Rosa – 2016 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula de hoje Espaço amostral Álgebra de Eventos Eventos Mutuamente Exclusivos Axiomas de Probabilidade Análise Combinatória Aula passada Motivação Exemplos de aplicação de probabilidade e estatística Informações do curso
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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hojeEspaço amostral Álgebra de EventosEventos MutuamenteExclusivosAxiomas de ProbabilidadeAnálise Combinatória
Aula passadaMotivaçãoExemplos de aplicação de probabilidade e estatística Informações do curso
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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
1 Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Mega
Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar?
2 Uma prova consta de 10 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas e apenas uma correta.
Se um aluno ‘‘chutar‘‘ todas as respostas:
a)Qual a probabilidade dele acertar duas questões ?
b)Qual a probabilidade dele acertar todas as questões ?
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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
1 Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Mega
Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar?
Não, a chance de ganhar é sempre igual a 1/C60,6
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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
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Experimentos AleatóriosO que é um experimento aleatório?
Exemplos:Resultado de jogar um dado
Palavra de busca submetida ao Google
Tempo de espera no ponto de ônibus
Experimento que nem sempre dá o mesmo resultado!
Vivemos num mundo aleatório...
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Modelo Probabilístico
Componentes
Espaço amostral (S): conjunto de todos os resultados que podem ocorrer a partir de um experimento aleatório
Probabilidade de eventos (P): quantificação da “chance” que cada resultado ocorra
Eventos (E): conjunto de resultados que são de nosso interesse
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Álgebra de EventosDiagrama de eventos
S
Evento A
Evento B
Evento C
Evento ocorre quando um de seus elementos é o resultado do experimento aleatório
Operações de união, interseção e complemento
Espaço amostral
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Exemplo: Dois dados
Considere dois dados jogados simultaneamente
Qual é o espaco amostral?S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
Exemplo P(F∩B)Temos que é igual ao número de estudantes do
sexo feminino e da turma B.
Assim, para obter a probabilidade correta temos que somaras probabilidades P(F) com P(B) e, então subtrair deste valorP(F∩B)
P(F∪B)=P(F)+P (B)−P (F∩B)
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Caso geral
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Para o caso geral, temos que a regra da adição de probabilidades, a probabilidade da união de dois eventos A e B, é dada por
observe que se os eventos A e B forem disjuntos (e somenteneste caso),a probabilidade da intersecção de A com B énula e temos que a união é igual a soma das probabilidadesdos dois eventos.Esta regra pode ser estendida para soma de três ou maistermos.
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Como calcular as freqüências de ocorrência?
Contando o número de casos favoráveis para ocorrência de um certo evento, se os eventos são equiprováveis
Quando o espaço amostral é grande, temos que usar a análise combinatória
P(E) = número de casos favoráveis/número total de casos
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Permutação com repetição
Contamos o número de maneiras que podemos selecionar objetos de um grupo de n, onde a ordem é importante e o mesmo objeto pode se repetir diversas vezes
(n.n ... n(k vezes)) = nk
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Permutação sem repetição
Contamos o número de maneiras que podemos selecionar k objetos de um grupo de n, onde a ordem é importante e o mesmo objeto não pode se repetir
P(n,k) = (n.(n1) ... (nk+1)) = n! / (nk)!, para k = 1,2, ...,n
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Combinação de n objetos distintos
Contamos o número de maneiras que podemos selecionar k objetos de um grupo de n, onde a ordem não é importante e o mesmo objeto não pode se repetir
C(n,k) = n! / (k!(nk)!), para k = 1, ...,n
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Exemplo 1
Considere uma caixa com 75 placas de memória sem problemas e 25 placas com defeito. Se selecionarmos aleatoriamente 12 placas, qual a probabilidade de ao menos uma delas possuir defeito ?
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Exemplo 1
E = no mínimo uma placa possui defeito
= nenhuma placa possui defeitoE
P E =〚 E 〛〚S 〛
=
7512
10012
P E =1−P E
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Exemplo 2Considere uma rede celular que possui n estações base. Cada estação base possui m canais operando por TDMA.
Estação base m canais
n estações
Canal em uso
Canal ocioso
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Exemplo 2A estação base está sujeita a falhas. Para avaliar o impacto da falha de uma estação base, temos que calcular o número de canais sendo usados no momento da falha.
Suponha que o número de canais sendo usados em todo o sistema seja igual a k e que o número de canais ociosos seja igual a j (j+k=mn), no momento da falha.
Estação base m canais
n estações
k=soma doscanais azuis
j=soma doscanais rosas
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Exemplo 2
Qual a probabilidade de que i canais (da estação que falhou) estejam sendo usados no momento da falha, ou seja, a probabilidade de que i clientes serão afetados pela falha ?
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Exemplo 2
E = i canais estão na estação que falhou
pi=〚 E 〛〚S 〛
=
m n−1k−i
mi
mnk
Seleção dos k canais sendo usadosde um total de mn
Seleção dos i canais que estão na estação que falhou
Seleção dos (k-i) canais que estãonas outras (n-1) estações