-
Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 1
01 Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos
O estudo de sistemas dinmicos envolve a modelagem matemtica, a
anlise e a simulao de sistemas fsicos de interesse da engenharia,
tais como os sistemas mecnicos, eltricos, hidrulicos, pneumticos e
trmicos. Tambm so de particular importncia os sistemas hbridos,
resultantes da combinao de dois ou mais dos sistemas citados.
Devemos, entretanto, ressaltar que a teoria dos sistemas dinmicos
pode ser aplicada a outros tipos de sistemas, tais como sistemas
biolgicos, econmicos, etc.
Iniciaremos nosso estudo com o conceito de sistema,
diferenciando imediatamente um
sistema dinmico de um sistema esttico. Aps apresentarmos os
vrios sistemas dinmicos fsicos usados em engenharia, conceituaremos
excitao e resposta de um sistema e, em seguida, i os atravs de um
exemplo o procedimento para a modelagem e a anlise de um sistema d
Em seguida, depois de abordarmos rapidamente a representao da
dinmica de um sistema por diagramas de blocos, faremos uma
classificao didtica dos sistemas dinmicos de acordo com vrios
critrios. Tal classificao til por estar muito vinculada
matematicamente com a modelagem. Por fim, examinaremos alguns tipos
de resposta (comportamento) que um sistema dinmico pode apresentar.
1 O QUE UM SISTEMA?
Conjunto de componentes interconectados, que apresentam certas
relaes de causa e efeito e que atuam como um todo, com um
determinado objetivo.
Sistema
importante diferenciar um sistema esttico de um sistema dinmico.
O sistema
esttico aquele em que as propriedades descritivas do sistema no
variam com o tempo, podendo variar espacialmente. J no sistema
dinmico tais propriedades variam no tempo, podendo tambm variar
espacialmente. Exemplo de sistema esttico: viga carregada
estaticamente, isto , com cargas constantes, pois os deslocamentos
de seus pontos variam espacialmente mas no com o tempo. Exemplo de
sistema dinmico: a mesma viga carregada dinamicamente, ou seja, com
cargas que mudam com o tempo, pois os deslocamentos de seus pontos
variam tambm com o tempo. Neste curso estudaremos apenas os
sistemas dinmicos. Os sistemas dinm emos ter sistemas econmicos,
sistemas bio icos, sistemas de trnsito, etc. Neste te istemas que
mais interessam engenharia:
icos no so necessariamente de natureza fsica. Podlgicos,
sistemas de informao, sistemas ecolg
xto, porm, sero tratados exclusivamente os slustrareminmico.
-
Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 2
sistemas mecnicos sistemas eltricos sistemas hidrulicos sistemas
trmicos sistemas pneumticos sistemas hbridos
Vamos tecer algumas consideraes sobre esses tipos de sistemas.
sistemas mecnicos
So sistemas que possuem massas e/ou inrcias, as quais armazenam
energia cintica e potencial gravitacional, assim como elementos
armazenadores de energia potencial elstica (molas) e dissipadores
de energia mecnica (amortecedores). Normalmente, suas entradas so
foras, torques ou deslocamentos. Tambm podem ser colocados em
movimento atravs da imposio de condies iniciais, tais como
deslocamentos iniciais e/ou velocidades iniciais.
Um automvel um exemplo bastante familiar de um sistema mecnico.
Ele apresenta
uma resposta dinmica durante aceleraes, frenagem, deslocamentos
em curvas, passagens sobre irregularidades do terreno, etc. Uma
aeronave em vo tambm constitui um exemplo de sistema mecnico: ela
tem uma resposta dinmica s mudanas de velocidade, altitude e
manobras. Estruturas de edifcios podem apresentar uma resposta
dinmica a carregamentos externos, tais como vento, tremores de
terra, etc.
sistemas eltricos
Normalmente so constitudos por circuitos eltricos que possuem
componentes passivos, tais como resistores (dissipadores de energia
eltrica), capacitores e indutores (armazenadores de energia
eltrica), os quais so excitados por geradores de voltagem ou
corrente. J os circuitos eletrnicos envolvem tambm o emprego de
transistores e amplificadores. Devido disponibilidade e ao controle
que temos sobre a energia eltrica, os sistemas eltricos so os que
mais esto presentes na nossa vida diria: circuitos eltricos
domsticos, motores eltricos, receptores de TV, rdios, aparelhos de
som, computadores, etc. sistemas fluidos
Classificam-se em dois grandes grupos, conforme a natureza do
fluido utilizado: sistemas hidrulicos, quando o fluido de trabalho
um lquido, tal como gua ou leo, e sistemas pneumticos, quando o
fluido de trabalho um gs, tal como ar, nitrognio, etc. So
constitudos por orifcios, restries, vlvulas de controle
(dissipadores de energia), reservatrios (armazenadores de energia),
tubulaes (indutores) e atuadores excitados por geradores de presso
ou escoamento de um fluido. O sistema de abastecimento de gua de um
edifcio um exemplo de um sistema fluido (mais especificamente, um
sistema hidrulico do tipo sistema de nvel de lquido), no qual o
nvel da gua do reservatrio tem uma resposta dinmica em funo da
quantidade de gua que bombeada para o reservatrio e da quantidade
de gua que consumida no prdio. O escoamento de ar atravs de uma
cavidade em um tubo causar uma resposta dinmica (um tom acstico). O
sistema de freio hidrulico de um automvel, o sistema de distribuio
de ar condicionado de um escritrio, o escoamento da mistura
ar-combustvel do sistema de alimentao de um motor de combusto
interna, etc., constituem exemplos de sistemas fluidos.
-
Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 3
sistemas trmicos
Possuem componentes que oferecem resistncia trmica transferncia
de calor (por conduo, conveco e radiao) e componentes que
apresentam a propriedade de capacitncia trmica (armazenamento de
energia trmica) quando excitados por uma diferena de temperatura ou
um fl mento de uma casa tem uma resposta dinmica, conforme a lcanar
a temperatura desejada. sistemas hbridos
So sistemas maioria dos sistemascombinao, podemos
o sistemas elet
energia eltricExemplos: alto
o sistemas fluid
pneumtica emExemplos: maavio,cilindro p
o sistemas termenergia mecnExemplos: mot
o sistemas elet
trmica. Exemplos: aqu
2 EXCITAO E
Quando solicitchamado de resposta.
3 ANLISE DIN
A Anlise Din
de um sistema. Ela se
uxo de calor. Um sistema de aquecitemperatura ambiente aumente
at a
que combinam dois ou mais dos tipos de sistemas citados
anteriormente. A dinmicos aplicados em engenharia so sistemas
hbridos. Conforme a ter, dentre outros:
romecnicos: empregam componentes eletromagnticos que convertem a
em mecnica. -falante, atuador solenide, motor eltrico, etc.
omecnicos: empregam componentes que convertem energia hidrulica
ou energia mecnica. caco hidrulico, servo-hidrulico usado para
controle do vo de um neumtico, etc.
omecnicos: empregam componentes que convertem energia trmica em
ica. or de combusto interna, motor a jato, turbina a vapor,
etc.
rotrmicos: empregam componentes que convertem energia eltrica
em
ecedor eltrico domstico, aquecedor eltrico de gua, etc.
RESPOSTA
ado por uma dada excitao, o sistema exibe um certo
comportamento, Outros termos muito empregados:
sistema = processo = planta excitao = entrada = input resposta =
sada = output
MICA
mica o estudo da relao de causa e efeito entre excitao e
resposta processa nas seguinte etapas:
-
Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 4
Representar o sistema real na forma de diagrama (modelo fsico) e
definir os parmetros do sistema e as variveis envolvidas.
Estabelecer
hipteses simplificadoras
1
Escrever as equaes para cada componente do sistema, a partir de
equaes constitutivas adequadas
A partir de Leis Fsicas, de acordo com a natureza do sistema,
obter o modelo matemtico do mesmo
4
3
2
Resolver o modelo matemtico (as equaes do sistema) e comparar o
resultado terico obtido com resultados experimentais.
Se a discrepncia for pequena, pode-se aceitar o modelo; caso
contrrio, modificar o modelo e refazer a anlise
Inicialmente (etapa 1), devemos identificar o sistema a ser
modelado e analisado. Como
exemplo ilustrativo, vamos considerar um sistema mecnico real
constando de um pndulo simples, no qual temos uma massa m, suposta
concentrada em um ponto, ligada estrutura fixa por um fio
inextensvel de comprimento L. Consideremos que, ao serem impostos
um deslocamento angular inicial e uma velocidade inicial ao sistema
(condies iniciais), o mesmo oscilar dentro de um plano vertical,
sendo o seu movimento descrito, a qualquer instante, por uma
coordenada angular (t). Tambm vamos desprezar as perdas por atrito
na articulao e considerar a inexistncia de resistncia aerodinmica.
A fig. 1 ilustra o que foi dito.
Fig. 1 - Pndulo simples
Na etapa 1, portanto, foram definidos os parmetros do sistema (m
e L) e a varivel (t).
Tambm foram adotadas hipteses simplificadoras (massa m
concentrada em um ponto, comprimento do fio L constante, oscilao
dentro de um plano vertical, desprezadas as perdas por atrito na
articulao e atrito com o ar). A adoo de hipteses simplificadoras
imperativa na anlise dinmica, pois facilita o lado matemtico.
Entretanto, devemos ter muito cuidado ao
-
Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 5
estabelecer tais hipteses, pois deve haver um compromisso entre
simplicidade e preciso: o modelo deve ser o mais simples possvel
mas deve reter as caractersticas essenciais do sistema real.
Normalmente, quando fazemos a verificao do modelo e constatamos que
existe uma discrepncia muito grande entre os resultados tericos e
experimentais, a causa do problema reside na adoo de simplificaes
inadequadas.
A seguir (etapas 2 e 3), devemos escrever as equaes para os
componentes do sistema e
para o sistema como um todo. Para os componentes devemos usar
equaes constitutivas. Uma equao constitutiva uma relao de causa e
efeito, muitas vezes estabelecida experimentalmente, entre duas ou
mais variveis descritivas. Exemplos: Lei de Ohm (e = Ri), Lei de
Hooke ( = E), Lei dos Gases Perfeitos (p = RT), etc. Aplicando leis
fsicas adequadas, como as Leis de Newton, de Kirchhoff, de Fourier,
etc., chegamos normalmente a equaes diferenciais que relacionam
matematicamente as variveis do modelo com as propriedades do modelo
e com o tempo.
No nosso exemplo, usamos a 2a Lei de Newton para o movimento de
rotao em torno do
centro de oscilao (tambm conhecida como Equao dos Momentos ou
Equao de Euler). Fazendo isso, conforme estudaremos mais tarde,
encontramos para modelo matemtico a equao diferencial no linear
(1) 0senLg.. =+
onde g a acelerao da gravidade e onde foi adotada a notao
22...
dtd ,
dtd == , etc.
O modelo matemtico assim obtido deve ser agora resolvido (etapa
4), para que
obtenhamos o comportamento (a resposta) do sistema. Tal soluo
pode ser feita analiticamente ou numericamente. Se o modelo
matemtico for relativamente simples, como no caso de uma equao
diferencial ordinria linear (EDOL), devemos preferir uma soluo
analtica, a qual exata. Entretanto, se o modelo for mais
complicado, como no caso de uma equao diferencial no-linear,
podemos apelar para uma soluo numrica, a qual aproximada.
Felizmente, hoje em dia dispomos de muitos programas de computador
que permitem essa ltima soluo, como o MatLab, o Simulink e o
VisSim. Tais softwares permitem, tambm, simular o comportamento
atravs de grficos nos quais podemos visualizar, por exemplo, o
deslocamento e a velocidade em funo do tempo. Uma outra opo da qual
podemos dispor a chamada linearizao do sistema em torno de um ponto
de operao. No nosso exemplo podemos observar que, para pequenas
oscilaes em torno da posio vertical = 0 (o ponto de operao), o
ngulo em radianos tem aproximadamente o mesmo valor que sen . O
leitor pode verificar isso em sua calculadora para o intervalo (-/6
< < /6). Ento, considerando sen nesse intervalo, podemos
rescrever a eq. (1) como
(2) 0Lg.. =+
que uma EDOL de 2a ordem com coeficientes constantes e homognea,
a qual de fcil soluo analtica:
(3) tLg
sen
Lg
tLg
cos)t( 0.
0+=
-
Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 6
onde 0 e so as condies iniciais do problema, ou seja, o
deslocamento inicial e a velocidade inicial que so as causas do
movimento pendular.
0.
Uma vez obtido o comportamento do sistema, atravs da soluo do
modelo matemtico,
devemos compar-lo com o comportamento obtido experimentalmente.
Se tal comparao for satisfatria, podemos aceitar o modelo. Caso
contrrio, devemos refinar o modelo e repetir o procedime delo
satisfatrio. 4 PROJE Prapresenteestgios dpodendo h
5 REPRE
O
conforme
Cocontrole),
Em
fig. 4:
nto, at encontrarmos um moTO
ojeto a criao de um sistema que, ao ser solicitado por excitaes
conhecidas, respostas especificadas (desejadas). O Projeto envolve
praticamente todas os a Anlise, a qual, agora, dever ser repetida
vrias vezes. O projeto no nico, aver vrios projetos apresentando
desempenho satisfatrio.
SENTAO POR DIAGRAMA DE BLOCOS
diagrama de blocos a representao grfica da relao entre entrada e
sada, ilustra a fig. 2:
Fig. 2 - Diagrama de Blocos
mo exemplo ilustrativo, consideremos o vo vertical de um foguete
balstico (sem fig. 3:
sistema: o prprio foguete Excitaes: fora gravitacional (peso) Fg
e resistncia aerodinmica Fd resposta: podemos considerar a altitude
h(t), ou a velocidade v(t), ou ambas
Fig. 3 - Vo Vertical de um Foguete Balstico
termos de diagrama de blocos, podemos representar o sistema
acima pelo diagrama da
-
Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 7
Fig. 4 - Diagrama de Blocos 6 CLASSIFICAO DOS SISTEMAS DINMICOS
Apresentamos, a seguir, uma classificao dos sistemas dinmicos de
acordo com vrios critrios. Apesar de didtica, ela importante porque
revela uma ligao matemtica com a modelagem. 6.1 SISTEMAS COM
PARMETROS CONCENTRADOS E COM PARMETROS DISTRIBUDOS
No desenvolvimento do modelo matemtico necessrio identificar os
componentes do sistema e determinar as suas caractersticas
individuais. Tais caractersticas so governadas por leis fsicas
(Leis de Newton, de Kirchhoff, de Fourier, etc., conforme a
natureza do sistema) e so descritas em termos dos chamados
parmetros (ou propriedades) do sistema. Os sistemas podem ser
divididos em duas grandes classes, conforme a natureza de seus
parmetros: aqueles cujos parmetros no dependem das coordenadas
espaciais, chamados sistemas com parmetros concentrados, e aqueles
cujos parmetros dependem das coordenadas espaciais, denominados
sistemas com parmetros distribudos. No primeiro caso, a excitao e a
resposta dependem apenas do tempo, logo so descritos por equaes
diferenciais ordinrias; j no caso de parmetros distribudos, a
excitao e a resposta dependem do tempo e das coordenadas espaciais,
logo so descritos por equaes diferenciais parciais (mais de uma
varivel independente). Como exemplo do primeiro caso, citamos um
conjunto de discos montados em um eixo cuja massa pequena em
comparao com as massas dos discos, logo podemos concentrar nos
discos as massas dos eixos. J uma laje constitui um exemplo de
segundo caso, pois vemos nitidamente que o parmetro massa est
distribudo ao longo das coordenadas espaciais.
Neste curso sero estudados exclusivamente os sistemas com
parmetros concentrados.
6.2 SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO E INVARIANTES NO TEMPO
No modelo matemtico, i.., nas equaes diferenciais, os parmetros
do sistema aparecem sob forma de coeficientes. Se os coeficientes
so constantes, dizemos que o sistema invariante no tempo; se no, o
sistema considerado variante no tempo. O pndulo simples analisado
anteriormente constitui um exemplo de sistema invariante no tempo.
J um foguete na sua fase propulsada um sistema variante no tempo,
pois o mesmo perde massa durante a queima de combustvel.
Neste curso sero estudados apenas os sistemas invariantes no
tempo.
6.3 SISTEMAS LINEARES E NO LINEARES
-
Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 8
Uma propriedade do sistema que tem profundas implicaes na anlise
a linearidade. Consideremos a fig. 5, na qual est expressa a relao
entre a entrada r(t) e a sada c(t) sob forma de diagrama de
blocos:
Fig. 5 Entrada e Sada de um Sistema
Consideremos, tambm, dois pares de entrada e sada, r1(t), c1(t)
e r2(t), c2(t), conforme fig. 6 (a) e (b). Ento, para o mesmo
sistema, seja a entrada r3(t), fig. 6 (c), uma combinao linear de
r1(t) e r2(t):
(4) r3(t) = 1r1(t) + 2r2(t) onde 1 e 2 so constantes.
Fig. 6 Sistema Linear
Se a sada c3(t) representa uma combinao linear de mesma forma,
i.., se
(5) c3(t) = 1c1(t) + 2c2(t) ento dizemos que o sistema um
sistema linear. Caso contrrio, i.., se (6) c3(t) # 1c1(t) + 2c2(t)
ento dizemos que se trata de um sistema no-linear. Em outras
palavras, para um sistema linear, respostas a diferentes excitaes
podem ser obtidas separadamente e depois combinadas linearmente, o
que constitui o Princpio da Superposio, que o princpio fundamental
da Teoria dos Sistemas Lineares.
A grande vantagem de trabalhar com sistemas lineares que o
modelo matemtico dos mesmos descrito por um sistema de Equaes
Diferenciais Lineares, que so de fcil soluo analtica. J o modelo de
sistemas no lineares descrito por Equaes Diferenciais No Lineares,
as quais so de difcil soluo analtica (ou mesmo impossvel). Nesse
caso, temos duas opes: ou impomos certas hipteses simplificadoras
(se forem exeqveis) que conduzam linearizao do sistema, ou apelamos
para mtodos numricos aproximados, como os mtodos de Euler,
Runge-Kutta, etc., os quais, felizmente, j esto implantados em
muitos softwares de simulao, tais como MatLab, VisSim, etc.
-
Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 9
Conforme veremos mais tarde, um sistema linear com parmetros
concentrados com uma s entrada e uma s sada (sistemas SISO = Single
Input Single Output) tem por modelo matemtico uma s Equao
Diferencial Ordinria Linear (EDOL) do tipo
(7) r(t)ac(t)da...dada 1 =++++ c(t)dtdt
c(t)dtc(t)
n-n1-n
1-n
1n
n
0 onde c(t) a sada, r(t) a entrada e os coeficiente ai so os
parmetros do sistema. A equao acima r presenta uma relao entre
entrada e sada para o sistema. Notemos que a entrada r(t) aparecno
mem Podemo (8) e reesc (9) que pod
operadparmeentretpara um (10) onde orecebeblocos
possam 6.4 SI inserid
e
e no membro direito da EDOL, enquanto que a sada c(t) e suas
derivadas esto presentes bro esquerdo, assim como as propriedades
do sistema.
s, neste ponto, definir um operador diferencial linear D(t)
como
11 adta...
dta
dt D(t) ++++ n-n-n
1-n
1n
n
0ddda =
rever a EDOL do sistema como
D(t)c(t) = r(t) e ser assim representada em diagrama de
blocos:
Fig. 7 Operador Diferencial Linear
A eq. (9) indica que a excitao r(t) pode ser obtida operando
sobre a resposta c(t) o
or D(t), onde D(t) difere de sistema para sistema, j que os
coeficientes ai so os tros do sistema, os quais traduzem as
caractersticas dinmicas do sistema. Na anlise,
anto, temos interesse em determinar a resposta a uma dada
excitao, isto , achar c(t) a determinada r(t). Isso pode ser
expresso matematicamente por
c(t) = D-1(t) r(t)
operador D-1(t) pode ser interpretado como o inverso do operador
D(t). O operador D-1(t) o nome de operador integral linear. A eq.
(10) pode ser representada pelo diagrama de da fig. 8:
Fig. 8 Operador Integral Linear
No nosso curso trataremos apenas dos sistemas lineares e dos
sistemas no lineares que ser linearizados em torno de um ponto de
operao.
STEMAS ATIVOS E SISTEMAS PASSIVOS
Um sistema fsico com fonte interna de energia, como um circuito
hidrulico no qual est o uma bomba, chamado sistema ativo. Caso
contrrio, ele ser um sistema passivo. Como
-
Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 10
exemplo de sistema passivo, podemos citar um circuito eltrico
RLC sobre o qual no est atuando nenhuma fonte de tenso ou de
corrente. No nosso curso trataremos os dois tipos de sistemas. 6.5
SISTEMA Se umtambm contconstitudo podiscreta no te(outra seqnser
constitu No nos 7 RESPOST
Para oexcitao ou resolver a eqinvariantes norepresentam o
A solusoluo partic
A solu
sistema entraexistirem conEngenharia,
Por ou
excitao extsoluo partic
No caspara combinar
A natu
do sistema diresposta trans
S CONTNUOS E SISTEMAS DISCRETOS sistema submetido a uma entrada
contnua no tempo, r(t), apresentar uma sada nua, c(t), ele chamado
de sistema contnuo e o seu modelo matemtico ser r equaes
diferenciais. Por outro lado, se um sistema submetido a uma entrada
mpo, {rk} (uma seqncia de nmeros), apresentar uma sada tambm
discreta, {ck} cia de nmeros), ele chamado de sistema discreto e o
seu modelo matemtico do por equaes a diferenas finitas.
so curso trataremos os dois tipos de sistemas.
A DO SISTEMA
bter a resposta do sistema, ou seja, o seu comportamento quando
submetido a uma a condies iniciais (tais como deslocamento inicial
e/ou velocidade inicial), basta uao diferencial do modelo
matemtico. Para o caso de sistemas lineares tempo, a equao
diferencial linear com coeficientes constantes, os quais s
parmetros do sistema.
o de uma equao diferencial consiste de duas partes: a soluo
homognea e a ular.
o homognea corresponde ao caso em que a excitao externa nula,
podendo o r em movimento somente quando lhe forem impostas condies
iniciais. Se no dies iniciais e nem excitaes externas, o sistema
permanece em repouso. Em costume chamar a soluo homognea de
resposta livre ou resposta natural.
tro lado, a soluo particular a parte da resposta devida
inteiramente erna, considerando as condies iniciais nulas. Em
Engenharia, costume chamar a ular de resposta forada.
o de sistemas lineares, podemos invocar o Princpio da Superposio
dos Efeitos a resposta livre com a resposta forada, obtendo a
resposta total:
Resposta Total = Resposta Livre + Resposta Forada
reza da resposta depende da excitao utilizada, assim como das
caractersticas nmico. A esse respeito, conveniente distinguir entre
resposta permanente e iente.
-
Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 11
A resposta permanente aquela em que o sistema atinge um certo
estado de equilbrio, tal como uma resposta constante ou uma
resposta peridica que se repete indefinidamente. Matematicamente, a
parte da resposta total que permanece quando se faz o tempo tender
ao infinito.
J a resposta transiente depende fortemente do tempo:
matematicamente, a parte da resposta total que desaparece quando se
faz o tempo tender ao infinito.
No que diz respeito ao tipo de excitao, podemos dizer que a
resposta permanente
ocorre no caso de excitao harmnica ou peridica, enquanto que a
resposta transiente ocorre no caso de outras excitaes que no as
mencionadas.
A natureza da excitao afeta tambm a escolha do mtodo a ser
utilizado na determinao da resposta. No caso de excitao harmnica ou
peridica, vantajoso estudar a resposta permanente no domnio da
freqncia, a qual conhecida como resposta em freqncia. J para os
demais tipos de excitao, mais conveniente estudar a resposta
transiente no domnio do tempo. No nosso curso faremos ambos os
estudos. EXERCCIOS 1. Dadas as equaes diferenciais abaixo,
classific-las, seguindo o exemplo do item a):
a) : EDOL de 1t5x. = a ordem, coeficientes constantes, no
homognea
b) :_________________________________________ t5sen2x9x3x...
=++
c) :_____________________________________________ 0x9x3x...
=++
d) :_________________________________________ 0x9x)1t3(x...
=++
e) :_______________________________________ )t(u3x9x)1t3(x...
=++
f) 22
2
2
t)t,x(y
x)t,x(y
9 =
:________________________________________
2. Um sistema de nvel de lquido, tal como a caixa dgua de uma
residncia, modelado
matematicamente pela equao diferencial de 1a ordem )t(qA1h
RAg
i
. =+h , onde A a rea da seo reta do reservatrio (constante), R a
resistncia hidrulica do sistema (constante), g a acelerao da
gravidade (constante), qi(t) a vazo volumtrica de gua que entra no
reservatrio (excitao ou entrada do sistema) e h(t) a altura
instantnea de lquido dentro do reservatrio, em relao ao fundo do
mesmos. Admitindo que o reservatrio inicialmente estava vazio e que
a vazo qi = Q constante, use seus conhecimentos de Clculo para
resolver a equao diferencial e assim encontrar a resposta no tempo
h(t), ou seja, como varia a altura do nvel de atua com o tempo.
Esboce um grfico da resposta h(t).
Resp.: )e1(g
QRA)t(t
RAg=h
-
Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 12
3. Usando seus conhecimentos de Clculo, demonstre que a eq. (3)
a soluo da eq. (2), ambas do texto.
4. Suponha que a resposta de um sistema mecnico seja dada
por
x(t) = e-t 2e-3t + sen2t Achar a resposta transiente e a
resposta permanente.
Soluo
A resposta transiente dada por e-t 2e-3t, pois vemos claramente
que ela tende a desaparecer medida que o tempo cresce. J a resposta
permanente dada por sen2t, a qual no tende a desaparecer medida que
o tempo cresce. 5. Com relao ao Exerccio 2, identificar a resposta
permanente. 6. A resposta total de um sistema mecnico de segunda
ordem submetido a um deslocamento
inicial x0 e a uma velocidade inicial dada pela equao 0.x
++= tsenxxtcosxe)t(x dd
0.
0nd0
tn , onde n, d e so constantes do sistema, a
serem definidas mais tarde. Pedem-se:
(a) a resposta acima livre ou forada? Por qu? (b) Identificar a
resposta transiente e a resposta permanente.
-
Representao de Modelos de Sistemas Dinmicos: Espao de Estados
1
1 INTRODUO
Conforme j foi mencionado, o modelo matemtico de um sistema
dinmico obtido apartir da aplicao de Leis Fsicas e de Equaes
Constitutivas dos elementos que compem osistema, o que conduz,
normalmente, a um sistema de equaes diferenciais e/ou
equaesalgbricas. Tal sistema de equaes, usualmente, representado de
trs maneiras:
(1) Representao no Espao de Estados(2) Representao por Equao I/O
(Input/Output = Entrada/Sada)(3) Representao por Matriz de
Transferncia
Na aula de hoje veremos o primeiro tipo de representao.
2 REPRESENTAO NO ESPAO DE ESTADOS
um enfoque mais moderno, que repousa sobre o conceito de
Variveis de Estado.Nesta representao, um modelo matemtico descrito
por uma equao diferencial de ordem n substitudo por um sistema de n
equaes diferenciais, todas de 1a ordem. Se o modelomatemtico for
descrito por m equaes diferenciais de ordem n, ento ele ser
substitudopor um sistema de m x n equaes diferenciais de 1a ordem.
A representao no espao deestados particularmente til na anlise e no
projeto de sistemas de controle. Ela possui asseguintes
caractersticas:
Q Usa o domnio do tempoQ Quaisquer condies iniciaisQ
Aplicabilidade mais ampla: sistema
sistema
sistema Output) e
Q Interpretao fsica mais abstrat
02Representao De
Modelos de Sistemas Dinmicos:
- Espao de Estadoss lineares eno-lineares
s invariantes no tempo evariantes notempo
s SISO (Single Input, Single
MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs)
a
-
Representao de Modelos de Sistemas Dinmicos: Espao de Estados
2
A seguir, apresentaremos os fundamentos do mtodo a partir de
exemplos simples.
Exemplo 1: Representao de um sistema mecnico de 2a ordem com um
grau de liberdade,sendo a entrada u(t), que a fora externa aplicada
sobre a massa m, e a sada y(t), que odeslocamento medido a partir
da posio de equilbrio esttico.
Modelo matemtico: dado pela EDOL )t(ukyycym... =++
Duas questes aparecem:
Q1 Quantas variveis de estado so necessrias?
A quantidade de variveis de estado igual quantidade de condies
iniciais. Como osistema de 2a ordem, ele possui duas condies
iniciais, logo necessita de duas variveis deestado para descrever
completamente a dinmica do sistema.
Q2 Quais so as variveis de estado do problema?
So as correspondentes s condies iniciais do problema. No caso,
as variveis deestado so ento, o deslocamento y(t) e a velocidade
)t(y
. .
Obs.: importante no confundir varivel de estado (ente matemtico)
com varivel fsica. Porexemplo, consideremos um sistema dinmico
descrito pelo sistema de equaes diferenciaisabaixo, onde x1, x2 e
suas derivadas so variveis fsicas:
0xx2x
0xxxx
212.
211.
1..
=+=++
Nesse caso, existem 3 variveis de estado: duas para a coordenada
x1 e uma para acoordenada x2:
x1 = x1 x2 = x2
deslocamento (fsico) deslocamento (fsico)varivel de estado
varivel de estado (matemtica) (matemtica)
x3 = 1.x
velocidade (fsica)varivel de estado
(matemtica)
Voltemos ao exemplo 1. As variveis de estado sero x1 e x2:
x1 = y
x2 = .y
Derivando, obtemos:
-
Representao de Modelos de Sistemas Dinmicos: Espao de Estados
3
um1)ycky(
m1x
yx.
2.
.1
.
+==
Vemos que a primeira equao no depende da dinmica do sistema,
enquanto que asegunda depende. Em termos de variveis de estado:
um1x
mcx
mkx
xx
212.
21.
+==
que so s equaes de estado. Sob forma matricial:
A equa
equa
onde
Exemp
Pedem-(a) var(b) sup
da
(c) rep a um10
xx
mc
mk
10
xx
2
1
2.
1.
+
=
o de sada, y = x1, pode ser escrita
[ ] [ ]
==2
1xx
01yy
Essas duas ltimas equaes matriciais so, respectivamente, a equao
de estado e ao de sada. Em forma padro:
DuCxyBuAxx
.
+=+=
[ ]u(t) xx x
x
1.
1.
.
2
1 =
=
= uxx
[ ] [ ]0 01 m10
mc
mk
10==
=
= DCBA
lo 2: Representao de um sistema de 2a ordem com dois graus de
liberdade.Seja o sistema mecnico da fig. 1.
Fig. 1 Sistema mecnico com 2 GDLse:iveis de estado e equao de
estado;ondo que as entradas do sistema sejam f1(t) e f2(t) e que a
sada seja x1, obter a equaosada.
etir o item (b), porm agora as sadas so x1 e 1.x .
-
Representao de Modelos de Sistemas Dinmicos: Espao de Estados
4
Soluo
Modelo matemtico: dado pelo sistema de EDOL's
)t(fxkxkxcxcxm
)t(fxkx)kk(xcx)cc(xm
222122.
21.
22..
2
1221212.
21.
211..
1
=++=++++
(a) Como cada equao diferencial de 2a ordem, existem quatro
condies iniciais e, portanto,quatro variveis de estado:
2.
41.
32211 xx x x x x xx ====
Derivando e usando as equaes diferenciais do modelo matemtico,
obtemos, apsmanipulaes algbricas:
)t(fm1x
mcx
mcx
mkx
mkx
)t(fm1x
mcx
mccx
mkx
mkkx
xx
xx
22
42
23
2
22
2
21
2
24
.
11
41
23
1
212
1
21
1
213
.42
.31
.
++=
+++++===
Notemos que as duas primeiras equaes no dependem da dinmica do
sistema,enquanto que a duas ltimas dependem. Em forma
matricial:
1x22
1
2x42
1
1x44
3
2
1
4x42
2
2
2
2
2
2
21
2
1
21
1
2
1
21
1x44.
3.
2.
1.
)t(f)t(f
m10
0m1
0000
xxxx
mc
mc
mk
mk
mc
mcc
mk
mkk
10000100
xxxx
+
++=
ou seja, BuAxx. +=
onde os vetores e matrizes podem ser facilmente
identificados.
(b) Considerando x1 como sada, i.., y = x1, a equao de sada
[ ] [ ] [ ]1x22
12x1
1x44
3
2
1
4x11x1 )t(f)t(f
00
xxxx
0001y
+
=
ou seja, y = Cx + Du
onde os vetores e matrizes podem ser facilmente
identificados.
-
Representao de Modelos de Sistemas Dinmicos: Espao de Estados
5
(d) Considerando como sadas x1 e 1.x :
1x22
1
2x2
1x44
3
2
1
4x21x23
1
)t(f)t(f
0000
xxxx
01000001
xx
+
=
=y
onde os vetores e matrizes podem ser facilmente
identificados.
FORMALIZAO DO MTODO
Definies:
Estado de um sistema dinmico: menor conjunto de variveis
(denominadas variveis deestado) independentes tal que o
conhecimento dessas variveis no instante t = t0, juntamentecom o
conhecimento da entrada para t t0, determina completamente o
comportamento dosistema para t t0. Portanto, o estado para t t0 no
depende do estado e da entrada para t x1:
Fig. 2
Fig. 3
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela
Mecnica Newtoniana 3
Aplicando a 2a Lei de Newton ao ponto 1:0xc)xx(k
0xmF
1.
12
1..
11x
===
pois m1 = 0.
Aplicando a 2a Lei de Newton ao ponto 2:0)xx(k)t(f
0xmF
12
2..
22x
=== pois m2 = 0.
Logo, o modelo matemtico fica composto pelo conjunto de
EDOLs
(5) 0kxkxxc 211. =+
(6) )t(fkxkx 21 =+Matricialmente:
(7)
=
+
)t(f
0xx
kkkk
xx
000c
2
1
2.
1.
Exemplo 3: sistema massa-mola-amortecedor com um grau de
liberdade
Vamos considerar, agora, o sistema mecnico
massa-mola-amortecedor (ou sistema m-k-c) da fig.4(a), o qual
constitui o sistema com um grau de liberdade mais simples:
O diagrama de corpo livre correspondente est mostrado na fig.
4(b). Chamando y(t) odeslocamento vertical da massa m a partir da
posio em que a mola no est deformada, ouseja, antes da montagem da
massa m no sistema, temos, a partir da aplicao da 2a Lei
deNewton:
)t(ymmg)t(f)t(f)t(fF..
kcy ==Levando em conta as eqs. (1), (2) e (3), chegamos a
(8) )t(fmg)t(ky)t(yc)t(ym... =+++
Essa equao pode ser simplificada eliminando o efeito do peso mg.
Para isso, vamos medir odeslocamento a partir da posio de equilbrio
esttico, x(t), obtida a partir da posioanterior, y(t), porm
deixando que a mola sofra uma deflexo esttica est, conforme mostra
afig. 5:
Fig. 4
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela
Mecnica Newtoniana 4
Fig. 5
Tendo em vista que a deflexo da mola equilibra o peso:
(9) mg = kest
Por outro lado, conforme mostra a fig. 5, podemos fazer a
transformao de coordenadas
(10) y)t) = x(t) - est
Levando as eqs. (9) e (10) na eq. (8), chegamos EDOL de 2a ordem
(da o nome sistema mecnicode 2a ordem) que constitui o modelo
matemtico do sistema da fig. 4(a):
(11) )t(f)t(kx)t(xc)t(xm... =++
Assim, se adotarmos a coordenada x(t) a partir da posio de
equilbrio esttico, podemos omitiro peso mg, o que vantajoso, pois
podemos usar a eq. (11) como modelo matemtico para sistemasmecnicos
de 2a ordem que transladem tanto na vertical como na
horizontal.
Exemplo 4: suspenso de um veculo
Podemos construir o modelo translacional bastante simplificado
da suspenso independente de umcarro considerando apenas o movimento
de uma roda do veculo, conforme ilustra a fig. 6:
A rigidez do pneu modelada pela mola k1. As massas do pneu,
roda, eixo e demais peas nosuspensas, so modeladas pela massa m1. O
coeficiente de amortecimento do amortecedor viscosoe a rigidez da
mola da suspenso so modelados, respectivamente, por c e k2. J a
massa suspensadistribuda quele de suspenso modelada pela massa m2.
Foram adotadas as coordenadas y1 ey2, medidas a partir da posio de
equilbrio esttico do sistema, para descreverem osmovimentos das
massas m1 e m2, respectivamente. A coordenada y0 servir para
descrever omovimento do solo, devido s irregularidades do
terreno.
Fig. 6
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela
Mecnica Newtoniana 5
O diagrama de corpo livre do sistema mostrado na fig. 7, onde
foi considerado que y2 > y1 > y0.
Aplicando a 2a Lei de Newton massa 1:
1112122011
111y
ym)yy(c)yy(k)yy(k
ymF
=++=
Aplicando a 2a Lei de Newton massa 2:
1.
2.
122
2..
22y
)yy(c)yy(k
ymF
=
Logo, o modelo matemtico fica composto pelo conjunto de
EDOLs
(12) 1221212.
1.
1..
1 kyky)kk(ycycym =+++(13) 0ykykycycym 22122
.1
.2
..2 =++
Matricialmente:
(14)
++
+
yy
kkkkk
y
ycccc
y
ym00m
2
1
22
221
2.
1.
2..
1..
2
1
Na eq. (14) podemos identificar os seguintes vetores e
matrizes:
=
++
+
kyy
kkkkk
y
ycccc
y
ym00m
12
1
22
221
2.
1.
2..
1..
2
1
As matrizes so todas 2 x 2 (no de graus de liberdade = 2) e os
vetores
Fig. 7
Vetor d
Matriz rigidez
Vetor velocidade
Matriz amortecimento
Vetor acelerao
Matriz massa (ou inrcia)......2..
2 ym=
0y
=
0y
k 11
0y1
so todos 2 x 1.
Vetor excitao (entrada)
eslocamento (sada)
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela
Mecnica Newtoniana 6
EXERCCIOS
1 Deduzir o modelo matemtico para o sistema massa-amortecedor da
figura.
Resp.: )t(f)t(xc)t(xm... =+
2 Representar o modelo matemtico do sistema do exerccio anterior
no Espao de Estados.
3 Representar o modelo matemtico do sistema do exerccio anterior
na forma de Funode Transferncia.
Resp.: csms
1)s(G 2 +=
4 Considere o exemplo 4 do texto. Considerando y0(t) como
entrada e y2(t) como sada,representar o modelo matemtico do sistema
no Espao de Estados.
Resp.: Equao de Estado: )t(y
00
mk0
xxxx
mc
mk
mc
mk
1000mc
mk
mc
mkk
0010
xxxx
01
1
4
3
2
1
22
2
22
2
11
2
11
21
4.
3.
2.
1.
+
=
onde as variveis de estado foram definidas como
2.
4
23
1.
2
11
yx
yxyx
yx
====
5 Considere o exemplo 4 do texto. Considerando y0(t) como
entrada e y2(t) como sada,representar o modelo matemtico por Funo
de Transferncia.
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela
Mecnica Newtoniana 7
6 Representar o modelo matemtico do sistema da figura pela funo
de transferncia
)s(Y)s(Z)s(G = .
Dados numricos: m = 2 kg k1 = K2 = 8 N/m c1 = c2 = 16 N.s/m
Resp.: 2s12s5,8s
s4)s(Y)s(Z)s(G 23 +++==
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela
Mecnica Newtoniana 1
1 INTRODUO
Nesta apostila aprenderemos como obter o modelo matemtico de
sistemas mecnicosrotacionais, a partir da aplicao da 2a Lei de
Newton para o movimento de rotao, tambmconhecida como Equao de
Euler. Inicialmente, apresentaremos as equaes constitutivas decada
um dos elementos que compem o sistema mecnico rotacional e, aps,
mostraremos comotais equaes so inseridas na EDOL que descreve o
modelo matemtico do sistema.
2 RELAES ENTRE EXCITAO E RESPOSTA PARA OS ELEMENTOS DO SISTEMA
MECNICO. EQUAES CONSTITUTIVAS
Conforme j vimos, as equaes constitutivas entre excitao e
resposta para os vrioselementos (considerados lineares) de um
sistema mecnico so dadas por
(1) ..
JT =
(2) )(CT 1.
2.
C =
(3) TK = K(2 - 1)
A eq. (1) nada mais do que a 2a Lei de Newton para o movimento
de rotao, onde T, que aresultante de todos os torques externos
aplicadas ao corpo rgido de momento de inrcia J, proporcional
acelerao angular absoluta do corpo. A constante de
proporcionalidade omomento de inrcia J.
A eq. (2) diz respeito ao torque que atua sobre um amortecedor
viscoso, a qual proporcional velocidade angular relativa entre as
extremidades do amortecedor. A constante deproporcionalidade o
coeficiente de amortecimento viscoso C.
J a eq. (3) mostra a proporcionalidade entre a fora da mola de
toro e o deslocamento angularrelativo das extremidades da mola. A
constante de proporcionalidade a rigidez K.
Observemos que a acelerao angular absoluta, ao passo que o
deslocamento angular e avelocidade angular so relativos.
6 Modelagem Matemtica de SistemasMecnicos Rotacionais pela
Mecnica
Newtoniana
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela
Mecnica Newtoniana 2
3 MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS MECNICOS ROTACIONAIS
Para a modelagem de sistemas rotacionais, empregamos as equaes
constitutivas (1), (2) e (3) emconjunto com a 2a Lei de Newton para
o movimento de rotao, tambm conhecida como Equapde Euler:
(4)..
00 JT =
onde o membro esquerdo representa a resultante dos torques
externos que atuam sobre a massa,J0 o momento de inrcia da massa em
relao ao eixo de rotao e a coordenada angularadotada.
Vamos ilustrar a tcnica da modelagem atravs de exemplos.
Exemplo 1: sistema motor-propulsor (fig. 1)
Na fig. 1, o momento de inrcia das peas rotativas do motor
representado por Je e o momentode inrcia do propulsor por Jp. O
torque de acionamento do motor dado por T(t).Consideraremos que o
eixo tem massa desprezvel em comparao com as massas do motor e
dopropulsor, sendo ele representado por uma rigidez torcional K.
Vamos admitir, tambm, aexistncia de um torque de resistncia
aerodinmica, proporcional ao quadrado da velocidade derotao do
propulsor.
Para o desenvolvimento do modelo matemtico, vamos escrever as
equaes do movimento apartir do diagrama de corpo livre da fig. 2,
considerando 2 > 1:
Coordenada 1: 1..
e12..
00 J)K(T(t) JT =+=Coordenada 2: 2
..p
22
.12
..00 JC)K(- JT ==
(5) T(t)K-KJ 211..
e =+(6) 0KK-CJ 21
22
.2
..p =++
Como vemos, o modelo matemtico composto de duas equaes
diferenciais: uma linear e outrano linear.
Fig. 1
Fig. 2
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela
Mecnica Newtoniana 3
Exemplo 2: sistema engrenado (fig. 3)
A fig. 3 mostra um sistema com duas engrenagens, estando a maior
delas (N1 dentes e raioprimitivo r1) conectada a um eixo cuja outra
extremidade est fixada a uma estrutura. Sobre aengrenagem menor (N2
dentes e raio primitivo r2) atua um torque T(t) = sen t.
Para o desenvolvimento do modelo matemtico, vamos antes
transferir a inrcia da engrenagemmenor para o eixo da engrenagem
maior:
(7) 2
2
121
2
1.2
.
21eq NN
JJJJJ
+=
+=
O torque T(t), por sua vez, tambm pode ser transferido para o
eixo da engrenagem maior, tendoem vista que (ver fig. 4)
(8) T sent = r2F
(9) Teq(t) = r1Flogo
(10) tsenTrr
)t(T2
1eq =
Podemos, ento, escrever as equaes domovimento a partir do
diagrama de corpo livre dafig. 5:
1..
eq1eq..
00 JK-T JT ==
Levando em conta as eqs. (7) e (10): 1..
2
2
1211
2
1..00 N
NJJK-tTsen
rr
JT
+==
Fig. 3
Fig. 4
Fig. 5
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela
Mecnica Newtoniana 4
Ordenando e tendo em conta que , 2
1
2
1NN
rr
= , chegamos finalmente a
(11) tTsenNN
KNN
JJ 2
111
..2
2
121 =+
+
Exemplo 3: sistema rotacional com dois GDL (fig. 6)
Vamos representar no Espao de Estados o sistema rotacional da
fig. 6, considerando e . comovariveis de estado e como sadas os
deslocamentos angulares e A.
Consideremos os diagramas de corpo livre da fig. 7:
Modelo matemtico:
Mola K2: 0K)(K JT A1A2..
00 == Disco J:
...A2
..00 JC)(K - )t(T JT ==
Ordenando:
(12) 0)KK(K A212 =+ += 212
A KKK
(13) )t(TKK CJ A22... =++
Fig. 6
Fig. 7
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela
Mecnica Newtoniana 5
Equao de Estado:
Variveis de estado: .2
1
x
x
==
Derivando:
]KxKCx)t(T[
J1]KKC)t(T[
J1x
xx
A2122A22...
2.
2.
1.
+=+====
Levando em conta a eq. (12) e ordenando:)]t(TCxx
KKKK
[J1x
xx
2121
212
.21
.
++==
Na forma matricial:
(14) [ ])t(TJ10
xx
JC
)KK(JKK
10
xx
2
1
21
212
.1
.
+
+
=
Equao de Sada:A2
1yy
==
Considerando as variveis de estado e a eq. (12):
121
2
21
22
11
xKK
KKK
Ky
xy
+=+==
Na forma matricial:
(15) [ ])t(T00
xx
0KK
K01
yy
2
1
21
22
1
+
+
=
EXERCCIOS
1 Deduzir o modelo matemtico para o pndulo simples da figura. a
equao diferenciallinear ou no-linear?
Soluo
Seja a coordenada generalizada. Decompondo o peso em suas
componentes radial e transversalao fio, podemos aplicar a Equao de
Euler em relao ao ponto O. Evidentemente, somente acomponente
transversal faz momento:
..0 JT =
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela
Mecnica Newtoniana 6
..2mLL)senmg( =0)t(senmg)t(mL
.. =+
Vemos que o modelo matemtico uma EDO no-linear.
2 Considerando no pndulo do exerccio 2 que, para pequenas
oscilaes, sen emradianos (verifique na sua calculadora), linearize
o modelo matemtico do pndulo,transformando-o em uma EDOL.
Resp.: 0)t(mg)t(mL.. =+
3 Considerando, no exemplo 2 do texto, T(t) como entrada e 1(t)
como sada, achar afuno de transferncia do sistema.
4 Deduzir o modelo matemtico para o pndulocomposto da figura.
Linearizar o modelo.
5 Considere o exemplo 3 do texto. Ache a funo de transferncia
sendo T(t) a entrada e a sada.
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela
Mecnica Newtoniana 7
6 A figura mostra o motor de um barco (torque Te(t) e momento de
inrcia Je) acionando opropulsor a hlice (momento de inrcia Jp),
atravs de acoplamentos (momentos de inrciaJc1 e Jc2) e eixos
flexveis (rigidezes K1 e K2). Desenvolver um modelo matemtico para
osistema, incluindo o torque resistente Tw que a gua oferece ao
movimento.
Resp.:
7 O sistema da figura consiste de um momento de inrcia J1,
correspondente ao rotor deuma turbina, o qual est acoplado ao
momento de inrcia J2 do propulsor. Potncia transmitida atravs de um
acoplamento fluido com coeficiente de atrito viscoso C e umeixo com
rigidez K. Um torque de acionamento T(t) exercido sobre J1 e um
torque decarga TL exercido sobre J2. Sendo a entrada o torque T(t)
e a sada a velocidade
angular 2. , representar o modelo matemtico
(a) no espao de estados;(b) na forma de equao I/O(c) na forma de
funo de trans- ferncia
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Hbridos pela Mecnica
Newtoniana 1
1 INTRODUO
Nesta apostila aprenderemos como obter o modelo matemtico de
sistemas mecnicos hbridos(ou seja, aqueles cujas massas executam
movimentos de translao e rotao), a partir daaplicao da 2a Lei de
Newton e da Equao de Euler. Nosso estudo ficar restrito ao
movimentode corpos rgidos no plano, tambm conhecido simplesmente
por movimento plano. Felizmente, agrande maioria dos mecanismos
existentes nos sistemas reais se enquadra nesse tipo
demovimento.
Inicialmente, apresentaremos um resumo das equaes do movimento
plano de um corpo rgido e,aps, mostraremos a obteno do modelo
matemtico atravs de exemplos ilustrativos.
2 EQUAES DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RGIDO
As equaes bsicas da Mecnica Newtoniana para o movimento plano de
um corpo rgido so:
2.1 Translao:
2a Lei de Newton:
(1) CM..
mRF =
onde F a resultante de todas as foras externas que atuam sobre o
corpo de massa m e CM..R a
acelerao do centro de massa CM.
2.2 Rotao plana:
Aqui devemos distinguir 3 situaes:
(a) Rotao em torno de um eixo passando pelo centro de massa
CM:
(2) ..
CMMC JT =
onde TCM a resultante de todos os torques externos que atuam no
corpo, em torno de um eixoperpendicular ao plano do movimento e que
passa pelo centro de massa do corpo, JCM o momento
de inrcia do corpo rgido em relao a esse mesmo eixo e .. a
acelerao angular do corpo.
7 Modelagem Matemtica de SistemasMecnicos Hbridos pela
Mecnica
Newtoniana
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Hbridos pela Mecnica
Newtoniana 2
(b) Rotao em torno de um eixo passando por um ponto fixo O que
no seja o centro demassa CM:
(3) ..
OO JT =
onde TO a resultante de todos os torques externos que atuam no
corpo, em torno de um eixoperpendicular ao plano do movimento e que
passa pelo ponto fixo O, JO o momento de inrcia do
corpo rgido em relao a esse mesmo eixo e .. a acelerao angular
do corpo.
(c) Rotao em torno de um eixo passando por um ponto S que no
coincide com o centro demassa CM e que sofre translao:
(4) S..
S/CMSS xmJ RrT..+=
onde TS a resultante de todos os torques externos que atuam no
corpo, em torno de um eixoperpendicular ao plano do movimento e que
passa pelo ponto que translada, S, JS o momento de
inrcia do corpo rgido em relao a esse mesmo eixo e .. a acelerao
angular do corpo. Alm
disso, rCM/S o vetor posio do centro de massa CM em relao ao
ponto S e S..R a acelerao
absoluta do ponto S.
Obs.:
1. na eq. (4) so consideradas as componentes paralelas ao eixo
coordenado z, perpendicular aoplano do movimento de rotao xy;
2. as eqs. (2), (3) e (4) tambm so conhecidas como Equaes de
Euler;
3. As rotaes relatadas em (a) e (b) j foram estudadas em
apostila anterior, vamos nosconcentrar, pois, no caso (c), em
ocorrem rotao e translao do centro de rotao.
3 MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS MECNICOS HBRIDOS
Ser estudada atravs de exemplos ilustrativos.
Exemplo 1: sistema mola-disco
O disco da fig. 1 rola sem deslizar sobre o plano horizontal.
Achar o seu modelo matemticousando a coordenada .
Soluo:
Fig. 1
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Hbridos pela Mecnica
Newtoniana 3
Neste caso, S o centro instantneo de rotao, conforme ilustra o
diagrama de corpo livre dafig. 2, no qual kx a fora da mola e f a
fora resistente ao rolamento.
Aplicando a eq. (4): S..
S/CMSS xmJ RrT..+=
Usando o Teorema de Steiner, achamos o momento de inrcia JS:
222S mr23mrmr
21J =+=
Por outro lado, o momento TS, provocado apenas pela fora da
mola, dado por
TS = - kxr = - kr2
onde foi usada a equao de restrio x = r que liga as coordenadas
x e .
Alm disso, o produto vetorial S..
S/CM xRr nulo, pois ambos os vetores so colineares, comsentido
de S para C (notemos que o ponto S tem velocidade nula porm possui
acelerao radial
2.S
..rR = no nula, dirigida para o centro de massa; assim, o que
torna nulo o termo S
..
S/CM xRr adefinio de produto vetorial).
Finalmente, levando essas informaes na eq. (4), chegamos ao
modelo matemtico
0m3k2..
=+
Exemplo 2 Sistema carro-pndulo simples
A fig. 3 mostra um carro de massa M que desliza sobre uma
superfcie horizontal sem atrito. Eleest ligado parede por uma mola
k e um amortecedor viscoso c e submetido a um foramentof(t). O
centro de massa do carro serve como eixo de rotao de um pndulo
simples de massapunctual m e comprimento L. Deduzir o modelo
matemtico para pequenas oscilaes .
Fig. 2
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Hbridos pela Mecnica
Newtoniana 4
Soluo:
Temos a um sistema multicorpo (duas massas) com dois graus de
liberdade: x para descrever atranslao do carro de massa M e para
descrever a rotao do pndulo de massa m. A fig. 4mostra o diagrama
de corpo livre no qual esto mostradas apenas as foras que
produzemtranslao na direo x e o peso mg que produz momento em relao
ao ponto S.
Como podemos ver, o ponto S um centro de rotao que translada no
espao. Portanto, para omovimento de rotao do pndulo, aplicamos a
eq. (4):
(4) S..
S/CMSS xmJ RrT..+=
onde....
S..
S/CM xcosmL)2sen(xmLxm ==Rr
JS = mL2 (momento de inrcia de massa punctual)
TS = - mgsenL
Levando tudo na eq. (4) e ordenando, chegamos a
(a) 0senmgLxcosmLmL....
2=++
J para o movimento de translao da massa M aplicamos a 2a Lei de
Newton:
CM..
MRF =
logo, na direo x temos (levando em conta que so 2 massas a
considerar):
(b) CM.....xmxMxckx)t(f +=
Fig. 3
Fig. 4
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Hbridos pela Mecnica
Newtoniana 5
Tendo em vista que
+=
+=
+=
senLcosLxx
cosLxx
senLxx
2.....CM
..
..CM
.CM
podemos levar essas informaes na eq. (b) e obter, aps
ordenao:
(c) )t(fkxsenmLxccosmLx)mM(2......
=++++
Para pequenas oscilaes , podemos considerar
cos 1 sen 0 0.
e substituir nas eqs. (a) e (c) para obter o modelo matemtico
linearizado
)t(fkxxcmLx)mM(.....
=++++
0mgLmLxmL..2..
=++Sob forma matricial:
=
+
+
+0
)t(fxmgL0
0kx000cx
mLmLmLmM
.
.
..
..
2
Exemplo 3 Sistema carro-pndulo invertido
A fig. 5 mostra um carro de massa M que rola sem deslizar sob a
ao da fora f(t). Ele estligado estrutura fixa pelo amortecedor c.
Um pndulo invertido de massa concentrada mc ehaste homognea de
massa m gira em torno de um piv fixado ao carro. Deduzir o
modelomatemtico para pequenas oscilaes .
Soluo
Temos novamente um sistema com duas massas e dois graus de
liberdade: x para descrever atranslao do carro de massa M e para
descrever a rotao do pndulo invertido. A fig. 6mostra o diagrama de
corpo livre para o pndulo invertido no qual esto mostradas apenas
asforas que produzem momento em relao ao ponto S.
Fig. 5
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Hbridos pela Mecnica
Newtoniana 6
Como podemos ver, o ponto S um centro de rotao que translada no
espao. Portanto, para omovimento de rotao do pndulo invertido,
aplicamos a eq. (4), porm levando em conta queagora temos duas
massas m e mc:
(4) S..
S/CMSS xmJ RrT..+=
onde..
c..
c..
c..
S..
S/CM xcosL)m2m(x)cosLmcos
2Lm(x)
2sen(Lmx)
2sen(
2Lmxm +=+=+=Rr
2c
22cS L)3
mm(mL31LmJ +=+=
+=+= sengL)2mm(sen
2LmgsengLmT ccS
Levando tudo na eq. (4) e ordenando, chegamos a
(a) 0sengL)2mm(L)
3mm(xcosL)
2mm( c
..2c
..c =++++
J para o movimento de translao da massa M aplicamos a 2a Lei de
Newton:
CM..
MRF =
logo, na direo x temos (levando em conta que so 3 massas a
considerar):
(b) cm..
cCM.....
xmxmxMxc)t(f ++=
Da fig. 5 obtemos
+=
+=
+=
sen2Lcos
2Lxx
cos2Lxx
sen2Lxx
2.....CM
..
..CM
.
CM
e
+=
+=
+=
senLcosLxx
cosLxx
senLxx
2.....cm
..
..cm
.cm
Fig. 6
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Hbridos pela Mecnica
Newtoniana 7
Levando tudo na eq. (b):
)senLcosLx(m)sen2Lcos
2Lx(mxMxc)t(f
2.....c
2........++++=
Ordenando:
(c) )t(fxcsenL)m2m(cosL)m
2m(x)mmM(
.2.c
..c
..c =++++++
Para pequenas oscilaes , podemos considerar
cos 1 sen 0 0.
e substituir nas eqs. (a) e (c) para obter o modelo matemtico
linearizado
)t(fxcL)m2m(x)mmM(
...c
..c =+++++
0gL)2mm(L)
3mm(xL)
2mm( c
..2c
..c =++++
Sob forma matricial:
(d)
=
++
+
+
+
+++0
)t(fxgL
2mm0
00x000cx
L3mmL
2mm
L2mmmmM
c.
.
..
..
2cc
cc
EXERCCIOS
1. Dado o pndulo com massa distribuda da figura, pedem-se:
(a) Modelo matemtico;(b) Linearizar o modelo matemtico,
estabelecendo a condio delinearizao.
Resp.: (a) 0senl2g3..
=+
(b) 0l2g3..
=+ para < 1 rad
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Hbridos pela Mecnica
Newtoniana 8
2. Idem Exerccio 1, porm agoraexiste uma massa concentrada Mna
extremidade da haste e umamortecedor viscoso torcional Cna
articulao O.
Resp.: (a) 0senl)M
3m(
g)M2m(
l)M3m(
C .
2
..=
+
++
+
+
(b) 0l)M
3m(
g)M2m(
l)M3m(
C .
2
..=
+
++
+
+ para < 1 rad
3 Considere o sistema carro - pndulo invertido do Exemplo 3 do
texto, cujo modelomatemtico dado pela equao
=
++
+
+
+
+++0
)t(fxgL
2mm0
00x000cx
L3mmL
2mm
L2mmmmM
c.
.
..
..
2cc
cc
Sendo f(t) a entrada e x(t) e (t) as sadas, achar as funes de
transfernciacorrespondentes.
-
1Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos
Hbridos pela Mecnica Lagrangiana
Obteno do modelo matemtico de sistemas mecnicos hbridos
(sistemas cujas massas executam movimentos de
translao e rotao), a partir da aplicao das Equaes de
Lagrange
Estudo ficar restrito ao movimento de corpos rgidos no plano,
tambm conhecido
simplesmente por movimento plano
Introduo
-
2EQUAES DE LAGRANGE
Seja um sistema mecnico com n GDL, cujas coordenadas
generalizadas so q1, q2, ... , qn
Energia potencial do sistema em um dado instante:
Energia cintica do sistema em um dado instante:
)q,...,q,q(VV n21=
Lagrangiano do sistema: VTL =
)q,...,q,q,q,...,q,q(TT n.
2.
1.
n21=
Equaes de Lagrange: n , ... 2, 1, i ,QqL
q
Ldtd
ii
i. ==
Qi = foras no-conservativas
Exemplo 1: Sistema mola-disco
O disco rola sem deslizar sobre o plano horizontal. Achar o
modelo matemtico usando a coordenada .
n , ... 2, 1, i ,QqL
q
Ldtd
ii
i. ==
2kx21V =
2.22.2.2.
mr21
21xm
21J
21xm
21T +=+=
-
322.2
2.kx
21mr
21
21xm
21VTL +==
n , ... 2, 1, i ,QqL
q
Ldtd
ii
i. ==
= rx .. rx =
222.2
2.2 kr21mr
21
21mr
21L +=
== 1q 1i 0LLdtd
. =
..2.2.2.2. mr2
3mr23
dtdmr
21mr
dtdL
dtd =
=
+=
=
2krL
0krmr23 2..2
=+ 0m3k2..
=+
Exemplo 2: Sistema carro-pndulo simples
Deduzir o modelo matemtico para pequenas oscilaes
+= cosmgLmgLkx21V 2
2.2..2.Lsenm
21cosLxm
21xM
21T
+
++=
+
+
++== cosmgLmgLkx21Lsenm
21cosLxm
21xM
21VTL 2
2.2..2.
n , ... 2, 1, i ,QqL
q
Ldtd
ii
i. ==
-
4xq 1i 1 == .. xc)t(fxL
x
Ldtd
=
== 2q 2i 0LLdtd
. =
2..........
. mLsencosmLxmxMcosLxmxMdtd
x
Ldtd ++=
++=
kxxL
=
( ) ..2...222..... mLxmLsencosmLxmdtdLsenmLsencosLcosLxmdtdLdtd
+= ++=
+
+=
== mgLmgLsenL
( ) )t(fkxxcmLxmM ..... =++++0mgLmLxmL
..2..=++
=
+
+
+0
)t(fxmgL0
0kx000cx
mLmLmLmM
.
.
..
..
2
Forma matricial:
Exemplo 3: Sistema carro-pndulo invertido
Deduzir o modelo matemtico para pequenas oscilaes
-
5n , ... 2, 1, i ,QqL
q
Ldtd
ii
i. ==
gLmcosgLm2Lmgcos
2LmgV cc +=
2.22.2..2.
c
2..c
2.mL
121
21sen
2Lm
21cos
2Lxm
21Lsenm
21cosLxm
21xM
21T +
+
++
+
++=
gLmcosgLm2Lmgcos
2LmgmL
121
21
sen2Lm
21cos
2Lxm
21Lsenm
21cosLxm
21xM
21VTL
cc
2.2
2.2..2.c
2..c
2.
+++
+
+
++
+
++==
xq 1i 1 == .. xc)t(fx
L
x
Ldtd
=
== 2q 2i 0LLdtd
. =
++
++=
....c
.
. cos2LxmcosLxmxM
dtd
x
Ldtd
++
+++
+=
.2....c
..c. mL12
1sen2Lsen
2Lcos
2Lcos
2LxmLsenLsenmcosLcosLxm
dtdL
dtd
( ) ( )
++
+
+
++
+
+=
gLsenmsen2Lmgcos
2Lsen
2Lm
sen2Lcos
2LxmcosLLsenmsenLcosLxmL
c..
.....c
...c
0xL=
( ) ..c..c. L)m2
m(xmmMx
Ldtd ++++=
..2c
..c
.2c
.c. Lm3
mxLm2mLm
3mxLm
2m
dtdL
dtd
++
+=
++
+=
2.....2.c
..c
..c
..
. Lsen2mcosL
2mxmLsenmcosLmxmxM
x
Ldtd +++++=
11 00
( ) ( ) ++++++=
.2.222..222c
.c. mL12
1sencosL4mxcosL
2msencosLmxcosLm
dtdL
dtd 1 11 1
+= gLm
2mL
c
0 0 0
0
-
6( ) )t(fxcL)m2m(xmmM
...c
..c =+++++
Forma matricial:
=
++
+
+
+
+++0
)t(fxgLm
2m0
00x000cx
Lm3mLm
2m
L2mmmmM
c.
.
..
..
2cc
cc
0gLm2mLm
3mxLm
2m
c..2
c..
c =
+
++
+
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias
Eletromecnicas1
1 INTRODUO
Os sistemas eltricos so componentes essenciais de muitos
sistemas dinmicos complexos. Por exemplo,um controlador de um
driver de disco de um computador ou o controlador da velocidade de
um automvelnecessitam de certos circuitos eltricos para funcionar.
Usaremos os termos sistemas eltricos ecircuitos eltricos como
sinnimos. Tendo em vista que existe no currculo uma disciplina de
CircuitosEltricos, onde o estudo feito com muito mais profundidade,
aqui faremos apenas uma abordagem queseja suficiente para a
compreenso das analogias que existem entre certos sistemas dinmicos
(analogiaseletromecnicas, eletro-hidrulicas, eletro-pneumticas,
eletrotrmicas, etc.), assim como dos sistemaseletromecnicos a serem
estudados posteriormente.
2 ELEMENTOS ELTRICOS PASSIVOS
Para modelar um sistema eltrico precisamos conhecer os seus
componentes eltricos passivos.
As relaes elementares de voltagens so:
Resistor (Lei de Ohm)
(1) eA eB = R iR
Indutor
(2)
Capacitor
(3)
onde R, L e C so a resistncia, a
08 Modelagem Matemtica deSistemas Eltricos.
Analogias Eletromecnicas
di L e -e LBA =
-eAdt
dtiC1 e
t
0CB = indutncia e a capacitncia, respectivamente.
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias
Eletromecnicas2
As relaes elementares de correntes so:
Resistor (Lei de Ohm)
(4)
Indutor
(5)
Capacitor
(6)
3 MODELAGEM DE CIRCUITOS ELTRICOS. LEIS DE KIRCHHOFF
A modelagem matemtica de um sistema eltrico simples feita
aplicando-se as Leis de Kirchhoff: a Leidos Ns e/ou a Lei das
Malhas.
Modelagem Matemtica pelo Mtodo dos Ns
Aplica-se a Lei dos Ns a cada n do circuito eltrico:
Exemplo 1
No circuito da fig. 1, o interruptor S fechado no instante t =
0. Achar o modelo matemtico, sendo E aentrada e as tenses eA e eB
as sadas.Considerar: 2R1 = R2 = R3
R3C = 1 E = 12 v
Re -e i BAR =
dt)ee(L1 i B
t
0AL =
dt)ee(dC i BAL
=
A soma das correntes que entram em um n de um circuito eltrico
igual soma das correntes que saem do mesmo n
Fig. 1
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias
Eletromecnicas3
Soluo
Referncia para voltagem: no n D eD = 0
Lei dos Ns aplicada ao n A:(a) i1 = i2 + i3
Usando as equaes das correntes:
Levando essas trs ltimas equaes na eq. (a):
(b)
Por outro lado, temos no ponto B:
logo(c)
Substituindo os dados do enunciado na eq. (b), chegamos a
(d) 4eA eB = 24
Analogamente, levando na eq. (c):(e)
Eliminando eA nas eqs. (d) e (e), chega
(f)
Assim, o modelo matemtico compos
Modelagem Matemtica pelo Mtodo d
Aplica-se a Lei dos Malhas a cada ma
1
A1 R
eE i =2
A
2
DA2 R
eR
ee i ==
3
BA3 R
ee i =
3
BA
2
A
1
AR
eeRe
ReE +=
dtde
Cdt
)ee(dC i BDB3 =
=
dtde
CRee B3BA =
BA.B eee =
A soma das quedas de voltagsoma das voltagenm
to
a
lh
esos EDOL de primeira ordem
pela EDOL (f) e pela equao algbrica (d).
s Malhas
a do circuito eltrico:
6e75,0e B.B =+
m em uma malha de um circuito eltrico igual que so introduzidas
na mesma malha
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias
Eletromecnicas4
Exemplo 2
No circuito RL srie da fig. 2 o interruptor S fechado no
instante t = 0. Achar o modelo matemtico,sendo E a entrada e i(t) a
sada.
Fig. 2
Soluo
Lei das Malhas: eL + eR = E
Usando as equaes das voltagens, chegamos a
(a)
Vemos que se trata de uma EDOL de primeira ordem bastante
simples.
4 ANALOGIAS ELETROMECNICAS
At agora, estudamos os sistemas mecnicomatemticas. Vamos, a
seguir, estabelecer cque permite definir o que chamamos
analogia
Dois sistemas fsicos so anlogos (duais) seja, pelo mesmo
conjunto de equaes difere
Os sistemas anlogos caracterizam-se posubmetidos a excitaes do
mesmo tipo. Essanlise e projeto, trabalhar experimentalmenmecnico
que est sendo projetado, antes dmais caro). O dimensionamento do
circuito Dimensional e Semelhana.
O conceito de sistemas anlogos bemeletrotrmica, eletropneumtica,
etc.
No que diz respeito analogia eletromecnicLei de Kirchhoff dos
ns, e a analogia fora-v
ERidtdiL =+s e os sistemas eltricos, apresentando suas
modelagensertas caractersticas comuns aos dois tipos de sistemas,
oeletromecnica.
quando so descritos pelo mesmo modelo matemtico, ounciais ou
pela mesma funo de transferncia.
r apresentarem a mesma forma de resposta quandoe fato de extrema
importncia, pois permite, nas fases dete com o circuito eltrico
(mais barato) anlogo do sistemaa implementao do prottipo do sistema
mecnico (muitoeltrico anlogo feito com base na Teoria da Anlise
mais amplo: podemos ter analogias eletro-hidrulica,
a, temos dois tipos: a analogia fora-corrente, com base
naoltagem, amparada na Lei de Kirchhoff das malhas.
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias
Eletromecnicas5
5 ANALOGIA FORA-VOLTAGEM
Vamos considerar o sistema mecnico massa-mola-amortecedor com um
GDL e o sistema eltricoresistor-indutor-capacitor srie, mostrados
na fig. 3:
Sistema mecnico Circuito eltrico
Fig. 3
Os modelos matemticos dos dois sistemas, conforme j vimos,
so:
Sistema Mecnico Sistema Eltrico
(a) Sistema translacional:
)t(fkxxcxm... =++
(b) Sistema rotacional:
)t(TKCJ... =++
)t(eidtC1Ri
dtdiL
t
0=++
ou, como dtdqi = q
tdqd
dtdi ..
2
2==
=t0 qidtento )t(eq
C1qRqL
... =++
Examinando os modelos matemticos dos sistemas mecnico e eltrico,
verificamos que os mesmos socompostos pelas mesmas equaes
diferenciais, a menos dos smbolos utilizados. Pela posio que
ocupamnas equaes, podemos facilmente estabelecer as quantidades
anlogas dos dois sistemas:
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias
Eletromecnicas6
Sistema Mecnico Sistema Eltrico
Fora f (ou Torque T)Massa m (ou Inrcia J)
Coef. Amortecimento Viscoso c (ou C)Rigidez k (ou K)
Deslocamento x (ou )Velocidade ,. ou x Acelerao
,... ou x
Voltagem eIndutncia LResistncia R
Inverso da Capacitncia 1/CCarga eltrica q
Corrente eltrica iVariao di/dt
6 ANALOGIA FORA-CORRENTE
Vamos considerar, agora, o mesmo sistema mecnico
massa-mola-amortecedor com um GDL e o sistemaeltrico
resistor-indutor-capacitor paralelo, mostrados na fig. 4:
Sistema mecnico Circuito eltrico
Fig. 4
Semelhantemente ao caso anterior, podemos ter os dois modelos
matemticos:
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias
Eletromecnicas7
Sistema Mecnico Sistema Eltrico
(a) Sistema translacional:
)t(fkxxcxm... =++
(b) Sistema rotacional:
)t(TKCJ... =++
iC + iR + iL = i
iedtL1
Re
dtdeC
t
0=++
ou, como dtde = onde = fluxo magntico
= ..dtde e =t0edt
ento )t(iL1
R1C
... =++
Analogamente, podemos facilmente estabelecer as quantidades
anlogas dos dois sistemas:
Sistema Mecnico Sistema Eltrico
Fora f (ou Torque T)Massa m (ou Inrcia J)
Coef. Amortecimento Viscoso c (ou C)Rigidez k (ou K)
Deslocamento x (ou )Velocidade ,. ou x Acelerao
,... ou x
Corrente eltrica iCapacitncia C
Inverso da Resistncia 1/RInverso da Indutncia 1/L
Fluxo magntico Voltagem e
Variao de/dt
Portanto, podemos concluir que:
sistemas anlogos mesma equao diferencialmesma funo de
transferncia
7 OBTENO DO CIRCUITO ELTRICO ANLOGO POR INSPEO
Comparando as figuras anteriores, podemos observar que:
(1) Analogia fora-voltagem: k e c em paralelo anlogos C e R em
sriek e c em srie anlogos C e R em paralelo
(2) Analogia fora-corrente: k e c em paralelo anlogos 1/L e 1/R
em paralelok e c em srie anlogos 1/L e 1/R em srie
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias
Eletromecnicas8
Os fatos acima permitem construir o circuito eltrico anlogo a um
dado sistema mecnico simplesmentepor inspeo.
Assim, na figura do sistema mecnico colocamos um ponto (P, Q, S,
etc.) em cada um dos seguintes locais:massas, pontos de aplicao de
foras e pontos de ligao entre elementos flexveis (molas
eamortecedores). A quantidade de pontos assim definidos nos informa
a quantidade de GDL do sistemamecnico.
Para a construo do circuito eltrico levamos em conta que a
quantidade de GDL do sistema mecnico igual quantidade de malhas do
circuito eltrico e que cada ponto do sistema mecnico (P, Q, S,
etc.)corresponde a uma malha do circuito eltrico.
Com essas informaes, podemos construir o circuito eltrico
anlogo, conforme ilustram os exemplos dasfigs. 5 e 6:
Exemplo 3 (fig. 5):
Exemplo 4 (fig. 6):
Fig. 5
Fig. 6
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias
Eletromecnicas9
8 OBTENO DO CIRCUITO ELTRICO ANLOGO A PARTIR DASEQUAES
DIFERENCIAIS
Mostraremos a seguir, atravs de um exemplo, uma maneira mais
rigorosa de obter o circuito eltricoanlogo a um dado sistema
mecnico, a partir do modelo matemtico desse ltimo.
Exemplo 5
Usando a analogia fora-voltagem, obter o circuito eltrico anlogo
do sistema mecnico da fig. 7.
Soluo
Inicialmente, vamos achar o modelo matemtico do sistema mecnico.
Para isso, construmos o diagramade corpo livre (fig. 8) e aplicamos
a Segunda Lei de Newton:
Fig. 8
massa m1:
massa m2:
Ordenando:
1..
11.
1111.
2.
2122 xmxcxk)xx(c)xx(k =+
2..
21.
2.
2122 xm)xx(c)xx(k =
0)xx(k)xx(cxm
0)xx(k)xx(cxkxcxm
1221.
2.
22..
2
2122.
1.
2111.
11..
1
=++=++++
Fig. 7
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias
Eletromecnicas10
Usando a analogia fora-voltagem, obtemos as equaes do circuito
eltrico anlogo:
Vemos, nas equaes acima, que o termo de acoplamento, i1 - i2,
est presente nas duas equaes. Logo,ele deve pertencer
simultaneamente s duas malhas do circuito eltrico, ou seja, deve
estar presente noramo comum a ambas as malhas. Assim, podemos
construir o circuito eltrico anlogo:
Comparando as figs. 7 e 9, podemos comprovar que a cada grau de
liberdade no sistema mecnicocorresponde uma malha no circuito
eltrico.
Fig. 9
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias
Eletromecnicas11
EXERCCIOS
1 Representar o modelo matemtico do Exemplo 1 do texto pelas
funes de transferncia
)s(E)s(E
)s(G e )s(E)s(E)s(G B2
A1 ==
2 Dado o circuito RLC srie da figura, determinar:(a) modelo
matemtico;(b) freqncia natural;(c) fator de amortecimento;(d) funo
de transferncia EC(s)/E(s), onde eC(t) a sada (tenso no capacitor)
e(t) a entrada.
Resp.: (a) dtde
L1i
LC1
dtdi
LR
dtid2
2=++ (b)
(c) LCR
21 2= (d)
)LC1s
LRLC(s
1)s(E)s(E
2C
++=
3 Dado o circuito da figura, deduzir o modelo matemtico e obter
as funes de transfernciaI1(s)/E(s) e I2(s)/E(s).
Resp.: Modelo matemtico: 0dt)ii(
C1iR
dtdiL
Edt)ii(C1iR
12222
2111
=++
=+
LC1
n =
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias
Eletromecnicas12
4 Obter o circuito eltrico anlogo do sistemamecnico da figura,
usando a analogiafora-voltagem e as equaes diferenciaisdo sistema
mecnico (a serem deduzidas previamente).
5 Resolver o Exerccio 4 por inspeo. Deu o mesmo resultado?
6 Obter o circuito eltrico anlogo do sistemamecnico da figura,
usando a analogiafora-voltagem e as equaes diferenciaisdo sistema
mecnico (a serem deduzidas previamente).
7 Resolver o Exerccio 6 por inspeo. Deu o mesmo resultado?
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eletromecnicos1
1 INTRODUO
Veremos, a seguir, a modelagem matemtica de sistemas
eletromecnicos, ou seja, sistemas que tratamda converso de energia
eletromagntica em energia mecnica com o objetivo de acionar um
sistemamecnico, como os j estudados at aqui.
Na modelagem matemtica de sistemas eletromecnicos temos
necessidade de:
(1) aplicar as Leis de Newton e as relaes constitutivas dos
elementos mecnicos, para desenvolver asEDOLs que descrevem o
movimento do subsistema mecnico;
(2) aplicar as Leis de Kirchhoff e as relaes constitutivas dos
elementos eltricos, para desenvolver asEDOLs que descrevem o
comportamento do subsistema eltrico;
(3) aplicar as Leis da Induo Magntica, para modelar a interao
entre os subsistemas mecnico eeltrico.
Aps a apresentao das Leis da Induo Magntica (as Leis de Newton e
de Kirchhoff j foramestudadas), desenvolveremos, a ttulo de
ilustrao, o modelo matemtico de um sistema eletromecnico.
2 LEIS DA INDUO MAGNTICA
Consideremos, inicialmente, um campo magntico B, tal como o que
existe entre os plos de um impermanente construdo com material
ferromagntico.
Primeira Lei da Induo Magntica
Se uma partcula com carga eltrica q estiver em movimento, com
velocidade V, no interior de umcampo magntico de intensidade B,
sobre ela o campo gerar uma fora F, dada por
(1) F = qV x B
A unidade SI de B [N/mA
Observemos que a fora F velocidade V, de acordocom a eq. (1).
Portanto, ela n
9 Modelagem Matemtica deSistemas Eletromecnicos]. Define-se 1
gauss (G) = 10-4 N/mA.
no executa trabalho mecnico, pois ela normal
o altera a energia cintica da partcula.
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eletromecnicos2
Consideremos, agora, um elemento de fio condutor de comprimento
dl, posicionado dentro de um campomagntico B, atravs do qual
circula uma corrente I, conforme fig. 1.
Fig. 1
Sobre esse elemento agir uma fora elementar dF, a qual pode ser
obtida a partir da eq. (1):
dF = dq V x B Bl xdtdIdt=
(2) dF = I dl x B
Para um comprimento finito de fio, a fora resultante ser obtida
integrando a eq. (2):
(3) F = Bl xIdA eq. (3) a base para dispositivos atuadores, tais
como motores, motivo pelo qual ela conhecida comoLei do Motor
(acompanhar pela fig. 2):
Fig. 2
O mdulo da fora, em N, vale
(4) F = B I l sen onde B = campo magntico
I = corrente eltrica que circula no condutorl = comprimento do
condutor imerso no campo magntico = ngulo entre o condutor e o
campo magntico
A passagem de uma corrente eltrica em um condutor situado em um
campo magntico provoca oaparecimento de uma fora eletromagntica que
atua sobre o condutor, cuja direo e sentido so dados
pela produto vetorial da eq. (3).
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eletromecnicos3
O valor mximo de F obtido quando sen = 1 = 900, motivo pelo qual
sempre se coloca o condutorperpendicular ao campo magntico.
Segunda Lei da Induo Magntica
a chamada Lei da Induo Eletromagntica de Faraday:
Se um fio condutor estiver em movimento dentro de um campo
magntico, ento um gradiente depotencial (voltagem) gerado ao longo
do fio.
Fig. 3
Para um condutor elementar de comprimento dl, movendo-se com
velocidade V dentro de um campomagntico B, a diferena de potencial
elementar dada por
(5) de = V x B dl
A voltagem induzida aumenta na direo de V x B. Para um
comprimento finito de fio, a voltagem induzida obtida integrando a
eq. (5):(6) lBV d xe =A eq. (6) forma a base para dispositivos que
geram energia eltrica a partir de energia mecnica, taiscomo
turbinas a vapor e geradores em geral, motivo pelo qual ela
constitui a chamada Lei do Gerador:
O valor da voltagem, em volts, dado por
(7) e = B l V
onde B = intensidade do campo magnticol = comprimento do
condutor imerso no campo magnticoV = velocidade do condutor
perpendicularmente ao campo
Se um condutor de comprimento l move-se com velocidade V em um
campo magntico de intensidade B eperpendicularmente a ele, ento
gerada uma voltagem e no condutor.
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eletromecnicos4
Na discusso anterior foram apresentados os dois efeitos
eletromagnticos de maior interesse para amodelagem de um sistema
eletromecnico. Se considerarmos simultaneamente a ocorrncia desses
doisefeitos, podemos ver claramente que as partes eltrica e mecnica
iro interagir. Assim, supondo que umfio condutor seja fixado a um
corpo que se move dentro de um campo magntico, a fora
eletromagnticagerada far com que o corpo seja acelerado. Por outro
lado, medida que o corpo se movimenta, a suavelocidade far com que
seja gerada uma voltagem (denominada fora contra-eletromotriz), a
qualafetar a corrente eltrica no condutor, e essa ltima, por sua
vez, afetar a fora exercida sobre oobjeto e assim por diante.
Portanto, durante o funcionamento de um sistema eletromecnico,
aplicam-se ambas as leis, a do motor e a do gerador.
3 MODELAGEM MATEMTICA DE UM SERVOMOTOR DE CORRENTE CONTNUA
O controle dos servomotores CC pode ser feito atravs da:
corrente de campo, if (no caso de o campo magntico ser gerado
por um eletroim);
corrente da armadura, ia (mais comum).
Consideremos um servomotor CC controlado pela armadura, conforme
fig. 4, onde a corrente de campodo eletroim, if, constante:
Fig. 4Fig. 4
Na fig. 4 identificamos:
Ra = resistncia da armadura []La = indutncia da armadura [H]ia =
corrente na armadura [A]if = corrente de campo [A]ea = voltagem na
armadura [V]eb = fora contra-eletromotriz [V] = deslocamento
angular do eixo do motor [rad]T = torque desenvolvido pelo motor
[Nm]J = momento de inrcia do motor e da carga, referidos ao eixo do
motor [kg m2]C = coeficiente de amortecimento viscoso do motor e
carga, referidos ao eixo do motor [Nms/rad]
Obs.: o eixo ser suposto rgido, ou seja, no ser levada em conta
a sua elasticidade.
Para a modelagem matemtica, necessrio aplicar as leis fsicas dos
vrios componentes.
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eletromecnicos5
Parte eltrica:
Fluxo magntico, : proporcional corrente de campo
(8) = kf if
onde kf uma constante de proporcionalidade.
Torque desenvolvido pelo motor, T: proporcional ao produto da
corrente da armadura pelo fluxomagntico
T = k1 ia
ou T = k1 ia kf if
Como k1, kf e if so constantes: k1 kf if = k (constante do
motor, fornecida pelo fabricante). Logo:
(9) T = k ia
Fora contra-eletromotriz eb: quando a armadura est girando, est
presente tambm a lei do gerador,fazendo com que surja uma voltagem
proporcional velocidade angular
(10) dtd
kbeb=
onde kb a constante do gerador.
Lei de Kirchhoff das malhas para o circuito eltrico da
armadura:
(11) aebeaiaRdtadi
aL =++
Parte mecnica:
2a Lei de Newton:
(12)Levando em conta a eq. (9):
(13) iakdtdC
dtdJ 2
2=+
Funo de transferncia do servomotor CC:
Considerando todas as condies iniciais nulas, podemos obter as
transformadas de Laplace das eqs. (10),(11) e (13):
TdtdC2dt
dJ
2dtdJ
dtdCT2dt
dJText
2
22
=+
==
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eletromecnicos6
(14)
(15)
(16)
Substituindo a eq. (14) na eq. (15):
RasLa
)s(skb)s(Ea)s(Ia
)s(Ea)s(skb)s(IaRa)s(IasLa
+=
=++
Levando Ia (s) na eq. 6), aps manipulaes algbricas, ficamos
com:
Considerando ea(t) co
(17)
Vemos (eq. (17)) que um sistema de 2a orseja muito pequena
ntransferncia simplif
(18)
Por outro lado, chama
podemos, finalmente
(19)
)s(Iak)s( Cs)s(s2J
)s(Ea)s(Eb)s(IaRa)s(IasLa
)s( sbk)s(bE
=+
=++
=(1 )s(EaRasLak)s()
RasLa
skbkCss2(J +=+++
mo entrada e (t) como sada, podemos achar a funo de
transferncia:
]kbkCRas)JRabLa(s2JLas[
k=)s(Ea
)s(++++
se trata de um sistema de 3a ordem. Entretanto, podemos baixar a
sua ordem paradem, levando em considerao que muito comum que a
indutncia da armadura Laa presena dos demais parmetros, podendo ser
desprezada. Nesse caso, a funo deica para:
ndo
motor do tempo de constante =Tm=kbkCRaJRa
motor do ganho=km=kbkCRak
+
+
, rescrever a eq. (18) como
)1smT(s
km=)s(Ea
)s(+
)
JRakbkCRas(s
JRak
=)s(Ea
)s(
)kbkCRaJsRa(s
k=)s(Ea
)s(
++
++
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Eletromecnicos7
EXERCCIOS
1 Achar a funo de transferncia 2(s)/Ea(s) do servomotor CC da
figura, cuja indutncia daarmadura desprezvel (no mostrada).
Desprezar a elasticidade dos eixos e os amortecimentos.
Resp.:
sKKsJJR
Knn
)s(E)s(
)s(G
b2
21
21a
2
1
a
2
+
+
==
2 dado o servomotor CC da figuratransferncia 2(s)/Ea(s).
DesprezDados numricos:
Ra = 0,2 Kb = 5,5 x 10-2 V.s/radK = 8,1365 x 10-5 N.m/AJmotor =
1,356 x 10-5 kg.m2
JL = 5,9664 x 10-3 kg.m2
CL = 5,424 x 10-2 N.m.s/radN1/N2 = 0,1n
n2
, cuja indutncia da armadura desprezvel. Achar a funo dear a
elasticidade dos eixos.
-
Modelagem Matemtica de Sistemas Hidrulicos 1
Modelagem Matemtica de Sistemas Hidrulicos
10 1 INTRODUO Os fluidos, estejam na forma lquida ou gasosa,
constituem os meios mais versteis para a transmisso de sinais e de
potncia, sendo largamente empregados na indstria, principalmente em
processos qumicos, sistemas automticos de controle, atuadores,
automao de mquinas, etc. Os sistemas fluidos so normalmente
interconectados a sistemas mecnicos atravs de bombas, compressores,
vlvulas e cilindros. Uma turbina acionada por gua e usada para
movimentar um gerador eltrico um exemplo em que interagem elementos
hidrulicos, mecnicos e eltricos. Basicamente, lquidos e gases podem
ser diferenciados por suas compressibilidades: um lquido
considerado praticamente incompressvel, ao passo que um gs
deforma-se facilmente com a mudana de presso. Alm disso, um lquido
pode apresentar uma superfcie livre, enquanto que um gs expande-se
de modo a ocupar totalmente o seu reservatrio. Vamos utilizar o
termo sistema hidrulico para descrever sistemas que usam um lquido
como fluido de trabalho e sistema pneumtico para sistemas que
utilizam um gs como fl