is the homogeneous coordinate representation of the image of (x, y)

under a translation with horizontal component 2 and vertical component 3. (El producto es x!+!2y!+!31

!

"

###

$

%

&&&

.

Esta es la coordinación de la representación homogénea de la imagen de (x, y) en una traducción con el componente horizontal de 2 y componente vertical de 3.)

b. 1 0 50 1 –30 0 1

!

"

###

$

%

&&&

c–e. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 3, Investigation 2, Review Task 24 (p. 251) a. y = – 32 x + 9

b. 1 0 50 1 –30 0 1

!

"

###

$

%

&&&


Lesson 3, Investigation 2, Review Task 25 (p. 251) a. Σ x = $376.04. This tells us that during this four-week period Raul’s total take-home pay was $376.04.

(Σ x = $376.04. Esto nos dice que durante estas cuatro semanas el pago total que recibió Raúl fue $376.04.)


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