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E x t r e m e v a l u e t h e o r y a s a r i s k m a n a g e m e n t t o o l
P a u l E m b r e c h t s , S i d n e y I . R e s n i c k a n d G e n n a d y S a m o r o d n i t s k y
A b s t r a c t
T h e n a n c i a l i n d u s t r y , i n c l u d i n g b a n k i n g a n d i n s u r a n c e , i s u n d e r g o i n g m a -
j o r c h a n g e s . T h e ( r e ) i n s u r a n c e i n d u s t r y i s i n c r e a s i n g l y e x p o s e d t o c a t a s t r o p h -
i c l o s s e s f o r w h i c h t h e r e q u e s t e d c o v e r i s o n l y j u s t a v a i l a b l e . D u e t o a n i n -
c r e a s i n g c o m p l e x i t y o f n a n c i a l i n s t r u m e n t s , s o p h i s t i c a t e d r i s k m a n a g e m e n t
t o o l s h a v e t o b e p u t i n t o p l a c e . T h e s e c u r i t i z a t i o n o f r i s k a n d a l t e r n a t i v e r i s k
t r a n s f e r h i g h l i g h t t h e c o n v e r g e n c e o f n a n c e a n d i n s u r a n c e a t t h e p r o d u c t
l e v e l . E x t r e m e v a l u e t h e o r y p l a y s a n i m p o r t a n t m e t h o d o l o g i c a l r o l e w i t h i n
t h e a b o v e .
1 I n t r o d u c t i o n
C o n s i d e r t h e t i m e s e r i e s i n T a b l e 1 o f l o s s { r a t i o s ( y e a r l y d a t a ) f o r e a r t h q u a k e i n s u r -
a n c e i n C a l i f o r n i a f r o m 1 9 7 1 t i l l 1 9 9 3 . T h e d a t a a r e t a k e n f r o m J a e a n d R u s s e l l
( 1 9 9 6 ) .
1 9 7 1 1 7 . 4 1 9 7 9 2 . 2 1 9 8 7 2 2 . 8
1 9 7 2 0 1 9 8 0 9 . 2 1 9 8 8 1 1 . 5
1 9 7 3 0 . 6 1 9 8 1 0 . 9 1 9 8 9 1 2 9 . 8
1 9 7 4 3 . 4 1 9 8 2 0 1 9 9 0 4 7 . 0
1 9 7 5 0 1 9 8 3 2 . 9 1 9 9 1 1 7 . 2
1 9 7 6 0 1 9 8 4 5 . 0 1 9 9 2 1 2 . 8
1 9 7 7 0 . 7 1 9 8 5 1 . 3 1 9 9 3 3 . 2
1 9 7 8 1 . 5 1 9 8 6 9 . 3
T a b l e 1 : C a l i f o r n i a e a r t h q u a k e d a t a
A r s t v e r s i o n o f t h i s p a p e r w a s p r e s e n t e d b y t h e r s t a u t h o r a s a n i n v i t e d p a p e r a t t h e
X X V I I I t h I n t e r n a t i o n a l A S T I N C o l l o q u i u m i n C a i r n s a n d p u b l i s h e d i n t h e c o n f e r e n c e p r o c e e d i n g s
u n d e r t h e t i t l e \ E x t r e m e s a n d I n s u r a n c e " . S i d n e y R e s n i c k a n d G e n n a d y S a m o r o d n i t s k y w e r e
p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y N S F G r a n t D M S - 9 7 - 0 4 9 8 2 a t C o r n e l l U n i v e r s i t y . P a u l E m b r e c h t s g r a t e f u l l y
a c k n o w l e d g e s t h e h o s p i t a l i t y o f t h e S c h o o l o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h a n d I n d u s t r i a l E n g i n e e r i n g ,
C o r n e l l U n i v e r s i t y d u r i n g F a l l 1 9 9 6 .
1
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O n t h e b a s i s o f t h e s e d a t a , w h o w o u l d h a v e g u e s s e d t h e 1 9 9 4 v a l u e o f 2 2 7 2 . 7 ? I n -
d e e d , o n t h e 1 7 t h o f J a n u a r y o f t h a t y e a r t h e 6 . 6 R i c h t e r s c a l e N o r t h r i d g e e a r t h q u a k e
h i t C a l i f o r n i a c a u s i n g a n i n s u r e d d a m a g e o f U S D 1 0 . 4 b i l l i o n a n d a t o t a l d a m a g e o f
U S D 3 0 b i l l i o n , m a k i n g 1 9 9 4 t h e y e a r w i t h t h e t h i r d h i g h e s t l o s s b u r d e n ( n a t u r a l
c a t a s t r o p h e s a n d m a j o r l o s s e s ) i n t h e h i s t o r y o f i n s u r a n c e . T h e f r o n t - r u n n e r s i n t h i s
s a d h i t p a r a d e a r e 1 9 9 2 ( t h e y e a r o f h u r r i c a n e A n d r e w ) a n d 1 9 9 0 ( t h e y e a r o f t h e
w i n t e r s t o r m s D a r i a a n d V i v i a n ) . F o r d e t a i l s o n t h e s e , s e e S i g m a ( 1 9 9 5 , 1 9 9 7 ) .
T h e r e i n s u r a n c e i n d u s t r y e x p e r i e n c e d a r i s e i n b o t h i n t e n s i t y a s w e l l a s m a g n i t u d e
o f l o s s e s d u e t o n a t u r a l a n d m a n { m a d e c a t a s t r o p h e s . F o r t h e U n i t e d S t a t e s a l o n e ,
C a n t e r , C o l e a n d S a n d o r ( 1 9 9 6 ) e s t i m a t e a n a p p r o x i m a t e U S D 2 4 5 b i l l i o n o f c a p i t a l
i n t h e i n s u r a n c e a n d r e i n s u r a n c e i n d u s t r y t o s e r v i c e a c o u n t r y t h a t h a s U S D 2 5
t o 3 0 t r i l l i o n w o r t h o f p r o p e r t y . N o s u r p r i s e t h a t t h e n a n c e i n d u s t r y h a s s e i z e d
u p o n t h i s b y o e r i n g ( o f t e n i n j o i n t v e n t u r e s w i t h t h e ( r e ) i n s u r a n c e w o r l d ) p r o p e r l y
s e c u r i t i z e d p r o d u c t s i n t h e r e a l m o f c a t a s t r o p h e i n s u r a n c e . A t a n i n c r e a s i n g p a c e ,
n e w p r o d u c t s a r e b e i n g b o r n . S o m e o f t h e m o n l y h a v e a s h o r t l i f e , a n d o t h e r s a r e
r e b o r n u n d e r a d i e r e n t s h a p e . S o m e d o n o t s u r v i v e . E x a m p l e s i n c l u d e :
| C A T f u t u r e s a n d P C S o p t i o n s ( C B O T ) : i n t h e s e c a s e s , s e c u r i t i z a t i o n i s a c h i e v -
e d t h r o u g h t h e c o n s t r u c t i o n o f d e r i v a t i v e s w r i t t e n o n a n e w l y c o n s t r u c t e d
i n d u s t r y w i d e l o s s { r a t i o i n d e x .
| C o n v e r t i b l e C A T b o n d s . T h e W i n t e r t h u r c o n v e r t i b l e h a i l { b o n d i s a n e x a m p l e .
T h i s E u r o p e a n t y p e c o n v e r t i b l e h a s a n e x t r a c o u p o n p a y m e n t c o n t i n g e n t o n
t h e o c c u r r e n c e o f a w e l l { d e n e d c a t { e v e n t : a n e x c e s s i v e n u m b e r o f c a r s i n
W i n t e r t h u r ' s S w i s s p o r t f o l i o d a m a g e d w i t h i n a h a i l s t o r m o v e r a s p e c i c t i m e
p e r i o d . F o r d e t a i l s , s e e S c h m o c k ( 1 9 9 7 ) .
F u r t h e r i n t e r e s t i n g n e w p r o d u c t s a r e t h e s o { c a l l e d m u l t i { l i n e , m u l t i { y e a r , h i g h l a y e r
( i n f r e q u e n t e v e n t ) p r o d u c t s , c r e d i t l i n e s , t h e c a t a s t r o p h e r i s k e x c h a n g e ( C A T E X ) .
F o r a b r i e f r e v i e w o n s o m e o f t h e s e i n s t r u m e n t s , s e e P u n t e r ( 1 9 9 7 ) . E x c e l l e n t
o v e r v i e w s s t r e s s i n g m o r e t h e n a n c i a l e n g i n e e r i n g o f s u c h p r o d u c t s a r e D o h e r t y
( 1 9 9 7 ) a n d T i l l e y ( 1 9 9 7 ) . T h i s w h o l e a r e a o f a l t e r n a t i v e r i s k t r a n s f e r a n d s e c u r i t i z a -
t i o n h a s b e c o m e a m a j o r a r e a o f a p p l i e d r e s e a r c h i n b o t h t h e b a n k i n g a n d i n s u r a n c e
i n d u s t r y . A c t u a r i e s a r e a c t i v e l y t a k i n g p a r t i n s o m e o f t h e n e w p r o d u c t d e v e l o p -
m e n t , a n d t h e r e f o r e h a v e t o c o n s i d e r t h e m e t h o d o l o g i c a l i s s u e s u n d e r l y i n g t h e s e a n d
s i m i l a r p r o d u c t s .
A l s o r e c e n t l y , s i m i l a r m e t h o d s a r e b e i n g i n t r o d u c e d i n t h e w o r l d o f n a n c e
t h r o u g h t h e e s t i m a t i o n o f V a l u e { a t { R i s k ( V a R ) a n d t h e s o { c a l l e d s h o r t f a l l ; s e e
B a s s i , E m b r e c h t s a n d K a f e t z a k i ( 1 9 9 7 ) a n d E m b r e c h t s , S a m o r o d n i t s k y a n d R e s n i c k
( 1 9 9 8 ) . V a l u e A t R i s k f o r E n d { U s e r s ( 1 9 9 7 ) c o n t a i n s a r e c e n t s u m m a r y o f s o m e
o f t h e m o r e a p p l i e d i s s u e s . M o r e g e n e r a l l y , e x t r e m e s m a t t e r e m i n e n t l y w i t h i n t h e
w o r l d o f n a n c e . I t i s n o c o i n c i d e n c e t h a t A l a n G r e e n s p a n , C h a i r m a n o f t h e B o a r d o f
G o v e r n o r s o f t h e F E D , r e m a r k e d a t a r e s e a r c h c o n f e r e n c e o n r i s k m e a s u r e m e n t a n d
s y s t e m i c r i s k ( W a s h i n g t o n , D . C . , 1 6 N o v e m b e r 1 9 9 6 ) , t h a t \ W o r k t h a t c h a r a c t e r i z e s
t h e s t a t i s t i c a l d i s t r i b u t i o n o f e x t r e m e e v e n t s w o u l d b e u s e f u l , a s w e l l . "
F o r t h e g e n e r a l o b s e r v e r , e x t r e m e s i n t h e r e a l m o f n a n c e m a n i f e s t t h e m s e l v e s
m o s t c l e a r l y t h r o u g h s t o c k m a r k e t c r a s h e s o r i n d u s t r y l o s s e s . I n F i g u r e 1 , w e h a v e
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p l o t t e d t h e e v e n t s l e a d i n g u p t o a n d i n c l u d i n g t h e 1 9 8 7 c r a s h f o r e q u i t y d a t a ( S & P ) .
E x t r e m e V a l u e T h e o r y ( E V T ) y i e l d s m e t h o d s f o r q u a n t i f y i n g s u c h e v e n t s a n d t h e i r
c o n s e q u e n c e s i n a s t a t i s t i c a l l y o p t i m a l w a y . S e e f o r i n s t a n c e M c N e i l ( 1 9 9 8 ) f o r
a n i n t e r e s t i n g d i s c u s s i o n o n t h e 1 9 8 7 c r a s h e x a m p l e . F o r a g e n e r a l e q u i t y b o o k
f o r i n s t a n c e , a r i s k m a n a g e r w i l l b e i n t e r e s t e d i n e s t i m a t i n g t h e r e s u l t i n g d o w n { s i d e
r i s k w h i c h t y p i c a l l y c a n b e r e f o r m u l a t e d i n t e r m s o f a q u a n t i l e f o r a P r o t { a n d { L o s s
( P & L ) f u n c t i o n .
Time
S&P500
220
240
260
280
300
320
340
02.01.87 02.03.87 02.05.87 02.07.87 02.09.87 02.11.87
F i g u r e 1 : 1 9 8 7 C r a s h
A n o t h e r a r e a o f r i s k { m a n a g e m e n t r e s e a r c h w h e r e E V T i s i n c r e a s i n g l y p l a y i n g a n
i m p o r t a n t r o l e i s i n c r e d i t r i s k m a n a g e m e n t . T h e i n t e r e s t e d r e a d e r m a y b r o w s e
J . P . M o r g a n ' s w e b s i t e f o r i n f o r m a t i o n o n C r e d i t M e t r i c s . I t i s n o c o i n c i d e n c e t h a t
b i g i n v e s t m e n t b a n k s a r e l o o k i n g a t a c t u a r i a l m e t h o d s f o r t h e s i z i n g o f r e s e r v e s t o
g u a r d a g a i n s t f u t u r e c r e d i t l o s s e s . S w i s s B a n k C o r p o r a t i o n f o r i n s t a n c e i n t r o d u c e d
A C R A ( A c t u a r i a l C r e d i t R i s k A c c o u n t i n g ) f o r c r e d i t r i s k m a n a g e m e n t ; s e e F i g u r e 2 .
I n t h e i r r i s k m e a s u r e m e n t f r a m e w o r k , t h e y u s e t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s :
e x p e c t e d l o s s : t h e l o s s e s w h i c h m u s t b e a s s u m e d t o a r i s e o n a c o n t i n u i n g
b a s i s a s a c o n s e q u e n c e o f u n d e r t a k i n g p a r t i c u l a r b u s i n e s s ,
u n e x p e c t e d l o s s e s : t h e u n u s u a l , t h o u g h p r e d i c t a b l e , l o s s e s w h i c h t h e B a n k
s h o u l d b e a b l e t o a b s o r b i n t h e n o r m a l c o u r s e o f i t s
b u s i n e s s ,
s t r e s s l o s s : t h e p o s s i b l e { a l t h o u g h i m p r o b a b l e { e x t r e m e s c e n a r i o s
w h i c h t h e B a n k m u s t b e a b l e t o s u r v i v e .
E V T o e r s a n i m p o r t a n t s e t o f t e c h n i q u e s f o r q u a n t i f y i n g t h e b o u n d a r i e s b e t w e e n
t h e s e d i e r e n t l o s s { c l a s s e s . M o r e o v e r , E V T o e r s a s c i e n t i c l a n g u a g e f o r t r a n s l a t i n g
m a n a g e m e n t g u i d e l i n e s o n t h e s e b o u n d a r i e s i n t o a c t u a l n u m b e r s . A n a l e x a m p l e
w h e r e E V T o e r s h e l p i s i n t h e a r e a o f m o d e l i n g d e f a u l t p r o b a b i l i t i e s a n d t h e e s -
t i m a t i o n o f s o { c a l l e d d i v e r s i c a t i o n f a c t o r s i n t h e m a n a g e m e n t o f b o n d p o r t f o l i o s .
M a n y m o r e e x a m p l e s c o u l d h a v e b e e n a d d e d .
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4
500 1000 1500 2000 2500 3000
Frequency of loan losses
Losses
Traditional
systems
New Systems
Statisticalmean
Expected loss Unexpected loss Stress loss
Abs orbed by net profit Abs orbed by capital
Absorbed by ACRA reserveAbsorbed bynet profit
Absorbed bycapital
F i g u r e 2 : A C R A : A c t u a r i a l C r e d i t R i s k A c c o u n t i n g
I t i s o u r a i m i n t h i s p a p e r t o r e v i e w s o m e o f t h e b a s i c t o o l s f r o m E V T r e l e v a n t
f o r i n d u s t r y w i d e r i s k m a n a g e m e n t . S o m e e x a m p l e s t o w a r d s t h e e n d o f t h e p a p e r
s h o u l d g i v e t h e r e a d e r a b e t t e r i d e a o f t h e k i n d o f a n s w e r s E V T p r o v i d e s . M o s t o f t h e
m a t e r i a l c o v e r e d i n t h e p a p e r ( a n d i n d e e d m u c h m o r e ) i s t o b e f o u n d i n E m b r e c h t s ,
K l u p p e l b e r g a n d M i k o s c h ( 1 9 9 7 ) . T h e l a t t e r b o o k a l s o c o n t a i n s a n e x t e n s i v e l i s t o f
f u r t h e r r e f e r e n c e s . F o r r e f e r e n c e o f s p e c i c r e s u l t s i n t h i s b o o k w e w i l l o c c a s i o n a l l y
r e f e r t o i t a s E K M ( ) w h e r e ( ) r e f e r s t o a s p e c i c r e s u l t .
2 T h e b a s i c t h e o r y
A s a l r e a d y ( i m p l i c i t l y ) s t a t e d i n t h e i n t r o d u c t i o n , t h e s t a t i s t i c a l a n a l y s i s o f e x t r e m e s
i s k e y t o m a n y o f t h e r i s k m a n a g e m e n t p r o b l e m s r e l a t e d t o i n s u r a n c e , r e i n s u r a n c e
a n d n a n c e . I n o r d e r t o r e v i e w s o m e o f t h e b a s i c i d e a s u n d e r l y i n g E V T , w e d i s c u s s
t h e m o s t i m p o r t a n t r e s u l t s u n d e r t h e s i m p l i f y i n g i i d a s s u m p t i o n : l o s s e s w i l l b e
a s s u m e d t o b e i n d e p e n d e n t a n d i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d . M o s t o f t h e r e s u l t s c a n b e
e x t e n d e d t o m u c h m o r e g e n e r a l m o d e l s . I n E x a m p l e 4 . 2 a r s t i n d i c a t i o n o f s u c h
a g e n e r a l i z a t i o n w i l l b e g i v e n .
T h r o u g h o u t t h i s p a p e r , l o s s e s w i l l a l w a y s b e d e n o t e d a s p o s i t i v e ; c o n s e q u e n t l y
w e c o n c e n t r a t e i n o u r d i s c u s s i o n b e l o w o n o n e { s i d e d d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s ( d f s ) f o r
p o s i t i v e r a n d o m v a r i a b l e s ( r v s ) .
G i v e n b a s i c l o s s d a t a
X
1
; X
2
; : : : ; X
n
i i d w i t h d f F ; ( 1 )
w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e r a n d o m v a r i a b l e s
X
n ; n
= m i n ( X
1
; : : : ; X
n
) ; X
1 ; n
= m a x ( X
1
; : : : ; X
n
) : ( 2 )
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5
O r i n d e e d u s i n g t h e f u l l s e t o f s o { c a l l e d o r d e r s t a t i s t i c s
X
n ; n
X
n ? 1 ; n
X
1 ; n
; ( 3 )
w e m a y b e i n t e r e s t e d i n
k
X
r = 1
h
r
( X
r ; n
) ( 4 )
f o r c e r t a i n f u n c t i o n s h
r
, r = 1 ; : : : ; k a n d k = k ( n ) . A n i m p o r t a n t e x a m p l e c o r r e -
s p o n d s t o h
r
1
k
, r = 1 ; : : : ; k , i . e . w e a v e r a g e t h e k l a r g e s t l o s s e s X
1 ; n
; : : : ; X
k ; n
.
A n o t h e r i m p o r t a n t e x a m p l e w o u l d b e t o t a k e k = n , h
r
( x ) = ( x ? u )
+
w h e r e y
+
=
m a x ( 0 ; y ) , f o r a g i v e n l e v e l u > 0 . I n t h i s c a s e w e s u m a l l e x c e s s e s o v e r u o f l o s s e s
l a r g e r t h a n u . T y p i c a l l y w e w o u l d n o r m a l i z e t h i s s u m b y t h e n u m b e r o f s u c h e x -
c e e d a n c e s y i e l d i n g t h e s o { c a l l e d e m p i r i c a l m e a n e x c e s s f u n c t i o n ; s e e E x a m p l e 4 . 1 .
M o s t o f t h e s t a n d a r d r e i n s u r a n c e t r e a t i e s a r e o f ( o r c l o s e t o ) t h e f o r m ( 4 ) . T h e l a s t
e x a m p l e g i v e n c o r r e s p o n d s t o a n e x c e s s { o f { l o s s ( X L { ) t r e a t y w i t h p r i o r i t y u .
I n \ c l a s s i c a l " p r o b a b i l i t y t h e o r y a n d s t a t i s t i c s m o s t o f t h e r e s u l t s r e l e v a n t f o r
i n s u r a n c e a n d n a n c e a r e b a s e d o n s u m s
S
n
=
n
X
r = 1
X
r
:
I n d e e d t h e l a w s o f l a r g e n u m b e r s , t h e c e n t r a l l i m i t t h e o r e m ( i n i t s v a r i o u s d e g r e e s o f
c o m p l e x i t y ) , r e n e m e n t s l i k e B e r r y { E s s e e n , E d g e w o r t h , s a d d l e { p o i n t a n d n o r m a l {
p o w e r a p p r o x i m a t i o n s a l l s t a r t f r o m S
n
{ t h e o r y . T h e r e f o r e , w e n d i n o u r s u m {
t o o l k i t s u c h i t e m s l i k e
| t h e n o r m a l d i s t r i b u t i o n s N ( ;
2
) ,
| t h e { s t a b l e d i s t r i b u t i o n s , 0 <
-
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6/22
6
S o l u t i o n :
T h e b a s i c a s s u m p t i o n y i e l d s t h a t
X
1
; : : : ; X
1 0 0
a r e i i d w i t h d f P ( X
1
x ) = 1 ? e
? x = 1 0
; x 0 :
T h e r e f o r e , f o r M
n
= m a x ( X
1
; : : : ; X
n
) ,
P ( M
1 0 0
> x ) = 1 ? ( P ( X
1
x ) )
1 0 0
= 1 ?
?
1 ? e
? x = 1 0
1 0 0
:
F r o m t h i s , w e i m m e d i a t e l y o b t a i n
P ( M
1 0 0
5 0 ) = 0 : 4 9 1 4
P ( M
1 0 0
1 0 0 ) = 0 : 0 0 4 5 3 :
H o w e v e r , r a t h e r t h a n d o i n g t h e ( e a s y ) e x a c t c a l c u l a t i o n s a b o v e , c o n s i d e r t h e f o l l o w -
i n g a s y m p t o t i c a r g u m e n t . F i r s t , f o r a l l n 1 a n d x 2 R,
P
M
n
1 0
? l o g n x
= P ( M
n
1 0 ( x + l o g n ) )
=
1 ?
e
? x
n
n
;
s o t h a t
l i m
n ! 1
P
M
n
1 0
? l o g n x
= e
? e
? x
( x ) :
T h e r e f o r e , u s e t h e a p p r o x i m a t i o n
P ( M
n
x )
x
1 0
? l o g n
t o o b t a i n
P ( M
1 0 0
5 0 ) 0 : 4 9 0 2 ;
P ( M
1 0 0
1 0 0 ) 0 : 0 0 4 5 3 ;
v e r y m u c h i n a g r e e m e n t w i t h t h e e x a c t c a l c u l a t i o n s a b o v e . 2
S u p p o s e w e w e r e a s k e d t h e s a m e q u e s t i o n , b u t n o w w e w o u l d h a v e m u c h l e s s s p e c i c
i n f o r m a t i o n o n F ( x ) = P ( X
1
x ) , c o u l d w e s t i l l p r o c e e d ? T h i s i s e x a c t l y t h e p o i n t
w h e r e c l a s s i c a l E V T e n t e r s . I n t h e a b o v e e x e r c i s e , w e h a v e p r o v e d t h e f o l l o w i n g .
P r o p o s i t i o n 1 S u p p o s e X
1
; : : : ; X
n
a r e i i d w i t h d f F E X P ( ) , t h e n f o r x 2 R:
l i m
n ! 1
P ( M
n
? l o g n x ) = ( x ) : 2
-
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7
H e r e a r e t h e k e y q u e s t i o n s :
Q 1 : W h a t i s s p e c i a l a b o u t ? C a n w e g e t o t h e r l i m i t s , p o s s i b l y f o r o t h e r
d f s F ?
Q 2 : H o w d o w e n d t h e n o r m i n g c o n s t a n t s a n d l o g n i n g e n e r a l ? T h a t
i s , n d a
n
a n d b
n
s o t h a t
l i m
n ! 1
P
M
n
? b
n
a
n
x
e x i s t s .
Q 3 : G i v e n a l i m i t c o m i n g o u t o f Q 1 , f o r w h i c h d f s F a n d n o r m i n g c o n s t a n t s
f r o m Q 2 , d o w e h a v e c o n v e r g e n c e t o t h a t l i m i t ? C a n o n e s a y s o m e t h i n g
a b o u t s e c o n d o r d e r b e h a v i o u r , i . e . s p e e d o f c o n v e r g e n c e ?
T h e s o l u t i o n t o Q 1 f o r m s p a r t o f t h e f a m o u s F i s h e r { T i p p e t t t h e o r e m .
T h e o r e m 2 ( E K M ( T h e o r e m 3 . 2 . 3 ) ) S u p p o s e X
1
; : : : ; X
n
a r e i i d w i t h d f F a n d
( a
n
) , ( b
n
) a r e c o n s t a n t s s o t h a t f o r s o m e n o n { d e g e n e r a t e l i m i t d i s t r i b u t i o n G ,
l i m
n ! 1
P
M
n
? b
n
a
n
x
= G ( x ) : x 2 R ;
T h e n G i s o f o n e o f t h e f o l l o w i n g t y p e s :
| T y p e I ( F r e c h e t ) :
( x ) =
8
0 ;
e x p f ? x
?
g ; x > 0
| T y p e I I ( W e i b u l l ) :
( x ) =
8
0 ;
1 ; x > 0
| T y p e I I I ( G u m b e l ) :
( x ) = e x p
? e
? x
; x 2 R : 2
G i s o f t h e t y p e H m e a n s t h a t f o r s o m e a > 0 , b 2 R, G ( x ) = H ( ( x ? b ) = a ) , x 2 R,
a n d t h e d i s t r i b u t i o n s o f o n e o f t h e a b o v e t h r e e t y p e s a r e c a l l e d e x t r e m e v a l u e d i s -
t r i b u t i o n s . A l t e r n a t i v e l y , a n y e x t r e m e v a l u e d i s t r i b u t i o n c a n b e r e p r e s e n t e d a s
H
; ;
( x ) = e x p
(
?
1 +
x ?
? 1 =
+
)
; x 2 R :
-
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8
-5 0 5 100.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Weibull
Gumbel
Frechet
F i g u r e 3 : S o m e e x a m p l e s o f e x t r e m e v a l u e d i s t r i b u t i o n s H
; 0 ; 1
f o r = 3 = 4 ( F r e c h e t ) ,
= 0 ( G u m b e l ) a n d = ? 3 = 4 ( W e i b u l l )
H e r e 2 R, 2 R a n d > 0 . T h e c a s e > 0 ( 0 ,
l i m
n ! 1
P
M
n
? b
n
a
n
x
=
( x )
w h e r e b
n
= 0 a n d a
n
= F
?
1 ?
1
n
. T h e c o n v e r s e o f t h i s r e s u l t a l s o h o l d s t r u e . 2
-
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9
A d f F s a t i s f y i n g ( 5 ) i s c a l l e d r e g u l a r l y v a r y i n g w i t h i n d e x ? , d e n o t e d b y F =
1 ? F 2 R
?
. A n i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e o f t h e c o n d i t i o n F 2 R
?
i s t h a t f o r
a r v X w i t h d f F ,
E X
:
( 6 )
I n i n s u r a n c e a p p l i c a t i o n s , o n e o f t e n n d s { v a l u e s i n t h e r a n g e ( 1 ; 2 ) w h e r e a s i n
n a n c e ( e q u i t y d a i l y l o g { r e t u r n s s a y ) a n i n t e r v a l ( 2 ; 5 ) i s c o m m o n . T h e o r e m 3 i s
a l s o r e f o r m u l a t e d a s : t h e m a x i m a l d o m a i n o f a t t r a c t i o n o f
i s R
?
, i . e .
M D A (
) = R
?
:
D f s b e l o n g i n g t o R
?
a r e f o r o b v i o u s r e a s o n s a l s o c a l l e d o f P a r e t o t y p e . T h o u g h w e
c a n c a l c u l a t e t h e n o r m i n g c o n s t a n t s , t h e c a l c u l a t i o n o f a
n
d e p e n d s o n t h e t a i l o f F
w h i c h i n p r a c t i c e i s u n k n o w n . T h e c o n s t r u c t i o n o f M D A (
) i s a l s o f a i r l y e a s y , t h e
m a i n d i e r e n c e b e i n g t h a t f o r F 2 M D A (
) ,
x
F
s u p f x 2 R : F ( x )
-
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1 0
w h e r e F
u
( x ) = P ( X ? u x j X > u ) , a n d t h e g e n e r a l i z e d P a r e t o d f i s g i v e n
b y
G
;
( x ) = 1 ?
1 +
x
? 1 =
+
; ( 9 )
f o r > 0 . 2
I t i s e x a c t l y t h e s o { c a l l e d e x c e s s d f F
u
w h i c h b o t h r i s k m a n a g e r s a s w e l l a s r e i n s u r e r s
s h o u l d b e i n t e r e s t e d i n . T h e o r e m 4 s t a t e s t h a t f o r l a r g e u , F
u
h a s a g e n e r a l i z e d
P a r e t o d f ( 9 ) . N o w i n o r d e r t o e s t i m a t e t h e t a i l F ( u + x ) f o r a x e d l a r g e v a l u e o f u
a n d a l l x 0 c o n s i d e r t h e t r i v i a l i d e n t i t y
F ( u + x ) = F ( u ) F
u
( x ) ; u ; x 0 : ( 1 0 )
I n o r d e r t o e s t i m a t e F ( u + x ) , o n e r s t e s t i m a t e s F ( u ) b y t h e e m p i r i c a l e s t i m a t o r
?
F ( u )
b
=
N
u
n
w h e r e N
u
= # f 1 i n : X
i
> u g . I n o r d e r t o h a v e a \ g o o d " e s t i m a t o r f o r F ( u ) ,
w e n e e d u n o t t o o l a r g e : t h e l e v e l u h a s t o b e w e l l w i t h i n t h e d a t a . G i v e n s u c h
a u { v a l u e , w e a p p r o x i m a t e F
u
( x ) v i a ( 8 ) b y
?
F
u
( x )
b
= G
;
( u )
( x )
f o r s o m e e s t i m a t o r s
a n d
( u ) d e p e n d i n g o n u . F o r t h i s t o w o r k w e l l , w e n e e d u l a r g e
( i n d e e d i n T h e o r e m 4 i i u " x
F
, t h e l a t t e r b e i n g + 1 i n t h e F r e c h e t c a s e ) . A \ g o o d "
e s t i m a t o r i s o b t a i n e d v i a a t r a d e { o b e t w e e n t h e s e t w o c o n i c t i n g r e q u i r e m e n t s
o n u .
T h e w h o l e s t a t i s t i c a l t h e o r y d e v e l o p e d i n o r d e r t o w o r k o u t t h e a b o v e p r o g r a m
r u n s u n d e r t h e n a m e P e a k s o v e r T h r e s h o l d s M e t h o d a n d i s d i s c u s s e d i n d e t a i l i n
E m b r e c h t s , K l u p p e l b e r g a n d M i k o s c h ( 1 9 9 7 , S e c t i o n 6 . 5 ) , M c N e i l a n d S a l a d i n ( 1 9 9 7 )
a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n . S o f t w a r e ( S { p l u s ) i m p l e m e n t a t i o n c a n b e f o u n d o n
h t t p : / / w w w . m a t h . e t h z . c h / m c n e i l / s o f t w a r e .
T h i s m a x i m u m l i k e l i h o o d b a s e d a p p r o a c h a l s o a l l o w s f o r m o d e l i n g o f t h e e x c e s s
i n t e n s i t y N
u
, a s w e l l a s t h e m o d e l i n g o f t i m e ( o r o t h e r c o { v a r i a b l e ) d e p e n d e n c e i n
t h e r e l e v a n t m o d e l p a r a m e t e r s . A s s u c h , a h i g h l y v e r s a t i l e m o d e l i n g m e t h o d o l o g y f o r
e x t r e m a l e v e n t s i s a v a i l a b l e . R e l a t e d a p p r o a c h e s w i t h a p p l i c a t i o n t o i n s u r a n c e a r e
t o b e f o u n d i n B e i r l a n t , T e u g e l s a n d V y n c k i e r ( 1 9 9 6 ) , R e i s s a n d T h o m a s ( 1 9 9 7 ) a n d
t h e r e f e r e n c e s t h e r e i n . I n t e r e s t i n g c a s e s t u d i e s u s i n g u p { t o { d a t e E V T m e t h o d o l o g y
a r e M c N e i l ( 1 9 9 7 ) , R e s n i c k ( 1 9 9 7 ) a n d R o o t z e n a n d T a j v i d i ( 1 9 9 7 ) . T h e v a r i o u s
s t e p s n e e d e d t o p e r f o r m a q u a n t i l e e s t i m a t i o n w i t h i n t h e a b o v e E V T c o n t e x t a r e
n i c e l y r e v i e w e d i n M c N e i l a n d S a l a d i n ( 1 9 9 7 ) , w h e r e a l s o a s i m u l a t i o n s t u d y i s t o
b e f o u n d . I n t h e n e x t s e c t i o n , w e i l l u s t r a t e t h e m e t h o d o l o g y o n r e a l a n d s i m u l a t e d
d a t a r e l e v a n t f o r i n s u r a n c e a n d n a n c e .
-
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1 1
4 E x a m p l e s
4 . 1 I n d u s t r i a l r e i n s u r a n c e d a t a
I n o r d e r t o h i g h l i g h t t h e m e t h o d o l o g y b r i e y d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s , w e
r s t a p p l y i t t o 8 0 4 3 i n d u s t r i a l r e i n s u r a n c e c l a i m s . W e s h o w h o w a t a i l { t a n d t h e
r e s u l t i n g q u a n t i l e e s t i m a t e s c a n b e o b t a i n e d . C l e a r l y , a f u l l a n a l y s i s ( a s f o r i n s t a n c e
t o b e f o u n d i n R o o t z e n a n d T a j v i d i ( 1 9 9 7 ) f o r w i n d s t o r m d a t a ) w o u l d r e q u i r e a l o t
m o r e w o r k . W e h a v e g r o u p e d t h e g u r e s t o w a r d s t h e e n d o f t h e e x a m p l e .
-5 0 5 10
0
200
400
600
800
1000
F i g u r e 4 : L o g { h i s t o g r a m o f t h e r e i n s u r a n c e d a t a
F i g u r e 4 c o n t a i n s t h e l o g { h i s t o g r a m o f t h e d a t a . T h e r i g h t { s k e w n e s s s t r e s s e s t h e
l o n g { t a i l e d b e h a v i o u r o f t h e u n d e r l y i n g d a t a . A u s e f u l p l o t i n o r d e r t o s p e c i f y t h e
l o n g { t a i l e d n a t u r e o f d a t a i s t h e s o { c a l l e d m e a n { e x c e s s p l o t a s g i v e n i n F i g u r e 5 . I n
i t , t h e m e a n { e x c e s s f u n c t i o n e ( u ) = E ( X ? u j X > u ) i s e s t i m a t e d b y i t s e m p i r i c a l
c o u n t e r p a r t
e
n
( u ) =
1
# f 1 i n : X
i
> u g
n
X
i = 1
( X
i
? u )
+
:
T h e P a r e t o d f c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y l i n e a r i t y ( p o s i t i v e s l o p e ) o f e ( u ) . I n g e n e r a l ,
l o n g { t a i l e d d f s e x h i b i t a n u p w a r d s s l o p i n g b e h a v i o u r , e x p o n e n t i a l { t y p e d f s h a v e
r o u g h l y a c o n s t a n t m e a n e x c e s s p l o t , w h e r e a s s h o r t { t a i l e d d a t a y i e l d a p l o t d e c r e a s -
i n g t o 0 . I n o u r c a s e , t h e u p w a r d t r e n d c l e a r l y s t r e s s e s t h e l o n g { t a i l e d b e h a v i o u r .
T h e i n c r e a s e i n v a r i a b i l i t y t o w a r d s t h e u p p e r e n d o f t h e p l o t i s c h a r a c t e r i s t i c o f t h e
t e c h n i q u e , s i n c e t o w a r d s t h e l a r g e s t o b s e r v a t i o n X
1 ; n
, o n l y f e w d a t a p o i n t s g o i n t o
t h e c a l c u l a t i o n o f e
n
( u ) . T h e m a i n a i m o f o u r E V T { a n a l y s i s i s t o n d a t o f t h e
u n d e r l y i n g d f F ( x ) ( o r o f i t s t a i l F ( x ) ) b y a g e n e r a l i z e d P a r e t o d f , e s p e c i a l l y f o r t h e
l a r g e r v a l u e s o f x . T h e e m p i r i c a l d f F
n
i s g i v e n i n F i g u r e 6 o n a d o u b l y l o g a r i t h -
m i c s c a l e . T h i s s c a l e i s u s e d t o h i g h l i g h t t h e t a i l r e g i o n . H e r e a n e x a c t P a r e t o d f
c o r r e s p o n d s t o a l i n e a r p l o t .
-
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12/22
1 2
Threshold
MeanExcessOverThreshold
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
F i g u r e 5 : M e a n { e x c e s s p l o t o f t h e r e i n s u r a n c e d a t a
10^-2 10^-1 10^0 10^1 10^2 10^3 10^4
0.0001
0.0010
0.0100
0.1
000
1.0000
x (on log scale)
1-F(x)(onlogscale)
F i g u r e 6 : E m p i r i c a l e s t i m a t o r o f F o n d o u b l y l o g a r i t h m i c s c a l e
U s i n g t h e t h e o r y p r e s e n t e d i n T h e o r e m s 2 a n d 4 , a m a x i m u m l i k e l i h o o d b a s e d
a p p r o a c h y i e l d s e s t i m a t e s f o r t h e p a r a m e t e r s o f t h e e x t r e m e v a l u e d f H
; ;
a n d t h e
g e n e r a l i z e d P a r e t o d f G
;
. I n o r d e r t o s t a r t t h i s p r o c e d u r e , a t h r e s h o l d v a l u e u h a s
t o b e c h o s e n a s e s t i m a t e s d e p e n d o n t h e e x c e s s e s o v e r t h i s t h r e s h o l d . T h e e s t i m a t e s
o f t h e k e y s h a p e p a r a m e t e r a s a f u n c t i o n o f u ( a l t e r n a t i v e l y , a s a f u n c t i o n o f t h e
n u m b e r o f o r d e r s t a t i s t i c s u s e d ) i s g i v e n i n F i g u r e 7 . A p p r o x i m a t e 9 5 % c o n d e n c e
i n t e r v a l s a r e g i v e n . T h e p i c t u r e s h o w s a r a t h e r s t a b l e b e h a v i o u r f o r v a l u e s o f u
b e l o w 3 0 0 s a y . A n e s t i m a t e i n t h e r a n g e ( 0 : 7 ; 0 : 9 ) r e s u l t s , w h i c h c o r r e s p o n d s t o a n
{ v a l u e i n t h e r a n g e ( 1 : 1 ; 1 : 4 ) . I t s h o u l d b e r e m a r k e d t h a t t h e \ o p t i m a l " v a l u e o f
t h e t h r e s h o l d u t o b e u s e d i s d i c u l t ( i f n o t i m p o s s i b l e ) t o o b t a i n . S e e E m b r e c h t s ,
K l u p p e l b e r g a n d M i k o s c h ( 1 9 9 7 , p . 3 5 1 ) a n d B e i r l a n t , T e u g e l s a n d V y n c k i e r ( 1 9 9 6 )
f o r s o m e d i s c u s s i o n . W e a l s o w o u l d l i k e t o s t r e s s t h a t i n o r d e r t o p r o d u c e F i g u r e 7 ,
a m u l t i t u d e o f m o d e l s ( o n e f o r e a c h u c h o s e n ) h a s t o b e e s t i m a t e d .
F o r e a c h g i v e n u , a t a i l { t f o r F
u
a n d F ( a s i n ( 1 0 ) ) c a n b e o b t a i n e d . F o r t h e
f o r m e r , i n t h e c a s e o f u = 1 0 0 a n e s t i m a t e
= 0 : 7 4 7 r e s u l t s . A g r a p h i c a l r e p r e s e n -
-
8/7/2019 EVT PAper
13/22
1 3
Exceedances
Shape(
xi)(CI,p=0.95)
15 48 81 115 148 182 215 249 282 316 349 382 416 449 483
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
695.0 224.0 141.0 88.6 68.9 51.1 42.9 36.5 30.3 27.0
F i g u r e 7 : M a x i m u m l i k e l i h o o d e s t i m a t e o f a s a f u n c t i o n o f t h e t h r e s h o l d u ( t o p ) ,
a l t e r n a t i v e l y , a s a f u n c t i o n o f t h e n u m b e r o f e x c e e d a n c e s
t a t i o n o f
F
1 0 0
i s g i v e n i n F i g u r e 8 . U s i n g t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s c o r r e s p o n d i n g t o
u = 1 0 0 i n ( 1 0 ) t h e t a i l { t o f F o n d o u b l y l o g a r i t h m i c s c a l e i s g i v e n i n F i g u r e 9 .
100 500 1000 5000 10000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x (on log scale)
Fu(x-u)
F i g u r e 8 : M a x i m u m l i k e l i h o o d t o f t h e m e a n e x c e s s t a i l d f F
u
b a s e d o n e x c e e d a n c e s
a b o v e u = 1 0 0
T h o u g h w e h a v e e x t e n d e d t h e g e n e r a l i z e d P a r e t o t t o t h e l e f t o f u = 1 0 0 , c l e a r l y
o n l y t h e r a n g e a b o v e t h i s u { v a l u e i s r e l e v a n t . T h e t t i n g m e t h o d i s o n l y d e s i g n e d
f o r t h e t a i l . B e l o w u ( w h e r e t y p i c a l l y d a t a a r e a b u n d a n t ) o n e c o u l d u s e a s m o o t h
v e r s i o n o f t h e e m p i r i c a l d f . F r o m t h e l a t t e r p l o t , q u a n t i l e e s t i m a t e s c a n b e d e d u c e d .
F i g u r e 1 0 c o n t a i n s a s a n e x a m p l e t h e e s t i m a t e f o r t h e 9 9 . 9 % q u a n t i l e x
0 9 9 9
t o -
g e t h e r w i t h t h e p r o l e l i k e l i h o o d . T h e l a t t e r c a n b e u s e d t o n d c o n d e n c e i n t e r v a l s
f o r x
0 9 9 9
. T h e 9 5 % a n d 9 9 % i n t e r v a l s a r e g i v e n .
F i g u r e 1 1 c o n t a i n s t h e s a m e p i c t u r e b u t t h e ( s y m m e t r i c ) c o n d e n c e i n t e r v a l s a r e
-
8/7/2019 EVT PAper
14/22
1 4
10^-2 10^-1 10^0 10^1 10^2 10^3 10^4
0.0001
0.0010
0.0100
0.1000
1.0000
x (on log scale)
1-F(x)(onlogscale)
F i g u r e 9 : T a i l { t f o r F b a s e d o n a t h r e s h o l d v a l u e o f u = 1 0 0 , d o u b l y l o g a r i t h m i c
s c a l e
10^-2 10^-1 10^0 10^1 10^2 10^3 10^4
0.0001
0.0010
0.0100
0.1000
1.0000
x (on log scale)
1-F(x)(onlogscale)
10^-2 10^-1 10^0 10^1 10^2 10^3 10^4
0.0001
0.0010
0.0100
0.1000
1.0000
x (on log scale)
1-F(x)(onlogscale)
99
95
F i g u r e 1 0 : T a i l { t w i t h a n e s t i m a t e f o r x
0 9 9 9
a n d t h e c o r r e s p o n d i n g p r o l e l i k e l i h o o d
c a l c u l a t e d u s i n g t h e W a l d s t a t i s t i c . F i n a l l y , t h e 9 9 . 9 % q u a n t i l e e s t i m a t e s a c r o s s
a w h o l e r a n g e o f m o d e l s ( d e p e n d i n g o n t h e t h r e s h o l d v a l u e , o r n u m b e r o f e x c e e d a n c e s
u s e d ) a r e g i v e n i n F i g u r e 1 2 . T h o u g h t h e e s t i m a t e o f x
0 9 9 9
s e t t l e s b e t w e e n 1 4 0 0 a n d
1 5 0 0 , t h e 9 5 % W a l d i n t e r v a l s a r e r a t h e r w i d e , r a n g i n g f r o m 5 0 0 t o a b o u t 2 2 0 0 .
T h e a b o v e a n a l y s i s y i e l d s a s u m m a r y a b o u t t h e h i g h q u a n t i l e s o f t h e r e i n s u r -
a n c e d a t a b a s e d o n t h e i n f o r m a t i o n o n e x t r e m e s a v a i l a b l e i n t h e d a t a . T h e a n a l y s i s
c a n b e u s e d a s a t o o l i n t h e n a l p r i c i n g o f r i s k s c o r r e s p o n d i n g t o h i g h l a y e r s ( i . e .
c a t a s t r o p h i c , r a r e e v e n t s ) . A l l t h e m e t h o d s u s e d a r e b a s e d o n e x t r e m e s a n d a r e
f a i r l y s t a n d a r d .
-
8/7/2019 EVT PAper
15/22
1 5
10^-2 10^-1 10^0 10^1 10^2 10^3 10^4
0.0001
0.0010
0.0100
0.1000
1.0000
x (on log scale)
1-F(x)(onlogscale)
F i g u r e 1 1 : E s t i m a t e o f x
0 9 9 9
w i t h 9 5 % W a l d { s t a t i s t i c c o n d e n c e i n t e r v a l
Exceedances
0.999Quantile(CI,p=0.95)
15 48 81 115 148 182 215 249 282 316 349 382 416 449 483
500
1000
1500
2000
2500
695.0 224.0 141.0 88.6 68.9 51.1 42.9 36.5 30.3 27.0
F i g u r e 1 2 : E s t i m a t e s o f t h e q u a n t i l e x
0 9 9 9
a s a f u n c t i o n o f t h e t h r e s h o l d u . T h e
v e r t i c a l l i n e i n d i c a t e s t h e m o d e l c o r r e s p o n d i n g t o u = 1 0 0
4 . 2 A n A R C H { e x a m p l e
T o i l l u s t r a t e f u r t h e r s o m e o f t h e a v a i l a b l e t e c h n i q u e s , w e s i m u l a t e d a n A R C H ( 1 )
t i m e s e r i e s o f l e n g t h 9 9 , 0 0 0 . T h e t i m e s e r i e s , c a l l e d t e s t a r c h , h a s t h e f o r m
n
= X
n
?
+
2
n ? 1
1 = 2
; n 1 ; ( 1 1 )
w h e r e f X
n
g a r e i i d N ( 0 ; 1 ) r a n d o m v a r i a b l e s . I n o u r s i m u l a t i o n , w e t o o k
= 1 ; = 0 : 5 :
F r o m k n o w n r e s u l t s o f K e s t e n ( 1 9 7 3 ) ( s e e a l s o E m b r e c h t s , K l u p p e l b e r g a n d M i k o s c h
( 1 9 9 7 , T h e o r e m 8 . 4 . 1 2 ) , G o l d i e ( 1 9 9 1 ) , V e r v a a t ( 1 9 7 9 ) )
P (
1
> x ) c x
? 2
; x ! 1 ; ( 1 2 )
-
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16/22
1 6
a n d w e g e t f r o m T a b l e 3 . 2 o f d e H a a n e t a l . ( 1 9 8 9 ) t h a t
= 2 : 3 6 5
( s e e a l s o H o o g h i e m s t r a a n d M e e s t e r ( 1 9 9 5 ) ) .
T h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n s w h y w e c h o o s e t o s i m u l a t e a n A R C H p r o c e s s .
| D e s p i t e t h e f a c t t h a t t h e A R C H p r o c e s s i s d e p e n d e n t , m u c h o f t h e c l a s s i c a l
e x t r e m e v a l u e a n a l y s i s a p p l i e s w i t h s u i t a b l e m o d i c a t i o n s .
| T h e A R C H p r o c e s s h a s h e a v y t a i l s w h i c h m a t c h e s w h a t i s o b s e r v e d i n d a t a
s e t s e m e r g i n g f r o m n a n c e .
| A l t h o u g h i t i s o f t e n p l a u s i b l e t o m o d e l l a r g e i n s u r a n c e c l a i m s a s i i d , d a t a
f r o m t h e n a n c e i n d u s t r y s u c h a s e x c h a n g e r a t e d a t a a r e d e m o n s t r a b l y n o t
i i d . S o m e o f t h e s e e x a m p l e s h a v e t h e p r o p e r t y t h a t t h e d a t a l o o k r e m a r k a b l y
u n c o r r e l a t e d b u t s q u a r e s o r a b s o l u t e v a l u e s o f t h e d a t a a p p e a r t o h a v e h i g h
c o r r e l a t i o n s . I t i s t h i s p r o p e r t y t h a t t h e A R C H p r o c e s s a n d i t s c o u s i n s w e r e
d e s i g n e d t o m o d e l . S e e f o r i n s t a n c e T a y l o r ( 1 9 8 6 ) f o r m o r e d e t a i l s .
T o e x p e r i m e n t w i t h t h i s A R C H d a t a w e t o o k t h e r s t 1 0 , 0 0 0 o b s e r v a t i o n s t o
f o r m a d a t a s e t s h o r t a r c h w h i c h w i l l b e u s e d f o r e s t i m a t i o n . T h e n b a s e d o n t h e
e s t i m a t i o n , s o m e m o d e l b a s e d p r e d i c t i o n s c a n b e m a d e a n d c o m p a r e d w i t h a c t u a l
d a t a i n t e s t a r c h n s h o r t a r c h .
F i g u r e 1 3 s h o w s a t i m e s e r i e s p l o t o f s h o r t a r c h . T h e p l o t e x h i b i t s t h e c h a r a c t e r -
i s t i c h e a v y t a i l a p p e a r a n c e .
0 2000 4000 6000 8000 10000
-10
-5
0
5
10
shortarch
F i g u r e 1 3 : T i m e s e r i e s p l o t o f s h o r t a r c h
T h e H i l l e s t i m a t o r i s a p o p u l a r w a y o f d e t e c t i n g h e a v y t a i l s a n d e s t i m a t i n g
t h e P a r e t o i n d e x 1 = f o r > 0 i n ( 9 ) . S e e f o r i n s t a n c e E m b r e c h t s , K l u p p e l b e r g
a n d M i k o s c h ( 1 9 9 7 ) f o r a n i n t r o d u c t i o n . F i g u r e 1 4 c o n t a i n s f o u r v i e w s o f t h e H i l l
e s t i m a t o r a p p l i e d t o s h o r t a r c h .
-
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17/22
1 7
Hill plot
number of order statistics
Hillestimateofalpha
0 500 1000 1500 2000
2
3
4
5
6
7
AltHill
theta
Hillestimateofalpha
0.2 0.4 0.6 0.8
2
3
4
5
6
7
AltsmooHill
theta
Hillestimateofalpha
0.2 0.4 0.6
3
4
5
6
AltHill and AltsmooHill
theta
Hillestimateofalpha
0.2 0.4 0.6 0.8
2
3
4
5
6
7
F i g u r e 1 4 : H i l l p l o t s o f s h o r t a r c h
T h e H i l l e s t i m a t o r i s k n o w n t o b e a c o n s i s t e n t e s t i m a t o r o f 2 f o r t h e A R C H
p r o c e s s ( R e s n i c k a n d S t a r i c a ( 1 9 9 6 ) ) . I n o u r c a s e , t h e H i l l e s t i m a t o r i s t r y i n g t o
e s t i m a t e 2 2 2 : 3 6 5 4 : 7 . A r e v i e w o f F i g u r e 1 4 y i e l d s a n e s t i m a t e o f a b o u t 4 . I f
H
k ; n
r e p r e s e n t s t h e H i l l e s t i m a t o r w h e n t h e s a m p l e i s n a n d k u p p e r o r d e r s t a t i s t i c s
a r e u s e d , i . e .
H
k ; n
=
1
k
k
X
j = 1
l o g X
j ; n
? l o g X
k ; n
!
? 1
;
t h e u s u a l m e t h o d o l o g y i s t o m a k e a H i l l p l o t
?
k ; H
? 1
k ; n
; 1 k n
. T h e u p p e r
l e f t g r a p h i s a H i l l p l o t w i t h s o m e v a l u e s f o r s m a l l a n d l a r g e k d e l e t e d t o m a k e
t h e p i c t u r e s c a l e a t t r a c t i v e l y . T h e u p p e r r i g h t p l o t i s t h e H i l l p l o t i n a l t s c a l e ( s e e
R e s n i c k a n d S t a r i c a , 1 9 9 7 ) w h e r e w e p l o t
; H
? 1
n
]
; n
; 0 1
. T h e l o w e r l e f t
p l o t a p p l i e s a s m o o t h e r ( R e s n i c k a n d S t a r i c a , 1 9 9 7 ) a n d p l o t s i n a l t s c a l e .
A s u p p l e m e n t a r y t o o l f o r e s t i m a t i n g t h e P a r e t o i n d e x i s t h e Q Q p l o t ( s e e E m -
b r e c h t s , K l u p p e l b e r g a n d M i k o s c h ( 1 9 9 7 , S e c t i o n 6 . 2 . 1 ) ) a n d t h i s h a s t h e a d d e d
a d v a n t a g e t h a t i t a l l o w s s i m u l t a n e o u s e s t i m a t i o n o f t h e c o n s t a n t c a p p e a r i n g i n
( 1 2 ) . T h e m e t h o d i s s e n s i t i v e t o t h e c h o i c e o f t h e n u m b e r o f u p p e r o r d e r s t a t i s t i c s
a n d s o m e t r i a l a n d e r r o r i s u s u a l l y n e c e s s a r y . I n F i g u r e 1 5 w e g i v e t h e Q Q p l o t
b a s e d o n t h e u p p e r 4 0 0 o r d e r s t a t i s t i c s . T h i s g i v e s e s t i m a t e s o f 2 = 3 : 8 5 1 9 0 4 a n d
c = 1 : 1 5 3 8 9 . ( A p p l y i n g t h i s t e c h n i q u e t o t h e f u l l t e s t a r c h d a t a p r o d u c e d e s t i m a t e s
o f 2 = 3 : 8 6 1 0 0 8 a n d c = 1 : 3 1 9 3 1 6 , w h e n t h e n u m b e r o f u p p e r o r d e r s t a t i s t i c s w a s
-
8/7/2019 EVT PAper
18/22
1 8
3 0 0 . )
quantiles of exponential
logso
rteddata
3 4 5 6 7 8 9
1.0
1.5
2.0
F i g u r e 1 5 : Q Q p l o t o f s h o r t a r c h
B a s e d o n t h e s e e s t i m a t e s , w e e x p e r i m e n t w i t h s o m e p r e d i c t i o n s a n d c o m p a r e
t h e s e p r e d i c t i o n s w i t h w h a t i s o b s e r v e d f r o m t h e p a r t o f t h e d a t a s e t t e s t a r c h , c a l l e d
p l a y a r c h o b t a i n e d b y r e m o v i n g t h e 1 0 , 0 0 0 s h o r t a r c h o b s e r v a t i o n s . T h u s t h e l e n g t h
o f p l a y a r c h i s 9 9 ; 0 0 0 ? 1 0 ; 0 0 0 = 8 9 ; 0 0 0 . I n t h e f o l l o w i n g t a b l e w e g i v e e s t i m a t e d
m a r g i n a l p r o b a b i l i t i e s t h a t t h e A R C H v a r i a b l e e x c e e d s x f o r x = 5 ; 1 0 ; 1 5 ; 2 0 . N o t e
t h a t w e a r e p r e d i c t i n g v a l u e s t h a t a r e b e y o n d t h e r a n g e o f t h e d a t a a n d h a v e n o t
b e e n o b s e r v e d . T h e s e c o n d r o w g i v e s t h e e s t i m a t e ( 1 2 ) b a s e d o n t h e t t e d v a l u e s
f o r c a n d 2 . I n t h e t h i r d r o w w e c o m p u t e t h e e m p i r i c a l f r e q u e n c y t h a t e l e m e n t s o f
p l a y a r c h e x c e e d x . T h e l a s t r o w g i v e s t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i t i e s 1 ? ( x ; ;
2
)
b a s e d o n a n o r m a l d i s t r i b u t i o n w h o s e m e a n a n d v a r i a n c e a r e t h e s a m p l e m e a n
a n d v a r i a n c e c o m p u t e d f r o m s h o r t a r c h . O n e c a n s e e f r o m t h e t a b l e t h e p e n a l t y
p a i d f o r i g n o r i n g e x t r e m e v a l u e a n a l y s i s a n d r e l y i n g o n m o r e c o n v e n t i o n a l n o r m a l
d i s t r i b u t i o n b a s e d a n a l y s i s .
x 5 1 0 1 5 2 0
P ( X > x ) 0 . 0 0 2 3 0 9 0 6 2 0 . 0 0 0 1 5 8 9 1 1 9 0 . 0 0 0 0 3 3 2 0 . 0 0 0 0 1 0 9
b
P ( X > x ) 0 . 0 0 2 6 4 0 4 4 9 0 . 0 0 0 1 7 9 7 7 5 3 0 . 0 0 0 0 4 4 9 0 . 0 0 0 0 1 1 2
1 ? ( x ; ;
2
) 0 . 0 0 0 1 8 6 5 : 2 9 1 0
? 1 3
0 0
T h e e x t r e m e v a l u e t h e o r y f o r t h e A R C H p r o c e s s i s s o m e w h a t c o m p l i c a t e d b y
t h e A R C H d e p e n d e n c e s t r u c t u r e n o t p r e s e n t f o r a n i i d s e q u e n c e . A q u a n t i t y c a l l e d
t h e e x t r e m a l i n d e x m u s t b e a c c o u n t e d f o r ; s e e E m b r e c h t s , K l u p p e l b e r g a n d M i k o s c h
( 1 9 9 7 , S e c t i o n 8 . 1 ) . F r o m ( 1 1 ) a n d d e H a a n e t a l . ( 1 9 8 9 ) , T a b l e 3 . 2 w e h a v e
P ( m a x f
i
; : : : ;
n
g y ) e x p
?
1
2
c
0
n y
? 2
; ( 1 3 )
w h e r e t h e e x t r e m a l i n d e x
0
= 0 : 8 3 5 a c c o u n t s f o r t h e e e c t i v e r e d u c t i o n i n s a m p l e
s i z e d u e t o d e p e n d e n c e . F r o m t h i s f o r m u l a , e s t i m a t e s o f u p p e r q u a n t i l e s c a n b e
-
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1 9
w o r k e d o u t . T h e u p p e r 1 0 0 p % q u a n t i l e x
p
w o u l d b e
x
p
? l o g ( 1 ? p )
2
c
0
n
? 1 = 2
: ( 1 4 )
W e g i v e a f e w r e p r e s e n t a t i v e v a l u e s :
y 1 5 2 0 2 5 3 0
P ( m a x f
i
; : : : ;
n
g y ) 0 . 2 8 2 2 9 0 . 6 5 8 6 2 0 . 8 3 7 9 4 0 . 9 1 6 1 3
p 0 . 0 5 0 . 0 1 0 . 0 0 5 0 . 0 0 0 5
x
p
3 4 . 4 7 1 5 3 5 2 . 6 3 0 1 5 6 3 . 0 4 7 6 9 1 1 4 . 6 9 2
4 . 3 V a l u e { a t { R i s k : a w o r d o f w a r n i n g
W e a l r e a d y p o i n t e d o u t t h e s i m i l a r i t y i n e s t i m a t i n g a t t a c h m e n t p o i n t s o r r e t e n t i o n s
i n r e i n s u r a n c e a n d V a R c a l c u l a t i o n s i n n a n c e . B o t h a r e s t a t i s t i c a l l y b a s e d m e t h o d s ,
w h e r e t h e b a s i c u n d e r l y i n g r i s k m e a s u r e c o r r e s p o n d s t o a q u a n t i l e e s t i m a t e bx
p
o f
a n u n k n o w n d f . T h r o u g h t h e w o r k o f A r t z n e r e t a l . ( 1 9 9 6 , 1 9 9 8 ) w e k n o w t h a t
a q u a n t i l e b a s e d r i s k m e a s u r e f o r g e n e r a l ( n o n { n o r m a l ) d a t a f a i l s t o b e c o h e r e n t ,
i . e . s u c h a m e a s u r e i s n o t s u b a d d i t i v e c r e a t i n g i n c o n s i s t e n c i e s i n t h e c o n s t r u c t i o n o f
r i s k c a p i t a l b a s e d u p o n t h e m . T h i s s i t u a t i o n t y p i c a l l y o c c u r s i n p o r t f o l i o s c o n t a i n i n g
n o n { l i n e a r d e r i v a t i v e s . F u r t h e r c r i t i c a l s t a t e m e n t s c o n c e r n i n g V a R a r e t o b e f o u n d
i n D a n i e l s s o n , H a r t m a n n a n d d e V r i e s ( 1 9 9 2 ) , G a r m a n ( 1 9 9 7 ) , L o n g i n ( 1 9 9 7 a , b )
a n d C a r d e n a s e t a l . ( 1 9 9 7 ) .
A m u c h b e t t e r , a n d i n d e e d ( a l m o s t ) c o h e r e n t r i s k m e a s u r e i s t h e c o n d i t i o n a l
V a R ( o r s o { c a l l e d m e a n e x c e s s )
E ( X j X > bx
p
) : ( 1 5 )
F o r t h e p r e c i s e f o r m u l a t i o n o f t h e \ a l m o s t " b o v e , s e e A r t z n e r e t a l . ( 1 9 9 6 ) . W e
o n l y w a n t t o p o i n t o u t t h a t t h e l a t t e r m e a s u r e i s w e l l { k n o w n i n i n s u r a n c e , b u t
o n l y g r a d u a l l y i s b e i n g r e c o g n i z e d a s f u n d a m e n t a l t o r i s k m a n a g e m e n t . I t i s o n e
o f t h e ( m a n y ) e x a m p l e s w h e r e a n e x c h a n g e o f i d e a s b e t w e e n a c t u a r i e s a n d n a n c e
e x p e r t s m a y l e a d t o i m p r o v e d r i s k m e a s u r e m e n t . N o t e t h a t i n t h e e q u a t i o n a b o v e ,
E ( X j X > bx
p
) = e ( bx
p
) + bx
p
. O n e c o u l d u s e t h e m e a n e x c e s s p l o t f ( u ; e
n
( u ) ) ; u 0 g
i n o r d e r t o v i s u a l i z e t h e t a i l b e h a v i o r o f t h e u n d e r l y i n g d a t a a n d h e n c e g e t s o m e
i n s i g h t o n t h e c o h e r e n t r i s k m e a s u r e ( 1 5 ) a b o v e .
A s a n a l e x a m p l e w e h a v e p l o t t e d i n F i g u r e 1 6 t h e d a i l y l o g { r e t u r n s o f B M W
o v e r t h e p e r i o d J a n u a r y 2 3 , 1 9 7 3 | J u l y 1 2 , 1 9 9 6 , t o g e t h e r w i t h t h e m e a n e x c e s s p l o t
o f t h e a b s o l u t e v a l u e s o f t h e n e g a t i v e r e t u r n s ( h e n c e c o r r e s p o n d i n g t o d o w n s i d e r i s k ) .
I n t h e l a t t e r p l o t , t h e h e a v y { t a i l e d n a t u r e o f t h e r e t u r n s i s v e r y c l e a r . A l s o c l e a r
i s t h e c h a n g e i n c u r v a t u r e o f t h e p l o t a r o u n d 0 . 0 3 . T h i s p h e n o m e n o n i s r e g u l a r l y
o b s e r v e d i n a l l k i n d s o f d a t a . O n e c a n l o o k a t i t a s a p i c t o r i a l v i e w o f T h e o r e m 4 :
i n d e e d , S m i t h ( 1 9 9 0 ) i n d i c a t e s h o w t o b a s e o n t h i s o b s e r v a t i o n a g r a p h i c a l t o o l
t o d e t e r m i n e a n i n i t i a l t h r e s h o l d v a l u e f o r a n e x t r e m e v a l u e a n a l y s i s . S e e a l s o
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2 0
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-0.15
-0.05
0.05
02.01.73 02.01.77 02.01.81 02.01.85 02.01.89 02.01.93
Threshold
MeanExcess
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.010
0.020
0.030
F i g u r e 1 6 : T i m e s e r i e s a n d m e a n e x c e s s p l o t s o f B M W r e t u r n d a t a
E m b r e c h t s , K l u p p e l b e r g a n d M i k o s c h ( 1 9 9 7 , p . 3 5 6 ) f o r a d i s c u s s i o n . W e w o u l d l i k e
t o w a r n t h e r e a d e r h o w e v e r t h a t d u e t o t h e i n t r i c a t e d e p e n d e n c i e s i n n a n c e d a t a ,
o n e s h o u l d b e c a r e f u l i n u s i n g t h e s e p l o t s b e y o n d t h e m e r e d e s c r i p t i v e l e v e l .
M o r e w o r k i s n e e d e d t o c o m b i n e t h e i d e a s p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r w i t h d e t a i l e d
s t a t i s t i c a l i n f o r m a t i o n o n n a n c i a l t i m e s e r i e s b e f o r e r i s k m e a s u r e s s u c h a s c o n d i -
t i o n a l V a R ( 1 5 ) c a n b e f o r m u l a t e d p r e c i s e l y a n d e s t i m a t e d r e l i a b l y . O n c e m o r e ,
t h e i n t e r p l a y b e t w e e n s t a t i s t i c i a n s , n a n c e e x p e r t s a n d a c t u a r i e s s h o u l d p r o v e t o b e
f r u i t f u l t o w a r d s a c h i e v i n g t h i s g o a l .
R e f e r e n c e s
A r t z n e r , P . , D e l b a e n , F . , E b e r , J . - M . a n d D . H e a t h ( 1 9 9 6 ) A c h a r a c t e r i z a t i o n o f
m e a s u r e s o f r i s k . U n i v e r s i t e d e S t r a s b o u r g p r e p r i n t .
A r t z n e r , P . , D e l b a e n , F . , E b e r , J . - M . a n d D . H e a t h ( 1 9 9 8 ) T h i n k i n g c o h e r e n t l y .
R I S K , 1 0 , 6 8 { 7 1 .
B a s s i , F . , E m b r e c h t s , P . a n d M . K a f e t z a k i ( 1 9 9 7 ) R i s k M a n a g e m e n t a n d q u a n t i l e
e s t i m a t i o n . I n : A d l e r , R . , F e l d m a n , R . a n d T a q q u , M . S . ( E d s . ) A P r a c t i -
c a l G u i d e t o H e a v y T a i l s : S t a t i s t i c a l T e c h n i q u e s f o r A n a l y s i n g H e a v y { T a i l e d
D i s t r i b u t i o n s . B i r k h a u s e r , B o s t o n .
B e i r l a n t , J . , T e u g e l s , J . L . T . a n d P . V y n c k i e r ( 1 9 9 6 ) P r a c t i c a l a n a l y s i s o f e x t r e m e
v a l u e s . L e u v e n U n i v e r s i t y P r e s s , L e u v e n .
C a n t e r , M . S . , C o l e , J . B . a n d R . L . S a n d o r ( 1 9 9 6 ) I n s u r a n c e d e r i v a t i v e s : a n e w a s s e t
c l a s s f o r t h e c a p i t a l m a r k e t s a n d a n e w h e d g i n g t o o l f o r t h e i n s u r a n c e i n d u s t r y .
J o u r n a l o f D e r i v a t i v e s , 8 9 { 1 0 4 .
-
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2 1
C a r d e n a s , J . , F r u c h a r d , E . , K o e h l e r , E . , M i c h e l , C . a n d I . T h o m a z e a u ( 1 9 9 7 ) V a R :
O n e s t e p b e y o n d . R I S K 1 0 , 7 2 { 7 4 .
D a n i e l s s o n , J . , H a r t m a n n , P . a n d C . G . d e V r i e s ( 1 9 9 8 ) T h e c o s t o f c o n s e r v a t i s m .
R I S K 1 1 , 1 0 1 { 1 0 3 .
D o h e r t y , N . A . ( 1 9 9 7 ) F i n a n c i a l i n n o v a t i o n i n t h e m a n a g e m e n t o f c a t a s t r o p h e r i s k .
J o i n t D a y P r o c e e d i n g s , X X V I I I t h I n t e r n a t i o n a l A S T I N C o l l o q u i u m a n d 7 t h
I n t e r n a t i o n a l A F I R C o l l o q u i u m , C a i r n s ( A u s t r a l i a ) , 1 { 2 6 .
E m b r e c h t s , P . , K l u p p e l b e r g , C . a n d T . M i k o s c h ( 1 9 9 7 ) M o d e l l i n g e x t r e m a l e v e n t s
f o r i n s u r a n c e a n d n a n c e . S p r i n g e r { V e r l a g , B e r l i n .
E m b r e c h t s , P . , S a m o r o d n i t s k y , G . a n d S . I . R e s n i c k ( 1 9 9 8 ) L i v i n g o n t h e e d g e .
R I S K 1 1 , 9 6 { 1 0 0 .
G a r m a n , M . ( 1 9 9 7 ) T a k i n g V a R t o p i e c e s . R I S K 1 0 .
G o l d i e , C . M . ( 1 9 9 1 ) I m p l i c i t r e n e w a l t h e o r y a n d t a i l s o f s o l u t i o n s o f r a n d o m e q u a -
t i o n s . A n n a l s o f A p p l i e d P r o b a b i l i t y 1 , 1 2 6 { 1 6 6 .
H a a n , L . d e , R e s n i c k , S . I . , R o o t z e n , H . a n d C . G . d e V r i e s ( 1 9 8 9 ) E x t r e m a l b e -
h a v i o u r o f s o l u t i o n s t o a s t o c h a s t i c d i e r e n c e e q u a t i o n w i t h a p p l i c a t i o n s t o
A R C H p r o c e s s e s . S t o c h . P r o c . A p p l . 3 2 , 2 1 3 { 2 2 4 .
H o o g h i e m s t r a , G . a n d L . M e e s t e r ( 1 9 9 5 ) C o m p u t i n g t h e e x t r e m a l i n d e x o f s p e c i a l
M a r k o v c h a i n s a n d q u e u e s . S t o c h a s t i c P r o c e s s . A p p l . 6 5 , 1 7 1 { 1 8 5 .
J a e , D . M . a n d T . R u s s e l l ( 1 9 9 6 ) C a t a s t r o p h e i n s u r a n c e , c a p i t a l m a r k e t s a n d
u n i n s u r a b l e r i s k . F i n a n c i a l I n s t i t u t i o n s C e n t e r , T h e W h a r t o n S c h o o l , 9 6 { 1 2 .
K e s t e n , H . ( 1 9 7 3 ) R a n d o m d i e r e n c e e q u a t i o n s a n d r e n e w a l t h e o r y f o r p r o d u c t s o f
r a n d o m m a t r i c e s . A c t a M a t h . 1 3 1 , 2 0 7 { 2 4 8 .
L o n g i n , F . M . ( 1 9 9 7 a ) F r o m v a l u e a t r i s k t o s t r e s s t e s t i n g : t h e e x t r e m e v a l u e a p -
p r o a c h . E S S E C a n d C E P R P a r i s p r e p r i n t .
L o n g i n , F . M . ( 1 9 9 7 b ) B e y o n d t h e V a R . E S S E C a n d C E P R P a r i s p r e p r i n t .
M c N e i l , A . J . ( 1 9 9 7 ) E s t i m a t i n g t h e t a i l s o f l o s s s e v e r i t y d i s t r i b u t i o n s u s i n g e x t r e m e
v a l u e t h e o r y . A S T I N B u l l e t i n 2 7 ( 2 ) , 1 1 7 { 1 3 7 .
M c N e i l , A . J . ( 1 9 9 8 ) O n e x t r e m e s a n d c r a s h e s . R I S K 1 1 , 9 9 .
M c N e i l , A . J . a n d T . S a l a d i n ( 1 9 9 7 ) T h e p e a k s o v e r t h r e s h o l d m e t h o d f o r e s t i m a t i n g
h i g h q u a n t i l e s o f l o s s d i s t r i b u t i o n s . P r o c e e d i n g s o f t h e X X V I I I t h I n t e r n a t i o n a l
A S T I N C o l l o q u i u m , C a i r n s , 2 3 { 4 3 .
P u n t e r , A . ( 1 9 9 7 ) A c r i t i c a l e v a l u a t i o n o f p r o g r e s s t o d a t e . I n : P r a c t i c a l a p p l i -
c a t i o n s o f n a n c i a l m a r k e t t o o l s t o c o r p o r a t e r i s k m a n a g e m e n t . I n t e r n a t i o n a l
R i s k M a n a g e m e n t , p . 7 { 1 2 .
-
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2 2
R e i s s , R . { D . a n d M . T h o m a s ( 1 9 9 7 ) S t a t i s t i c a l A n a l y s i s o f E x t r e m a l V a l u e s , B i r k -
h a u s e r , B a s e l .
R e s n i c k , S . I . ( 1 9 9 7 ) D i s c u s s i o n o f t h e D a n i s h d a t a o n l a r g e r e i n s u r a n c e l o s s e s .
A S T I N B u l l e t i n 2 7 ( 2 ) , 1 3 9 { 1 5 1 .
R e s n i c k , S . I . a n d C . S t a r i c a ( 1 9 9 6 ) T a i l i n d e x e s t i m a t i o n f o r d e p e n d e n t d a t a . A v a i l -
a b l e a s T R 1 1 7 4 . p s . Z a t h t t p : / / w w w . o r i e . c o r n e l l . e d u / t r l i s t / t r l i s t . h t m l .
T o a p p e a r i n A n n . A p p l i e d P r o b a b i l i t y .
R e s n i c k , S . I . a n d C . S t a r i c a ( 1 9 9 7 ) S m o o t h i n g t h e H i l l e s t i m a t o r . A d v . A p p l i e d
P r o b a b i l i t y 2 9 , 2 7 1 { 2 9 3 .
R o o t z e n , H . a n d N . T a j v i d i ( 1 9 9 7 ) E x t r e m e v a l u e s t a t i s t i c s a n d w i n d s t o r m l o s s e s :
a c a s e s t u d y . S c a n d . A c t u a r i a l J . 1 , 7 0 { 9 4 .
S c h m o c k , U . ( 1 9 9 7 ) E s t i m a t i n g t h e v a l u e o f t h e W i n c a t c o u p o n s o f t h e W i n t e r t h u r
I n s u r a n c e c o n v e r t i b l e b o n d . J o i n t D a y P r o c e e d i n g s , X X V I I I t h I n t e r n a t i o n a l
A S T I N C o l l o q u i u m a n d 7 t h I n t e r n a t i o n a l A F I R C o l l o q u i u m , C a i r n s ( A u s -
t r a l i a ) , 2 3 1 { 2 5 9 .
S i g m a ( 1 9 9 5 ) N a t u r a l c a t a s t r o p h e s a n d m a j o r l o s s e s i n 1 9 9 4 : T h i r d h i g h e s t l o s s
b u r d e n i n t h e h i s t o r y o f i n s u r a n c e . S w i s s R e i n s u r a n c e C o m p a n y , 3 / 9 5 .
S i g m a ( 1 9 9 7 ) N a t u r a l c a t a s t r o p h e s a n d m a j o r l o s s e s i n 1 9 9 6 : h i g h l o s s e s f r o m m a n {
m a d e d i s a s t e r s , b u t n o t e x t r e m e l y c o s t l y l o s s e s f r o m n a t u r a l c a t a s t r o p h e s .
S w i s s R e i n s u r a n c e C o m p a n y , 3 / 9 7 .
S m i t h , R . L . ( 1 9 9 0 ) E x t r e m e v a l u e t h e o r y . I n : L e d e r m a n n , W . ( C h i e f E d . ) H a n d -
b o o k o f A p p l i c a b l e M a t h e m a t i c s , S u p p l e m e n t , p p . 4 3 7 { 4 7 2 . W i l e y , C h i c h e s t e r .
T a y l o r , S . J . ( 1 9 8 6 ) M o d e l l i n g F i n a n c i a l T i m e S e r i e s , W i l e y , C h i c h e s t e r .
T i l l e y , J . A . ( 1 9 9 7 ) T h e s e c u r i t i z a t i o n o f c a t a s t r o p h i c p r o p e r t y r i s k s . J o i n t D a y P r o -
c e e d i n g s , X X V I I I t h I n t e r n a t i o n a l A S T I N C o l l o q u i u m a n d 7 t h I n t e r n a t i o n a l
A F I R C o l l o q u i u m , C a i r n s ( A u s t r a l i a ) , 2 7 { 5 3 .
V a l u e a t R i s k f o r E n d { U s e r s ( 1 9 9 7 ) R i s k M a g a z i n e , S u p p l e m e n t , M a r c h 1 9 9 7 .
P a u l E m b r e c h t s S i d n e y I . R e s n i c k a n d G e n n a d y S a m o r o d n i t s k y
D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s S c h o o l o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h
E T H Z a n d I n d u s t r i a l E n g i n e e r i n g
C H { 8 0 9 2 Z u r i c h , S w i t z e r l a n d C o r n e l l U n i v e r s i t y
e - m a i l : e m b r e c h t s @ m a t h . e t h z . c h R h o d e s H a l l / E T C B u i l d i n g
I t h a c a , N e w Y o r k 1 4 8 5 3 , U S A
e - m a i l : s i d @ o r i e . c o r n e l l . e d u
e - m a i l : g e n n a d y @ o r i e . c o r n e l l . e d u
