ESTUDIO MACROMECANICO DE UNA LÁMINA. TENSIONES Y DEFORMACIONESocw.uc3m.es/cursos-archivados/elasticidad-y-resistencia-ii/material-de-clase-1/... · Para finalizar, en todo lo que

CAPÍTULO 4

ESTUDIO MACROMECANICO DE

UNA LÁMINA.

TENSIONES Y DEFORMACIONES

58

4.1. INTRODUCCIÓN

Una lámina de material compuesto es esencialmente, un material anisótropo al que se le pueden aplicar las ecuaciones de la elasticidad considerando esa circunstancia.

Antes de proseguir conviene aclarar un poco la notación que se empleará. Las componentes del tensor de tensiones se han dibujado en la Figura 4.1 actuando sobre una porción cúbica del material. Respecto a la nomenclatura, muchos autores utilizan el símbolo σ cuando se refieren a tensiones normales (tensiones actuando ortogonalmente a la cara considerada) y τ cuando se trata de las tensiones tangenciales (tensiones actuando tangencialmente a la cara considerada). Otros, sin embargo, utilizan siempre la letra griega sigma cuando se refieren a cualquier tipo de tensión; en este caso la distinción entre tensiones normales y tangenciales se puede deducir de los subíndices que aparecen: un subíndice repetido indica tensión normal mientras que, cuando aparecen dos subíndices distintos, se refieren a tensiones tangenciales. También otros autores que utilizan la primera nomenclatura, en lugar de escribir las tensiones normales repitiendo el subíndice sólo lo ponen una vez; es decir, en vez de σxx escriben σx. Otros autores utilizan la notación σij, donde i y j son subíndices que varían entre 1 y 3. Sea cual sea la notación inicialmente utilizada aquí se empleará una notación contractada que se indicará posteriormente.

El tensor de tensiones se podrá expresar como sigue:

[ ] [ ]ij

zz

yzyy

xzxyxx

z

yzy

xzxyx

.sim.simT σσ

σσσσσσ

στσττσ

==⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

≈

[4.1]

Sus componentes se pueden expresar de formas distintas, tal como se ha dicho, recogiéndose a continuación las expresiones más usuales:

59

Subíndices normales representados por letras xyzxyzzzyyxx σσσσσσ

Subíndices normales representados por letras xyzxyzzy τττσσσ x Subíndices normales numéricos 123123332211 σσσσσσ Subíndices contractados numéricos 654321 σσσσσσ Subíndices contractados representados por

letras

srqzyx σσσσσσ

Figura 4.1.

La notación más usual que se empleará a lo largo de este texto es la de subíndices contractados numéricos.

Cuando se analice el problema de una lámina cargada en su plano, las componentes del tensor de tensiones σ3, σ4 y σ5 tomarán valores nulos. σ1 representará la tensión en la dirección 1 (no equivocar, en este caso, con la dirección de las fibras), σ2 en una dirección ortogonal a la anterior contenida en el plano de la lámina y σ6 representará la tensión de cizalladura. Para una mayor claridad se incluye la Figura 4.1 en la que estas componentes tensionales aparecen dibujadas.

Figura 4.2.

60

Para finalizar, en todo lo que se refiere a estados tensionales, son válidas las construcciones gráficas de Mohr; en especial el círculo de Mohr para estados tensionales bidimensionales que se describe en el Anexo A de estos apuntes.

En lo referente al tensor de deformaciones, la nomenclatura es similar a la empleada para las tensiones. Una primera distinción que conviene dejar clara es la diferencia entre las componentes del tensor de deformaciones, relativas a cortadura, y las deformaciones angulares ingenieriles, definiéndose ambas a continuación:

xv

yu

xv

yu

xyxy

xy ∂∂

∂∂γ

∂∂

∂∂γ

ε +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==

21

2

ingenieril tensorial

angular nDeformacióangular nDeformació

[4.2]

donde u y v son las componentes de desplazamiento según las direcciones x e y respectivamente. El tensor de deformaciones puede, entonces, expresarse como:

[ ] [ ]ij

zz

yzyy

xzxyxx

z

yzy

xzxyx

.sim.sim///

D εεεεεεεε

εγεγγε

==⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

≈222

[4.3]

Subíndices normales representados por letras

xyzxyzzzyyxx εεεεεε

Subíndices normales representados por letras 222

xyzxyzzyx

γγγεεε

Subíndices normales numéricos 123123332211 εεεεεε Subíndices contractados numéricos 222 654321 /// εεεεεε Subíndices contractados representados por letras

222 /// sutzyx εεεεεε

La notación que más se utilizará en estos apuntes es la de subíndices contractados numéricos. Nótese que ε4, ε5 y ε6 representan las deformaciones angulares ingenieriles γyz, γzx y γxy, respectivamente. Esto

61

ofrece una serie de ventajas, como posteriormente se verá, al establecer las ecuaciones constitutivas de la lámina.

4.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELASTICO ANISOTROPO

Al igual que en cualquier otro problema elástico, el planteamiento de un problema con un material anisótropo puede enunciarse como sigue: determinar el tensor de tensiones [T], el tensor de deformaciones [D] y los desplazamientos ( kwjviu

rrrr++=δ ) en todos los puntos del sólido

conociendo las solicitaciones actuantes (fuerzas de masa, de superficie, puntuales, desplazamientos impuestos, variación de temperatura, etc.).

Para resolver este problema se dispone de los siguientes sistemas de ecuaciones:

- Relativas a las componentes del tensor de tensiones.

Ecuaciones de equilibrio interno:

0

0

0

=+++

=+++

=+++

zz

yyz

xxzZ

zyz

yy

xxyY

zxz

yxy

xxX

∂∂σ

∂

∂τ

∂∂τ

∂

∂τ

∂

∂σ

∂

∂τ

∂∂τ

∂

∂τ

∂∂σ

[4.4]

donde X, Y y Z representan las componentes de la fuerza internas por unidad de volumen que actúa dentro del sólido.

Ecuaciones de equilibrio en el contorno:

nzmyzlxzZ

nyzmylxyY

nxzmxylxX

σττ

τστ

ττσ

++=

++=

++=

[4.5]

62

donde X , Y y Z representan las tensiones actuando sobre el contorno del cuerpo según las direcciones x, y y z, y (l,m,n) son las componentes del vector normal a la superficie.

- Relativas a las componentes del tensor de deformación.

Ecuaciones de compatibilidad:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++−=

zxy

yxz

xyz

zyxz

zxy

yxz

xyz

yxzy

zxy

yxz

xyz

xzyx

∂

∂γ

∂∂γ

∂

∂γ

∂∂

∂∂ε∂

∂

∂γ

∂∂γ

∂

∂γ

∂∂

∂∂

ε∂

∂

∂γ

∂∂γ

∂

∂γ

∂∂

∂∂ε∂

22

22

22

[4.6]

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

yx

x

yyxxy

xz

zx

xzzx

z

y

yz

zyyz

∂

ε∂

∂

ε∂

∂∂

γ∂

∂

ε∂

∂

ε∂∂∂γ∂

∂

ε∂

∂

ε∂∂∂

γ∂

+=

+=

+=

[4.7]

- De la relación entre componentes de los tensores de tensiones y de deformación.

Ecuaciones constitutivas:

c.1) Si el material presentara un comportamiento elástico e isótropo, son aplicables las Leyes de Hooke Generalizadas:

63

)yx(EE

zz

)zx(EE

yy

)zy(EE

xx

σσνσε

σσνσε

σσνσε

+−=

+−=

+−=

[4.8]

G/yzyz

G/zxzx

G/xyxy

τγ

τγ

τγ

=

=

=

ó las Ecuaciones de Lamé:

zGvez

yGvey

xGvex

ελσ

ελσ

ελσ

2

2

2

+=

+=

+=

[4.9]

zyGzy

zxGzx

xyGxy

γτ

γτ

γτ

=

=

=

c.2) Si el material presentara un comportamiento elástico pero anisótropo, las ecuaciones constitutivas cambian volviéndose algo más complicadas. Para un material anisótropo, la ecuación constitutiva será de la forma:

{ } [ ]{ } 321 ,,m,k,j,icóC kmijkmij === εσεσ

[4.10]

donde el tensor [C] es de cuarto orden. Si se desarrollara la ecuación anterior, por ejemplo, para expresar τ12 en función de las componentes del tensor de deformación, se obtendría:

64

6665654643632621616

6

5

11212211212

3112311213

2312321223

321232311231211221

231223131213121212

33123322122211121112

2

2

2

+

+

εεεεεεσ

ε

ε

εε

ε

ε

εεε

εεε

εεετ

cccccc

/

/

/)cc(

)cc(

)cc(

ccc

ccc

ccc

+++++=

↓

↓+

↓+⇓

+⇓

⇓

+++

+++

+++=

[4.11]

Como se observa en la última expresión, si se empleara para las deformaciones la notación contractada numérica, se podría obtener la siguiente relación constitutiva:

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎫

⎬

⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪

=

c11 c12 c13 c14 c15 c16

c21 c22 c23 c24 c25 c26

c31 c32 c33 c34 c35 c36

c41 c42 c43 c44 c45 c46

c51 c52 c53 c54 c55 c56

c61 c62 c63 c64 c65 c66

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

ε1

ε2

ε3

ε4

ε5

ε6

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎫

⎬

⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪

Figura 4.3. Ecuación constitutiva empleando la notación contractada numérica.

65

Nótese que, utilizando la notación contractada, la ecuación constitutiva adquiere una forma mucho más manejable: el tensor de cuarto orden [C] ha quedado reducido a uno de segundo orden y, los tensores de tensión y deformación, que eran tensores de segundo orden, han quedado reducidos a tensores de orden 1 o, más simplemente, vectores. Esta nueva matriz contractada [C] se denomina matriz de rigidez.

Operando de manera análoga, se podrían expresar las deformaciones en función de las tensiones de la forma siguiente:

{ } [ ]{ } 321 ,,,m,k,j,isóS kmijkmij === σεσε

[4.12]

expresión que, desarrollada, proporciona las siguientes ecuaciones:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211221121212131213311231

32123223122333123322122211121112

211121121112131113311131

32113223112333113322112211111111

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

++++

+++++=

++++

+++++=

σσσσ

σσσσσε

σσσσ

σσσσσε

ssss

sssss

.

.

ssss

sssss

[4.13]

Utilizando la notación contractada, las ecuaciones anteriores podrían escribirse:

66

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

++

+++=

++

+++=

666565

4643632621616

616515

4143132121111

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

σσ

σσσσε

σσ

σσσσε

ss

ssss

ss

ssss

[4.14]

Identificando [3.13] con (3.14) se comprueba que:

. . . . . .4s4s

2s . . . . . .2s2s

. . . . . .ss

233145222344

121161 113115 112314

112212 111111

,s,s

s,s,s

,s,s

==

===

==

[4.15]

La matriz [S] cuyas componentes son sij recibe el nombre de matriz de flexibilidad.

Así pues, la relación constitutiva general para un material anisótropo puede ponerse como:

{ } [ ]{ } 6 . . 21 ,,j,icóC jiji === εσεσ

[4.16]

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

ε

ε

ε

ε

ε

ε

σ

σ

σ

σ

σ

σ

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

[4.17]

siendo la matriz [C] simétrica, lo que conduce a que el material tendría 21 constantes elásticas independientes entre sí.

67

4.3. ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA DIFERENTES TIPOS DE MATERIALES

Si se analizase las posibles simetrías materiales, el número de constantes independientes del material comienza a reducirse a medida que aumenta la simetría del material.

4.3.1 SIMETRÍA MONOCLÍNICA

Supóngase que el plano 1-2 (x,y) es de simetría en lo relativo a las propiedades del material: todas las constantes asociadas con el eje 3 (z>0) deben ser las mismas que las asociadas con el eje 3 (sentido negativo) (z<0). En estas condiciones 4ε y 5ε estarían relacionadas con

4σ y 5σ , y yzε y xzε lo estarían con yzσ y y xzσ . La ecuación constitutiva de un material con simetría monoclínica sería:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

66636261

5554

4544

36333231

26232221

16131211

6

5

4

3

2

1

00

0000

0000

00

00

00

ε

ε

ε

ε

ε

ε

σ

σ

σ

σ

σ

σ

cccc

cc

cc

cccc

cccc

cccc

[4.18]

El número de constantes de la matriz [C] distintas de cero resultaría ser de 20, de las cuales sólo 13 serían independientes entre sí. La matriz [S] sería en este caso:

[ ]

00

0000

0000

00

00

00

66636261

5554

4544

36333231

26232221

16131211

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

SSSS

SS

SS

SSSS

SSSS

SSSS

S [4.19]

68

Expresando las componentes de la matriz de flexibilidad en función de las constantes elásticas del material:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

63

63

2

62

1

61

54

54

5

45

4

6

36

32

32

1

31

6

26

3

23

21

21

6

16

3

13

2

12

1

1 0 0

0 1 0 0 0

0 10 0 0

0 0 1

0 0 1

0 0 1

EEEE

EE

EE

EEEE

EEEE

EEEE

S

ννν

ν

ν

ννν

ννν

ννν

[4.20]

4.3.2 SIMETRÍA ORTÓTROPA

Si se aumenta el grado de simetría del material, se llega a lo que se conoce como simetría ortótropa, en la que el material presenta los planos 1-2, 2-3 y 3-1, como planos de simetría. En estas condiciones, la ecuación constitutiva sería:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

66

55

44

333231

232221

131211

6

5

4

3

2

1

00000

00000

00000

000

000

000

ε

ε

ε

ε

ε

ε

σ

σ

σ

σ

σ

σ

c

c

c

ccc

ccc

ccc

[4.21]

que presenta 12 constantes distintas no nulas de las cuales sólo existen 9 independientes entre sí. La matriz de flexibilidad en este caso sería:

69

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

66

55

44

333231

232221

131211

00000

00000

00000

000

000

000

S

S

S

SSS

SSS

SSS

S [4.22]

Expresando la matriz [S] en función de las constantes elásticas del material:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−

ν−

ν−

ν−

ν−

ν−

=

6

5

4

32

32

1

31

3

23

21

21

3

13

2

12

1

E10 0 0 0 0

0 E10 0 0 0

0 0 E10 0 0

0 0 0 E1

EE

0 0 0 EE

1 E

0 0 0 EEE

1

S [4.23]

Las componentes de la matriz de rigidez también se puede expresar en función de las constantes elásticas:

70

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

11 23 32 1

22 31 13 2

33 21 12 3

12 12 13 32 1 21 23 31 2

13 13 12 23 1 31 32 21 3

23 23 21 13 2 32 31 12 3

44 23 4

55 31 5

66 12 6

1

1

1

c vE

c vE

c vE

c vE vE

c vE vE

c vE vE

c G E

c G E

c G E

=

=

=

= =

= =

= =

= =

= =

= =

− ν ν

− ν ν

− ν ν

ν + ν ν ν + ν ν

ν + ν ν ν + ν ν

ν + ν ν ν + ν ν [4.24]

donde

( )321321311323322112 211 ννννννννν −−−−= /v

4.3.3 SIMETRÍA TRANSVERSALMENTE ISÓTROPA

Si el plano 2-3 fuera isótropo la ecuación constitutiva correspondiente podría expresarse como:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

66

66

2322

223221

232221

121211

6

5

4

3

2

1

00 000

00 000

002

000

000

000

000

ε

ε

ε

ε

ε

ε

σ

σ

σ

σ

σ

σ

c

c

)cc(

ccc

ccc

ccc

[4.25]

o bien como:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

66

66

2322

223221

232221

121211

6

5

4

3

2

1

00 000

00 000

002000

000

000

000

σ

σ

σ

σ

σ

σ

ε

ε

ε

ε

ε

ε

S

S

)SS(

SSS

SSS

SSS

[4.26]

71

en la que, el número de constantes distintas de cero es igual a 12. De éstas sólo hay 5 independientes entre sí. En este caso las componentes de la matriz de rigidez son:

( )( )

( ) ( )( )( )

211 23 1

22 33 21 12 2

12 13 21 23 2 12 23 1

23 23 21 12 2

44 23 21 12 2

55 66 12 6

/2

1

1

1 1

1 2

c vE

c c vE

c c vE vE

c vE

c vE

c c G E

=

= =

= = =

=

=

= = =

− ν

− ν ν

ν + ν ν + ν

ν + ν ν

− ν − ν ν [4.27]

donde

( )( )12212323 2111 νννν −−+= /v

4.3.4 SIMETRÍA ISÓTROPA

Si el material presentara un comportamiento isótropo, su ecuación constitutiva sería:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

1211

1211

1211

112121

121121

121211

6

5

4

3

2

1

2 0 0 000

02

0 000

00 2

000

00 0

00 0

00 0

ε

ε

ε

ε

ε

ε

σ

σ

σ

σ

σ

σ

)cc(

)cc(

)cc(

ccc

ccc

ccc

[4.28]

siendo el número de constantes independientes igual a dos.

( )

)(/EGccc

Eccc

VEccc

V

ν

ν

ν

+====

===

=== −

12665544

231312

332211 1

[4.29]

donde

72

( )( )νν 2111 −+= /V

En este caso la matriz de flexibilidad se reduce a:

[ ]

2 0 0 000

020 000

00 2000

00 0

00 0

00 0

1211

1211

1211

112121

121121

121211

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅

−⋅

−⋅=

)SS(

)SS(

)SS(

SSS

SSS

SSS

S[4.30]

que coincide con la ecuación [4.8], considerando que:

( ) ( )GE

SS

ES

ES

1122

1

1211

12

11

=+⋅

=−⋅

−=

=

ν

ν

[4.31]

4.4. RELACION TENSION DEFORMACION PARA UNA LÁMINA

4.4.1 PRIMER EJE EN DIRECCIÓN DE LAS FIBRAS

Un sólido como el representado en la Figura 4.4, en el que sus bases son paralelas al plano 1-2, cuya altura (dimensión según la dirección 3) toma un valor muy pequeño en comparación con sus dimensiones características de sus bases, y sometido a un sistemas de fuerzas, todas ellas también paralelas al plano 1-2, se encuentra en un estado tensional denominado estado de tensión plana.

73

Figura 4.4.

El estado tensional en cualquier punto del interior del sólido se puede expresar del siguiente modo:

0 0

0 0

54543

6321621

==

≠≠

εεσσσ

εεεεσσσ

[4.32]

La ecuación constitutiva puede escribirse como:

{ } [ ]{ } 621 ,...,,j,isóS jiji === σεσε

[4.33]

La deformación ε3, a su vez, puede obtenerse como:

6362321313 σσσε sss ++=

[4.34]

y la ecuación que liga tensiones con deformaciones puede establecerse como:

{ } [ ]{ } 621 ,..,,j,icóC jiji === εσεσ

[4.35]

que, una vez desarrollada, proporciona el siguiente sistema de ecuaciones:

74

6663632621616

54

6363332321313

6263232221212

6163132121111

0

0

εεεεσ

σσ

εεεεσ

εεεεσ

εεεεσ

cccc

cccc

cccc

cccc

+++=

==

=+++=

+++=

+++=

[4.36]

Eliminando σ3 de todas las ecuaciones anteriores se obtiene la relación:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

6

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

ε

ε

ε

σ

σ

σ

QQQ

QQQ

QQQ

[4.37]

en la que la matriz 3333 c/cccQ jiijij −= recibe el nombre de matriz de rigidez en tensión plana.

Si el material presentara un comportamiento ortótropo, con ejes de simetría en las direcciones 1 y 2, la matriz de rigidez anterior se reduciría a:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

6

2

1

66

2212

1211

6

2

1

0 0

0

0

ε

ε

ε

σ

σ

σ

Q

QQ

QQ

[4.38]

donde las componentes son:

( )( ) ( )

( )

61266

2112222

2112112211222112

2112111

1

11

1

EGQ

/EQ

/E/EQ

/EQ

==

−=

−=−=

−=

νν

νννννν

νν

[4.39]

Sí E1=E2 se dice que existe simetría cuadrada y, en este caso:

( )

( )ν

ν

ν

+≠=

=

−==

12

1Q

666

1112

22211

/EEQ

QQ

/EQ

[4.40]

75

Utilizando la equivalencia:

12

º021

º02

0ºy1

0ºx EE νννν ==== yxEE

[4.41]

las expresiones anteriores pueden ponerse como:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

γ

ε

ε

τ

σ

σ

0 0

0

0

y

x

ss

yyxy

xyxx

y

x

Q

QQ

QQ

[4.42]

( ) ( )xxyyyxxy

yxyyyyxxxx

QQQ

EQEQ

⋅=⋅=

⋅−=⋅−=º0º0

º0º0º0º0º0º0 1/1/

νν

νννν

[4.43]

Si el material fuera isótropo:

( ) ( ))1(2/

1/1/ 22

ν

ννν

+⋅==

−⋅=−==

EGQ

EQEQQ

ss

xyyyxx

[4.44]

4.4.2 EN EJES GENERALES

Hasta ahora, se ha encontrado la relación entre deformaciones y tensiones o, lo que es equivalente, entre tensiones y deformaciones, suponiendo que la tensión σ1 actuaba en la dirección de las fibras. En otras palabras, se ha estudiado en profundidad el caso representado en la figura 4.4. Pero ¿qué sucede cuando se tiene una situación como la representada en la Figura 4.5? ¿Cómo se pueden expresar las tensiones

'' ,, 621 σσσ ′ en función de las correspondientes deformaciones '' ,, 621 εεε ′ o viceversa?

{ } [ ] { }εσ ⋅= Q

76

Figura 4.5.

Este problema puede resolverse de la siguiente manera utilizando la matriz de cambio de coordenadas [T] que se definirá más adelante. Supóngase que las dirección 1 es la dirección de las fibras y que se desea establecer la relación entre las tensiones y deformaciones según otras direcciones (representadas con primas en el dibujo) que forman una ángulo θ con las anteriores, tal como se representa en la Figura 4.6.

Figura 4.6.

Las nuevas relaciones tensión-deformación ó deformación-tensión pueden escribirse por medio de la matriz de transformación [T].

Para la tensión

77

{ } [ ]{ }

{ } [ ] { }σσ

σσ

′=

=′

1-T

T

[4.45]

Donde:

{ }σ es la tensión expresada en los ejes 12 (ejes materiales)

{ }'σ es la tensión expresada en los ejes 1’2’ (o más comúnmente ejes xy) (ejes globales)

y para la deformación:

{ } [ ]{ }

{ } [ ] { }εε

εε

1-T

T

T

T

=′

′=

[4.46]

En este caso:

{ }ε es la tensión expresada en los ejes 12 (ejes materiales)

{ }'ε es la tensión expresada en los ejes 1’2’ (o más comúnmente ejes x-y) (ejes globales)

Las diferencias entre la ecuación [4.45] y la [4.46] responde a que la matriz de transformación se debe aplicar sobre el tensor de deformaciones, tal como muestran las ecuaciones [4.47] y [4.48].

[ ]

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

2

2

62

16

21εεε

εεε T,,

'''

[4.47]

78

{ } [ ]

{ } [ ]

{ } [ ] { }εε

εεε

εεε

εεε

εεε

T

2100010001

200010001

1-

6

2

11T

621

6

2

1

621

T

'''

'''

T

,,

T,,

=′

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

−

[4.48]

La matriz de transformación se puede expresar como:

[ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

+=22

22

22

nmmnmn2mnm n 2mn - n m

T [4.49]

[ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

+

=−

22

22

22

1

nmmnmn- 2mn- m n 2mnn m

T [4.50]

[ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−

+

=22

22

22

nm mn2mn2mn- m n

mn n m TT

[4.51]

[ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

+

−

=−

22

22

22

1

nmmn 2- 2mn mn m n

mnn m TT

[4.52]

A continuación se particularizan las matrices [T] para diferentes ángulos:

79

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=

°−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++=

°=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

°=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

°=

−−−

−

−

−

0 1 1- 5.0- 5.05.0

5.0 5.05.0

0 5.05.0- 1- 5.0 5.0 1 5.0 5.0

45

0 1- 15.0- 5.05.0

5.0 5.05.0

0 5.05.015.05.0 1- 5.05.0

45

1000 010 10

1000 010 10

90

100010001

100010001

0

)45(1)45(

)45(1)45(

)90(1)90(

)0(1)0(

T

T

T

T

TT

TT

TT

TT

θ

θ

θ

θ

La ecuación constitutiva en los ejes 12 será:

{ } [ ]{ }

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

γεε

τσσ

εεε

σσσ

εσ

2

1

2212

1211

2

1

6

2

1

2212

1211

6

2

1

0000

0000

SS

SS

QQQQQ

QQQQQQ

[4.53]

A partir de las ecuaciones [4.45], [4.46], [4.53], la ecuación constitutiva se puede expresar como:

{ } [ ] [ ][ ] { }'Q ' 1-1 εσ

−= TTT

{ } { }''

_εσ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= Q

[4.54]

80

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

6

2

1

6

2

1

'''

'''

εεε

σσσ

sssysx

ysyyyx

xsxyxx

QQQQQQQQQ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε

τσσ

y

x

sssysx

ysyyyx

xsxyxx

y

x

QQQQQQQQQ

En forma desarrollada la matriz constitutiva de la lámina en unos ejes que forman un ángulo θ con la dirección de las fibras es:

)cos(senQcossen)QQQQ(Q

cossen)QQQ(cossen)QQQ(Q

cossen)QQQ(cossen)QQQ(Q

cosQcossen)QQ(senQQ

)cos(senQcossen)QQQ(Q

senQcossen)QQ(cosQQ

ssssxyyyxxss

ssyyxyssxyxxys

ssyyxyssxyxxxs

yyssxyxxyy

xyssyyxxyx

yyssxyxxxx

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

4422

33

33

4224

4422

4224

22

22

22

22

4

22

++−−+=

+−+−−=

+−+−−=

+++=

++−+=

+++=

[4.55]

De manera análoga se puede definir la matriz de flexibilidad que relacionará las deformaciones con la tensiones. En unos ejes que coincidan con la dirección de las fibras su expresión será:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

6

2

1

66

2212

1211

6

2

1

0 0

0

0

σ

σ

σ

ε

ε

ε

S

SS

SS

[4.56]

donde las componentes son:

81

1

21

2

1212

1266

222

111

1

1

1

EES

GS

ES

ES

νν−=−=

=

=

=

[4.57]

La matriz de flexibilidad en unos ejes que forman un ángulo θ con la dirección de las fibras se puede estimar también con la matriz de transformación [T], en este caso su valor es:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τσσ

γεε

y

x

sssysx

ysyyyx

xsxyxx

y

x

SSSSSSSSS

[4.58]

Y en forma desarrollada:

)cos(senScossen)SSSS(S

cossen)SSS(cossen)QSS(S

cossen)SSS(cossen)SSS(S

cosScossen)SS(senSS

)cos(senScossen)SSS(S

senScossen)SS(cosSS

ssssxyyyxxss

ssyyxyssxyxxys

ssxyyyssxyxxxs

yyssxyxxyy

xyssyyxxyx

yyssxyxxxx

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

4422

33

33

4224

4422

4224

4222

22222

2222

2

2

++−−+=

−+−−−−=

−−−−−=

+++=

++−+=

++⋅+=

[4.59]

Por analogía entre la ecuación [4.57] y la [4.59] se pueden definir unas constantes elásticas aparentes de la lámina.

82

yy

xyxy

xx

xyyx

ssxy

yyy

xxx

S

S

S

S

SG

SE

SE

−−=

−−=

=

=

=

ν

ν

1

1

1

[4.60]

cuyos valores son

θθθν

θ 4

2

22

1

21

12

4

1

12111 senE

cossenEG

cosEE x

⋅+⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−+⋅=

[4.61]

θθθν

θ 4

2

22

1

21

12

4

1

12111 cosE

cossenEG

senEEy

⋅+⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−+⋅=

[4.62]

( )θθθθν 44

12

22

1

21

1221

1412221 cossenG

cossenEGEEGxy

+⋅+⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+−+⋅=

[4.63]

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+⋅⋅= θθθθ

νν 22

1221

44

1

21 111 cossenGEE

cossenE

E xyx [4.64]

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+⋅⋅= θθθθ

νν 22

1221

44

1

21 111 cossenGEE

cossenE

Eyxy [4.65]

83

4.5. INVARIANTES DE UNA LÁMINA ORTOTROPA

La matriz de rigidez en ejes globales de una lámina ortótropa se ha mostrado en las ecuaciones [4.55] y [4.56]. Se podría demostrar, con más o menos trabajo analítico, que, las ecuaciones anteriores se pueden rescribir de la manera siguiente:

θ

θθ

θθ

θθ

θ

θθ

4

4221

4221

42

4

42

3566

3226

3216

32122

3412

32111

cosUUQ

senUsenUQ

senUsenUQ

cosUcosUUQ

cosUUQ

cosUcosUUQ

−=

+−=

−−=

+−=

−=

++=

[4.66]

donde:

842

846

842

2

84233

661222115

661222114

661222113

22112

661222111

QQQQU

QQQQU

QQQQU

QQU

QQQQU

+−+=

−++=

−−+=

−=

+++=

[4.67]

Así, los nuevos elementos ( ijQ ) de la matriz de rigidez se pueden expresar en función de unos invariantes ( iU ), que son independientes de la orientación de la lámina, afectados, o no, por funciones trigonométricas del ángulo θ de orientación de la lámina. Por ejemplo, el término Q 11 de la nueva matriz de rigidez puede ponerse como:

84

θθ 42 32111 cosUcosUUQ ++=

[4.68]

Es decir, dicho término se puede expresar como suma de una cantidad constante, e independiente de la orientación de la lámina ( 1U ), más otros sumandos que dependen de θ y que pueden ser negativos pero que, en valor absoluto, su contribución al valor de 11Q es inferior a la del sumando 1U . Lo anterior se representa, esquemáticamente, en el croquis siguiente:

Figura 4.7.

A partir de los invariantes anteriores se pueden definir, para el material ortótropo, unas constantes cuasi-isótropas que corresponden a un límite inferior de las rigideces del material y que se utilizan, en la práctica, para tener la certeza de que, sea cual sea el ángulo de orientación de las tensiones, el comportamiento de la lámina es, como mínimo, igual al de la lámina cuasi-isótropa.

Llamando 24

21=D UU − , se pueden definir las siguientes constantes

cuasi-isótropas:

85

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−==

5

14

211

24

211

iso 1E

UG

U/U

UU/)UU(U/D

iso

iso

iso

ν

ν

[4.69]

4.6. RESUMEN

En este apartado se resumen las principales relaciones mostradas en este capítulo. En ejes locales:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τσσν

ν

γεε

τσσν

ν

γεε

y

xyx

x

y

y

x

y

x

G

EE

EE

G

EE

EE

12

2

1

12

21

21

2

12

1

2

1

100

01

01

100

01

01

86

{ } [ ]{ }σε S=

Relación deformación-tensión: { } [ ]{ }σε S=

12SS1121211212

2112

222

2112

111

2

1

SS

2221

1211

2

1

GQ QQQ

1EQ

1EQ

Q000QQ0QQ

=ν=ν=

νν−=

νν−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τσσ

En ejes globales:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε

τσσ

y

x

sssysx

ysyyyx

xsxyxx

y

x

QQQQQQQQQ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

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⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τσσ

γεε

y

x

sssysx

ysyyyx

xsxyxx

y

x

SSSSSSSSS

87

)cos(senQcossen)QQQQ(Q

cossen)QQQ(cossen)QQQ(Q

cossen)QQQ(cossen)QQQ(Q

cosQcossen)QQ(senQQ

)cos(senQcossen)QQQ(Q

senQcossen)QQ(cosQQ

ssssxyyyxxss

ssyyxyssxyxxys

ssyyxyssxyxxxs

yyssxyxxyy

xyssyyxxyx

yyssxyxxxx

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

4422

33

33

4224

4422

4224

22

22

22

22

4

22

++−−+=

+−+−−=

+−+−−=

+++=

++−+=

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)cos(senScossen)SSSS(S

cossen)SSS(cossen)QSS(S

cossen)SSS(cossen)SSS(S

cosScossen)SS(senSS

)cos(senScossen)SSS(S

senScossen)SS(cosSS

ssssxyyyxxss

ssyyxyssxyxxys

ssxyyyssxyxxxs

yyssxyxxyy

xyssyyxxyx

yyssxyxxxx

θθθθ

θθθθ

θθθθ

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4422

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33

4224

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4222

22222

2222

2

2

++−−+=

−+−−−−=

−−−−−=

+++=

++−+=

++⋅+=