Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário 1
Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário
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Sistemas de Segunda Ordem
• São sistemas diferenciais que envolvem derivadas segundas da saída. Exemplo de função de transferência da malha fechada:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐾
𝐽𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾
• Pode ser reescrita como:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐾𝐽
𝑠 +𝐵2𝐽
+𝐵2𝐽
2
−𝐾𝐽
𝑠 +𝐵2𝐽
−𝐵2𝐽
2
−𝐾𝐽
2
Sistemas de Segunda Ordem
• É mais conveniente definirmos: 𝐾
𝐽= 𝑤𝑛
2 𝑒 𝐵
𝐽= 2ζ𝑤𝑛 = 2𝜎
ζ =𝐵
𝐵𝑐=
𝐵
2 𝐽𝐾
• Resultando na chamada forma-padrão: 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝑤𝑛2
𝑠2 + 2ζ𝑤𝑛𝑠 + 𝑤𝑛2
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Sistemas de Segunda Ordem
• Parâmetros:
• 𝜎: atenuação.
• 𝑤𝑛: frequência natural não amortecida.
• ζ: coeficiente de amortecimento.
• B: amortecimento real.
• 𝐵𝑐: amortecimento crítico.
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Sistemas de Segunda Ordem
• O comportamento dinâmico pode ser descrito em termos dos parâmetros ζ e 𝑤𝑛.
• Se 0 < ζ < 1 os pólos de malha fechada são complexos conjugados, o sistema é chamado subamortecido e a resposta transitória é oscilatória.
• Se ζ = 0 a resposta transitória não decai.
• Se ζ = 1 o sistema é chamado criticamente amortecido.
• Se ζ > 1 o sistema é chamado superamortecido.
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema subamortecido (0 < ζ < 1):
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝑤𝑛2
(𝑠 + ζ𝑤𝑛 + 𝑗𝑤𝑑)(𝑠 + ζ𝑤𝑛 − 𝑗𝑤𝑑)
onde 𝑤𝑑 = 𝑤𝑛 1 − ζ2 é chamada frequência natural amortecida do sistema.
• Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 = 1
𝑠 , temos:
𝐶 𝑠 =𝑤𝑛
2
𝑠2 + 2ζ𝑤𝑛𝑠 + 𝑤𝑛2 𝑠
=𝑤𝑛
2
𝑠2 + 2ζ𝑤𝑛𝑠 + 𝑤𝑑2 + (ζ𝑤𝑛)2 𝑠
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema subamortecido (0 < ζ < 1):
• Expandindo em frações parciais:
𝐶 𝑠 =1
𝑠−
𝑠 + ζ𝑤𝑛
𝑠 + ζ𝑤𝑛2 + 𝑤𝑑
2 −ζ𝑤𝑛
𝑠 + ζ𝑤𝑛2 + 𝑤𝑑
2
• A transformada inversa de Laplace é:
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡 cos 𝑤𝑑 𝑡 +ζ
1 − ζ2sin𝑤𝑑 𝑡
𝑐 𝑡 = 1 −𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡
1 − ζ2sin 𝑤𝑑𝑡 + tan−1
1 − ζ2
ζ
para 𝑡 ≥ 0.
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema subamortecido (0 < ζ < 1):
• Para 𝑤𝑛 = 1 e diferentes valores de zeta:
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema subamortecido (0 < ζ < 1):
𝑐 𝑡 = 1 −𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡
1 − ζ2sin 𝑤𝑑𝑡 + tan−1
1 − ζ2
ζ
para 𝑡 ≥ 0.
• Podemos observar que a frequência de oscilação transitória é a frequência natural amortecida do sistema 𝑤𝑑.
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema subamortecido (0 < ζ < 1):
• Erro pode ser calculado como:
𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝑐 𝑡
= 𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡 cos𝑤𝑑𝑡 +ζ
1 − ζ2sin 𝑤𝑑𝑡
para 𝑡 ≥ 0.
• O erro possui uma oscilação senoidal amortecida e é anulado em regime permanente (𝑡 → ∞).
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema com ζ = 0:
𝑐 𝑡 = 1 − cos 𝑤𝑛𝑡 , para 𝑡 ≥ 0.
• A resposta não é amortecida e as oscilações continuam indefinidamente.
• 𝑤𝑛 é a frequência natural do sistema sem amortecimento
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema criticamente amortecido (ζ = 1):
• Os dois pólos são iguais, resultando na seguinte saída:
𝐶 𝑠 =𝑤𝑛
2
𝑠 + 𝑤𝑛2𝑠
• A transformada inversa de Laplace é:
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑤𝑛𝑡 1 + 𝑤𝑛𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema criticamente amortecido (ζ = 1):
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema superamortecido (ζ > 1):
• Os pólos são reais, não negativos e diferentes:
𝐶 𝑠 =𝑤𝑛
2
𝑠 + ζ𝑤𝑛 + 𝑤𝑛 ζ2 − 1 𝑠 + ζ𝑤𝑛 − 𝑤𝑛 ζ2 − 1 𝑠
• A transformada inversa da equação é:
𝑐 𝑡 = 1 +𝑤𝑛
2 ζ2 − 1
𝑒− ζ+ ζ2−1 𝑤𝑛𝑡
ζ + ζ2 − 1−
𝑒− ζ− ζ2−1 𝑤𝑛𝑡
ζ − ζ2 − 1,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema superamortecido (ζ > 1):
• De acordo com o valor de ζ, uma das exponenciais decrescentes predominam e o sistema pode ser aproximado a uma resposta de primeira ordem com a resposta:
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒− ζ− ζ2−1 𝑤𝑛𝑡
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0.
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema superamortecido (ζ > 1):
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para os diferentes valores de ζ:
17 Para 𝑤𝑛 = 1. Para 𝑤𝑛 = 0.5.
Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para os diferentes valores de ζ:
• Se os sistemas tiverem o mesmo valor de ζ, mas valores de 𝑤𝑛 diferentes, eles irão apresentar os mesmos sobre-sinais e andamento oscilatório. Portanto, diz-se que eles possuem a mesma estabilidade relativa.
• Um sistema com ζ entre 0,5 e 0,8 se aproxima do valor final mais rapidamente que do que um sistema criticamente amortecido ou superamortecido.
• Entre os que não apresentam oscilação, o criticamente amortecido se aproxima mais rapidamente.
• O sistema superamortecido é sempre mais lento. 18
Sistemas de Segunda Ordem
• Análise da resposta transitória:
• Os sistemas possuem energia armazenada e não conseguem responder instantaneamente.
• Resposta transitória acontece sempre que o sistema estiver sujeito a um sinal de entrada ou distúrbio.
• Geralmente, as características de desempenho de um sistema de controle são especificadas de acordo com a resposta ao degrau unitário.
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Análise de Resposta Transitória
• Na prática, antes de atingir o regime permanente, a resposta apresenta oscilações amortecidas. E assim, define-se o seguinte:
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• Tempo de atraso 𝑡𝑑
• Tempo de subida 𝑡𝑟
• Tempo de pico 𝑡𝑝
• Máximo sobre-sinal 𝑀𝑝
• Tempo de acomodação 𝑡𝑠
Análise de Resposta Transitória
• Especificações:
• Tempo de atraso, 𝑡𝑑, é o tempo requerido para que a resposta alcance metade do valor final pela primeira vez.
• Tempo de subida, 𝑡𝑟, é o tempo requerido para que a resposta passe de 10% a 90% do valor final.
• Tempo de pico, 𝑡𝑝, é o tempo para que a
resposta atinja o primeiro pico de sobre-sinal.
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Análise de Resposta Transitória
• Máximo sobre-sinal, 𝑀𝑝, é o valor máximo de
pico da curva medida a partir da unidade. É comum utilizar em porcentagem. Indica diretamente a estabilidade relativa do sistema:
𝑀𝑝 =𝑐 𝑡𝑝 − 𝑐(∞)
𝑐(∞)× 100
• Tempo de acomodação, 𝑡𝑠, é o tempo necessário para que a resposta alcance valores em uma faixa (2% ou 5%) em torno do valor final, permanecendo aí indefinidamente.
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Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário:
• Tempo de subida: precisamos encontrar 𝑐 𝑡𝑟 = 1.
𝑐 𝑡𝑟 = 1 − 𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡𝑟 cos𝑤𝑑 𝑡𝑟 +ζ
1 − ζ2sin𝑤𝑑 𝑡𝑟
Como 𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡𝑟 não é igual a 0 nunca, então
cos𝑤𝑑 𝑡𝑟 +ζ
1 − ζ2sin𝑤𝑑 𝑡𝑟 = 0
tan𝑤𝑑𝑡𝑟 =1 − ζ2
ζ= −
𝑤𝑑
𝜎
𝑡𝑟 =1
𝑤𝑑tan−1 −
𝑤𝑑
𝜎
• Portanto, para um menor 𝑡𝑟 utiliza-se um 𝑤𝑑 maior.
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Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário : • Tempo de pico: pode ser obtido derivando-se a resposta no tempo e
igualando a 0.
𝑑𝑐 𝑡
𝑑𝑡= ζ𝑤𝑛𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡 cos𝑤𝑑 𝑡 +
ζ
1 − ζ2sin 𝑤𝑑 𝑡
+ 𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡 𝑤𝑑sin 𝑤𝑑 𝑡 −ζ𝑤𝑑
1 − ζ2cos𝑤𝑑 𝑡
𝑑𝑐 𝑡
𝑑𝑡 𝑡=𝑡𝑝
= 𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡𝑝𝑤𝑛
1 − ζ2sin 𝑤𝑑 𝑡𝑝
sin 𝑤𝑑 𝑡𝑝 = 0
𝑤𝑑𝑡𝑝 = 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, …
• Como o tempo de pico corresponde ao primeiro pico, então 𝑤𝑑𝑡𝑝 = 𝜋 e 𝑡𝑝 =
𝜋
𝑤𝑑.
• O tempo de pico corresponde a meio ciclo da frequência de oscilação amortecida.
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Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário :
• Máximo sobre-sinal:
𝑀𝑝 = 𝑐 𝑡𝑝 − 1
= 𝑒−ζ𝑤𝑛 𝜋 𝑤𝑑 cos 𝜋 +ζ
1 − ζ2sin 𝜋
𝑀𝑝 = 𝑒− 𝜎 𝑤𝑑 𝜋 = 𝑒− ζ 1−ζ2 𝜋
𝑀𝑝 % = 𝑀𝑝 × 100
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Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário :
• Tempo de acomodação:
• Existem curvas envoltórias a resposta 1 ±𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡
1−ζ2:
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Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário :
• Tempo de acomodação: • A constante de tempo das envoltórias é 𝑇 =
1 ζ𝑤𝑛 .
• O tempo de acomodação pode ser medido através dessa constante
𝑡𝑠 = 4𝑇 =4
ζ𝑤𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 2%
𝑡𝑠 = 3𝑇 =3
ζ𝑤𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 5% 27
Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário :
• O valor do tempo de acomodação é inversamente proporcional a ζ e 𝑤𝑛.
• O valor de ζ é em geral determinado a partir da especificação do sobre-sinal máximo.
• Portanto, o valor do tempo de acomodação é determinado principalmente pela frequência natural não amortecida 𝑤𝑛.
• Todas essas equações foram obtidas para a forma-padrão do sistema de segunda ordem e portanto só valem para esses sistemas.
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Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário :
• Relação entre o máximo sobre-sinal e ζ :
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta para sistemas de segunda ordem com entrada impulso unitário: • A resposta ao impulso unitário (𝑅 𝑠 = 1) é:
𝐶(𝑠) =𝑤𝑛
2
𝑠2 + 2ζ𝑤𝑛𝑠 + 𝑤𝑛2
• As transformadas inversas de Laplace são: • Para 0 ≤ ζ < 1:
c t =𝑤𝑛
1 − ζ2𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡 sin 𝑤𝑛 1 − ζ2 𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
• Para ζ = 1:
c t = 𝑤𝑛2𝑡𝑒−𝑤𝑛𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
• Para ζ > 1:
c t =𝑤𝑛
2 1 − ζ2𝑒−(ζ− ζ2−1)𝑤𝑛𝑡 − 𝑒−(ζ+ ζ2−1)𝑤𝑛𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta para sistemas de segunda ordem com entrada impulso unitário:
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Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta para sistemas de segunda ordem com entrada impulso unitário:
• No caso de subamortecimento a resposta oscila em torno de zero a assume valores negativos e positivos.
• No caso do amortecimento crítico e superamortecimento a resposta é sempre positiva ou nula.
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Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada impulso unitário:
• Tempo de pico:
𝑡𝑝 =tan−1 1 − ζ2
ζ
𝑤𝑛 1 − ζ2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < ζ < 1
• Máximo sobre-sinal:
𝑀𝑝 = 𝑤𝑛 exp −ζ
1 − ζ2tan−1
1 − ζ2
ζ, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < ζ < 1
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Análise de Resposta Transitória
• Análise com o MATLAB:
• Para encontrar as especificações para a entrada degrau unitário basta usar a função stepinfo(sys)
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freqN = 1; zeta = 0.6; num = [freqN*freqN]; den = [1 2*zeta*freqN freqN*freqN]; sys = tf(num,den) stepinfo(sys)