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UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI
BOUMEDIENE
FACULTE DE PHYSIQUE
__________________________________________________________________________
Mmoire
Prsente en vue de lobtention du diplme de
MAGISTER en PHYSIQUE
Spcialit : Physique des Rayonnements. Option : Science Nuclaire
et Interactions Ions - Matire.
Par : Wassila DALI ALI Sur le sujet :
tttuuudddeee d ddeee lllaaa dddgggrrraaadddaaatttiiiooonnn
pppaaarrr lllaaa tttuuurrrbbbuuullleeennnccceee
aaatttmmmooosssppphhhrrriiiqqquuueee dddeeesss iiimmmaaagggeeesss d
dduuu bbbooorrrddd sssooolllaaaiiirrreee :::
EEEssstttiiimmmaaatttiiiooonnn ddduuu pppaaarrraaammmtttrrreee d
ddeee FFFrrriiieeeddd...
Sera soutenue publiquement le : 07/07/2007 devant le jury compos
de :
S. OUICHAOUI Professeur (USTHB) Prsident du jury. T. ABDELATIF
Directeur de recherche (CRAAG) Directeur de thse. J. BOURGNINO
Professeur mrite (Universit de NICE) Examinateur. A. MEZAOUI Matre
de confrence (USTHB) Examinateur. A. IRBAH Directeur de recherche
(CNRS, Paris) Examinateur.
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Ddicace :
A toi chre maman, Et mon cher papa, A mes frres et surs, A la
personne qui ma aid reprendre confiance en moi A toutes les
personnes qui mont apport leurs aides et leurs encouragements. Je
ddie cette thse.
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Remerciements
C'est avec la logique que nous prouvons et avec l'intuition que
nous trouvons. Henri Poincar.
Je voudrai remercier Monsieur Abdelatif Toufik El Hak qui a
accept de diriger ce travail.
Un grand merci Mokrane pour son assistance continue, son aide et
la patience dont il a fait preuve pour mclairer sur pas mal
daspects, tout le long de ce travail.
Je remercie le Professeur Julien Borgnino, pour ces valeureux
conseils qui mont beaucoup servie et, malgr son emploi du temps trs
charg a eu la gentillesse dexaminer ce travail. Jaimerai le
remercier aussi pour le bon accueil qui ma t rserv lors de mon
sjour scientifique luniversit de Nice.
De mme je remercie Monsieur Irbah docteur au CNRS (Paris) pour
son appui, ses conseils et davoir accepter dexaminer ce
travail.
Je voudrai remercier Monsieur Mezaoui qui a, gentiment, accept
dtre membre du jury.
Je remercie Monsieur Ouichaoui qui ma fait lhonneur de prsider
le jury, et pour tous ses encouragements.
Je remercie infiniment ma mre et mon pre pour leur comprhension
et leur encouragement poursuivre toujours MON chemin mme si cela
mloigne deux.
Merci mes surs et mes frres qui mon toujours soutenu en
particulier Nawel et Yazid.
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Un grand merci mes grands parents ainsi que mes tantes qui mon
encourag et ouvert leur maison durant mes tudes suprieurs.
Merci mes chers cousines et cousins surtout ma petite princesse
lydia.
A mes deux professeurs de physique (au CEM et au lyce) qui mon
transmit cette passion pour la physique et lobservation de la
nature.
A tous mes amis je dis merci dtre toujours l pour maider en
particulier Fadia.
Merci mes collgues de travail au CRAAG particulirement : Hadjara
Massinissa qui ma souvent aid pour bien avancer dans ce travail
ainsi que Madame Benchlighem Salima.
Je remercie aussi tous les doctorants et astronomes du LUAN
luniversit de Nice ainsi que tous les responsables lObservatoire de
la Cte dAzur, pour leur sympathie et leur gentillesse durant mon
stage.
Et pour finir je dis merci notre mre LA NATURE , qui ne cesse de
rvler ses secrets, aussi mystrieux quils le soient, ceux qui savent
lobserver et ladmirer !
A vous tous . Je dis merci du fond du cur.
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Table des matires :
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Chapitre 1 : Introduction loptique atmosphrique. 1.1. Introduction
gnrale......................................................................................3
1.2. Modlisation.
1.2.1. Turbulence
atmosphrique...................................7 1.2.2. Propagation
optique dans le cas gnral.............17 1.2.3. Propagation optique
travers la turbulence atmosphrique.......................... 20
Chapitre 2 : Limagerie travers la turbulence atmosphrique.
2.1. Introduction la formation de limage 34
2.1.1. Loi de propagation dune onde lumineuse.....34 2.1.2
Relation objet image...34 2.1.3 Dfinition de la rponse
impulsionnelle du systme optique ....35 2.1.4 Rponse impulsionnelle
du systme compos uniquement du tlescope....37 2.1.5. Rponse du
systme optique en prsence de turbulence atmosphrique............38
2.1.6. Image instantane et image long temps de
pose.....................39
2.2. Etude du phnomne dagitation et ltalement :
2.2.1. Etude de lagitation dans le plan image (Fluctuations des
angles darrive (A.A)). ..............42 2.2.2. La densit spectrale
des fluctuations des AA ( ( )yx ffW ,
).............................42 2.2.3. La fonction de structure
des fluctuations des AA ..... 43 2.2.4. Etude du phnomne
dtalement.......44 2.2.5. Etude du phnomne de
scintillation...........................46
2.3 Dtermination du paramtre de Fried :
2.3.1. Dtermination de r0 en utilisant
lagitation..........................................48 2.3.2.
Dtermination de r0 en utilisant ltalement....49 2.3.3. Dtermination
des diffrents paramtres caractristiques (mthodes
dinversion)...50
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1
2.4 Le bord solaire :
2.4.1 Le Modle du limbe (assombrissement centre
bord).............................51 2.4.2 Mesure du diamtre
solaire........55 2.4.3 Lastrolabe..... ............57 2.4.4
Lexprience DORaySol .......58 2.4.5 Le projet Franco-Algrien
(MISolFA)...60
Chapitre 3 : Simulation numrique. 3.1. Simulation du bord
solaire sans turbulence atmosphrique
3.1.1 Construction de limage du bord solaire.......65 3.1.2 Le
bord pour diffrentes longueurs dondes.................67 3.1.3 Le
bord en fonction de lchantillonnage......68 3.1.4 Simulation du
bord solaire vu travers la pupille dun
tlescope....................69
3.2. Simulation de la turbulence atmosphrique
3.2.1 Choix de la mthode spectrale.......71 3.2.2 Mthode de
Nakajima......71
3.3. La construction de la PSF pupille atmosphre
3.3.1 Echantillonnage....77 3.3.2 Cas
anisoplantique.................78 3.3.3 Cas
isoplantique.............79
3.4 Image du bord perturb....80 3.5. Dduction du paramtre de
Fried......82
3.5.1 La variance thorique des fluctuations dangle darrive....82
3.5.2 Extraction du paramtre de Fried sur les images du bord
solaire........87 3.5.3 Etude du phnomne dagitation
..................................88 Fluctuations de langle darrive
(AA) donnes par lagitation de la PSF.....88
3.5.4 Agitation du bord solaire..93
Etude statistique des fluctuations point dinflexion.93 Etude
statistique des fluctuations du photo-centre de la drive du
bord....98
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2
3.5.5 Agitation du bord convolu (correction de leffet
dassombrissement) ............102 Etude statistique des
fluctuations du photo-centre de la drive du bord ........104
3.5.6 Calcul de ltalement sur le bord solaire
....................107 La PSF en long temps de pose.....108 Le
bord solaire en longue pose......109 Relation entre la FWHM et le
paramtre de Fried........110
3.5.7 Discussion et comparaison des
mthodes...................113
Conclusion.114 Perspectives..115 Bibliographie.......116
Annexe.....121
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3
Chapitre 1
Introduction loptique atmosphrique
Bien triste un ciel dont les toiles ne brillent pas
I.Introduction gnrale :
Le ciel, cest sans aucun doute, la premire chose qui intrigua
lhomme, fascin par la majestueuse brillance du Soleil ou de la
Lune, et par la myriade de points scintillants sur la vote du ciel
nocturne, sans se douter quun tel spectacle perdrait beaucoup de sa
magie sil se trouvait ailleurs dans lunivers. Puisque ajout son rle
dans la diffusion qui donne le bleu du ciel le jour, latmosphre
terrestre est aussi responsable de la scintillation des toiles la
nuit, ou encore des magnifiques couleurs du crpuscule (figure
(1.1a))qui font toujours rver les romantiques ! Jusquau 14eme sicle
lhomme navait que ses yeux pour observer le ciel mais dans sa qute
daller toujours plus loin, il ne cessa, par son ingniosit, de
mettre en uvre les moyens qui lui ont permis non seulement
dobserver mais dtudier dinfimes objets au fin fond de lunivers.
Depuis quatre sicles nous disposons dinstruments optiques toujours
plus efficaces, commencer par la lunette astronomique (Galile 1610)
jusquaux plus grands tlescopes dont la taille du miroir na cess
dtre augmente pour atteindre dans un futur proche les 50 mtres de
diamtre pour un miroir segment (OWL). Actuellement des tlescopes
gigantesques sont utiliss partout dans le monde, et dont le diamtre
nest pas moins de 8 mtres et qui peuvent atteindre une rsolution
angulaire de lordre de 0.25, qui reprsente la taille, en seconde
d'arc, du plus petit dtail que l'on peut observer sur une image,
comme pour le VLT (Very Large Tlescope) conu par lESO (European
Southern Observatory) au Paranal, Chili. Or cette rsolution peut
tre atteinte avec un tlescope de 40 cm. Cependant, augmenter la
taille du miroir ne donnera pas forcement une meilleure rsolution
car celle-ci ne peut aller au del dune limite lie aux conditions
dobservation. Cet obstacle auquel sont heurts les instruments
astronomiques les plus puissants est, dsormais, latmosphre
terrestre. Si celle-ci constitue une condition indispensable
lexistence et la survie des cratures vivantes, elle apparat dans ce
cas l comme un phnomne gnant.
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4
Parce que lon ne peut liminer le coupable, des mthodes de
compensation ont t tablies pour pousser cette limite et obtenir des
rsolutions limites uniquement par la taille du tlescope (limite de
diffraction), on cite linterfromtrie, aussi loptique adaptative qui
a connu un grand champ dapplication, en particulier dans les sites
ayant de grands tlescopes [53]. Bien sr la question ne sest pas
pose pour les tlescopes embarqus sur les satellites hors atmosphre.
Cest clair, cette gnration de tlescopes spatiaux a constitu une
vritable rvolution dans lobservation astronomique, mais le cot des
oprations de lancement, la difficult du suivi et de lentretien sans
parler de la dure de vie des composants de linstrument qui est bien
plus faible compare leurs gaux sur terre puisque se dbarrasser des
mfaits de latmosphre, cest aussi se dbarrasser dun bouclier
protecteur contre les bombardements de particules et les radiations
destructives venant des toiles de manire gnrale et du Soleil en
particulier, ce qui fait que limagerie travers latmosphre a encore
de belles annes devant elle.
Figure (1.1a) : Effet du rougissement du Soleil sur lhorizon
caus par la rfraction de la lumire sur les couches de latmosphre
terrestre.
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Le Soleil constitue un centre dintrt pour un bon nombre
dastronomes et astrophysiciens. Bien quil existe 100 milliards
dtoiles semblables au Soleil dans la Voie Lacte (notre galaxie), il
demeure ltoile la plus accessible ltre humain puisque la plus
proche se trouve une distance de 40.000 milliards kilomtres de
notre systme solaire.
Le Soleil, qui est lorigine de la vie sur terre, du climat, de
la diversit de la faune
ainsi que du rgne animal, constitue la principale source dnergie
reue par le systme ocan atmosphre de notre plante. Celle-ci nous
parvient sous forme de rayonnement et de particules apportes par le
vent solaire. Son observation et modlisation furent le sujet
dimportantes tudes dans le but de comprendre les processus
physiques qui dterminent la configuration globale du Soleil, sa
dynamique, sa variabilit et sa structure interne. Sa forme qui
rentre dans le cadre des observations de la surface et qui a connu
une grande volution peut effectivement nous renseigner sur le reste
des aspects, cest dans ce cadre l que vient sinscrire la
surveillance du diamtre solaire, qui a t mesur avec prcision au
17me sicle par Jean Picard dans la priode calme (pas de taches
solaires). Ses mesures, reprises ultrieurement, ont rvl une
variation du diamtre considr jusque l constant, le diamtre solaire
tait donc plus grand d'une demi seconde d'arc par rapport sa valeur
en dehors de cette priode. Ces mesures ont permis de reconstituer
lirradiance solaire totale pour les priodes passes. Aprs Picard,
les mesures continurent, en utilisant plusieurs instruments.
Diffrentes mthodes furent et sont toujours utilises dont les
rsultats semblent tre peu cohrents. Les mesures ont t obtenues par
diffrentes mthodes (passage au mridien, passage de Mercure devant
le Soleil, astrolabes, tlescopes imageurs, hliosismologie) et cela
sur des priodes de mesure diffrentes et dans des domaines spectraux
variant dun instrument lautre [56].
Certaines mesures n'indiquent aucune variation de diamtre alors
que pour la mme
priode dautres observations montrent une variation avec
l'activit solaire. La mesure de la dure de passage de Mercure
devant le Soleil permet de dduire la valeur du diamtre solaire. Ces
mesures montrent une variation priodique en relation avec le cycle
de Gleissberg dont la dure est de l'ordre de 90 ans. Les variations
du diamtre solaire obtenues l'aide des clipses de soleil montrent
une anticorrlation avec l'activit solaire comme les mesures de
Picard le suggraient. Cependant les mesures rcentes montrent des
incohrences entre elles. La plus longue srie a t obtenue avec
l'astrolabe de Danjon plac au plateau de Calern [33] qui a rvl une
anticorrlation entre l'activit solaire et le diamtre tendant se
dgrader vers les annes 2000, puis montrant de nouveau
l'anticorrlation pour les mesures rcentes (2002). Cependant, le mme
instrument plac Santiago montre une variation en phase avec
l'activit et ayant une amplitude cinq fois plus grande qu' Calern
[42]. De faon vidente, les mesures au sol sont affectes par la
traverse des photons dans l'atmosphre o la diffusion, la turbulence
et les absorptions peuvent expliquer les rsultats incohrents. En
orbite, l'instrument MDI bord de SOHO a permis dtudier la structure
interne du soleil par l'observation des modes doscillation.
L'ensemble des mesures acquises depuis 1995 montre une variation du
diamtre solaire dans laquelle on distingue des effets instrumentaux
importants et ceux lis la turbulence atmosphrique [56].
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Le but de cette thse est dtudier les effets de la turbulence
atmosphrique qui sont
prsents dans la mesure du diamtre solaire, en particulier celle
prise par linstrument DORaySol (Dfinition et Observation du Rayon
Solaire) une modlisation permettant de caractriser la turbulence et
ce, en se basant sur la simulation numrique. On parlera aussi du
projet MISolFA (Moniteur dimages Solaires Franco Algrien) qui a
pour but la dtermination des paramtres caractristiques chiffrant
les conditions dobservation dun site donn.
La premire partie de ce mmoire est consacre ltude de la
propagation des ondes
lumineuses travers la turbulence atmosphrique et son effet sur
la formation des images de manire gnrale puis sur les images du
bord solaire en particulier. Elle comprend un certain nombre de
rappels sur les thories doptique gnrale tel que la propagation des
ondes lumineuses, la rfraction et la diffraction. On verra les
modles qui ont t utiliss pour dcrire les phnomnes alatoires quest
la turbulence atmosphrique, cela repose donc sur une tude
statistique.
La deuxime partie sera base sur la simulation des images du bord
telles quelles
seront obtenues avec linstrument DORaySol et MISolFA, puis la
simulation des effets de la turbulence sur les images du bord. On
discutera en dtail les mthodes adoptes, puis sur les images
affectes par la turbulence on va extraire le paramtre de Fried
caractrisant les effets de cette turbulence sur les fronts donde.
Pour cela on utilise plusieurs mthodes dont on va comparer les
rsultats.
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1.2. Modlisation
1.2.1. Turbulence atmosphrique : Latmosphre, comme on la bien
remarqu et constat est responsable de tous les jeux de lumire
observs dans le ciel, en perturbant de faon spectaculaire les
directions et les couleurs des rayons lumineux qui nous parviennent
du soleil ou de tout autre astre [1]. La rfraction, la rflexion, et
la diffraction ou encore la diffusion et labsorption sont luvre de
latmosphre, ces phnomnes donnent lieu des phnomnes bien connus tel
que : les mirages, le rayon vert (figure, 1.1b), larc- en- ciel, la
scintillation et lagitation [35].
Figure 1.1b : Image du rayon vert prise lobservatoire de la
Silla2
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La turbulence, le phnomne physique
Big whirls have little whirls, witch feed on their velocity;
Little whirls have smaller whirls, and so on unto viscosity L.F
Richardson.
Le but de ce chapitre est, de rappeler les rsultats les plus
importants des travaux qui ont t fait sur ltude statistique de la
turbulence atmosphrique, et son effet sur la propagation des ondes
lumineuses. Dans ce paragraphe, on va parler de la nature et de la
dynamique de latmosphre terrestre pour comprendre au mieux tous les
phnomnes quelle engendre et qui seront le sujet du prochain
paragraphe. Leonardo da Vinci, lartiste ingnieur de la Renaissance,
fut le premier avoir utiliser le mot turbolenza en franais,
turbulence, pour dcrire les mouvements complexes de leau et de lair
en observant de plus prs les tourbillons, les jets et les
coulements des fleuves, (voir figure1.2). Les premiers
exprimentateurs et thoriciens de la turbulence, parmi lesquels
Poiseuille, Reynolds, viennent aprs Taylor et Von Karman ont donn
la premire dfinition de la turbulence comme tant un mouvement
irrgulier qui apparat dans les fluides quand ceux-ci rencontrent
des obstacles solides .
Figure 1.2 : De la formation des eaux dessin la plume, Royal
Library, Windsor Castel, Angleterre.
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Ce nest quau dbut du 19ime sicle que Claude Navier a crit les
quations de base rgissant lvolution dans le temps de lcoulement dun
fluide en turbulence [18]. Il existe deux types dcoulements, on a
lcoulement laminaire et lcoulement turbulent, pour le premier type
il sagit dun mouvement rgulier o tous les points du fluide ont la
mme vitesse alors que on a un mouvement tourbillonnaire irrgulier
dans lespace et dans le temps pour les coulements turbulents. La
turbulence est donc une proprit des coulements dun fluide et non du
fluide lui-mme et la complexit du phnomne a fait quaucune dfinition
rigoureuse na t tablie mais on peut indiquer le caractre alatoire
de la turbulence (lirrgularit), le caractre rotationnel alatoire de
la vitesse (fluctuation de la vorticit), en plus de la Diffusion et
la Dissipation. On note aussi parmi les proprits caractristiques de
la turbulence, la diffusivit qui exprime le transfert permanent de
quantit de mouvement, de la chaleur et de la masse, on a aussi un
grand nombre de Reynolds (Re) qui exprime le rapport des forces
inertielles aux forces visqueuses, ce dernier sans dimension, nous
permet de dterminer le type dcoulement tudi si Re dpasse une
certaine valeur critique de lordre de 2000 alors on a atteint le
rgime turbulent. Il faut donc noter que la turbulence est un
phnomne continu gouvern par les quations de la mcanique des Fluides
[18]. Figure1.3 : comportement dun fluide turbulent au voisinage et
loin des parois La turbulence dans les couches atmosphriques : On
peut se poser la question : pourquoi latmosphre terrestre est elle
le sige de la turbulence dveloppe ? Et bien la rponse peut se
prsenter comme suit : Latmosphre terrestre, pige entre le vide
quest le milieu interstellaire, et la surface compose de
lhydrosphre et la crote terrestre, cette enveloppe constitue
principalement de gaz , est responsable du transfert nergtique
entre ces deux milieux, le rayonnement du soleil dun ct et la
vapeur deau, sel, etc. de lautre, compte tenu de ces changes, des
inhomognits apparaissent dans la rpartition de la temprature et des
teneurs en vapeur deau de latmosphre, aussi on a les carts de
densit en conjonction avec la gravit, la rotation et la gomtrie
terrestre, sont finalement les moteurs de lensemble des mouvements
atmosphriques [18].
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Caractristiques spcifiques de la turbulence atmosphrique (Profil
vertical) : Lair atmosphrique est un mlange de gaz contenant des
particules liquides et solides en suspension (gouttelettes deau,
cristaux salins et les poussires provenant de la surface de la
Terre). Chose qui a amen les mtorologistes considrer lair comme un
mlange de deux gaz, lair sec (compos de plusieurs gaz dont les
proportions restent sensiblement constantes) et la vapeur deau
(lhumidit). Les nombreuses mesures in situ effectues dans la haute
atmosphre permettent de se faire une ide de la rpartition verticale
des tempratures, cela a permis de dfinir un profil vertical type de
latmosphre. La stratification dans la rpartition des couches [46]
dpend aussi du moment de lobservation, cest dire le jour ou la
nuit. Le jour, on remarque une importante turbulence localise au
sol (lenvironnement du tlescope) cause de lchauffement des
structures et du sol par le Soleil en plus de leffet de
cisaillement d au vent alors que la nuit la turbulence est localise
en altitude. Puisque on a inversion de temprature dans la basse
atmosphre (le sol se refroidit plus vite que lair), lair chaud
stagne au dessus des masses dair froid, ce qui cre une stabilit
dans la basse atmosphre. Dynamique des couches atmosphriques : Le
passage dun coulement laminaire un coulement turbulent se fait au
moment o le nombre de Reynolds atteint une valeur critique. Elle
est de lordre de 106 pour lair atmosphrique en prenant en moyenne
la vitesse de lcoulement V= 1m /s, pour une longueur caractristique
L = 15 m et sachant que la viscosit cinmatique de lair est =
1.5.10-6 m2 s-1 ce qui correspond une turbulence pleinement
dveloppe. Etudier cette turbulence revient donc ltude des processus
de transfert de lnergie dans lespace et dans le temps [48][35].
Thorie du transfert dnergie en cascade (Kolmogorov) : Kolmogorov a
propos que dans une turbulence dveloppe, lnergie cintique associe
au mouvement une dimension de lordre de L0 dite chelle externe qui
atteint les dizaines de mtres pour les couches atmosphriques, est
transfre des structures dchelles de plus en plus petites jusqu une
grandeur l0 chelle interne de lordre du millimtre. En dessous de
cette valeur le processus de transfert sarrte et lnergie cintique
est dissipe en chaleur par les frottements visqueux (friction). Le
domaine compris entre ces deux valeurs caractristiques o la
turbulence est pleinement dveloppe, est appel domaine inertiel car
les forces inertielles sont dominantes et les fluctuations de
vitesse sont considres statistiquement isotropes, les valeurs
trouves pour ces chelles sont variables et dpendent de laltitude et
des conditions locales. Tous les effets induits par la turbulence
seront tudis dans ce domaine. En rgime stationnaire, le taux de
dissipation visqueuse 0 est quivalent au taux de production de
lnergie de turbulence donc on peut dire que la vitesse des
mouvements V ne dpend que de la longueur caractristique L et de 0
[30][18][48].
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Un raisonnement dimensionnel bas sur le principe de transfert en
cascade de lnergie cintique et en prenant en compte la loi dObukhov
et Yaglom 1949, qui montre que dans un coulement turbulent les
concentrations du mlange sont conservatives. Il sagit donc dun
processus adiabatique cest dire, pas de ractions chimiques dans le
milieu, ce qui permet de dire que les fluctuations de temprature et
dhumidit comme ceux de la vitesse obissent la loi de Kolmogorov
dans son domaine de validit c'est--dire le domaine inertiel
[30][48]. En effet si on considre P le taux de production de
lnergie cintique par unit de masse elle aura pour unit 2 1V t et le
taux de dissipation visqueuse de lnergie dont lunit est 2 1V t ,
alors en rgime stationnaire on a P = , donc la vitesse sera donne
par :
1/ 3 1/ 3.V L (1.1) Lanalyse spectrale de lnergie cintique comme
une fonction du module du vecteur donde ( 2K f= ), o f est la
frquence spatiale, donne une fonction ( )E f df entre f et f df+
proportionnelle 2 ( )V f et tenant compte de (1.1) on crit :
22 1/3 1/3( ) ( ) .E f df V f L or 1/L f= , et sachant quen
rgime stationnaire peut tre considr comme constant, on crit
finalement : 2 / 3( )E f df f (1.2)
Cest la loi de Kolmogorov qui nest valide que dans un domaine
inertiel tel que :
1 1
0 0L f l
(1.3) Lavnement de la thorie de la turbulence homogne isotrope
par Kolmogorov [30].qui est devenue la thorie universelle
constituant les fondements de notre connaissance de la turbulence
atmosphrique et est la base de toutes les paramtrisations dans les
modles thoriques. A trois dimensions, en supposant lisotropie du
processus on peut passer au spectre trois dimensions en intgrant
sur toutes les directions on trouve : 2( ) 4 ( )TE f f f= (1.4) et
le spectre tridimensionnel sera donn par : 11 / 3( )T f f
(1.5)
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Fluctuation de la temprature et lindice de rfraction (n) : La
turbulence donne lieu des mouvements tourbillonnaires qui vont
entraner des mlanges de masses dair diffrentes en temprature et
pression. Ces fluctuations seront responsables des fluctuations de
lindice de rfraction de lair entranant les perturbations dune onde
lectromagntique lors de son passage travers les couches
atmosphriques. Lindice de rfraction dun gaz n() la longueur donde
est une grandeur physique qui varie avec sa densit [14][19] : ( , )
1 ( )n r t k = + (1.6) o ( )k est une grandeur qui ne dpend que de
la nature du gaz et de la longueur donde de la lumire. Ceci
correspond bien dailleurs lintuition : plus la densit du gaz est
faible, plus lindice doit tre proche de celui du vide qui est 1.
Pour un gaz parfait, lquation dtat est donne sous la forme :
( , )( , ) 1 ( )( , )
P r tn r t kT r t
= + (1.7)
Donc lindice de rfraction de lair dpend essentiellement de la
temprature T et de lhumidit spcifique q. On peut dire que les
fluctuations de ces paramtres induisent les fluctuations de lindice
de rfraction n. Dans latmosphre, la temprature de lair peut varier
trs rapidement dun point un autre, lindice dpend de la position
dans lespace et dans le temps. Si on prend pour une longueur donde
fixe, la diffrentielle de n peut tre donne en prenant la temprature
en un point donn : T T T= + (1.8) o T la moyenne, T fluctuations de
temprature moyenne nulle on crit : n n n= + (1.9) avec : ( / ) ( /
)n n T T n q q = + n A T B q = + (1.10) Aux longueurs dondes
optiques, le second terme peut tre nglig,ce sont les fluctuations
de temprature qui vont dominer par rapport aux fluctuations de
pression et on crit alors en premire approximation la loi de
Gladstone [14] [49] :
2( , )( )
( , ) = = P r tn A T k T
T r t (1.11)
la pression est exprime en millibars et la temprature en Kelvin.
Dans le cas de lair, et pour une longueur donde 0.5 m = (dans le
visible) lexpression du coefficient A peut tre dtermine par la
relation de Gladstone o lon considre lair comme tant un gaz parfait
avec : 6( ) 80 .10K
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Etude statistique des fluctuations de lindice de rfraction :
Ltude du phnomne de fluctuation de lindice de rfraction ncessite
une caractrisation statistique, on supposera dans tout ce qui suit
quil sagit des fluctuations, dune variable alatoire stationnaire et
homogne; on dfinira ainsi la fonction de covariance des
fluctuations de lindice de rfraction [14] [49]: ( , ) ( , ) ( , )nB
h n r h n r h = + avec :
(0, ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )nB h n r h n r h
n r h n r h =
= + + (1.12)
o le dcalage spatial entre deux points, h laltitude de la couche
et ... est une moyenne densemble, et en prenant ( )n r stationnaire
entre het .h h+ la fonction de covariance ne va dpendre localement
que de la distance entre deux points. On verra par la suite que
cette fonction de covariance diverge pour 0 = dans le cadre du
modle de Kolmogorov. La fonction de structure des fluctuations de
lindice de rfraction :
Pour saffranchir du problme de divergence de la covariance, une
autre grandeur statistique a t dfinie par Tatarski [52] [48], cest
la fonction de structure des fluctuations de temprature ainsi que
celle des fluctuations de lindice de rfraction, elle reprsente la
variance diffrentielle des fluctuations dindice de rfraction entre
deux points distants de .
[ ]2( , ) ( , ) ( , )nD h n r h n r h = + (1.13) Et on peut
exprimer cette fonction de structure en fonction de la covariance
suivant lquation (1.12) par: [ ]( , ) 2 (0, ) ( , )n n nD h B h B h
= (1.14)
On peut dterminer la fonction de structure des fluctuations de
lindice de rfraction en appliquant la relation de Gladstone sur la
fonction de structure des fluctuation de temprature qui peut tre
rcrite, en terme dnergie, en considrant 0 ( L2.t 3) le taux de
-
14
production de lnergie turbulente et 0 ( deg2.t-3) le taux de
production de temprature, lanalyse dimensionnelle nous ramne
ncessairement une combinaison de ces paramtres telle que la
fonction de structure des fluctuations de tempratures sera donne
par [48][49] :
1/3 2 /30 0( ) . .TD (1.15) Do la loi dObukhov: 2 2 /3( ) .T TD
C = (1.16) valable pour 0 0l L
2 ( )TC h reprsente la constante de structure des fluctuations
de la temprature. La fonction de structure de lindice de rfraction
suit aussi la loi dObukhov et on a :
2 2 /3( , ) ( )n nD h C h = (1.17) Avec 2 ( )nC h (de dimension
[m]-2/3.) dfinie comme tant la constante de structure des
fluctuations de lindice de rfraction, elle reprsente la force de
turbulence une hauteur h donne. La fonction de structure montre en
fait, la contribution de la diffrence des moyennes entre deux
points, quon ngligera devant celle due la diffrence des
fluctuations, puisque les moyennes sont peu variables entre deux
points proches ( trs petit) donc elle ne dpend que du dcalage
spatial qui appartient au domaine inertiel. Elle est relie la
constante de structure de la temprature en utilisant (1.4) par la
relation [36]:
2 ( )nC h = 2 2. ( )TA C h (1.18)
-
15
( ) ( ) 2 2 11/32 11/3
( ) 8 / 3 sin / 3 / 4 .
( ) 0.033T T
T T
K C K
K C K
= =
2 11/ 3( ) 0.033n nK C K =
La densit spectrale des fluctuations de lindice de rfraction :
On peut aussi caractriser statistiquement les fluctuations de
lindice de rfraction en considrant sa densit spectrale. La relation
entre la covariance et la densit spectrale peut tre donne en
utilisant le thorme de Wiener -Khinchine qui dit que dans le cas
dun processus homogne et isotrope, la covariance est la transforme
de Fourier trois dimensions de la densit spectrale et on crit [48]
[14]:
3
2 .
( ) ( )
( ) ( )T T
i fT T
B TF f
B f e df
(1.19)
cela revient dire que la densit spectrale sera de la forme
(Tatarski 1961) :
(1.20)
La densit spectrale de fluctuation de lindice de rfraction sera
dtermine de la mme faon :
(1.21)
ou encore[48] 2 / 3 2 11/3( ) 0.033(2 ) ( ) .n nf C h f
= (1.22) avec f le module de la frquence spatiale, cette formule
nest valide que dans le domaine inertiel [52].
La densit spectrale ( )n f selon le modle de Von Karman : Pour
viter la divergence en zro. Von Karman a propos un modle ad hoc
pour prendre en considration les chelles limites du domaine
inertiel, en introduisant une frquence de coupure haute (f=1/l0) et
basse (f=1/L0), avec l0 lchelle interne et L0 lchelle externe de la
turbulence, et lexpression de la densit spectrale des fluctuations
dindice sera donne dans ce modle par :
1162
2/3 2 20
0
1( ) 0.033(2 ) ( ) exp ( ).n nf C h f f lL
= +
(1.23)
-
16
Le profil vertical de la turbulence atmosphrique 2( )nC h : La
constante de structure est un paramtre important pour la
qualification des sites dobservation astronomique. Elle donne
lintensit des fluctuations de lindice de rfraction le long du
chemin optique de londe lors de sa traverse de latmosphre. Sa
connaissance est essentielle sil on veut tablir un profil
caractristique de la turbulence. Cette constante tant dpendante de
plusieurs paramtres chiffrant les conditions mtorologiques ainsi
que la topographie du terrain et du temps dobservation (diurne ou
nocturne). Plusieurs profils ont t tablis exprimentalement (figure
(1.4)) de deux manires diffrentes [53] : Mesure intgre : on obtient
pour cette mthode la force globale de la turbulence sur le
trajet de londe h .pour cela on a utilis des instrument optiques
tel que le Shack Hartmann [53] et le DIMM [50].
2 2 ( )n nC h C h dh = Mesure ponctuelle : dans ce cas l on a
une valeur de 2 ( )nC h pour chaque altitude h en
utilisant soit des ballons sondes (mesures de la fonction de
structure des fluctuations de lindice), soit un SCIDAR Gnralis [5]
(mesure de la scintillation)
Figure 1.4 : Profils bruts de la constante de structure de
lindice de rfraction 2 ( )nC h en fonction de laltitude h , obtenus
au moyen de ballons instruments (campagne PARSCA92 U. de Nice,
Dpartement dAstrophysique).
h(km) h(km)
2 ( )nC h (m-2/3 )
-
17
1.2.2 Propagation optique :
Elle parcourt des chemins interminables, elle passe travers tout
et rien ne larrte, mme du fin fond de lunivers elle arrive toujours
au bon moment au bon endroitplus fidle que toi Lumire il n y a
pas.
Dans ce qui a prcd on a parl des proprits de la turbulence
atmosphrique, maintenant on va passer ltude des effets de la
turbulence sur la formation des images et donc il sagit dtudier la
propagation de londe lumineuse issue dun objet observ travers les
couches atmosphriques. On commence dabord par un rappel de la
thorie principale de la propagation dune onde optique dans un
milieu quelconque puis on parlera de la propagation optique dans un
milieu turbulent quest la couche atmosphrique.
Propagation dune onde lectromagntique :
Les ondes lumineuses : La lumire se prsente comme un ensemble
dondes lectromagntiques, un champ lectrique E et un champ magntique
B, se dplaant transversalement lun par rapport lautre dans le plan
perpendiculaire la direction de propagation. Lintensit de chaque
radiation est proportionnelle au carr de lamplitude A. la longueur
donde associe cette radiation est donne par /c = o reprsente la
frquence de londe et c la vitesse de la lumire. La loi de
propagation spatiale de londe qui doit obir lquation d Helmholtz
pour une onde monochromatique est donne par [19]: 2 2 2( , ) ( , ).
( , ) 0.r z k n r z r z + = (1.24)
-
18
Propagation : optique gomtrique
Le dplacement des ondes lumineuses obit plusieurs lois, selon la
nature du milieu qui
reoit cette lumire. Toutes ces lois dcoulent dun seul principe
celui de Fermat et peut se traduire ainsi : La lumire emprunte
toujours le chemin prenant le temps de parcours le plus court pour
aller dun point un autre. On rappelle quelques proprits de la
propagation lumineuse [1] :
dans un milieu homogne, la lumire se dplace en ligne droite.
lorsque un rayon lumineux tombe sur une lame, il y a rflexion qui
peut tre totale (cas dun miroir) ou partielle selon la nature de la
lame rflchissante, dans le deuxime cas une partie du faisceau va
tre transmise travers cette lame. la rfraction indique le passage
du rayon lumineux dun milieu dindice n1 un milieu dindice n2
diffrent. Lindice de rfraction n variant avec la couleur de la
lumire incidente, donnera donc, pour un faisceau de lumire blanche
(polychromatique) la sortie dun prisme, un spectre de plusieurs
couleurs monochromatiques, cette dcomposition est due au fait que
langle de dviation du rayon lumineux dpend de la longueur donde
associe.
Interfrences et diffraction : optique physique
Les lois de la rflexion et de la rfraction ne peuvent expliquer
toutes les observations,
alors il a t tabli dautres proprits de la lumire qui peuvent tre
regroupes sous le nom doptique physique [1].
Si deux ondes lumineuses de mme amplitude et mme longueur donde
se rencontrent avec un dcalage dune demi priode, leur somme est
nulle. Il y a extinction par interfrences lumineuses. Un autre
phnomne souvent observ, lorsque la lumire passant par une ouverture
(fente ou trous) de dimensions trs petites, donne lieu dans le plan
image, une tche centrale brillante suivie de zones sombres puis par
dautres zones de brillance de plus en plus faible. Cela peut
sexpliquer par le fait que les rayons arrivant sur le bord du trou
vont se diffracter dans tout les sens, de sorte que chaque point du
trou va se comporter comme une source secondaire et tous les rayons
ayant une diffrence des trajets qui diffre dun nombre entier de
priodes, vont saccumuler en un point do les zones brillantes et
ceux dont le trajet diffre dun nombre impair de demi priodes vont
donner les zones sombres. Dans le cas de lobservation dune toile
brillante o lon utilise des lentilles concentrant la figure de
diffraction au centre du plan image, on a pour un systme optique
douverture circulaire D, la tche centrale est bien plus intense que
les anneaux, elle nest pas ponctuelle, son rayon linaire vaut 1,
22. . /f D o f est la distance focale de la lentille. Le pouvoir
sparateur dun instrument est dautant meilleur que louverture est
grande.
-
19
2
15
1 1. .1
Ct
CIe
=
Les photons (nature corpusculaire de la lumire) :
Un autre aspect de la lumire expliquant les interactions entre
matire et rayonnement o la thorie ondulatoire de la lumire ne
pouvait le faire, la thorie corpusculaire qui admet que les ondes
lectromagntiques sont associes un courant de photons. Planck a
tabli que lnergie transporte par un photon photonE pour une
radiation de frquence est donne par :
/photonE h hc = =
o h est la constante de Planck, gale 346.626.10 . .S I
On sintressera cet aspect l pour modliser le bruit photonique
affectant les images, en particulier celles du bord solaire. Pour
cela on rappelle la loi donnant la distribution de lnergie mise par
une toile, qui est considre gnralement comme un corps noir, en
fonction de la temprature : cest la loi de Planck :
(1.25)
2 21 2 3.74185 . /C hc erg cm s= = et 2 1, 43883 .
hcC cm Kk
= =
Pour les petites longueurs donde du domaine optique mises par
une toile de type solaire, temprature denviron 6000K , le produit T
est petit donc on peut le ngliger devant lexponentielle, la loi de
Planck devient [1]:
2
15
1 . .CTCI e
= (1.26)
-
20
1.2.3 Propagation optique travers la turbulence atmosphrique
:
Les couches atmosphriques constituent un milieu dindice de
rfraction continment variable dans lespace et dans le temps.
Etudier la propagation optique travers un tel milieu, on fait des
approximations pour pouvoir appliquer les formalismes tablis dans
les cas les plus simples, puis introduire petit petit les
contraintes imposes par la turbulence.
Formalisme et approximation : Pour commencer, on va dabord
prendre le modle simple o lon suppose que toute la turbulence est
concentre dans une couche, celle-ci est suppose suffisamment mince
pour ngliger les effets de diffraction de londe lumineuse
lintrieur, cest lapproximation des couches minces [48] [10]. Dans
ce cas l, seule la phase du front donde est perturbe et la
propagation est purement gomtrique, on peut donc utiliser le
formalisme de Fresnel [22].
Cas dune seule couche : On suppose que latmosphre est homogne
partout sauf dans une couche mince turbulente horizontale dpaisseur
h localise laltitude h. Les fluctuations de la phase sont lies aux
variations du chemin optique et donc aux fluctuations de lindice de
rfraction [48] [49]:
2( , ) ( , )r h n r h
= (1.27)
avec ( , ) ( , )h h
h
n r h n r z dz+
=
o ( , )n r z reprsente les fluctuations de lindice de rfraction.
Le champ complexe dune onde en h scrit alors [22] :
( , ) exp ( , )r h i r h = (1.28)
En prenant celle-ci gale 1 lentre de la couche o on peut crire h
h+ :
( , ) 1r h h + =
Sachant que les longueurs dondes optiques sont trs petites par
rapport lchelle de la perturbation des fronts dondes,
lapproximation de Fresnel peut tre utilise pour dterminer le champ
form au niveau du sol [22]:
-
21
21( , 0) ( , ) exp
( , 0) exp ( , 0)
i rr r hi h h
A r i r
=
=
(1.29)
o ( ,0)A r , est lamplitude du champ qui dpend maintenant de r
et reprsente le produit de convolution bidimensionnel.
Cas de plusieurs couches : Passant maintenant la propagation
travers plusieurs couches : pour cela on suppose que les couches
atmosphriques sont des couches minces, localises diffrentes
altitudes [14] ( q h trs petite devant les altitudes qh ainsi que
devant les distances les sparant q q-1 h -h ). La propagation de
londe lumineuse sera une succession de dphasages introduits par
chaque couche et une diffraction entre ces couches tel que [22]
[49]:
( , ) 1q qr h h + =
( )2
1 11 1
1 1 1 1 1
2
11 1
( , ) exp ( ( , ))
1( , ) ( , ) exp( )
( , ) ( , ) exp( ( , ))
1( ,0) ( , ) exp( )
q q q
q q qq q q q
q q q q q
r h i r h
i rr h h r hi h h h h
r h r h h i r h
i rr r hi h h
=
+ =
= +
=
(1.30) Donc le champ complexe arrivant au sol est le rsultat du
dphasage introduit chaque passage dune couche de turbulence
(fluctuations de la phase) suivie dune diffraction entre les
couches (fluctuations de lamplitude).
Approximation des faibles perturbations : On va pour la suite
faire une restriction sur le domaine de la propagation tudi, en se
limitant au cas des observations astronomiques. Dans ce domaine on
considre que les dphasages introduits par la turbulence travers
chaque couche sont trs faibles [48] [49]. ( ) 1h r
-
22
On a alors pour une seule couche : ( ) ( )1h hr i r + (1.31)
Cest lapproximation des faibles perturbations [48], ceci reste
valable tant que la distance dobservation par rapport au znith
reste infrieure 60. Dans ce cas, en remplaant dans les quations
(1.30), le champ complexe arrivant au sol scrit :
[ ]21( ,0) 1 ( , ) exp i rr i r h
i h h
= +
(1.32)
en passant la transforme de Fourier de cette expression on peut
montrer que :
211 exp 1i r
i h h
=
lquation (1.32) devient donc: ( ,0) 1 ( )r r = + o la quantit
complexe
21( ) ( , ) exp i rr r h
h h
=
(1.33)
dcrit les fluctuations de lamplitude complexe au sol et peut tre
dcompose en deux termes :
2 2
( ) ( , ) cos( ) sin( ) /r rr r h i hh h
= +
Sa partie relle reprsente les fluctuations du module du champ
complexe au sol ( ,0)r et sera donne par :
21( , 0) ( , ) cos( )rr r h
h h
= (1.34)
Et la partie imaginaire qui dcrit les fluctuations de la phase
au sol est donne par :
21( ,0) ( , ) sin( )rr r h
h h
= (1.35)
En suivant le mme raisonnement, dans le cas de plusieurs couches
et en utilisant lapproximation des faibles perturbations on peut
dire que les fluctuations de lamplitude du champ complexe produites
au niveau du sol sajoutent linairement et on crit :
-
23
Couche turbulente Pupille Front donde perturb speckle
2
1
1( ,0) ( , ) cos( )q
j jj j j
rr r hh h
=
= (1.36) avec q le nombre de couches minces correspondant aux
altitudes qh . Cette expression reprsente en fait, les fluctuations
de lintensit donne lieu au phnomne de la scintillation quon tudiera
dans les paragraphes suivants. De la mme manire, Lexpression
donnant les fluctuations de la phase au sol est donne tel que :
2
1
1( ,0) ( , ) sin( )q
j jj j j
rr r hh h
=
= (1.37)
Figure (1.5) : la formation du speckle dans le plan focal du
tlescope cause de la dformation du front donde traversant la
turbulence atmosphrique.
Proprits statistiques de la phase : Toutes ces hypothses nous
conduisent considrer que la grandeur sur laquelle va la turbulence
agir, de manire significative, est la phase de londe ce qui
ncessite une caractrisation, sachant que celle-ci est directement
lie aux fluctuations de lindice de rfraction du milieu.
-
24
La fonction de covariance associe aux fluctuations de la phase (
),B h : On a par dfinition la covariance [48]: ( ) ( )( , ) .B h r
r = + (1.38) En remplaant lquation (1.27) dans lquation (1.38)
( ) ( )2( , ) , . ,h h h h
h h
B h k dz dz n r z n r z
+ +
= + on pose : z z =
on obtient : ( ) ( )2( , ) , . ,h h h h z
h h z
B h k dz d n r z n r z
+ +
= + + Pour h trs grand devant la largeur de corrlation des
fluctuations dindice, lintgrale peut tre tendue de - + tel que
:
( ) ( )2( , ) , . ,h h
h
B h k dz d n r z n r z
+ +
= + +
Si lon considre la fonction de covariance tridimensionnelle des
fluctuations de lindice de rfraction ( , )nB , lexpression de la
covariance associe aux fluctuations de la phase sera donne par
:
2( , ) ( , )h h
nh
B h k dz d B
+ +
=
donc : 2( , ) ( , ).nB h k h d B
= (1.39)
-
25
La fonction de structure de la phase : Comme on la dj montr, la
fonction de structure des fluctuations de la phase peut tre donne
en fonction de la covariance [52] [48] [49] : ]( , ) 2[ (0, ) ( , )
.D h B h B h = et en utilisant les quations (1.17) et (1.39) :
]2( , ) 2 [ (0, ) ( , ) .n nD h k h d B B
= sachant que : ]( , ) 2[ (0,0) ( , ) .n n nD B B = on
obtient
]2( , ) 2 [ (0, ) ( , ) (0,0) (0,0) .n n n nD h k h d B B B
B
= +
[ ]2( , ) ( , ) (0, ) .n nD h k h d D D
= et en appliquant la loi dObukhov tel que :
2 2 2 1/ 3
2 2 1/ 3 2 2 / 3
( , ) ( )
(0, ) (0 ) .n n
n n n
D C
D C C
= +
= + =
On a [ ]
{ }
2 2 2 2 1/ 3 2 / 3
2 2 5 / 3
( , ) ( )
2.914 .
n
n
D h k h C d
k h C
= +
=
Finalement, lexpression donnant la fonction de structure pour
une couche localise laltitude h sera :
2
2 5/32( , ) 2.914 ( ) .nD h C h h
=
(1.40)
On appelle ( )2 5/32 / le facteur de forme (il dtermine les
proprits spectrales de la turbulence) et 2 ( )nC h h son facteur
dnergie. Dans le cas des couche multiples, o on suppose que la
turbulence est stratifie en altitude selon des plans parallles au
sol et que les proprits spectrales sont les mmes quelle que
-
26
( )1162
2 2 20
0
10 .3827 exp (1 .12 ) ( ) .nW f f f l C h hL
= +
soit h, seule lnergie varie, donc la fonction de structure
totale des fluctuations de la phase sera donne dans les deux cas,
discret et continu par :
2
5/ 3 22( , ) 2.914 ( ) .n j jj
D h C h h
=
(1.41)
2
5 / 3 2
0
2( , ) 2.914 ( ) .nD h C h h
= (1.42)
La densit spectrale de la phase : En appliquant le thorme de
Wiener -Khinchine, la densit spectrale de la phase not DSP, dans le
domaine inertiel de Kolmogorov scrit en fonction de la covariance
tel que : ( ) ( ) ( )exp 2 .W f B i f d = et en utilisant lquation
(1.39)
( ) ( ) ( )22 exp 2 .nW f h B i f d
=
De cette expression on peut crire la DSP en fonction de la
densit spectrale des fluctuations de lindice de rfraction :
( )22 ( )nW f h f
=
(1.43) En remplaant ( )n f par son expression donne selon le
modle de Kolmogorov (quation(1.22)) on obtient: ( ) 2 11 / 3
20.3827 ( ) .nW f f C h h = (1.44)
et dans le modle de Von Krmn (quation.(1.23)) :
(1.45)
Dans notre tude on prendra le modle propos par Von Krmn, qui est
le plus utilis dont la dtermination de lexpression exacte de la
densit spectrale des fluctuations de lindice ainsi que celle de la
phase.
-
27
0 0 0
0
( , ) ( , ) ( , )
( , )
W f h W f h W f h
W f h
= +
Cas de multiples couches : On prend pour cela lexpression de la
phase pour londe arrivant au sol aprs avoir subi la diffraction
travers ces couches, comme on a dj montr dans le paragraphe prcdent
on a, selon lquation (1.37):
max 2
0
1( , 0) ( , ) sin( )h rr dh r h
h h
=
En appliquant le thorme de Wiener Khinchine la densit spectrale
des fluctuations de la phase au sol sera donne par :
( )2
2
01( , ) , sin rW f h TF dh r hh h
=
sachant que la Transform de Fourier dune somme est la somme des
Transforms de Fourier on crit :
( ) ( )2
2
01. s in rW f d h W f T Fh h
=
( ) ( ) ( )220 . cosW f dh W f hf = (1.46)
De la mme manire on peut dterminer lexpression donnant la densit
spectrale des fluctuations du logarithme de lamplitude :
( ) ( ) ( )220 . sinW f dh W f hf = (1.47) Approximation du
champ proche : Dans le cas des observations en astronomie les
effets de la diffraction sont ngligeables par rapport aux effets de
fluctuation de la phase, on peut donc approximer la propagation
dans latmosphre par les perturbations affectant juste la phase. En
ngligeant leffet de la diffraction entre les couches, la densit
spectrale des fluctuations spatiales de lamplitude complexe (r) est
confondue avec celle de la phase [48].
(1.48)
-
28
La DSP selon les diffrents modles utiliss : Le modle de
Kolmogorov : En utilisant lquation (1.44) et (1.47) la densit
spectrale des fluctuations de la phase de londe arrivant au sol et
traversant plusieurs couches dans une direction dobservation par
rapport au znith , sera donne selon le modle de Kolmogorov :
( ) ( )21 2 2 11/3 20 0.3827 cos ( ) ( ) cosnW f C h h f hf =
(1.49)
Le modle de Kolmogorov tant incapable de dcrire le comportement
des fluctuations atmosphriques en dehors du domaine inertiel, alors
que des tudes concernant les observations astronomiques ncessitent
une extension du domaine surtout pour les basses frquences
spatiales. Ainsi, diffrents modles ont t proposs pour faire une
extension au modle prcdent au del de la limite externe, par souci
de compatibilit, bien entendu, ces modles qui sont empiriques sont
prsents comme des corrections du modle de Kolmogorov, do la ncessit
de vrifier certaines conditions afin de retrouver les mmes rsultats
dans le domaine inertiel. La validit des modles, en question, ne
peut tre obtenue quen comparant les rsultats exprimentaux et
thoriques.
Le modle de Von Krmn :
( ) ( )116
0
22(1.12 )1 2 2 2 2
00
10.3827 cos ( ) ( ) e cosf lnW f hC h f h fL
= +
(1.50)
Le model de Von Karman et Hill Andrews : Un autre modle qui
prend en compte une correction sur les hautes frquences :
( )
( )
11/ 621 2 2 2
00
27 / 6 2 20 0 0
10.3827 cos ( ) ( )
1 3.431 0.5384( ) exp 3.6215( ) cos
nW f h C h fL
f l f l f l hf
= +
+
(1.51)
La fonction de structure de la phase arrivant au sol : Pour
dterminer la fonction de structure de la phase arrivant au sol, on
doit crire lexpression de la covariance ( ),0B qui est la
transforme de Fourier inverse de la densit spectrale de la phase,
on prendra pour notre tude celle donne par Von Krmn, donc pour une
couche localise laltitude h, sachant que la densit spectrale est
une fonction
-
29
relle et paire et que sa transforme de Fourier possde les mmes
caractristiques, la covariance spatiale des fluctuations de la
phase sera donne par :
( )
( )116
0
1 2 20
22(1.12 )2 2
00
0.3827 cos ( ) ( ) 2
1(2 ) e cos
n
f l
B r df h C h f
J fr f hfL
=
+
o J0(X) est la fonction de Bessel de premire espce et dordre 0.
Or on a dj tabli la relation entre la covariance et la fonction de
structure; on arrive lexpression finale de celle-ci :
( )
[ ] ( )116
0
1 2 20
22(1.12 )2 2
00
0.3827 cos ( ) ( ) 2
11 (2 ) e cos
n
f l
D r df h C h f
J fr f hfL
=
+
(1.52)
Diffrents paramtres optiques sont utiliss dans la caractrisation
des effets de la turbulence sur les fronts dondes. On dtermine dans
ce qui suit ceux qui sont importants dans notre tude. Pour cela on
doit dabord, rcrire lexpression de la covariance du front donde 0 (
, )B r h lie lamplitude complexe de londe arrivant au sol ( )0 r
par:
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
0 0 0
0 0
0 0
( , ) . *
e x p . e x p
e x p
B r h r r
i r i r
i r r
= +
= +
= +
en utilisant les statistiques dune distribution Gaussienne
valeur moyenne nulle , on peut dans notre cas appliquer la formule
suivante:
2 21e x p ( ) e x p ( )2
a G a G=
La covariance devient :
( ) ( ) 20 0 0
0
1( , ) exp21exp ( , )2
B r h r r
D r h
= + =
(1.53)
-
30
on remplace ( )D par son expression en fonction de Cn2 (h) on
obtient :
2
2 5 / 30
1 2( , ) exp 2.914 ( )2 n
B r h C h h
=
En tenant compte de lcart on multiplie par 1cos ( ) et en
intgrant sur toute latmosphre, on a :
2
1 5 / 3 20
1 2( , ) exp 2.914 cos ( ) ( )2 n
B r h C h dh
=
(1.54)
Le paramtre de Fried :
Cest un paramtre trs important quand on sintresse aux effets de
la turbulence atmosphrique sur la propagation optique des ondes
lumineuses et sur la formation des images [21] [48]. Fried proposa
une expression simple pour la fonction de structure de la phase en
introduisant un paramtre r0 tel que [21]:
( )5/3
00
, 6.88 rD r hr
=
(1.55)
remplaons dans (1.53) on a :
( )5 / 3
00
, exp 3.44 rB r hr
=
(1.56)
En comparant les deux expressions de la covariance (1.54) et
(1.56) on a lexpression de r0 en fonction de la constante de
structure :
3/52 1 20 16.704 cos ( ) ( )nr C h dh
= (1.57) Cette expression est dfinie pour le spectre de
Kolmogorov mais elle sera utilise aussi pour le spectre de Von
Krmn. Le paramtre de Fried peut tre vu comme le rayon de la zone o
le champ complexe associ londe, traversant la turbulence, reste
cohrent spatialement et de manire gnrale il nous donne la force de
la turbulence. On verra plus loin aussi ce quil reprsente en
imagerie. Avec les mesures exprimentales de r0, on trouve comme
ordre de grandeur, dans le visible, 5 cm dans des conditions de
grande turbulence, et pouvant atteindre 20 cm pour une faible
turbulence, sous de bonnes conditions dobservation comme cest le
cas dans les observatoires situs sur les sommets des montagnes
(ESO, Paranal) ou en antarctique (Dme C).
-
31
Les observations exprimentales nous permettent de vrifier la
dpendance en tel que [48]:
3/52 6/5
0r
0r est donc un paramtre chromatique( plus la longueur donde sera
faible, plus les effets de
la turbulence sur les images seront importants).
Evolution angulaire de la phase :
Si lon prend deux sources de lumire spares angulairement, les
fronts dondes associs chacune des deux sources ne vont pas
traverser la mme perturbation dans les couches atmosphriques. On
parle alors dune dcorrlation angulaire de la phase, ce qui est
souvent le cas lorsquon prend une source de lumire tendue dont tous
les points ne vont pas traverser la mme turbulence. Ceci reprsente
lun des grands problmes auxquels est soumise limagerie en haute
rsolution angulaire. En vue de simplifier ltude on dfinit un
domaine o lon suppose lisoplantisme [48] [20].
Le domaine isoplantique 0 : Lisoplantisme exprime dans le cas
gnral, la similitude des fronts dondes arrivant sur la pupille du
tlescope en provenance de deux sources ponctuelles spares par un
angle (figure (1.6)) et qui ont travers diffrentes zones de la
turbulence atmosphrique. Plusieurs types disoplantisme ont t
introduits par Fried selon le domaine dtude (loptique adaptative si
on prend les fronts dondes ou linterfromtrie si lon considre les
figures de speckle) [48] [53]. Pour calculer les effets
danisoplantisme, on suit la trace des rayons venant de deux toiles
spares par un angle vu par rapport la pupille du tlescope, o ils
concident, leur sparation r la distance d est donne par r d= , si
on considre langle dobservation par rapport au znith () et
laltitude h on aura ( ) 1. . cosr h = on calcule la variance de la
phase entre ces deux rayons, celle-ci est en fait, la fonction de
structure de la phase : 2 0 ( , )D r h en remplaant r par sa valeur
et prenant lexpression de la fonction de structure (1.42) on
aura:
-
32
( )2 5/ 3
12 2
0
22.914 cos ( ) .cosn
hh C h
=
( )2
8/32 5/3 2 5/ 3
0
22.914 cos ( )nC h h dh
=
quon crit sous la forme : 5 / 3
2
0
=
avec : 0 langle isoplantique pour lequel la variance de la phase
relative est de 1 rad
2 et qui a pour expression :
( )3/52
8/3 5/3 2 5/30
0
22.914 cos ( )nC h h dh
=
La relation entre 0 et 0r , peut tre dtermine en comparant les
expressions des deux paramtres : 0
0
0.314 cos / Hr =
avec 3/5
2 5/3
20
( )( )
n
n
C h h dhHC h dh
=
o H reprsente la hauteur de turbulence effective moyenne. On
remarque que plus la turbulence est localise en haute altitude plus
la dcorrlation est importante. Couche de turbulence h
Figure (1.6) : si le champ angulaire de la turbulence dpasse
langle isoplantique, alors on ne peut plus parler de cohrence
spatiale.
-
33
Evolution temporelle de la phase : Dans ce qui prcde, on a
considr que leffet des structures spatiales de la turbulence
atmosphrique sur les fronts dondes comme tant des phnomnes
statiques , chose qui nest pas relle. Ajout la dcorrlation spatiale
des fronts dondes cause de la turbulence atmosphrique, on a leffet
d lvolution de cette dernire dans le temps. Ce sont, en ralit, deux
processus dynamiques : La translation horizontale des couches
atmosphriques par effet dentranement du vent qui est un mouvement
densemble, et le boiling. Le boiling : Le bouillonnement ou
(boiling) est un mouvement chaotique dans les structures
turbulentes dune couche donne. Ce processus est li aux proprits
intrinsques de cette couche, il peut tre dcrit comme une
dcorrlation temporelle dans le spectre des fluctuations de la phase
[6]. Lhypothse de Taylor et le temps de cohrence : Puisque
certaines techniques dimagerie en haute rsolution angulaire sont
bases sur lenregistrement dimages en un temps trs court (ou courte
pose), limagerie classique dite image longue pose, se diffrencie de
la premire par la perte dinformations haute rsolution angulaire. La
limitation du temps de pose, impose par la variabilit temporelle
des perturbations du front donde, va tre ncessaire pour geler
lvolution de la turbulence pendant toute la dure de
lenregistrement. On introduit, alors, le paramtre 0 , appel temps
de cohrence de latmosphre qui caractrise la dcorrlation entre des
perturbations de la surface donde deux instants diffrents [18][6].
En utilisant lhypothse de Taylor pour un modle dune couche de
perturbations fige (frozen), se dplaant vitesse constante dans une
direction donne, Roddier a montr que le comportement temporel de la
turbulence peut tre caractris par la constante 0 /D V avecV : la
vitesse du vent (qui a une valeur typique de 20 m/s) et D le
diamtre du tlescope.
-
34
Chapitre 2
Une image vaut mille mots Limagerie travers
La turbulence atmosphrique.
2.1. Introduction la thorie de la formation de limage : Dans ce
chapitre on parlera dabord de la formation de limage dans le plan
focal dun tlescope et cela en tenant compte des effets de la
turbulence sur celle-ci. 2.1.1. Loi de propagation dune onde
lumineuse : En astrophysique, lobservateur ne peroit quune
projection deux dimensions sur la sphre cleste du flux mergeant de
lastre tudi. Cette projection sappelle la fonction dmission
radiative de lobjet et lon notera dans la suite O(x0, y0), o x0 et
y0 sont les coordonnes spatiales dans le plan objet, de mme on
dfinit la fonction donnant la distribution dirradiance observe dans
le plan image par I(x, y). Limage peut tre reprsente comme une
fonction de la position, de la longueur donde, du temps ou de
lintensit I(x, y,, t). Si lon considre le cas idal dune onde se
propageant dans un milieu parfaitement homogne et sachant que
limage optique est la reproduction homothtique dun objet partir de
la lumire quil met alors il existe une fonction reliant les
distributions dnergie dans le plan objet celles dans le plan image,
soit [48] : 0 0 0 0( , ) ( , , , , ( , ))I x y S x y x y O x y=
2.1.2 Relation objet image : Afin de simplifier ltude, on prendra
en compte dans ce qui suit les hypothses suivantes [22] :
Lincohrence de la source lumineuse : ceci nous permettra de faire
une sommation sur les intensits des diffrents points de lobjet en
chaque point de limage ; cest la proprit
-
35
de linarit ce qui est le cas, gnralement, dans le processus de
formation des images astronomiques. Le phnomne est continu : cest
dire que pour des points voisins, on a les mmes proprits (dans le
cas des sources tendues). Linvariance par translation : dans ce cas
on suppose qu une translation de lobjet, correspond une translation
gale de limage (mme sens et mme direction). Lisoplantisme : pour
lequel on suppose que les ondes lumineuses subissent les mmes
perturbations atmosphriques dans un domaine angulaire qui est le
domaine disoplantisme. Les deux premires hypothses nous permettent
dcrire la relation prcdente sous la forme de lintgrale de Fredholm
: 0 0 0 0 0 0( , ) ( , , , ). ( , )I x y S x y x y O x y dx dy=
(2.1)
0 0( , , , )S x y x y est appele la rponse impulsionnelle du
systme, en anglais Point Spread Function ; on prendra comme
notation dans ce qui suit PSF. Cependant, si lon considre lhypothse
de linvariance par translation, on suppose en fait que pour chaque
point de limage on a la mme PSF et donc limage dpendra de la
diffrence des variables tel que :
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ). ( , )I x y S x x y y O x y dx dy= (2.2)
qui est le produit de convolution des deux fonctions O et S donn
par : ( , ) ( , ) ( , )I x y O x y S x y= (2.3) 2.1.3 Dfinition de
la rponse impulsionnelle du systme optique (PSF) : Chaque onde
lumineuse mergent de lobjet est transmise, lors de sa traverse de
la turbulence et de la pupille, avec une amplitude affaiblie dun
facteur ( , )S x y et subit un
dphasage dune quantit gale ( , )S x y phase de ( , )S x y . Si
on applique sur lquation (2.3) le thorme de convolution (Annexe)
pour crire le spectre ( , )I x yA f f des ondes transmises par le
systme (pupille atmosphre), on obtient : ( , ) ( , ). ( , )I x y O
x y x yA f f A f f T f f= (2.4) o AI , AO et T reprsentent,
respectivement, les transformes de Fourier de I ,O et S .
-
36
1( , )
0P x y
=
La fonction donne par : ( , ) ( , ) exp 2 (x y x yT f f S x y i
xf yf dxdy = + (2.5) est appele la fonction de transfert de
modulation instantane FTM. Cette fonction caractristique, exprime
les effets du systme dans le domaine des frquences. La PSF donne
dans le cas dune lumire incohrente est proportionnelle au carr du
module de la PSF obtenue en clairage cohrent [22] selon la thorie
de la diffraction de Fraunhofer, on crit :
2
( , ) ( , )x y x yFTM T f f G f f= = (2.6) avec G (fx, fy)
reprsentant ici la fonction de transfert cohrente ; elle est donne
par :
1/21( , ) ( , ) ( , )exp 2 ( )x y x yG f f x y P x y i xf y f
dxdy = + (2.7)
lintrieur de la pupille o ailleurs. Cest la fonction pupillaire
caractristique du tlescope considr comme parfait ou sans
aberrations. La fonction ( , )x y , reprsente lamplitude complexe
de londe aprs son passage travers la perturbation atmosphrique et
la surface de la pupille gale 2
4D
ajoute comme facteur de normalisation. Si on reprend
lexpression(2.7) , on remarque que cette fonction, elle mme, est
une transforme de Fourier tel que [48] [49] :
[ ]1/21( , ) ( , ) ( , )x yG f f TF x y P x y=
Et lquation (2.6) devient :
[ ] 21( , ) ( , ) ( , )x yT f f TF x y P x y= (2.8) En
appliquant le thorme de Wiener -Khinchine (Annexe), on peut dire
que la fonction de transfert optique (FTO) nest rien dautre que
lauto-corrlation du produit ( , ). ( , )P x y x y dfinie par :
*1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yT f f x y x u y v P x y P x u
y v dxdy = + + + + (2.9) avec ,x yu f v f = = Cette expression
donne la distribution angulaire dintensit dans le plan image.
-
37
2.1.4 Rponse impulsionnelle du systme compos uniquement du
tlescope : Cest le cas simple o lon ignore leffet de la turbulence
atmosphrique. Cela consiste, par exemple, en lobservation dun point
source par un tlescope ayant une pupille circulaire de diamtre D.
Dans ce cas lexpression (2.9)devient [48] [49] [10] :
1( , ) ( , ) ( , )inst x yT f f P x y P x u y v dxdy= + + (2.10)
Cette expression donne le filtrage d, uniquement, la diffraction
sur la pupille du tlescope. Ce dernier tant bien sr, suppos sans
aberrations optiques (transmittance parfaite), la figure obtenue
sur le plan image est la tche dAiry (figure2.1). Le rayon de la
tche centrale, qui est de lordre de 1.22 D/ , dfinit la limite de
rsolution du systme impose par la diffraction.
Figure (2.1) : la reprsentation de la fonction pupille, et sa
transforme de Fourier qui est la tache dAiry.
-
38
2.1.5 Rponse du systme optique en prsence de la turbulence
atmosphrique : A la traverse de latmosphre, les fronts dondes
subissent une dgradation cause par les fluctuations de lindice de
rfraction. Celles-ci, tant lies la phase, donnent lieu des
variations alatoires de cette dernire, cela ce traduit par
lagitation et la distorsion de limage qui prend une forme
granulaire dans le plan image de linstrument dobservation, qui est
illustre dans lexpression donnant la fonction de transfert optique
(FTO), quation (2.9), elle reprsente une figure de tavelures, en
anglais speckle (figure (2.2)). Chaque grain du speckle a pour
dimension la tache dAiry D/ , o D est le diamtre de la pupille et
lextension spatiale de cette figure de speckle est de dimension
gale 0/ r ; elle est appele talement de limage d leffet de la
turbulence atmosphrique caractris par son paramtre de Fried r0. Du
fait de lvolution alatoire et rapide de la turbulence atmosphrique
dans le temps et dans lespace rendant lapproximation de linvariance
par translation non approprie, il est impratif de considrer le cas
isoplantique. Les observations en astronomie et les estimations
thoriques ont montr que ce domaine est de lordre de quelques
secondes darc. Etoile Turbulence Pupille tache dAiry Speckle Figure
(2.2) : formation de limage dans les deux cas, avec turbulence
et
sans turbulence.
-
39
2.1.6. Image instantane et image long temps de pose : Ltude de
la turbulence a mis en vidence les dgradations subies par les
fronts dondes issus de lobjet lors de sa traverse de la
perturbation atmosphrique : il y a une perte de cohrence
temporelle, une diminution du domaine isoplantique et une perte de
cohrence spectrale. Ainsi, des tavelures se forment dans limage,
ayant un temps de vie de quelques millisecondes. Limagerie
classique, qui utilise un temps de pose largement suprieur, moyenne
ces structures fines de limage, do une perte de linformation en
hautes frquences car lintensit observe en chaque point est
lintgration sur le temps de pose des intensits instantanes. Dans ce
cas, la FTO est videmment dgrade et sa frquence de coupure est le
diamtre r0/ , alors quen absence de perturbations, elle est gale
D/, o D reprsente la dimension maximale de la pupille ; donc ce
nest plus la dimension de la pupille qui limite la diffraction mais
la turbulence, par son paramtre de Fried r0. La fonction de
transfert optique moyenne (ou long temps pose) quon appelle aussi,
dans certains ouvrages, la fonction de transfert de speckle (FTS)
est donne par la moyenne de lexpression (2.9), [48] par : ( , )x
yFTS T f f=
*1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )FTS P x y P x u y v x y x u y v dxdy =
+ + + +
* 1( , ) ( , ) . ( , ) ( , )FTS x y x u y v P x y P x u y v dxdy
= + + + +
quon peut crire : ( , ). ( , )instrFTS B u v T u v= (2.11) avec
*( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yB u v B f f x y x u y v = = + + Lquation
(2.11) donne un rsultat important : en long temps de pose, la
fonction de transfert est le produit de la FTO du tlescope et la
fonction de transfert atmosphrique qui comme nous lavons vu, dans
le chapitre prcdent, est la fonction de cohrence de phase alors, on
peut crire la fonction de transfert, dans le cas du champ proche,
comme suit : [ ]*( , ) ( , ) exp ( , ) ( , )x y x u y v x y x u y v
+ + = + + ( ) ( )B B f
-
40
Comme il a t tabli prcdemment, en introduisant lexpression de la
fonction de structure de la phase on crit :
0
1( ) exp ( ) exp 3.442
fB f D fr = =
1 / 222( ) cos 1instr
f f fT f aD D D
= (2.12)
On suppose dans le calcul de ( )instrT f que le tlescope ne
possde pas dobstruction centrale. On remarque dans lquation(2.11)
que la longue pose a pour effet de moyenner les hautes frquences
qui taient prsentes dans la FTO instantane ( ( )B f qui tend
vers
zro trs rapidement, ds que 0 /f r ), comme le montre la figure
(2.3), o lon a reprsent des images obtenues par simulation dun
objet ponctuel dans les deux cas, court et long temps de pose. On
remarque bien que pour le deuxime cas, on obtient une tche dont le
diamtre angulaire varie en fonction de la valeur de r0.
-
41
Figure (2.3) : comparaison dimages obtenues par simulation entre
la FTO instantane et celle obtenue avec un long temps de pose o on
remarque leffet de moyenne des structures hautes frquences et cela
pour une longueur donde 548nm =
-
42
2.2. Etude du phnomne de lagitation et de ltalement : Parmi les
principaux effets des distorsions du front donde sur les images, on
a lagitation au foyer dun tlescope, celle-ci est due aux variations
alatoires de la phase et donc de langle darrive moyen sur la
pupille dentre du tlescope [48] [49]. 2.2.1. Fluctuation des angles
darrive AA: Dfini comme la normale en chaque point de la surface
donde dgrade par la turbulence, langle darrive, tmoignera de ses
caractristiques do le but de notre tude. On peut montrer que dans
les directions x et y les composantes de langle darrive, pour une
pupille finie circulaire de diamtre D seront donnes par [48]:
( ) ( )
( ) ( )
0
0
, ,2
, ,2
x y x yx
x y x yy
=
=
aprs diffraction travers la pupille on a :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
,4, ,2
,4, ,2
x yx y G x y
D x
x yx y G x y
D y
=
=
(2.13)
o G(x, y) reprsente la transmission en amplitude complexe de la
pupille et 0 ( , )x y la phase de londe arrivant au sol. 2.2.2. La
densit spectrale des fluctuations de l AA ( ( )yx ffW , ) : Cette
dernire peut tre donne sous forme dun produit de la DSP et la PSF
qui traduit le filtrage de la pupille. On aura donc comme
expression de la densit spectrale des fluctuations dangle darrive
:
( ) ( ) ( ) .,2,2
122yxxyx ffWfD
fDJfffW = (2.14)
Le terme en valeur absolue reprsente le filtrage par la pupille.
Pour simplifier ltude on considre que celle-ci est circulaire et
sans obstruction centrale. Dans ce qui suit en
-
43
prendra comme expression de la DSP celle de Von Krmn, en
ngligeant le facteur en l0 et en remplaant dans lexpression de (
)yx ffW , on aura :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
11/6 2max11 2 2 2 2 2
200
21, 0.3827 cos cosh
x y n x
J fDW f f C h dh f f h f
L h fD
= +
(2.15)
2.2.3. La fonction de structure des fluctuations d AA :
on crit la fonction exprimant la cohrence spatiale des
fluctuations dAA entre deux points, qui ne dpend que de la distance
les sparent, cette fonction est celle qon va mesurer est quon a
dfinit prcdemment, par la fonction de structure: [ ]( , ) 2 (0, 0)
( , )D x y B B x y = (2.16) Avec ( , )B x y reprsente la covariance
au point ( , )M x y celle ci nest rien dautre que la transforme de
Fourier inverse de la densit spectrale des fluctuations de la
phase, par suite on peut, aprs dveloppement, en faisant un
changement de variable en coordonnes polaire, crire la fonction de
structure tel que [48] [49] :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
11/6 2max11 2 3 2 2 2
200 0
0 2
21, 2.404 cos cos
1 2 cos( ) 2 .
h
n
J fDD r C h dh df f f h f
L h fD
J f r J f r
= +
+
(2.17) On peut distinguer deux types dagitation :
Agitation longitudinale, Si 0 = :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )[ ] .221
cos21cos404.20,
20
222
1
6/11
20
23
0
max
0
21
rfJrfJ
fhfD
fDJhL
ffdfdhhCrDh
n
+
+=
(2.18)
Agitation transversale, si2 = :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
11/6 2max11 2 3 2 2 2
200 0
0 2
21, 2.404 cos cos2
1 2 2 .
h
n
J fDD r C h dh df f f h f
L h fD
J f r J f r
= +
(2.19)
-
44
Dans notre tude on sintressera la fonction de structure
angulaire transverse et qui aura comme expression en posant hr =
dans lexpression prcdente :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )[ ] .221
cos21cos404.2
20
222
1
6/11
20
23
0
max
0
21
hfJhfJ
fhfD
fDJhL
ffdfdhhCDh
n
+
+=
(2.20)
2.2.4 Etude du phnomne de ltalement : Sur les images obtenues en
long temps de pose, lintens