Page 1
1
ตอนท 1 ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห
1.1 ระยะหางระหวางจด 2 จดใดๆ กรณท 1 หาก x1 = x2 , d = | y1 – y2 | หรอ y1 = y2 , d = | x1 – x2 |
กรณท 2 หาก x1 ≠ x2 และ y1 ≠ y2
d = 2)2y1(y2)2x1(x −+−
1. จงหาระยะหางระหวางจด 2 จดตอไปน 1. P1 (2 , 4 ) , P2 (2 , –5) 2. P1 (3 , 7) , P2 (6 , 7) 3. P1 (4 , –1) , P2 (7 , –3) 4. P1 (4 , 5) , P2 (1 , 1) ตอบ 1) 9 2) 3 3) 13 4) 5 วธทา 2. ถาระยะหางระหวางจด (2 , 3) และ ( k , 0 ) เปน 5 หนวย จงหาคา k ( 6,–2 ) วธทา
(x2 , y2)
•
•
d (x1 , y1)
คณตศาสตร บทท 1 เรขาคณตว เคราะห
SKZ
Typewriter
แนวขอสอบยอยครงท 1 ( 15 คะแนน)
Page 2
2
3. จด (–4 , 3) อยหางจากแกน y เปนระยะกหนวย (4) วธทา 4. รปวงกลมวงหนงมจดศนยกลางทจด (4 , –3) และมแกน X เปนเสนสมผส จงหาจดสมผส
และรศมวงกลม [ (4,0) , 3 ] วธทา 5. จงหาคา y ถา (4 , y) อยหางจากจด (–5 , 2) และ (13 ,–6) เปนระยะเทากน (–2) วธทา
Page 3
3
1.2 จดกงกลางระหวางจด 2 จดใด ๆ
6. จงหาจดกงกลางระหวางจด (–4 , 6) และ (5 , –2) ( )2 ,21
วธทา 7. จด M เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง PQ จงหาพกดของจด P ถา
(1) M มพกดเปน (1 , 2) และ Q มพกดเปน (3 , 4) (–1 , 0) (2) M มพกดเปน (5 , 6) และ Q มพกดเปน (15 ,–4) (–5 , 16) วธทา
(x2 , y2)
•
•
(x1 , y1) •
)y, x( = )22y1y
,22x1x
(++
Page 4
4
8. ให A(2 , 7) , B(–5 , 6) เปนจดปลายของสวนของเสนตรง จงหาพกดของจดบนสวนของ เสนตรงน ซงอยหางจาก A เทากบ 4
3 ของระยะทางระหวาง A และ B (–3.25 , 6.25)
วธทา
1.3 จดแบงระหวางจด 2 จด ดวยอตราสวนใดๆ
9. จงหาพกดของจดแบงระหวางจด ( 5 , 3 ) และ ( 1 , 2 ) ซงแบงระยะทางระหวางจด 2 จด เปนอตราสวน 2 : 3 ( 5
13,517 )
วธทา
(x2 , y2)
•
•
(x1 , y1) •
)y, x( = )1m2m 2y1m1y2m
,1m2m 2x1m1x2m
( ++
++
m1
m2
Page 5
5
10. จงหาจดทอยหางจากจด (3 , 5) เปน 2 เทาของระยะหางจากจด (2 , 4) และจดนอยบน เสนเชอมจดทงสอง ( 3
13,37 )
วธทา
1.4 การหาพนทรปหลายเหลยม ตวอยาง จดยอดของ ΔABC คอจด A(5 , 7) , B(8 ,3) และ C (2 , 2) จงหาพนท Δ น วธทา
จาก พนท Δ = 21 2 5 8 2
2 7 3 2
= 21 | 72 – 45 |
พนท Δ = 13.5 ตารางหนวย
11. จงหาพนทรป Δ ทมจดยอดเปน (4 , 5) , (4 , –3) , (–5 , –3) (36) วธทา
+16 +15 +14 = 45
+6 +56 +10 = 72
Page 6
6
12. จงหาพนทรป ทมจดยอดเปน (–4 , 3) , (4 , 5) , (8 , 11) , (–8 , 7) (60)
วธทา
1.5 การหาจดตดเสนมธยฐาน
ตวอยางท 4. จดยอดของ ΔABC คอจด A(5 , 7) , B(8 ,3) และ C (2 , 2) จงหาจดตดกนของ
เสนมธยฐานของ Δ รปน วธทา หาจดตดมธยฐานจาก
)y,x( = )33y2y1y
,33x2x1x
( ++++
= )32 3 7,3
2 8 5( ++++
)y,x( = (5 , 4)
13. จดยอดของ ΔABC คอจด A (5 , 7) , B (8 , 3) และ C (2 , 2) จดตดกนของเสนมธยฐาน ของ Δ รปนจะอยหางจากจดกาเนดเทาไร ( 41 )
วธทา
Page 7
7
ตอนท 2 เสนตรง
2.1 การหาความชนเสนตรง เราสามารถหาความชนของเสนตรงใด ๆ ไดจาก
m = 1x2x 1y2y
−−
เมอ m คอ ความชนเสนตรง
หรอ m = tanθ
เมอ θ คอ มมทเสนตรงเอยงกระทากบแกน + x ในทศทวนเขมนาฬกา
14. จงหาความชนของเสนตรงทผานจดตอไปน 1. (0 , 0) , (2 , 6) 2. (3 , 4) , (6 , –5) 3. (3 , 5) , (4 , 5) 4. (4 , 6) , (4 , 7)
วธทา ( 1. 3 2. –3 3. 0 4. หาคาไมได )
15. เสนตรงเสนหนงมความเอยงเปนมม 60o จะมความชนเทาไร ( 3 ) วธทา 16. ให P1 (5 , 1) และ P2 (8 , k) เสนตรงทผานจดทงสองมความชน 3
4 จงหาคา k (5)
วธทา
Page 8
8
2.2 เสนขนาน และ เสนตงฉาก 1) เสนตรงทขนานกน จะมความชนเทากนเสมอ 2) หากเสนตรง 2 เสน ตงฉากกน เมอนาความชน ของเสนตรงทงสองมาคณกนจะได
ผลคณเปน –1 เสมอ 5(– 5
1 ) = –1
–8 ( 81 ) = –1
(– QP )( P
Q ) = –1
17. เสนตรงทตงฉากกบเสนตรงทมความชนตอไปน จะมความชนเทาใด 1. 4 2. 4
3 3. 65 4. 4
1 5. km
ตอบ 1] 41− 2] 3
4− 3] 56− 4] − 4 5] mk−
18. เสนตรงทผานจด (K ,7) และ (–3 , –2) ขนานกบเสนตรงทผานจด (3 , 2) และ (1 , –4) จงหาคา K (0)
วธทา 19. เสนตรงผานจด (K ,7) และ (–3 , –2) ตงฉากกบเสนตรงทผานจด (3 , 2) และ (1 , –4)
จงหาคา K (–30 ) วธทา
Page 9
9
2.3 มมระหวางเสนตรง 2 เสนตดกน
หาไดจากสมการ
tan θ = 2m . 1m 1
2m 1m+−
เมอ θ คอ มมทวดจากเสนตรงความชน m2 วดทวนเขมนาฬกาถงเสนตรงท มความชน m1
20. เสนตรงสองเสนซงมความชน m1 = 3 , m2 = 1 / 3 จงหามมทวดจากเสนตรง ความชน m2 ถงเสนตรงความชน m1 (30o)
วธทา 21. เสนตรง L1 มความชน –1 เสนตรง L2 มความชน 0 จงหามมทวดจากเสนตรง L1 ไป
ถงเสนตรง L2 (45o) วธทา
m1
m2
θ
Page 10
10
2.4 สมการเสนตรง สมการเสนตรง คอ สมการทเมอนาไปเขยนกราฟ แลวจะไดกราฟเปนรปเสนตรง สมการเสนตรง แบบท 1
x = a เมอ a คอ จานวนจรงใด ๆ สมบต 1) ตดแกน x ณ. จดท x เปน a 2) เสนตรงนจะขนานแกน y
สมการเสนตรง แบบท 2 y = b
เมอ b คอ จานวนจรงใด ๆ สมบต 1) ตดแกน y ณ. จดท y เปน b
2) เสนตรงนจะขนานแกน x
22. จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน 1. x = 8 2. x = –5 3. x = 0 วธทา 23. จงเขยนความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงตามคณสมบตทกาหนดใหตอไปน 1. ขนานกบแกน y และอยทางซายแกน y เปนระยะ 2 หนวย ( x = –2 ) 2. ขนานกบแกน y และอยหางจากจด (–2 , 0) เปนระยะ 5 หนวย ( x = 3 หรอ x = –7)
วธทา
Page 11
11
24. จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน 1. y = 8 2. y = –5 3. y = 0 วธทา 25. จงเขยนความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงตามคณสมบตทกาหนดใหตอไปน 1. ขนานกบแกน x และอยเหนอแกน x เปนระยะ 7 หนวย ( y = 7 ) 2. ขนานกบแกน x และอยหางจากจด (0 , 3) เปนระยะ 4 หนวย ( y = 7 หรอ y = –1) วธทา
สมการเสนตรง แบบท 3 y – y1 = m (x – x1)
เมอ m คอ ความชนเสนตรง (x1 , y1) คอ จดทเสนตรงนนผาน
26. จงหาความชน และจดผานอยางนอย 1 จด ของเสนตรงตอไปน 1. (y – 6) = 4 (x –8) 2. (y + 7) = 4 x 3. 4 (y + 5) = 8 (x + 9) ตอบ 1] 4 , (6,8) 2] 4 , (–7,0) 3] 2 , (–5,–9)
วธทา
Page 12
12
27. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด (3 , 1) และมความชน 21 ( x–2y–1 = 0 )
วธทา 28. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด (–1 , 2) และ (3 , 4) ( x–2y+5 = 0 ) วธทา 29. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงซงผานจด (–1 , 0) และขนานกบเสนตรงซงผาน
จด (1 , 2) และ (3 , 4) [ x–y+1 = 0 ] วธทา 30. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงซงผานจด (–1 ,–4) และตงฉากกบเสนตรงซงผาน
จด (–1 , 3) และ (–2 ,–2) [ x+5y+21 = 0 ] วธทา
Page 13
13
31. จงหาความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงเมอกาหนดความชนเปน 23 และระยะตดแกน y
เปน –5 ( 3x–2y–10 = 0 ) วธทา
สมการเสนตรง แบบท 4 y = m x + C
เมอ m คอ ความชนเสนตรง ; C คอ ระยะตดแกน y
ตวอยาง จงหาความชน ระยะตดแกน y และจดตดแกน y ของเสนตรงทมสมการเปน 2 y = 6 x – 16 วธทา จาก 2 y = 6 x – 16
22y = 2
6x – 216
y = 3 x – 8
เทยบกบ y = m x + C จะไดวา m = 3 , C = –8
ดงนน ความชนเสนตรงคอ 3 ระยะตดแกน y คอ – 8 และจดตดแกน y คอ จด ( 0 , –8 )
Page 14
14
32. จากสมการเสนตรงตอไปน เสนตรงมความชนเทาไร พรอมทงบอกจดตดแกน y ดวย
1. y = 4 x + 6 2. y = 23 x – 4 3. 4 y = 8 x – 4
ตอบ 1. 4 , (0 , 6) 2. 3/2 , ( 0 , –4 ) 3. 2 , ( 0 , –2 ) วธทา 33. จงแสดงวาเสนตรง 3y = 2x – 6 ขนานกบเสนตรง y = 3
2 x + 1
วธทา 34. จงแสดงวาเสนตรง 2x + y = 8 ตงฉากกบเสนตรง y = 2
1 x – 5
วธทา
สมการเสนตรง แบบท 5
Ax + By + C = 0
เมอ ความชน (m) = – BA
ตวอยาง 3x + 4y – 12 = 0
ความช = – 4
A = 3 B = 4 C = –12
Page 15
15
35. จงบอกความชนของเสนตรงตอไปนพรอมทงบอกจดตดแกน x และ y 1. 2x – 3y = 6 2. x – 4y = 8 3. x = 4 4. 2y + 4 = 0
ตอบ 1. 2/3 , (3,0) , (0,–2) 2. 1/4 , (8,0) , (0,–2) 3. หาไมได , (4,0) , ไมม 4. 0 , ไมม , (0 , –2)
วธทา
Page 16
16
36. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (7 , 5 ) และขนานกบเสนตรง x + 2y + 12 = 0 ( x+2y–17=0 )
วธทา 37. จงหาสมการของเสนตรงทผานจด (3 , 2) และตงฉากกบเสนตรง x + 2 y + 12 = 0 วธทา
Page 17
17
38. จงหาจดตดของเสนตรง x + y – 2 = 0 และ 2x – 3y + 1 = 0 ( 1 , 1 )
วธทา 39. จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง x – 7y – 11 = 0 และผานจดทเสนตรง
x – 7y – 11 = 0 ตดกบเสนตรง 3x + 5y – 7 = 0 [ 7x + y + 23 = 0 ] วธทา
Page 18
18
2.5 ระยะหางระหวางจดถงเสนตรง
สตรการหาระยะระหวางจดถงเสนตรง (d)
2B2AC1By1Ax
d+
++=
40. จงหาระยะระหวางเสนตรง 6x – 8y + 4 = 0 กบจด ( 2 ,–3 ) ( 4 ) วธทา
41. จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 3x – 4y + 7 = 0 และอยหางจากจด (5 ,–2) เปน
ระยะ 4 หนวย
( 3x–4y–3 = 0 , 3x–4y– 43 = 0 )
วธทา
• (x1, y1)
d
Ax + By + C = 0
Page 19
19
42. จงหาสมการของเสนตรงทขนานกบเสนตรง 4x – 3y + 26 = 0 และอยหางจากจด (8 , 8) เปนระยะ 2 หนวย
[ 4x–3y+2 = 0 , 4x–3y–18 = 0 ]
วธทา
43. จงหาสมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 12 y = 5 x – 7 และอยหางจากจด ( –1 , 2 )
เปนระยะทาง 3 หนวย [ 12x+5y+41 = 0 , 12x+5y–37 = 0 ] วธทา
2.6 สตรการหาระยะระหวางเสนคขนาน ( d )
d = 2B2A2C1C +
−
44. จงหาระยะระหวางเสนคขนานตอไปน 3x + 4y – 7 = 0 , 3x + 4y + 3 = 0 ( 2 ) วธทา
Page 20
20
45. จงหาระยะระหวางเสนคขนานตอไปน 3x– 4y –7 = 0 , 6x – 8y + 16 = 0 (3 ) วธทา 46. ถาเสนตรง 12x – 5y – 10 = 0 เปนเสนตรงทอยกงกลางระหวางเสนขนานคหนง ซง
อยหางกน 8 หนวย จงหาสมการของเสนขนานคน [ 12x–5y+42 = 0 , 12x–5y–62 = 0 ] วธทา
⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔
ตอนท 3 วงกลม
สมการวงกลมรปมาตรฐาน (x – h )2 + ( y – k )2 = r2
เมอ (h, k) เปนจดศนยกลางวงกลม และ r เปนรศมวงกลม
47. จากความสมพนธทใหกราฟเปนวงกลมตอไปน จงหาจดศนยกลางและรศมวงกลม
1. { (x , y) | ( x – 3)2 + (y – 4)2 = 49} [ (3 , 4) , 7 ]
2. { (x , y) | x2 + (y + 5)2 = 6} [ (0 , –5) , 6 ] วธทา
Page 21
21
สมการของวงกลมในรปทวไป x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
เมอ จดศนยกลางวงกลมจะเปนจด ) 2E , 2
D ( −−
รศมวงกลม = r = F4 2E2D21 −+
48. จากความสมพนธทใหกราฟเปนวงกลมตอไปน จงหาจดศนยกลางและรศมวงกลม
1. {( x, y) | x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 } [ (3 , –2) , 4 ]
2. {( x , y) | x2 + y2 + 4y = 0} [ (0 , –2) , 2 ]
3. {( x , y) | 4x2 + 4y2 + 24x = 32y } [ (–3 , 4) ,5 ] วธทา
Page 22
22
49. จงหาสมการเสนสมผสกบวงกลม x2 + y2 – 6x + 4y –12 = 0 ทจด (6 , 2) ( 3x+4y–26=0) วธทา 50. จงหาสมการของวงกลมทมจดศนยกลางอยท ( 2 , –1 ) และ รศมเทากบ 3 วธทา ( x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0)
Page 23
23
51. จงหาสมการวงกลมทมจดศนยกลางทจด (5 , –1) และเสนรอบวงยาว 14π หนวย วธทา ( x2 + y2 – 10x + 2y – 23 = 0)
52. จงหาสมการวงกลมทมจดศนยกลางเปน (3 , 4) และสมผสกบเสนตรง 2x – y + 5 = 0 วธทา (5x2 + 5y2 – 30x – 40y + 76 = 0)
Page 24
24
53. จงหาจดตดของวงกลม x2 + y2 – x – 3y = 0 และเสนตรง x + y = 1 { (1,0) , (–1,2) } วธทา
⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔
ตอนท 4 พาราโบลา
กรณท 1 (x – h)2 = 4 c (y
– k)
@
กรณนเสนโคงนอนควาหรอหงาย
แกนพา
ราขนานแกน y ไดเรกตรกซขนานแกน x
@ ถา c เปนบวกเสนโคงหงาย
ถา c เปนลบเสนโคงคว า
@
จดยอด (A) = (h , k) @
จดโฟกส (F) = (h , k + c) @
สมการของเสนไดเรกตรกซคอ
y = k – c @
ลาตสเรกตมยาว = | 4 c |
แกนสมมาตร
ไดเรกตรกซ
F = ( h , k+c)
A = ( h , k)
y = k – c
Y
X
24
Page 25
25
54. จงวาดรปคราวๆ ของพาราโบลาทสมการเปน (x – h)2 = 4 c (y – k) สมการพาราโบลา
กรณท 2 (y – k)2 = 4 c (x – h)
@ กรณนเสนโคงนอนตะแคง แกนพารา ขนานแกน x ไดเรกตรกซขนานแกน y
@ ถา c เปนบวกเสนโคงเปดขวา ถา c เปนลบเสนโคงเปดซาย @ จดยอด (A) = ( h , k ) @ จดโฟกส (F) = ( h + c , k ) @ สมการของเสนไดเรกตรกซคอ
x = h – c @ ลาตสเรกตมยาว = | 4 c |
55. จงวาดรปคราวๆ ของพาราโบลาทสมการเปน (y – k) 2 = 4 c (x – h)
แกนสมมาตร
ไดเรกตรกซ
F = ( h+c , k) A = ( h , k)
x = h – c
Y
X
25
Page 26
26
56. จงหาจดยอด จดโฟกส สมการไดเรกตก และความยาวเลตส จากสมการของพาราตอไปน 1. ( x – 7 )2 = 12 ( y – 5 ) { (7,5) , (7,8) , y = 2 } 2. y2 = 6 ( x + 4 ) { (–4,0) , (–2.5,0) , x = –5.5 } 3. x2 = 8 y { (0,0) , (0 ,2) , y = –2 }
วธทา
Page 27
27
57. จงหาจดยอด จดโฟกส สมการไดเรกตก และความยาวเลตส จากสมการของพาราตอไปน 1. y2 – 6y – 4x – 3 = 0 { (–3,3) , (–2,3) , x= –4 } 2. 2x2 – 12x – 16y + 66 = 0 { (3,3) , (3,5) , y =1 } 3. 3x2 – 12x – y + 12 = 0 { (2,0) , (2 , 12
1 ) , y = – 121 }
วธทา
Page 28
28
58(มช 35) พาราโบลา y = 42x + x + A มกราฟผานจด (2 , 0) จดโฟกสของพาราโบลาน
คอ........................................................ (-2 , -3) วธทา 59(En 38)
ขอใดตอไปนเปนสมการของเสนตรงทผานจด (1 , 6) และผานจดโฟกสของพารา
โบลา y2 – 4y – 4x = 8
1. 3x – 4y + 21 = 0
2. 4x – 3y + 14 = 0
3. 7x + 2y – 19 = 0
4. 2x + 7y – 44 = 0
(ขอ 2)
วธทา
Page 29
29
ขนตอนการหาสมการพาราโบลา 1) เขยนกราฟดคราวๆ แลวเลอกสมการพารา โดย
ถากราฟตะแคงเลอกกรณ 1 ถาคว าหงายเลอกกรณ 2 2) ตองหาจดยอด (h , k) และคา c ระวงวา ถากราฟควา หรอ ตะแคงเปดซาย c จะมคาเปนลบ
ถากราฟหงาย หรอ ตะแคงเปดขวา c จะมคาเปนบวก 3) แทนคา h , k , c ลงไปในสมการหลกทใช แลวทาสมการใหอยในรปทวไป
60. จากสงทกาหนดใหตอไปน จงหาสมการของพาราโบลา 1. จดยอด (3, 4) และโฟกส (1, 4) ( y2 + 8x – 8y – 8 = 0 )
2. ไดเรกตรก คอเสนตรง y = –4 และโฟกสอยทจด (2 , –2 ) ( x2 – 4x – 4y – 8 = 0 ) วธทา
Page 30
30
61(En 36) สมการพาราโบลา ซงมเสนตรง y = 5 เปนเสนไดเรคตรกซ และมโฟกสอยทจด ศนยกลางของวงกลม x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 คอขอตอไปน
1. x2 – 6x + 12y – 15 = 0 2. x2 – 6x – 12y + 33 = 0 3. x2 – 6x + 12y + 21 = 0 4. x2 – 6x – 12y – 3 = 0 (ขอ 1) วธทา 62(มช 39)
จงหาสมการพาราโบลาทมจดยอดอยทจดศนยกลางของวงกลม x2 – 4x+ y2+2y+4 = 0
และโฟกสอยทจด (2 , 1)
1. x2 – 4x + 8y + 12 = 0
2. x2 + 2x – 8y + 17 = 0
3. x2 + 2x + 8y – 15 = 0
4. x2 – 4x – 8y – 4 = 0
(ขอ 4)
วธทา
Page 31
31
ตอนท 5 วงร สมการวงร
กรณท 1 สมการหลก คอ 1 2b2) k y ( 2a
2) h x ( =−+−
@ แกนเอกขนานแกน x แกนโทขนานแกน y @ จดศนยกลาง = (h , k)
@ จดยอด A = (h + a , k) และ A/ = (h – a , k) @ จดโฟกส F = (h + c , k ) และ F/ = (h – c , k)
@ ความยาวของแกนเอก = 2a @ ความยาวของแกนโท = 2b
@ ผลบวกคงตว = 2a
63. จงวาดรปคราวๆ ของวงรทสมการเปน 1 2b2) k y ( 2a
2) h x ( =−+−
แกนเอก
แกนโท
C=( h , k ) * * F/=( h–c , k ) F=( h+c , k ) A=( h+a , k ) A/=( h–a , k )
Page 32
32
กรณท 2 สมการหลก คอ 1 2b2) h x ( 2a
2) k y ( =−+−
@ แกนเอกขนานแกน y แกนโทขนานแกน x @ จดศนยกลาง = ( h , k) @ จดยอด A = ( h , k+a) และ A/ = ( h , k–a) @ จดโฟกส F = ( h , k+c) และ F/ = ( h , k–c) @ ความยาวของแกนเอก = 2 a
@ ความยาวของแกนโท = 2 b @ ผลบวกคงตว = 2 a
64. จงวาดรปคราวๆ ของวงรทสมการเปน 1 2b2) h x ( 2a
2) k y ( =−+−
F/=( h , k–c )
F=( h , k+c )
A=( h , k+a )
A/=( h , k–a )
แกนเอก
แกนโทC=( h , k )
*
*
Page 33
33
เกยวกบวงรทงสองกรณ
1. a2 > b2 2. c2 = a2 – b2
เมอ c = ระยะหางจากจดศนยกลางถงโฟกส 3. ความเยองศนยกลาง (e) = ac
3.1 0 < e < 1 3.2 ถา e มคามาก วงรจะมความรมาก ถา e มคานอย วงรจะมความรนอย คอ เกอบกลม
65. จากสมการวงรตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอดความยาวแกนเอก ความยาว แกนโท ผลบวกคงตวของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสอง และความเยองศนยกลาง
1. 1 = 21025) (y + 28
23) (x −− 2. 1162) 7 y (
252x =++
วธทา
e = 0.95
e = 0.1
Page 34
34
66. จากสมการวงรตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอดความยาวแกนเอก ความยาว แกนโท ผลบวกคงตวของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสอง และความเยองศนยกลาง 1. 9x2 + y2 – 18x – 6y + 9 = 0 2. 4x2 + 9y2 – 48x – 72y + 144 = 0
วธทา
Page 35
35
ขนตอนการหาสมการวงร วาดรปคราว ๆ แลวเลอกใชสมการวงร
ตองหาจดศนยกลาง ( h , k) และหาคา a , b นาคา h , k , a , b แทนลงในสมการหลกทใช แลวทาสมการใหอยในรปทวไป
67. จงหาสมการวงรตอไปน 1. โฟกสหนง (–8 , 1) แกนโทยาว 4 หนวย จดศนยกลางคอ (0 , 1) (x2+17y2–34y–51 = 0) 2. โฟกสอยท (0 , 2 ) และ ( 0 , –2 ) ผลบวกคงตวเทากบ 6 ( 5y2+9x2–45 = 0) วธทา
Page 36
36
68. จงหาสมการวงรทมจดยอดเปน (–5 , 0) และ (5 , 0) และโฟกสหนง (2 , 0) วธทา (21x2+25y2–525 = 0) 69. จงหาสมการวงรซงกราฟตดแกน x ทจด (–4 , 0) และ (4 , 0) และตดแกน y ทจด (0 , 2)
และ (0 , –2) (x2+4y2 –16 = 0) วธทา
Page 37
37
ตอนท 6 ไฮเปอรโบลา สมการไฮเปอรโบลา
กรณท 1 สมการหลกคอ 12b2) k y (
2a2) h x ( =−−−
@ แกนตามขวางขนานแกน x แกนสงยคขนานแกน y @ จดศนยกลาง = (h , k)
@ จดยอด A = ( h + a , k) และ A′ = ( h – a , k)
@ จดโฟกส F = ( h + c , k) และ F′ = ( h – c , k) @ ความยาวของแกนตามขวาง = 2a @ ความยาวของแกนสงยค = 2b @ ผลตางคงตว = 2a
@ สมการเสนกากบหาจาก y = ± ab x
70. จงวาดรปคราวๆ ของไฮเปอรโบลาทสมการเปน 12b2) k y (
2a2) h x ( =−−−
Y
X
เสนกากบ
เสนกากบ
C=( h , k )
F/=( h–c , k ) F=( h+c , k ) A=( h+a , k ) A/=( h–a , k ) * *
แกนสงยค
แกนตามขวาง
Page 38
38
กรณท 2 สมการหลกคอ 12b2) h x (
2a2) k y ( =−−−
@ แกนตามขวางขนานแกน y แกนสงยคขนานแกน x @ จดศนยกลาง = (h , k)
@ จดยอด A = (h , k + a) และ A/ = (h , k – a ) @ จดโฟกส F = (h , k + c) และ F/ = (h , k – c )
@ ความยาวของแกนตามขวาง = 2a @ ความยาวของแกนสงยค = 2b
@ ผลตางคงตว = 2a
@ สมการเสนกากบหาจาก y = ± ba x
เงอนไขของสมการไฮเปอรโบลาทงสองกรณ c2 = a2 + b2
เมอ c = ระยะหางจากจดศนยกลางถงโฟกส
แกนตามขวาง
X
Y
แกนสงยค
เสนกากบ เสนกากบ
* F/=( h , k–c
* F=( h , k+c )
A/=( h , k–a )
C=( h , k )
A=( h , k–a )
Page 39
39
71. จงวาดรปคราวๆ ของไฮเปอรโบลาทสมการเปน 12b2) h x (
2a2) k y ( =−−−
72. จากสมการไฮเปอรโบลาน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอด ความยาวแกนตามขวาง
ความยาวแกนสงยค และ ผลตางคงตวของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสอง
1. 1 = 2102) 5 (y
2823) (x −−− 2. 1 = 16
2) 7 x (252y +−
วธทา
Page 40
40
73. จากสมการไฮเปอรโบลาน จงบอกจดศนยกลาง ความยาวแกนตามขวาง แกนสงยค จด ยอด จดโฟกส และ ผลตางคงตว 1. y2 – 6x2 + 2y + 36x = 59 2. 2x2 – 3y2 – 20x – 24y – 4 = 0
วธทา
Page 41
41
ขนตอนการหาสมการไฮเปอรโบลา วาดรปคราว ๆ แลวเลอกใชสมการวงร
ตองหาจดศนยกลาง (h , k) และหาคา a , b นาคา h , k , a , b แทนลงในสมการหลกทใช แลวทาสมการใหอยในรปทวไป
74. จงหาสมการไฮเปอรโบลาในแตละขอตอไปน 1. จดศนยกลาง (–7, 0) โฟกสหนงอยทจดกาเนดแกนตามขวางยาว 6 หนวย
2. จดศนยกลางอยบนเสนตรง y = 4 จดยอดหนงคอ (0 , 2) และโฟกสหนงคอ (0 , 1) วธทา
Page 42
42
75(En 38) ไฮเพอรโบลาทมจดยอดท (3 , 2) และ (3 , –4) โฟกสท (3 , –6) มสมการตรงกบ ขอใดตอไปน
1 9
23 x 16
21 +y 1. =
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1 9
23x 16
21 y 2. =
+−
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1 16
23 +x 9
21 y 3. =−− ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1 16
23 x 9
21 +y 4. =
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
(ขอ 4)
วธทา 76. จงหาสมการเสนสมผสกราฟวงกลม x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 ทจด (6 , 0) วธทา ( 4x + 3y – 24 = 0)
Page 43
43
77. จงหาสมการเสนตรงทสมผสกราฟพาราโบลา y = x2 – 3x – 4 ทจด (2 , –6) วธทา ( y = x – 8 )
78. จงหาสมการของเสนสมผสกราฟวงร 252y +
92x = 1 ทจด ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ 3 , 5
12
วธทา (60x + 27y – 225 = 0 )
Page 44
44
79. จงหาสมการของเสนสมผสกราฟไฮเปอรโบลา 92x –
162y = 1 ทจด ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
316 , 5
วธทา ( 5x + 3y – 9 = 0 )
หลกการพจารณา
รปกราฟจากสมการ
จากสมการในรป Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
เมอ A และ C ไมเปนศนยพรอมกน
(1) ถา A ⋅ C = 0 เปนสมการพาราโบลา
(2)
ถา A = C เมอ A ≠ 0 และ C ≠ 0 เปนรปวงกลม
(3)
ถา A ≠ C และ AC > 0 เปนรปวงร
(4) ถา A ≠ C และ AC < 0 เปนรปไฮเปอรโบลา
80. จงบอกวาสมการตอไปนเปนสมการของภาคตดกรวยรปใด
1. 25x2 + 16y2 – 100x + 96y – 156 = 0
(วงร)
2. 4x2 + 4y2 – 4x + 1 = 0
(วงกลม)
3. y2 + 2x – 6y + 9 = 0
(พาราโบลา)
4. 22x2 + 7y2 +
6
=
0
(วงร)
5. 2x2 – 4y2 +
6
=
0
(ไฮเปอร)
6. 3y2 – 6x2 – 6x + 7y + 9 = 0
(ไฮเปอร)
Page 45
45
วธทา 81. จงบอกวาสมการตอไปนเปนสมการของภาคตดกรวยรปใด 9y2 – x2 + 6x + 18y = 0 ( เสนตรง 2 เสน ) วธทา
⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔