Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB LOVEBOOK.VN | 257 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng 1. Định nghĩa Cho hàm số f x xác định trên K. Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu ' F x fx với mọi x thuộc K. Định lý 1 1. Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C, hàm Gx Fx C cũng là một nguyên hàm của hàm f x trên K. 2. Đảo lại nếu Fx và Gx là hai nguyên hàm của hàm số f x trên K thì tồn tại hằng số C sao cho . Fx Gx C Định lý 2 Nếu Fx là một nguyên hàm của f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có dạng , Fx C với C là một hằng số. Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.” Từ hai định lý trên ta có - Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì , Fx CC là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K. Kí hiệu d . f x x Fx C 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1 d . f x x f x C Tính chất 2 d d kf x x k f x x Tính chất 3 d d d f x gx x f x x gx x STUDY TIP Từ định nghĩa nguyên hàm ta có được: f x dx fx Biểu thức chính là vi phân của nguyên hàm của vì Chú ý Vấn đề cần nắm: I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản II. Hai phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm III. Khái niệm và tính chất cơ bản tích phân IV. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân V. Ứng dụng hình học của tích phân Chủ đề III
47
Embed
Exam24h Ham... · Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB LOVEBOOK.VN | 257 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản Kí
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN | 257
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng
1. Định nghĩa
Cho hàm số f x xác định trên K. Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của
hàm số f x trên K nếu 'F x f x với mọi x thuộc K.
Định lý 1
1. Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng
số C, hàm G x F x C cũng là một nguyên hàm của hàm f x trên
K.
2. Đảo lại nếu F x và G x là hai nguyên hàm của hàm số f x trên K thì
tồn tại hằng số C sao cho . F x G x C
Định lý 2
Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên K thì mọi nguyên hàm của
f x trên K đều có dạng ,F x C với C là một hằng số.
Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên
hàm trên K.”
Từ hai định lý trên ta có
- Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì , F x C C là
họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K. Kí hiệu
d . f x x F x C
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1
d . f x x f x C
Tính chất 2
d d kf x x k f x x
Tính chất 3
d d d f x g x x f x x g x x
STUDY TIP
Từ định nghĩa nguyên hàm
ta có được:
f x dx f x
Biểu thức chính
là vi phân của nguyên
hàm của vì
Chú ý
Vấn đề cần nắm:
I. Nguyên hàm và
các tính chất cơ bản
II. Hai phương
pháp cơ bản tìm
nguyên hàm
III. Khái niệm và
tính chất cơ bản
tích phân
IV. Hai phương
pháp cơ bản tính
tích phân
V. Ứng dụng hình
học của tích phân
Chủ đề III
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN| 258
II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm 1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 3
Cho hàm số u u x có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f u liên
tục sao cho hàm hợp f u x xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên
hàm của f thì ' f u x u x dx F u x C
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm 10
1 dx x .
Lời giải
Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng df u u .
Mà ' 1 ' 1u x , do vậy
10 10
1 d 1 . 1 'dx x x x x
11
10 11 d 1
11
xx x C
.
Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương
pháp đổi biến
1. Đặt u g x .
2. Biến đổi x và dx về u và du.
3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp df u u , sau đó thay biến x
vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả.
Ta đến với ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm 72 1 dx x x .
Ở bài toán này, ta thấy số mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức
tạp hơn là 2x . Do vậy ta sẽ đặt 7
1 x để đổi biến, dưới đây là lời giải áp dụng
gợi ý các bước trên.
Lời giải
Đặt 1 d 1 'd d du x u x x u x
ta có 72 1 dx x x
2 7 7 8 91 . 1 d 2 du u u u u u u 8 9 102
8 9 10
u u uC
8 9 10
1 2 1 1.
8 9 10
x x xC
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Định lý 4
Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
' d . ' d u x v x x u x v x v x u x x .
Nếu nguyên hàm có dạng . dp x q x x thì ta có thể nghĩ đến phương pháp
nguyên hàm từng phần. Bảng sau gợi ý cách đặt ẩn phụ để tính nguyên hàm
. d .p x q x x
STUDY TIP
Với phương pháp đổi biến
ta cần chú trọng công thức
mà suy ra từ định lý như
sau:
Nếu u f x , khi đó
du f ' x dx
Nếu tính nguyên hàm
theo biến mới
thì sau khi
tính nguyên hàm xong,
ta phải trở lại biến x ban
đầu bằng cách thay u
bởi
Chú ý
Đẳng thức trong định lý
4 còn được viết dưới
dạng
Chú ý
Từ đây ta suy ra hệ quả
Với , 0u ax b a ta
có
d
1
f ax b x
F ax b Ca
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN | 259
Hàm dưới dấu tích phân Cách đặt
p x là đa thức, q x là hàm lượng giác
d d
u p x
v q x x
p x là đa thức, .x xq x f e e
u p x
dv q x dx
p x là đa thức, lnq x f x
d d
u q x
v p x x
p x là hàm lượng giác, xq x f e
d d
u q x
v p x x
p x là đa thức, 1
lnq x f xx
d d
u p x
v q x x
p x là đa thức, .q x f u x u x , u x là
các hàm lượng giác sin ,cos , tan ,cotx x x x
d d
u p x
v q x x
Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho bài toán “ Tìm sin cos dx x x ” thì ba bạn Huyền,
Lê và Hằng có ba cách giải khác nhau như sau
Bạn Huyền giải bằng phương
pháp đổi biến số như sau:
“Đặt sinu x , ta có:
d cos du x x
Vậy sin .cos d dx x x u u
2 2sin
2 2
u xC C ”
Bạn Lê giải bằng phương pháp lấy nguyên hàm
từng phần như sau:
“Đặt cos , ' sinu x v x .
Ta có ' sin , cosu x v x .
Công thức nguyên hàm từng phần cho ta 2sin cos d cos sin cos dx x x x x x x
Giả sử F là một nguyên hàm của sin .cosx x .
Theo đẳng thức trên ta có
2cosF x x F x C .
Suy ra 2cos
2 2
x CF x .
Điều này chứng tỏ 2cos
2
x là một nguyên
hàm của sin .cos .x x
Vậy 2cos
sin .cos d2
xx x x C .”
Bạn Minh Hằng chưa học
đến hai phương pháp trên
nên làm như sau:
“ sin .cos dx x x
sin 2 cos 2
d2 4
x xx C
.”
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê và Huyền giải sai.
B. Bạn Lê sai, Huyền và Hằng đúng.
C. Ba bạn đều giải sai.
D. Ba bạn đều giải đúng.
Đáp án D.
Nhận xét: Sau khi soát kĩ cả ba lời giải, ta thấy ba lời giải trên đều không sai ở
bước nào cả, tuy nhiên, tại sao đến cuối cùng đáp án lại khác nhau? Ta xem giải
thích ở lời giải sau
STUDY TIP
Bài toán củng cố về định
lý 1 đã nêu ở trên, và củng
cố các cách giải nguyên
hàm cơ bản.
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN| 260
Lời giải
Cả ba đáp số đều đúng, tức là cả ba hàm số 2 2sin cos
;2 2
x x và
cos 2
4
x đều là
nguyên hàm của sin .cosx x do chúng chỉ khác nhau về một hằng số. Thật vậy 2 2sin cos 1
2 2 2
x x
;
2 22 2 sin 1 2 sinsin cos 2 1
2 4 4 4
x xx x
.
3. Bảng một số nguyên hàm mở rộng
1
d , 11
ax bax b x C
a
1cos d sinax b x ax b C
a
d 1ln
xax b C
ax b a
1
sin d cosax b x ax b Ca
1dax b ax be x e C
a
1tan d ln cosax b x ax b C
a
1
d , 0ln
ax b ax bm x m C ma m
1
cot d ln sinax b x ax b Ca
2 2
d 1arctan
x xC
a aa x
2
d 1cot
sin
xax b C
aax b
2 2
d 1ln
2
x a xC
a a xa x
2 2
d 1ln
2
x x aC
a x ax a
2 2
2 2
dln
xx x a C
x a
2
d 1tan
cos
xax b C
aax b
2 2
2 2
d 1ln
x a x aC
a xx x a
2 2 22 2 d arcsin
2 2
x a x a xa x x C
a
ln d lnb
ax b x x ax b x Ca
d 1
ln tan2sin
x ax bC
aax b
2 2
sin cossin d
ax
axe a bx b bx
e bx x Ca b
2 2
cos sincos d
ax
axe a bx b bx
e bx x Ca b
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN | 261
III. Các dạng toán về nguyên hàm
Dạng 1: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x trên .D
Các bài toán ở dạng 1 thì chỉ yêu cầu độc giả nhớ bảng công thức nguyên hàm
cơ bản thường gặp. Chú ý với các nguyên hàm hàm hợp để áp dụng đúng công
thức!
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f x xcos3 .
A. cos 3 d 3sin 3 .x x x C B. sin 3
cos 3 d .3
xx x C
C. sin 3
cos 3 d .3
xx x C D. cos 3 d sin 3 .x x x C
Đáp án B
Lời giải
Ta có 1 sin3
cos3 d d sin33 3
xx x x C .
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số 1
.5 2
f xx
A. d 1
ln 5 2 .5 2 5
xx C
x
B. d 1
ln 5 2 .5 2 2
xx C
x
C. d
5ln 5 2 .5 2
xx C
x
D. d
ln 5 2 .5 2
xx C
x
Đáp án A.Lời giải
Ta có d 5 2d 1 1
d ln 5 25 2 5 5 2 5
xxf x x x C
x x
.
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số 7 .xf x
A. 7 d 7 ln7 .x xx C B. 7
7 d .ln7
xx x C
C. 17 d 7 .x xx C D. 17
7 d .1
xx x C
x
Đáp án B.
Lời giải
Ta có d 7 d 7 7
7 d 7 .ln 7 ln 77 .ln 7
x xx
x x
xx C
Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số
51
xf x
x
là
A.
3
1.
3 1F x C
x
B.
4
1.
4 1F x C
x
C.
3 4
1 1.
3 1 4 1F x C
x x
D.
4 3
1 1.
4 1 3 1F x C
x x
Đáp án D
Lời giải
Đặt 1 u x thì 1 u .
STUDY TIP
cos ax b dx
sin ax bC
a
.
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN| 262
Khi đó
4 5
5 5 4 5
1 1 1d d d d d
1
x ux u u u u u u
u u ux
3 4
1 1 1 1. . .
3 4 C
u u
Thay 1 u x ta được
5 4 3
1 1d
1 4 1 3 1
xx C
x x x
Ví dụ 5: Nguyên hàm của hàm số .lnx x là
A. 2 . ln
2
x xC B.
2 2. ln
2 4
x x xC
C. 2 2. ln
2 4
x x xC D.
2
4
xC
Đáp án B
Lời giải
Ta có . ln d x x x . Đặt 2
1ln d d
d d2
x u x ux
xv x x v
Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có 2 2 1
.ln d d d .ln . d2 2
x x
x x x u v uv v u x xx
2 2 2.ln .lnd .
2 2 2 4
x x x x x xx C
Dạng 2: Chứng minh F x là một nguyên hàm của hàm f x trên .D
Ví dụ 1: Cho ln ln lnF x x . Hỏi F x là nguyên hàm của hàm số nào
dưới đây?
A. 1
.ln lnf x
x x B.
1
ln ln lnf x
x
C.
1
ln .ln lnf x
x x D.
1
.ln .ln lnf x
x x x
Đáp án D.
Lời giải
Để tìm F x là nguyên hàm của hàm số nào trong số 4 hàm số trên, ta sẽ đi đạo
hàm F x từ đó suy ra .f x
Ta có
1 1 1
ln ln ln . ln ln . lnlnln ln ln ln
F x x x x
xx x
1 1 1 1. . .lnln ln .ln .ln ln
f xx xx x x x
Ví dụ 2: Cho 1 3 1
.ln .6 3 12
xF x
x Hỏi F x là nguyên hàm của hàm số nào
dưới đây?
A. 2
1
9
f x
x B.
1
9
f x
x
C. 2
1
129
xf x
x D.
2
1
129
xf x
x
Sai lầm thường gặp là
không biết cách đạo
hàm hàm hợp. Ở đây ta
cần đạo hàm như sau:
với
lần lượt
như thế ta sẽ ra được kết
quả như bên.
Chú ý
STUDY TIP
Ở đây xuất hiện tích của
x.ln x nên ta áp dụng
nguyên hàm từng phần.
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN | 263
Đáp án A.
Lời giải
Cách 1: Ta có 1 3 1 1 1 1
.ln .ln 3 .ln 36 3 12 6 6 12
xF x x x
x
2 2 2
1 1 1 1 1 6 1. . .
6 3 6 3 6 3 9
x x x x
Cách 2: Thực chất đây là công thức nguyên hàm mà tôi đã giới thiệu ở bảng
nguyên hàm phía trên (dòng số 6 trong bảng).
Áp dụng công thức trên ta có ngay 2
1
9
f x
x
Dạng 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện ràng buộc.
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x x xsin cos thỏa mãn
2.2
F
A. F x x xcos sin 3 B. F x x xcos sin 3
C. F x x xcos sin 1 D. F x x xcos sin 1
Đáp án D.
Lời giải
Ta có F x f x x x x x x x Cd sin cos d sin cos .
Do 22
F
nên sin cos 2 1 2 12 2
C C C .
Vậy hàm số cần tìm là sin cos 1F x x x .
Ví dụ 2: Cho hàm số f x thỏa mãn f x x3 5sin và f 0 10. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A. f x x x3 5cos 5 B. f x x x3 5cos 2
C. f x x x3 5cos 2 D. f x x x3 5cos 15
Đáp án A.
Lời giải
Ta có f x f x x x x x x Cd 3 5sin d 3 5cos .
Do 0 10f nên 3.0 5cos0 10 5C C . Vậy 3 5cos 5f x x x .
Ví dụ 3: Cho F x x2 là một nguyên hàm của hàm số xf x e2 . Tìm nguyên
hàm của hàm số xf x e2 ?
A. xf x e x x C2 2 2 B. xf x e x x C2 2
C. xf x e x x C2 22 2 D. xf x e x x C2 22 2
Đáp án D.
Lời giải
STUDY TIP
Công thức cần nhớ:
2 2
dx 1 a xln C
2a a xa x
2 2
dx 1 x aln C
2a x ax a
Với các bài toán đơn
giản như ở ví dụ 1, ta chỉ
đi tìm nguyên hàm như
thông thường, sau đó
dùng điều kiện ràng
buộc có sẵn để tìm hằng
số C.
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN| 264
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm f x x F x F x f xd .
Từ giả thiết, ta có x x
x
xf x e x F x f x e F x x x f x
e
2 2 2
2
2d 2
Suy ra
2 2 2
2 2 22 2
2 . 2 . 2 4 2 4x x x
xx x
x e x e x e xf x
ee e
.
Vậy x x
x
xf x e x e x x x x x C
e
2 2 2
2
2 4d . d 2 4 d 2 2
.
Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.
Nếu ,u v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
u x v x x u x v x v x u x xd . . d .
Ta có 2 2 2 2 2. d . .2 d 2 dx x x x xe f x x e f x f x e x f x e f x e x .
Từ giả thiết: x xf x e x F x x f x e F x x x2 2 2 2d 2
.
Vậy xf x e x x x C2 2d 2 2 .
Ví dụ 4: Cho xF x x e1 là một nguyên hàm của hàm số xf x e2 . Tìm
nguyên hàm của hàm số 2 .xf x e
A. x xf x e x x e C2 d 4 2 B. 2 2d
2x xx
f x e x e C
C. 2 d 2x xf x e x x e C D. 2 d 2x xf x e x x e C
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm df x x F x F x f x .
Từ giả thiết, ta có 2 2d 1x x x xf x e x F x f x e F x x e xe
2
x
xx
xe xf x
ee .
Suy ra
2 2 2
. . 1. 1x x xx x
xx x x
x e x e e xe x e xf x
ee e e
.
Vậy 2 21d . d 1 dx x x
x
xf x e x e x x e x
e
.
Đặt 1 d d
d dx x
u x u x
v e x v e
1 d 1 d 1 2x x x x x xx e x x e e x x e e C x e C .
Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.
Ta có 2 2 2 2 2. d . .2 d 2 dx x x x xe f x x e f x f x e x f x e f x e x .
Từ giả thiết: 2 d 1x xf x e x F x x e
2 1x x xf x e F x x e xe .
Vậy 2 d 2 1 2x x x xf x e x xe x e C x e C .
STUDY TIP
Rõ ràng trong bài toán này,
việc sử dụng công thức
nguyên hàm từng phần sẽ
mang lại kết quả nhanh
hơn. Do 2xf x e dx có sự
xuất hiện của tích hai phần
tử, nếu sử dụng nguyên
hàm từng phần sẽ xuất hiện
ngay 2xvdu 2 f x e dx
và 2xuv f x e kết hợp dữ
kiện đề bài sẽ có ngay đáp
án.
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN | 265
Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để F x là một nguyên hàm của .f x
Ví dụ 1: Tìm a; b; c; d để 3 2 xF x ax bx cx d e là một nguyên hàm của
3 22 9 2 5 . xf x x x x e
A. 3; 3; 7; 13 a b c d B. 2; 3; 8; 13 a b c d
C. 2; 3; 8; 13 a b c d D. 3; 3; 8; 15 a b c d
Đáp án B
Lời giải
Ta có 2 3 23 2 x xF x ax bx c e ax bx cx d e
3 23 2 xax a b x b c x c d e
2 2
3 9 3,
2 2 8
5 13
a a
a b bF x f x x
b c c
c d d
Với các bài toán dạng
này ta chỉ cần tìm đạo
hàm của F x F x
sau đó cho F x f x
và sau đó sử dụng hệ số
bất định để tìm giá trị
của tham số.
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN| 266
IV. Bổ sung một số vấn đề về nguyên hàm
Nguyên hàm của các dạng hàm số đặc biệt
Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, thương.
Cho hai hàm số u u x và v v x có đạo hàm liên tục trên K.
Lúc này ta có bảng sau:
Dạng Cấu trúc hàm số Nguyên hàm
Tổng f x u v u v F x u v
Hiệu f x u v u v F x u v
Tích f x u v uv uv F x uv
Thương
2
u v uv uf x
vv
uF x
v
Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số 1
1
xf x
e là
A. d ln 1 xf x x x e C B. d ln 1
xf x x e C
C. ln 1
d
xef x x C
x D. d ln 1
xf x x x e C
Đáp án A.
Lời giải
Thay vì đi tìm nguyên hàm của hàm số theo cách truyền thống, ta có thể giải
bài toán bằng bảng ở trên như sau:
1 11
1 ln 11 1 1 1
x x xx
x
x x x x
e e eef x x x e
e e e e
ln 1 d ln 1
x xx e f x x x e C
Ví dụ 2: Nguyên hàm của hàm số
2
1 1
lnln f x
xx là
A. 3 2
1 1d
ln ln f x x C
x x B.
3 2
1 1d
ln ln f x x C
x x
C. dln
x
f x x Cx
D. dln
xf x x C
x
Đáp án D.
Lời giải
Ta có
2 2 2
. ln . ln1 1 1 ln
ln lnln ln ln
x x x xx xf x
x xx x x
dln
xf x x C
x
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm F x của hàm số 2. lnf x x ex với 0.x
A. 2 .ln F x ex ex C B. 2 .ln F x x ex C
C. 2 .ln F x x x C D. ln F x x x C
Phần này đưa ra cách
tìm nguyên hàm bằng
cách biến đổi hàm số đã
cho thành đạo hàm của
một hàm số, từ đó tìm
được nguyên hàm của
hàm số đó.
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN | 267
Đáp án C
Lời giải
Ta có
2 2 21. ln 2ln 1 2ln . 2 ln . ln .ln
f x x e x x x x x x x x x xx
2 2ln .ln
x x F x x x C
Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa hàm .xe
Bảng nhận dạng nguyên hàm và đạo hàm của hàm số chứa .xe
Đặc trưng Nguyên hàm Hàm số (đạo hàm) xe . xF x u x e
xF x u x u x e f x
xe . xF x u x e xF x u x u x e f x
ax be ax bF x u x e ax bF x u x au x e f x
v xe
v x
F x u x e v x
F x u x v x u x e f x
Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số 25 13 9 xf x x x e là
A. 25 6 xF x x e C B. 2 1 5 xF x e x x C
C. 25 3 xF x x x e C D. 25 3 6 xF x x x e C
Đáp án D.
Lời giải
Ta có 2 2 210 3 5 3 6 5 3 6 5 3 6
x xf x x x x e x x x x e
Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên 25 3 6 xF x x x e C là
nguyên hàm của hàm số đã cho.
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số . . ln
.
x xe x e x
f xx
A. .ln 2 xF x e x C B. .ln xF x e x C
C. .ln xF x e x C D. .ln xF x e x C
Đáp án B.
Lời giải
Ta có 1 ln. . ln 1
ln
xx xx
x x ee x e xf x x e
x x x ln ln
xx x e
.ln xF x e x C là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Ví dụ 3: Nguyên hàm của hàm số 2
1 1
xf x exx
là
A.
xe
F x Cx
B. 2
xe
F x Cx
C.
xeF x C
x D.
2
xeF x C
x
Đáp án A.
Lời giải
Ta có 2
1 1 1 1
x xf x e ex x xx
xe
F x Cx
là nguyên hàm
của hàm số đã cho.
Tương tự với hai nhận
dạng còn lại, quý độc
giả có thể áp dụng vào
các bài toán phức tạp
hơn.
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN| 268
Nguyên hàm một số hàm lượng giác
a. Dạng sin .cosm nx xdx trong đó ,m n là các số tự nhiên.
Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ.
Lũy thừa của cos x là số lẻ, 2 1n k
thì đổi biến sinu x
Lũy thừa của sinx là số lẻ,
2 1m k thì đổi biến cosu x
2sin .cos d sin cos cos dk
m n mx x x x x x x
2sin 1 sin . sin dk
m x x x x
21 dk
mu u u
2sin .cos d cos sin sin dk
m n nx x x x x x x
2cos . 1 cos cos dk
n x x x x
21 . dk
nu u u
Ví dụ 1: Tìm 5 2sin .cos dx x x .
Lời giải
Vì lũy thừa của sinx là số lẻ nên ta đổi biến cos d cos du x u x x .
2
5 2 2 2sin .cos d 1 cos .cos . cos dx x x x x x x
2
2 2 4 2 61 . d 2 du u u u u u u 5 3 72
5 3 7
u u uC
5 3 72 cos cos cos
5 3 7
x x xC .
Trường hợp 2: Cả hai số m, n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để
giảm một nửa số mũ của sin ; cosx x , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.
b. Dạng sin .cos d ,mx nx x sin .sin d ,mx nx x cos .cos d .mx nx x
Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.
c. Dạng tan
dcos
m
n
xx
x trong đó ,m n là các số nguyên.
Lũy thừa của cos x là số nguyên
dương chẵn, 2n k thì ta đổi biến
tanu x
Lũy thừa của tan x là số nguyên
dương lẻ, 2 1m k thì ta đổi biến
1
cosu
x
2 2 2
tan tan 1d . d
cos cos cos
m m
n k
x xx x
x x x
1
2
tan. tan 'd
cos
m
k
xx x
x
1
2tan . 1 tan .d tank
m x x x
1
2. 1 dk
mu u u
Khi đó 2
sin'
cos
xu
x , do đó
2
1
tan tan tand . d
coscos cos
m k
n n
x x xx x
xx x
2
1 2
11
sincos. d
cos cos
k
n
xxx
x x
2 11 .dk
nu u u
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN | 269
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm
a. 6
4
tand
cos
xx
x b. 5
7
tand
cos
xx
x .
Lời giải
a. Do lũy thừa của cos x là số nguyên dương chẵn nên đặt tanu x . Từ công
thức tổng quát đã chứng minh ở trên ta có
6
16 2
4
tand . 1 d
cos
xx u u u
x
9 7 9 7tan tan
9 7 9 7
u u x xC C .
b. Do lũy thừa của tan x là một số lẻ nên ta đặt 1
cosu
x , do vậy, từ công thức
tổng quát chứng minh ở trên ta có
5 11 9 7
22 6
7
tan 2d 1 . d
11 9 7cos
x u u ux u u u C
x
11 9 7
1 2 1
11cos 9cos 7 cosC
x x x.
Đổi biến lượng giác
Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các
dạng 2 2 2 2 2 2, ,x a x a a x , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:
Biểu thức có chứa Đổi biến
2 2x a tanx a t , ;2 2
t
Hoặc cot , 0;x a t t
2 2x a
sin
ax
t , ; \ 0
2 2t
Hoặc , 0; \cos 2
ax t
t
2 2a x sinx a t , ;2 2
t
Hoặc cos , 0;x a t t
a x a x
a x a x
cos2x a t
x a b x 2sin , 0;2
x a b a t t
Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
Cho hàm số y f x có dạng
P xf x
Q x trong đó P và Q là các đa thức, và P
không chia hết cho Q.
Hàm f x được gọi là hàm phân thức hữu tỉ thực sự nếu deg degP Q .
Trong các bài toán tìm nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ, nếu
f x chưa phải là hàm phân thức hữu tỉ thực sự thì ta thực hiện chia tử thức cho
mẫu thức để được
STUDY TIP
Kí hiệu deg P x là bậc
của đa thức .P x
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN| 270
P x R x
f x S x S x h xQ x Q x
,
Khi đó, h x sẽ là hàm phân thức hữu tỉ thực sự.
Định lý: Một phân thức thực sự luôn phân tích được thành tổng các phân thức
đơn giản hơn.
Đó là các biểu thức có dạng
22
1 1; ; ;
k k
ax b ax b
x a x px qx a x px q
là các
hàm số có thế tìm nguyên hàm một cách dễ dàng. Để tách được phân thức ta
dùng phương pháp hệ số bất định.
a. Trường hợp phương trình 0Q x không có nghiệm phức và các nghiệm
đều là nghiệm đơn.
1 1 2 2...
k k kQ x a x b a x b a x b
(Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức Q x ).
Trong trường hợp này, g có thể biểu diễn dưới dạng
1 2
1 1 2 2
... k
k k
R x AA Ag x
a x b a x b a x bQ x
Sau khi biểu diễn được g x về dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản.
Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số 2
4 3
3 2
xf x
x x
là
A. 1
4ln 2 ln2
xF x x C
x
B. 1
4ln 2 ln2
xF x x C
x
C. 2
4ln 2 ln1
xF x x C
x
D. 2
4ln 2 ln1
xF x x C
x
Phân tích
Đáp án B.
Ta có 2
4 3 4 3
1 22 13 2
x x A B
x xx xx x
2
1 2
Ax A Bx B
x x
.
Khi đó 2 4 3A B x A B x , đồng nhất hệ số thì ta được
4 1
2 3 5
A B A
A B B
Lời giải
Ta có 2
4 3 1 5d d ln 1 5.ln 2
1 23 2
xx x x x C
x xx x
24.ln 2 ln
1
xx C
x
14.ln 2 ln
2
xx C
x
.
Kiểm tra khả năng vận
dụng từ ví dụ 3
Tìm 2
3 2
x 2x 1dx
2x 3x 2x
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN | 271
Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng: 2
3 2
x 2x 1 1 1 1dx .ln x .ln 2x 1 .ln x 2 C
2 10 102x 3x 2x
b. Trường hợp 0Q x không có nghiệm phức, nhưng có nghiệm thực là
nghiệm bội.
Nếu phương trình 0Q x có các nghiệm thực 1 2; ; ...;
na a a trong đó
1a là
nghiệm bội k thì ta phân tích
R xg x
Q x về dạng
11 2 1 2
22 31 1 1
... ...k n
kn
A BA A B Bg x
x a x a x ax a x a x a
Trên đây là phần lý thuyết khá phức tạp, ta đến với bài tập ví dụ đơn giản sau:
Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số
3
2
1
xf x
x
là
A.
2
2 1
1 1F x C
x x
B.
2
2 1
1 1F x C
x x
C.
4
1 1
1 4 1F x C
x x
D.
4
1 1
1 4 1F x C
x x
Phân tích
Nhận thấy 1x là nghiệm bội ba của phương trình 3
1 0x , do đó ta biến
đổi
2
3 2 3 3
2 1 12
11 1 1 1
A x x B x Cx A B C
xx x x x
2
3
2
1
Ax A B x A B C
x
Từ đây ta có
0 0
2 2 2
0 2
A A
A B B
A B C C
Lời giải
Ta có
3 2 3
2 2 2d d
1 1 1
xx x
x x x
2
2 1
1 1C
x x
Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng ví dụ 4 4 2 2
3 2
x 2x 4x 1 x 2dx x ln x 1 ln x 1 C
2 x 1x x x 1
.
TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ thực sự được
đưa về các dạng nguyên hàm sau:
1. d .lnA
x A x a Cx a
, 1k
2.
1
1d .
1k k
A Ax C
kx a x a
.
Kiểm tra khả năng vận
dụng từ ví dụ 4
Tìm 4 2
3 2
x 2x 4x 1dx
x x x 1
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN| 272
Câu 1: Tìm nguyên hàm 2 1 d .xI x e x
A. 2 1 xI x e C B. 2 1 xI x e C
C. 2 3 xI x e C D. 2 3 xI x e C
Câu 2: Tìm nguyên hàm ln 2 1 d .I x x x
A. 2 14 1
ln 2 18 4
x xxI x C
B. 2 14 1
ln 2 18 4
x xxI x C
C. 2 14 1
ln 2 18 4
x xxI x C
D. 2 14 1
ln 2 18 4
x xxI x C
Câu 3: Tìm nguyên hàm 1 sin 2 d .I x x x
A. 1 2 cos2 sin2
2
x x xI C
B. 2 2 cos2 sin2
2
x x xI C
C. 1 2 cos2 sin2
4
x x xI C
D. 2 2 cos2 sin2
4
x x xI C
Câu 4: Cho ,f x g x là các hàm số liên tục trên .
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. . d . dk f x x k f x x với k là hằng số
B. d df x g x x f x dx g x x
C. . d d . df x g x x f x x g x x
D. d d df x g x x f x x g x x
Câu 5: Nguyên hàm của hàm số 2017xf x e là:
A. 20171
2017xe C B. 2017xe C
C. 20172017. xe C D. 20171
2017xe C
Câu 6: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số
2
4
cos 3f x
x biết 3.
9F
A. 4 3
tan 33 3
F x x B. 4tan3 3 3F x x
C. 4 3
tan 33 3
F x x D. 4 3
tan 33 3
F x x
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số .f x x x
A. 22d
5f x x x x C B.
2d
5f x x x x C
C. 21d
2f x x x x C D.
3d
2f x x x C
Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số 2
2 3 .f x x
A.
32 3
d3
xf x x C
B. 3
d 2 3f x x x C
C.
32 3
d6
xf x x C
D.
32 3
d2
xf x x C
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số:
3sin 3 cos3 .f x x x
A. d cos 3 sin 3f x x x x C
B. d cos 3 sin 3f x x x x C
C. 1
d cos 3 sin 33
f x x x x C
D. 1 1
d cos3 sin 33 3
f x x x x C
Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số .x xf x e e
A. d x xf x x e e C
B. d x xf x x e e C
C. d x xf x x e e C
D. d x xf x x e e C
Câu 11: Tìm nguyên hàm F x của hàm số
3 4,f x x biết 0 8.F
A. 1 38
3 43 3
F x x
B. 2 16
3 4 3 43 3
F x x x
C. 2 56
3 4 3 49 9
F x x x
D. 2 8
3 4 3 43 3
F x x x
Câu 12: Tìm nguyên hàm 2
1d .
4I x
x
A. 1 2
ln2 2
xI C
x
B.
1 2ln
2 2
xI C
x
C. 1 2
ln4 2
xI C
x
D.
1 2ln
4 2
xI C
x
Câu 13: Cho hàm số
1.
2 3f x
x Gọi F x là một
nguyên hàm của .f x Chọn phương án sai.
A.
ln 2 3
102
xF x B.
ln 4 610
4
xF x
C.
2ln 2 3
54
xF x D.
3ln
21
2
x
F x
Bài tập rèn luyện kỹ năng
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN | 273
Câu 14: Tìm nguyên hàm F x của hàm số
2
2
1. .
1
xx xf x e
x
A. 2 1. xF x x e C
B. 2 1. xF x x e C
C. 2 22 1. xF x x x e C
D. 2 1. xF x x e C
Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số 3 7
.2
xf x
x
A. d 13 ln 2 f x x x x C
B. d ln 2 f x x x C
C. d 3 13 ln 2 f x x x x C
D. d 3 7 ln 2 f x x x x C
Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số 4 5
1
xf x
x.
A. 4 3 21 1 1d 6 ln 1 .
4 3 2 f x x x x x x x C
B. 4 3 21 1 1d 6 ln 1 .
4 3 2 f x x x x x x x C
C. 4 3 2d 6 ln 1 . f x x x x x x x C
D. 4 3 2d 6 ln 1 . f x x x x x x x C
Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số 2
1
1
f x
x x
A. 2
2
1 1 1d .ln
2 1 1
xf x x C
x
B. 2
2
1 1d ln
1 1
xf x x C
x
C. 2
2
1 1 1d .ln
2 1 1
xf x x C
x
D. 2
2
1 1 1d .ln
2 1 1
xf x x C
x
Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số
1
.1 1
f xx x
A. 2 2
3 3d 1 1
f x x x x C
B. 3 3
2 2d 1 1
f x x x x C
C. 2 3
3 21
d 1 13
f x x x x C
D. 3 3
2 21
d 1 13
f x x x x C
Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số 1
.3
x
f xe
A. 1
d ln3 3
x
x
ef x x C
e
B. d ln3
x
x
ef x x C
e
C. 1
d ln 33
x xf x x e e C
D. 1
d ln 36
x xf x x e e C
Câu 20: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số
3sin .cosf x x x và 0 F . Tìm 2
F .
A. .2
F B.
1.
2 4
F
C. 1
.2 4
F D. .
2
F
Câu 21: Biết F x là nguyên hàm của 4 xf x và
1
1 .ln 2
F Khi đó giá trị 2F bằng:
A. 7
.ln 2
B. 8
.ln 2
C. 9
.ln 2
D. 3
.ln 2
Câu 22: Nguyên hàm của hàm số
2
2cos
xx e
f x ex
là:
A. 2 cot . xF x e x C B. 2 tan . xF x e x C
C. 2 tan . xF x e x C D. 2 tan . xF x e x
Câu 23: Tìm nguyên hàm sin d F x x x x biết
0 19F .
A. 21cos 20
2 F x x x .
B. 2 cos 20 F x x x .
C. 2 cos 20 F x x x
D. 21cos 20
2 F x x x .
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN| 274
Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1: Đáp án A
Đặt 2 1u x d 2d ;u x
d dx xe x v v e
Lúc này ta có
2 1 d 2 1 . 2 dx x xx e x x e e x
2 1 . 2 2 1x x xx e e C x e C
Câu 2: Đáp án C
Đặt 22
ln 2 1 d d ; d d2 1 2
xu x u x v x x v
x
Khi đó
2 2 2
ln 2 1 d . ln 2 1 . d2 2 2 1
x xx x x x x
x
2 2
.ln 2 1 d2 2 1
x xx x
x
2 1 1.ln 2 1 d
2 2 4 4 2 1
x xx x
x
2 2 1.ln 2 1 .ln 2 1
2 4 4 8
x x xx x C
2 14 1.ln 2 1
8 4
x xxx C .
Câu 3: Đáp án D
1 sin 2 d .I x x x
Đặt 1 d dx u x u ;
1sin 2 d d .cos 2
2x x v v x
Khi đó 1 1
.cos 2 cos 2 d2 2
xI x x x
1 cos2 1.sin2
2 4
x xx C
Câu 4: Đáp án C
Câu 5: Đáp án D
Ta có
2017 20171d
2017x xe x e C
Câu 6: Đáp án A
Ta có 2
4 4d . tan 3
3cos 3F x x x C
x
Mà
4 33 . tan 3
9 3 3 3F C C
Câu 7: Đáp án A 3 5
22 22 2
d d . .5 5
x x x x x x C x x C
Câu 8: Đáp án C
Ta có 31
d 2 33.2
f x x x C
Câu 9: Đáp án C
3 1
3sin 3 cos 3 d . cos 3 .sin 33 3
x x x x x C
Câu 10: Đáp án A
Câu 11: Đáp án C
1 3
2 22
3 4d 3 4 d . 3 49
2. 3 4 3 4
9
F x x x x x x C
x x C
Mà 56
0 89
F C , ta chọn C.
Câu 12: Đáp án D
Ta có
2 2
1 1 1 1 1d d d
2x x x
a a x a xa x a xa x
1.ln
2
x aC
a x a
Áp dụng vào bài ta chọn D.
Câu 13: Đáp án B
Ta có
1 1 1
d . .d 2 32 3 2 2 3
F x x xx x
ln 2 3
2
xC
Từ đây ta thấy A đúng.
Với B ta thấy
ln 4 6 ln2 ln 2 3
10 104 4
x xF x , B sai.
Câu 14: Đáp án A
Ta có
22
2 2
11. .
1 1
x xx xx x
f x e ex x
2 2 2
21 1 1
1
x xxx e x x e
x
2 1. xF x x e C (áp dụng bảng ở lí thuyết).
Câu 15: Đáp án C
Ta có
3 2 133 7d d d
2 2
xxf x x x x
x x
d 213
3 d 3d 132 2
3 13ln 2 .
xx x
x x
x x C
Câu 16: Đáp án B
Ta có
44 1 65d d
1 1
xxx x
x x
2 6
1 1 d1
x x xx
3 2d 1
1 d 61
x
x x x xx
4 3 21 1 16 ln 1 .
4 3 2 x x x x x C
Câu 17: Đáp án A
Ta có
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN | 275
2
2 2 2 2 2
d 11 d 1d
21 1 . 1
xx xx
x x x x x x
2 22
2 2 22
d 1 d 11 1 1
. ln2 1 11 1
x x
xC
x xx
(Áp dụng công thức 2 2
d 1.ln
2
u u aC
a u au a
)
Câu 18: Đáp án D
Ta có
1 1 dd
1 1 1 1 1 1
x x xx
x x x x x x
3 3
2 2
3 3
2 2
1 1 21 1 d . 1 1
2 2 3
11 1
3
x x x x x C
x x C
Câu 19: Đáp án A
Ta có
dd d
3 3 3
xx
x x x x x
ex e x
e e e e e
1 1 1 1
d ln3 33 3
xx
x x x
ee C
e e e
Câu 20: Đáp án C
3d sin .cos .d F x f x x x x x
3 41sin .d sin sin
4 x x x C
410 sin
4 F C F x x
1
2 4
F
Câu 21: Đáp án A
Ta có 1
4 d .4ln 4
x xx C F x
Mà 1 4 1 1
1 .ln 2 ln 4 ln 2 ln 2
F C C
Do đó 21 1 16 1 72 .4
ln 4 ln 2 2 ln 2 ln 2 ln 2F .
Câu 22: Đáp án C
2
2
d 2 dcos
d2 d 2 tan .
cos
xx
x x
eF x f x x e x
x
xe x e x C
x
Câu 23: Đáp án D
2
2
sin d cos2
0 19 20 cos 202
xF x x x x x C
xF C F x x
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN| 276
V. Khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân 1. Định nghĩa
Cho hàm số f x là hàm số liên tục trên đoạn ; . a b Gỉa sử F x là một
nguyên hàm của f x trên đoạn ; . a b
Hiệu số F b F a được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định
trên đoạn ; a b ) của hàm số f x , kí hiệu là d .b
a
f x x
Vậy d .b
a
bf x x F x F b F a
a
2. Nhận xét
a. Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi db
a
f x x hay
d .b
a
f t t Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận ,a b mà không phụ
thuộc vào biến số x hay t.
b. Ý nghĩa hình học của tích phân. Nếu hàm số f x liên tục và không âm
trên đoạn ; , a b thì tích phân db
a
f x x là diện tích S của hình thang cong
giới hạn bởi đồ thị ,f x trục Ox và hai đường thẳng ; . x a x b Vậy
d . b
a
S f x x
3. Các tính chất của tích phân
Tính chất 1
d d b b
a a
kf x x k f x x với k là hằng số.
Tính chất 2
d d db b b
a a a
f x g x x f x x g x x
Tính chất 3
d d d c b b
a c a
f x x f x x f x x với . a c b
Định lý 1
Cho f là hàm số xác định trên K và a là một điểm cố định thuộc K. Xét hàm
số G x xác định trên K bởi công thức
d . x
a
G x f t t
Khi đó G là một nguyên hàm của f.
Định lý 2
Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên .
Hàm số chẵn
y
A
x
A
O
Hình 3.1
-x x
Ta gọi b
a
là dấu tích
phân, a là cận dưới, b là
cận trên, df x x là biểu
thức dưới dấu tích phân
và f x là hàm số dưới
dấu tích phân.
Ta quy ước
d 0;a
a
f x x
d d b a
a b
f x x f x x
1. Định nghĩa tích phân
chỉ được áp dụng khi biết
một nguyên hàm của
trên đoạn
2. Tích phân là
một số, còn nguyên hàm là
một (họ) hàm số (nó còn
được gọi là tích phân
không xác định).
3. không phụ
thuộc vào chữ viết biến số
trong dấu tích phân, mà
chỉ phụ thuộc vào hàm số
f và đoạn
Chú ý
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN | 277
1. Nếu f là một hàm số chẵn, khi đó 0
d 2 d .
a a
a
f x x f x x
2. Nếu f là một hàm số lẻ, khi đó d 0.
a
a
f x x
Đọc thêm Ta vừa đưa ra 3 tính chất của tích phân theo chương trình chuẩn. Dưới đây là
các tính chất bổ sung:
1. 0d 0b
a
x
2. db
a
c x c b a
3. Nếu 0f x , ,x a b thì d 0.b
a
f x x
Hệ quả 3: Nếu hai hàm số f x và g x liên tục và thỏa mãn
, ,f x g x x a b thì d d .b b
a a
f x x g x x
Chú ý: Nếu f x liên tục và dương trên ,a b thì d 0b
a
f x x .
4. d d , .b b
a a
f x x f x x a b
5. Nếu , , ; ,m f x M x a b m M là các hằng số thì
db
a
m b a f x x M b a hay 1
db
a
m f x x Mb a
.
VI. Hai phương pháp cơ bản để tìm tích phân 1. Phương pháp đổi biến số
Định lý 1
Cho hàm số f x liên tục trên đoạn ; . a b Giả sử hàm số x t có đạo
hàm liên tục trên đoạn ; sao cho ;a b và a t b với
mọi ; . t Khi đó
d db
a
f x x f t t t
Từ định lý 1 ta rút ra các bước đổi biến số
1. Đặt ,x t ta xác định đoạn ; sao cho ,a b và
, ; ;a t b t
2. Biến đổi d d df x x f t t t g t t
3. Tìm một nguyên hàm G t của g t
4. Tính dg t t G G
5. Kết luận d .b
a
f x x G G
y
A
x
A
Hàm số lẻ
O
Hình 3.2
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN| 278
Ví dụ 1: Tính tích phân
3 2
30
d .1
x
I xx
A. 33
ln 432
I B. 4121
ln 44000
I C. ln 4 1 I D. 33
ln 432
I
Đáp án D.
Lời giải
Đặt 1 d d . x u x u
Đổi cận 0 1; 3 4 x u x u
Khi đó
24 4 42
3 3 2 3 21 1 1
1 42 1 1 2 1 2 1d d d ln
12
u u uI u u u u
u uu u u u u
33ln 4
32
Định lý 2
Cho hàm số f x liên tục trên đoạn ; .a b Nếu hàm số u u x có đạo
hàm liên tục trên đoạn ;a b và u x với mọi ; bx a sao cho
,f x g u x u x g u liên tục trên đoạn ; thì
d d .
u bb
a u a
f x x g u u
Từ định lý 2 ta rút ra các bước đổi biến số
1. Đặt ,u u x
2. Biến đổi d df x x g u u .
3. Tìm một nguyên hàm G u của g u .
4. Tính
d u b
u a
g u u G u b G u a .
5. Kết luận d b
a
f x x G u b G u a .
Ví dụ 2: Tính tích phân 2
2
0
sin .cos d .I x x x
A. 1
2I B.
1
3I C.
2
3I D.
1
5I
Đáp án B.
Lời giải
Đặt sin ;u x ta có
2 2 2sin cos d sin sin d d .x x x x x x u u
Hàm số 2 ; 0;1g u u u do 0 0; 12
u u
có nguyên hàm 3
.3
uG u
Vậy 1 32
2 2
0 0
1 1sin cos d d .
03 3
ux x x u u
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN | 279
2. Phương pháp tích phân từng phần
Tương tự tính nguyên hàm từng phần, ta có định lý sau đây.
Định lý
Nếu u u x và v v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
;a b thì
d db b
a a
bu x v x x u x v x u x v x x
a hay d d .
b b
a a
bu v uv v u
a
Ta có bảng sau
dxP x e x cos dP x x x ln dP x x x
u P x P x ln x
dv dxe x cos dx x dP x x
Ví dụ 3: Cho12
1
11 d
xbxI x e x ae c
x
với ; ; ; 0.a b c a Lúc này
S a b c có giá trị bằng
A. 1
2S B.
3
2S C.
1
3S D.
9
2S
Đáp án D.
Lời giải
Ta có 1 1 12 2 2
1 1 1
1 11 d d d 1
x x xx x xI x e x e x x e x
x x
Đặt 12
1
1
d .x
xI e x
Đặt
1 1
2
1d 1 d
d d
x xx xu e u e x
x
v x v x
Theo công thức tích phân từng phần ta có 1 12
1
1
2 1d 2
1
x xx xI xe x e x
x
Từ 1 ; 2 ta có
1 1 1 1 1 1 32 22 1
2 1 2
1 1
2 21 1. d d . 2. 1. 2. 1
1 1
x x x xx x x xI x e x e x x e x x e e e e
x x
3 92; ; 1 .
2 2a b c a b c
Trong thực tế, đôi khi
việc sử dụng phương
pháp tính tích phân
từng phần phải linh
hoạt, đôi khi phải dự
đoán khác thường như
ví dụ 1 dưới đây.
STUDY TIP
Ta thấy trong bài toán bên
việc sử dụng tích phân
từng phần ở đây rất thông
minh khi phát hiện được
2
1 11x
x x
khi nhân
thêm x sẽ triệt tiêu được 12
1
1d .
xxx e x
x
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN| 280
VII. Ứng dụng hình học của tích phân 1. Tính diện tích hình phẳng
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x liên tục,
trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b được tính theo công thức
d .b
a
S f x x
Chú ý: Trong trường hợp dấu của f x thay đổi trên đoạn ;a b thì ta phải chia
đoạn ;a b thành một số đoạn con để trên đó dấu của f x không đổi, do đó ta
có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn đó.
b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Cho hai hàm số y f x và y g x liên tục trên đoạn ;a b . Khi đó diện tích
S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,y f x y g x và hai đường
thẳng ,x a x b là db
a
S f x g x x .
Tương tự như chú ý ở trên thì ở bài toán này ta cũng phải xét đoạn mà dấu của
f x g x không đổi.
Chú ý:
Khi áp dụng công thức này cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số
dưới dấu tích phân. Muốn vậy ta phải giải phương trình
0f x g x trên đoạn ; .a b
Giả sử phương trình có hai nghiệm ;c d c d . Khi đó f x g x
không đổi dấu trên các đoạn ; , ; , ; .a c c d d b Trên mỗi đoạn đó,
chẳng hạn trên đoạn ;a c thì ta có
d dc c
a a
f x g x x f x g x x
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng ( hình được tô màu) ở biểu diễn ở hình 3.4.
Lời giải
Nhận thấy trên ;a c và ;d b thì 1 2f x f x ; trên ;c d thì 1 2
f x f x
Do vậy
1 2 1 2 2 1 1 2d d d
b c d b
a a c d
S f x f x f x f x x f x f x x f x f x x
(Trên đây là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối)
Ví dụ 5: Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường xy e , y , 0 x 0 và
4x ln . Đường thẳng x k k 0( ln4)chia H thành hai phần có diện tích là
1S và
2S như hình vẽ bên. Tìm k để
1 22S S .
A. 2
43
k ln B. 2k ln C. 8
3k ln D. 3k ln
Lời giải
Đáp án D.
y
x
a O b
Hình 3.3
a
y
x
O d c b
Hình 3.4
x
y
x
O
x
k
O
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN | 281
Nhìn vào hình vẽ ta có được các công thức sau: ln4
0
d 2. dk
x x
k
e x e x ln 4
2.0
x xke e
k 0 ln42. 2. 3 9k k ke e e e e
3 ln3ke k .
Ví dụ 6: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và
độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và
nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa
là 100.000 đồng/1 2m . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất
đó ? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)
A. 7.862.000 đồng. B.7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng.
Lời giải
Đáp án B.
Nhận thấy đây là bài toán áp dụng ứng dụng của tích phân vào tính diện tích
hình phẳng. Ta có hình vẽ bên:
Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp 4 lần diện tích phần gạch chéo, do đó
ta chỉ cần đi tìm diện tích phần gạch chéo.
Ta có phương trình đường elip đã cho là 22
2 21
8 5
yx . Xét trên 0; 4 nên 0y
thì 2 258
8y x . Khi đó
42 2
0
58 d
8cheoS x x , vậy diện tích trồng hoa của ông
An trên mảnh đất là 4
2 2
0
54. 8 d 76,5289182
8S x x
Khi đó số kinh phí phải trả của ông An là 76,5289182.100000 7.653.000 đồng.
c. Tính thể tích vật thể
Cho H là một vật thể nằm giới hạn giữa hai mặt phẳng x a và x b . Gọi
S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
hoành tại điểm có hoành độ x a x b . Giả sử S x là một hàm liên tục. Khi
đó thể tích V của H là d .b
a
V S x x (hình 3.5)
8m
a
Q
x O
P
S(x)
b x
Hình 3.5
O 8 -4 4
y
x
5
-5
-8
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN| 282
Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước
hình trụ có cùng bán kính đáy bằng a. ( hình 3.6)
A. 316
3
aV B.
32
3
aV C.
34
3
aV D. 3V a
Đáp án A.
Lời giải
Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể
V giới hạn bởi hai mặt trụ: 2 2 2x y a và 2 2 2x z a 0a .
Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi 0;x a ,
thiết diện của vật thể (vuông góc với trục Ox ) tại x là một hình vuông có cạnh
2 2y a x ( chính là phần gạch chéo trong hình 3.7). Do đó diện tích thiết
diện sẽ là:
2 2 2 2 2 2.S x a x a x a x 0; .x a
Khi đó áp dụng công thức * thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng:
2 2
0 0
8 d 8 da a
V S x x a x x
3 32 16
803 3
ax aa x .
Ví dụ 8: Tính thể tích của vật thể H biết rằng đáy của H là hình tròn 2 2 1x y
và thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành luôn là tam giác đều.
Lời giải
Giả sử mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ là
1 1x x cắt vật thể H theo thiết diện là tam giác ABC đều, với AB chứa
trong mặt phẳng xOy (hình 3.8).
Ta có 22 1AB x . Do đó 2
233 1 .
4
ABS x x Vậy
1 1
2
1 1
d 3 1 dV S x x x x
3 1 4 33
13 3
xx ( đvtt).
Hình 3.6
y
x
O
z
x
z
y
a
a
a
Hình 3.7
x
A
y C
B
A
O x
Hình 3.8
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN | 283
d. Tính thể tích khối tròn xoay
Định lý
Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên đoạn ,a b . Hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b
quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của khối
tròn xoay đó là 2 d .b
a
V f x x
Ví dụ 9: Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới
hạn bởi đường cong siny x , trục hoành và hai đường thẳng 0,x x (hình
3.10) quanh trục Ox là
A. 2
(đvtt) B.
2
2
(đvtt) C. (đvtt) D. 2 (đvtt)
Lời giải
Đáp án B.
Áp dụng công thức ở định lý trên ta có
2
0 0
sin d 1 cos2 d2
V x x x x
21sin 2 .
02 2 2x x
Tiếp theo dưới đây là một bài toán thường xuất hiện trong các đề thi thử, bài
toán có thể đưa về dạng quen thuộc và tính toán rất nhanh
Ví dụ 10: Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới
hạn bởi đường cong 2 2y A x và trục hoành quanh trục hoành.
Lời giải tổng quát
Ta thấy 2 2 2 2 2 2 2 2y A x y A x x y A
Do 2 2 0A x với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O,
bán kính R A nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng
sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính R A (hình 3.11). Do vậy ta có luôn
34. .
3V A
Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận
luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.
Đọc thêm Định lý
Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên đoạn ,a b 0a . Hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b
quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của khối tròn xoay
đó là 2 d .b
a
V xf x x
y
x O x
y = sinx
Hình 3.10
y
x O -A A
Hình 3.11
a
y
x O x
y = f (x)
b
Hình 3.9
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN| 284
VIII. Một số dạng tích phân thường gặp
Tích phân hàm phân thức hữu tỉ Trong bài toán này, ta sẽ tham khảo lại phần “Nguyên hàm phân thức
hữu tỉ” phía trên để hiểu được các định nghĩa phân thức hữu tỉ, phân thức hữu
tỉ thực sự và phân thức đơn giản, cùng các định lý đã được nêu ở phần nguyên
hàm ở phần trước.
Dưới đây là một số bài toán thường gặp về dạng này.
A. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI
1.2 2
d 1ln
2
u u aC
a u au a
2.
2 2
d 1ln .
2
u a uC
a a ua u
Kỹ năng biến đổi tam thức bậc hai 2 2
2
2
41.
2 4
b b acax bx c a x
a a
2. 22 2ax bx c mx n p
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tích phân dạng 1 2
d.
xI
ax bx c
Phương pháp chung
Biến đổi
1 2 2
d 1ln
2
mx n pxI
mp mx n pmx n p
Ví dụ 1: Cho 1
20
3ln
13d,
4 8 1 3
a b
xI
x x c
với ; ; ; 0.a b c c Đặt
,S a b c lúc này S có giá trị bằng
A. 20 37 3S B. 37 24 3S C. 57S D. 61S
Đáp án D.
Lời giải
Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có
1
20
1d 1 2 2 3ln
04 3 2 2 32 2 3
x xI
xx
37 20 3ln
131 2.1 2 3 2.0 2 3ln ln .
4 3 2.1 2 3 2.0 2 3 4 3
37 20 4 61.S a b c
Ví dụ 2: Cho 0
21
d 1 53.ln
7 10 4 53 53
x bI
x x a b
với ; ; 0.a b a Tích ab có
giá trị bằng
A. 24 B. 24 C. 48 D. 48
Đáp án A.
Lời giải
Áp dụng bài toán tổng quát ta có
STUDY TIP
1 2 2
d
1ln
2
b
a
xI
mx n p
bmx n p
amp mx n p
STUDY TIP
Khi mẫu thức có dạng tam
thức bậc hai thì thường
đưa về dạng
22 2 .ax bx c mx n p
Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing
LOVEBOOK.VN | 285
0 0
2 22 21 1
d d
53 5 5 532 2
2 2 2 2
x xI
x x
4. 1 5 5301 4 5 53 1 4.0 5 53.ln . ln ln
12 53 4 5 53 2 53 4.0 5 53 4. 1 5 53
x
x
=1 12 53
.ln .2 53 12 53
2; 12 24.a b ab
Dạng 2: Tính tích phân 2 2d .
mx nI x
ax bx c
Phương pháp chung
Cách 1:
2 2 2 2
22 d2 2 d
d2 2
m mbax b n
ax b xa a m mb xI x n
a aax bx c ax bx c ax bx c
2
12
d
2 2
ax bx cm mbn I
a aax bx c
2
1ln
2 2
m mbax bx c n I
a a
Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)
* Nếu mẫu số có nghiệm kép 0
x x tức là 22
0ax bx c a x x ta giả sử
2 2
0 0
mx n A B
x xax bx c x x
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số hai vế để tìm ; .A B
Sau khi tìm được ;A B thì ta có 2 0
0
A.ln .B
I x xx x
* Nếu mẫu số có 2 nghiệm phân biệt 2
1 2 1 2; :x x ax bx c a x x x x thì ta
giả sử:
21 2
Bmx n A
x x x xax bx c
Quy đồng và đồng nhất hệ số để tìm ; .A B
Sau khi tìm được ;A B ta có 2 1 2Aln ln .I x x B x x