Estatística2014Final

5/28/2018 Estat stica2014Final

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Exame Nacional ANPEC 2014: 1 Dia 5

1.

EXAME NACIONAL DE SELEO 2014

PROVA DE ESTATSTICA


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Exame Nacional ANPEC 2014: 1 Dia6

1o Dia: 25/09/2013 QUARTA-FEIRAHORRIO: 10h30m s 12h45m (horrio de Braslia)


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EXAME NACIONAL DE SELEO 2014

PROVA DE ESTATSTICA

1 Dia: 25/09 - QUARTA-FEIRA (Manh)

HORRIO: 10h30m s 12h45m

Instrues

1. Este CADERNO constitudo de quinzequestes objetivas.

2. Caso o CADERNO esteja incompleto ou tenha qualquer defeito, o(a) candidato(a)dever solicitar ao fiscal de sala mais prximo que o substitua.

3. Nas questes do tipo A, recomenda-se no marcar ao acaso: cada item cuja resposta

divirja do gabarito oficial acarretar a perda den

1 ponto, em que n o nmero de

itens da questo a que pertena o item, conforme consta no Manual do Candidato.

4. Durante as provas, o(a) candidato(a) no dever levantar-se ou comunicar-se comoutros(as) candidatos(as).

5. A durao da prova de duas horas e quinze minutos, j includo o tempodestinado identificao que ser feita no decorrer das provas e aopreenchimento da FOLHA DE RESPOSTAS.

6. Durante a realizao das provas no permitida a utilizao de calculadora ouqualquer material de consulta.

7. A desobedincia a qualquer uma das recomendaes constantes nas presentesInstrues e na FOLHA DE RESPOSTAS poder implicar a anulao das provasdo(a) candidato(a).

8. S ser permitida a sada de candidatos, levando o Caderno de Provas,somente apartir de 1 hora e 15 minutos aps o incio da provae nenhuma folha pode serdestacada.

AGENDA

2. 30/09/2013 10 horas Divulgao dos gabaritos das provas objetivas, noendereo: http://www.anpec.org.br

3. 30/09 a 01/10/2013Recursos identificados pelo autor sero aceitos a partir do dia30, at s 12h do dia 01/10 do corrente ano. No sero aceitos recursos fora dopadro apresentado no Manual do Candidato.

4. 04/11/201314 horasDivulgao do resultadona Internet, no siteacima citado.

OBSERVAES:

5. Em nenhuma hiptese a ANPEC informar resultado por telefone.

6. proibida a reproduo total ou parcial deste material, por qualquer meio ouprocesso, sem autorizao expressa da ANPEC.

7. Nas questes de 1a 15 (no numricas)marque, de acordo com a instruo de cadauma delas: itens VERDADEIROS na coluna V; itens FALSOSna coluna F, ou deixe aresposta EM BRANCO.

8. Caso a resposta seja numrica, marque o dgito DECIMALna coluna D e o dgito daUNIDADEna coluna U, ou deixe a resposta EM BRANCO.


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9. Ateno: o algarismo das DEZENASdeve ser obrigatoriamente marcado, mesmo queseja igual a ZERO.


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QUESTO 01

Neste exemplo, queremos prever o peso do indivduo i usando somente sua altura,

iii XY 10 ,

no qual Y o peso do indivduo e Xa altura. Assumimos que Niii

XY1

,

uma amostra

aleatria, 0][ ii XE , 0][ iXVar , ][ 4

iXE , ][0 4

iuE e2

][ ii XVar . Aps coletar

a informao de peso e altura de 100 indivduos, obtemos a seguinte tabela:

N

i

iY

1

N

i

iX1

2

1

N

i

i YY

2

1

N

i

i XX XXYY i

N

i

i 1

18 8 95 1200 4800

Estimando o modelo por Mnimos Quadrados Ordinrios, calcule o valor da estimativa

obtida para 1 . Multiplique o resultado por 10.


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QUESTO 02

A tabela abaixo mostra os preos e as quantidades vendidas de 3 diferentes produtos em

2 perodos distintos de tempo. Usando essas informaes, calcule a variao percentual

dos preos entre o perodo 1 e o perodo 2, qual o valor do ndice de Preos de

Laspeyres. Multiplique o resultado por 10.

Perodo 1 Perodo 2

ProdutoPreo

(R$/Kg)Quantidade

(Kg)Preo

(R$/Kg)Quantidade

(Kg)

A 1,0 20,0 2,0 10,0

B 2,0 10,0 4,0 20,0

C 2,0 30,0 4,0 20,0


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QUESTO 03

A tabela abaixo oferece informaes sobre uma determinada cidade. A Populao

Economicamente Ativa (PEA) de 120 habitantes que est em busca de emprego ou

participando do mercado de trabalho possui a seguinte distribuio:

Empregado DesempregadoPossui curso superior 40 10No possui curso superior 40 30

Com base nessas informaes, correto afirmar que:

A taxa de desemprego da PEA de 25%;

Se um indivduo tem curso superior, a probabilidade de que esteja desempregado

igual a 20%;

Se um indivduo est empregado, a probabilidade de que tenha curso superior maior do que a probabilidade de que no tenha curso superior;

1/3 dos indivduos que participam do mercado de trabalho possuem curso superior; Se um indivduo est desempregado, a probabilidade de que no possua curso

superior igual a 75%.


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QUESTO 04

Usando dados de uma amostra aleatria da populao com 80.000 indivduos, estimada

uma regresso pelo mtodo de Mnimos Quadrados Ordinrios. Os resultados dessa

regresso so mostrados abaixo, em que os erros-padro so mostrados entre

parnteses:

[Para a resoluo desta questo talvez lhe seja til saber que se Z tem distribuio normal

padro, ento P(|Z|>1,645)=0,10 e P(|Z|>1,96)=0,05]

ln(salrio) = 0,30+ 0,10 escol + 0,03 idade - 0,15 mulher 0,05(mulher x escol)(0,10) (0,04) (0,01) (0,03) (0,05)

R2= 0,45 e n=80.000,

em que escolrepresenta o nmero de anos de estudo, idade a idade do indivduo em

anos e mulher uma variveldummy igual a 1 se o trabalhador for do sexo feminino eigual a 0 se for do sexo masculino. Todas as suposies usuais acerca do modelo de

regresso linear clssico so satisfeitas.

Com base nos resultados acima, e supondo que a amostra suficientemente grande para

que aproximaes assintticas sejam vlidas, correto afirmar que:

possvel rejeitar, ao nvel de significncia de 10%, a hiptese nula de que o

coeficiente associado a varivel escol igual a zero. A hiptese alternativa a de queo coeficiente associado a varivel escol diferente de zero;

A mdia dos salrios dos homens maior do que a mdia dos salrios das mulheres;

Cada ano adicional de escolaridade deve elevar os salrios em 10%;

O coeficiente de interao (mulher x escol) significante (hiptese alternativa de que diferente de zero) ao nvel de 10%;

possvel rejeitar, ao nvel de significncia de 5%, a hiptese nula de que o

coeficiente associado a varivel idade igual a zero. A hiptese alternativa que ocoeficiente associado a varivel idade maior do que zero.


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QUESTO 05

Suponha que Yt seja representado pelo seguinte processo auto-regressivo de primeira

ordem:

Yt =+ Yt-1+ et,em que et um rudo branco que satisfaz as condies: E(et)=0, E( 2te )=

2 e E(etes)=0para

ts. Suponha tambm que Y0=0. Obtenha E(Yt)para t=2.


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QUESTO 06

Suponha que queremos estimar como a renda de um indivduo varia ao longo do ciclo de

vida. Queremos testar a teoria de que a renda do indivduo cresce a partir do momento

que ele entra no mercado de trabalho at uma idade mdia, e depois comea a decrescer

at o final do ciclo de vida. Usando dados de uma pesquisa anual para 14.368

trabalhadores, estimamos o seguinte modelo:

iiiiii XXXXY 2

143322110,

em queiY o logaritmo da renda mensal do indivduo i, iX1 a idade do indivduo i, iX2

uma varivel binria que igual 1 se o indivduo homem ei

X3 representa o nmero de

anos de estudo do indivduo i.

Estimando o modelo por Mnimos Quadrados Ordinrios, obtemos o seguinte resultado,

em que os valores em parnteses abaixo dos coeficientes representam os erros-padro:

[Para a resoluo desta questo talvez lhe seja til saber que se Z tem distribuio normal

padro, ento P(|Z|>1,645)=0,10 e P(|Z|>1,96)=0,05]

2

1)0009,0(

3)08,0(

2)46,0(

1)08,0()67,1(

06,010,155,945,066,49iiiii

XXXXY .

Se a teoria descrita acima verdadeira, esperamos que o sinal de 1 seja positivo e o

sinal de 4 negativo;

Neste modelo, o intercepto do modelo para homens 0 + 2 , e o do modelo para

mulheres somente 0 ;

O resultado indica que, mantendo tudo mais constante, o aumento de 1 ano da idade

do indivduo aumenta a sua renda em 45%;

Temos evidncia de que a equao de salrios dos homens apresenta um interceptodiferente do modelo para mulheres;

Com os resultados do modelo, podemos afirmar que idade e educao tm um efeito

conjunto significativo no logaritmo do salrio, isto , temos evidncia para rejeitar ahiptese nula 0,0: 320 H .


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QUESTO 07

Sejam X e Y duas variveis aleatrias, enquanto a, b, c e d so quatro constantes

diferentes de zero. Julgue as proposies:

Var (aX+b)=a2Var(X) ;

Var (aX - cY) = aVar(X) + cVar(Y) - 2Cov(X,Y) ;

Cov(aX+bY, cX+dY)= acVar(X)+bdVar(Y)+(ad+bc) Cov(X,Y) ;

Corr(aX+b, cX+d)= Corr(X,Y) ;

Se X e Y so independentes, ento Var(Y/X)=Var(Y).


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QUESTO 08

Julgue as afirmativas abaixo:

Suponha quei

Z , i=1,2,....,n, sejam variveis aleatrias independentes, cada uma

delas com distribuio normal padro, com mdia igual a 0 e varincia igual a 1.

Ento,

n

i

iZX1

2 tem distribuio qui-quadrado com n graus de liberdade;

Suponha que Z seja uma varivel aleatria com distribuio normal padro, e que X

tenha uma distribuio qui-quadrado com n graus de liberdade. Ento,nX

ZT tem

distribuio t de student com n graus de liberdade;

Suponha queTseja uma varivel aleatria com distribuio t de student com n graus

de liberdade. Ento, o quadrado de Ttem distribuio F com 1 e n graus de liberdade;

Suponha que X seja uma varivel aleatria com distribuio qui-quadrado com n

graus de liberdade. Ento, o quadrado de X tem distribuio F com 1 e n graus deliberdade;

Suponha que W e V sejam variveis aleatrias que possuem distribuies qui-quadrado independentes, com graus de liberdade m e k, respectivamente. Ento,

kV

mW

F tem distribuio F com graus de liberdade me k.


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QUESTO 09

Seja X uma varivel aleatria com distribuio normal, com mdia e varincia 2.

Considere duas amostras aleatrias independentes de X. Cada uma das amostras tem

tamanho n1 e n2, e possuem mdias 1X e 2X . Podemos usar dois estimadores para a

mdia populacional,

)(2

1~21 XX e

21

2211

nn

XnXn

.

Julgue as seguintes afirmativas a respeito dos estimadores:

~ um estimador no-viesado para a mdia populacional;

um estimador no-viesado para a mdia populacional;

~ possui menor varincia que ;

~ um estimador mais eficiente, isto , possui menor erro quadrtico mdio que ;

~ um estimador consistente para a mdia populacional.


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QUESTO 10

Considere o seguinte processo:

Yt=Yt-1+et, t=1,2,........ ,

em que Y0=0 e et um rudo branco que satisfaz as condies: E(et )=0, E( 2

te )=1 eE(etes)=0para ts.

So corretas as afirmativas:

Se Yt)=0 para todo t;

Se VarYt)= t para todo t;

Se E(Yt+h/Yt)>Ytpara todo h>=1;

Se || Var(Yt)=

Se || E(Yt+h/Yt)=hYtpara todo h>=1.


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QUESTO 11

Duas turmas do curso de estatstica fazem o mesmo exame final. Duas amostras

aleatrias de tamanho 9 e 4 so selecionadas da turma A e da turma B, respectivamente.

A amostra da turma A teve nota mdia amostral ( 1X ) de 72 e varincia amostral ( 2

1S ) de

16. A amostra da turma B teve nota mdia amostral ( 2X

) de 76 e varincia amostral (

2

2S )de 25. Vamos assumir que as notas da turma A tm distribuio normal com mdia 1 e

varincia 2 . As notas da turma B tm uma distribuio normal com mdia 2 e varincia

2 .

[Para a resoluo desta questo talvez lhe seja til saber que se t tem distribuio t-

student, Pr(|t|>3,15)=0,05, e se Z tem uma distribuio normal padro, Pr(|Z|>1,96)=0,05 ]

O professor da turma A encontra um intervalo de 95% para as notas da sua turma de[53;97];

Suponha que queremos testar se os desempenhos das turmas A e B so iguais. Para

isso, fazemos o seguinte teste de hiptese: 210: H vs 211 : H . Para realizar o

teste acima, podemos usar a seguinte estatstica de teste:

2

)1()1(

0)(

21

2

22

2

11

21

nn

SnSn

XXt ;

A estatstica t no item (1) segue uma distribuio t-student com 13 graus de liberdade;

Para encontrar a regio de rejeio para o teste acima, fixamos o nvel de

significncia em determinado valor e encontramos o valor crtico que determina apartir de quais valores rejeitamos a hiptese nula;

Suponha que o professor da turma A queira testar a seguinte hiptese: 60: 20 H vs

60: 21 H . Neste caso, se ele utilizar a seguinte estatstica de teste2

22

)60(

S

Xn

, ele

ir rejeitar a hiptese nula a 5% de significncia.


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QUESTO 12

Suponha que as ocupaes so agrupadas em 3 nveis: alto (A), mdio (M) e baixo (B).

Seja A1o evento que a ocupao do pai o nvel alto, M1o evento que a ocupao do pai

nvel mdio, e B1o evento que a ocupao do pai nvel baixo. De forma anloga, seja

A2o evento que a ocupao do filho o nvel alto, M2o evento que a ocupao do filho

nvel mdio e B2o evento que a ocupao do filho nvel baixo. Temos a seguinte matriz

de probabilidades condicionais:

A2 M2 B2

A1 0,45 0,48 0,07

M1 0,05 0,70 0,25

B1 0,01 0,50 0,49

Nesta tabela, temos as probabilidades condicionais da ocupao do filho dada

ocupao do pai. Por exemplo, Pr[A2/A1]=0,45.

Suponha que na gerao de pais 10% esto em A, 40% em M e 50% em B.

Julgue as seguintes afirmativas:

A probabilidade de um pai e um filho estarem ambos em ocupaes de baixo nvel

0,49;

A probabilidade de um filho estar em uma ocupao de alto nvel 15%;

Se a ocupao do filho A2, a probabilidade do pai ter ocupao A1 0,45;

Se a ocupao do pai baixa, a probabilidade da ocupao do filho ser alta 0,01;

A probabilidade de pai e filho ambos terem ocupaes de alto nvel 0,045.


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QUESTO 13

Considere o seguinte sistema de equaes lineares de oferta e demanda de trabalho das

mulheres casadas. Neste sistema, as duas variveis endgenas, salrio (P) e quantidade

de horas trabalhadas (Q), so determinadas pela educao (X1), idade (X2), nmero de

filhos (X3) e dois termos no-observveis ( i1 , i2 ).

Demanda: iiiii XXPQ 133221

Oferta: iiiii XXQP 226154

Temos uma amostra aleatria de N mulheres, (Qi, Pi, X1i, X2i, X3i), i=1,...,N. Vamos assumir

que a matrizX=[ X1, X2, X3]tem posto completo.

Julgue as seguintes afirmativas:

O sistema na forma reduzida pode ser escrito como:

iiiii uXXPQ 133221

iiiii uXXQP 236154

em que 1 = 1 ,41

22

1

,

41

3213

1

, 44 ,

41

55

1

,

41

6346

1

;

Podemos escrever a curva de oferta na sua forma reduzida como:

iiiii XXXP 2332211

em que14

51

1

,

14

6422

1

,

14

433

1

e iii 2142 .Se assumirmos que

0,, 3211 iiii XXXE e 0,, 3212 iiii XXXE , o estimador de Mnimos QuadradosOrdinrios para 2 ser um estimador consistente;

Considerando somente a equao de oferta em sua forma reduzida, podemos obter

5 em funo somente de 1 , 2 e 3 ;


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Assumindo que 0,, 3211 iiii XXXE e 0,, 3212 iiii XXXE , estimamos o sistemaabaixo por Mnimos Quadrados Ordinrios aplicados equao por equao, isto ,estimamos separadamente a equao de oferta e a equao de demanda porMnimos Quadrados.

iiiii XXXP 2332211

iiiii XXXQ 1362514

em que14

51

1

,

14

6422

1

,

14

433

1

,

14

514

1

,

14

2615

1

,

14

36

1

, iii 2142 e iii 2111 .

O estimador de Mnimos Quadrados para 5 ser no-viesado;

Usando os estimadores de Mnimos Quadrados Ordinrios para o sistema deequaes do item (3), podemos obter 5 em funo somente de 1 , 2 , 3 , 4 , 5 e 6 .


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QUESTO 14

Considere o modelo de regresso linear simples

iii XY 10 ,

no qual Niii

XY1

,

uma amostra aleatria, 0),( ii XCov , 0][ iXVar , ][ 4

iXE ,

][0 4iuE . Temos um vetor de variveis aleatrias Zicom dimenso rx1, com r1, tal

que 0),( ii

ZCov . Alm disso, 2 iiZVar .

Baseando-se nas informaes acima, julgue as seguintes afirmativas:

O estimador de Mnimos Quadrados Ordinrios para 1 ser consistente, mas

ineficiente;

Se r=1, podemos identificar o parmetro populacional 1 como

)(

),(1

i

ii

XVar

YZCov ;

Se r1, o estimador de Mnimos Quadrados em dois estgios ser um estimador

consistente;

Se r1, o estimador de Mnimos Quadrados em dois estgios ser um estimador no-

viesado e eficiente;

Ser=1, o estimador de varivel instrumental para 1VI ser

))((1

))((1

1

11

XXZZN

YYZZN

i

N

i

i

i

N

i

i

VI

.


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QUESTO 15

Julgue as afirmativas abaixo:

Suponha que X seja uma varivel aleatria distribuda de acordo com a funo

densidade: f(x)=(1/2)x, em que 0x2. A probabilidade de que x se situe entre 0 e 1

igual a 0,5;

Se X uma varivel aleatria distribuda de acordo com a funo densidadef(x)=(1/2)x, em que 0x2, ento Var(X)=2/9;

Suponha que Y seja uma varivel aleatria distribuda de acordo com a funo

densidade: f(y)=2y-3, em que y1. Ento E(Y)=3;

Suponha que Y seja uma varivel aleatria distribuda de acordo com a funo

densidade: f(y)=2y-3, em que y1. Ento a mediana de Y 2 ;

Considere a seguinte funo densidade de probabilidade conjunta para as variveis Ze W: f(z,w)=2-z-w, 0z1, 0w1. Podemos dizer que as variveis Z e W soindependentes.

Estatística2014Final

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dgito decimalna coluna

itens falsosna coluna

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