Évolution de la décharge d’un condensateur sous tension constante

Évolution de la décharge d’un condensateur sous tension constante

Étude qualitative

Étude expérimentale

Exploitation des mesures

• Étude de la tension aux bornes du condensateur

• Étude de l’intensité du courant électrique

• Étude de la somme des tensions aux bornes de R et C

Mise en équation du système

Lancer le diaporama F5

• ETUDE QUALITATIVE •

12 V

18 V

3 V

9 V

Un condensateur C est chargé à l’aide d’une source de tension .

C +

-

1 0

• Le condensateur se charge instantanément •

Le condensateur chargé C est branché en série avec une résistance R.

C

• Lorsque l’interrupteur se ferme la lampe brille vivement et instantanément •

+

-

R

• La brillance de la lampe permet d’évaluer qualitativement l’intensité du courant avec le temps •

Le condensateur C est branché en série avec une résistance R.

C

• Lorsque l’interrupteur se ferme la lampe brille vivement et instantanément •

R

+

-

Après quelque secondes la lampe brille moins.

C

R

+

-

• L’intensité du courant électrique diminue progressivement •

Puis la lampe s’éteint.

C

R

+

-

• L’intensité du courant électrique est pratiquement nulle •

Sommaire

La lampe s’éteint au bout de quelques secondes.

C

• L’intensité du courant électrique est pratiquement nulle •

+

-

Sommaire

R

• ETUDE EXPERIMENTALE •

5 V

9 V

1 V

3 V

Le condensateur C est relié à une source de tension .

C

1 0

0.00

V+

-

• Le voltmètre mesure uc (t), la tension aux bornes du condensateur •

uc (t)

5 V

9 V

1 V

3 V

C

1 0

0.00

V

uc (t)

+

-

• Lorsque l’interrupteur est ouvert,

uc (t), la tension aux bornes du condensateur est nulle •

Le condensateur C est chargé par l’intermédiaire d’une source de tension .

5 V

9 V

1 V

3 V

C

1 0

5.00

V

uc (t)

+

-

Le condensateur C se charge instantanément lorsque l’interrupteur se ferme .

• Lorsque l’interrupteur se ferme,

uc (t), la tension aux bornes du condensateur est égale à la tension délivrée par la source de tension •

C5.00

V

uc (t)

+

-

Le condensateur C est chargé.

• La tension aux bornes du condensateur est égale à 5 volts •

Un ampèremètre est placé dans le circuit électrique.

• L’ampèremètre mesure i (t), l’intensité du courant dans le circuit électrique •

0.00

A

C

R

+

-

i (t)

• Le sens du courant électrique est le même que celui de la charge du condensateur •• Le branchement de l’ampèremètre est le même que celui de la charge du condensateur •

Un voltmètre est placé aux bornes du condensateur.

• Le voltmètre mesure uc (t), la tension aux bornes du condensateur •

5.00

V

uc (t)

0.00

A

C

R

+

-

i (t)

• Le branchement du voltmètre est le même que celui de la charge du condensateur •

Un voltmètre est placé aux bornes de la résistance.

• Le voltmètre mesure uR (t), la tension aux bornes de la résistance •

R

0.00

VuR (t)

V

uc (t)

0.00

Ai (t)

C

R

+

-

5.00

• Le branchement du voltmètre est le même que celui de la charge du condensateur •

Un chronomètre donne le temps entre deux mesures.

• L’évolution des grandeurs i (t), uc (t) et uR (t) est donnée en fonction du temps t •

00:00 min:sec

R

0.00

VuR (t)

V

uc (t)

0.00

Ai (t)

C

R

+

-

5.00

• On relève toutes les grandeurs proposées, elles seront placées dans un tableau.

L’interrupteur se ferme à l’instant « t = O ».

00:00 min:sec

R

0.00

VuR (t)

V

uc (t)

0.00

Ai (t)

C

R

+

-

5.00

• Pour t = 0 s

i (t) = - 0,22 mA

uC (t) = 5 V

uR (t) = - 5 V

00:00 min:sec

Grandeurs mesurées

Tension aux bornes du condensateur

Intensité du courant dans le circuit

Tension aux bornes de la résistance

R

- 5.00

VuR (t)

V

uc (t)

- 0.22

Ai (t)

C

R

+

-

5.00

i (t) = - 0,19 mA

uC (t) = 4,17 V

uR (t) = - 4,17 V

Grandeurs mesurées




R

- 4.17

VuR (t)

4.17

V

uc (t)

- 0.19

Ai (t)

C

R

+

-

• Pour t = 10 s

00:10 min:sec

i (t) = - 0,16 mA

uC (t) = 3,48 V

uR (t) = -3,48 V

Grandeurs mesurées




R

- 3.48

VuR (t)

3.48

V

uc (t)

- 0.16

Ai (t)

C

R

+

-

• Pour t = 20 s

00:20 min:sec

i (t) = - 0,08 mA

uC (t) = 1,68 V

uR (t) = - 1,68 V

Grandeurs mesurées




R

- 1.68

VuR (t)

1.68

V

uc (t)

- 0.08

Ai (t)

C

R

+

-

• Pour t = 60 s

01:00 min:sec

i (t) = - 0,03 mA

uC (t) = 0,56 V

uR (t) = - 0,56 V

Grandeurs mesurées




R

- 0.56

VuR (t)

0.56

V

uc (t)

- 0.03

Ai (t)

C

R

+

-

• Pour t = 120 s

02:00 min:sec

i (t) = - 0,01 mA

uC (t) = 0,19 V

uR (t) = - 019 V

Grandeurs mesurées




R

- 0.19

VuR (t)

0.19

V

uc (t)

- 0.01

Ai (t)

C

R

+

-

• Pour t = 180 s

03:00 min:sec

i (t) = - 0,003 mA

uC (t) = 0,06 V

uR (t) = - 0,06 V

Grandeurs mesurées




R

- 0.06

VuR (t)

0.06

V

uc (t)

- 0.003

Ai (t)

C

R

+

-

• Pour t = 240 s

04:00 min:sec

Sommaire

L’ensemble de toutes les valeurs relevées sont rassemblées dans un tableau

t [s] uc (t) [V]

0 5

10 4,17

20 3,48

30 2,9

40 2,42

50 2,01

60 1,68

70 1,4

80 1,17

90 0,97

120 0,56

150 0,33

180 0,19

210 0,11

240 0,06

i (t) [mA]

- 0,22

- 0,19

- 0,16

- 0,13

- 0,11

- 0,09

- 0,08

- 0,06

- 0,05

- 0,04

- 0,03

- 0,02

- 0,01

- 0,005

- 0,003

uR (t) [V]

- 5

- 4,17

- 3,48

- 2,9

- 2,42

- 2,01

- 1,68

- 1,4

- 1,17

- 0,97

- 0,56

- 0,33

- 0,19

- 0,11

- 0,06

• EXPLOITATION DES MESURES •


• ETUDE N ° 1 •

• Évolution de la tension aux bornes du condensateuruC (t) = f (t)

t [s] uc (t) [V]

0 5

10 4,17

20 3,48

30 2,9

40 2,42

50 2,01

60 1,68

70 1,4

80 1,17

90 0,97

120 0,56

150 0,33

180 0,19

210 0,11

240 0,06

Toutes les valeurs des mesures de la tension aux bornes du condensateursont consignées dans un tableau

Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.

Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps

t [s]10

uc(t) [V]

0,5

1

2

3

4

5

50 100 150 200 250

t [s]uc(t) [V]

0 5

10 4,17

20 3,48

30 2,9

40 2,42

50 2,01

60 1,68

70 1,4

80 1,17

90 0,97

120 0,56

150 0,33

180 0,19

210 0,11

240 0,06

• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.

0

t [s]10

uc(t) [V]

0,5

1

2

3

4

5

50 100 150 200 250

t [s]uc(t) [V]

0 5

10 4,17

20 3,48

30 2,9

40 2,42

50 2,01

60 1,68

70 1,4

80 1,17

90 0,97

120 0,56

150 0,33

180 0,19

210 0,11

240 0,06



0

t [s]10

uc(t) [V]

0,5

1

2

3

4

5

50 100 150 200 250

t [s]uc(t) [V]

0 5

10 4,17

20 3,48

30 2,9

40 2,42

50 2,01

60 1,68

70 1,4

80 1,17

90 0,97

120 0,56

150 0,33

180 0,19

210 0,11

240 0,06



0

t [s]10

uc(t) [V]

0,5

1

2

3

4

5

50 100 150 200 250

t [s]uc(t) [V]

0 5

10 4,17

20 3,48

30 2,9

40 2,42

50 2,01

60 1,68

70 1,4

80 1,17

90 0,97

120 0,56

150 0,33

180 0,19

210 0,11

240 0,06



0

L’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps

t [s]uc(t) [V]

0 5

10 4,17

20 3,48

30 2,9

40 2,42

50 2,01

60 1,68

70 1,4

80 1,17

90 0,97

120 0,56

150 0,33

180 0,19

210 0,11

240 0,06t [s]

10

0,5

1

2

3

4

050 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

• L’ensemble de ces croix permet de traduire l’évolution de la tension aux bornes du condensateur.

La courbe de décharge d’un condensateur soumis à un échelon de tension est la suivante

t [s]

1

2

3

4

050 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

uc (t) = f (t)

Sommaire



• Évolution de l’intensité du courant dans le circuit électriquei (t) = f (t)

t [s] i (t) [mA]

0 - 0,22

10 - 0,19

20 - 0,16

30 - 0,13

40 - 0,11

50 - 0,09

60 - 0,08

70 - 0,06

80 - 0,05

90 - 0,04

120 - 0,03

150 - 0,02

180 - 0,01

210 - 0,005

240 - 0,003

Toutes les valeurs des mesures de l’intensité du courant électriquesont consignées dans un tableau

Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.

L’évolution de l’intensité du courant électrique en fonction du temps

t [s]i(t) [mA]

0 0,22

10 0,19

20 0,16

30 0,13

40 0,11

50 0,09

60 0,08

70 0,06

80 0,05

90 0,04

120 0,03

150 0,02

180 0,01

210 0,005

240 0,003

-0,045

-0,090

-0,135

-0,180

t [s]10

050 100 150 200 250

i(t) [mA]

-0,225

• L’évolution de l’intensité du courant électrique est tracée comme précédemment.

La courbe de l’intensité du courant lors de la décharge d’un condensateur dans un circuit résistif est la suivante

i (t) = f (t)

Sommaire

-0,045

-0,090

-0,135

-0,180

t [s]10

050 100 150 200 250

i(t) [mA]

-0,225



• Évaluation de la somme des tensions aux bornes des composantsuC (t) + uR (t)

t [s] uc (t) [V]

0 5

10 4,17

20 3,48

30 2,9

40 2,42

50 2,01

60 1,68

70 1,4

80 1,17

90 0,97

120 0,56

150 0,33

180 0,19

210 0,11

240 0,06

Toutes les valeurs des mesures des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance

sont consignées dans un même tableau

uR (t) [V]

- 5

- 4,17

- 3,48

- 2,9

- 2,42

- 2,01

- 1,68

- 1,4

- 1,17

- 0,97

- 0,56

- 0,33

- 0,19

- 0,11

- 0,06

Tracé des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance

• Les deux courbes sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses

-5

t [s]10

0

50 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

uR(t) [V]

C

Ri (t)

+

-

uR (t)

uC (t)

Nous venons de vérifier expérimentalement la loi additive des tensions

uC (t) + uR (t) = O

La somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance

Sommaire

• ETUDE MATHEMATIQUE •

C

R

i (t)

+

-

uR (t)

uC (t)

Le montage réel Le montage équivalent électrique

R

C

uR (t)

uC (t)

i (t)

Le montage à étudier est le suivant

Les grandeurs électriques utilisées sont les suivantes

q (t)

Quelques définitions :

Les éléments du circuit électrique

R La valeur de la résistance en ohms []

C La capacité du condensateur en farads [F]

• Dans l’étude expérimentale :

• R = 22 k

• C = 2 5OO F


L’intensité du courant dans le circuit électrique

i (t) La valeur instantanée de l’intensité du courant électrique en ampères [A]

Les deux composants R et C du circuit électrique sont en série

Ils sont donc traversés par la même intensité du courant électrique.


Les tensions aux bornes des composants R et C

uC (t) La valeur instantanée de la tension aux bornes du condensateur en volts [V]

uR (t) La valeur instantanée de la tension aux bornes de la résistance en volts [V]


La charge instantanée dans le condensateur C

q (t) La valeur instantanée de la charge dans le condensateur en coulombs [C]

Lorsque le courant i (t) circule dans le circuit, le condensateur se décharge

Les électrons portés par l’armature chargée négativement se déplacent vers l’armature chargée positivement à l’extérieur du condensateur.La charge rend compte de l’état électrique de cette charge

La charge q (t) rend compte de l’état électrique de cette charge.

Nous obtenons donc la relation :

uR (t) + uC (t) = O

Appliquons la loi des mailles sur ce circuit

Suivant le sens de parcours donné : -uR (t) - uC (t) = O

R

C

uR (t)

uC (t)

i (t)

q (t)

La loi d’Ohm aux bornes de la résistance :

uR (t) = R.i (t)

Quelques relations utiles :

R

C

uR (t)

uC (t)

i (t)

q (t)

La charge du condensateur :

q (t) = C.uC (t)


R

C

uR (t)

uC (t)

i (t)

q (t)

L’intensité du courant électrique :

i (t) =


dt(t) dq

R

C

uR (t)

uC (t)

i (t)

q (t)

uR (t) + uC (t) = O

uR (t) = R.i (t)

q (t) = C.uC (t)

i (t) = dt(t) dq

=

uR (t) + uC (t) = + uC (t) = O

dt(t)du

RC c

L’équation différentielle à résoudre est donc

+ uC (t) = O dt(t)du

RC c

dt(t)du

C c

R

C

uR (t)

uC (t)

i (t)

q (t)

1ère étape Rappel mathématique

dtdy

RC

t

ab

RC1

L’équation est de la forme : = a.y + b

La solution s’écrit donc : y = K.e -

Pour K, a et b

Ici :

La tension uc (t) s’écrit donc :

= uC (t) dt(t)du

c

a.t

uC (t) = K.e

2ème étape Étude des conditions initiales

Le condensateur est chargé sous une tension égale à la valeur E

La tension aux bornes du condensateur est donc définie à l’instant initiale

uC (O) = E donc K + E = O

uC (t) = E.e RC

t

Étude de l’intensité du courant i (t)

i (t) = - e

RCE

dt(t) dq

RC

t

i (t) = = C. dt(t)du

c

uC (t) est de la forme uC (t) = E.e

est donc de la forme = - .e )

RC

t

dt(t)du

c

dt(t)du

c RC

t

RE

Sommaire

Évolution de la décharge d’un condensateur sous tension constante

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