E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Soluciones Tema 2: Aproximación e interpolación Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Septiembre 2008, Versión 1.5 Ejercicio 1 Queremos aproximar el valor 1 de sin(0.1). (a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 y calcula p 4 (0.1). (b) Calcula una cota superior de error absoluto y relativo que se produce cuando aproximamos sin(0.1) mediante p 4 (0.1). (c) Verifica el resultado comparando con el valor de sin(0.1) que propor- ciona la calculadora o Maple. Realiza los cálculos con 10 decimales. (a) El polinomio de McLaurin de orden 4 es p 4 = x − x 3 6 . Valor aproximado p 4 (0.1) = 0.0998333333. (b) Cota superior de error absoluto |R 4 (0.1)| ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (5) (ξ ) 5! (0.1) 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ 0.1 5 5! =0.8 33333 × 10 −7 (ξ entre 0 y 0.1). Tenemos, por lo tanto, al menos 6 decimales exactos en la aproximación. Cota superior de error relativo δ ' |R 4 (0.1)| |p 4 (0.1)| =0.8 34724 2073 × 10 −6 . Tenemos 6 dígitos significativos. (c) Error absoluto |e| = |sin(0.1) − p 4 (0.1)| =0.833135 × 10 −7 Error relativo |r| = |sin(0.1) − p 4 (0.1)| sin(0.1) =0.834525 × 10 −6 . Vemos que los errores reales son, en efecto, inferiores a las cotas de error obtenidas. ¤ 1 En los sucesivo, los ángulos están en radianes 1
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E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos
Soluciones Tema 2: Aproximación e interpolaciónFrancisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña
Septiembre 2008, Versión 1.5
Ejercicio 1 Queremos aproximar el valor1 de sin(0.1).
(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 y calcula p4(0.1).
(b) Calcula una cota superior de error absoluto y relativo que se producecuando aproximamos sin(0.1) mediante p4(0.1).
(c) Verifica el resultado comparando con el valor de sin(0.1) que propor-ciona la calculadora o Maple. Realiza los cálculos con 10 decimales.
(a) El polinomio de McLaurin de orden 4 es p4 = x− x3
6 . Valor aproximado
p4(0.1) = 0.0998333333.
(b) Cota superior de error absoluto
|R4(0.1)| ≤¯̄̄̄¯f (5)(ξ)5!
(0.1)5
¯̄̄̄¯ ≤ 0.155! = 0.8 33333× 10−7 (ξ entre 0 y 0.1).
Tenemos, por lo tanto, al menos 6 decimales exactos en la aproximación.Cota superior de error relativo
Vemos que los errores reales son, en efecto, inferiores a las cotas de errorobtenidas. ¤
1En los sucesivo, los ángulos están en radianes
1
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 2
Ejercicio 2 Consideramos la función sin(x).
(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 usando Maple.
(b) Representa conjuntamente la función seno y el polinomio en el inter-valo [−2, 2].
(c) Construye la expresión del valor absoluto del error absoluto
|e4(x)| = |R4(x)| = |sin(x)− p4(x)|
y represéntala en [−2, 2]. A partir del gráfico, determina una cotasuperior de error absoluto.
(d) Construye la función del valor absoluto del error relativo
|r4(x)| =¯̄̄̄sin(x)− p4(x)
sin(x)
¯̄̄̄represéntala en [−1, 1]. A partir del gráfico, determina una cota supe-rior de error relativo.
(a) El polinomio de McLaurin de orden 4 se puede construir con las órdenes∙> s4:=series(sin(x),x=0,5);p4:=convert(s4,polynom);
(b) La representación conjunta de sin(x) y p4(x) puede hacerse con£> plot([sin(x),p4],x=-2..2);
(c) La definición de |e4(x)| y su representación puede hacerse con las órdenes∙> e4:=abs(sin(x)-p4);plot(e4,x=-2..2);
Observando la gráfica, podemos obtener como cota superior de error |e4(x)| ≤0.25.(d) Una cota gráfica de error relativo es |r4(x)| ≤ 0.0097. ¤
Ejercicio 3 Consideramos la función cos(x).
(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 6.
(b) Determina una cota superior del error absoluto que se comente cuandoaproximamos cos(x) mediante el p6(x) en el intervalo [0, π4 ].
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 3
(a) Polinomio de McLaurin
p6(x) = 1−x2
2+x4
24− x6
720.
(b) Cota de error en [0,π/4]
|e6(x)| = |R6(x)| ≤sin (π/4)
7!
³π4
´7= 0.2 586× 10−4.
Cota mejorada. En el caso de f(x) = cos(x) se cumple
f (7)(0) = sin(0) = 0
y, por lo tanto los polinomios de MacLaurin de orden 6 y orden 7 coinciden
p6(x) = p7(x).
Podemos tomar la cota de error
|e6(x)| = |cos(x)− p6(x)| = |cos(x)− p7(x)|
= |R7(x)| =¯̄̄̄¯f (8)(t)8!
x8
¯̄̄̄¯ =
¯̄̄̄cos(t)
8!x8¯̄̄̄
≤ (π/4)8
8!= 0.3 591× 10−6.
El polinomio de McLaurin de orden 6 para cos(x) proporciona 5 decimalesexactos en el intervalo [0, π4 ]. ¤
Ejercicio 4 Queremos aproximar e0.5.
(a) Calcula el polinomio de McLaurin de orden 5.
(b) Calcula un cota superior del error absoluto y del error relativo quese produce cuando aproximamos e0.5 mediante p5(0.5). Verifica losresultados comparando los valores que se obtienen con la calculadorao con Maple.
(a) Polinomio de McLaurin
p5(x) = 1 + x+1
2x2 +
1
6x3 +
1
24x4 +
1
120x5.
Valor de la aproximación
p5(0.5) = 1. 64869 792.
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 4
(b) Cotas de error
|e5(0.5)| = |R5(0.5)| =¯̄̄̄¯f (6)(t)6!
(0.5)6
¯̄̄̄¯ ≤ e0.56! (0.5)6 ,
usamos la aproximación obtenida y tomamos
e0.5 ' 1.7,
entonces|e5(0.5)| ≤
1.7
6!(0.5)6 = 0.3 689× 10−4.
Tenemos 4 decimales exactos, el valor de la aproximación es
Ejercicio 6 Consideramos la siguiente tabla de datos
x 0 1 2
y −1 1 3.
(a) Plantea el sistema de ecuaciones que permite determinar el polinomiointerpolador de la tabla.
(b) Resuelve el sistema y determina el polinomio interpolador.
(c) Verifica los resultados con Maple.
(a) El polinomio interpolador es de la forma
p2(x) = a0 + a1x+ a2x2,
el sistema es ⎧⎨⎩a0 = −1,a0 + a1 + a2 = 1,a0 + 2a1 + 4a2 = 3.
.
(b) El sistema tiene solución
a0 = −1, a2 = 0, a1 = 2,
de donde obtenemos el polinomio
p2(x) = 2x− 1.
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 6
(c) Puedes construir el interpolador con las órdenes⎡⎣ > xx:=[0,1,2];yy:=[-1,1,3];p2:=interp(xx,yy,t);
obtendrás como resultado un polinomio en la variable t. La orden para ob-tener el polinomio con la variable x es£
> p2:=interp(xx,yy,x); ¤
Ejercicio 7 Consideremos la tabla de datos
x x0 x1 x2y y0 y1 y2
.
Puede demostrarse que el polinomio interpolador de la tabla p(x) queda de-terminado por la siguiente expresión¯̄̄̄
¯̄̄̄ 1 x x2 p(x)1 x0 x20 y01 x1 x21 y11 x2 x22 y2
¯̄̄̄¯̄̄̄ = 0.
(a) Usando la fórmula anterior, determina el interpolador de la tabla
x 0 1 2
y −1 1 3.
(b) Resuelve el apartado (a) con Maple.
(a) ¯̄̄̄¯̄̄̄ 1 x x2 p(x)1 0 0 −11 1 1 11 2 4 3
¯̄̄̄¯̄̄̄ = 0
calculando el determinante, resulta
−2 + 4x− 2p(x) = 0
y despejandop(x) = −1 + 2x.
(b) Solución con Maple. Cargamos la librería de álgebra lineal linalg£> with(linalg);
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 7
construimos la matriz£> m:=matrix([[1,x,x^2,p],[1,0,0,-1],[1,1,1,1],[1,2,4,3]]);
calculamos el determinante £> d:=det(m);
y resolvemos en p £> solve(d=0,p); ¤
Ejercicio 8 Consideramos la siguiente tabla de datos
x 0 1 2 −1y 0 1 3 0
.
(a) Determina un polinomio p(x) de grado menor o igual que 3 que inter-pole los valores de la tabla.
(b) ¿Hay algún polinomio de grado 3 que pase por los puntos de la tabla?¿Y de grado 4?
(c) Calcula el polinomio interpolador de la tabla con Maple.
(a) Si calculamos las diferencias divididas, resulta
x0 = 0 f [x0] = 0x1 = 1 f [x1] = 1 f [x0, x1] = 1
x2 = 2 f [x2] = 3 f [x1, x2] = 2 f [x0, x1, x2]=12
x3 = −1 f [x3] = 0 f [x2, x3] = 1 f [x1, x2, x3]=12 f [x0, x1, x2, x3] = 0
El polinomio interpolador es
p2(x) = x+1
2x (x− 1) ,
si operamos (no es necesario) obtenemos
p2(x) =1
2x+
1
2x2.
(b) No hay ningún polinomio de grado 3 que pase por los cuatro puntos, lospuntos están sobre una parábola. Hay infinitos polinomios de grado 4 queinterpolan los puntos de la tabla.
(c) Las órdenes son⎡⎣ > xx:=[0,1,2,-1];yy:=[0,1,3,0];p2:=interp(xx,yy,x);
¤
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 8
Ejercicio 9 Calcula los polinomios de grado 2 que para x = 1 y x = −1toman el valor 1.
Interpolamos con los datos, donde hemos añadido un nodo y le hemos dadoel valor arbitrario a
x 1 −1 0
y 1 1 a.
Construimos la tabla de diferencias
x0 = 1 f [x0] = 1x1 = −1 f [x1] = 1 f [x0, x1] = 0
x2 = 0 f [x2] = a f [x1, x2] = a− 1 f [x0, x1, x2]=a−1−1 = 1− a
de donde resulta el interpolador
p2(x) = 1 + (1− a)(x− 1)(x+ 1)= (1− a)x2 + a. ¤
Ejercicio 10 Aproxima2 log(4).
(a) Mediante interpolación lineal a partir de los valores
log(3) = 0. 47712 12, log(5) = 0. 6989700.
(b) Mediante interpolación parabólica usando los valores del apartado an-terior y, además, log(4.5) = 0.6532125.
(c) Determina cotas superiores para el error absoluto y relativo.
(d) Compara los valores obtenidos con el valor de log(4) que proporcionala calculadora. Calcula el error absoluto y relativo correspondientes acada caso y verifica la corrección de las cotas superiores de error.
Este ejercicio está resuelto en las páginas 25—27 del libro de Dominguez,Gilibets y Puente.(a) Interpolación lineal p1(4) = 0.5880456.(b) Interpolación cuadrática p2(4) = 0.6009852.
2 log(x) representa el logaritmo decimal. Recuerda que
d
dxlog(x) =
1
x ln(10)
donde ln(x) representa el logaritmo neperiano.
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 9
(c) Cotas error interpolación lineal
|e1(4)| ≤ 0.2413× 10−1, |r1(4)| ≤ 4.103× 10−2,
cotas error interpolación cuadrática
|e2(4)| ≤ 0.268× 10−2, |r2(4)| ≤ 4.461× 10−3.
(d) Errores interpolación lineal
|e1(4)| = 0.14014× 10−1, |r1(4)| = 2.328× 10−2,
errores interpolación cuadrática
|e2(4)| = 0.10748× 10−2, |r2(4)| = 1.785× 10−3. ¤
Ejercicio 11 Consideramos la siguiente tabla de datos
x −2 −1 0 1 2
y 1 4 11 16 a.
(a) Calcula el polinomio p(x) que interpola los cuatro primeros puntos dela tabla.
(b) ¿Qué valor debe tener a para que el polinomio que interpola los cincopuntos coincida con el del apartado anterior?
(c) Determina con Maple el polinomio que interpola los 4 primeros puntosde la tabla.
(d) Determina con Maple todos los polinomios de grado 4 que interpolanlos valores de la tabla.
(a) La tabla de diferencias divididas es
x0 = −2 f [x0] = 1x1 = −1 f [x1] = 4 f [x0, x1] = 3
x2 = 0 f [x2] = 11 f [x1, x2] = 7 f [x0, x1, x2]= 2
x3 = 1 f [x3] = 16 f [x2, x3] = 5 f [x1, x2, x3]= −1 f [x0, x1, x2, x3] = −1
(b) Con la elección de nodos x0 = 2, x1 = 4, x̄2 = 5, resulta
x0 = 2 f [x0] = 2x1 = 4 f [x1] = 12 f [x0, x1] = 5
x̄2 = 5 f [x̄2] = 21 f [x1, x̄2] = 9 f [x0, x1, x̄2]=43
p̄2(x) = 2 + 5 (x− 2) + 43(x− 2) (x− 4) .
p̄2(3) = 2 + 5− 43=17
3= 5. 6667.
Si operamos, resulta
p̄2(x) =8
3− 3x+ 4
3x2.
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 13
(c) Si tomamos los nodos
x0 = 1, x1 = 2, x2 = 4, x3 = 5, x4 = 6,
y formamos la tabla de diferencias, obtenemos
f [x0] = 0, f [x0, x1] = 2, f [x0, x1, x2] = 1,
f [x0, x1, x2, x3] =1
12, f [x0, x1, x2, x3, x4] = −
1
30,
resulta
p4(x) = 2 (x− 1) + (x− 1) (x− 2) + 1
12(x− 1) (x− 2) (x− 4)
− 130(x− 1) (x− 2) (x− 4) (x− 5)
p4(3) = 4 + 2− 2
12− 4
30= 5.7. ¤
Ejercicio 15 Consideramos la integral
v =
Z 1
0e−x
2dx
Es bien sabido que la función f(x) = e−x2no tiene primitivas que puedan
expresarse como combinación sencilla de funciones elementales. Para apro-ximar el valor de la integral, podemos construir un polinomio interpoladory calcular su integral.
(a) Calcula el polinomio p2(x) que interpola a f(x) en los nodos
x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1.
(b) Construye con Maple una representación conjunta de f(x) y p2(x).
(c) Calcula el valor
v̄ =
Z 1
0p2(x) dx.
(d) Calcula con Maple un valor aproximado de v. Determina el error ab-soluto que se produce cuando aproximamos v mediante la integral delpolinomio interpolador.
(e) Repite todo el ejercicio tomando ahora 5 puntos igualmente repartidosen el intervalo y un polinomio de grado 4. Para obtener 5 nodosigualmente espaciados en [a, b], hacemos
xj = a+ jh, j = 0, 1, 2, 3, 4. h =b− a4.
En nuestro caso es, h = 0.25 y resulta
x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.50, x3 = 0.75, x4 = 1.
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 14
(a) Usamos la función f(x) = e−x2para calcular los valores
x 0 0.5 1
y 1 0.77880 0.36788
La tabla de diferencias es
x0 = 0 f [x0] = 1x1 = 0.5 f [x1] = 0.77880 f [x0, x1] = −0. 44240x2 = 1 f [x2] = 0.36788 f [x1, x2] = −0. 82184 f [x0, x1, x2]= −0. 37944
Interpolador
p2(x) = 1− 0. 44240x− 0. 37944x (x− 0.5) .
(b) La representación conjunta se puede construir como sigue⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
La orden yy:=map(evalf,yy); aplica evalf sobre la lista de valores y laguarda con el mismo nombre. La opción colour=[black,red]asigna orde-nadamente colores a las gráficas.
(c) Para integrar, escribimos el polinomio en la forma
p2(x) = 1− 0. 25268x− 0. 37944x2
v̄ =
Z 1
0p2(x)dx = 1−
0. 25268
2− 0. 37944
3= 0. 74718.
(d) Si tenemos definida f(x) = e−x2como función con la orden£
> f:=x->exp(-x^2);
calculamos la integral con∙> v:=int(f(x),x=0..1);vf:=evalf(v);
Desarrollamos por la primera columna y obtenemos¯̄̄̄¯̄̄̄ x x2 x3 p(x)− 11 0 0 11 1 1 11 2 3 −1
¯̄̄̄¯̄̄̄ = 0
Operamos ahora por columnas, restando la primera a la cuarta columna¯̄̄̄¯̄̄̄ x x2 x3 p(x)− 1− x1 0 0 01 1 1 01 2 3 −2
¯̄̄̄¯̄̄̄ = 0
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 18
desarrollamos por 2a fila¯̄̄̄¯̄ x
2 x3 p(x)− 1− x1 1 02 3 −2
¯̄̄̄¯̄ = 0
restamos la primera columna a la segunda¯̄̄̄¯̄ x
2 x3 − x2 p(x)− 1− x1 0 02 1 −2
¯̄̄̄¯̄ = 0
y desarrollamos por 2a fila¯̄̄̄x3 − x2 p(x)− 1− x1 −2
¯̄̄̄= 0
finalmente−2x3 + 2x2 − p(x) + 1 + x = 0
de donde obtenemos
p(x) = −2x3 + 2x2 + 1 + x. ¤
Ejercicio 19 Para un objeto móvil, conocemos la posición (en metros) y lavelocidad (en m/s) en los instantes t = 4 s y t = 5 s. Estima el valor de laposición y la velocidad para t = 4.5 s.
t 4. 5.
e(t) 40 65
v(t) 1 −1
La tabla de diferencias divididas es
t0 = 4 f [t0] = 40t0 = 4 f [t0] = 40 f [t0, t0] = 1
t1 = 5 f [t1] = 65 f [t0, t1] = 25 f [t0, t0, t1]= 24
t1 = 5 f [t1] = 65 f [t1, t1] = −1 f [t0, t1, t1] = −26 f [t0, t0, t1, t1] = −50Polinomio interpolador
Estimación de la velocidad, representamos por v(t) la velocidad
v(4.5) ' H 03(4.5) = 37. 5 ¤
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 19
Ejercicio 20 Demuestra que el máximo absoluto de la función
h(x) = (x− x0)2 (x− x1)2
sobre el intervalo [x0, x1] se produce en
xM =x0 + x12
y que el valor del máximo es
M = maxx∈[x0,x1]
h(x) =(x1 − x0)4
16.
La función objetivo es
h(x) = (x− x0)2 (x− x1)2
Queremos obtener el máximo absoluto sobre [x0, x1]. Se trata de un problemade extremos absolutos sobre intervalo cerrado. Observemos que h(x) escontinua en todo R. Los posibles extremos se pueden producir en x = x0,x = x1 y en los puntos críticos interiores.