ev1-math-02

المتتاليات العددية -2 تعريف متتالية -1 التعرف على متتالية بالتراجع-2 "رتابة متتالية " إتجاه تغير متتالية-3 المتتاليات الحسابية والهندسية - 4 إتجاه تغير متتالية حسابية ومتتالية هندسية-5 ة الهندسية لحل مشكالت من الحيا إستعمال المتتاليات الحسابية و -6

اليومية baUU: المتتاليات من الشكل -7 nn b≠0 و a≠0 مع 1 ومشكالت حول المتتاليات العددية تمارين - حـلول التمارين -

:تعريف متتالية -1

N أو جزء من Nالمتتالية العددية هي دالة مجموعة تعريفها *N 1 أوN *: مثل

Unو ) Un(ن العبارتين يجب أن نفرق بي :1مالحظة*

.(Un) لعبارة الحد العام للمتتالية Un يرمز به إلى المتتالية و (Un) حيث فمثالn0 من التعريف أعاله المتتالية المعرفة ابتداءا من المرتبة :2مالحظة *

n1

Un = هو الحد العام للمتتالية (Un) المعرفة على N*.

n.2 ≤ المعرفة من أجل(Vn) فيمثل الحد العام للمتتالية2n = Vnوأما .n0 є Nحيث ] ]∞ , n0: ومنه مجموعة تعريف متتالية هي من الشكل

: التعرف على متتالية بالتراجع -2

قا من حـدود بعالمة تسمح بتعيين كل حّد منها انطال Nنسمي متتالية تراجعية كل متتالية معرفة على .سبق معرفتها

وبالعالقـة Un0 المعرفة بحدها األول Uكذلك يمكننا أن نعرف متتالية تراجعية كل متتالية Un+1= f(Un) حيث f دالة معرفة على N.

.U تسمى الدالة المرفقة بالمتتالية fالدالة بالعالقة التراجعيةNمتتالية معرفة على ) Un (:1مثال

U0=3 Un+1= 4Un-6 من أجل كل طبيعي n من N

U1،U2،U3: أحسب-)1 N من n المعرفة من أجل كل من أجل كل (Vn)نعتبر المتتالية -)2

Vn = Un -2: بعبارة حدها العام V0،V1،V2،V3احسب * n بداللة Vnثم أعط عبارة V8 بتخمين احسب *

: األجوبة U0 = 3

Un+1 = 4Un-6 U1،U2،U3: حساب-1

U1 = 4U0-6 = 4(3)-6 = 6 U2 = 4U1-6 = 4(6)-6 = 24-6=18 U3 = 4U2-6 = 4(18)-6 = 66

V1،V2،V3 حسابٍ -2 Vn = Un-2 لدينا

V0 = U0-2 = 3-2 = 1 V1 = U1-2 = 6-2 = 4

V2 = U2-2 = 18-2=16 V3 = U3-2 = 66-2 = 64

: بتخمينV8حساب * V0 = 1= 40 ، V1 = 41، V2 = 42 ،V3 = 43لدينا

V8 = 65536 أي V8 = 48إذن Vn = 4nومنه

: كما يليNالمتتالية المعرفة على ) Un( لتكن :2مثالU0 = 3

+Un 23

Un+1 =

U1،U2،U3احسب * Un+1=f(Un): معرفة من الشكل) Un(المتتالية

موجبا بn هي الدالة المرفقة بها والمعرفة من أجل كل fحيث

+x23

f(x) =

U1،U2،U3ومنه لحساب

Un+1 = f(Un) = 23

+Un

U1 = f(U0) = 23 + U0 =

23 +2 =

27

U2 = f(U1) = 23 +U1 =

23 + 7

2= 5

U3 = f(U2) = 23

+U2 = 23

+ 5 = 2

13

:"رتابة متتالية" إتجاه تغير متتالية -3

متتالية عددية) Un( لتكن

:نقول أن ) n0ابتداءا من مرتبة معينة (متزايدة) Un(المتتالية -

n ≥ n0 من أجل كل Un+1 ≥ Unإذا كان )n0ابتداءا من مرتبة معينة (متزايدة تماما ) Un(المتتالية -

n ≥ n0 من أجل كل Un+1 > Unإذا كان ) n0ابتداءا من مرتبة معينة ( متناقصة Un)(لمتتالية ا-

n ≥ n0 من أجل كل Un+1 ≤ Unإذا كان ) n0ابتداءا من مرتبة معينة (متناقصة تماما) Un(المتتالية -

n ≥ n0 من أجل كل Un+1< Unإذا كان ) n0ابتداءا من مرتبة معينة (رتيبة ) Un( المتتالية -

n ≥ n0 دة من أجل إذا كانت متناقصة أو متزاي 0n ≥ n من أجل كل Un+1 = Un بحيثUn) ( مجال تعريفD من nثابتة من أجل ) Un( المتتالية - : مالحظات*

Un = (-1)nهناك متتاليات ليست رتيبة مثل -1

فردياn إذا كان Un = -1 حيث Un = 1 إذا كان nزوجيا

بدال من قولنا أنها رتيبة ابتداءا من ] n0 ، ∞]+بإمكاننا القول أن المتتالية رتيبة على المجال -2 .n0مرتبة معينة

:أمثلة : المعرفة بحدها العام) Un(أدرس اتجاه تغير المتتالية : المثال األول

) n1 = E ( Un حيث

) n1(E يمثل الجزء الصحيح ل

n *Nمن n من أجل 1

: لديناn ≥ 1 من أجل كل :الجواب

U1 = E( 11

) = 1

U2 = E(21

) = E(0.5) = 0

U3 = E(31

) = E(0.33) = 0

: فإنn ≥ 2 اذن كن أجل كل

Un = E(n1

) = 0

*N ية متوقفة على ومنه المتتال

:متتالية معرفة على) Un (:2لمثالا U0= 2

Un+1=4Un-6

ماذا تالحظ؟U1،U2،U3احسب -1

؟Unعلى ) 1من السؤال( هل يمكن أن نعمم المالحظة -2 : األجوبة U1، U2، U3 حساب

U1 = 4U0 -6 = 2 U2 = 4U1-6 = 2

U3 = 4U2 -6 = 2 U1 = U2 = U3 = 2نالحظ أن

ثابتة؟) Un( أي هل N، Un =2 من nهل يمكن أن نعمم ونقول أن من أجل كل -2 N من nيمكن أن نبرهن على ذلك بالتراجع من أجل كل

n الخاصية المتعلقة بالعدد الطبيعي p(n)نسمي P(n)تكافئ :Un = 2

n0 = 0 حيث p(n0)نتحقق من صحة -1 حققة مU0 = 2لدينا

p(m+1) ونبرهن صحة n0 ≥ m حيث m من أجل المرتبة p(n)نفرض أن -2P(m) صحيحة أي Um = 2

Um+1 = 4Um-6: لدينا حسب فرضية التراجع Um+1= 4(2)-6إذن

Um+1 = 8-6 = 2 ومنه صحيحة p(n)فإن n صحيحة ومنه من أجل كل p(m+1)إذن متتالية ثابتة (Un)نإذ

U0 = U1 = U2 =…= Un = 2وتحقق : بعبارة حدها الهام *Nالمعرفة على ) Un( لتكن المتتالية : 3مثال

1nn

Un =

يمكننا مقارنة *N من n موجبة من اجل كل (Un) بما أن :األجوبة

UnUn .1 بالعدد 1

لدينا 21

nn Un+1 = ومنه

nn 1

x 21

nn

= UnUn 1

)2(122

nnnn

= UnUn 1

نقارن UnUn 11أي ندرس إشارة الفرق . 1 بالعدد1

UnUn ولدينا :

)2(

1nn

- 1 = )2(122

nnnn

- 1 = UnUn 1

0 <بما أن )2(

1nn

1 < إذن UnUn 1

*N من nمتتالية متزايدة تماما من أجل ) Un(ومنه :طريقة العمل

لدراسة اتجاه تغير المتتالية ) كل حدودها موجبة (n0 ≥ nمتتالية موجبة من أجل كل ) Un(إذا كانت

)Un ( يكفي مقارنة العددUnUn 1 بالعدد1

0 ≤ 1- إذا كان UnUn متزايدة) Un( نقول أن 1

0 ≥ 1- إذا كان UnUn متناقصة) Un( نقول أن 1

:المتتاليات الحسابية والهندسية - 4

نة الثانية الجدول التالي يلخص القوانين الخاصة بالمتتاليات الحسابية والهندسية التي درست فس الس .ثانوي

المتتالية الهندسية المتتالية الحسابية

) Un ( متتالية حسابية حـدها األولUα وأساسـها r .N عنصر من αحيث

≠ 0rعبارة الحد العام لما Un = Uα+ (n-α) r

مجموع حدود المتتالية الحسابية Sn = Uα+Uα+1+…+Un

)n-α+1(بما أن عدد الحدود هو

nUUn :فإنnS α

α2

)1(

r =1حالة خاصة )Un ( ثابتةUn = Uα

Sn = (n-α+1)Uα الوسط الحسابي

a،b،c حدود متتابعة من المتتالية الحـسابية )Un(،b :هو الوسط الحسابي وتحقق

2b = a+c حدود المتتالية الحسابية تحقق

U1-U0 =U2-U1 =. .=Un+1-Un

متتالية حسابية حدها) Un(لمتتالية الحسابية ا :مثال♦ r وأساسها U0األول

)Un(عين أساس المتتالية -1 علمـا أنn بداللة Un ثم أعط عبارة U0أحسب -2

U7 = 10 U13 = 22

)Vn ( دسية حـدها األول متتالية هنVβ وأساسـها q .N عنصر من βحيث

≠ 1q و ≠ 0qعبارة الحد العام Vn = Vβ.qn-β

الهندسية مجموع حدود المتتالية Sn = Vβ+Vβ+1+…+Vn

n-β+1عدد الحدود

q

nqVnS 1

)1(1 ββ

q=1حالة خاصة Vβ=Vn فإن )Vn (ثابتة

Sn= (n-β+1)V β

سط الهندسيالوa،b،c حدود متتابعة من المتتالية الهندسـية )Vn(،b

هو الوسط الهندسي وتحقق b2=a.c

حدود المتتالية الهندسية تحقق

0

1

vv

=

1

2

vv

=… =

n

n

vv

1

متتالية متوقفة(Vn) فإن q=0إداكان

حيث Sاحسب المجموع -3S=U0+U1+…+U99

األجوبة U7=10 ، U13 = 22

لديناU13 = U7+(13-7)r

22=10+6r

6r=10-22 ومنه

2 : اذن6

12r

r =2 إذن األساس 0Uحساب

: لدينا U7= U0+7r 10 = U0+7(2) ومنه U0 = 10-14 = -4

n بداللة nUعبارة Un = U0+nrلدينا

Un = -4+2n: ومنه :حساب المجموع

S = U0+U1+…+U99

100 = 1+0-99عدد الحدود

S = 2

100 [U0+U99]

Sn = 50[-4+(-4)+2(99)]

S = 9500ومنه

متتاليـة هندسـية(Vn)يات الهندسية المتتال :مثال♦ *n є Nجميع حدودها موجبة حيث

V4 x V6=16بحيث

V1=4 علما أن q أحسب األساس -11

nبداللة Vn احسب عبارة -2 حيثSnأحسب -3

Sn=V1+V2+…+Vn

: األجوبة • V4 x V6 = 16 لدينا

V5 هو الوسط الهندسي للحدين V6و V5 ومنهV52

= V4 x V6 16 أي = V52

ألن الحدود موجبةV5 = 4 ومنه

علما أن q حساب 41

1U

4U5 = U1.q لدينا

4 =41

.q4 ومنه

q4 = 4 x 4= 16 أيq4 = 24

q = 2نهوم n بداللة nVعبارة

Vn = V1.qn-1 لدينا

Vn = 41

(2)n-1 ومنه

v1+v2+..+vn= Sn حساب

q

nqVnS 11

1

Sn = 41

2121 n

[]

Sn = - 41

[1-2n]

إتجاه تغير متتالية حسابية ومتتالية هندسية-5 :إتجاه تغير متتالية حسابية ) أ

)Un ( متتالية حسابية معرفة معN حدها األول U0 وأساسها r. Un+1 = U0 +(n+1)r ومنه Un = U0 + nrلدينا

) (Un+1 – Un: ندرس إشارة Un+1 – Un = [U0 +(n+1)r] - [U0 + nr]: لدينا

= U0 + nr + r-U0 - nr

Un+1 – Un = r إذن

rإذن إتجاه المتتالية الحسابية يعتمد على إشارة أساسها r > 0 يكافئ (Un) متزايدة تماما من أجل كل n є N

r < 0 يكافئ (Un) كل متناقصة تماما من أجلn є N

r = 0 يكافئ (Un) ثابتة من أجل كل n من N

U0 = -4 المتتالية المعرفة بحدها األول (Un) لتكن :مثال n من أجل كل عدد طبيعي Un+1 = Un-2n + 3وبالعالقة

بالعالقةn المتتالية المعرفة من أجل كل عدد طبيعي (rn)ولتكن rn = Un+1 – Un

.حسابية يطلب تعيين أساسها وحدها األول متتالية (rn)أثبت أن -1

(rn)استنتج اتجاه تغير -2

األجوبة

(rn) متتالية حسابية أساسها r يكافئ من أجل كل عدد n من N rn+1 – rn = r

Un+1 – Un: نحسب : لدينا

= Un – 2n + 3 – Un Un+1-Un = -2n + 3

rn+1 – rn ومنه نحسب rn+1 – rn = -2(n+1) + 3 – (-2n + 3)

= -2n -2 + 3 + 2n – 3 = -2 = r rn+1 – rn

r = -2 متتالية حسابية أساسها (rn)إذن :r0حساب r0 = U1 – U0 ومنه r0 = -1 + 4 r0 = 3: إذن

. متتالية حسابية متناقصة تماما(rn) إذن r = -2 < 0ن وبما أ

:إتجاه تغير متتالية هندسية ) ب(Un) متتالية هندسية أساسها q 1 حيث q ≠ وحدها األول U0. Un+1 = U0 qn+1 و Un = U0 . qnلدينا

Un+1 – Unومنه نحسب Un+1 – Un = U0 qn [q -1]

)q-1( نميز الحاالت حسب اإلشارة ∞ +1 0 ∞- q

+ - - 1- q 1 (-1 > 0 q 1 < أي q

U0 موجبا ومنه اتجاه تغير المتتالية الهندسية يعتمد إلى إشارة qnإذن n є N تزايدة تماما من أجل كل (Un) يكافئ U0 > 0 و q 1 < )أ n є Nناقصة تماما من أجل كل) Un( يكافئU0 < 0 و q 1 >)ب2 (< 1 q <0 1 > 0 إن- q و qnموجبا

:ومنه n є N متناقصة تماما من أجل كل(Un) يكافئ U0 > 0 وq<1>0) أ n є N متزايدة تماما من أجل كل(Un) يكافئ U0 < 0 و q<1>0)ب3 (q ≤ 0 إذن q -1 < 0 و qnلك حسب كون ليست له إشارة ثابتة وذnزوجيا أو فرديا .

. ليست رتيبة(Un)ومنه متتالية عددية معرفة بحدها العام(Un) :ثال م

n

n

7

14 = Un من أجل كل n من N

.U0 متتالية هندسية عين أساسها وحدها األول (Un)برهن أن .1

؟(Un)ما هو اتجاه تغير المتتالية .2

: األجوبة : لدينا . 1

)n

74

(4 = n

n

7

14 Un =

(Un) لها الشكل a.bn وهو عبارة عن الحد العام لمتتالية هندسية حدها األول a وأساسها b

و U0 = 4 نحو Unومنه وبالموافقة مع عبارة 74 q =

(Un)اتجاه تغير . 2

لدينا 74 q = 0 إذن<q<1

N من n متتالية هندسية متناقصة تماما من أجل كل (Un) ومنه U0 > 4كذلك

Un+1 – Unالفرق بدراسة إشارة(Un) يمكن أن ندرس إتجاه تغير المتتالية :مالجظة *

n(: لدينا

74

– 4 (1

74 n

Un+1 – Un = 4

174

744n

=

73

744n

=

N من n متناقصة تماما من أجل كل (Un) ومنه Un+1– Un < 0إذن

ــشكالت -6 ــل م ــية لح ــسابية والهندس ــات الح ــتعمال المتتالي إس من الحياة اليومية

:1كلة رقم المش♦

: المعطيات واألسئلة ج في البنك بفوائد بسيطة لعدة سنوات، أي أنه عند نهاية كل .د 6000 وضع تلميذ مبلغا مقداره

. من المبلغ االبتدائي%8 ليزيد إدخاره كل سنة بمبلغ ثابت يساوي %8سنة يمنح البنك فائدة قدرها يريد التلميذ معرفة المبلغ له كل سنة- U3 . U2 . U1 أحسب .1

Un+1 = Un + 480 لدينا nتحقق أنه من أجل كل عدد طبيعي . 2 n بداللة Unعّبر هن . 3 مرات ؟3ما هو عدد السنوات التي يجب انتظارها ليضّعف التلميذ المبلغ االبتدائي إلى . 4 :األجوبة •

المبلغ االبتدائيU0 = 6000نضع

U1 = 6000 + 8 x: إذن 1006000

U1 = 6000 + 480 6480 = 1U

U2 = 6480 + 6000 x 100

8

= 6480 + 480

6960 = 2U

U3 = 6960 + 6000 x 100

8

= 6960 + 480 7440 = 3U

: لدينا n التحقق أنه من أجل كل عدد طبيعي -2Un+1 = Un + 480

لدينا U1 = U0 + 480 U2 = U1 + 480

U3 = U2 + 480

Un+1 = Un + 480وبتخمين نجد و أساسهاU0 = 6000 متتالية حسابية حدها األول (Un)ومنه

r = 480 Un = 6000 + 480n أي Un = U0 + nrإذن

مرات3عدد السنوات لكي يتضاعف المبلغ االبتدائي Un = 3 x 6000نضع

6000 + 480n = 18000 480n = 18000 – 6000

480n = 1200 n = 25ومنه

سنة25إذن عدد السنوات هو :المشكلة الثانية ♦

:المعطيات واألسئلة ج، علما أن . د 1000الذهب الخالص يقّدر بقيمة كان سعر الغرام الواحد من 2000في سنة

. من المبلغ الذي كان عليه في السنة الفارطة%20سعر هذا األخير يزداد كل سنة بمقدار كم سيبلغ ثمن هـذا الخـاتم يـوم 01/01/2000غرامات في يوم 4 اشترت تلميذة خاتما وزنه -1

؟01/01/2007 لصائغ ما هو ثمن بين هـذا الخـاتم علمـا أن 2007ي عام أرادت هذه التلميذة أن تبيع خاتمها ف -2

من المبلغ اإلجمالي للخاتم ؟%20الصائغ يأخذ نسبة في الربح مقدرة بـ :األجوبة •

ج. د4000 هو 01/01/2000ثمن الخاتم يوم U0 = 4000نضع

من المبلغ اإلجمالي%20الزيادة كل عام مقدرة بـ :خاتم يصبح ثمن ال01/01/2001إذن يوم

10020

U1 = U0 + 4000 x

U1 = U0 + U0 x 0.2 U1 = U0 (1+0.2) U1 = 1.02 x U0 U1 = 1.02 x 4000

U1 = 4800 : يصبح ثمن الخاتم 2000في سنة

U2 = U1 + U1 x 0.2 U2 = U1 (1+0.2) U2 = U1 (1.2) U2 = (U0 x 1.2)(1.2) U2 = U0 (1.2)2 U2 = 4000 x (1.44)

U2 = 5760

U7 = U0 x (1.2)7 ومنه q=1.2 وهكذا فإن ثمن الخاتم يزداد بأساس متتالية هندسية U7 = 4000 x (1.2)7 U7 = 14332.7 .ج. د14332.7 هو 2007 ومنه ثمن بيع الخاتم عام

: إذن هذه النسبة تقدر بـ%20 من الربح اإلجمالي هي نسبة ربح الصائغ*

= 2866.5410020

14332.7 x

:ومنه ثمن بيع الخاتم هو 14332.7 – 2866.54 = 11466.16

ج. د11466.16 هو 2007ثمن بيع الخاتم عام

baUU: المتتاليات من الشكل -7 nn b≠0 و a≠0 مع 1

عددا طبيعياn حيث n بداللة Un العام حساب الحد -أ a=1نميز الحالة الخاصة

bnUnUإذن b و منه 1n

Un

U1

متتالية حسابية حدها األول (Un) و منه

U0 و أساسها b و منه bnUUn 0 a≠1نفرض

baUU متتاليتان تحققان العالقة التراجعية (V1) و (Un)إذا كانت nn و1baVV nn 1

: لدينا n و بالفعل من أجل كل عدد طبيعي a هو حد عام لمتتالية هندسية أساسها Wnإذن فرقها )()(111 baVbaUVUW nnnnn

nn aVaU nnإذن WaW 1

baVV التي تحقق العالقة التراجعية (Vn)ريد معرفة المتتالية ن nn (Vn)لذلك نفرض أن 1 ثابتة=Vnأي و منه =Vn+1و منه baVV nn a +b = تصبح 1

b=(a-1) ومنه a = b - و منه

و نجد ab

1α علما أن a≠1

nnn: و من العالقة VUW αnnنجد UW

أيabUW nn 1

(Wn)ية هندسية أساسها هي متتالaوحدها األول abUW

إذن 100

nn aabUW )

1( 0

αnnو لدينا UW و منه αnn WU

:و نجد العالقة األساسية

baUU المعرفة بالعالقة التراجعية (Un)و هي عبارة الحد العام للمتتالية nn 1

:مثال : حيث N المعرفة على (Un)نعتبر المتتالية

324

1

0

nn UUU

n من أجل كل عدد طبيعي n بداللة Un أعط عبارة

:األجوبة : و منه a = -2 ، b = 3لدينا

ab

1α 1 أي

)2(13α

αnUnW المعرفة بحدها العام (Wn)إذن المتتالية 1nnأي UWية هندسية أساسها هي متتالa = -2100 و حدها األول UW 3 إذن =W0

nو منه n qWW Wn = 3(-2)n أي 0

3)2(1 إذن αnWnUو بما أن n

nU

baUUإتجاه تغير المتتالية التراجعية المعرفة بـ -ب nn 1

)أ(الفرع حسب αnUnWبما أن α11إذن nUnWو منه إشارة الفرق

nn UU nn من إشارة 1 WW 1 1)1()(ألن αα nUnUnWnW αα nUnU 1

n

Un

U1

α00 و حدها األول a متتالية هندسية أساسها (Wn)و بما أن UW إذن اتجاه تغير المتتالية (Un) من نفس اتجاه تغير المتتالية (Wn)

)درس اتجاهات تغير المتتالية الهندسية في درس المتتاليات الهندسية: (مالحظة *

αnaabUnU 10

Snحساب المجموع - جSn = U1 + U2 + …… + Un

αnnلدينا UW و منه αnn WU α11 WU α22 WU α33 WU αnn WU

و بالجمع طرف إلى طرف نجد)...()...()...( 2121 αααn

Sn WWWUUU

n

n مرة مجموع n حدا من متتالية هندسية أساسها a

α11 و حدها األول UW و ab

1α

αn نه و مa

naWnS )1

: إذن 1)1

المعرفة بالعالقة التراجعية (Un) للمتتالية Snو تمثل هذه المساواة عبارة المجموع baUU nn 1

: غير معدوما بالشكل n من أجل كل عدد طبيعي (Un)نعرف المتتالية : مثال

253

1

0

nn UUU

n بداللة Unأحسب )1 ؟(Un)ما هو اتجاه تغير المتتالية )2

: المعرف كما يلي Snأحسب المجموع )34( Sn = U1 + U2 + …… + Un

αnaa

abUS

n

n 11)

1( 1

:األجوبة

:n بداللة nUحساب عبارة )1

: ومنه a = 5 ، b = 2لدينا 51

21 abα

إذن 21α

– Vn = Un: بعبارة حده العام (vn)نعرف المتتالية

ي أ21

nn UV

و حدها األولa=5 متتالية هندسية أساسها (Vn)نعلم أن

Vn = Un – أي 27

2131V

1و منه 1

nn qVV 5(1 أي(

27 n

nV

لدينا 21

nn VU إذن عبارة Un تعطى بالشكل

21)5(

27 1n

nU

(Vn)ن اتجاه تغير م(Un)اتجاه تغير )2

كذلك متزايدة تماما (Un) و منه N متتالية متزايدة تماما على (Vn) إذن q>1 و V1>0و بما أن Nعلى

:Snحساب المجموع )3

αα لدينا naaUSn

n )1

1)(( 1

nS و منهn

n 21)

5151)(

213(

nSn

n 21

415

27

nSإذن nn 2

1)15(87

baUUحل مشكالت تستعمل فيها متتاليات من الشكل -ج nn 1

:طرح المشكلة الرياضية ♦ 1500000)قّدر ثمن سيارة جديدة من طراز معين بمبلغ مليون و خمسة مائة ألف دينارا جزائريا

DA) 01/01/07 بتاريخ :و اتفق على بيع هذا النوع من السيارات ابتداء من كل سنة بالطريقة التالية

من ثمن البيع للسنة الفارطة وبزيادة %25 جانفي ثمن البيع الجديد ينقص بمقدار 01كل عام ابتداء من . للمبلغ اإلجمالي الجديد(DA 50000)قدرها n2007+ جانفي من سنة 01 مبلغ السيارة يوم Pnنسمي

:األسئلة . ثم رتب هذه الحدودP0 ، P1 ، P2أحسب )1 Pn بداللة Pn+1 عبارة nأكتب من أجل كل عدد طبيعي )2

متتالية هندسية (Un) برهن أن n : Un = Pn - 200000نضع من أجل كل عدد طبيعي )3 .U0 و حدها األول qيطلب تعيين أساسها

n بداللةPn ثم عبارة n بداللة Unإعط عبارة )4

: المعرف بـ Snأحسب المجموع )5Sn = P0 + P1 + … + Pn-1

:حل المشكلة • 01/01/07 هو ثمن بيع السيارة يوم P0نفرض )1

P0 = 1500000 DA إذن 50000

10025 0

01P

PP

50000]411[01 PP

5000043

01 PP

50000)1500000(43

1P

P1 = 1175000 DA

5000010025

112 PPP

50000)411(12 PP

5000043

12 PP

50000)1175000(43

2P

P2 = 931250 DA P0 01/01/07 يمثل ثمن البيع يوم P1 01/01/08 يمثل ثمن البيع يوم P2 01/01/09 يمثل ثمن البيع يوم

P2 < P1 < P0 الحظ أن

n بداللة Pnعبارة )2

50000: لدينا 43

01 PP

5000043

12 PP

50000إذن 43

1 nn PP

baPP متتالية تراجعية من الشكل (Pn): مالحظة * nn 1

حيث 43a 50000 وb

3( Un = Pn – 200000

: لدينا

431

500001 abα

200000= ومنه450000

– Un = Pnإذن

حيث a متتالية هندسية أساسها (Un)إذن 43a و حدها األول α00 PU

U0 = 1500000 – 200000 U0 = 1300000

Un = U0 . qn: و منه n

nU 43)1300000(

+ Pn = Un و بما أن

Snحساب المجموع )4Sn = P0 + P1 + … + Pn-1

. حداn لدينا Pn = Un + 200000

P0 = U0 + 200000 P1 = U1 + 200000

Pn-1 = Un-1 + 200000

بالجمع طرف إلى طرف نجدn200000 1)- Un U1 (U0 1-Pn P1 P0

مجموع حدود متتالية هندسية

n :و منه qqUSn

n 2000001

10

n

n

nS 200000

431

431

)1300000(

nSn

n 200000431)13000004(

nSn

n 200000431)5200000(

:مالحظة* U0ول هو علما أن الحد األ)د(يمكنك تطبيق قانون المجموع المحصل عليه في الدرس الفقرة

20000043)1300000(

n

nP

مشكالت حول المتتاليات العددية و تمارين

: 1تمرين :Un بحدها العام N المعرفة على (Un)نعتبر المتتالية العددية

.أحسب الحدود الخمسة األولى - .nبداللة Un+1أكتب عبارة الحد -

Un = 3n + 4 , Un = -2n + 1

, Un = 3n 1

1n

Un =

: 2تمرين

بالعالقة التراجعيةN المعرفة على (Un)نعتبر المتتالية .أحسب الحدود الخمسة األولى -

(1) U0 = 1 (2) U0 = -1 Un+1 = Un + 4 Un+1 = Un-2

(4) U0 = 2 21

(3) U0 =

Un+1 = 2Un + 1 Un+1 = -2Un

: 3تمرين :بـ | R المعرفة على f نعتبر الدالةالعددية

f(x) = 2x3 – 30x2 + 162 وليكن حدود تغيراتها

∞ +x -∞ 0 10 162 F(x)

-838 : بـN المعرفة على (Un)تعتبر المتتالية العددية *

Un = 2n3 – 30n2 + 162 ؟ U0 ، U10ما هي قيم ) 1 ? є { n 0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10{ لما (Un) إتجاه تغير fجدول تغيرات الدالة إستنتج من ) 2

؟n ≥ 10 لما (Un) إتجاه تغير fإستنتج من جدول تغيرات الدالة ) 3

: 4 تمرين بحدها العامN المعرفة على (Un)أدرس اتجاه تغير المتتالية

Un = -2n + 5 , Un = 3n – 1 , Un = 2n

n)31

Un = (

: 5تمرين

حسابية ؟N المعرفة على (Un)حل المتتالية (1)Un = 3n – 7 (2)Un = -4n + 2 (3)Un = n2

(4) U0 = -3 (5) U0 = 1

Un+1 = Un + n Un+1 = Un + 2

: 6تمرين (Un) متتالية حسابية معرفة علىN حدها األول هو ،U0 وأساسها r n بداللة Unأكتب

, r = -523

(1) U0 = -1 , r = 4 (2) U0 =

2 , r =41 (4) U0 =2, r = 2(3) U0 =

: 7تمرين

(Un) متتالية حسابية معرفة على N أساسها r بحيث : U5 = 9 , U2 = 3

.rأحسب األساس ) 1 .U0أحسب الحد األول ) 2 n بداللة Unأكتب ) 3 Sn :Sn = U0 + U1 + …+Unأحسب المجموع ) 4

.S10 , S20استنتج المجموع ) 5 U8 = 2 , U4 = 10: نفس األسئلة إذا كان-

: 8تمرين (Un) متتالية حسابيةمعرفة علىN اساسها، r )0r ( بحيث:

U3+U4+U5=42381=2( و (U3)2+(U4)2+(U5

U3,U4,U5 أحسب الحدود) 1

أحسب األساس ثم الحد األول) 2 nبداللة Unأكتب ) 3

: 9تمرين(Un) متتالية حسابيةمعرفة على N اساسها، r بحيث :

r = 3 و U1 + U2 + U3 + U4 = 34

U0أحسب ) 1 n بداللة Unأكتب ) 2 Sn = U0+…+Un: أحسب) 3 S'n = U1+…+Un: أحسب المجموع) 4

: 10تمرين عامل300 هو 2000كان عدد عمال مؤسسة إنتاجية عام

. عامال جديدا40بحيث تنطق المؤسسة كل سنة 2000 هو عدد العمال عام V0نعتبر أن

سنةn هو عدد العمال بعد vnو .2003 ، 2002 ، 2001 أحسب عدد العمال عام -1 vn و vn+1 أوجد عالقة بين -2

)vn( استنتج طبيعة المتتالية -3 .nبداللة vn أكتب -4

Sn=V0 +V1 +…+Vn: أحسب المجموع – 5

: 11تمرين

.%5 بأحد البنوك، بحيث له فائدة بسيطة سنوية قدرها 2007ج عام . د2000وضع شخص مبلغ U0 هو 2007نفرض أن المبلغ الذي وضعه عام

سنوات nالرصيد المحصل عليه بعد: Unو .2010 ،2009 ، 2008أحسب رصيد الشخص عام ) 1 Un و Un+ 1أوجد عالقة بين ) 2 )Un(استنتج طبيعة ) 3 n بداللةUnأكتب ) 4

: 12تمرين

(Un) متتالية حسابية معرفة على N : لعدة حدودS ، يعتبر المجموع U0 = 1 وحدها األول r أساسها

S = 1+11+21+…+201 rأحسب األساس ) 1 n بداللة Unأكتب ) 2 U1 = 201: بحيثnعين الرتبة ) 3

Sn :Sn = U0+…+Unنعتبر المجموع ) 4 Sn = 105: بحيثnهل توجد قيمة لـ

: 13تمرين

هندسية ؟N المعرفة على(Un)هل المتتالية Un = 3.(2)n , Un = (-4).(3)n , Un = n2

: 14تمرين

(Un) متتالية هندسية أساسها q وحدها األول U0

n بداللة Unأكتب )1 (Un)ادرس اتجاه تغير ) 2

q = 2 , U0 = 3

) , U0 = 231

q = (

21

q = (-2) , U0 =

: 15مرين ت(Un)متتالية هندسيةمعرفة على *N أساسها qوحدها األول U1

14نفس أسئلة التمرين q = 2 , U1 = -3

) , U1 = 421 q = (

q = -3 , U1 = + 2

: 16تمرين (Un) متتالية هندسية معرفة على N بحيث :

U4 = 12 , U2 = 3 )q ) q > 0 وأساسها

qحسب األساس أ) 1 U0أحسب الحد األول ) 2 n بداللة Unأكتب ) 3 Sn :Sn = U0+…+Unأحسب المجموع ) 4

S6استنتج المجموع

: 17تمرين (Un) متتالية هندسية معرفة على N* ، U5 = 54 , U3 = 6

)q ) q > 0وأساسها qأحسب األساس ) 1 U1أحسب الحد األول ) 2

n بداللة Unأكتب ) 3

Sn : Sn = U1+…+Unأحسب المجموع ) 4 S6 ثم استنتج

: 18تمرين (Un) متتالية هندسية معرفة على N

U0 = 1 و حدها األول (q > 0 )أساسها U0 + U1 + U2 = 13: بحيث

qأحسب األساس ) 1

n بداللة Unأكتب ) 2

: 19تمرين بحيث حصل له فائدة سنوية مركبة 2000ج بإحدى البنوك عام .د11000أودع شخص مبلغا قدره

. %6قدرها vnإذا إعتبرنا أن المبلغ المودع هو

سنواتnالرصيد الجديد بعد : vn ونعتبر العدد 2003 ، 2002 ، 2001أحسب المبلغ المحصل عليه عام ) 1 vn و vn+ 1أوجد عالقة بين ) 2 )Vn( استنتج طبيعة المتتالية) 3

n لداللةVnأكتب ) 4 : 20تمرين

%2 طن، و يزيد سنويا بـ 3000 هو 2006 إنتاج مصنع عام 2006 هو اإلنتاج عام V0إذا اعتبرنا

سنةnاإلنتاج بعد : Vnو .2008 ، 2007أحسب اإلنتاج عام ) 1 vn و vn+ 1أوجد عالقة بين ) 2 Vn) (استنتج طبيعة المتتالية ) 3

n لداللة Vn أكتب) 4 Sn = V0+…+Vn: موع أحسب المج) 5

: 21 تمرين بالعالقة التراجعيةNالمعرفة على) Un(نعتبر المتتالية )1

U0 = 1 Un+1 = -3 Un + 2

U1 ,U2 ,U3 أحسب

2: بـNالمعرفة على ) Vn(نعتبر المتتالية )21

nUnV

V2, V1,V0 : أحسب/ا

3- هي متتالية هندسية أساسها(Vn) أنبين/ ج n بداللة Vnأكتب )3 n داللةUn أكتب )4

Sn=V0+..+Vnأحسب المجموع )5

nUUnS : ثم أحسب المجموع ...0

:حـلول التمارين

: 1التمرين 1( Un = 3n + 4

:الخمسة األولى حساب الحدود U0 = 4 إذن U0 = 3(0)+4 = 4: فإن n = 0من أجل

U1 = 7 إذن U1 = 3(1)+4 = 7: فإن n = 1من أجل

U2 = 10 إذن U2 = 3(2)+4 = 10: فإن n = 2من أجل

U3 = 13 إذن U3 = 3(3)+4 = 13: فإن n = 3من أجل

U4 = 16 إذن U4 = 3(4)+4 = 16: فإن n = 4من أجل

: nبداللة Un+1كتابة ) 2 : فنجد(n+1) بالّرتبة nنقوم بتعويض الّرتبة Un+1 للحصول على عبارة Unفي عبارة الحد العام

Un+1 = 3(n+1) + 4 : نقوم بالنشر فنجد Un+1 = 3n + 3 + 4

Un+1 = 3n + 7 :إذن

1

1n

Un = 2)

1 = : فإنn = 0من أجل 11

= 10

1 U0 =إذن :U0 = 1

: فإنn = 1من أجل 21

= 11

1 U1 =ن إذ :21 U1 =


= 12

1 U2 =إذن :31 U2 =


= 13

1 U3 =إذن :41 U3 =


= 14

1 U4 =إذن :51 U4 =

:nبداللة Un+1عبارة الحد ) 2 (n+1) بالرتبة nبتعويض الرتبة : لدينا

: نجد2

1n

= 11

1n

=1)1(

1n

Un+1 =

: إذن2

1n

Un+1 =

3 (Un = 3n

: حساب الحدود الخمسة األولى- U0 = 30 = 1: فإنn = 0من أجل U1 = 31 = 3: فإنn = 1من أجل U2 = 32 = 9: فإنn = 2من أجل U3 = 33 = 27: فإنn = 3من أجل U4 = 34 = 81: فإنn = 4من أجل

:n بداللة Un+1 كتابة الحد - Un+1 = 3(n+1) = 3n x 3 = 3 x 3n: لدينا

Un+1 = 3 x 3n: إذن

: 2 التمرين

21

(1) U0 =

Un+1 = 2Un + 1

U1 , U2 , U3 , U4 , U5: حساب الحدود، U1 في المتتالية المعرفة بالعالقة التراجعية، حساب كل حد متعلق بالحد الّسابق له، أي لحساب

.U0يجب أن نعلم قيمة الحد .U1، يجب أن نعلم قيمة الحد U2 ولحساب الحد

: في العالقة التراجعية نجد0 بـ n لدينا بتعويض قيمة : U1حساب * U0+1 = 2U0 + 1

1 + (: إذنU1 = 2U0 + 1: ومنه21

U1 = 2(

U1 = 1+ 1 U1 = 2: ومنه

: نجد1 بالعدد n نعوض قيمة : U2حساب * U1+1 = 2U1 + 1ومنه :U2 = 2U1 + 1ومنه :U2 = 2(2) + 1

U2 = 5: إذن


U3 = 11: إذن


U4 = 23: إذن


U5 = 45: إذن

: 3 التمرين f(x) = 2x3 – 30 x2 + 162 والتالي جدول تغيرات f:

∞ +x -∞ 0 10 162 F(x)

-838

:N المعرفة على (Un)ولتكن المتتالية Un = 2n3 – 30n2 + 162

؟U10 , U0إيجاد قيم U0 = 162: من جدول التغيرات لدينا

U10 = -838 ؟ } 0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10n є{ لما (Un)اتجاه تغير ) 2

[10 , 0] على المجال f على هذه المجموعة، هو نفس اتجاه تغير الدالة (Un) اتجاه تغير متناقصة على المجالf، واضح أن f ومن جدول تغيرات الدالة

}0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10{ متناقصة على المجموعة (Un)إذن [10 , 0] على f هو نفس اتجاه تغير الدالة n ≥ 10 لما (Un)اتجاه تغير ) 3

n ≥ 10 متزايدة لما (Un) إذن ]∞+ , 10]

: 4التمرين 1( Un = -2n + 5

(Un) دراسة اتجاه .n بداللة Un+1 نكتب الحد :أوال

– Un+1 = -2(n+1) + 5 = (-2n: فنجد(n+1) بالرتبة n، نقوم بتعويض n بداللة Un+1لكتابة الحد 2) + 5 = -2n + 5

Un+1 = -2n + 3: ومنهUn+1 = -2n + (5-2): إذن

(Un+1 – Un) حساب الفرق -

Un+1- Un = (-2n + 3) – (-2n + 5): لدينا

- Un = -2n + 3 –(-2n) – (+5) Un+1:ومنه

Un+1 – Un = -2n + 3+ 2n - 5: ومنه

Un+1 – Un = 3-5: بعد االختزال

Un+1 – Un = -2: إذن

: هو عدد سالب تماما إذن(Un+1 – Un)وبما أن الفرق

Un+1 – Un < 0 من أجل كل n من N فإن المتتالية (Un)قصة تماما متنا. 2( Un = 2n nبداللة Un+1كتابة الحد -

Un+1 = 2(n+1) = 2n x 2: لدينا

Un+1 = 2 x 2n) خواص القوى الصحيحة(

(Un+1 – Un): حساب الفرق-

2n Un+1 – Un = [2 x 2n] ]- : [لدينا

: هو عامل مشترك إذن2nمالحظة أن = 2n Un+1 – Un = 2n [2-1] = 2n [1]

Un+1 – Un > 0: موجب تماما إذن2nبما أن العدد *

. متزايدة تماما(Un)ومنه

4( )n

31

Un = (

: n بداللة Un+1 كتابة الحد -

(: لدينا31

)n x (31

( )n+1 = 31

Un+1 = (

n() تطبيق خواص القوى(

31

) (31

Un+1 =(

(Un+1 – Un): حساب الفرق-

)n

31

)n – (31

) (31

Un+1- Un =(

n(الحظ أن

31

: هو عامل مشترك إذن)

]32

[ )n

31

] = (3

31) [

31

-1] = (31

)n [31

Un+1 – Un = (

(: إذن32

( )n

31

Un+1 – Un =(

n(أن العدد

31

موجب تماما )

(أن العدد32

سالب تماما )

0 > (Un+1 – Un): إن جداؤهما سالب تماما إذن

N متناقصة تماما على (Un)منه و

: 5 التمرين

حسابية ؟) Un(المعرفة على ) Un(هل المتتالية

7-n 3 = Un)....... 1(

n بداللة Un+1 كتابة -

: لدينا

7-) 1+n ( 3 = Un+1

n3 = Un+1 + 3 -7: و منه

Un+1 = 3n -4إذن

) Un+1 – Un: ( حساب الفرق -

) 7- 3n (-4- 3n = Un+1 – Un

7 + 3n – 4 – 3n=

Un+1 – Un = 3 إذن

r = 3هي متتالية حسابية أساسها ) Un( و منه

n2 = Un) 3(

n بداللة Un+1كتابة -

2 = Un+1(n+1): لدينا

12) + 1((n) 2 +n2 =

12 + 2(n)(1) + n2 = Un+1

2n) + n2 = Un+1+ 1إذن

)Un+1 – Un( حساب الفرق -

1 + 2n + n2 = Un+1-Un - (n2)لدينا

2n = Un+1-Un + 1 إذن

ليست متتالية حسابية (Un) ليس عددا ثابتا، إذن Un+1- Unإن الفرق

3 - = U0 (4)

Un + n =Un+1

معرفة بعالقة تراجعية (Un): لدينا

Un+1-Un = n: إذن

ليست متتالية حسابية (Un)ليس عددا ثابتا و منه ) (Un+1-Unإن الفرق

U0 = 1 (5)

Un+1 = Un+ 2

(Un)جعية معرفة بعالقة ترا

Un+1 – Un = 2: إذن

r=2هي متتالية حسابية أساسها ) Un(و منه الفرق هو عدد ثابت إذن

: 6 التمرين

1 () Un ( متتالية حسابية معرفة علىN

n بداللة Unكتابة الحد العام

1) U0 = -1 ,r = 4

Un = U0 + n r

Un = -1 + 4 n

5 - r = ,23= U0 2)

Un = U0 + nr: لدينا

n 5 - 23 Un=

2 ((Un) معرفة على N* حدها األول هو U1

n بداللة Unكتابة

1 ) U1 = 2 , r = -2 Un = U1 + (n -1)r: لدينا

Un = 2 + (n-1) (-2): و منه

Un = 2 – 2n + 2: إذن

Un= 4 – 2n: و منه

2 ) U1 = 3 , r = 2 Un = U1 + (n-1) r: لدينا

Un = 3 + (n-1)+2: و منه

Un = (3-2) + 2n و منه Un = 3 + 2n -2: إذن

U n = 1 + 2n: إذن

: 7 التمرين

U5 = 9, U2 = 3: لنا

: rحساب األساس

:لدينا العالقة بين كل حدين من حدود متتالية حسابية

U5 = U2 + ( 5-2 ) r r 3 + 3 = 9: و منه

9 – 3 = 3 r r 3 = 6: و منه

2 : إذن 36r

r =2 ومنه

:U0 حساب الحد األول -2

Un = U0 + 2 r: لنا من عبارة الحد العام

: نجد n لـ 2بإعطاء القيمة

U2 = U0 + 2 r U0 + 2(2) = 3: إذن

U0 = 3 – 4: و منه

U0 = -1: إذن

:n بداللة Un كتابة -2

Un = U0 +n r Un = -1 + 2 n: و منه

: Sn حساب المجموع – 4

Sn = U0 +…+Un

nUUnnS 02

1

nnnS 2112

1

nnnS 222

1

nnnS 122

1 : نجد 2 وباختزال العدد

Sn = (n+1) (-1+n) = (n-1)(n+1) Sn = n2 – 1

S20,S10: استنتاج -5

S10 = (10)2 -1 = 100 -1 = 99 0)2 -1=400-1=399 S20=(2

: 8التمرين

U3+U4+U5=33 ).....1: ( لدينا

2+(U4)2+(U5(U3) 381=2()...2(و

هو الوسط الحسابيU4بما أن

:نجد) 1(بالتعويض في المعادلة U3+U5=2 U4 لدينا +2 U4 =33 U4 3: ومنه U4=33 إذن:

11333

4U نعوض بقيمة U4 نجد )2(و)1( في:

U3+11+U5=33381=2 و)(U3)2+(11)2+(U5 U3 +U5=33-11 =22).... 1( ومنه )2 ...(=260 =381-121 2)(U3)2+(U5

:نجد ) 2( وبالتعويض فيU3=U4 – r و U5=U4+r: ولدينا + (U4+r)2 = 260 (U4-r)2

r2 + (U4)2 +2r(U4)+r2=260 + (U4)2-2rU4

2+2r2=260(U4)2: وبعد اإلختزال نجد

2r2=260-242 ومنه 2r2=260 2+(121) إذن

92: إذن 2r2=18 ومنه 182r

3r: فإن 0r وبما أن

11)3(8 و 113U)3(14: وعليه فإن 5

U

:9التمرين

) Un ( متتالية حسابية معرفة علىNبحيث ، r=3

U1 + U2 + U3 + U4 = 34 و

:U0 حساب -1

U0 و الحد األول r نكتب آل حد من حدود المجموع بداللة األساس -

Un = U0 + n r: لنا

: نجد n = 1لما : و منه

U1 = U0 + r

: نجد n = 2 لما

U2 = U0 + 2r

: نجد n = 3لما

U3 = U0 + 3r

: نجد n = 4 لما

U4 = U0 + 4r

: حد في المجموع فنجد إذن نعوض بقيمة آل

(U0 + r) + (U0 + 2 r) + (U0 + 3 r) + (U0 + 4 r) = 34 بما أن r=3

: فنجد

(U0 + 3) + (U0 + 2 ) + (U0 + 9 ) + (U0 + 12 ) = 34

U0 + 30 = 34 4: و منه

4U0 = 34 – 30

4U0 = 4: و منه

: إذن 44

0U

U0 = 1: و منه

:nاللة بد Un آتابة -2

Un = U0 + nr

Un = 1 + 3n: و منه

: حساب المجموع-3

Sn = U0 + ……+ Un

nUUnnS 02

1

nnnS 322

1

: حساب المجموع nS

= U1+……+Un nS

: U1حساب

U1 = U0 + r = 1 + 3 = 4

U1=4: إذن

:لدينا

)31(42 nn = nUUnnS 12

)35(2 nnnS

: 10 مرينالت

V0 = 300

:2001حساب عدد العمال عام )1

: و منهV1أي حساب

V1 = V0 + 40

V1 = 300 + 40 = 340

:2002حساب عدد المال عام

:V2أي حساب

V2 = V1 + 40

V2 = 380 + 40 = 420

:Vnو Vn + 1إيجاد العالقة بين )2

:لدينا االستنتاج

Vn + 1 : عدد العمال بعدn+1) (سنة

Vn : عدد العمال بعدnسنة

Vn+1=Vn +40: إدن

V0 = 300 و حدها األول هو r 40 = ح أساسها.هي م) (Vnمنه ) 3

40 Vn + 1 = Vn +

: nبداللة Vnآتابة )4

Vn = V0 + nr لدينا

Vn = 300 + 40n : أي

Snحساب المجموع )5

n V0 +V1 +…+V =Sn

nVVnnS 02

1

)40300(30021 nn

nS

)40300(221 nn

nS

بسطا ومقاما نجد 2بعد إختزال العدد

)40300()1( nnnS

: 11التمرين

2007المبلغ المودع عام U0 = 3000 لنا

:2008المبلغ المحصل عام

U1 = U0 +(0.05)3000

U1 = U0 +3150

:2009المبلغ المحصل عام

U2 = U1 +( 0.05)3000

U2 = 3150 + 150 = 3300 DA

:Un و Un +1 العالقة بين -2

Un +1 : المبلغ المحصل بعدn+1سنة

Un : المبلغ المحصل بعدn سنة

: إذن

Un +1 = Un + (0.05) 300

Un +1 = Un + 150

U0 = 2000 و حدها األول هو r = 150سها متتالية حسابية أسا (Un)و منه

Un = U0 + n r: و منه

Un = 2000 + 150n

: 12 التمرين

Un ) ( متتالية معرفة علىN

U0 = 1لنا المجموع ،:

S = 1 + 1 + 21 + …. + 2001

:r حساب األساس -1

= 11 – 1 = 10 r

:n بداللة Un آتابة -2

Un = U0 + n r

Un = 1 + n 10

Un = 201 : بحيثn عين -3

Un = 201: لنا

10n = 201 + 1: و منه

: و منهnة األولى ذات المجهول الطبيعي لدينا معادلة من الدرج

10n = 201 – 1

n = 200 10: إذن

20 : أي10200n

n = 20: و منه

U20 = 201: إذن

: Sn حساب -4

Sn = U0 + ……+ Un لدينا

nUUn ومنه nS 02

1

nnnS 10112

1

)51(221 nn = nn

nS 1022

1

: بسطا ومقاما نجد 2وباختزال العدد

)51()1( nnnS

: نجد بعد النشر

Sn = n + 5n2 + 1 + 5n

Sn = 5n2 + 6n + 1

Sn = 105: بحيثn هل يوجد -3

:n ذات المجهول الطبيعي لتكن المعادلة

5n2 + 6n + 1 = 105

5n2 + 6n – 104 = 0

a = 5, b = 6, c = - 104: حساب المميز

∆ = b2 – 4 a c = (6)2 – 4(5)(-104)

= 36 + (20 )(104)

∆ = 36 + 2080 = 216

46 :إذن

: و منه للمعادلة حلين متمايزين

41040

52466

21 abn

n1 = 4 N

Nabn 10

5252466

21

n =4 إذن العدد المطلوب هو

: 13 التمرين

ية هندسية؟متتال) ( Unهل

1) Un = 3 . (2)n

:Un +1 إيجاد الحد - n +1 Un +1(2) . 3 = : لنا

:و حسب خواص القوى

Un +1 = 3 . (2)n .(2) = (2) (3) (2)n

Un +1 = 6 (2)n

: إذن

2 : لدينا36

)2(3

)2(61n

n

nUnU

q = 2 هي متتالية هندسية أساسها (Un)إذن

2) Un = (-4) (3)n

:لنا: Un +1إيجاد

Un +1 = (-4) (3)n +1

: منهو

Un +1 = (-4) (3)n(3) = (-4) (3) (3)n

: إذن

Un +1 = (-12) (3)n

34 : لدينا 12

)3)(12(

)3)(12(1n

n

nUnU

q = 3 هي متتالية هندسية أساسها (Un) إذن

Un = n2 3)

: Un +1إيجاد الحد

Un +1 = (n+1)2 = n2 + 2n + 1

2: و منه1

22

22

21221

nnn

nn

nnn

nUnU

21211nnnU

nU

ليست متتالية هندسية (Un)إذن

: 14 التمرين

q =2, U0 =3 1)

:n بداللة Un آتابة -1

Un = U0.qn: لنا Un = 3 .(2)n: و منه

: (Un) دراسة اتجاه تغير -2

Un+1 – Un = 3 (2)n+1 – (3) (2)n: لنا

= 3(2)n (2) – (3) (2)n

= 3 .(2)n [ 2-1 ] = 3.(2)n (1)

عامل مشترك

: طبيعي فانn هو عدد موجب عاما من أجل آل n(1)(2).3: و بما أن

Un+1 - Un >0

N على متزايدة تماما(Un): إذن

21

0,2)3 Uq

:n بداللة Unآتابة -

: لدينا

Un = U0.qn

: ومنه n

nU 2

21

(Un)دراسة اتجاه تغير

nn

nUnU 2211

221

1

: ومنه nn

nU

nU 2

2122

21

1

122 : ومنه 21

1n

nU

nU

32 :إذن 21

1n

nU

nU

: نميز حالتين

: عدد موجب تماما و منهn(2-) زوجي فان nإذا آان *

03221 n

متناقصة تماما(Un)إذن

: سالب تماما و منهn(2-): ان فردي فnإذا آان *

03221 n

. متزايدة تماما (Un) أي أن

: 15 التمرين

Un ) ( متتالية هندسية معرفة علىN*

:nبداللة ) الحد العام ( Unآتابة

1) q = 2 , U1 = -3

Un = U1 . qn -1: لنا

n -1 Un(2) (3-) = : إذن

41

,21)2 Uq

Un = U1 . qn-1: لنا

إذن 1

214

n

nU

3) q= -3 , U1 = +2

Un = U0.qn-1: لنا

Un = (+2)(-3)n-1: و منه

: 16 التمرين : qحساب األساس )1

U4=U2 q(4-2): ومنه U2=3 , U4=12: لدينا

4 ومنه q2.3=12: إذن 3

122q

q=2: موجب تماما فإن q وبما أن

:U0حساب الحد األول ) 2

: نجد n=2 ومنه بتعويضUn=U0.qn: لدينا

U2=U0.q2إذن :43

223

22

0q

UU

: n بداللةUnكتابة )3

Un=U0.qn: لدينا

n: ومنه nU 2

43

: Snحساب المجموع

nUUUnS: لدينا ...10

: ومنه1

1)1(0 q

nqUnS

12

1)1(243 n

nS

112 : إذن43 n

nS

: S6 إستنتاج

1162 : لدينا43

6S

112843 = 1162

43

6S

إذن 4

3816S

:18 التمرين

(Un) متتالية هندسية معرفة على أساسها (q>0) q بحيث :

U0 = 1

U0 + U1 + U2 = 13

:qحساب األساس -1

:U0 و الحد األول qنكتب آل حد في المجموع بداللة األساس

Un = U0 .qn: لدينا

U0 = U0 = 1 فإنn = 0ا لم: و منه

U1 = U0 .q = q فإن n = 1لما

U2 = U0 . q2 = 1.q2 = q2 فإن n = 2لما

:بالتعويض في عبارة المجموع نجد

1+q+q2 = 13

q2 + q +1 – 13 = 0 : و منه

q2 + q -12 = 0: إذن

q من الدرجة الثانية ذات المجهول و هي معادلة

:∆حساب المميز

a = 1, b = 1, c = -12

= b2 – 4ac = (1)2 – 4(1)(-12) ∆

= 1+48 = 49, ∆

7: إذن

: ومنه للمعادلة حلين متمايزين

326

271

21 abq

428

271

22 abq

q=3: بما أن األساس موجب فإن

:n بداللة Unآتابة

Un = U0 .qn

Un = 1. (3)n: إذن

Un = 3n : و منه

: Snحساب المجموع

nUUUnS لدينا ...10

: ومنه 1

1)1(0 q

nqUnS

13

1)1(31n

nS

2

113nnS

: 19التمرين : و منه V0لدينا مبلغ المودع هو

V0 = 11000 DA

:V1 و ليكن 2001المبلغ المحصل عام

V1 =V0 +( 0.06)V0 = V0 (1+0.06)

V1 = (11000) (1.06) = 11660 DA

: V2 و ليكن 2002المبلغ المحصل عام

V2 = 11660 . (1.06) = V1( 1 + 0.06 )

V2 = (11660 )(1.06) = 12359.6 DA

:V3ن و ليك2003المبلغ المحصل عام

V3 = V2 + (0.06)V2 = V2 ( 1 + 0.06 )

V3 = V2 (1.06) = ( 12359.6 ) ( 1.06 ): و منه

V3 = 13101.76 DA: إذن

:Vn و Vn+1 العالقة بين

سنة (n+1)المبلغ المحصل بعد : Vn+1لدينا

Vn : المبلغ المحصل بعدn سنة

Vn 0.06 + Vn = Vn+1: و منه

: إذن

Vn+1 = Vn (1+0.06)

Vn+1 = Vn (1.06): أي

V0 = 11000 و حدها األول .q = 1 06 هي متتالية هندسية أساسها (Vn)و منه المتتالية

:n بداللة Vnآتابة

Vn = V0 . qn: لنا

Vn = ( 11000 ) (1.06)n: و منه

:20التمرين

: فإن V0 = 3000 هو 2006نتاج عام اإل

:V1 هو 2007اإلنتاج عام

V1 = V0 + (0.02)V0: لدينا

V1 = V0 ( 1 + 0.02 ) = V0 ( 1.02)

V1 = 3000(1.02) = 3060: إذن

:V2 و هو 2008اإلنتاج عام

V2 = V 1 + 0.02. V1: لدينا

V2 = V1 ( 1 + 0. 02 ) :و منه

V2 = 3060 . 1.02 :و منه

V2 = 3121.2طن: إذن

:Vn و Vn+1 العالقة بين

سنة(n+1)اإلنتاج بعد : Vn+1 لدينا

Vn : اإلنتاج بعدn سنة

Vn+1 = Vn + 0.02Vn: و منه

Vn+1 = Vn( 1 + 0.02 ): إذن

Vn+1 = Vn ( 1.02 ): و منه

:نستنتج ان

(Vn) هي متتالية هندسية أساسها q = 1.02 و حدها األول هو

V0 = 3000

:n بداللة Vnآتابة

Vn = V0.qn

Vn = 3000 ( 1.02 )n: و منه

: Sn حساب المجموع

nUUUnS: نا لدي ...10

1

1)1(0 q

nqUnS

102.1

1)1()02.1(300n

nS

1)1()02.1(2100300 n

02.01)1()02.1(300

n

nS

:وبعد اإلختزال نجد

1)1()02.1(50300 nnS

1)1()02.1(15000 nnS

: 21التمرين ا

U1،U2،U3 حساب -1

U0 = 1: لدينا

Un+1 = -3Un + 2

: نحصل على n = 0: اذا وضعنا

U0+1 = -3 + 2

U1 = -3U0 + 2و منه

U1 = -3(1) + 2 = -3 + 2 :إذن

U1 1- = : و منه

: نحصل على n = 1 اذا وضعنا

Un+1 = -3Un + 2

U2 = -3U1 + 2:و منه

U2 = -3 (-1) + 2 = 3 + 2: اذن

U2 = 5: و منه

: نحصل على n = 2إذا وضعنا

U2+1 = -3U2 + 2

U3 = -3U2 + 2: و منه

: إذن

U3 = -3(5) + 2 = -15 + 2

U3 = -13: و منه

2- 21

nU

nV

V0 ،V1 ، V2 حساب -أ

21

211

21

00UV

23

212

211

21

11UV

29

2110

215

21

22UV

: فإن a=-3 , b=2: بما أن -ب 21

42

312

1 abα

و حدها األول هو q = -3ا هي متتالية هندسية أساسه (Vn)فإن المتتالية 21

0V

n بداللة Vn كتابة -ج

Vn = V0 .qnلدينا

nو منه nV 32

1

n بداللة Un آتابة -د

: لنا 21

nU

nV ومنه :

21

nV

nU

2 : إذن 132

1 nn

U

: حساب المجموع - ه

Sn = V0 + …+Vn لدينا

: ومنه 1

1)1(

0 q

nqVnS

13

1)1()3(21 n

nS

1)1()3(81 n

41)1()3(

21 n

nS

8)3()1(1: إذن 1 n

nS

Sn المجموع –و /

Sn/ = U0 + … +Un

2)1(: لدينا 1

11)1(

0n

q

nqVnS

2)1( : ومنه 11)1()3(8

1 nnnS

ev1-math-02

Documents

nu unns 021

q2

3un 2

0qnquns

300nns

vn v0

u0

u0