Universidad Austral de Chile Facultad de Ciencias de la Ingeniería Escuela de Ingeniería Naval “Estudio Numérico Experimental de una Viga Agrietada” Tesis para optar al Título de: Ingeniero Naval Mención: Arquitectura Naval Profesor Patrocinante: Sr. Héctor Legue L. Ingeniero Civil Mecánico MSc. Ingeniería Oceánica CARLOS PATRICIO PARRA CONTRERAS VALDIVIA - CHILE - 2010 -
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“Estudio Numérico Experimental de una Viga Agrietada”
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Universidad Austral de Chile Facultad de Ciencias de la Ingeniería
Escuela de Ingeniería Naval
“Estudio Numérico Experimental de una Viga Agrietada”
Tesis para optar al Título de:
Ingeniero Naval
Mención: Arquitectura Naval
Profesor Patrocinante:
Sr. Héctor Legue L.
Ingeniero Civil Mecánico
MSc. Ingeniería Oceánica
CARLOS PATRICIO PARRA CONTRERAS
VALDIVIA - CHILE
- 2010 -
INDICE Índice I Resumen II CAPITULO I: INTRODUCCION……………………………………………….. 1 1.1 Análisis Modal………………………………………………………………. 1 1.2 Análisis Modal Experimental………………………………………………… 1 1.3 Grietas………………………………………………………………………... 2 1.4 Identificación de daño en vigas………………………………………………. 2 1.5 Objetivos……………………………………………………………………... 3 1.6 Revisión Bibliográfica……………………………………………………….. 3 CAPITULO II: MARCO TEORICO…………………………………………… 4 2.1 ¿Qué es análisis Modal?.................................................................................... 4 2.2 Análisis Modal Experimental………………………………………………… 5 2.3 Visión General del Análisis modal Experimental……………………………. 5 2.3.1 Teoría del Análisis Modal……………………………………………….. 6 2.3.2 Métodos de Análisis Modal experimental………………………………. 6 2.3.3 Adquisición de datos modales…………………………………………… 6 2.3.4 Estimación de parámetros modales……………………………………… 6 2.3.5 Presentación o validación de datos modales…………………………….. 6 2.4 Desarrollo Teórico del Análisis Modal………………………………………. 7 2.4.1 Introducción……………………………………………………………... 7 2.4.2 Supuestos Básicos del análisis modal…………………………………… 7 2.4.3 Sistemas con un gado de libertad 1GDL………………………………… 7 2.4.4 Dominio del tiempo: Función de respuesta al impulso………………….. 9 2.4.5 Dominio de frecuencia: Función de respuesta de frecuencia……………. 10 2.4.6 Dominio de Laplace: Función de Transferencia………………………… 11 2.4.7 Sistemas con múltiple grado de libertad………………………………… 12 2.5 Teoría de la vibración por flexión de vigas uniformes………………………. 13 2.6 Fundamentos del Análisis Modal Experimental……………………………... 18 2.6.1 Transformada Rápida de Fourier………………………………………... 18 2.6.2 La Función de Respuesta en Frecuencia FRF…………………………… 19 CAPITULO III: Análisis Numérico – Experimental……………………………. 20 3.1 Introducción………………………………………………………………….. 20 3.2 Análisis en MEF……………………………………………………………… 20 3.2.1 Definición del elemento a utilizar……………………………………….. 20 3.2.2 Modelación de la Viga en Voladizo……………………………………... 23 3.2.3 Modelación de la Grieta…………………………………………………. 23 3.3 Análisis Experimental………………………………………………………... 27 3.3.1 Introducción……………………………………………………………... 27 3.3.2 Sistema ideal para un Análisis Modal Experimental……………………. 28 3.3.3 Prueba de Impacto (Bump Test)………………………………………… 28 3.3.4 Sistema Utilizado……………………………………………………….. 29 3.3.5 Descripción del método utilizado……………………………………….. 29 3.3.6 Validación del método utilizado………………………………………… 30 3.3.7 Obtención de los modos de vibrar……………………………………….. 32 3.3.8 Resultados Obtenidos……………………………………………………. 34 3.3.9 Modelación de la Grieta experimental…………………………………... 37 CAPITULO IV: Resultados……………………………………………………… 38 4.1 Análisis del Primer Modo de vibrar…………………………………………. 39 4.2 Análisis del Segundo Modo de vibrar………………………………………... 39 4.3 Análisis del Tercer modo de vibrar…………………………………………... 40 CAPITULO V: Conclusiones……………………………………………………... 42 BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………. 43
RESUMEN
En el presente trabajo se analizará la influencia que tiene el avance de una grieta de contorno en
una viga en voladizo, detectando los cambios en las frecuencias de las formas modales de vibrar
en flexión.
Para esto se utilizarán dos métodos, a través de una modelación de elementos finitos MEF y en
forma experimental. Luego se compararán estos dos métodos para analizar la diferencia entre
estos resultados.
Con estos resultados se evaluará la posibilidad de efectuar análisis de grietas en vigas a través de
la detección de cambios en las frecuencias de los modos de vibrar con el método de Prueba de
Impacto (Bump Test).
ABSTRACT
In the present work, the influence that has the advance o fan edge crack in a cantilever Beam will
be examined, detecting the changes in the frecuencies of the modes of vibration in flexion.
Two methods, through a modelation of finite elements method FEM and in experimental form
will de utilized. Then these two methods to examine the difference between these results will be
compared.
The posibility to make analysis of crack in beams through the detection of changes in the
frecuencies of the modes of vobration, through Bump Testing, will be evaluated.
AGRADECIMIENTOS
A Loreto, por su completo apoyo en este último paso.
También quiero agradecer a todos los profesores del Instituto de Cs. Navales y Marítimas que
mantienen la enseñanza de la Ingeniería Naval en Chile.
DEDICADO
…a mis padres.
1
Capitulo I: Introducción
1.1 Análisis Modal
Durante las pasadas tres décadas, el análisis modal se ha convertido en una de las principales
tecnologías de búsqueda para determinar, mejorar y optimizar características dinámicas al diseñar
estructuras. No sólo es reconocido en la ingeniería mecánica y aeronáutica, el análisis modal
también ha descubierto profundas aplicaciones para las estructuras civiles y edificios, problemas
biomecánicos, estructuras espaciales, instrumentos acústicos, el transporte y las plantas nucleares.
Para apreciar su significado en el área moderna de la ingeniería y su potencial para la tecnología
y ciencia futura, es apropiado tener en cuenta una cierta cantidad de los hechos de fondo que
ayudarán a subrayar esta tecnología única.
La mayoría de las estructuras vibran debido a fuerzas que causan las vibraciones. A menudo las
vibraciones deben ser investigadas no sólo si tienen algún problema inmediato, sino que también
para establecer patrones de buen funcionamiento. Cualquiera que sea la razón, se necesita
cuantificar la respuesta estructural de alguna manera para que de esa forma se pueda evaluar la
implicancia en factores como el comportamiento y la fatiga del material.
Ante este panorama es indudable que el uso de softwares de modelación mediante el método de
elementos finitos MEF se hace cada vez más común y por lo mismo se tiende a pensar que estos
modelos son una fiel copia de la realidad, es por esto que se hace necesario realizar
comparaciones entre modelos MEF y modelos reales experimentales para poder corroborar su
exactitud o establecer fortalezas y debilidades de estos softwares.
1.2 Análisis Modal experimental
El análisis modal experimental es el proceso de determinar los parámetros modales como las
frecuencias, amortiguación y modos de vibrar de un sistema lineal e invariante en el tiempo a
través de una aproximación experimental. Los parámetros modales pueden ser determinados a
través de métodos analíticos, como el análisis de elementos finitos y una de las razones comunes
para el análisis modal experimental es la verificación u/o corrección de los resultados analíticos.
A menudo, sin embargo, un modelo analítico no existe y los parámetros modales determinados
experimentalmente sirven de modelo (base) para futuras evaluaciones como por ejemplo
modificaciones estructurales. Generalmente, un análisis modal experimental es usado para
explicar un problema o comportamiento dinámico, que no es obvio o intuitivo, modelos analíticos
o experiencias previas similares. Es importante recordar que la mayoría de los problemas de
2
vibración son funciones de ambos, las funciones de fuerza (o condiciones iniciales) y las
características del sistema descritas por los parámetros modales.
1.3 Grietas
Las grietas se presentan en estructuras debido a variadas razones. La presencia de una grieta no
solo podría producir variación en la rigidez, también podría afectar el comportamiento mecánico
de la estructura completa en forma considerable. Las grietas presentes en componentes
vibratorios o rotatorios podrían llevar a una falla catastrófica. Por esta razón hay una necesidad
de entender la dinámica de estructuras agrietadas. Las características de la vibración de una
estructura agrietada puede ser útil para una detección “en línea” (Monitoreo Continuo) de grietas
sin desmantelar la estructura (Prueba no destructiva). En particular, las frecuencias naturales y
formas de modo de vigas agrietadas pueden proveer, dentro de lo considerable, una apreciación
del daño.
1.4 Identificación de daño en vigas
Las vigas son elementos de construcción muy importantes debido a su extenso uso en la
Ingeniería y obviamente en la Construcción Naval. También, es importante conocer el
comportamiento dinámico de vigas con defectos. Por consiguiente, este tema es estudiado por
investigadores, ya que resulta útil para identificar la ubicación y la magnitud de defectos.
En ingeniería, se sobreentiende intuitivamente al daño como una imperfección o deterioro de la
función y condición de trabajo de una estructura o máquina. Por lo tanto, entendemos por
detección de daño a un proceso de localización de averías que describe la presencia del mismo.
La detección del daño constituye el objetivo primario en un problema más general que significa
lograr su identificación. Un análisis posterior y niveles superiores de esa identificación incluyen:
severidad y clasificación del daño, localización del daño, y finalmente, predicción de vida
remanente en servicio de la estructura y su posible interrupción.
3
1.5 Objetivos
Utilizar un equipo de análisis de vibraciones en máquinas para obtener características modales de
una estructura simple a través de un método llamado Prueba de Impacto (Bump Test).
Entender como la información modal es extraída desde las mediciones de vibración a través de un
equipo de vibraciones que no realiza análisis modales.
Analizar como cambia el comportamiento dinámico de una viga en voladizo a medida que crece
una grieta de contorno.
Comparar los resultados obtenidos a través de un modelo analítico y uno experimental para poder
establecer la exactitud de los resultados que se obtienen a través del método de elementos finitos.
Establecer si es posible utilizar el método Prueba de Impacto para el análisis de daño en vigas.
1.6 Revisión bibliográfica
Las formas modales teóricas, en las cuales se basará este estudio, provienen de la teoría de la
flexión normalmente aplicada en ingeniería. Este método de análisis es conocido como teoría de
Bernoulli-Euler, la cual supone que una sección transversal plana de una viga permanece plana
durante deformaciones por flexión.
Para realizar la modelación de la grieta mediante el método de elementos finitos, se utilizó un
diseño utilizado en diversos trabajos de estudio de concentración de tensiones alrededor de la
grieta en viga sometida a esfuerzo de Tensión.
4
CAPITULO II: MARCO TEORICO
2.1 ¿Qué es el análisis Modal?
El análisis modal es el proceso de determinación de los parámetros dinámicos inherentes de un
sistema en forma de frecuencias naturales, factores de amortiguamiento y las formas de modos, y
se formula un modelo matemático para este comportamiento dinámico. El modelo matemático es
referido al modelo modal del sistema y de la información de las características que nosotros
sabemos es la información modal.
La dinámica de la estructura es físicamente descompuesta por frecuencia y posición. Esto se hace
claramente evidente por la solución analítica de las ecuaciones diferenciales parciales de un
sistema continuo de vigas. El análisis modal se basa en el hecho de las respuestas de vibración de
un sistema dinámico lineal que no varía con el tiempo, esto se puede expresar como la
combinación lineal de movimientos simples harmónicos, los cuales son llamados modos
naturales de la vibración. Este concepto es semejante a la combinación de Fourier de las ondas de
senos y cosenos para representar una complicada forma de onda. Los modos naturales de la
vibración son inherentes a un sistema dinámico y completamente determinados por las
propiedades físicas (masa, rigidez, amortiguamiento) y por la distribución espacial. Cada modelo
es descrito en términos de cada parámetro modal: frecuencia natural, el factor de
amortiguamiento modal y la trayectoria de desplazamiento llamado forma modal (mode shape).
Cada una corresponde a una frecuencia natural. El grado de participación de cada modo natural
de vibración es determinado por las propiedades de excitación (fuente) y por los modos de forma
del sistema.
El análisis modal se basa en técnicas tanto experimentales como la teóricas. El análisis modal
teórico recae en el modelo físico del sistema dinámico abarcando las propiedades como masa,
rigidez y amortiguamiento. Estas propiedades se obtienen de las ecuaciones diferenciales
parciales. Un modelo físico real comprendería las propiedades de masa, rigidez y
amortiguamiento de forma de la distribución espacial, esto es llamado matriz de masa, rigidez y
amortiguamiento. Esta matriz es incorporada por una ecuación diferencial normal de movimiento.
El principio de superposición en un sistema lineal dinámico nos permite transformar el problema
en un sistema lineal más fácil de comprender. Esta solución es dada por los datos modales del
sistema. Los nuevos software de análisis de elementos finitos aumenta la discretización de la
mayoría de las estructuras dinámicas lineares y el fortalecimiento de sus capacidades y el avance
del análisis modal teórico. Por otro lado una rápida evolución en las décadas pasadas sobre la
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información adquirida y capacidad de procesamiento ha arrojado grandes avances en el área del
análisis experimental.
2.2 Análisis Modal Experimental
El análisis modal experimental es el proceso de determinar los parámetros modales como las
frecuencias, amortiguación y modos de vibrar de un sistema lineal e invariante en el tiempo a
través de una aproximación experimental. Los parámetros modales pueden ser determinados a
través de métodos analíticos, como el análisis de elementos finitos y una de las razones comunes
para el análisis modal experimental es la verificación u/o corrección de los resultados analíticos.
A menudo, sin embargo, un modelo analítico no existe y los parámetros modales determinados
experimentalmente sirven de modelo (base) para futuras evaluaciones como por ejemplo
modificaciones estructurales. Generalmente, un análisis modal experimental es usado para
explicar un problema o comportamiento dinámico, que no es obvio o intuitivo, modelos analíticos
o experiencias previas similares. Es importante recordar que la mayoría de los problemas de
vibración son funciones de ambos, las funciones de fuerza (o condiciones iniciales) y las
características del sistema descritas por los parámetros modales.
2.3 Visión General del Análisis modal Experimental
El proceso de determinar los parámetros modales desde datos experimentales implica varias
fases. Mientras estas fases pueden ser, en casos simples, muy abreviadas, el análisis modal
experimental depende del entendimiento de la base de casa fase. Como en la mayoría de las
situaciones experimentales, el éxito del proceso de análisis modal experimental consiste en tener
metas muy específicas para el momento de la prueba. Tales metas específicas afectan cada fase
del proceso en términos de reducir los errores asociados con esa fase. Mientras hay varias formas
de descomponer el proceso, una posible delineación de estas fases sería la siguiente:
• Teoría del Análisis Modal
• Métodos de Análisis Modal Experimental
• Adquisición de datos modales
• Estimación de parámetros modales
• Presentación y/o validación de los datos modales
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2.3.1 Teoría del Análisis Modal
Se refiere a la parte de las vibraciones clásicas que explica, teóricamente, la existencia de
frecuencias naturales, factor de amortiguamiento y las formas de modos de sistemas lineales. Esta
teoría incluye tanto modelos de parámetros discretos como modelos continuos. Esta teoría
también incluye modos reales normales y modelos complejos de vibración como posibles
soluciones para los parámetros modales.
2.3.2 Métodos de Análisis Modal experimental
Consiste en la relación teórica entre las cantidades medidas y la teoría clásica de vibración
usualmente representada como las ecuaciones diferenciales matriciales. Todos los métodos
modernos siguen el rastro de las ecuaciones diferenciales matriciales pero producen una forma
matemática final en términos de datos medidos. Esta información medida puede ser información
de entrada de datos bruta y de salida en el los dominios del tiempo o de frecuencia o una cierta
forma de información procesada como la respuesta de impulso o las funciones de respuesta de
frecuencia. (FRF).
2.3.3 Adquisición de datos modales
Involucra los aspectos prácticos de la adquisición de información que es requerido como la
entrada de datos para la fase de estimación de parámetros modales.
Esta relacionada con el problema práctico de estimar los parámetros modales, basado en una
elección de modelo matemático, y justificado por el método modal experimental de análisis, de
los datos medidos.
2.3.5 Presentación o validación de datos modales
Es ese proceso de suministrar una interpretación o vista física de los parámetros modales. Por
ejemplo, ésta simplemente puede ser la tabulación numérica de la frecuencia, amortiguamiento, y
los vectores modales junto con la geometría asociada de los grados de libertad medidos. Más a
menudo, la presentación modal de datos involucra la esquematización y la animación de tal
información.
7
2.4 Desarrollo Teórico del Análisis Modal
2.4.1 Introducción
Una de las claves para entender el análisis modal involucra las relaciones entre diferentes
dominios usados para describir la dinámica de un sistema estructural. Esto involucra el tiempo, la
frecuencia (Fourier) y el dominio de Laplace. Estas relaciones, con respecto a un sistema
estructural, son las transformadas integrales (Fourier y Laplace) que reflejan la información
contenida por las ecuaciones diferenciales gobernantes transformadas para cada dominio. Es
importante notar que éstas son relaciones integrales y que las ecuaciones diferenciales
gobernantes representan relaciones continuas en cada dominio.
2.4.2 Supuestos Básicos del análisis modal
Hay cuatro suposiciones básicas, concernientes a cualquier estructura, que están hechas para
realizar un análisis modal experimental.
a) Se asume un comportamiento lineal de la estructura: La respuesta de la estructura a
cualquier combinación de fuerzas, simultáneamente aplicadas, es la suma de las respuestas
individuales para cada fuerza actuada por si sola.
b) La estructura es invariante en el tiempo: los parámetros a determinar permanecen
constantes.
c) La estructura obedece a la Ley de Reciprocidad de Maxwell: una fuerza aplicada en el
grado de libertad p que causa una respuesta en el grado de libertad q, produce la misma
respuesta en el grado de libertad p si la fuerza es aplicada en el grado de libertad q.
d) La estructura es observable: las mediciones realizadas deben contener suficiente
información para generar un adecuado modelo del comportamiento de la estructura.
2.4.3 Sistemas con un gado de libertad 1GDL
Para lograr entender el análisis modal, es necesario comprender el sistema de un grado de
libertad. La completa familiarización con el sistema de un grado de libertad para ser evaluado y
presentado en el dominio del tiempo, frecuencia (Fourier) y Laplace, sirven como base para
muchos de los modelos que son usados para la estimación de los parámetros modales.
8
La real importancia de estos resultados es el hecho que para un sistema con múltiple grado de
libertad puede ser visto como una simple superposición lineal de sistemas de un grado de
libertad.
Sistema de un grado de libertad
En general la representación matemática de un sistema de un grado de libertad es expresada en la
siguiente ecuación:
)()()()( tftKxtxCtxM =++ &&& (2.4.1)
donde:
M: constante de masa
C: constante de amortiguación
K: constante de rigidez
dejando f(t)=0, la forma homogenea de la Ec.( 2.4.1) puede ser resuelta.
)0)()()( =++ tKxtxCtxM &&& (2.4.2)
a través de la teoría de ecuaciones diferenciales, la solución se puede asumir como
donde s es una constante compleja a ser determinada. derivando y sustituyendo en la Ec. (2.4.2)
se obtiene:
stXetx =)(
0)( 2 =++ stXeKCsMs (2.4.3)
Así, para una solución no trivial, se tiene:
02 =++ KCsMs (2.4.4)
9
donde
s= variable compleja de la frecuencia (Laplace)
La Ec. (2.4.4) es la ecuación caracteridtica del sistema, donde λ1 y λ2 son:
21
2
1,2 22 ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛±−=
MK
MC
MCλ (2.4.5)
Así la solución general de la Ec. (2.4.2) es:
tt BeAetx 21)( λλ += (2.4.6)
donde A y B son constantes determinadas según las condicionoes iniciales impuestas al sistema
en t=0.
2.4.4 Dominio del tiempo: Función de respuesta al impulso.
La función de respuesta al impulso puede ser determinada a partir de la Ec, (2.4.6) asumiendo
que las condiciones iniciales son 0 y f(t) es un impulso. La respuesta del sistema, x(t) , a un
impulso unitario es conocido como la función respuesta al impulso del sistema h(t). Por lo tanto:
tt eAAeth*11 *)( λλ += (2.4.7)
][)( )()( 111 tjtjt AeAeeth ωωσ −+ += (2.4.8)
donde los coeficientes A y A* controlan la amplitud de la respuesta, la parte real es la razón de
decaimiento y la parte imaginaria es la frecuencia de oscilación.
Dominio del tiempo: Función de Respuesta de Impulso
10
2.4.5 Dominio de frecuencia: Función de respuesta de frecuencia
Equivale a la ecuación de movimiento (2.4.1), pero determinada para el dominio de Fourier o de
la frecuencia (ω). Esta función tiene la ventaja de convertir una función diferencial a una
algebraica. Esto resulta realizando la transformación de Fourier de la Ec. (2.4.1), Así la Ec.
(2.4.1) se convierte en:
)()(][ 2 ωωωω FXKjCM =++− (2.4.9)
j: resultado de la transformación de Fourier de una ec. diferencial a una algebraica, donde s=jω
en escrito de otra forma:
)()()( ωωω FXB = (2.4.10)
donde
KjCMB ++−= ωωω 2)(
La Ec. (2.4.10) establece que la respuesta del sistema X(ω) está relacionada con la función de
fuerza F(ω) a través de la cantidad B(ω), la función Impedancia. Si la fuerza y su respuesta son
conocidas, luego se puede calcular B(ω) puede ser calculada.
)()()(
ωωω
XFB = (2.4.11)
o se puede obtener la respuesta X(ω) debido a una fuerza F(ω):
)()()(
ωωω
BFX = (2.4.12)
así la Ec. (2.4.12) se convierte en :
)()()( ωωω FHX = (2.4.13)
donde
KjCMH
++−=
ωωω 2
1)(
H(ω) es conocida como la Función de Respuesta de Frecuencia
11
2.4.6 Dominio de Laplace: Función de Transferencia
Tal como en el caso del dominio de la Frecuencia, una información equivalente puede ser
presentada en el dominio de Laplace a través de la transformad de Laplace. La única diferencia
consiste en el hecho que la transformada de Fourier está definida desde el infinito negativo hasta
el infinito positivo. La presentación de Laplace, también tiene la ventaja de convertir una
ecuación diferencial en una ecuación algebraica. El desarrollo de la transformada de Laplace
comienza aplicando la transformada de Laplace a la Ec. (2.4.1). Así la Ec, (2.4.1) se convierte en:
)0()0(][)()(][ 2 XMXCMssFsXKCsMs &+++=++ (2.4.14)
)0(X y son el desplazamiento y velocidad en t=0 )0(X&
si las condiciones iniciales son cero, la Ec. (2.4.14) queda:
)()(][ 2 sFsXKCsMs =++ (2.4.15)
escrito de otra forma
)()()( sFsXsB = (2.4.16)
donde
KCsMssB ++= 2)(
Así, usando la misma lógica que en el caso del dominio de la frecuencia, la función de
transferencia puede ser definida en la misma forma para el domino de la frecuencia.
)()()( sFsHsX = (2.4.17)
donde
KCsMssH
++= 2
1)(
La función transferencia puede ser escrita como:
12
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
=++
=
MKs
MCs
MKCsMs
sH2
2
/11)( (2.4.18)
Válida solo si las condiciones iniciales son cero.
La función transferencia puede ser escrita como función de polos complejos:
)()())((/1)( *
1
*
1*11 λλλλ −
+−
=−−
=s
As
Ass
MsH
2.4.7 Sistemas con múltiples grados de libertad.
La aplicación real del concepto de análisis modal comienza cuando una estructura continua y no
homogénea es descrita como sistema de múltiples grados de libertad con masa distribuida.
El desarrollo de la función de respuesta de frecuencia para múltiples grados de libertad se
asemeja al caso de un grado de libertad. Este desarrollo relaciona las matrices de masa,
amortiguación y rigidez a una modelo de función de transferencia que involucra múltiples grados
de libertad.
Como resultado del concepto de superposición lineal, las ecuaciones para la función de respuesta
de impulso, la función de respuesta de frecuencia y la función de transferencia para sistema de
múltiples grados de libertad queda como sigue:
-Función de respuesta de impulso:
[ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑= =
=+=N
r
N
r
tr
tr
tr
rrr eAeAeAth1
2
1
* *
)( λλλ
-Función de repuesta de frecuencia:
[ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑= = −
=−
+−
=N
r
N
r r
r
r
r
r
r
jA
jA
jAH
1
2
1*
*
)(λωλωλω
ω
-Función de transferencia:
[ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑= = −
=−
+−
=N
r
N
r r
r
r
r
r
r
sA
sA
sAsH
1
2
1*
*
)(λλλ
donde
13
t: Variable tiempo
ω: Variable frecuencia
s: Variable de Laplace
p: Grado de libertad medido (salida)
q: Grado de libertad medido (entrada)
2.5 Teoría de la vibración por flexión de vigas uniformes
El tratamiento de vigas sometidas a vibración por flexión está basado en la teoría de flexión
normalmente aplicada en ingeniería. Este método es conocido como teoría de Bernoulli-Euler, la
cual supone que una sección transversal plana de una viga permanece plana durante las
deformaciones por flexión.
Consideremos en la siguiente figura el diagrama de cuerpo libre de un segmento corto de viga.
(a) Viga simple con masa y carga distribuida. (b)Diagrama cuerpo libre del segmento dx de la
viga
Su longitud es dx y está limitada por dos secciones transversales planas que son perpendiculares a
su eje. Las fuerzas y momentos que actúan sobre el elemento también se muestran en la figura.
Estos son: los esfuerzos de corte V y V+(δV/δx); los momentos flectores M y M+( δM/δx); la
carga lateral pdx y la fuerza inercial 2/)( tydxm δδ , donde m es la masa por unidad de longitud
y es la carga por unidad de longitud. Las derivadas parciales se usan para expresar la
aceleración, las variaciones del esfuerzo cortante y del momento flector.
),( txpp =
La ecuación obtenida igualando a cero la suma de las fuerzas de dirección perpendicular al eje x
de la viga es:
0),( 2
2
=−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
tydxmdxtxpdx
xVVV
δδ
δδ
(2.5.0)
La cual una vez simplificada se reduce a:
14
),(2
2
txpt
ymxV
=+δδ
δδ
(2.5.1)
De la teoría elemental de flexión, tenemos las relaciones
2
2
xyEIM
δδ
= (2.5.2)
xMVδδ
= (2.5.3)
En que E es el módulo de elasticidad de Young e I es el momento de inercia de la sección
transversal con respecto a la línea neutra a través del centroide. Para una viga uniforme, la
combinación de las ecuaciones (2.5.1), (2.5.2) y (2.5.3) da como resultado:
3
3
xyEIV
δδ
= (2.5.4)
),(2
2
4
4
txpt
ymx
yEI =+δδ
δδ
(2.5.5)
Solución de la ecuación del movimiento en vibración libre:
Para la vibración libre ( )0),( =yxp , la ecuación (2.5.5) se reduce a la ecuación diferencial
homogénea:
02
2
4
4
=+t
ymx
yEIδδ
δδ
(2.5.6)
La solución de esta ecuación puede obtenerse por el método de separación de las variables, la
cual supone que la solución puede ser expresada como el producto de una función de posición
)(xφ y una función de tiempo , es decir: )(tf
)()(),( tfxtxy φ= (2.5.7)
Reemplazando la ecuación (2.5.7) en la Ec. Diferencial (2.5.6) nos da.
0)()()()( 2
2
4
4
=+dt
tfdxmdx
xdtEIf φφ
(2.5.8)
Y esta última se puede escribir como:
15
)()(
)()(
tftf
xx
mEI IV &&
−=φ
φ
(2.5.9)
En esta ecuación, los índices en números romanos indican derivadas con respecto a x y los puntos
sobre las letras indican derivadas con respecto al tiempo. Debido a que el primer miembro es
función solamente de x, mientras que el segundo miembro solo es función del tiempo t y para que
se cumpla la identidad de la ecuación (2.5.9), ya que ambos miembros deben ser funciones de la
misma constante, se designa esta constante como que iguala separadamente a cada miembro
y nos da las siguientes dos ecuaciones:
2ω
0)()( 4 =− xaxIV φφ (2.5.10)
0)()( 2 =+ tftf ω&& (2.5.11)
En donde
EIma
24 ω=
(2.5.12)
Es conveniente despejar ω y usar la siguiente notación
4LmEIC=ω
(2.5.13)
, donde 2)(aLC =
La ecuación (5.5.11), al tener la misma forma de la ecuación de vibración libre para un sistema
no amortiguado con un solo grado de libertad, tiene como solución:
tSenBtCosAtf ωω ··)( += (2.5.14)
en donde A y B son constantes de integración.
La ecuación (2.5.19) puede resolverse haciendo
sxCex =)(φ (2.5.15)
La aplicación de la ecuación (2.5.15) en la ecuación (2.5.10) da:
16
0)·( 44 =− sxCeas , la cual para una solución no trivial requiere que:
044 =− as (2.5.16)
Las raíces de la ecuación anterior son:
as =1 ais =3
as −=2 ais −=4
La aplicación de estas raices en la Ec. (2.5.15) da una solución de la Ec. (2.5.10). La solución
general será la superposición de estas cuatro posibles soluciones, esto es:
iaxiaxaxax eCeCeCeCx −− +++= 4321)(φ (2.5.18)
En donde C1, C2, C3 y C4 son las constantes de integración. Estas funciones exponenciales
pueden ser expresadas mediante funciones trigonométricas e hiperbólicas por medio de las
relaciones:
senhaxaxe ax ±=± cosh
isenaxaxe iax ±=± cos (2.5.19)
La aplicación de estas relaciones en la Ec. (2.5.15) da:
axDCsenhaxaxBAsenaxx coshcos)( +++=φ (2.5.20)
Donde A, B, C y D son las nuevas constantes de integración. Estas cuatro constantes de
integración definen la forma y la amplitud de la viga en vibración libre. Se calculan considerando
las condiciones de contorno en los extremos de la viga.
Para el caso de una viga en voladizo, se tiene que en el extremo empotrado (x=0) la deformación
y la pendiente son cero y en el extremo libre (x=L) el momento de flexión y la fuerza cortante
deben ser cero. Por lo tanto las condiciones de contorno son las siguientes:
Para x=0
0),0( =ty o 0)0( =φ
0),0( =′ ty o 0)0( =′φ (2.5.21)
Para x=L
0),( =tLM o 0)( =′′ Lφ
o 0),( =tLV 0)( =′′′ Lφ (2.5.22)
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Aplicando estas condiciones de contorno en la Ec. (2.5.20), resulta la ecuación característica
01·coshcos =+LaLa nn (2.5.23)
Finalmente a cada raíz de la Ec. (2.5.23) le corresponde una frecuencia natural