10.3 Estimacin por intervalosConsiste en la obtencin de un
intervalo dentro del cual estar el valor del parmetro estimado con
una cierta probabilidad. En la estimacin por intervalos se usan los
siguientes conceptos:Intervalo de confianzaElintervalo de
confianzaes una expresin del tipo [1, 2] 1 2, donde es el parmetro
a estimar. Este intervalo contiene al parmetro estimado con un
determinado nivel de confianza. Pero a veces puede cambiar este
intervalo cuando la muestra no garantiza un axioma o un equivalente
circunstancial.Variabilidad del ParmetroSi no se conoce, puede
obtenerse una aproximacin en los datos aportados por la literatura
cientfica o en un estudio piloto. Tambin hay mtodos para calcular
el tamao de la muestra que prescinden de este aspecto.
Habitualmente se usa como medida de esta variabilidad ladesviacin
tpicapoblacional y se denota.Error de la estimacinEs una medida de
su precisin que se corresponde con la amplitud delintervalo de
confianza. Cuanta ms precisin se desee en la estimacin de un
parmetro, ms estrecho deber ser el intervalo de confianza y, si se
quiere mantener o disminuir el error, ms observaciones debern
incluirse en la muestra estudiada. En caso de no incluir nuevas
observaciones para la muestra, ms error se comete al aumentar la
precisin. Se suele llamarE, segn la frmulaE = (2- 1)/2.Lmite de
ConfianzaEs la probabilidad de que el verdadero valor del parmetro
estimado en la poblacin se site en el intervalo de confianza
obtenido. El nivel de confianza se denota por (1-), aunque
habitualmente suele expresarse con un porcentaje ((1-)100%). Es
habitual tomar como nivel de confianza un 95% o un 99%, que se
corresponden con valores de 0,05 y 0,01 respectivamente.Valor
Tambin llamadonivel de significacin. Es la probabilidad (en tanto
por uno) de fallar en nuestra estimacin, esto es, la diferencia
entre la certeza (1) y el nivel de confianza (1-). Por ejemplo, en
una estimacin con un nivel de confianza del 95%, el valor es
(100-95)/100 = 0,05Valor crticoSe representa por Z/2. Es el valor
de la abscisa en una determinada distribucin que deja a su derecha
un rea igual a /2, siendo 1- el nivel de confianza. Normalmente los
valores crticos estn tabulados o pueden calcularse en funcin de la
distribucin de la poblacin. Por ejemplo, para unadistribucin
normal, de media 0 y desviacin tpica 1, el valor crtico para = 0,1
se calculara del siguiente modo: se busca en latabla de la
distribucinese valor (o el ms aproximado), bajo la columna "rea";
se observa que se corresponde con -1,28. Entonces Z/2= 1,64. Si la
media o desviacin tpica de la distribucin normal no coinciden con
las de la tabla, se puede realizar el cambio de variable t =(X-)/
para su clculo.Con estas definiciones, si tras la extraccin de una
muestra se dice que "3 es una estimacin de la media con un margen
de error de 0,6 y un nivel de confianza del 99%", podemos
interpretar que el verdadero valor de la media se encuentra entre
2,7 y 3,3, con una probabilidad del 99%. Los valores 2,7 y 3,3 se
obtienen restando y sumando, respectivamente, la mitad del error,
para obtener el intervalo de confianza segn las definiciones
dadas.Para un tamao fijo de la muestra, los conceptos de error y
nivel de confianza van relacionados. Si admitimos un error mayor,
esto es, aumentamos el tamao del intervalo de confianza, tenemos
tambin una mayor probabilidad de xito en nuestra estimacin, es
decir, un mayor nivel de confianza.Otros usos del trmino
estimacinEl trmino estimacin tambin se utiliza enciencias
aplicadaspara hacer referencia a un clculo aproximado, que
normalmente se apoya en la herramienta estadstica aunque puede no
hacerlo. En este sentido, un ejemplo clsico son los poco conocidos
pero tiles en economaproblemas de Fermi.
Estimacin de parmetros por intervalosEs el procedimiento
utilizado para conocer las caractersticas de un parmetro
poblacional, a partir del conocimiento de la muestra.Con una
muestra aleatoria, de tamao n, podemos efectuar una estimacin de un
valor de un parmetro de la poblacin; pero tambin necesitamos
precisar un:Intervalo de confianzaSe llama as a un intervalo en el
que sabemos que est un parmetro, con un nivel de confianza
especfico.Nivel de confianzaProbabilidad de que el parmetro a
estimar se encuentre en el intervalo de confianza.Error de
estimacin admisibleQue estar relacionado con el radio del intervalo
de confianza.
Estimacin de la media de una poblacinEl intervalo de confianza,
para la media de una poblacin, con unnivel de confianza de 1 ,
siendoXla media de una muestra de tamaonyla desviacin tpica de la
poblacin, es:
El error mximo de estimacines:
Cuantomayor sea el tamaode la muestra, n,menor es el
error.Cuantomayor sea el nivel de confianza, 1-,mayor es el
error.Tamao de la muestra
Siaumentamos el nivel de confianza,aumenta el tamao de la
muestra.Sidisminuimos el error, tenemos queaumentar el tamao de la
muestra.
Ejemplo. El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en
cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y
desviacin tpica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25
clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos.1.Calcula el
intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se
tarda en cobrar a los clientes.
2.Indica el tamao muestral necesario para estimar dicho tiempo
medio con un el error de 0,5 minutos y un nivel de confianza del
95%.
n 4
Se redondea
Estimacin de una proporcinSi en unapoblacin, una determinada
caracterstica se presenta en una proporcinp, la proporcinp', de
individuos con dicha caracterstica en lasmuestrasde tamao n, se
distribuirn segn:
Intervalo de confianza para una proporcin
El error mximo de estimacines:
En una fbrica de componentes electrnicos, la proporcin de
componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de
operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se
analiz una muestra aleatoria de 500 componentes, encontrndose que
90 de ellos eran defectuosos. Qu nivel de confianza debe adoptarse
para aceptar que el rendimiento no ha sufrido variaciones?p = 0.2 q
= 1 - p =0.8 p'= 90/ 500 = 0.18E = 0.2 - 0.18 = 0.02
P(1 - z/2