CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]1 FUNÇÃO Dados dois conjuntos não vazios A e B , denominamos função toda relação B A f → : na qual, para todo elemento de A , existe um único correspondente em B . Uma função B A f → : é também representada por: A lei de formação é uma sentença matemática, representada por: Exemplo: 1. São dados { } 2 , 1 , 0 , 1 - = A , { } 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 - - = B e B A f → : definida por ( ) { } x y B A y x f 2 | , = × ∈ = . Encontre os pares ordenados de f . . 2. Considere { } 1 1 | ≤ ≤ - ∈ = x Z x A , { } 2 2 | ≤ ≤ - ∈ = y Z y B e a relação B A R → : , definida por ( ) { } 2 | , x y B A y x R = × ∈ = . . Observe que para cada elemento de A há um único elemento em B, portanto R é uma função. Par ordenado 1 212 1, 20 200 0, 01 212 1, 22 224 2, 4Par ordenado 1 11 1, 10 0 0 0, 01 1 1 1, 1Observe que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. Desta forma podemos observar que, um diagrama de relação de em representa uma função se: de cada elemento de parte apenas uma flecha; não “sobra” elemento em . , ∈ | "çã"é denominado variável independente e , variável dependente 1 0 1 2 2 1 0 1 2 3 4 5 0 1 1 2 0 1 1 2
Aqui teremos uma apostila que trata do estudo de funções
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
� DEFINIÇÃO Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em um subconjunto D de ℝ faz corresponder exatamente
um elemento chamado fx�, em um subconjunto C de ℝ. D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f. Exemplo: Sendo IRIRf →: , onde ( ) 42 += xxfx a , temos:
a. ( ) 4404020 =+=+⋅=f
b. ( ) ( ) 0444222 =+−=+−⋅=−f
c. ( ) ( ) 624224121 +=++=++⋅=+ hhhhf
� DOMÍNIO E IMAGEM E CONTRA DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Seja BAf →: , como toda função é uma relação, temos que o domínio de f é:
A Imagem de f é formada pelos elementos de B que são correspondentes dos elementos do domínio e é definida por:
O contradomínio de f é o próprio conjunto B :
Exemplo
1. Seja a função BAf →: representada pelo diagrama abaixo:
, � �
-" � �� ∈ �|� � ���&
., � �
� �
�1235
45678
9 , � � -" � �4, 5, 6, 7& ., � �
Temos:
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
Dependendo do domínio e da lei de formação que define uma função, é importante notar que o seu gráfico pode ter apenas um ponto, alguns pontos, ou ainda infinitos pontos.
Observe que neste caso, o gráfico da função não é contínuo, pois o domínio é um conjunto de números inteiros.
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
1. Construa o gráfico da função IRIRf →: , definida por 12 +−= xy .
2. Construa o gráfico da função IRIRf →: , definida por 5+= xy .
3. Construa o gráfico da função IRIRf →: , definida por 24 +−= xy .
� RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO ATRAVÉ DO GRÁFICO
Além de construir o gráfico de uma função, é possível também reconhecer se um determinado gráfico de uma relação representa ou não uma função.
Para tanto, verificamos se a cada x do domínio corresponde uma única imagem, traçando retas paralelas ao eixo y e observando se cada uma delas intercepta o gráfico em um único ponto.
� � � gv�� � 12�g �1g 1� 1/2h 1/3
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
1. O gráfico abaixo representa uma função f definida em um subconjunto de IR . Determine: a. O domínio da função b. A imagem da função c. Os valores de ( )4−f , ( )2−f , ( )0f e ( )3f .
d. Quais os zeros (raízes) de f .
� ESTUDO DOS SINAIS DE UMA FUNÇÃO
Estudar o sinal de uma função significa determinar para quais valores do domínio essa função assume valores positivos, nulos ou negativos.
Sendo 1x , 2x e 3x raízes de ( )xf
para � < �` ou �� < � < �i ⟹ ��� < 0
para � � �` ou � � ��ou � � �i ⟹ ��� � 0
para �` < � < �� ou � > �i ⟹ ��� > 0
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
1. Faça o estudo do sinal da função f definida pelo gráfico abaixo.
� FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE
• Uma função real � � ���, de domínio ,, é crescente num intervalo contido em , se, para quaisquer �` e �� desse intervalo, com �� > �`, ocorrer ���� > ��`�.
• Uma função real � � ���, de domínio ,, é decrescente num intervalo contido em , se, para quaisquer �` e �� desse intervalo, com �� > �`, ocorrer ���� < ��`�.
• Se em um dado intervalo do domínio a função não é crescente nem decrescente, então é uma função
constante.
Exemplo
� é Decrescente nos intervalos:
� < �` e �� < � < �i
� é Crescente nos intervalos:
�` < � < �� e �i < � < �z
� é constante para � > �z
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
Uma função real y � fx�, de domínio D, é crescente num intervalo contido em D se, para quaisquer x`ex� desse intervalo, com x� > x`, ocorrer, fx�� > �x`�.
Exemplo:
A função fx� � 2xi + x � 1 é crescente no intervalo b�1, 1c, ou em qualquer outro intervalo.
� FUNÇÃO DECRESCENTE
DEFINIÇÃO:
Uma função real y � fx�, de domínio D, é decrescente num intervalo contido em D se, para quaisquer x`ex� desse intervalo, com x� > x`, ocorrer, fx�� < �x`�.
Exemplo:
A função fx� � �2xi + x � 1 é decrescente no intervalo b�∞,�1c,
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
1. Existem funções que não são nem pares nem Ímpares
Exemplo:
A função fx� � 1 � x~
Pois f�2� � 1 � �2�~ � 1—32 � 1 + 32 � 33
e f2� � 1 � 2~ � 1 � 32 � �31, logo f�2� ≠ f2� e f�2� � 33 ≠ 31 � �f2�
2. Existe uma única função que é par e ímpar ao mesmo tempo, a função nula em ℝ.
fx� � 0
� FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função f: A ⟶ B, Bijetora, podemos obter uma função f�` de DemC invertendo-se a ordem dos pares ordenados de f. Essa função é chamada de inversa.
Novas funções a partir de antigas: transformações de funções
Multiplicar uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para c > 1) ou comprimir (para 0 < � < 1) verticalmente o gráfico de f.
Exemplo:
Para ( ) xxf cos= e ( ) xxg cos2= .
Multiplicar a variável independente de uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito
geométrico de alongar (para 0 < � < 1) ou comprimir (para c > 1) horizontalmente o gráfico de f.
Exemplo:
Para ( ) xxf cos= e ( ) ( )xxg 2cos= .
1. U�� � � ∙ ���: ALONGAMENTOS E COMPRESSÕES VERTICAIS
2. U�� � �� · ��: ALONGAMENTOS E COMPRESSÕES HORIZONTAIS
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
Como a base é positiva e diferente de zero temos que ax � 1, portanto todo gráfico de fx� � a£, corta o eixo y no ponto 0,1�. Se a> 1� é crescente se 0 < # < 1 f é decrescente.
Exemplo:
1. Esboce o gráfico da função � � 3 � 2� e determine seu domínio e sua imagem.
O domínio de uma função exponencial em geral é o conjunto dos números reais
Podemos observar que a Imagem é Im � �∞,3�.
� � � h � ���� �, ¥¦�g �, ¦l g� �gh �¦
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS