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No ORDRE : 40956
Ecole doctorale regionale Sciences Pour lIngenieur Lille
NorddeFrance
Universite Lille 1 Sciences et Technologies
Estimateurs derreur a posteriori
residuels en elements finis pour la
resolution de problemes
delectromagnetisme en formulations
potentielles
THESE
presentee et soutenue publiquement le 29 Novembre 2012
pour lobtention du
Doctorat de lUniversite Lille 1
(specialite: Genie electrique)
par
Zuqi Tang
Composition du jury
President : Jean-Louis Coulomb
Rapporteurs : Patrick DularFrancesca Rapetti
Examinateurs : Yvonnick Le MenachOlivier MoreauSerge
NicaisePascal OmnesEmmanuel Creuse Co-Directeur de theseFrancis
Piriou Directeur de these
Laboratoire L2EP Laboratoire Paul Painleve
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Mis en page avec la classe thloria.
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Remerciements
Mes travaux de thse, raliss dans le cadre du projet MEDEE,
co-financ par la Re-gion Nord-Pas de Calais et EDF R&D, se sont
drouls au sein du L2EP (LaboratoiredElectrotechnique et
dElectronique de Puissance) Lille, dans lquipe Modlisation.Jai
galement t en interaction avec lquipe ANEDP (Analyse
Numrique-Equationsaux Drives Partielles) du laboratoire Paul
Painlev de lUniversite Lille 1.
En premier lieu, je tiens remercier Monsieur Francis Piriou,
directeur du laboratoireL2EP, pour avoir accept detre mon directeur
de thse. Merci pour son encadrementde grande qualit, spcialement en
ce qui concerne le travail scientifique, et ses qualitshumaines.
Jai normment appris son contact, savoir expliquer les concepts les
plustechniques en des termes simples.
Je remercie aussi mon co-directeur de thse Monsieur Emmanuel
Creus, professeur dulaboratoire Paul Painlev, qui a toujours su
mindiquer les bonnes directions de recherchequand il le fallait, et
me laisser chercher seul quand il le fallait. Jai sincerement
apprcide travailler avec lui et lui suis reconnaissant pour le
temps quil ma consacr et toutesles opportunits quil ma donnes au
cours de cette thse.
De la mme manire, je remercie Monsieur Yvonnick Le Menach, matre
de confrencedu L2EP, pour sa sympathie, sa disponibilit, ainsi que
pour son aide prcieuse de tousles jours.
Je remercie galement Monsieur Serge Nicaise, professeur du
laboratoire LAMAV Valenciennes, qui a grandement contribu ce
travail, avec ses ides et ses conseils degrande qualit.
Je tiens aussi remercier : Monsieur Jean-Louis Coulomb,
professeur linstitut polytechniques de Grenoble,
davoir accept de participer mon jury et de lavoir prsid.
Monsieur Patrick Dular et Madame Francesca Papetti, pour
lhonneur quils montfait de juger ma these en tant que
rapporteurs.
Monsieur Pascal Ommes, ingnieur chercheur au CEA Saclay et
professeur associ lUniversit Paris 13, pour avoir accept detre dans
mon jury.
Monsieur Olivier Moreau, chercheur EDF Electricit de France,
pour avoir acceptde faire partie de mon jury.
Je remercie particulirement Thomas Henneron et Abdelkader
Benabou, matres deconfrence du L2EP, pour toutes les discussions,
leurs aides. Loic Chevallier et JulienKorecki, ingnieur de
recherche du L2EP, pour leurs aides concernant le Code_Carmel3Det
le logiciel Salome. Je remercie galement lensemble des enseignants
chercheurs et non
i
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chercheurs du L2EP et du laboratoire Paul Painlev pour les
nombreuses discussionsconstructives en terme de recherche et
denseignement.
Je noublie pas lensemble des doctorants du P2 et des autres
etablissements qui ontcontribu a entretenir une ambiance de travail
dans la bonne humeur.
Je reserve les derniers mots pour ma famille : les grands
soutiens de mes parents,de mon pouse Juan et de ma petite fille
Jiani, qui mont encourag finir la thse etcontinuer la
recherche.
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Ddi Juan et Jiani, avec qui je partage ma vie.
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iv
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Table des matires
Introduction 1
Partie I Gnralits 5
Chapitre 1 Modlisation 7
1.1 Introduction du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 7
1.1.1 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 7
1.1.2 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 8
1.1.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 9
1.2 Formulations en potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 10
1.2.1 Magntostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 10
1.2.2 Magntodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 12
Chapitre 2 Mthode numrique et cadre fonctionnel 15
2.1 Mthode des lments finis et estimateurs derreurs . . . . . .
. . . . . 15
2.1.1 Mthode des lments finis . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 15
2.1.2 Dfinition des erreurs de discrtisation . . . . . . . . . .
. . . . 16
2.1.3 Estimateur derreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 17
2.2 Espaces fonctionnels utiliss . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 19
2.3 Hypothses importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 20
Partie II Problmes Electromagntiques 23
Chapitre 3 Problmes Magntostatiques 25
3.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 25
3.2 Formulation A avec conditions aux limites B n = 0 sur toute
la frontire 27
v
-
Table des matires
3.2.1 Formulation variationnelle et caractre bien pos du
problme
continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 27
3.2.2 Formulation variationnelle et caractre bien pos du
problme
discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 28
3.2.3 Estimation derreur a posteriori . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 29
3.3 Formulation A avec conditions aux limites mixtes . . . . . .
. . . . . . 41
3.3.1 Formulation variationnelle et caractre bien pos du
problme
continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 42
3.3.2 Formulation variationnelle et caractre bien pos du
problme
discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 44
3.3.3 Estimateur derreur a posteriori . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 45
3.4 Estimateur quilibr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 50
3.5 Validation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 52
3.5.1 Cas B n = 0 sur D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 523.5.2 Cas gnral : H 6= . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 55
Chapitre 4 Problmes Magntodynamiques : Formulation A/ 61
4.1 Cas des conditions aux limites B n = 0 sur toute la frontire
. . . . . 624.1.1 Formulation variationnelle et caractre bien pos
du problme
continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 62
4.1.2 Formulation variationnelle et caractre bien pos du
problme
discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 65
4.1.3 Estimateur derreur a posteriori . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 67
4.2 Cas des conditions aux limites mixtes . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 80
4.2.1 Cas 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 81
4.2.2 Cas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 83
4.2.3 Dfinition de lestimateur . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 85
4.3 Validation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 86
Chapitre 5 Problmes Magntodynamiques : Formulation T/ 89
5.1 Cas des conditions aux limites B n = 0 sur toute la
frontire. . . . . . 905.1.1 Formulation variationnelle et caractre
bien pos du problme
continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 90
5.1.2 Formulation variationnelle et caractre bien pos du
problme
discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 93
vi
-
5.1.3 Estimateur derreur a posteriori . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 94
5.2 Cas des conditions aux limites mixtes . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 102
5.2.1 Cas 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 103
5.2.2 Cas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 104
5.2.3 Dfinition de lestimateur . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 107
5.3 Validation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 108
Partie III Cas tests et application industrielle 111
Chapitre 6 Cas tests et application industrielle 113
6.1 Magntostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 113
6.1.1 TEAM Workshop 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 115
6.1.2 Machine rluctance variable . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 122
6.2 Magntodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 124
6.2.1 Cylindre conducteur soumis un champ variable . . . . . . .
. 125
6.2.2 TEAM Workshop 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 128
6.2.3 Bobine entre deux plaques . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 132
6.3 Contrle non destructif par courants de Foucault (C.N.D-CF) .
. . . . 138
Conclusion gnrale 143
Annexes 145
Annexe A Ingalits de Cauchy-Schwarz 145
Annexe B Dmonstration du Lemme 4.10 147
Annexe C Dmonstration du Thorme 4.28 151
Annexe D Dmonstration du Thorme 4.29 157
Bibliographie 161
vii
-
Table des matires
viii
-
Liste des tableaux
5.1 Dimension de la structure. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 109
6.1 Comparaison des quantits values par chacun des estimateurs
pour lesformulations en A et . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 115
6.2 Nombre dlments pour les deux maillages. . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1166.3 Rsultats pour les deux maillages. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.4 Comparaison des quantits
values par chacun des estimateurs pour les
formulations en A/ et T/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 1256.5 Perte Joule et Energie Magntique pour les 3
valeurs de la frquence. . . . 1306.6 Valeurs des diffrents termes
de lestimateur derreur pour les 3 valeurs de
frquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1306.7 Dimension de la structure. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.8 Configurations des 4
cas tests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
ix
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Liste des tableaux
x
-
Table des figures
1.1 Domaine dtude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 71.2 Conditions aux limites imposes sur la
frontire du domaine. . . . . . . . . 9
2.1 Patch dun lment T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 162.2 Erreur et Estimateur local . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Domaine D . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4
Partition du domaine D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 20
3.1 Domaine dtude coup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 423.2 Notation des espaces fonctionnels. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Domaine du problme : cube
travers par une densit de courant Js. . . . . 523.4 Comparaison des
nergies magntiques calcules par les deux formulations. 533.5 Erreur
et Estimateur pour lexemple du cube. . . . . . . . . . . . . . . .
. 543.6 Carte derreur (haut) et destimateur (bas). . . . . . . . .
. . . . . . . . . 553.7 Domaine de calcul pour un huitime de cube.
. . . . . . . . . . . . . . . . 563.8 Ordre de convergence de
lerreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.9
Visualisation de linduction magntique Bh dans le plan z = 1/2. . .
. . . 57
3.10
(
D
1
|B Bh|2
)1/2/ en fonction de Log(DoF ). . . . . . . . . . . . . . 57
3.11 Convergence des estimateurs et des erreurs. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 583.12 Cartes derreur (haut) et destimateur
(bas). . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.13 Domaine du cas test
singulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.14
Carte destimateur en formulation A pour le cas test singulier. . .
. . . . . 59
4.1 Domaine dtude pour la formulation A/. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 614.2 Domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3 Ordre de convergence de
lerreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4Erreur
en fonction de Log(DoF ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 87
4.5 Carte derreur et destimateur dans le plan z = 0. . . . . . .
. . . . . . . . 88
5.1 Domaine dtude pour la formulation T/. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 895.2 Domaine dtude. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1025.3 Structure tudie : Bobine
entre deux plaques. . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4 Cinq
maillages de plus en plus fins. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 1095.5 Ordre de convergence de lestimateur. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 110
xi
-
Table des figures
6.1 Structure du problme TEAM Workshop 13. . . . . . . . . . . .
. . . . . . 1156.2 Maillage grossier : nombre dlments : 115 777. .
. . . . . . . . . . . . . . 1166.3 Maillage fin : nombre dlments :
2 935 645. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.4 Maillage
grossier : distribution de lerreur estime dans les parties
ferroma-
gntiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1186.5 Maillage fin : distribution de lerreur
estime dans les parties ferromagn-
tiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1196.6 Maillage fin : distribution de lerreur
estime dans tout le domaine. . . . . 1206.7 Maillage fin : zoom
dans des noyaux ferromagntiques et la plaque centrale. 1216.8
Maillage de la machine lectrique. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 1226.9 Deux modes dalimentation pour la machine. . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1226.10 Visualisation des inductions
magntiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.11 Carte
destimateur pour les deux modes dexcitation de la MRV. . . . . . .
1246.12 Structure tudie : le cylindre conducteur. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1266.13 Maillage utilis. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.14 Distribution de
la densit de courant pour les trois valeurs de la frquence
en formulation A/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1276.15 Distribution de la densit de courant dans la
section transversale en for-
mulation A/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1276.16 Distribution de lestimateur derreur pour les
3 frquences en formulation
A/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1286.17 Structure tudie : TEAM Workshop 7. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.18 Maillage du Problme TEAM
Workshop 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.19 Distributions
de densit de courant en frquence 50Hz et 2kHz. . . . . . . .
1316.20 Carte destimateur en frquence 50Hz. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 1316.21 Carte destimateur en frquence 2kHz. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1316.22 Structure tudie : Bobine
entre deux plaques. . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.23
Maillage de la structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1336.24 Carte destimateur T dans deux plaques
conductrices pour la formulation
A/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1336.25 Carte destimateur T dans deux plaques
conductrices pour la formulation
T/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1346.26 Carte destimateur sur le plan mdium. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.27 Distributions de densit
de courant pour les 4 frquences et les deux for-
mulations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1366.28 Carte destimateur pour les 4 frquences et
les deux formulations. . . . . . 1376.29 Tube gnrateur de vapeur :
STL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.30 Maillage
du tube gnrateur de vapeur : STL. . . . . . . . . . . . . . . . .
1396.31 Carte destimateur en formulations A/ et T/. . . . . . . . .
. . . . . . 1396.32 Zoom sur la carte destimateurs. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 140
xii
-
Introduction
Le L2EP1 et EDF R&D collaborent depuis de nombreuses annes
dans le domaine de lamodlisation numrique au sein du ple phare
rgional MEDEE2. Cette collaboration sestrenforce en 2006 avec la
cration dun laboratoire commun dnomm LAMEL3. Celui-ci runit les
enseignants chercheurs de lquipe modlisation du L2EP et les
ingnieurschercheurs du groupe COMETE du dpartement THEMIS de EDF
R&D. Le but de ce la-boratoire commun est de dvelopper des
outils de modlisation numrique afin de pouvoiranalyser rapidement
et avec prcision les phnomnes lectromagntiques rencontrs dansles
matriels lectriques. Ds lors le laboratoire commun dveloppe
Code_Carmel3D4 quipermet de rsoudre les problmes dlectromagntisme
en basse frquence laide de lamthode des lments finis. Au sein du
ple MEDEE, le L2EP et EDF R&D sont impli-qus dans le projet
"Industrialisation de Code_Carmel".
Paralllement, le laboratoire de mathmatiques Paul Painlev de
Lille et le LAMAV5
collaborent sur le thme des Equations aux Drives Partielles et
de leur rsolution laidede la mthode des lments finis. De nombreux
travaux communs relatifs aux estimateursderreurs a posteriori ont
notamment t raliss ces dernires annes.
Les travaux de thse prsents dans ce mmoire sont le fruit dune
collaboration entrele LAMEL, Paul Painlev et le LAMAV, au sein de
MEDEE, pour dvelopper dansCode_Carmel3D des estimateurs derreur
numriques adapts aux problmes dlectro-magntisme en basse
frquence.
Les domaines dapplication de llectromagntisme basse frquence
sont nombreux etvaris. Ils vont des machines lectriques (moteurs ou
gnrateurs) aux transformateurs etautres dispositifs comme le
contrle non destructif par courants de Foucault. Lorsque lontraite
ce type de problmes, qui peut tre caractris par des gomtries
non-standards etdes configurations complexes, la prcision de la
solution numrique est cruciale pour pou-voir interprter
correctement les rsultats obtenus. Pour atteindre cet objectif en
utilisantla mthode des lments finis, il est ncessaire de matriser
lerreur numrique. Toutefois, lalocalisation des erreurs reste
difficile prdire. Les utilisateurs de la mthode des lments
1L2EP : Laboratoire dElectrotechnique et dElectronique de
Puissance de Lille.2MEDEE : Matrise Energtique Des Entranements
Electriques.3LAMEL : Laboratoire de Modlisation du matriel
ELectrique.4Code_Carmel3D : Code Avanc de Recherche en Modlisation
Electromagntique 3D.5LAMAV : Laboratoire de Mathmatiques et leurs
Applications de Valenciennes.
1
-
Introduction
finis se basent souvent sur des critres heuristiques pour
raffiner le maillage l o lerreurleur parait la plus importante, par
exemple proximit des singularits gomtriques oudans les couches
limites. Il est cependant ncessaire de quantifier lerreur numrique
oudu moins de lestimer. A la limite, lestimateur idal indique
lerreur exacte. A minimaon recherche un estimateur se comportant
comme lerreur exacte. Lestimation derreurconstitue donc un outil,
dont lutilisation est ncessaire dans le processus de gnrationdes
maillages adaptatifs (h-raffinement) ou laugmentation de lordre des
lments finisutiliss localement (p-raffinement).
On distingue deux familles destimateurs : lestimateur a priori
et lestimateur a pos-teriori. Lestimateur a priori nous permet
dassurer la convergence de lerreur vers zro,sous rserve dune
rgularit suffisante de la solution exacte [23, 42, 43, 51], qui
dpendde divers paramtres comme, par exemple, la gometrie du domaine
en prsence de trousou de coins. Dans ce mmoire, nous nous
intressons aux estimateurs a posteriori. Ilsne dpendent que de la
solution numrique et des donnes du problme, sans ncessiterdavantage
de rgularit sur la solution exacte que celle impose par la
formulation faible.
Dans la famille des estimateurs a posteriori, certains
estimateurs sont trs populairesdans le domaine de llectromagntisme.
Lun des plus connus est lestimateur quilibrcouramment utilis pour
les problmes statiques. Une premire solution numrique nouspermet de
calculer une solution admissible. On construit alors une seconde
solution ad-missible [10, 38, 53]. Plus gnralement, on a recours
deux formulations duales [55] pourla rsolution dun mme problme.
Lestimateur est bas sur la non vrification de la loide comportement
entre les deux solutions admissibles obtenues [11, 12, 17].
Lestimateurde type Zienkiewicz-Zhu, plus connu sous le nom "ZZ",
est galement developp dans lesrfrences [45, 65, 66, 67]. Pour cet
estimateur, en chaque noeud un gradient rgularisest dabord
construit partir de la solution numrique. On dfinit ensuite
lestimateurcomme la diffrence entre ce gradient reconstruit et le
gradient calcul par la mthode deslments finis. Cet estimateur est
utilis en amont des algorithmes de remaillage dans desapplications
en lectromagntisme [40, 41, 59, 64]. Dautres types destimateurs a
poste-riori ont t dvelopps comme ceux bass sur la conservation de
lnergie [30, 31, 47].Dautres utilisent la conservation des champs
linterface entre les lments comme dans[49] pour les problmes
statiques. Dans la rfrence [35] les auteurs ont introduit, pour
desproblmes de magntodynamique, lestimateur bas sur la vrification
des discontinuitsdes champs et lont compar avec lestimateur quilibr
bas sur la non vrification de laloi de comportement. Une autre
stratgie consiste augmenter le degr des polynmes desfonctions tests
[22]. Enfin, il existe lestimateur de type rsiduel introduit par
les travauxpionniers de Babuska et Rheinboldt pour le problme de
Laplace [4, 5]. Sur ce sujet, detrs nombreux travaux ont t publis
(parmi eux, les monographies [1, 6, 60] en donnentles lments
fontamentaux). En 2000, cet estimateur a t appliqu des problmes
dlec-tromagntisme avec une formulation en champ [7].
Dans ce mmoire de thse, nous travaillons exclusivement sur
lestimateur de typersiduel appliqu des problmes
dlectromagntisme.
2
-
Pour les problmes de magntostatique, la formulation en potentiel
scalaire conduit un problme de type Laplace qui a t trait dans de
nombreux travaux, comme indiquprcdemment. Ici, nous nous sommes
intresss la formulation en potentiel vecteur A.
Pour les problmes de magntodynamique, les travaux prsents dans
[7] consistent rsoudre le problme dans le domaine conducteur
uniquement et supposent que la solutionexacte est rgulire. Cette
hypothse implique que les coefficients de permabilit magn-tique et
de conductivit lectrique soient de classe C 1 sur le domaine.
Lhypothsesur la rgularit de la solution exacte est relaxe dans
[46], qui tend les rsultats pourdes maillages isotrope et
anisotrope. Des travaux sur les formulations en champs E et Hont t
presents dans [58] dans les conditions de la quasi-statique, et les
travaux [15, 63]dans le cadre harmonique. Une approximation par
lments finis mixtes est presente dans[22]. Certains travaux sur la
stabilit du processus de raffinement peuvent tre trouvsdans [14,
25, 28]. Pour la magntodynamique nous nous intressons, dans ce
mmoire,aux formulations lectrique et magntique en potentiels pour
des problmes harmoniques[13, 21, 61, 62].
Pour dvelopper un estimateur de type rsiduel, il est ncessaire
dtablir deux pro-prits extrmement importantes : la fiabilit et
lefficacit de lestimateur [1]. Ces deuxnotions seront dfinies
prcisment ds le deuxime chapitre, et les travaux prsents icisont
consacrs, en grande partie, leur dmonstration mathmatique.
Ce mmoire de thse se dcompose en trois parties. Dans la premire
partie, nousprsentons dabord les problmes rsoudre. Pour cela nous
introduisons les quations deMaxwell, les lois de comportement, les
conditions aux limites et enfin les formulations enpotentiel dans
le chapitre 1. Ensuite, dans le chapitre 2, une prsentation
mathmatiquede la mthode des lments finis et les proprits des
estimateurs derreur sont introduites.Pour faciliter la lecture du
document, nous dfinissons les espaces fonctionnels utiliss etles
hypothses importantes effectuer.
La deuxime partie est dcompose en trois chapitres. On aborde
tout dabord les deuxformulations en potentiels de la
magntostatique. On dveloppe surtout la formulation enpotentiel
vecteur A. On suppose tout dabord que sur toute la frontire du
domaine lesconditions aux limites sont de type B n = 0. Cette
hypothse, qui sera leve par lasuite en introduisant des conditions
aux limites mixtes, permet de mener bien les d-veloppements
mathmatiques. Aprs une attention particulire porte la condition
dejauge, les outils mathmatiques importants sont introduits et
utiliss pour parvenir auxrsultats. Pour le cas des conditions aux
limites mixtes, une dcomposition de Helmholtzad-hoc est dveloppe.
Des cas tests acadmiques sont proposs pour valider et comparerces
estimateurs numriquement. Dans les deux autres chapitres, nous
traitons le problmede la magntodynamique. Nous dveloppons
lestimateur de type rsiduel pour les formu-lations A/ et T/. Par
rapport au cas de la magntostatique, les dmonstrations sontplus
complexes, notamment en ce qui concerne la dcomposition de
Helmholtz.
Enfin, la troisime partie est consacre lapplication des
estimateurs pour des cas in-
3
-
Introduction
dustriels en magntostatique et en magntodynamique. Nous
analysons les performancesdes estimateurs dvelopps, en interprtant
les rsultats physiquement. Pour terminer,nous traitons un cas
relatif au contrle non destructif par courants de Foucault
(C.N.D-CF) .
4
-
Premire partie
Gnralits
5
-
Chapitre 1
Modlisation
Les systmes lectromagntiques sont rgis par les quations de
Maxwell. Aprs leurintroduction, on prsente les lois de comportement
associes, puis les conditions aux li-mites. On sintresse ensuite au
cas de la magntostatique avec les formulations en po-tentiels. Pour
la basse frquence il y a deux modles envisageables [50] ; dans
cette tude,compte tenu de la thmatique aborde, on dveloppera la
formulation quasi-stationnairemagntique communment appele
magntodynamique.
1.1 Introduction du modle
1.1.1 Equations de Maxwell
Soit D un domaine dtude de frontire rgulire. Dc est un domaine
conducteurinclus dans D et Dnc un domaine non-conducteur (voir Fig.
1.1).
Dc
> 0 > 0
Dnc = 0 > 0
Dc
D
Js
Fig. 1.1 Domaine dtude.
On impose une source de courant Js dans le domaine
non-conducteur Dnc. Les qua-tions de MAXWELL rgissent lensemble des
phnomnes lectromagntiques. Ellespeuvent scrire sous la forme gnrale
:
rotE = Bt, (1.1)
7
-
Chapitre 1. Modlisation
rotH = J +D
t, (1.2)
div B = 0, (1.3)
div D = , (1.4)
o E et H sont respectivement les champs lectrique et magntique.
D et B sont respec-tivement les inductions lectrique et magntique.
J est la densit de courant, qui peut sedcomposer en deux parties
:
J = Js + Jind,
o Js reprsente le terme source et Jind le courant induit, et est
la densit volumiquede charge lectrique.
On sintresse au problme de la magntodynamique, cest--dire que
lon restreint
ltude lapproximation des quations (1.1)-(1.4) avec le termeD
tdans lquation
(1.2) nglig, ce qui correspond la non prise en compte des
phnomnes de propagationdes champs lectriques. On obtient alors la
forme locale du thorme dAmpre :
rotH = J, (1.5)
ce qui induit la conservation de la densit de courant :
div J = 0. (1.6)
En magntostatique, le termeB
tdans lquation (1.1) disparait, et on ne considre
alors plus que les quations (1.3) et (1.5).
1.1.2 Lois de comportement
Les proprits lectriques et magntiques des diffrents milieux du
domaine sont prisesen compte par les lois de comportement.
Celles-ci lient les diffrents champs magntiqueset lectriques entre
eux. On suppose que dans la suite les lois ne dpendent que des
champset de faon linaire.
Dans les conducteurs, on obtient alors une relation de la
forme
J = E, (1.7)
o est la conductivit lectrique.
En notant la permabilit magntique, la loi de comportement
magntique scrit :
B = H. (1.8)
8
-
1.1. Introduction du modle
1.1.3 Conditions aux limites
Pour assurer lunicit de la solution du systme dquations
(1.1)-(1.4), en tenantcompte des lois de comportement (1.7) et
(1.8), il est ncessaire dimposer des conditionsaux limites et
initiales sur les champs. Pour les conditions initiales, compte
tenu des rela-tions liant H et B, il suffit de connatre la
rpartition initiale de linduction ou du champmagntique. En gnral,
on prend B gal zro linstant initial.
(a) Cas 1 (b) Cas 2
Dc DcDnc
DncJJB H
B
E
Fig. 1.2 Conditions aux limites imposes sur la frontire du
domaine.
Pour les conditions aux limites, la frontire D du domaine entier
D peut se d-composer en deux parties, lune note B avec des
conditions aux limites sur linductionmagntique et lautre H relative
au champ magntique (voir Fig. 1.2(a)). On a :
D = B H et B H = .
Sur la frontire H , on impose des conditions aux limites de la
forme :
n H|H = 0, (1.9)
ce qui correspond au fait que le champ magntique sort du domaine
de manire normale.Sur B, on impose des conditions aux limites de
type :
n B|B = 0, (1.10)
ce qui correspond au fait que linduction magntique ne sort pas
du domaine.
Concernant la frontire Dc du domaine conducteur Dc, dans le cas
gnral, celle-cise dcompose en deux parties : lune note E et lautre
note J :
n E|E = 0, (1.11)
n J|J = 0. (1.12)
9
-
Chapitre 1. Modlisation
Sur la figure 1.2(a), le domaine Dc tant strictement inclus dans
D, on a alors une uniquefrontire de type J , i.e. Dc = J .
Dans le cas o le domaine conducteur Dc touche la frontire D du
domaine D,lintersection des frontires Dc et D nest pas vide (voir
Fig. 1.2(b)). Dans ce cas l,on a les deux relations suivantes :
1. Les relations (1.5) et (1.9) impliquent (1.12).
2. Les relations (1.1) et (1.11) impliquent (1.10).
1.2 Formulations en potentiels
Les quations de Maxwell peuvent tre rsolues en champs magntique
ou bien lec-trique. Cependant, on peut avoir intrt utiliser les
formulations en potentiels. Lespotentiels sont des outils
mathmatiques intermdiaires pour dterminer les champs
lec-tromagntiques, avec lesquels il est plus facile dimposer les
conditions de transmission deschamps linterface entre deux sous
domaines ayant des proprits physiques diffrentes.Il faut mentionner
ici que pour assurer lunicit des potentiels, il est ncessaire
dimposerune condition de jauge.
1.2.1 Magntostatique
Formulation A
Pour le problme de la magntostatique, on cherche rsoudre les
quations :
div B = 0 dans D,
rotH = Js dans D.(1.13)
Dans le cas statique, on na pas de courant induit, et en
consquence, J = Js.
Sur la frontire D du domaine D, on considre deux types de
conditions aux limites :on suppose que D = B H , avec B H = et B
connexe. Les conditions auxlimites imposes sur la frontire
sexpriment par :
B n = 0 sur B,
H n = 0 sur H .(1.14)
Prenant en compte le fait que div B = 0 et que le domaine D est
simplement connexe,une fonction du potentiel vecteur A est alors
introduite telle que B = rotA. Les problmes(1.13) et (1.14)
scrivent sous la forme :
10
-
1.2. Formulations en potentiels
rot
(1
rotA
)= Js dans D,
A n = 0 sur B,
1
rotA n = 0 sur H ,
(1.15)
o le terme source Js est suppos tel que :
div Js = 0 dans D,
Js n = 0 sur H .(1.16)
Ici, pour assurer lunicit de la solution du problme (1.15), il
faut ajouter une conditionde jauge. Il en existe plusieurs. Dans
notre cas, on prend la jauge de Coulomb (div A = 0),qui est
implicite dans la mthode des lments finis lorsque le problme est
rsolu avecune mthode itrative de type gradient conjugu [54].
Formulation
Comme Js est une grandeur connue divergence nulle, on peut crire
[33] :
rotHs = Js.
Dans ce contexte, on peut introduire un potentiel scalaire qui
permet dexprimer lechamp magntique H sous la forme :
H = Hs .Les problmes (1.13) et (1.14) deviennent :
div () = div (Hs) dans D,
n = Hs n sur B,
= Constante sur H ,
(1.17)
o le terme source Hs satisfait
Hs n = 0 sur H . (1.18)
En pratique, on peut prendre = 0 sur H quitte introduire =
Constante,puisque = .
Remarque 1.1 Ici, dans le cas o H = , on na plus unicit de la
solution pour leproblme (1.17), il nous faut donc ajouter une
condition de jauge. Dans ce cas on choisit
la valeur moyenne de nulle sur le domaine D (i.e.
D
= 0).
11
-
Chapitre 1. Modlisation
1.2.2 Magntodynamique
Formulation A/
Avec la mme dmarche que celle opre dans le cas de la
magntostatique, les qua-tions que lon va rsoudre sont (1.1), (1.3)
et (1.5) :
rotE = Bt,
rotH = J,
div B = 0.
(1.19)
De faon similaire au problme de la magntostatique, comme div B =
0, on peutintroduire un potentiel vecteur A dans tout le domaine
tel que :
B = rotA.
En tenant compte de (1.1), on a :
rot
(E +
A
t
)= 0.
On obtient alors lexpression du champ E en fonction du potentiel
scalaire qui estseulement dfini dans le domaine conducteur Dc :
E = At
.En utilisant les potentiels A et , le champ magntique H et la
densit de courant induitJind peuvent sexprimer par :
H =1
rotA et Jind =
(At
).
En remplaant H et J dans le systme (1.19), on obtient :
rot
(1
rotA
)
(At
)
= Js,
et en appliquant loprateur divergence cette quation, on obtient
:
div
(
(At
))
= 0.
Dans ces conditions, la formulation A/ pour le problme de
magntodynamique prendla forme suivante :
rot
(1
rotA
)
(At
)
= Js dans D,
div
(
(At
))
= 0 dans Dc.
(1.20)
12
-
1.2. Formulations en potentiels
Formulation T/
Comme div Js = 0 dans le domaine D, il existe un terme source Hs
[33] tel que :
rotHs = Js dans D.
De plus, dans le domaine conducteur Dc que lon suppose
simplement connexe, commediv Jind = 0, une fonction en potentiel
vecteur T peut tre introduite telle que :
rotT = Jind.
En tenant compte de (1.5), on peut crire le champ magntique H
sous la forme :
H =
Hs + T dans Dc,
Hs dans Dnc,(1.21)
o reprsente le potentiel scalaire dans le domaine D.
Le systme devient :
rot
(1
rotT
)+
t( (T )) =
t(Hs) dans Dc.
En appliquant loprateur divergence lquation prcdente, on obtient
:
div ((T )) = div (Hs) dans Dc. (1.22)
De plus, on a div B = 0 dans D, on obtient :
div () = div (Hs) dans Dnc. (1.23)
On en dduit la formulation T/ pour le problme de la
magntodynamique :
rot
(1
rotT
)+
t( (T )) =
t(Hs) dans Dc,
div ((T)) = div (Hs) dans Dc,
div (()) = div (Hs) dans Dnc.
(1.24)
13
-
Chapitre 1. Modlisation
14
-
Chapitre 2
Mthode numrique et cadre
fonctionnel
On introduit ici les estimateurs derreur, et plus
particulirement lestimateur der-reur a posteriori dans le cadre de
la mthode des lments finis. On propose ensuite uneprsentation des
espaces fonctionnels utiliss. Enfin, on donne les hypothses de
travaildfinissant le cadre de notre tude.
2.1 Mthode des lments finis et estimateurs derreurs
2.1.1 Mthode des lments finis
Dans le chapitre prcdent, nous avons dvelopp, laide des
formulations en po-tentiels, les quations aux drives partielles
rsoudre pour les problmes de magnto-statique et de magntodynamique.
Dans le cas gnral, il est impossible de les rsoudreanalytiquement.
On a donc recours des mthodes numriques.
La mthode des lments finis est la plus utilise dans ce domaine.
Considrons leproblme qui consiste trouver la solution u du systme
dfini par :
A(u) = f. (2.1)
En utilisant la mthode de lments finis, pour rsoudre le problme
(2.1), on tablitla formulation variationnelle correspondante, on a
donc dfinir lespace fonctionnel Vdans lequel on cherche la solution
exacte u (on lappelle le problme continu (2.2)). Oncherche ensuite
la solution approche uh dans un espace fonctionnel Vh (que lon
appellele problme discret (2.3)). On parle dlments finis conformes
lorsque Vh V .
Le problme continu consiste trouver la solution u V telle
quea(u, v) = l(v), v V. (2.2)
o a(, ) une forme bilinaire et l() une forme linaire.
15
-
Chapitre 2. Mthode numrique et cadre fonctionnel
En pratique, au niveau discret, le problme rsoudre prend la
forme :
Trouver la solution uh Vh tel que
a(uh, vh) = l(vh), vh Vh. (2.3)
2.1.2 Dfinition des erreurs de discrtisation
Lerreur de discrtisation au sens de la norme de lnergie sur un
domaine D note||| |||D , est dfinie par :
= |||u uh|||D .Soit D le domaine dtude et T un lment fini (un
ttradre dans le cas de cette
tude), on dfinit lerreur globale D par :
2D = |||u uh|||2D,
et lerreur locale dans chaque lment T par :
2T = |||u uh|||2T .
On dfinit maintenant le patch dun lment P(T ) par lensemble des
lments quiont une face (cas 3D) ou une arte (cas 2D) commune avec
llment T (voir Fig. 2.1).
T
P(T )
Fig. 2.1 Patch dun lment T .
Dans ce cas, lerreur locale P(T ) est dfinie par :
2P(T ) = |||u uh|||2P(T )
On peut alors exprimer :
2P(T ) =
T P(T )
2T et 2D =
TT
2T ,
o T est lensemble des ttradres.
16
-
2.1. Mthode des lments finis et estimateurs derreurs
2.1.3 Estimateur derreur
Dans la suite, nous allons chercher quantifier lerreur de
discrtisation laide dunequantit appele estimateur.
Il existe des estimateurs a priori, qui nous permettent dassurer
la convergence delerreur. Pour utiliser ce type destimateur, il est
ncessaire de connatre la rgularit dela solution exacte [23, 42].
Une estimation derreur a priori sexprime sous la forme :
|||u uh|||D C hpmax N (u),
o hmax est la valeur maximale du diamtre dune maille, p est
lordre de convergence,N (u) une quantit qui dpend de u et de sa
rgularit, et C une constante qui ne dpendni de u ni de hmax (bien
quelle puisse dpendre de la rgularit du maillage).
Les estimateurs que nous allons dvelopper font partie de la
famille des estimateurs aposteriori car ils sappuient sur la
solution numrique et sur les donnes du problme sansexiger de
rgularit plus forte sur la solution exacte que celle impose par la
formulationfaible. Pour les quations aux derives partielles
elliptiques avec les conditions aux limitesde Dirichlet et de
Neumann (par exemple, lquation de Laplace pour la formulation
enpotentiel scalaire ), lestimateur derreur a posteriori de type
rsiduel est bien dve-lopp en mathmatiques [1, 6, 44, 60]. Pour la
formulation en champs, il a commenc tre considr en 2000 pour un
problme dlectromagntisme [7], avec comme hypothserestrictive que la
solution exacte doive tre rgulire, impliquant que les coefficients
depermabilit et de conductivit soient de classe C 1 sur le domaine.
Les rsultats ontt tendu aux coefficients constants par morceaux
[46]. Plus rcemment de nombreuxtravaux ont concern les formulations
en champ lectrique E et en champ magtique H.Ces formulations en
champs ne peuvent pas tre utilises dans des domaines non
conduc-teurs car elles supposent une conductivit stritement
positive. En utilisant les formula-tions potentielles A/ et T/, on
peut rsoudre des problmes multi-domaines. A notreconnaissance, il
ny a pas de publications sur lestimateur derreur a posteriori
concer-nant ces deux formulations en potentiel. On peut nanmoins
noter la rfrence [13] quipropose une formulation en potentiel dans
laquelle napparait pas comme une inconnue.
Dans le domaine du gnie lectrique, certains estimateurs a
posteriori sont usuellementutiliss. Pour les problmes de
magntostatique, un estimateur derreur a posteriori bassur la non
vrification de la loi de comportement est couramment utilis. Cet
estimateurncessite la connaissance de deux solutions admissibles
[11, 12, 17, 36, 39, 55]. Il peut nousdonner une majoration globale
de lerreur sans constante multiplicative. (i.e. voir (2.5),o on a
directement D D), mais lerreur estime par cet estimateur est la
somme desdeux erreurs commises par les deux formulations. Ce point
sera detaill dans le chapitre 3.Dans ce travail nous nous sommes
intresss aux estimateurs rsiduels et quilibrs mmesi notre
principale contribution concerne les estimateurs de type
rsiduel.
On note T lestimateur local sur un lment T , et D lestimateur
global sur tout le
17
-
Chapitre 2. Mthode numrique et cadre fonctionnel
domaine D, qui scrit :
2D =
TT
2T .
On dmontrera dans la suite de ce travail quil est possible
dcrire :
C1 D D C2 D. (2.4)
o les constantes C1 et C2 ne dpendent que des donnes du problme,
mais pas de laprcision du maillage. On introduit ici la notation
quivalente :
D . D . D.
La relation (2.4) nous permet dassurer que lestimateur peut
contrler lerreur globale.
(a) Erreur locale (b) Estimateur local.
T T
Fig. 2.2 Erreur et Estimateur local
Dans la pratique, on souhaite obtenir un contrle sur lerreur
locale T (voir Fig.2.2(a)) par lestimateur T (voir Fig. 2.2(b))
afin de pouvoir utiliser lestimateur pourpiloter le raffinement de
maillage. Malheureusement on narrive pas majorer lerreurlocale T .
En revanche, on peut majorer lerreur globale D. Cette proprit
sappelle lafiabilit, soit
D . D. (2.5)
Par contre, on parvient minorer lerreur locale sur un patch
relatif llment T et notP(T ). Cest ce que lon appelle lefficacit
locale :
T . P(T ). (2.6)
Remarque 2.1 On observe que :
1. Si lestimateur global converge vers 0, la fiabilit nous
permet de dire que lerreurglobale tend vers 0 galement.
2. Lefficacit locale nous permet de dire que si lestimateur T
est grand, alors, sur lepatch relatif llment T lerreur est galement
importante.
Le coeur des travaux prsents dans ce mmoire est de dmontrer ces
deux propritespour des estimateurs dans le cas des formulations en
potentiels de la magntostatique etde la magntodynamique.
18
-
2.2. Espaces fonctionnels utiliss
2.2 Espaces fonctionnels utiliss
Lutilisation de la mthode des lments finis ncessite dintroduire
certains espacesfonctionnels.
D
Fig. 2.3 Domaine D .
Soit D un domaine quelconque, de frontire D = (voir Fig. 2.3).
On noteL2(D) et L2(D) respectivement les espaces fonctionnels dans
lesquels la fonction scalaireet la fonction vectorielle sont de
carr intgrable dans le domaine D :
L2(D) =
{u,
D
| u |2< +},
L2(D) =
{u,
D
| u |2< +}.
Ici, on restreint notre tude dans le cas de la dimension 3. On
notera donc :
L2(D) = L2(D)3.
En utilisant les dfinitions des espaces fonctionnels L2(D) et
L2(D), on introduit desespaces dfinis par des oprateurs
diffrentiels comme le gradient, la divergence et lerotationnel
:
H(grad,D) ={u L2(D),u L2(D)3
},
H(rot,D) ={u L2(D)3, rotu L2(D)3
},
H(div ,D) ={u L2(D)3, div u L2(D)
}.
On prcise maintenant les conditions aux limites associes ces
espaces. H(grad,D) estaussi le sous espace de H(grad,D), dont les
lments sont nuls sur la frontire , i.e.
H(grad,D) = {u H(grad,D), u = 0 sur } .
Si = D , on note H0(grad,D) = HD(grad,D).
19
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Chapitre 2. Mthode numrique et cadre fonctionnel
Pareillement, on considre les conditions aux limites associes
aux espaces H(rot,D)et H(div ,D) :
H(rot,D) = {u H(rot,D),u n = 0 sur } ,
H(div ,D) = {u H(div ,D),u n = 0 sur } .
Remarque 2.2 En mathmatiques, on utilise habituellement la
notation H1(D) laplace de H(grad,D), ce qui sera le cas dans la
suite de ce manuscrit.
On introduit de plus lespace fonctionnel PH1(D) qui est constitu
des fonctions H1
par morceaux sur le domaine D . On considre donc une partition
du domaine D sous la
forme : D =J
j=1
Dj, o Di Dj = , i 6= j (voir Fig. 2.4). On note :
PH1(D) ={u L2(D); 1 j J, u H1(Dj)
},
Fig. 2.4 Partition du domaine D .
avec la norme associe
u2PH1(D) = u2D + pu2D , (2.7)
o
pu2D =J
j=1
u|Dj2Dj.
Dans les dveloppements que nous serons amens faire
ultrieurement, il sera nces-saire dintroduire de nouveaux espaces
fonctionnels qui seront dfinis au fur et mesuredes besoins du
dveloppement.
2.3 Hypothses importantes
Dans ce mmoire, comme indiqu prcdemment, nous allons dvelopper
lestimateurde type rsiduel pour la formulation A en magntostatique
et pour les formulations A/et T/ dans le cas magntodynamique. Nous
effectuerons les hypothses suivantes :
20
-
2.3. Hypothses importantes
Le domaine de calcul D est simplement connexe.
Pour la formulation T/, on suppose que le domaine conducteur Dc
est simplementconnnexe. Dans le cas contraire, il serait en effet
ncessaire dajouter une quationsupplmentaire [57].
La frontire B est connexe ce qui est le cas des problmes
gnralement rencontrsen physique.
Dans la suite du travail, compte tenu du choix de la
discrtisation pour mailler ledomaine de calcul (mailles
ttradriques), on suppose que les domaines de calculsont tous
polyhdraux, et possdent en consquence les hypothses de
rgularitsuffisantes pour obir aux hypothses des diffrents thormes
auxquels nous au-rons recours.
En ce qui concerne le maillage :
Le maillage T est constitu de ttradres. On dfinit les notations
suivantes :
T Ensemble des ttradres,N Ensemble des noeuds,Nint Ensemble des
noeuds intrieurs,E Ensemble des artes,F Ensemble des faces,Fint
Ensemble des faces intrieures.
Il est rgulier au sens de Ciarlet. i.e. hT/T est born, o hT et T
sont respecti-vement le diamtre de la boule la plus petite qui
contient llment et le diamtrede la boule la plus grande qui est
incluse dans llment.
Enfin, dans ce travail, on suppose que le conductivit et le
permabilit sontdes grandeurs scalaires et constantes par ttradre et
on note :
T = |T , T T et T = |T , T T .
21
-
Chapitre 2. Mthode numrique et cadre fonctionnel
22
-
Deuxime partie
Problmes Electromagntiques
23
-
Chapitre 3
Problmes Magntostatiques
Dans ce chapitre, on rappelle dabord les rsultats classiques sur
les estimateurs der-reur a posteriori de type rsiduels pour la
formulation . On dveloppe ensuite des es-timateurs de mme type pour
la formulation A, avec des conditions aux limites de typeB n = 0
sur toute la frontire du domaine. Puis on tend ce rsultat des
conditionsaux limites mixtes. On introduit alors un estimateur
quilibr trs utilis en magntosta-tique, bas sur la non vrification
de chaque loi de comportement. Enfin, une validationnumrique pour
ces estimateurs est effectue.
Pour dvelopper cet estimateur de type rsiduel, on commence par
tudier le caractrebien pos du problme continu et celui du problme
discret. Ensuite, on introduit quelquesoutils ncessaires, par
exemple, les interpols de Clment ou les fonctions de bulles.
Ladcomposition de Helmholtz est aussi prsente dans la suite pour
montrer la fiabilit delestimateur. Enfin, lefficacit locale est
prouve.
3.1 Formulation
La formulation en magntostatique revient la rsolution dune
quation de La-place. On rappelle ici la forme de lestimateur
derreur rsiduel a posteriori [8].
La formulation variationnelle du problme continu (1.17) scrit
:
Trouver V (D), tel que
D
=
D
Hs , V (D), (3.1)
o lespace fonctionnel V (D) est dfini par :
V (D) = HH(D) ={ H1(D), = 0 sur H
}.
Dans le cas H = , il ny a pas unicit de la solution. On ajoute
alors une condition dejauge de telle sorte que la valeur moyenne de
soit nulle sur D. (i.e.
D
= 0). Dans ce
25
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
cas-l, on dfinit donc V (D) par
V (D) = H1(D) =
{ H1(D),
D
= 0
}.
On introduit alors le problme discrtis :
Trouver h Vh(D), tel que
D
h h =
D
Hs h, h Vh(D), (3.2)
o lespace fonctionnel Vh(D) est dfini par :
Vh(D) = V (D) h(D),
avec
h(D) = {h H1(D) : h |T P1(T ), T T },
et P1(T ) lespace des fonctions polynmiales de degr 1 sur llment
T . Lerreur que loncherche estimer est lerreur au sens de lnergie
entre la solution exacte et la solutionnumrique h :
2,D =
D
|( h)|2 . (3.3)
Thorme 3.1 Lestimateur derreur locale dans le ttradre T de la
triangulation estdfini par :
2T = 2T ;1 +
FTFint
2F ;1 +
FTB
2F ;2.
avecT ;1 = hT div ((Hs h))T ,
F ;1 = h1/2F [n (Hs h)]FF ,
F ;2 = h1/2F n (Hs h)F .
(3.4)
Ici, la norme T et F sont respectivement la norme L2 dans le
ttradre T et laface F . hT et hF sont respectivement le diamtre du
ttradre T et de la face F . Fint estlensemble des faces intrieures
au domaine. [u]F est la saut de la quantit u travers laface F du
maillage. De plus, lestimateur global est dfini par :
2 =
TT
2T . (3.5)
26
-
3.2. Formulation A avec conditions aux limites B n = 0 sur toute
la frontire
3.2 Formulation A avec conditions aux limites B n = 0sur toute
la frontire
3.2.1 Formulation variationnelle et caractre bien pos du
pro-
blme continu
Daprs la formulation en potentiel (1.15) et prenant en compte le
fait que H = , laformulation variationnelle du problme continu en
formulation A scrit :
Trouver A X0(D), tel quea(A,A) = l(A), A X0(D), (3.6)
o a et l sont respectivement la forme bilinaire et linaire :
a(A,A) =
D
1
rotA rotA et l(A) =
D
Js A,
et o lespace fonctionnel X0(D) est dfini par :
X0(D) =
{A X(D),
D
A = 0, H10 (D)},
avec
X(D) = H0(rot, D) ={A L2(D)3; rotA L2(D)3,A n = 0 sur D
}.
Ici, la condition de jauge a t incluse dans lespace X0(D) afin
dassurer lunicit de
la solution. En effet,
D
A = 0, H10 (D) revient imposer au sens faible lacondition de
jauge de type Coulomb div A = 0.
Lemme 3.2 Il existe une unique solution au problme (3.6).
Preuve: Puisque X0(D) est un espace de Hilbert, on vrifie ici
les hypothses du thormede Lax-Milgram. On rappelle ici la norme
associe lespace X0(D) :
2X0(D) = 2D + rot 2D.1. a est une forme continue sur X0(D) X0(D)
:
|a(A,A)| =
D
1
rotA rotA
maxD
{1
}
D
|rotA rotA|
maxD
{1
}(
D
|rotA|2)1/2(
D
|rotA|2)1/2
= maxD
{1
} rotAD rotAD
maxD
{1
}AX0(D)AX0(D).
27
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
2. a est coercive :
a(A,A) =
D
1
rotA rotA min
D
{1
}
D
|rotA|2 = minD
{1
} rotA2D.
On voudrait montrer lexistence dune constante C > 0 telle que
a(A,A) CA2X0(D).Il suffit donc de montrer lexistence dune constante
C1 telle que rotAD C1AD. Or lingalit de Friedrichs (voir [42], page
88) nous assure quil existeune constante C2 telle que pour tout A
X0(D),
AD C2 rotAD, (3.7)ce qui prouve donc la coercivit de a sur
X0(D).
3. l est une forme linaire continue sur X0(D) :
|l(A)| =
D
Js A
D
|Js A| (
D
|Js|2)1/2(
D
|A|2)1/2
C3 AD C3 AX0(D),
avec C3 =
(
D
|Js|2)1/2
.
Daprs les points 1, 2 et 3, le thorme de Lax Milgram assure
lexistence et lunicit dela solution.
3.2.2 Formulation variationnelle et caractre bien pos du
pro-
blme discret
On introduit maintenant la formulation variationnelle du problme
discret :
Trouver Ah X0h(D), tel quea(Ah,A
h) = l(A
h), Ah X0h(D), (3.8)
o lespace fonctionnel X0h(D) est dfini par :
X0h(D) =
{Ah Xh(D),
D
Ah h = 0, h 0h(D)},
avec :
Xh(D) = X(D) ND1(D,T ) = {Ah H0(rot, D),Ah |T ND1(T ), T T }
,
ND1(T ) ={Ah :
T R3x a + b x , a,b R
3
},
0h(D) = {h H10 (D) : h |T P1(T ), T T }.Concernant le caractre
bien pos du problme, on procde de faon similaire au cas
continu.
28
-
3.2. Formulation A avec conditions aux limites B n = 0 sur toute
la frontire
Lemme 3.3 Il existe une unique solution au problme (3.8).
Preuve: La dmonstation est similaire celle du lemme 3.2, la
difficult essentielle tantrelative la coercivit de la forme
bilinaire a sur X0h(D). On utilise pour cela une ingalitde
Friedrichs discrte (voir [42], page 185) : Il existe une constante
C, indpendante dumaillage, telle que
AhD C rotAhD, Ah X0h(D). (3.9)
3.2.3 Estimation derreur a posteriori
Nous allons ici prsenter et dvelopper quelques outils et
proprits qui nous serontncessaires pour mener lanalyse destimation
derreur a posteriori.
Dcomposition de Helmohltz
En mathmatiques et en physique, dans le domaine de lanalyse
vectorielle, le thormede Helmholtz-Hodge, galement appel thorme
fondamental du calcul vectoriel, assurequun champ vectoriel se
dcompose en une composante "longitudinale" (irrotationnelle)et une
composante "transverse" (solnodale), soit la somme du gradient dun
champscalaire et du rotationnel dun champ vectoriel.
Thorme 3.4 Tout u X(D) admet la dcomposition de Helmholtz
suivante :u = v + ,
avec v X0(D) et H10 (D).Preuve: Voir le thorme 3.40 de [42],
page 66.
Remarque 3.5 Il est clair que X0(D) X(D) L2(D)3. Le thorme 3.4
permetdonc de dcomposer le champ u X(D) en une somme constitue dune
partie jaugev X0(D) et du gradient dune fonction H10 (D).
Pour les espaces relatifs au problme discret, on obtient une
dcomposition similaire(voir [24], page 272) :
Thorme 3.6 Tout uh Xh(D) admet la dcomposition de Helmholtz
suivante :uh = vh + h,
avec vh X0h(D) et h 0h(D).Thorme 3.7 Tout v X0(D) admet la
dcomposition de Helmholtz suivante :
v = w + ,o H10 (D) et w X0(D) H1(D)3. De plus, on a la
majoration :
wH1(D)3 + H1(D) . vX0(D). (3.10)Preuve: Ce thorme est un cas
particulier du thorme 3.4 de [19].
29
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
Interpols de Clment
Interpol de Clment Standard
On dfinit ici x 0h(D) la fonction de base associe au noeud x de
la triangulation,et dfinie par :
x(y) = x,y, y N .De plus, pour tout noeud x N , on dfinit x
lensemble des ttradres qui contiennentce noeud x.
Dfinition 3.8 Soit D un domaine dtude de frontire D rgulire. On
dfinit linter-pol de Clment I0Cl,D : H
10 (D) 0h(D) par :
I0Cl,D v =
xNint
1
|x|(
x
v)x.
Dfinition 3.9 Soit D un domaine dtude de frontire D rgulire. On
dfinit linter-pol de Clment ICl,D : H1(D) h(D) par :
ICl,D v =
xND
1
|x D|(
xD
v)x.
On a alors [16] :
Lemme 3.10 Pour tout v0 H10 (D) et v H1(D), on a :
TT
h2T ||v0 I0Cl,D v0||2T +
FFint
h1F ||v0 I0Cl,D v0||2F . ||v0||2D, (3.11)
TT
h2T ||v ICl,D v||2T +
FF
h1F ||v ICl,D v||2F . ||v||2D. (3.12)
Interpol de Clment vectoriel
Comme nos problmes font intervenir des fonctions de X(D), on a
galement besoindun interpol de Clment vectoriel introduit dans
[46]. On dfinit la fonction de basewE Xh(D), pour tout E E par
:
EwE . tE = E,E, E E ,
o tE le vecteur unitaire tangent E.
Dfinition 3.11 Pour toute arte E E , on fixe une face qui
contient cette arte FE F . Linterpol de Clment
P0Cl,D : H1(D)3 X(D) Xh(D),w P0Cl,Dw,
30
-
3.2. Formulation A avec conditions aux limites B n = 0 sur toute
la frontire
est dfini par :
P0Cl,Dw =
EE
(
FE
(w nFE) fFEE)wE,
o les fonctions vectorielles fFEE sont dtermines par :
FE
(wE nFE) fFEE = E,E, E , E E FE .
On obtient alors la majoration [7] :
Lemme 3.12 Pout tout w H1(D)3 X(D),
TT
h2T ||w P0Cl,D w||2T . ||w||2H1(D)3 ,
FFint
h2T ||w P0Cl,D w||2F . ||w||2H1(D)3 .(3.13)
Fonctions bulles et ingalits inverses
On introduit ici les fonctions bulles bT et bF polynmiales sur
chaque maille respec-tivement dfinies sur un ttradre T et un patch
F = T1 T2 o F = T1 T2 quisatisfont :
bT = 0 sur T, bF = 0 sur F , bT,T = bF,F = 1,
ainsi quun oprateur dextension : Fext : C(F ) C(T ), on obtient
alors les ingalitsinverses suivantes (voir [60]) :
Lemme 3.13 (Ingalits inverses) Soit vT Pk0(T ) et vF Pk1(F ), k0
N, k1 N. On a :
vTT . vT b1/2T T , (3.14)(vT bT )T . h1T vTT , (3.15)
vFF . vF b1/2F F , (3.16)Fext(vF )bFT . h1/2F vFF , (3.17)
(Fext(vF )bF )T . h1/2F vFF . (3.18)
Les constantes de majoration dpendent des degrs des polynmes k0
ou k1, mais ne d-pendent pas de T , F , vT et vF .
Remarque 3.14 La construction de fonctions bulles seffectue
simplement par :
bT = 2564
l=1
bl;T , bF = 273
l=1
bFl;T , (3.19)
o bl;T sont les coordonnes barycentriques du ttradre T associes
aux sommets Al de T .
31
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
Remarque importante
Dans le code numrique de rsolution dvelopp au L2EP, le problme
nest pas proprement parler jaug et la solution numrique est
recherche dans Xh(D). Cependant,le solveur itratif utilis pour
rsoudre le systme linaire (non inversible) permet de pr-server la
proprit de divergence discrte nulle de la solution, qui nest autre
quun moyenimplicite de jauger le problme et dobtenir in fine
lunicit de la solution [54]. On montrepar ailleurs que la jauge
nest plus ncessaire pour les fonctions test daprs les deuxlemmes
suivants :
Lemme 3.15 Soit A X0(D) la solution du problme (3.6). On suppose
que div Js = 0dans D. Alors :
a (A,A) = l (A) , A X(D).
Preuve: Comme A X(D), nous pouvons utiliser la dcomposition de
Helmholtz duthorme 3.4 :
A = + avec X0(D) et H10 (D).Donc
a(A,A) = a(A, + ).On a
a(A, + ) =
D
1
rotA rot ( + )
=
D
1
rotA rot.
Comme X0(D), daprs le problme (3.6), on a :
a(A, + ) = l() =
D
Js =
D
Js ( + ),
car
D
Js =
D
(Js n)
D
div Js = 0, (3.20)
puisque H10 (D) et que par hypothse div Js = 0 sur D.
En consquence,a (A,A) = l (A) , A X(D).
Lemme 3.16 Soit Ah X0h(D) la solution du problme (3.8), on a
alors :
a (Ah,Ah) = l (A
h) , Ah Xh(D).
32
-
3.2. Formulation A avec conditions aux limites B n = 0 sur toute
la frontire
Preuve: Comme Ah Xh(D), nous pouvons utiliser la dcomposition de
Helmholtz duthorme 3.6 :
Ah = h + h avec h X0h(D) et h 0h(D).Donc
a(Ah,Ah) = a(Ah,h + h).
On a
a(Ah,h + h) =
D
1
rotAh rot (h + h)
=
D
1
rotAh roth.
Comme X0h(D), daprs le problme discret (3.8), on a :
a(Ah,h + h) =
D
Js h =
D
Js (h + h),
car
D
Js h = 0. En effet,
D
Js h =
D
(Js n)h
D
div Js H ,
or div Js = 0 et h = 0 sur D.
On en dduit que :
a (Ah,Ah) = l (A
h) , Ah Xh(D).
Lemme 3.17 On a la condition dorthogonalit de Galerkin suivante
:
a (A Ah,Ah) = 0, Ah Xh(D).
Preuve: Consquence directe des lemmes 3.15 et 3.16.
Remarque 3.18 On a introduit jusquici quatre espaces
fonctionnels associs aux pro-blmes continu et discret :
X(D) Espace continu,X0(D) Espace continu jaug,Xh(D) Espace
discret,X0h(D) Espace discret jaug.
Il est clair que Xh(D) X(D), X0(D) X(D) et X0h(D) Xh(D), mais
cependantX0h(D) 6 X0(D) :
33
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
Xh(D) X(D)
X0h(D) 6 X0(D)
En considrant les problmes (3.6) et (3.8), on a donc affaire une
approximation non-conforme, parce que lespace dapproximation X0h(D)
nest pas inclus dans lespace X
0(D).Cependant grce au lemme 3.17 on recouvre la proprit
dorthogonalit usuelle.
Dfinition du rsidu
Pour tout A X(D), on dfinit le rsidu par :
r(A) = l(A) a(Ah,A).
Remarque 3.19 Daprs le lemme 3.16, il est clair que r(Ah) = 0
pour tout Ah
Xh(D).
Lemme 3.20 Soit lerreur en A dfinie par :
eA = A Ah X(D). (3.21)
On a :
r(eA) =
D
1
|rot eA|2 . (3.22)
Preuve:
r(eA) = l(A Ah) a(Ah,A Ah). (3.23)
Comme A Ah X(D), le lemme 3.15 implique que :
l(A Ah) = a(A,A Ah). (3.24)
Daprs (3.23) et (3.24), on obtient :
r(eA) = a(A,A Ah) a(Ah,A Ah) = a(A Ah,A Ah).
Ce qui dmontre le lemme.
Notre objectif est maintenant de dvelopper un estimateur pour
lerreur dfinie par(3.22) :
D
1
|rot eA|2 , (3.25)
qui correspond lerreur au sens de lnergie magntique. Grce au
lemme 3.20, il suffitdonc de contrler la quantit |r(eA)|.
34
-
3.2. Formulation A avec conditions aux limites B n = 0 sur toute
la frontire
Dfinition de lestimateur
Dfinition 3.21 Lestimateur derreur local dans un lment (ttradre
T ) est dfini par :
2T = 2T ;1 +
2T ;2 +
FTF inth
2F ,
avec
T ;1 = hT
hJs rot(
1
rotAh
)T
,
T ;2 = hT Js hJsT ,
F = h1/2F
[n 1
rotAh
]
F
F
.
(3.26)
De plus, lestimateur global est dfini par :
2 =
TT
2T . (3.27)
Ici, h est loprateur de projection de H(div , D) = {u L2(D)3 ;
div u L2(D)} dansun espace dapproximation ad-hoc et [u]F est le
saut de la quantit u travers la face Fdu maillage.
Remarque 3.22 Dans la dfinition de lestimateur, on appelle le
terme T ;1 "rsidu vo-lumique". Ce terme assure que lquation est
vrifie au sens fort dans chaque maille,puisque lon rsout le problme
au sens faible. Le terme T ;2 correspond lerreur de dis-crtisation
des termes sources. Dans la pratique, on ne le calcule pas, parce
quil est enpratique superconvergent, et devient donc ngligeable
mesure que lon raffine le maillage.Le terme F correspond au saut.
Il mesure la continuit de la composante tengentielle duchamp
magntique H.
Fiabilit de lestimateur
Pour commencer notre analyse, on introduit un lemme issue des
thormes 3.4 et 3.7 :
Lemme 3.23 Lerreur eA = A Ah admet la dcomposition de Helmholtz
suivante :
eA = + + w,
avec H10 (D), H10 (D) et w X0(D) H1(D)3.De plus, on a la
majoration suivante :
wH1(D)3 + H1(D) . rot eAD. (3.28)
35
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
Preuve: Comme eA X(D), on utilise la dcomposition de Helmholtz
introduite dansle thorme 3.4 :
eA = + e.avec H10 (D) et e X0(D). On a clairement :
rot eAD =rot e
D. (3.29)
De plus, daprs la dcomposition de Helmholtz du thorme 3.7 et la
majoration (3.10) :
e = + w,
o H10 (D) et w X0(D) H1(D)3, avec :
wH1(D)3 + H1(D) . eX0(D). (3.30)
On rappelle que :e2X0(D) = e2D + rote2D,
Comme e X0(D), on utilise encore une fois lingalit de Friedrichs
(3.7) pour obtenir
eX0(D) . rot eD. (3.31)
Prenant en compte (3.29), (3.30) et (3.31), on en dduit que
:
wH1(D)3 + H1(D) . roteAD.
On montre maintenant le caractre fiable de lestimateur.
Thorme 3.24 Supposons que le domaine D est simplement connexe.
Alors il existeCup > 0 telle que :
(
D
1
|rot eA|2
)1/2. Cup , avec Cup = max
TT(T ) . (3.32)
La constante multiplicative incluse dans la notation . ne dpend
en particulier ni de h,ni de .
Preuve: On utilise dabord la dcomposition de Helmholtz
introduite dans le lemme 3.23avec les mmes notations :
eA = + + w.Daprs (3.23), on a :
r(eA) =
D
Js (+ + w)
D
1
rotAh rot(+ + w)
=
D
Js w
D
1
rotAh rotw,
36
-
3.2. Formulation A avec conditions aux limites B n = 0 sur toute
la frontire
puisque lon a div Js = 0 et , H10 (D).
Comme w X0(D) H1(D)3, on utilise linterpol de Clment introduit
par ladfinition 3.11 :
P0Cl,D : X(D) H1(D)3 Xh(D)w P0Cl,D w.
On peut crire :
r(eA) =
D
Js (w P0Cl,D w + P0Cl,D w
)
D
1
rotAh rot
(w P0Cl,D w + P0Cl,D w
)
=
D
Js (w P0Cl,D w
)
D
1
rotAh rot
(w P0Cl,D w
),
puisque P0Cl,D w Xh(D), daprs le lemme 3.16, on a :
D
Js P0Cl,D w
D
1
rotAh rotP0Cl,D w = 0.
En appliquant la formule de Green sur chaque lment du maillage,
on a alors :
r(eA) =
TT
T
Js (w P0Cl,D w
)
TT
T
1
rotAh rot
(w P0Cl,D w
)
=
TT
T
Js (w P0Cl,D w
)
TT
(
T
rot
(1
rotAh
)(w P0Cl,D w
)+
T
n 1
rotAh (w P0Cl,D w
))
=
TT
T
(Js rot
(1
rotAh
))(w P0Cl,D w
)
FFint
F
[n 1
rotAh
]
F
(w P0Cl,D w
).
En utilisant lingalit de Cauchy-Schwarz (rappele en Annexe A.2),
on obtient :
37
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
|r(eA)|
TT
Js rot(
1
rotAh
)T
w P0Cl,D w
T
+
FFint
[n 1
rotAh
]
F
F
w P0Cl,D w
F
TT
hJs rot(
1
rotAh
)T
w P0Cl,D w
T
+
TT
Js hJsTw P0Cl,D w
T
+
FFint
[n 1
rotAh
]
F
F
w P0Cl,D w
F.
On utilise alors lingalit de Cauchy-Schwarz discrte (rappele en
Annexe A.1) :
|r(eA)| (
TT
h2T
hJs rot(
1
rotAh
)2
T
)1/2(
TT
h2Tw P0Cl,D w
2T
)1/2
+
(
TT
h2T Js hJs2T
)1/2(
TT
h2Tw P0Cl,D w
T
)1/2
+
(
FFint
hF
[n 1
rotAh
]
F
2
F
)1/2(
FFint
h1Fw P0Cl,D w
2F
)1/2.
Ensuite, par (3.13), on a
|r(eA)| .(
TT
h2T
hJs rot(
1
rotAh
)2
T
)1/2||w||H1(D)3
+
(
TT
h2T Js hJs2T
)1/2||w||H1(D)3
+
(
FFint
hF
[n 1
rotAh
]
F
2
F
)1/2||w||H1(D)3 .
(3.33)
De plus,
roteAD maxTT
(T )
1
rot eA
D
.
38
-
3.2. Formulation A avec conditions aux limites B n = 0 sur toute
la frontire
Par (3.28), on obtient
||w||H1(D)3 . maxTT
(T )
1
rot eA
D
.
Enfin, en tenant compte de (3.22) et (3.33), on en dduit la
fiabilit de lestimateur (3.26),la relation (3.32) tant vrifie
avec
Cup = maxTT
(T ) .
Efficacit locale de lestimateur
Pour obtenir lefficacit locale (2.6), on va majorer chaque terme
de lestimateur dfinidans (3.26) par lerreur locale.
Lemme 3.25 On a :
T ;1 .
1
T
1
rot eA
T
+ T ;2 (3.34)
Preuve: On dfinit jh sur T par :
jh = hJs rot( 1
rotAh
).
Daprs la dfinition de T ;1, on a :
2T ;1 = h2T jh2T , (3.35)
En utilisant lingalit inverse (3.14) et la formule de Green, on
obtient :
2T ;1h2T
.
T
(hJs rot
(1
rotAh
)) bT jh
.
T
(Js + hJs) bT jh +
T
Js bT jh
T
1
rotAh rot bT jh.
(3.36)
Comme bT jh X(D), le lemme 3.15 nous donne :
D
1
rotA rot bT jh =
D
Js bT jh,
Donc :
T
Js bT jh
T
1
rotAh rot bT jh =
T
1
rot eA rot bT jh.
39
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
Daprs lingalit de Cauchy-Schwarz, on obtient :
T
Js bT jh
T
1
rotAh rot bT jh .
1
rot eA
T
1
rot bT jh
T, (3.37)
et
T
(Js + hJs) bT jh . Js hJsT bT jhT . (3.38)
Daprs lingalit inverse (3.15), on obtient :
rot bT jhT (bT jh)T . h1T jhT . (3.39)
Grce aux relations (3.36)(3.39), on en dduit que :
2T ;1h2T
.
((Js hJs)T +
1
Th1T
1
rot eA
T
)jhT ,
De plus, par (3.35), on a
jhT =T ;1hT
,
Do :2T ;1h2T
.
((Js hJs)T +
1
Th1T
1
rot eA
T
)T ;1hT
,
ce qui implique (3.34).
Lemme 3.26 Soit F une face commune entre les ttradres T1 et T2,
on a alors :
F .
1
F,min
1
rot eA
T1T2
+ T1;2 + T2;2 + T1;1 + T2;1, (3.40)
oF,min = min(T1, T2).
Preuve: On dfinit jh =[n 1
rotAh
]F
sur F . Daprs (3.16) on a :
2FhF
= jh2F .
F
[n 1
rotAh
]F bF jh.
On introduit la fonction wF = Fext(jh)bF H10 (T1 T2). En
utilisant la formule de Green,on a :
2FhF
.
2
i=1
Ti
rot( 1
rotAh
) wF +
1
rotAh rotwF
=2
i=1
Ti
(Js rot
(1
rotAh
)) wF
T1T2
Js wF 1
rotAh rotwF .
(3.41)
40
-
3.3. Formulation A avec conditions aux limites mixtes
Comme wF = Fext(jh)bF H10 (T1 T2), il est clair que wF =
Fext(jh)bF X(D), puisquesupp wF = T1 T2. On peut donc faire la mme
chose que dans (3.37) en remplaant bT jhpar wF . Do :
2FhF
.
2
i=1
Js rot(1
rotAh
)TiwFTi
+
1
rot eA
T1T2
1
rotwF
T1T2
.
(3.42)
Grce aux ingalits inverses (3.17) et par (3.18), en dfinissant
F,min = min(T1 , T2),on a alors :
2FhF
. h1/2F (h
1T1T1;2 + h
1T2T2;2 + h
1T1T1;1 + h
1T2T2;1) jhF
+h1/2FF,min
1
rot eA
T1T2
jhF ,(3.43)
do lon dduit :
F . hF(h1T1 T1;2 + h
1T2T2;2 + h
1T1T1;1 + h
1T2T2;1
)+
1
F,min
1
rot eA
T1T2
.
(3.44)Comme le maillage est rgulier (i.e. hF hT ), on obtient
(3.40).
Par les lemmes 3.25 et 3.26, on en dduit lefficacit locale de
notre estimateur (voirla dfinition (2.6)) :
Thorme 3.27 Supposons P(T ) =
T T 6=
T le patch de T . Lefficacit locale de notre
estimateur sexprime par :
T . CT,down
1
rot eA
P(T )
, (3.45)
avecC
T,down = maxT P(T )
{1/2T
}.
3.3 Formulation A avec conditions aux limites mixtes
Dans la section prcdente, on a trait la formulation A avec les
conditions aux limitesB n = 0 sur toute la frontire du domaine.
Dans la pratique, on cherche tirer parti delventuelle symtrie du
problme pour le rduire un domaine de calcul plus petit, ce
quiimplique la mise en oeuvre dautres conditions aux limites. Par
exemple, sur le domainereprsent sur la figure 3.1, la condition aux
limites de type B n = 0 est applique surlensemble de la frontire.
Selon la symtrie du problme, on peut tre amen considrerseulement la
partie ombre, avec la nouvelle condition aux limites H n = 0 sur H
.
41
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
BH
Fig. 3.1 Domaine dtude coup.
3.3.1 Formulation variationnelle et caractre bien pos du
pro-
blme continu
La formulation variationnelle du problme (1.15) est donne par
:
Trouver A X0B(D), tel que
a(A,A) = l(A), A X0B(D), (3.46)
o a et l sont respectivement la forme bilinaire et linaire :
a(A,A) =
D
1
rotA rotA et l(A) =
D
Js A,
et lespace fonctionnel X0B(D) est dfini par :
X0B(D) =
{A XB(D),
D
A = 0, H1B(D)}, (3.47)
avec
XB(D) = HB(rot, D) ={A L2(D), rotA L2(D),A n = 0 sur B
},
H1B(D) ={ H1(D), = 0 sur B
}.
On rappelle ici que le terme source Js satisfait (1.16), i.e.
div Js = 0 dans D et Js n = 0sur H , et que mes(B) 6= 0.
Concernant le caractre bien pos du problme, on effectue la mme
dmarche quepour le cas prcdent D = B. La question principale
consiste tablir la coercivit dela forme bilinaire a, car lingalit
(3.7) nest plus vrifie, cause des nouvelles condi-tions aux limites
pour A, et il sagit donc de la redmontrer.
Pour cela, on dfinit lespace XM(D) par :
XM(D) ={A L2(D)3, rotA L2(D)3, div A L2(D),A n
B
= 0 et A nH
= 0},
(3.48)
42
-
3.3. Formulation A avec conditions aux limites mixtes
de norme associe :
A2XM (D) = A2D + div A2D + rotA2D.Lemme 3.28 Pour toute fonction
u XM(D), il existe une constante C > 0 telle que
u2XM (D) C (div u2D + rotu2D).Preuve: Cela vient du fait que
XM(D) sinjecte de faon compacte dans L
2(D)3 (cf. [56]).
Lemme 3.29 On a :X0B(D) XM(D).
Preuve:
Soit A X0B(D), daprs la dfinition (3.47), on a :
D
A = 0, H1B(D).Bien entendu, on a :
D
A = 0, C0 (D).
Dapres la formule de Green, on obtient :
< div A, >= 0, C0 (D).Donc on a :
div A = 0. (3.49)
De plus, pour tout H1B(D), on a :
D
A = 0 =
D
div A + < A n, >H
12 (D),H
12 (D)
.
En tenant compte de (3.49), on aboutit :
< A n, >H
12 (D),H
12 (D)
= 0, H1B(D),
do lon dduit que :A n = 0 sur H .
En consquence A XM(D).
Lemme 3.30 Pour tout A X0B(D), il existe une constante C > 0
telle queA2D C rotA2D. (3.50)
Preuve: Daprs le lemme 3.29, on sait que X0B(D) est un
sous-espace de XM(D). Parle lemme 3.28, on a donc
A2D C(div A2D + rotA2D
).
De plus, puisque div A = 0, le terme div A2D disparait. On en
dduit donc (3.50).Grce au lemme 3.30, on peut tablir la coercivit
de a. Daprs le thorme de Lax-
Milgram, le problme continu est bien pos et possde une unique
solution.
43
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
3.3.2 Formulation variationnelle et caractre bien pos du
pro-
blme discret
La formulation variationnelle du problme discret est donne par
:
Trouver Ah X0h,B(D), tel que
a(Ah,Ah) = l(A
h), Ah X0h,B(D), (3.51)
o lespace fonctionnel X0h,B(D) est dfini par :
Ah X0h,B(D) ={
Ah Xh,B(D),
D
Ah h = 0, h h,B(D)},
avec
Xh,B(D) = X(D) ND1(D,T ) = {Ah HB(rot, D),Ah |T ND1(T ), T T }
,
h,B(D) = {h H1B(D) : h |T P1(T ), T T }.Remarque 3.31 Dans cette
section, on a dfini les espaces fonctionnelsXB(D), X
0B
(D),Xh,B(D) et X
0h,B
(D) pour le cas H 6= . Les indices 0, h, B, (D)
represententrespectivement la condition de jauge, la discrtisation
spatiale, des conditions aux limiteset le domaine dtude (voir Fig.
3.2).
Dans le cas particulier correspondant D = B (i.e. H = ), on omet
lindice basB, i.e.
XD(D) = X(D),
X0D(D) = X0(D),
Xh,D(D) = Xh(D),
X0h,D(D) = X0h(D).
(3.52)
Si on prend le domaine dtude D = D, ces notations coincdent avec
celles utilises danssection 2.2.
Condition de jauge
Discrtisation spatialeConditions aux limites
Domaine dtude
Fig. 3.2 Notation des espaces fonctionnels.
Pour le caractre bien pos du problme, on a le lemme suivant
:
Lemme 3.32 Il existe une unique solution au problme (3.51).
44
-
3.3. Formulation A avec conditions aux limites mixtes
Preuve: Celle-ci est similaire la preuve du lemme 3.3. On a
besoin dune ingalit cor-respondant (3.9) pour le cas discret ce qui
est assur compte-tenu de llment fini iciutilis [29, 48]. Cependant,
compte tenu de la nature discrte du problme, on a galementmontr
lexistence et lunicit de la solution plus simplement.
Le systme linaire correspondant la formulation (3.51) tant carr,
lexistence etlunicit de la solution est quivalente montrer que
:
a(Ah,Ah) = 0, Ah X0h,B(D) = Ah = 0.
Ora(Ah,A
h) = 0, Ah X0h,B(D)
= a(Ah,Ah) = 0
= rotAh = 0 sur D.
(3.53)
On en dduit quil existe ph h,B(D) tel queAh = ph sur D,
or compte tenu de la condition de jauge, on a
D
Ah h = 0, h h,B(D),
ce qui implique ncessairement que ph = Ah = 0 sur D.
Il convient maintenant de revisiter les outils dcrits dans la
section prcdente afin deles adapter au cas H 6= .
3.3.3 Estimateur derreur a posteriori
Condition dorthogonalit de Galerkin
Lemme 3.33 Tout A XB(D) admet la dcomposition :A = + ,
(3.54)
avec X0B(D) et H1B(D).Preuve: Soit A XB(D), on construit une
fonction H1B(D) telle que :
D
=
D
A , H1B(D).
On a clairement lunicit et lexistence de la solution H1B(D). On
en dduit donc que
D
(A) = 0, H1B(D).
Si on dfinit ici = A , on a bien X0B(D).On procde similairement
pour le cas discret :
45
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
Lemme 3.34 Tout Ah Xh,B(D) admet la dcomposition :
Ah = h + h, (3.55)
avec h X0h,B(D) et 0h,B(D).Preuve: La preuve est similaire celle
du cas continu. Il suffit de construire une fonctionh 0h,B(D) telle
que :
D
h h =
D
Ah h, h 0h,B(D).
Daprs les lemme 3.33 et lemme 3.34, on peut obtenir deux
proprits similaires auxlemmes 3.15 et 3.16 pour cette fois H 6=
.
Lemme 3.35 Soit A X0B(D) la solution du problme (3.46), on a
alors :
a (A,A) = l (A) , A XB(D).
Preuve: Soit A X0B(D) la solution du problme (3.46). Pour toute
fonction A XB(D), daprs le lemme 3.33, on a :
A = + .
avec X0B(D) et H1B(D). Donc, on obtient a(A,A) = a(A, ). De
plus, comme X0B(D), daprs (3.46), on a
a(A, ) = l() = l(A),
puisque = 0 sur B, Js n = 0 sur H et div Js = 0.
Lemme 3.36 Soit Ah X0h,B(D) la solution du problme (3.51), on a
alors :
a (Ah,Ah) = l (A
h) , Ah Xh,B(D).
Preuve: Quasi identique celle du lemme 3.35, en utilisant le
lemme 3.34 la place dulemme 3.33.
Grce aux lemmes 3.35 et 3.36, on a :
Lemme 3.37 Soient A X0B(D) et Ah X0h,B(D) les solutions
respectives des pro-blmes (3.46) et (3.51). On a la condition
dorthogonalit de Galerkin :
a (A Ah,Ah) = 0, Ah Xh,B(D).
46
-
3.3. Formulation A avec conditions aux limites mixtes
Dcomposition de Helmholtz
Thorme 3.38 Si la frontire B est connexe, pour tout u X0B(D), il
existe w XB(D) H1(D)3 et H1B(D) qui satisfait L2(D), tels que
u = w + ,
avec la majoration :
wH1(D)3 + H1(D) + D . rotuD (3.56)
Preuve: Ce thorme est une consquence du thorme 2.3 de [20], qui
donne que toutu XM(D) (lespaceXM(D) est dfini par (3.48)), admet la
dcomposition de Helmholtz :
u = w + ,
o w H1(D)3 qui satisfait w n = 0 sur B et H1B(D) qui satisfait
L2(D),avec la majoration :
wH1(D)3 + H1(D) + D . uXM (D).
Daprs le lemme 3.29, on a X0B(D) XM(D). On applique donc cette
dcompositionde Helmholtz avec u X0B(D). Puis, daprs le lemme 3.28,
on a :
u2XM (D) . div u2D + rotu2D.
Prenant en compte le fait que div u = 0 (voir la dfinition de
X0B(D) (3.47)), on endduit la majoration (3.56).
Dfinition du rsidu
Pour tout A XB(D), on dfinit le rsidu par :
r(A) = l(A) a(Ah,A).
Remarque 3.39 Daprs le lemme 3.36, il est clair que r(Ah) = 0 si
Ah Xh,B(D).
Lemme 3.40 Soit lerreur en A dfinie par :
eA = A Ah XB(D). (3.57)
On a :
r(eA) =
D
1
|rot eA|2 . (3.58)
Pour contrler cette erreur au sens de la norme de lnergie, il
suffit donc de contrler laquantit |r(eA)|.
47
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
Dfinition de lestimateur
Dfinition 3.41 Lestimateur derreur local dans un lment (ttradre
T ) est dfini par :
2T = 2T ;1 +
2T ;2 +
FTF inth
2F ;1 +
FTH
2F ;2,
avec
T ;1 = hT
hJs rot(
1
rotAh
)T
,
T ;2 = hT Js hJsT ,
F ;1 = h1/2F
[n 1
rotAh
]
F
F
,
F ;2 = h1/2F
n 1
rotAh
F
.
(3.59)
De plus, lestimateur global est dfini par :
2 =
TT
2T . (3.60)
La seule diffrence entre cet estimateur et celui present pour le
cas D = B (3.26) rsidedans lajout du terme F ;2. Ce terme contrle
la condition aux limites H n = 0 sur lafrontire H , car cette
condition aux limites est impose aux sens faible.
Fiabilit
Thorme 3.42 Supposons que le domaine D soit simplement connexe
et B connexe,on a alors : (
D
1
|rot eA|2
)1/2. Cup ,
avecCup = max
TT
{
1/2T
}.
Preuve: Pour la dmonstation de la fiabilit, on utilise la mme
dmarche que celle duthorme 3.24. Pour viter de rpeter les mme
choses, on rappelle ici seulement les pointsimportants :
1. On applique dabord la dcomposition introduite dans le lemme
3.33 et le thorme3.38 pour lerreur eA, en crivant :
eA = + + w,avec , H1B(D) et w XB(D) H1(D)3. On obtient donc
:
r(eA) =
D
Js w
D
1
rotAh rotw.
48
-
3.3. Formulation A avec conditions aux limites mixtes
2. On utilise ensuite un interpol de Clment adapt au cas o H 6=
, cet interpoltant construit en utilisant celui du cas H = [7], en
faisant attention au cas delarte correspondant la frontire entre B
et H pour laquelle il faut prendre laface qui est incluse dans B
pour calculer la valeur moyenne.
PBCl,D : H1(D)3 XB(D) Xh,B(D),w PBCl,D w,
tel que :
TT
h2T ||w PBCl,D w||2T . ||w||2H1(D),
FFint(FH )
h2T ||w PBCl,D w||2F . ||w||2H1(D).(3.61)
Le fait que r(PBCl,D w) = 0, et la formule de Green applique
dans chaque lment,permet dobtenir :
r(eA) =
TT
T
(Js rot
(1
rotAh
))(w PBCl,D w
)
FFint
F
[n 1
rotAh
]
F
(w PBCl,D w
)
FH
F
(n 1
rotAh
)(w PBCl,D w
).
3. Enfin, on utilise lingalit de Cauchy-Schwarz (rappele en
Annexe A.2), lingalitde Cauchy-schwarz discrte (rappele en Annexe
A.1) et la majoration de Clment(3.61), pour en dduire le
rsultat.
Effcacit locale
Thorme 3.43 Supposons P(T ) =
T T 6=
T le patch de T , on a :
T . CT,down
1
rot eA
2
P(T ), (3.62)
avecC
T,down = maxT P(T )
{1/2T
}.
Preuve: Similaire la preuve du thorme 3.27.
49
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
3.4 Estimateur quilibr
Dans cette section, on introduit un estimateur quilibr qui est
couramment utilis enmagntostatique [11, 12, 36, 39, 52, 53]. Cet
estimateur est construit par la vrificationdes lois de comportement
au niveau discret. Lide de cet estimateur est de calculer lechamp
magntique Hh et linduction magntique Bh respectivement en
formulation etA. Une autre approche consiste rsoudre une seule
formulation soit en A, soit en ,puis calculer une solution
admissible complmentaire qui permettra de vrifier la loi
decomportement [32, 37, 52]. On rappelle ici que par les deux
formulations introduites dansle chapitre 1, les grandeurs B et H
sont calcules par :
B = rotA et H = Hs .
En consquence, les champs discrets correspondants Bh et Hh sont
respectivement dfinispar :
Bh = rotAh et Hh = Hs h.Dfinition 3.44 Lestimateur derreur local
dans un lment (ttradre) T est dfini par :
2T,quilibr =
T
1
|Bh Hh|2 .
De plus, lestimateur global est dfini par :
2quilibr =
TT
2T,quilibr. (3.63)
Concernant lestimateur quilibr, on obtient la fiabilit et
lefficacit locale. Cepen-dant cet estimateur permet de contrler la
somme des erreurs commises par la formulationA (3.25) et (3.3). Si
on note :
2A,D =
D
1
|B Bh|2 et 2,D =
D
|H Hh|2 ,
lestimateur quilibr en magntostatique permet alors de contrler
lerreur :
2A,D + 2,D,
ce qui constitue une diffrence sensible par rapport aux
estimateurs de type rsiduelprsents prcdemment.
Thorme 3.45 Fiabilit :
2quilibr = 2A,D +
2,D.
Preuve:
2quilibr =
D
1
| Bh Hh |2=
D
1
| Bh B + H Hh |2
=
D
1
| Bh B |2 +
D
| H Hh |2 +2
D
(Bh B) (H Hh).
50
-
3.4. Estimateur quilibr
Pour montrer
2quilibr =
D
1
| Bh B |2 +
D
| H Hh |2,
il suffit de montrer que
D
(Bh B) (H Hh) = 0, ce qui est clair puisque
D
(Bh B) (H Hh) =
D
(rotAh rotA) ((Hs ) (Hs h))
=
D
(rotA rotAh) ( h)
=
D
rot(A Ah) ( h)
=
D
(A Ah) rot(( h)) +
BH
(A Ah) n ( h)
= 0.
Thorme 3.46 Efficacit locale :
T,quilibr
2(2A;T +
2;T
)1/2,
avec 2A;T , 2;T repectivement lerreur en A et au sens de
lenergie dans chaque lment
T .
Preuve: Pour le cas continu, on a B = H. Dans chaque maille (sur
un lment ttra-drique T ), on a :
2T =
T
1
| Bh Hh |2=
T
1
| Bh B + H Hh |2
2
T
1
| Bh B |2 +2
T
1
| H Hh |2
= 2
T
1
| Bh B |2 +2
T
| H Hh |2
Remarque 3.47 Lestimateur quilibr permet dobtenir une majoration
de la sommedes deux erreurs A;T et ;T , et une minoration locale de
ces dernires, contrairementaux estimateurs rsiduels qui sont
respectivement destins majorer ( une constantemultiplicative prs)
une seule des deux erreurs.
51
-
Chapitre 3. Problmes Magntostatiques
3.5 Validation numrique
Afin de valider les estimateur derreur porposs dans ce chapitre,
nous prsentons deuxexemples relativement simples. Le premier permet
dutiliser une solution analytique pourvaluer lerreur exacte.
Concernant le second, la solution prsente une singularit. Pourle
premier exemple, nous commenons par le cas o H = .
3.5.1 Cas B n = 0 sur DCas test acadmique : cube travers par une
densit de courant Js
On considre le cube [0, 1]3 dans lair de permabilit 0 = 4 107H/m
(voir Fig.3.3). On impose un terme source Js travers le cube : Js =
(0, 0, Js)
T , avec Js = 107A/m2.
Pour ce problme, lnergie magntique calcule analytiquement est
gale 2.208 MJ et
x
y
z
Fig. 3.3 Domaine du problme : cube travers par une densit de
courant Js.
la solution analytique pour linduction magntique B vrifiant
lquation B = rotA estconnue et donne par (3.64). On peut donc
calculer lerreur exacte et comparer le rsultatobtenu avec les
estimateurs proposs.
Bx(x, y, z) =16Js03
+
n=0
+
p=0
sin((2n+ 1)x) cos((2p+ 1)y)
(2n+ 1)[(2n+ 1)2 + (2p+ 1)2],
By(x, y, z) = 16Js03
+
n=0
+
p=0
cos((2n+ 1)x) sin((2p+ 1)y)
(2p+ 1)[(2n+ 1)2 + (2p+ 1)2],
Bz(x, y, z) = 0.
(3.64)
Pour la formulation en A, lnergie magntique WA,h prend la forme
:
WA,h =
D
1
2| rotAh|2.
52
-
3.5. Validation numrique
et lnergie magntique en formulation est calcule par :
W,h