Estimación de una tendencia determinista y un componente ... · Introducción Estimación de una tendencia determinista Estimación del componente estacional Conclusiones Tendencias

IntroducciónEstimación de una tendencia determinista

Estimación del componente estacionalConclusiones

Tendencias Derterministas Segmentadas

Estimación de una tendencia determinista y uncomponente estacional

Práctica No1

Técnicas en PredicciónAdministración y Dirección de Empresas

Departamento de EstadísiticaUniversidad Carlos III

18 de Marzo, 2009

Roberto Morales Arsenal - Práctica No1 Tendencia y Estacionalidad




Descomposición de series económicas: Método Clásico.

Objetivos de la práctica

Modelar los siguientes fénomenos:

1 Descomposición de una serie a través del método clásicoo tradicional.

2 Tendencias derterministas.3 Tendencias derterministas segmentadas.4 Estacionalidad derterminista.5 Estacionalidad derterminista segmentada.






El Análisis Clásico de Series Temporales

Proporciona estimaciones aproximadas de los componentestendencial, estacional, cíclico e irregular. Parte de unarepresentación de una serie temporal yt formada por cuatrocomponentes, tendencia Tt , ciclo Ct , estacional Et , y errores It .

Tipos:1 Modelo de componentes aditivos ⇒ yt = Tt + Ct + Et + It2 Modelo de componentes multiplicativos ⇒yt = TtCtEt It3 Modelo de componentes mixto ⇒yt = TtCtEt + It

Un supuesto fundamental del análisis clásico es laindependencia de las variaciones residuales respecto de losdemás componentes.






Descomposición de una serie en sus factores noobservables con Eviews

Descomposición aditiva de una serie temporal

yt = Tt + St︸︷︷︸

No Estacionaria

+ Ct + rt︸︷︷︸

Estacionaria

Agregando, los componentes más oscilantes ↓ mientras que elcomponente de tendencia ↑.

yt = Senda de Evolutividad + ωt

ωt ≡ Desviaciones respecto a la SE. La única incertidumbreasociada a este modelo es var(ωt) = γ0






Serie de Pasajeros de líneas Aéreas: 1949:01 a1960:12

La serie muestra: Tendencia, estacionalidad y principio deproporcionalidad.






Pasos a seguir:

1 Obtención de componente estacional aplicando unproceso de desestacionalización ⇒ xt − St = Tt + Ct + rt

2 Aplicamos el filtro de Hodrick-Prescott sobre la seriedesestacionalizada para obtener el componente detendencia.

3 Generamos una nueva serie libre de tendencia yestacionalidad por diferencia entre la seriedesestacionalizada y la tendencia. ⇒ xt −St −Tt = Ct + rt .

4 Obtenemos el componente cíclico utilizando una mediamóvil de orden 4 (@MOVAV(nombre, orden)).

5 Obtenemos la parte irregular de la serie como diferenciade la serie generada en el paso 3 menos la serie generadaen el paso 4.






Serie Desestacionalizada

Guardamos el componente estacional.Roberto Morales Arsenal - Práctica No1 Tendencia y Estacionalidad





Comparativa de la serie desestacionalizada y laoriginal






Componente estacional






Componente de tendencia






Comparativa






Xt − St − Tt = Ct + rt






Componente cíclico






Componente irregular






Comparativa






Componentes de una serie temporal






La descomposición tradicional requiere imponer fuertesrestricciones en la caracterización de Tt , Ct y rt .

En particular, que tales componentes son independientes.

Hoy en día no existe consenso sobre que sea factible laespecificación y estimación de Tt , Ct y rt con restriccionesde aceptación general.

La idea de que las series económicas tienen tendencia,ciclos y fluctuaciones residuales resulta muy útil paraexpresar las características básicas de los datoseconómicos.





El caso del IPI

Tendencias Deterministas

yt = µt + at

µt = f (t , β)

µt ≡ Nivel de la serie y at ≡ innovación at ∼ N(0, σ2a)

Predicción

yt(k) = µT+k = f(T + k , β)





El caso del IPI


Modelo de nivel constante o sin tendencia

yt = µ + at

Modelo con tendencia lineal

µt = β0 + β1t

yT (k) = β0 + β1(T + k)

Modelo con tendencia polinómica

µt = β0 + β1t + ... + βr t r





El caso del IPI


Tendencias

La naturaleza agregada de muchas variables económicaspresentan una pauta creciente a lo largo del tiempo que nopermite observar aspectos de interés que ocurren a cortoplazo, como el caso del IPI. Este pauta la denominamostendencia. Como la tendencia se desconoce es precisoestimarla previamente y, para ello, es preciso a su vezespecificar un determinado modelo de tendencia.





El caso del IPI

Tendencias

Tipos

Deterministas.

Estocásticas.

Características básicas

Se perpetúan en el futuro.

Evolucionan de forma acíclica.

Factores causantes de la tendencia

Aumentos en la población.

Inflación mantenida en el tiempo.

Cambios tecnológicos.

Cambios en preferencias, hábitos, regulaciones sociales.Roberto Morales Arsenal - Práctica No1 Tendencia y Estacionalidad




El caso del IPI


Se dice que una tendencia es determinista si conociendo susvalores pasados se puede determinar sin error sus valoresfuturos. Con tendencias deterministas no hay incertidumbresobre ellas.

Tendencias Deterministas en Eviews

Tendencia=@trend+1





El caso del IPI

Métodos de ajuste de la Tendencia

1 Método de ajuste análitico ⇒ Realizamos un ajuste porregresión de los valores de la serie a una función deltiempo que sea sencilla y recoja de manera satisfactoria lamarcha general del fenómeno representado por la serietemporal.

2 Método de Medias Móviles ⇒ Analiza la tendencia de unaserie temporal a partir de los datos iniciales mediantedeterminadas medias.

3 Método de diferencias ⇒ Consiste en derivar de la serieoriginal yt una nueva serie zt obtenida como la diferenciaentre el valor de la variable en el momento actual y el valoren el momento inmediatamente anteriorzt = yt − yt−1 = ∇yt





El caso del IPI

Estimación de Modelos de Tendencia

Regresión por MCO

Para ajustar los diversos modelos de tendencia a los datos deuna serie temporal se usa MCO.

β = argmínθ

T∑

t=1

[yt − Tt(θ)]2

donde β es el conjunto de parámetros a estimar.





El caso del IPI

El índice de producción industrial

La serie IPI muestra unaclara tendencia y estructuraestacional, es decir, suvalor esperado no esconstante. E(zt) = E(zt+s),con una estacionalidad deperíodo s. En el caso delIPI se produce un bruscodescenso todo los mesesde agosto debido alperíodo vacacional que secompensa de formaespecífica en cada uno delos restantes meses delaño.





El caso del IPI

Tomando logaritmos





El caso del IPI

Estimando la tendencia lineal para IPI

Tt = a + bt ; t ≡ TIEMPO = (1, 2, 3, ..T )





El caso del IPI

Estimando la tendencia parabólica para IPI

Tt = a + bt + ct2





El caso del IPI

Estimando la tendencia exponencial para IPI

Tt = aebTIEMPO Principio de Proporcionalidad





El caso del IPI

Tendencias exponenciales≡log-lineal

Tt = Tt−1 + Tt−1b ⇒ b =Tt − Tt−1

Tt−1

Aplicando la aproximación de Taylor de primer orden.

∆logTt = logTt − logTt−1 = b

procediendo recursivamente obtenemos

logTt = a + bt

siendo a ⇒ log de la tendencia en el momento cero.

Tt = e(a+bt); xt = exp(a + bt)exp(wt)

Podemos linealizarlo: logxt = a + bt + wt donde b es el factorincremental que entra de forma multiplicativa.





El caso del IPI

Estimando la tendencia log-lineal para IPI

logIPI = a + bt + wt





El caso del IPI

Gráfico de los residuos del Modelo log-lineal

Los residuos muestran una clara estructura estacional que noha sido captada por el modelo.





El caso del IPI

Correlograma de los residuos





El caso del IPI

Interpretación de los parámetros de la estimación

Var. Depend. Var. Indep. Interpret. de β1

Nivel-Nivel y x ∆y = β1∆xNivel-Log y log(x) ∆y = (β1/100)%xLog-Nivel log(y) x %∆y = (100β1)∆xLog-Log log(y) log(x) %∆y = β1 %∆x





El caso del IPI

Interpretación de los parámetros de la estimación

En nuestro caso hemos obtenido:

logIPI = 4,07 + 0,001520TIEMPO + εt

a Valor de la tendencia en el momento anterior alcomienzo de la muestra.

b ⇒ Factor incremental, la tendencia crece mensualmenteun 0.152 %.





El caso del IPI

Predicción (in sample) del Modelo Final log-lineal





El caso del IPI

Predicción (in sample) del Modelo Final log-lineal





El caso del IPI

Selección de Modelos

Criterios de Información

ECP =

T∑

t=1

e2t

T ⇒ Error Cuadrático Medio

AIC = exp(2k/T )

T∑

t=1

e2t

T ⇒ Akaike Information Criterion

SIC = T ( kT )

T∑

t=1

e2t

T ⇒ Schwarz Information Criterion

Orientación negativa: cuanto menor mejor.





El caso del IPI

La Estacionalidad

Pauta o comportamiento estacional que se repite cadaaño.

Esta puede ser exacta, cuando se refiere aestacionalidad determinista o bien, aproximada, si sehabla de estacionalidad estocástica .

Puede provocar una distorsión del verdadero movimientode la serie.

Al proceso de eliminar el componente estacional se ledenomina desestacionalización o ajuste estacional .Destacan los programas X11 y X12 del Bureau of theCensus de EEUU para desestacionalizar.





El caso del IPI

La Desestacionalización

Métodos de desestacionalización1 Métodos de desestacionalización del índice estacional.2 Método de Medias Móviles.3 Método de diferencias estacionales.4 Método de variables artificiales. ⇒ los residuos estimados

de la regresión ut = yt − yt serán los valores de la seriedesestacionalizada.





El caso del IPI

En esta práctica nos ocuparemos de la estacionalidaddeterminista que vamos a modelar a través de variablesdummies.

logIPI = a + bt +

12∑

j=1

ajSjt + ηt

donde

Sjt =

{

1 en el mes j.

0 en los demás.





El caso del IPI

Existencia de Multicolinealidad Perfecta





El caso del IPI

Recordatorio

Multicolinealidad

βMCO = (x ′x)−1x ′y ⇒ (x ′x)−1 =adj(x ′x)T

|x ′x |

1 Multicolinealidad Exacta (o perfecta)matriz singular ⇒ |x ′x | = 0 ⇒ βMCO = ∞

2 Multicolinealidad aproximada, inexacta, imperfecta ocuasimulticolinealidad.

Var(βMCO) = σ2(x ′x)−1 mucho mayores de lo normal.Las hipótesis nulas H0 : β = a tienden a no rechazarse conmás frecuencia de lo normal. ICβi = (βi ± t dt(βi ))Intervalos amplios.





El caso del IPI

Estimación del Modelo Estacional con tendencia

Todos losparámetros han resultado ser significativos. Puede observarsecomo el coeficiente más bajo corresponde al mes de agosto.





El caso del IPI

Recordatorio: Componentes de un contraste

H0 ≡ Hipótesis Nula, que se mantiene como válidamientras no se encuentre evidencia contra ella.

H1 ≡ Hipótesis Alternativa, a favor de la que se rechaza lahipótesis nula.

EC ≡ Estadístico de Contraste , variable aleatoria cuyadistribución se conoce bajo la hipótesis nula.

RC ≡ Región crítica, subconjunto de R. Si EC ≡ RC serechaza H0.

α ≡ Nivel de significación , probabilidad de error tipo I(prob. de rechazar H0 siendo cierta).

1 − β Potencia del contraste . 1 − P(Error tipo II)





El caso del IPI

Recordatorio: Contrastes de significación individual

Contraste para la hipótesis H0 : βi = ζ ⇒ t = βi−ζ

dt(βi)∼ t∗T−k

Resolución del contraste

Utilizando el valor crítico.⇒ Si |t∗T−k | > tα/2 Rechazo la H0.

Utilizando el p−value (o nivel de significación marginal)

p−value = Pr(|tT−k | > t∗T−k )

Si p−value < α Rechazo H0.





El caso del IPI

Residuos Modelo Estacional con tendencia

Los residuos muestran como todavía no se ha captado toda laestructura de la serie (un componente cíclico).





El caso del IPI

Correlograma de los residuos

El correlograma muestra un estructura que debe ser modelada.Roberto Morales Arsenal - Práctica No1 Tendencia y Estacionalidad




El caso del IPI

Predicciones con el Modelo Final:T+E





El caso del IPI

Predicciones con el Modelo Final:T+E





El caso del IPI

Contrastes de normalidad

Es un supuesto fundamental en inferencia. Se debe contrastarsiempre. Para ello utilizaremos:

Histograma de los residuos.

Test de Jarque-Bera.

El test de Jarque Bera (JB)

H0 : ut ∼ N

JB = T−k6

(S2 + 1

4(K − 3)2)∼ χ2

2

El JB tiene en cuenta la curtosis (K) y la asimetría (S)

k ≡ Número de variables estimadas y T ≡ Número deobservaciones.





El caso del IPI

Histograma del Modelo Final: T+E

No se rechaza normalidad en los residuos, por lo tanto, lossupuestos del MLG son válidos, y por tanto, la estimación delmodelo es correcta (pero el modelo no lo es).





El caso del IPI

Recordatorio

Supuestos del M.L.G.

1 El modelo es lineal o linealizable y esta correctamenteespecificado.

2 Los parámetros β son constantes.3 Las variables explicativas o regresores x son

deterministas o fijas y linealmente independientes (no haymulticolinealidad).

4 E [ut ] = 0 ∀t donde u ⇒ errores del modelo.5 La matriz de varianzas y covarianzas de los errores de un

modelo correcto es “escalar”⇒ Var(u) = σ2nI

No hay autocorrelación.No hay heterocedasticidad.





Conclusiones

1 La estructura determinística es muchas veces una malaaproximación.

2 Es importante modelizar las desviaciones sobre latendencia y la estacionalidad.





Tendencias Segmentadas

Las tendencias segmentadas son tendencias no lineales quetienen la propiedad de ser lineales a tramos o segmentos.

Tipos de Segmentación de la tendencia

1 Quiebra de Nivel.2 Quiebra de crecimiento.3 Quiebra de Nivel y crecimiento.





Tendencia Segmentada





Segmentación de la tendencia

yt = β0 + β1t + β01ϕ1t + β11ξ1t + ωt

Segmentación del nivel

ϕ1t

{

0 t < t∗

1 t ≥ t∗

Segmentación del crecimiento

ξ1t

{

0 t < t∗

(t − t1 + 1) t ≥ t∗

En Eviews: ξ1t = (@trend + 1 − t1) + 1Roberto Morales Arsenal - Práctica No1 Tendencia y Estacionalidad














Otra forma de modelizar la estacionalidad

logIPI = a + bt +

11∑

j=1

βj Sjt + ηt

β1 + β2 + ... + β12 = 0 ; b12 = −

11∑

j=1

βj

donde

Sjt =

1 en el mes j.

0 resto.

−1 t ∈ Diciembre.

En Eviews: enero=(@seas(1)-@seas(12))





Estacionalidad Determinista Segmentada

yt = β0 + β1t + β01ϕ1t + β11ξ1t +11∑

j=1

βjSAjt

11∑

j=1

βjSBjt + ηt

donde

SAjt =

1 en el mes j.

0 resto.

−1 t ∈ Diciembre.

Misma estructura para SBjt





Nota sobre las predicciones

Formas de presentar las predicciones

1 Predicción puntual ⇒ Es un número fijo.2 Predicción por intervalos ⇒ ICβi = (βi ± t dt(βi )). Nos da

un cierto grado de incertidumbre asociada a la predicciónpuntual. En predicción los intervalos de confianza loestándar es obtener los intervalos al 80 % (VC=1.28).

3 Predicción de la función de densidad asociada a cada unade las predicciones.

Valores críticos en Eviews1 SCALAR CRIT=@QNORM(0.975).2 SCALAR CRIT=@QTDIST(0.9,20)





RecordatorioFunción de densidad y de distribución (t-student)





RecordatorioFunción de densidad de las predicciones





Ejemplo de estimación de funciones de densidadEl gráfico de abanico o “fan” chart

Mitchell y Hall (2005)

Las funciones de densidad estimadas proveen de unacompleta descripción de la incertidumbre asociada con lapredicción.


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