ETO w Inżynierii Chemicznej

ETO w Inżynierii Chemicznej

MathCAD wykład 2.

Zagadnienie brzegowe Problem dotyczy równań różniczkowych

rzędu co najmniej II lub układów równań różniczkowych

Warunki brzegowe podane są na przeciwległych końcach przedziału rozwiązania

Metody numeryczne (zwykle) wymagają warunków początkowych (skupionych w jednym miejscu)

Równanie różniczkowe II-go rzędu

Ma dwa warunki brzegowe. Mogą one dotyczyć różnych punktów przedziału

yyxfy ,,

a b

A

B

Ay dla ax By dla bx

Zagadnienie brzegowe

Inny typ warunków brzegowych

Ay ' dla ax By dla bx

a btg=A

B


Aby wystartować z obliczeniami potrzebne są warunki takie jak poniżej

By dla ax Ay dla ax

a btg=A


B

Konieczne jest znalezienie brakujących wartości na jednym z krańców przedziału

Warunki dane Warunki do odgadnięcia

yA, yB y’A lub y’B

yA, y’B y’A lub yB

y’A, yB yA lub y’B



Jak określić brakujące wartości początkowe??!!

1. Założyć brakujące wartości

2. Przeprowadzić obliczenia dowolna metodą do końca przedziału

3. obliczamy różnicę wyliczone i danej wartości zmiennej zależnej na końcu przedziału

4. Jeżeli różnica jest zbyt duża to zmienić założone wartości początkowe i przejść do punktu 2

Zagadnienie brzegowe Przykład:

Dla poniższego układu dwóch równań różniczkowych dane są warunki brzegowe

(przedział <a,b>): y1a, y1b

Aby rozpocząć obliczenia potrzebna jest wartość y2a

1. Zakładamy y2a

2. Obliczamy y1, y2 aż x osiągnie wartość b

3. Obliczami różnicę e= |y2b(obliczone)-y2b,(dane)|

4. Jeżeli e>edop zmieniamy y2a i powrót do p. 2

212

211

,,

,,

yyxfdx

dy

yyxfdx

dy

Zagadnienie brzegowe Elementy potrzebne by rozwiązać zagadnienie

brzegowe:

1. Układ równań

2. Granice przedziału rozwiązania układu równań

3. Wartości zgadywane warunku początkowego

4. Znane startowe wartości punktu początkowego

5. Funkcja obliczająca błąd na przeciwległej do startowego granicy przedziału

Zagadnienie brzegowe W MathCADzie do znajdowania brakujących warunków startowych służy

procedura

sbval(v, a, b, D, S, B) v – wektor startowy poszukiwanych wartości w punkcie startowym a a, b – granice obszaru rozwiązania D – wektor prawych stron równań układu rr. I-go rzędu, zmienne

zależne muszą być typu wektorowegomuszą być typu wektorowego S – funkcja wektorowa definiująca wszystkie warunki początkowe w

punkcie rozpoczęcia obliczeń, pierwszym argumentem jest dowolna zmienna drugim argumentem musi być wektor v a jej elementami składowe

tego wektora i znane warunki początkowe B – funkcja, określająca błąd (różnice między wartościami

obliczonych i danymi) na drugim krańcu przedziału pierwszym argumentem jest dowolna zmienna Drugim argumentem jest wektor zmiennych zależnych


Wynik działania procedury

sbval(v, a, b, D, S, B)

to wektor BRAKUJĄCYCH wartości warunku początkowego



MathCAD Obliczenia symboliczne

Obliczenia symboliczne wywołuje się z palety Symbolic lub kombinację klawiszy:

[ctrl][.] operacje bezpośrednie [shift][ctrl][.] operacje złożone (z

dodatkowym poleceniem)

Obliczenia symboliczne proste

Dotyczące macierzy Obliczenia granicSumy IloczynuCałkowanie nieoznaczoneRóżniczkowanie

UWAGA: przed operacją symboliczną NIE MOŻE być przypisana wartość zmiennej niezależnej! Przypisanie wartości parametrom spowoduje podstawienie ich podczas operacji symbolicznej

Wybrane operacje symboliczne złożone

Podstawienie Wpisać równanie, [ctrl][shift][.] substitute,

równanie_podstawienia Wymnażanie

Wpisać wyrażenie, [ctrl][shift][.] expandRozkład wyrażeń/liczb na czynniki

Wpisać wyrażenie, [ctrl][shift][.] factorUpraszczanie

Wpisać wyrażenie, [ctrl][shift][.] simplify

Rozkład na ułamki proste Wpisać wyrażenie, [ctrl][shift][.]

convert,parfrac, zmiennaRozwijanie w szereg Taylora

Wpisać wyrażenie, [ctrl][shift][.] series, zmienna = punkt, rząd_rozwinięcia

Rozwiązywanie równań Wpisać wyrażenie [ctrl][shift][.] solve,

zmienna Zakłada wynik wyrażenia równy 0

Wybrane operacje symboliczne złożone

Operacje symboliczne złożone

Rozwiązywanie układów równań Wpisać Given Wpisać równania find(zmienna1, zmienna2,..) [ctrl][.]

Obliczenia z wykorzystaniem jednostek miar

MathCAD dysponuje jednostkami w układzie SI, MKS, CGS i U.S.

Do liczby jednostkę dopisuje się za liczbą, MathCAD dodaje SAM znak mnożenia, który znika po zatwierdzeniu [Enter]

Program zna większość przeliczników jednostek. Można też je definiować: Jednostka_pochodna:=mnożnik*jednostka_podstawowa,

np.:kPa:=1000*Pa

Niezależnie od jednostek użytych w danych wynik jest podany w jednostkach podstawowych z aktualnie wybranego układu jednostek miar

Obliczenia z wykorzystaniem jednostek miar

Można zmienić jednostkę wyświetlania wyniku kliknąć w wynik W pustym polu (czarny prostokąt) wpisać

pożądaną jednostkę

Dane do obliczeń

Korzystanie z tabel danych

Tablice w formacie swobodnym: podobne do macierzy lecz z możliwością dynamicznej zmiany ilości wierszy i kolumn Menu: Insert/Component/Input Table



Zewnętrzne pliki z danymi, pliki w formatach rozpoznawalnych przez MathCADa (text, MatLab, QuattroPro, Lotus123, dBaseIII) Menu: Insert/Component/File Read or

Write


Korzystanie z tabel danychArkusze Excela, umożliwiają operacje

dostępne w Excelu. Należy podać zakres komórek, w których mieszczą się dane wyjściowe. Zakresów może być kilka Każdy zakres to osobna zmienna Wszystkie zmienne tworzą wektor, który

wypełnia się nazwami zmiennych Wywołanie zmiennych jak dla zmiennych

wektorowych lub macierzowych Zawartość może być zarówno liczbą jak i

tekstem

Wektor zmiennych

Korzystanie z danych zewnętrznych do obliczeń w MathCADzie

Dane zewnętrzne do obliczeń w MathCADzie to zwykłe pliki MathCADa z odpowiednią zawartością

Dostęp do tych plików umożliwia dołączenie pliku poprzez menu: Insert/References, w okienku wpisuje się adres pliku (można skorzystać z wyszukiwania: Browse)

Korzystanie z danych zewnętrznych do obliczeń w MathCADzie

Arkusz dołączony korzysta ze zmiennych arkusz głównego jak i własnych, które obowiązują w arkuszu głównym poniżej miejsca dołączenia

Arkusz dołączony przyjmuje ustawienia arkusza głównego (ważne np. przy wykorzystaniu indeksów macierzowych)

Adres pliku dołączonego może być bezwzględny lub względny (odniesiony do położenia pliku głównego). Opcja dostępna jest po zapisaniu pliku głównego na dysku.

ETO w Inżynierii Chemicznej

Documents