This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2014 Khemmanant. K
3. สิ่งที่เห็นจริงแล้ว C-1 สิ่งที่เท่ากันสิ่งเดียวกันย่อมเท่ากัน C-2 สิ่งเท่ากันเมื่อเพิ่มด้วยสิ่งที่เท่ากัน ผลย่อมเท่ากัน C-3 สิ่งเท่ากันเมื่อหักออกจากสิ่งที่เท่ากัน ผลย่อมเท่ากัน C-4 สิ่งที่เท่ากันสนทิ ย่อมเท่ากัน C-5 ส่วนรวมย่อมใหญ่กว่าส่วนย่อย ข้อตกลงเกี่ยวกับสัญลักษณท์ี่ใช้ในเอกสาร AB แทนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุด A และ B AB แทนความยาวของ AB ABC แทนมมุและขนาดของมุมที่มี AB และ BC เป็นแขนของมุม ≅ แทนเท่ากันทุกประการ ซ.ต.พ แทนคําว่า ซึ่งต้องพิสูจน์ใช้สําหรับจบการพิสูจน์ (ยุคลิดใชตั้วย่อ Q.E.D มาจาก คําว่า quod
erat demonstrandum แปลว่า What it was required to proof) ซ.ต.ส แทนคําว่า ซึ่งต้องพิสูจน์ใช้สําหรับจบการสร้าง (ยุคลิดใชตั้วย่อ Q.E.F มาจาก คําว่า quod
erat faciendum แปลว่า What it was required to do) Δ แทนรูปสามเหลี่ยม
แทนรูปสี่เหลี่ยม
4
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2014 Khemmanant. K
4. ทฤษฎีบท
I-1 สามารถสร้างรปูสามเหลี่ยมด้านเท่าบนส่วนของเส้นตรงที่กําหนดให้ สิ่งที่กําหนดให้ ให้ AB เป็นส่วนของเส้นตรง สิ่งที่ต้องสร้าง รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าบนส่วนของเส้นตรง AB วิธีสรา้ง ให้ A เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี AB เขียนวงกลม ......(P-3) ให้ B เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี BA เขียนวงกลม ......(P-3)
ให้ C เป็นจุดตัดของวงกลมทั้งสอง ลาก CA และ CB ......(P-1) จะได้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
พิสูจน ์ เพราะว่า A เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม BCD ดังนั้น AC AB= ......(D-15) เพราะว่า B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACE ดังนั้น BC BA= ......(D-15) แต่ BA AB= ดังนั้น AC BC AB= = ......(C-1) นั่นคือ ABC เป็นรปูสามเหลี่ยมด้านเท่าที่สร้างบนส่วนของเส้นตรง ซ.ต.ส I-2 สามารถสร้างสว่นของเส้นตรงที่ลากจากจุดทีกํ่าหนดให้ ใหย้าวเท่ากันส่วนของเส้นตรงที่กําหนดให ้สิ่งที่กําหนดให้ กําหนดจุด A และส่วนของเส้น BC สิ่งที่ต้องสร้าง ลากส่วนของเส้นจากจุด A ใหย้าวเท่ากัน BC วิธีสรา้ง ลาก AB ......(P-1) สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า DAB ......(I-1) ให้ AE และ BF เป็นส่วนต่อของ DA และ DB ......(P-2) ให้ B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี BC
เขียนวงกลมตัดเส้น DF ที่ G ......(P-3) ให้ D เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี DG
เขียนวงกลมตัดเส้น DE ที่ L ......(P-3) จะได้ ส่วนของเส้น AL ยาวเท่ากับ BC พิสูจน ์ เพราะว่า B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น BC BG= เพราะว่า D เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น DL DG= แต่ DA DB= (สร้าง) จะได้ DL DA DG DB− = − ......(C-3) ดังนั้น AL BG BC= = ......(C-1) นั่นคือ สามารถสร้างส่วนของเส้นตรง AL ให้ยาวเท่ากัน BC ซ.ต.ส I-3 กําหนดส่วนของเส้นตรงที่ยาวไม่เท่ากันสองเส้น สามารถตดัส่วนของเส้นตรงที่ให้ยาวเท่ากับเส้นสั้น สิ่งที่กําหนดให้ กําหนดส่วนของเส้นตรง AB และส่วนของเส้นตรงยาว c
โดย AB ยาวกว่า c สิ่งที่ต้องสร้าง ตัด AB ให้ยาวเทา่กับ c วิธีสรา้ง ที่จุด A ลาก AD ใหย้าวเท่ากับ c ......(I-2)
ให้ A เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี AD เขียนวงกลม ตัด AB ที่ E ......(P-3) จะได้ AE c= ......(C-1)
5
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2014 Khemmanant. K
พิสูจน ์ เพราะว่า A เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น AE AD= ......(D-15) แต่ AD c= จะได้ AE c= ......(C-1) ดังนั้น เมื่อกําหนดส่วนของเส้นตรงที่ยาวไม่เท่ากันสองเส้น สามารถตัดส่วนของ
สิ่งที่กําหนดให้ ABC และ DEF เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ม ี ,AB DE AC DF= = และ BAC EDF=
สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ , ,BC EF ABC DEF ACB DFE= = =
พิสูจน ์ ยกรูปสามเหลีย่ม ABC ทับรูปสามเหลี่ยม DEF โดยให้จุด A ทับจุด D และ AB ทับ DE เพราะว่า AB DE= จะได้ว่า จุด B ทับจดุ E ......(C-4) เพราะว่า BAC EDF= ดังนั้น AC ทับ DF ......(C-4) เพราะว่า AC DF= ดังนั้น จุด C ทับจุด F ......(C-4) แต่ B ทับ E และ C ทับ F ......(C-4)
จะได้ BC ทับ EF เพราะถ้า BC ไม่ทับ EF จะได้ว่าส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุด E และ F ปิดล้อมบริเวณดังรูป ข. ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น BC ต้องทับ EF จะได้ว่า รูปสามเหลี่ยม ABC ทับรูปสามเหลี่ยม DEF สนิท ดังนั้น ,ABC DEF ACB DFE= = ......(C-4) ซ.ต.พ หมายเหต ุ การพิสูจน์ I-4 ภายหลังถูกวิจารณ์ว่า การยกรูปซ้อนเป็นการเคลื่อนที่รูปที่ทําให้รูปเปลีย่นไป อีก
สิ่งที่กําหนดให้ AB และ CB ซึ่งลากจากจุดปลายของ AB ไปพบกันที่ C สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ จะไม่สามารถลากส่วนของเส้นตรงจากจุดปลายของ AB ให้ยาวเท่ากับ AC และ CB พบกันที่ข้างเดียวกับจุด C ได้ พิสูจน ์ สมมติว่ามี C และ D อยู่ข้างเดียวกันของ AB ซึ่งทําให้ AD AC= และ ลาก DB CB= เพราะว่า AD AC= ดังนั้น ACD CDA= ......(I-5) เพราะว่า ACD DCB> จะได้ ADC DCB>
7
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2014 Khemmanant. K
แต่ CDB CDA> ......(C-5) ดังนั้น CDB DCB> เพราะว่า CB DB= จะได้ CDB DCB= ......(I-5) จึงขัดแย้งกัน ดังนั้นที่สมมติไว้ไม่เป็นจริง นั่นคือ ไมส่ามารถลากส่วนของเส้นตรงจากจุดปลายของ AB ให้ยาวเท่ากับ AC และ CB พบกันทีข่้างเดียวกับจุด C ได้ ซ.ต.พ
โดยให้จุด B ทับจุด E เนื่องจาก BC EF= ดังนั้น จุด C ทับจดุ F สมมติว่า BA ไม่ทบั ED และ AC ไม่ทบั DF จะเกิดสามเหลีย่ม AEF ซึ่ง EA ED= และ AF DF= แสดงว่า ที่จุด E กับ F สามารถลากส่วนของเส้นตรง ให้ยาวเท่ากับที่กําหนดให้ไปพบกันทางด้านใดด้านหนึ่ง มากกว่าหนึ่งคู่ จึงขัดแย้งกับ I-7 ดังนั้นที่สมมติไว้ไม่จริง นั่นคือ BA ทับ ED และ AC ทับ DF จะได้ BAC ทับ EDF นั่นคือ BAC EDF= ซ.ต.พ
หมายเหต ุ การพิสูจน์ I-8 ปัจจุบันเรียกว่า ABC DEFΔ ≅ Δ แบบด้าน ด้าน ด้าน I-9 สามารถแบ่งครึ่งมุมที่กําหนดให ้สิ่งที่กําหนดให้ BAC สิ่งที่ต้องการสร้าง แบ่งครึ่ง BAC วิธีสรา้ง กําหนดจุด D บน AB ตัด AC ที่ E
พิสูจน ์ พิจารณารูปสามเหลี่ยม ADF และ AEF , ,AD AE DF EF AF AF= = = จะได้ DAF E AF= ......(I-8) นั่นคือ AF แบ่งครึ่ง BAC ซ.ต.พ
8
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2014 Khemmanant. K
I-10 สามารถแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่กําหนดให้ สิ่งที่กําหนดให้ ส่วนของเส้นตรง AB สิ่งที่ต้องการสร้าง แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง AB วิธีสรา้ง สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC ......(I-1)
แบ่งครึ่ง ACB ด้วย AD ......(I-9) จะได้จุด D เป็นจุดก่ึงกลางของ AB
พิสูจน ์ พิจารณารูปสามเหลี่ยม ADC และ BDC ,AC BC CD= เป็นด้านร่วม และ ACD BCD= ดังนั้น AD DB= ......(I-4) นั่นคือจุด D เป็นจุดก่ึงกลางของ AB ซ.ต.ส I-11 สามารถลากเสน้มาตั้งฉากกับเส้นตรงที่กําหนดให้ ที่จุดกําหนดให้บนเส้นตรง
สิ่งที่กําหนดให้ เส้นตรง AB และ C เป็นจุดบนเสน้ตรง AB สิ่งที่ต้องการสร้าง ลากเส้นต้ังฉากกับ AB ที่จดุ C วิธีสรา้ง กําหนดจุด D บนเส้นตรง AC
ตัด AB ที่ E ให ้ CE CD= ......(I-3) บน DE สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า DEF ......(I-1) ลาก FC จะได้ FC เป็นเส้นต้ังฉากที่ต้องการ
พิสูจน ์ เพราะว่า ,DC EC FC= เป็นด้านร่วม และ DF FE= ดังนั้น DCF ECF= ......(I-8) และเป็นมุมฉาก นั่นคือจุด FC เป็นเส้นต้ังฉากกับ AB ที่ C ซ.ต.ส I-12 สามารถลากเสน้จากจุดที่กําหนดให้ ไปต้ังฉากกับเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งที่กําหนดให้
สิ่งที่กําหนดให้ เส้นตรง AB และจุด C อยู่นอกเสน้ตรง AB สิ่งที่ต้องการสร้าง ลากเส้นตรงจาก C มาต้ังฉากกับ AB วิธีสรา้ง กําหนดจุด D โดยให้ D กับ C อยู่คนละข้างของเส้นตรง AB
ใช้ C เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี CD เขียนวงกลมไปตัดเส้นตรง AB ที่ G และ E ......(P-3) แบ่งครึ่ง EG ที่ H ......(I-10) ลาก CH ......(P-1) จะได้ CH ต้ังฉากที่กับเส้นตรง AB
พิสูจน ์ พิจารณารูปสามเหลี่ยม CGH และ CEH
เพราะว่า ,GH HE HC= เป็นด้านร่วม และ CG CE= ดังนั้น CHG EHC= ......(I-8) และเป็นมุมฉาก นั่นคือจุด CH เป็นเส้นต้ังฉากกับเส้นตรง AB ......(D-10) ซ.ต.ส
9
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2014 Khemmanant. K
สิ่งที่กําหนดให้ เส้นตรง EF ตัดเส้นตรง AB และ CD ทาํให้ AEF EFD= สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ เส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD
14
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2014 Khemmanant. K
พิสูจน์ ถ้าเส้นตรง AB ไมข่นานกับเส้นตรง CD แล้ว เมื่อต่อเส้นตรง AB และเส้นตรง CD ออกไป จะต้องไปพบกันข้างใดข้างหนึ่ง สมมติว่าพบกันทาง B และ D โดยพบที่จุด G
ดังนั้น เมื่อต่อเส้นตรง AB และเส้นตรง CD ออกไปทาง B และ D แล้วจะไม่พบกัน พิสูจน์ในทํานองเดียวกัน ถ้าต่อเส้นตรง AB และเส้นตรง CD ไปทาง A และ C แล้วเส้นตรง ทั้งสองจะไม่พบกัน นั่นคือ เส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD ซ.ต.พ I-28 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงสองเส้นทําให้มุมภายนอกเท่ากับมุมภายใน ซึ่งอยู่ข้างเดียวกัน
สิ่งที่กําหนดให้ รูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งถูกต่อด้าน BC ไปถึง D สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ ACD C AB ABC= + และ ABC BCA C AB+ + =สองมุมฉาก พิสูจน ์ ลาก CE ใหข้นานกับ AB ......(I-13) จะได้ C AB ACE= ......(I-29) และ ABC ECD= ......(I-29) ดังนั้น C AB ABC ACE ECD+ = + นั่นคือ C AB ABC ACD+ = เมื่อบวกด้วย ACB ทั้งสองสองข้าง
จะได้ C AB ABC ACB ACD ACB+ + = + แต่ ACD ACB+ เท่ากับสองมุมฉาก ......(I-13) ดังนั้น C AB ABC ACB+ + เท่ากับสองมุมฉาก ซ.ต.พ
16
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2014 Khemmanant. K
สิ่งที่กําหนดให้ ABCΔ และ DBCΔ มีพ้ืนที่เท่ากันและอยู่บนฐาน BC เดียวกัน จุดยอด A กับ D อยู่ข้างเดียวกันของฐาน
สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ จุดยอด A กับ D อยู่บนเส้นที่ขนานกับฐาน BC พิสูจน ์ ลาก AD ถ้า AD ไม่ขนานกบั BC ลาก AE ให้ขนานกับ BC ตัดกันที่ E ...... (I-31) ดังนั้น ABCΔ และ EBCΔ มีพ้ืนที่เท่ากัน ...... (I-37) แต่ ABCΔ และ DBCΔ มีพ้ืนที่เท่ากัน ดังนั้น EBCΔ กับ DBCΔ มีพ้ืนที่เท่ากัน ...... (C-1) จึงเกิดการขัดแย้งกับ C-5 นั่นคือ AD ขนานกับ BC ซ.ต.พ
สิ่งที่กําหนดให้ ABCΔ มี 2 2 2BC AB AC= + สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ BAC เป็นมุมฉาก พิสูจน ์ ลาก AD ให้ต้ังฉากกับ CA ที่จุด A และให้ AD AB= ลาก CD เพราะว่า AD AB= ดังนั้น 2 2AD AB= บวกด้วย 2AC
จะได้ 2 2 2 2AD AC AB AC+ = + แต่ 2 2 2AB AC BC+ = (จากสิ่งทีกํ่าหนดให้)
ดังนั้น 2 2 2AD AC DC+ = ...... (I-47) จะได้ BC DC=
20
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2014 Khemmanant. K
พิสูจน ์ ให ้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มรีัศม ี r และ C เป็นจุดปลายของเส้นต้ังฉากที่ลากจาก O มายังเส้น AB ซึ่งผ่านจุดภายในวงกลมกับจุดภายนอกวงกลม จุดบน AB จะถูกแบ่งออกเป็นสองพวก คือ พวกจุด X ใด ๆ ที่ OX r< และพวกจดุ Y ที่ OX r≥ โดยสัจพจน์ของเดเดคินต์ จะมีจุด R ซึ่งแบ่งจุดบน AB ออกเป็นสองพวกดังกล่าว ต่อไปจะพิจารณาว่าจุด R อยู่ตรงไหน ถ้า OX r< เราเลือก S ที่อยู่ระหว่าง R กับ B ซึ่ง RS r OR< − แต่ OS OR RS< + ดังนั้น OS r< จึงเกิดการขัดแย้งเพราะ OS r≥
ทํานองเดียวกัน ถ้า OR r> จะพบข้อขัดแย้ง ดังนั้น OR r= นั่นคือ R เป็นจุดตัดของเส้นตรงกับวงกลม โดยอาศัยสัจพจน์ของอาร์คิมีดีส หรือ เดเดคินต์ สามารถพิสูจน์สัจพจนข์องคันเทอร์ (Cantor, Georg. ค.ศ. 1845 – 1918) ได้ซึ่งมีใจความดังนี้
ละเลยการพิจารณาถึงอันดับของจุด อันดับของเส้น และภายในภายนอกรูป เช่น การพิสูจน์ทฤษฎีบท I-21 ยูคลิดได้สร้างเพิ่มโดยต่อ BD ให้ตัดกับด้านตรงข้ามที่จุด E ยูคลดิไม่ได้พิสูจน์ยืนยันว่าจุด E ต้องอยู่ระหว่าง A กับ C
ยูคลิดใช้ความรู้ที่ว่า AE EC AC+ = ซึ่งมีจุดอ่อน เพราะว่า ถ้าหากจุด E ไม่อยู่ระหว่าง A กับ C ดังรูป 2 จะได้ AE EC AC+ ≠
รูป 1
กรณีดังกล่าวจะเกิดขึ้นถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC อยู่บนผิวทรงกลม และ ม ี AB ยาวกว่าครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2014 Khemmanant. K
ข้อบกพร่องของการพิสูจน์มีดังนี้ 1. ไม่คํานึงวา่จุด O อยู่ข้างใน หรือ อยู่ข้างนอกรูป แท้จริงแล้วจุด O จะอยู่ขา้ง
นอกรูปสามเหลี่ยมเสมอ ซึ่งพิสูจน์ได้ดังนี้ สร้างวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม ABC ให้เส้นแบ่งครึ่งมุม A พบเส้นรอบวงที่ O จุด O จะแบ่งครึ่งเส้นโค้ง BOC เมื่อลากเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ BC ที ่ D เส้นนี้จะผ่านจุด O เช่นกัน ดังนั้นเสน้แบ่งครึ่งมุมยอดและเส้นแบ่งครึ่งต้ังฉากกับฐานจะพบกันภายนอกรูปสามเหลี่ยมเสมอโดยพบกันบนเส้นรอบวงของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลีย่ม
2. ไม่คํานึงการอยู่ระหว่างของจุด เช่น ลากเส้นจาก O ไปต้ังฉากกับ AB ที ่ E เราจะต้องพิจารณาว่าจุด E จะไปอยู่ตําแหน่งใด เช่น อยู่ระหว่าง A กับ B หรือ B จะอยู่ระหว่าง E กับ A ซึ่งการพิสูจน์ดังกล่าวเราทําดังนี้ ลาก OB และ OC จะได้ว่า OBC OCB= ถ้า ABC ACB< จะได้ว่า ABC ACO< แต่ ABO ACO+ = 2 มมุฉาก ดังนั้น ABO เป็นมมุแหลม และ ACO เป็นมุมป้าน
จากการที่ ABO เป็นมุมแหลม ถ้าลากเส้นจาก O ไปต้ังฉากกับ AB ที่ E แล้ว จุด E ต้องอยู่ระหว่าง B กับ A (เพราะถ้า E ไม่อยู่ระหว่าง B กับ A จะขัดแย้งกับ I-16) เนื่องจาก ACO เป็นมุมป้าน เมื่อลากเส้นจาก O ไปต้ังฉากกับ AC ที่จุด F จะได้ว่า จุด C อยู่ระหว่าง A กับ F (เพราะถ้า C ไม่อยู่ระหว่าง A กับ F จะขัดแย้งกับ I-16) จะเห็นว่าการพิจารณาตําแหน่งของจุดสําคัญมาก ด้วยความจําเป็นดังกล่าวฮิลแบร์ท จึงได้เพิ่มสัจพจน์ของอันดับ 4 ข้อเกี่ยวกับการอยู่ระหว่างกันของจุด
กลุ่ม II : สัจพจน์อันดับ II-1 ถ้าจุด C อยู่ระหว่างจุด A กับ B แล้ว , ,A B C อยู่บนเส้นเดียว และ C อยู่
ระหว่างจุด B กับ A ด้วย แต่ B ไม่อยู่ระหว่างจุด C กับ B และ A ไม่อยู่ระหว่างจุด C กับ B
II-2 สําหรับสองจุด ,A B ท่ีต่างกัน จะมีจุด C ซึ่งอยู่ระหว่างจุด A กับ B และจะมจีดุ D ซึ่ง B ซึ่งอยู่ระหว่างจุด A กับ D II-3 ถ้า , ,A B C เป็นจุดสามจุดที่ต่างกันบนเส้น ๆ หนึ่ง แล้วจุดหนึ่งจะอยู่ระหว่างอีกสองจุด
บทนิยาม ส่วนของเส้นตรง AB หมายถึงจุด A , จุด B และ จุดทุกจุดที่อยู่ระหว่างจุด A กับ B เรียกจุด A และ B ว่า จุดปลายของส่วนของเส้นตรง และจุด C จะอยู่บนส่วนของของ เส้นตรง AB ถ้า C เป็นจุด A หรือจดุ B หรือเป็นจุดที่อยู่ระหว่างจุด A กับ B
26
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2014 Khemmanant. K
กลุ่ม III : สัจพจน์การเทา่กันทุกประการ III-1 ถ้า A และ B เป็นจุดต่างกัน และ A′ เป็นจุดบนเส้นตรง m แล้วจะมีจุดสองจุดที่ ต่างกันคือ B′ และ B′′ บน m ซึ่งส่วนของเส้นตรง A B′ ′ เท่ากันทุกประการกับ ส่วนของเส้นตรง AB และ ส่วนของเส้นตรง A B′ ′′ เท่ากันทุกประการกับส่วนของ เส้นตรง AB โดยที่ A′ อยู่ระหว่าง B′ กับ B′′ III-2 ถ้าส่วนของเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรงเดียวกันแล้ว
ส่วนของเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุกประการ III-3 ถ้าจุด C อยู่ระหว่างจุด A กับ B จุด C′ อยู่ระหว่างจุด A′ กับ B′
และถ้าส่วนของเส้นตรง AC เท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรง A C′ ′ และถ้าส่วนของเส้นตรง CB เท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรง C B′ ′ แล้วส่วนของเส้นตรง AB เท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรง A B′ ′
บทนิยาม รังสี AB หมายถึง เซตของจุดที่ประกอบด้วย จุดที่อยู่ระหว่างจุด A กับ B รวมทั้ง B และจุด C ทั้งหมด ซึ่ง B อยู่ระหว่าง A กับ C เรากล่าวว่า รังสี AB ออกจากจุด A
ทฤษฎีบท ถ้า B′ เป็นจุดใด ๆ บนรังสี AB แล้ว รังสี AB′และ AB เป็นรังสีเดียวกัน บทนิยาม มมุ หมายถึง จุด ๆ หนึ่งและรังสีสองรังสีที่ออกจากจากนั้น เรียกจุดนั้นว่าจุดยอดของมุม
และเรียกสองรงัสีนั้นว่า แขนของมุม ถ้า A เป็นจุดยอด และจุด ,B C อยู่บนแขนแต่ละ แขนของมุม เราเรียกช่ือมุมดังกล่าวว่า มุม BAC หรือ มุม CAB
อาศัยสัจพจน์ของฮิลแบร์ท ทาํให้เราแก้ไขขอ้บกพร่องในการพิสูจน์ทฤษฎีบทต่าง ๆ รวมทั้งสามารถหาข้อบกพร่องของการพิสูจน์พาราดอกซ์ต่าง ๆ ได้ ตัวอย่างเช่น ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท I-16 ของยุคลิด ท่านได้ใช้วิธีการแบ่งครึ่งด้าน AC ที่จุด E แล้วลากเส้น BE ต่อออกไปทาง E ถึงจุด F โดยทําให้ BE=EF
1. F อยู่ข้างเดียวกับ E ของเส้น BD 2. F อยู่บนเส้น BD 3. F อยู่คนละข้างกับ E ของเส้น BD
เราสามารถกําจัด 2 กรณีหลงัออกไปได้ดังนี้ ถ้า F บนเส้น BD จะได้ว่า B และ F มีเส้นผา่นเส้น 2 เส้น จะขัดกับสัจพจน์ I-1 ที่ว่า จุดสองจุดจะมีเส้นผ่านเพียงเส้นเดียวเท่านั้น ถ้า F อยู่ คนละข้างกับ E ของเส้น BD จะได้ว่า F ไม่อยู่บนเส้น AC เพราะจะทําให้ ขัดกับสัจพจน ์I-1
ดังนั้น ECFΔ มีเส้น CD ผ่านเข้าไปทางจุดมุม โดยอาศัยสัจพจน์ของพาซก์ เราจะได้ว่า เส้น CD ด้านตรงข้าม EF จะทําให้เกิด สองจุดที่มีเส้นผ่านเกินหนึ่งเส้นจึงขัดแย้ง เมื่อกรณี 2, 3 เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น กรณี 1 เป็นจริง