EXAMEN « Magnétisme et Supraconductivité » Vendredi 11 JANVIER 2013 De 14h00 à 17h00 Problème 1 : Chaleur Spécifique d’un Supraconducteur 1. Préliminaire : entropie d’un métal normal On considère un métal dans son état normal à une température T et en équilibre thermodynamique avec un réservoir de potentiel chimique μ. La fonction de Fermi Dirac : ! ! = ! ! ! ! ! ! (où ! = ε ! − et ! = ! ! !) est la fonction de distribution qui maximise l’entropie du système définie par ! = ! ! !" !. Les états d’énergie d’un métal forment un quasi-continuum si bien que par commodité nous les regrouperons par « fagots » contenant g i états et n i électrons tels que : ≡ ! ! ! !,! . Les indices q et σ correspondent respectivement au moment et au spin de chaque état électronique. 1.1 Déterminer le nombre possible d’arrangements des n i électrons dans les g i états par « fagot ». 1.2 Montrer que !" ! ! = −! ! !" !" !" !" !" + 1 − !" !" !" 1 − !" !" . On pourra utiliser l’approximation de Stirling : !" !! = !(!" ! − 1) 1.3 En déduire que l’entropie s’exprime comme : ! = −! ! ! ! !,! !" ! ! + 1 − ! ! !"(1 − ! ! ) 2. Chaleur spécifique d’un supraconducteur à basse température Nous admettrons que l’entropie associée aux états excités d’un supraconducteur est équivalente à celle d’un métal à ceci près que ! est remplacé par ! ! = ! ! +∆ ! ! dans l’expression de ! ! . Le gap supraconducteur ∆ ! est dépendant de la température. 2.1 On rappelle que la chaleur spécifique à volume constant est définie par: ! ! = !( !" !" ) . Montrer que la chaleur spécifique dans un supraconducteur peut s’exprimer comme : ! ! ! = ! ! !! ! !" ! et puis comme : ! ! ! = 2! ! ! ! ! ! ! !! ! ( ! ! ! ! - !! ! !" ) 2.2 Nous considérons le cas où la température est proche de zéro. Le gap supraconducteur peut alors être assimilée à une constante telle que : ∆ ! → 0 = ∆ ! . Montrer que la chaleur spécifique d’un supraconducteur à basse température