ENSEEIHT — 1` ere Ann´ ee Informatique & Math´ ematiques Appliqu´ ees Alg` ebre lin´ eaire 2003–2004 Examen Examen d’Alg` ebre lin´ eaire Tous les exercices sont ind´ ependants. Rendre sur deux copies s´ epa- r´ ees les exercices 1 et 2 d’une part, 3 et 4 d’autre part. Le barˆ eme pr´ evisionnel est indiqu´ e pour chaque exercice. Seul document au- toris´ e : une feuille de notes de cours recto-verso. ✄ Exercice 1. (8 points) Soit a ∈ R, on d´ efinit A a ∈ M(3,R) par A a = (a - 4) 1 2 -1 (a - 1) 1 -2 1 a . 1.1. D´ eterminer le rang de A a en fonction du param` etre a. 1.2. Soit b ∈ R 3 , r´ esoudre A a x = b. 1.3. Soit b ∈ Im A 1 , calculer A + 1 b. 1.4. Donner, en la justifiant, la r´ eduite de Jordan de la matrice B = 4 -1 -2 1 1 -1 2 -1 0 . (on ne demande pas d’expliciter la base sur laquelle la r´ eduction est faite). ✄ Exercice 2. (3 points) On rappelle que l’espace E =(C 0 ([0,2π],R),(.|.)) est un pr´ ehilbertien avec, pour (x,y) ∈ E 2 , (x|y)= Z 2π 0 x(t)y(t)dt. Soit F = Vect({sin , cos}), soit x 0 ∈ E d´ efini par x 0 (t)= e t . Justifier que x 0 poss` ede un unique projet´ e orthogonal sur F et le calculer. ✄ Exercice 3. (3 points) On rappelle que l’espace l 2 = {X =(x n ) n≥1 ∈ R N | X n≥1 |x n | 2 < ∞} muni du produit scalaire (X |Y )= ∑ n≥1 x n y n est un espace de Hilbert. 3.1. Soit G = {X ∈ l 2 | ∑ k n=1 x n =0} (o` u k ≥ 1 est fix´ e). Justifier que G est un sev ferm´ e de l 2 . 3.2. Soit X 1 = (1,0,...,0,... ) ∈ l 2 ,´ evaluer d(X 1 ,G), la distance de X 1 ` a G. 1
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ENSEEIHT — 1ere Annee Informatique & Mathematiques Appliquees
Algebre lineaire
2003–2004
Examen
Examen d’Algebre lineaire
Tous les exercices sont independants. Rendre sur deux copies sepa-rees les exercices 1 et 2 d’une part, 3 et 4 d’autre part. Le baremeprevisionnel est indique pour chaque exercice. Seul document au-torise : une feuille de notes de cours recto-verso.
� Exercice 1. (8 points) Soit a ∈ R, on definit Aa ∈ M(3,R) par
Aa =
(a− 4) 1 2−1 (a− 1) 1−2 1 a
.1.1. Determiner le rang de Aa en fonction du parametre a.1.2. Soit b ∈ R3, resoudre Aax = b.1.3. Soit b ∈ Im A1, calculer A+
1 b.1.4. Donner, en la justifiant, la reduite de Jordan de la matrice
B =
4 −1 −21 1 −12 −1 0
.(on ne demande pas d’expliciter la base sur laquelle la reduction est faite).
� Exercice 2. (3 points) On rappelle que l’espace E = (C 0([0,2π],R),(.|.))est un prehilbertien avec, pour (x,y) ∈ E2,
(x|y) =∫ 2π
0x(t)y(t)dt.
Soit F = Vect({sin , cos}), soit x0 ∈ E defini par x0(t) = et. Justifier que x0
possede un unique projete orthogonal sur F et le calculer.
� Exercice 3. (3 points) On rappelle que l’espace
l2 = {X = (xn)n≥1 ∈ RN |∑n≥1
|xn|2 <∞}
muni du produit scalaire (X|Y ) =∑
n≥1 xnyn est un espace de Hilbert.
3.1. Soit G = {X ∈ l2 |∑k
n=1 xn = 0} (ou k ≥ 1 est fixe). Justifier que Gest un sev ferme de l2.3.2. Soit X1 = (1,0, . . . ,0, . . . ) ∈ l2, evaluer d(X1,G), la distance de X1 a G.
1
Algebre lineaire Examen d’Algebre lineaire
� Exercice 4. (8 points. La question 4.3 pourra etre traitee independamment)4.1. Soit A = (aij)1≤i,j≤n ∈ M(n,R), on rappelle que tr(A) =
∑ni=1 aii.
a) Montrer que l’application (.|.) de M(n,R) × M(n,R) dans R definiepar
(A|B) = tr( tAB)
definit un produit scalaire qui fait de M(n,R) un espace euclidien quel’on notera E.
b) Soit O ∈ O(n,R) une matrice orthogonale, montrer que pour la normedefinie par le produit scalaire precedent (norme de Frobenius) on a
‖AO‖ = ‖A‖
pour toute matrice A ∈ M(n,R).4.2. Soit A ∈ M(n,R) de rang r < n et de valeurs singulieres σ1, . . . ,σr, oncherche les matrices orthogonales les plus proches de A au sens de la normede Frobenius, i.e. solutions de{
Min ‖A−O‖O ∈ O(n,R)
(1)
a) Montrer que, pour toute matrice orthogonale O,
‖A−O‖2 ≥r∑i=1
(1− σi)2 + (n− r).
b) En deduire l’ensemble des solutions de (1).4.3. Application :
A =[
1 −4−3 12
].
2
Related Documents
