Análisis de circuitos. Examen de septiembre de 2010 Enrique Sánchez. Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. ETSIT‐Vigo. Ingeniería Técnica de Telecomunicación 1 Examen de septiembre de 2010 Soluciones Análisis de circuitos Ingeniería Técnica de Telecomunicación Primer curso Año académico 2009‐10 Enrique Sánchez Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación UNIVERSIDAD DE VIGO correo electrónico: [email protected]Sitios web: http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/index.html http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/acGDAF.html http://www.tsc.uvigo.es http://www.teleco.uvigo.es
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a. Enelcircuitodelafigura,enelquelafuenteindependienteescontinuade
valor VG, no se producen más cambios después de la apertura delinterruptor.
b. HalladlosvaloresdevC,iC,vLeiLparat=0‐,t=0+yt=∞(1.2puntos).c. Hallad las ecuaciones diferenciales que rigen la evolución de vC(t) e iL(t)
parat≥0s(0.8puntos).d. La fuente independiente continua es sustituida por otra variable con el
tiempo,vG(t), la fuentedependienteesdejadaencircuitoabierto (entregauna corriente nula) y el interruptor permanece cerrado. En estascondiciones,halladlafuncióndetransferenciaparat≥0s,estandoaquélladefinidacomo
e. Enlascondicionesdelapartadoanterior,obtenedlaexpresióntemporalenrégimenpermanentedevO(t)parat≥0s(0.8puntos)sabiendoquevG(t)ylafuncióndetransferenciadelcircuitoson
Ent=∞selcircuitoestáenrégimenpermanentecontinuo,locualsignificaquela capacidad y la inductancia son, respectivamente, un circuito abierto y uncortocircuito.Esdecir,
a. Escribid un sistema algebraico de cuatro ecuaciones a partir del cual seaposibledeterminar losvaloresdeIG,Ia,IbeIc.Noobtengáis losvaloresdeestosfasores(0.8puntos).
b. Suponiendoconocidoelvalorde Ia,obtened la tensiónenCcy lapotenciacompleja en la misma capacidad. No desarrolléis los cálculos; basta condejarlosindicados(0.4puntos).
c. Obtenedlosparámetrosdeimpedanciadelcuadripoloabcd;enloposible,agrupadimpedanciassindesarrollarloscálculoshastaobtenerexpresionesfinales.¿Puedesersimétricoestecuadripolo?(0.6puntos).
d. Suponiendoqueloselementosdelcircuitotienenlosvaloresindicadosmásabajo,calculadelequivalentedeThéveninenbornasdeLa(0.6puntos).
e. Suponiendo que los elementos del circuito tienen los valores indicados másabajo,obtenedlaexpresióntemporalde lapotenciaen laramadeLa. Utilizad aproximaciones matemáticas razonables y agrupaciones de impedanciassiemprequeseaposible(0.6puntos).
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vG(t)= VDC + VAC cos(ωt + ϕ)
€
VDC =1 V RG =0.5Ω CG =1µF LG =2µHVAC =1 V ω =1Mrad/s ϕ=0 ° La =1µHM =0.5µH Rb =0.5Ω Cb =0.2µF Lb =5µHa =4 Rc =16Ω Cc =5µF Lc =0.2µH
Comparando término a término (1) y (2) se obtienen los parámetros deimpedanciabuscados,queson
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z11 = jωLG + Zbref + RG + jωLa z12 = jωLa
z21 = jωLa z22 = jωLa +1
jωCG+ Zcref
Para que sea simétrico, el cuadripolo ha de ser recíproco. Esto exige que secumplaquez12=z21.Estacondiciónsecumplesiempre.Además,hadecumplirsequez11=z22.Estacondiciónpuededarseconunaadecuadaseleccióndelosvaloresdeloselementospasivos.
Como puede observarse, la excitación tiene dos componentes, con lo que, deacuerdo con el principio de superposición, también habrá dos componentes en lacorrienteylatensióndesalida.Esdecir,
Para la componente continua (vG(t) = VDC), las capacidades y las inductanciasson,respectivamente,circuitosabiertosycortocircuitos,conloqueelcircuitoquedareducido a la fuente en serie con la resistencia RG (los primarios de lostransformadoressoncortocircuitos).Enconsecuencia,
€
IDC =VDCRG
=2 A VLaDC =0 V, porque La es un cortocircuito
Componentesinusoidal
Para la componente sinusoidal (VG = VAejφ = 1 V) hay que utilizar las dosprimerasecuacionesdelapartadoa.Teniendoencuentaquelosdatoscoincidenconlosdelapartadod,sellegaalmismoresultadoconrespectoalacorriente.Esdecir,
d. Suponiendo que la fuente de tensión está caracterizada por la funciónperiódica representada en la figura que sigue, obtened su desarrollo enseriedeFourierexpresadoennotacióntrigonométrica(0.75puntos).
e. Suponiendoquelaexcitaciónesdelaformaindicadaenlafiguraquesigue,
Buscando esa condición en la figura que muestra la variación de la fase seobservaquenoexisteningúnvalordeestamagnitud(exceptoeltrivial,ω0=0rad/s)queseanulo,conloquenohayningunafrecuenciaparalaquesecumplalacondiciónindicada.
PROBLEMA3,apartadob
La frecuencia de corte, que marca el límite superior de la banda de paso, esaquellaqueverificaloqueseindicaacontinuación.
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H(jω)max
= 0.33
ω =ωc ⇒ H(jω) =H(jω)
max
2= 0.24
Enlafiguraquemuestralavariacióndelmódulodelafuncióndetransferenciacon la frecuencia angular puede observarse que la frecuencia para la que dichomódulotieneelvalorindicadoesωc=0.3Mrad/s.Luegolabandadepasoes
€
BW = 0 − 0.3Mrad/s
PROBLEMA3,apartadoc
Para frecuencias muy bajas, la inductancia y la capacidad se comportan,respectivamente, comouncortocircuitoyuncircuitoabierto, con loqueel circuitoquedareducidoalafuenteyunconjuntoderesistencias.Éstasnointroducenningúndesfase.Enconsecuencia, lasalidatenderáaestarenfaseconlafuente;esdecir, lafasedelafuncióndetransferenciatiendeacero.