PUC SP - FEA ESTATISTICA PROBABILISTICA (Primeira Parte) Apostila para os cursos de: ADMINISTRAÇÃO E COMUNICAÇÃO Professor Everaldo Montesi Medeiros
PUC SP - FEA
ESTATISTICA PROBABILISTICA
(Primeira Parte)
Apostila para os cursos de:
ADMINISTRAÇÃO E COMUNICAÇÃO
Professor Everaldo Montesi Medeiros
Professor Everaldo 2
Primeira Parte:
Capitulo 1
Teoria das Probabilidades
Técnicas de Contagem
Teorema de Bayes
Capitulo 2
Distribuições de Probabilidades
Esperança Matemática ou Valor Esperado
Professor Everaldo 3
Capitulo 1 Teoria das Probabilidades
Conceito → As probabilidades são usadas para demonstrar a chance de
ocorrência de um determinado evento. Foram desenvolvidas três abordagens
para a determinação de valores e definição de probabilidades. São elas:
1. Enfoque Clássico (a priori); 2. Enfoque da Freqüência Relativa (a posteriori); 3. Enfoque Subjetivo (Feeling).
• Enfoque Clássico
E conhecido como calculo a “a priori”, pois podemos determinar os resultados
antes de observada qualquer amostra do evento.
Formula Básica:
Exemplo:
Qual a probabilidade de retirarmos um REI de um baralho de 52 cartas em uma
única oportunidade?
A probabilidade de não ocorrência do evento:
%31,925248
52411)( ==−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
baaXP
P ( x ) = a
a + b
Onde :
P ( x ) = Probabilidade de ocorrência do evento;
a = numero de casos favoráveis;
b = numero de casos desfavoráveis.
P ( x ) = a
a + bP ( x ) =
a
a + b
a
a + b
Onde :
P ( x ) = Probabilidade de ocorrência do evento;
a = numero de casos favoráveis;
b = numero de casos desfavoráveis.
Onde :
P ( x ) = Probabilidade de ocorrência do evento;
a = numero de casos favoráveis;
b = numero de casos desfavoráveis.
P ( x ) = 4
4 + 48
Observação : Probabilidade de “Não Ocorrência”(INSUCESSO)
P ( não x ) = a
a + b1 -
P ( x ) = 4
52
1
13=
P ( x ) = 4
4 + 48P ( x ) =
4
4 + 48
4
4 + 48
Observação : Probabilidade de “Não Ocorrência”(INSUCESSO)
P ( não x ) = a
a + b1 -
Observação : Probabilidade de “Não Ocorrência”(INSUCESSO)
P ( não x ) = a
a + b1 -P ( não x ) =
a
a + b1 - a
a + b
a
a + b1 -
P ( x ) = 4
52
1
13=P ( x ) =
4
52
1
13=
Professor Everaldo 4
• Enfoque da Freqüência Relativa E baseado na proporção das vezes que ocorre um resultado favorável em um
determinado numero de observações (amostra).
Exemplo:
Foram coletados dados para 10.000 adultos em uma determinada região do
país. Desse total foram selecionadas 100 pessoas que apresentaram taxas de
colesterol acima do nível normal.
Determinar a probabilidade de “uma pessoa” escolhida ao acaso, apresentar
taxas elevadas de colesterol.
• Enfoque Subjetivo E uma avaliação pessoal do grau de viabilidade de ocorrência de um
determinado evento (feeling; conhecimento; experiência...). Não tem
embasamento científico.
P ( x ) = a
a + b P ( x ) = 100
100 + 9900
0,01 ou 1%
P ( x ) = a
a + bP ( x ) =
a
a + b
a
a + b P ( x ) = 100
100 + 9900P ( x ) =
100
100 + 9900
100
100 + 9900
0,01 ou 1%0,01 ou 1%
Exemplo : • Prognostico de uma greve;• Recuperação de um doente;• Previsão das decisões do Governo.
Exemplo : • Prognostico de uma greve;• Recuperação de um doente;• Previsão das decisões do Governo.
Exemplo : • Prognostico de uma greve;• Recuperação de um doente;• Previsão das decisões do Governo.
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1. A expressão de Probabilidade P(x) Probabilidade de ocorrência do evento em analise em um determinado
experimento.
2. Intervalo de Variação
Menor Valor = ZERO
Indica que o evento e impossível. Probabilidade infinitamente pequena.
Maior Valor = HUM
Indica que o evento vai ocorrer com toda certeza.
3. Experimento aleatório E aquele cujos resultados podem apresentar variações, mesmo quando
repetido em condições uniformes.
4. Espaço amostral (s) É o conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento.
Exemplo:
• Observações de recém-nascidos
s = M; F
• Lançamento de uma moeda
s = K; C
• Lançamento de duas moedas
s = KK ; CC ; KC ; CK
Portanto, ZERO ≤ P ( x ) ≤ HUMPortanto, ZERO ≤ P ( x ) ≤ HUM
Observação:
Em um dado experimento um evento pode ou não ocorrer.
Portanto, P ( x ) + p ( não x ) = HUM
Observação:
Em um dado experimento um evento pode ou não ocorrer.
Portanto, P ( x ) + p ( não x ) = HUM
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5. Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral (s)
6. Diagrama de Venn (ou de Euler) É relacionado com a teoria dos conjuntos em matemática e tem a finalidade de
tornar mais fácil a visualização dos elementos.
7. Evento Simples É o evento formado pôr apenas um elemento de S.
Exemplo:
Masculino ou Feminino;
(KK ; CC ; KC ; CK) duas moedas isoladamente.
8. Evento Composto É aquele formado pôr dois ou mais elementos de S.
Exemplo:
Pelo menos uma cara (K) no lançamento de duas moedas;
(KK ; KC ; CK) três elementos de S.
Obtenção de um n.º par no lançamento de um dado;
(2, 4, 6) três elementos de S.
9. Evento Certo Ocorre em todas as realizações do experimento.
Exemplo:
Lançamento de uma moeda (resultados possíveis: K ou C).
A
B
A C S B C S S
Professor Everaldo 7
10. Evento Impossível Não ocorre em nenhuma realização do experimento.
Exemplo:
Probabilidade de sair o numero sete no lançamento de um dado.
11. Evento Complementar É aquele evento formado pôr todos os elementos de S que não pertencem a A.
12. Eventos Mutuamente Exclusivos Dois ou mais eventos são chamados de mutuamente exclusivos, se a
ocorrência de um deles excluir a ocorrência do outro. Portanto, quando não
podem se apresentar simultaneamente.
A
S S A = O
U
Exemplo:
Obtenção de uma face par no lançamento de um dado.
P (A) = ( 2 ; 4 ; 6 ) --- par
P (B) = ( 1 ; 3 ; 5 ) --- impar
S
AA` A A` = OU
A U A` = SSSS
AA`
AAA` A A` = OUA A` = OA A` = OU
A U A` = SA U A` = S
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13. Eventos Não Mutuamente Exclusivos Os eventos A e B da ilustração abaixo, não são considerados mutuamente
exclusivos porque possuem elementos em comum.
14. Eventos Coletivamente Exaustivos Os eventos A e B são chamados de coletivamente exaustivos porque esgotam
todas as possibilidades de ocorrências.
S
Exemplo:
P (A) = extração de um ÁS
P (B) = extração de um REI Em uma única oportunidade
Portanto, ambos não podem ocorrer simultaneamente.
BA
S
Exemplo:
P (A) = extração de um ÁS
P (B) = extração de um REI Em uma única oportunidade
Portanto, ambos não podem ocorrer simultaneamente.
SSS
Exemplo:
P (A) = extração de um ÁS
P (B) = extração de um REI Em uma única oportunidade
Exemplo:
P (A) = extração de um ÁS
P (B) = extração de um REI
Exemplo:
P (A) = extração de um ÁS
P (B) = extração de um REI Em uma única oportunidade
Portanto, ambos não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, ambos não podem ocorrer simultaneamente.
BA BBAA
S
A BExemplo:
P (A) = a carta é de ouro
P (B) = a carta é uma figura
Portanto, existe um ponto de intersecção entre A e B
SSS
A BAA BBExemplo:
P (A) = a carta é de ouro
P (B) = a carta é uma figura
Exemplo:
P (A) = a carta é de ouro
P (B) = a carta é uma figura
Portanto, existe um ponto de intersecção entre A e B Portanto, existe um ponto de intersecção entre A e B
Exemplo:
P (A) = a carta é preta
P (B) = a carta é vermelha
S
A B
Exemplo:
P (A) = a carta é preta
P (B) = a carta é vermelha
Exemplo:
P (A) = a carta é preta
P (B) = a carta é vermelha
S
A B
S
A B
SS
A B
Professor Everaldo 9
15. Eventos independentes Quando a ocorrência do evento B não depende ou não está vinculada à
ocorrência do evento A.
Exemplo: Lançamento de dois dados
Em outras palavras, dizemos que os eventos são independentes quando não
há modificação do espaço amostral, após a ocorrência de cada evento (COM REPOSIÇÃO)
16. Eventos dependentes Quando há modificação no espaço amostral após a ocorrência de cada evento
(SEM REPOSIÇÃO) Exemplo: Qual a probabilidade de retirarmos um ás e um rei de um baralho em
duas oportunidades?
1a. Retirada P (A) = um ás = 4 / 52
2a. Retirada P (B) = um rei = 4 / 51 Modificação no
espaço amostral 1a. Retirada P (A) = um ás = 4 / 52
2a. Retirada P (B) = um rei = 4 / 51
1a. Retirada P (A) = um ás = 4 / 52
2a. Retirada P (B) = um rei = 4 / 51 Modificação no
espaço amostral Modificação no
espaço amostral Modificação no
espaço amostral
Professor Everaldo 10
Existem duas Categorias:
a) P (A ou B)
Probabilidade de ocorrência “de um ou outro” evento.
b) P (A e B)
Probabilidade de ocorrência “simultânea” dos eventos (ou de ambos).
Dentro da regra da adição é possível ocorrer duas situações, conforme segue:
Exemplo:
Determinar a probabilidade de retirarmos um “ás” ou um “rei” de um baralho de
52 cartas, em uma única oportunidade.
P ( A ou B ) = P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B )
Regras da Adição P (A ou B)
P ( A ou B ) = P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B ) P ( A ou B ) = P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B )
Regras da Adição P (A ou B)
a) Eventos Mutuamente Exclusivos
S
BA
P ( A ou B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B )
a) Eventos Mutuamente Exclusivos a) Eventos Mutuamente Exclusivos
S
BA
SSS
BA BBAA
P ( A ou B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B ) P ( A ou B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B )
P (A) = um ás = 4 / 52
P (B) = um rei = 4 / 52
P (A U B) = P (A) + P (B)
4 / 52 + 4 / 52 = 8 / 52 = 2 / 13
P (A) = um ás = 4 / 52
P (B) = um rei = 4 / 52
P (A) = um ás = 4 / 52
P (B) = um rei = 4 / 52
P (A U B) = P (A) + P (B)
4 / 52 + 4 / 52 = 8 / 52 = 2 / 13
P (A U B) = P (A) + P (B)
4 / 52 + 4 / 52 = 8 / 52 = 2 / 13
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Exemplo:
Qual a probabilidade de retirarmos um “ás” ou uma “carta de ouros” de um
baralho de 52 cartas, em uma única oportunidade.
b) Eventos Não Mutuamente Exclusivos
Neste caso é subtraída da soma das probabilidades a ocorrência conjunta dos eventos (interseção)
S
BA
P ( A ou B ) = P ( A U B ) =
P ( A ) + P ( B ) - P (A B)
U
b) Eventos Não Mutuamente Exclusivos b) Eventos Não Mutuamente Exclusivos
Neste caso é subtraída da soma das probabilidades a ocorrência conjunta dos eventos (interseção)
Neste caso é subtraída da soma das probabilidades a ocorrência conjunta dos eventos (interseção)
S
BA
SSS
BA
BBAA
P ( A ou B ) = P ( A U B ) =
P ( A ) + P ( B ) - P (A B)
U
P ( A ou B ) = P ( A U B ) =
P ( A ) + P ( B ) - P (A B)
U
P (A) = um ás = 4 / 52
P (B) = uma carta de ouro = 13 / 52P ( A ou B ) =
4 / 52 + 13 / 52 – 1 / 52 = 16 / 52
P (A) = um ás = 4 / 52
P (B) = uma carta de ouro = 13 / 52
P (A) = um ás = 4 / 52
P (B) = uma carta de ouro = 13 / 52P ( A ou B ) =
4 / 52 + 13 / 52 – 1 / 52 = 16 / 52
P ( A ou B ) =
4 / 52 + 13 / 52 – 1 / 52 = 16 / 52
Regras da Multiplicação P (A e B)As regras de multiplicação se relacionam com a determinação da probabilidade conjunta de eventos (simultânea).
P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B )
U
Regras da Multiplicação P (A e B)Regras da Multiplicação P (A e B)As regras de multiplicação se relacionam com a determinação da probabilidade conjunta de eventos (simultânea).
As regras de multiplicação se relacionam com a determinação da probabilidade conjunta de eventos (simultânea).
P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B )
U
P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B )
U
P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B )
U
a) Eventos Independentesa) Eventos Independentes
Exemplo
Uma moeda não viciada é lançada duas vezes. Determinar a probabilidade de que ambos os resultados sejam CARAS.
Exemplo
Uma moeda não viciada é lançada duas vezes. Determinar a probabilidade de que ambos os resultados sejam CARAS.
Professor Everaldo 12
Portanto,
P (A) = 1 / 2
P (B) = 1 / 2P (A) . P (B) =
1 / 2 . 1 / 2 = 1 / 4 = 25%
P (A) = 1 / 2
P (B) = 1 / 2
P (A) = 1 / 2
P (B) = 1 / 2P (A) . P (B) =
1 / 2 . 1 / 2 = 1 / 4 = 25%
P (A) . P (B) =
1 / 2 . 1 / 2 = 1 / 4 = 25%
P (A) . P (B) =
1 / 2 . 1 / 2 = 1 / 4 = 25%
b)Eventos Dependentes
Probabilidade Condicional
É quando a probabilidade de ocorrência do evento B está condicionada a ocorrência do evento A.
b)Eventos Dependentes b)Eventos Dependentes
Probabilidade Condicional
É quando a probabilidade de ocorrência do evento B está condicionada a ocorrência do evento A.
Probabilidade Condicional
É quando a probabilidade de ocorrência do evento B está condicionada a ocorrência do evento A.
P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B / A )
U
P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B / A )
U
P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B / A )
U
Exemplo
Qual a probabilidade de retirarmos um às e um rei de um baralho de 52 cartas, em duas oportunidades “sem reposição”
P (A) = 4 / 52
P (B) = P (B / A) = 4 / 51
P (A e B) = 4 / 52 . 4 / 51 = 1 / 13 . 4 / 51 = 4 / 663
Exemplo
Qual a probabilidade de retirarmos um às e um rei de um baralho de 52 cartas, em duas oportunidades “sem reposição”
Exemplo
Qual a probabilidade de retirarmos um às e um rei de um baralho de 52 cartas, em duas oportunidades “sem reposição”
P (A) = 4 / 52
P (B) = P (B / A) = 4 / 51
P (A e B) = 4 / 52 . 4 / 51 = 1 / 13 . 4 / 51 = 4 / 663
P (A) = 4 / 52
P (B) = P (B / A) = 4 / 51
P (A e B) = 4 / 52 . 4 / 51 = 1 / 13 . 4 / 51 = 4 / 663
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Exercícios: 1. Em uma urna existem 15 bolas numeradas de 1 a 15. Qual a
probabilidade de retirarmos 1 bola múltipla de três e múltipla de 4.
Resposta: 46,7%
2. Na urna A existem 5 bolas amarelas, 4 pretas e 3 brancas. Na urna B
existem 4 amarelas, 3 pretas e 3 brancas e na urna C existem 6
amarelas, 5 pretas e 4 brancas. Qual a probabilidade de retirarmos uma
bola de cada uma e todas terem a mesma
Resposta: 12,5%
3. Em uma urna existem 3 bolas brancas e 2 pretas. Qual é a probabilidade
de retirarmos duas bolas, sem reposição, e ambas serem pretas?
Resposta: 10,0%
4. Roberto aguarda com ansiedade o resultado de dois exames. Ele estima
em 80% a probabilidade de obter A em Matemática e 40% em Filosofia.
[Determinar as seguintes probabilidades]:
a) Nota A em ambos:
Resposta: 32%
b) Nenhuma nota A:
Resposta: 12%
c) A em Matemática e não A em Filosofia
Resposta: 48%
d) não A em Matemática e A em Filosofia
Resposta: 8%
Professor Everaldo 14
Conceito: No cálculo das probabilidades (a priori), é necessário conhecer o
tamanho do espaço amostral. Precisamos conhecer todos os resultados
possíveis em um determinado experimento.
Uma das formas tradicionais é o uso das arvores de decisão. Entretanto,
quando o numero de resultados é muito grande sua aplicação não é muito
prática.
Ilustração gráfica:
Diagrama de árvore para ilustrar todos os arranjos possiveis
Resultados Possiveis
Essa prática é bastante útil para ilustrar o comportamento de certos
fenômenos, muito embora sua expansão o torna cansativo. Na realidade,
estamos em busca do numero total de resultados e não necessariamente
identificá-los
Como quantificá-los?
• O principio da multiplicação
Vamos supor que um fabricante de automóveis pretende produzir um veiculo
com as seguintes características:
o Um modelo (1000 cilindradas com 16 válvulas);
o Quatro cores (azul, preto, verde e creme);
o Duas e quatro portas;
o Com e sem ar condicionado;
Professor Everaldo 15
o Com e sem direção hidráulica.
Questão: Calcular o mix possível de produção utilizando-se o principio da
multiplicação.
O numero total de resultados possíveis é igual ao produto das diversas formas
que o fabricante deseja produzir o automóvel. Portanto, temos:
DECISÕES COMBINAÇÕES
POSSÍVEIS
Modelo 1
Cores 4
Portas 2
Ar Condicionado 2
Direção 2
Mix total 32
Exemplo 2
Vamos supor que um aluno responde 15 questões de um teste qualquer. Cada
questão admite somente duas respostas (certo ou errado). Calcular o numero
de maneiras possíveis.
Os cálculos:
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
(quinze questões com duas possibilidades de respostas)
Portanto, 2 15 = 32768 (espaço amostral)
• Permutações e Arranjos Conceito: Para quantificarmos o numero total de resultados em um
determinado experimento e considerando que a ordem dos elementos é
importante, recomenda-se a aplicação dos conceitos das Permutações e dos
Arranjos.
Neste caso: AB ‡ BA
Professor Everaldo 16
Permutações
Conceito: É o numero de maneira que n objetos podem ser arranjados.
Principio algébrico:
n! = n . (n-1) . (n-2) .......... 2 . 1 onde: n é sempre positivo
0! = 1 por definição
Exemplo (1):
Três membros de uma organização (A, B e C) se ofereceram como voluntários
para comporem a diretoria do ano seguinte, assumindo as funções de
presidente, tesoureiro e secretário. Determinar o número de permutações
possíveis.
3! = 1 x 2 x 3 = 6 A B C A C B B A C B C A C A B C B A Exemplo (2):
Vamos supor que quatro (A, B, C ou D) times de futebol disputam um torneio.
Determinar o numero total de maneiras que pode apresentar-se o resultado
final.
Colocação Times Possibilidades Suposição
1º Quatro ∴ 4 (A, B, C ou D) B Campeão
2º Três ∴ 3 (A, C ou D) D Vice
3º Dois ∴ 2 (A ou C) A 3º
4º Um ∴ 1 (C) C 4º
O numero total de resultados é o que segue:
n! = 4!
∴ 4 . 3 . 2 . 1 = 24
Professor Everaldo 17
Permutações com REPETIÇÕES Conceito: Em algumas oportunidades nos deparamos com situações onde os
itens são iguais. Suponhamos, por exemplo, três letras (A, A, A) e outras duas
(B, B).
Uma permutação possível é do tipo: A A A B B
Se trocarmos de posição a letra B entre si não haverá modificação na
permutação. Nesse caso deve-se deduzir do total, pois nas permutações os
grupos são diferentes.
A formula para esse cálculo é a seguinte:
!3!......2!1!
nnnn
onde: n! = numero total de permutações
n1! / n2! / n3! = são iguais entre si
Portanto, temos:
!2!3!5
=
Exemplo 2:
Em uma bolsa existem 10 bolas. Três azuis, quatro amarelas e três brancas. A
única diferença entre as bolas são as cores. Calcular de quantas maneiras
pode-se alinhá-las.
Portanto, temos: n! = 3 + 4 + 3 ∴ 10!
n1! . n2! . n3! = 3! . 4! . 3!
!3!4!3!10
=
3628800 864
4200
10
Professor Everaldo 18
Arranjos Conceito: Quando existe o interesse de conhecermos o número de
permutações de um sub grupo de n objetos, temos os Arranjos.
fórmula: A n.x = nn x
!( )!−
onde n = n.º total de observações da amostra
x = n.º de elementos de um subgrupo da amostra.
Exemplo 1: Suponhamos que uma organização é composta por 10 membros e que
nenhuma indicação tenha sido feita para os cargos de presidente, tesoureiro e
secretário. Determinar o número de arranjos possíveis.
A10.3 = 720!7
!7.8.9.10!7!10
)!310(!10
===−
P.S: No arranjo a ordem é importante, ou seja, AB ≠ BA
Exemplo 2: Numa corrida de cavalos existem sete cavalos competindo. Calcular o numero
possível de arranjos para os três primeiros colocados.
n = 7
x = 3 210!4
!4.5.6.7!4!7
)!37(!7
===−
Combinações: Conceito: Quando existe o interesse de conhecermos o número de
grupamentos dos objetos, sem levar em consideração a ordem de
apresentação, temos as combinações.
fórmula: C n.x = nx x
!! ( n ) !−
Professor Everaldo 19
Neste caso: AB = BA Exemplo 1:
Suponha o mesmo exemplo da organização composta por 10 membros e que
nenhuma indicação tenha sido feita para os cargos de presidente, tesoureiro e
secretário. Determinar o número de combinações possíveis.
C 10.3 = 1 03 7
1 0 9 83 2 1
1 2 0!! !
. .. .
= =
Exemplo 2:
De quantas maneiras diferentes o diretor de uma empresa pode escolher dois
estudantes de administração entre sete candidatos e três estudantes de
economia entre nove candidatos?
Solução:
7 9 2 3
1764 =
Professor Everaldo 20
O teorema de Bayes caracteriza-se como uma probabilidade condicional.
Entretanto, é utilizado quando o experimento apresenta mais de dois eventos.
Vamos supor o seguinte exemplo:
Uma fabrica de enlatados na cidade de Jundiaí, possui três linhas de produção
(A, B e C) que respondem por 50%, 30% e 20% da produção total.
Considerando que 0,4% das latas da linha A apresentam defeitos, e das linhas
B e C apresentam respectivamente 0,6% e 1,2% defeitos.
Determinar as seguintes probabilidades:
1. Qual a probabilidade de um consumidor adquirir uma lata dessa fabrica
em um supermercado qualquer da cidade, e apresentar algum tipo de
defeito?
2. Qual a probabilidade dessa lata encontrada no supermercado ter sido
produzida pela linha de produção A?
Diagrama de Arvore
0,50
0,30
0,200,012
0,004
0,006
(0,50 . 0,004) = 0,0020
(0,30 . 0,006) = 0,0018
(0,20 . 0,012) = 0,0024
Linha A
Linha B
Linha C
Resposta 1ª. Questão
= 0,62% =(0,5*0,004)+(0,3*0,006)+(0,2*0,012)
Resposta 2ª. Questão
=(0,5*0,004)/((0,5*0,004)+(0,3*0,006)+(0,2*0,012)) 32,25%
Professor Everaldo 21
(Exemplo 2)
Três máquinas fabricam um determinado produto. A máquina A apresenta 1%
de defeitos. A máquina B apresenta 2% e a máquina C apresenta 5%.
Vejamos:
Responder:
Escolhido ao acaso um produto defeituoso, determinar a probabilidade de ter
sido produzido:
Pela Maquina A.
= 12,50% =(0,333*0,01)/((0,333*0,01)+(0,333*0,02)+(0,333*0,05))
Pela Maquina B.
= 25,00% =(0,333*0,02)/((0,333*0,01)+(0,333*0,02)+(0,333*0,05))
Pela Maquina C.
= 62,50% =(0,333*0,05)/((0,333*0,01)+(0,333*0,02)+(0,333*0,05))
Máquina ProduçãoProdutos
c / defeitos
Produtos s /
defeitos
A 0,333 0,01 0,99
B 0,333 0,02 0,98
C 0,333 0,05 0,95
Professor Everaldo 22
(Exemplo 3)
Encima de uma mesa existem quatro urnas com bolas vermelhas, brancas e
azuis. A probabilidade de retirarmos qualquer bola de qualquer urna está
demonstrada na tabela abaixo:
Urnas P (xi)
“a priori” P (xi)
Vermelha P (xi)
Branca P (xi) Azul
P (xi) Total
A 0,25 0,10 0,60 0,30 1,00
B 0,25 0,60 0,20 0,20 1,00
C 0,25 0,80 0,10 0,10 1,00
D 0,25 0,00 0,60 0,40 1,00
Calcular:
1. Retirando-se ao acaso uma bola vermelha, qual a probabilidade dessa
bola ser da Urna B
= =(0,25*0,6)/((0,25*0,6)+(0,25*0,1)+(0,25*0,8))+(0,25*0,0) 40,00%
2. Calcular em relação à Urna A (R = 6,7%)
3. Calcular em relação à Urna C (R = 53,3%)
4. Calcular em relação à Urna D (R = 0,07%)
Evidencia Amostral
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Capitulo 2 Distribuições de Probabilidades
a) Conceito → É uma distribuição de freqüência relativa para os resultados de
um espaço amostral. Demonstra a proporção das vezes que uma variável
aleatória tende a assumir cada um dos diversos vetores possíveis.
Exemplo 1: Resultados possíveis no lançamento de duas moedas:
C = CoroaK = CaraSendo:
KK
Probabilidades dos Resultados0,50 * 0,50 = 0,250,50 * 0,50 = 0,250,50 * 0,50 = 0,250,50 * 0,50 = 0,25
Espaço AmostralCCCKKC
P (x)
Exemplo 2: Numero de caras em duas jogadas de uma moeda:
P(xi)0,25
0,25
1,00Total 1,00
0,50
P (xi)0,250,25
20,250,25
Nº de caras (xi) 011
Nº de caras lançamento duas moedas
0,00
0,25
0,50
0,75
0 1 2 xi
P(xi)
b) Variáveis Aleatórias: É uma descrição numérica do resultado de um experimento.
Professor Everaldo 24
• Variável Aleatória Discreta Podem assumir um numero finito de valores em uma infinita seqüência de
valores tais como zero, um, dois...
Simplificando, são aquelas variáveis que podem ser contadas (números
inteiros)
Exemplo: numero de clientes; numero de funcionários, resultado de uma
partida de futebol,...Etc. Exemplo prático: Numero de alunos pôr disciplina em uma Escola:
Disciplinas Numero de alunos
Estatística 20
Finanças 28
Psicologia 32
Economia 26
Administração Geral 18
• Variável Aleatória Continua São aquelas que podem assumir qualquer valor em um determinado intervalo.
Em outras palavras, podem assumir um numero infinito de valores.
Exemplo: peso dos alunos; diâmetro dos parafusos, duração de uma conversa
telefônica, etc.
Obs. Medidas de um modo geral
Exemplo prático: Altura dos alunos em uma determinada sala:
Altura (xi) Classes Numero de alunos
1,50 a 1,60 6
1,60 a 1,70 22
1,70 a 1,80 18
1,80 a 1,90 10
010203040
Estatística
Finanças
Psicologia
Economia
Administ...
0
5
10
15
20
25
1,50 a 1,60 1,60 a 1,70 1,70 a 1,80 1,80 a 1,90
Professor Everaldo 25
c) Distribuições Discretas de Probabilidades (Descontinuas): x = variável aleatória;
P (x) ou f (x) = função probabilidade de ocorrência de cada valor de x.
Exemplo prático de uma distribuição de Probabilidade.
Lançamento de um dado
Lançamento de dois dados
Função Discreta Uniforme de Probabilidades
1 0,172 0,173 0,174 0,175 0,176 0,17
1,00
Espaço Amostral
P (x)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6Espaço Amostral
Todos os resultados
possíveis
(n = 36)
xi P (xi)2 2,78%3 5,56%4 8,33%5 11,11%6 13,89%7 16,67%8 13,89%9 11,11%10 8,33%11 5,56%12 2,78%
100,00%
Distribuição Discreta de
Probabilidades
Portanto,
Soma P (X i) = 1
sendo o i de 1 a n
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Professor Everaldo 26
d) Esperança Matemática E (xi) Valor Esperado (valor de maior freqüência)
Conceito: é a média de uma variável aleatória. Portanto, é a medida de
tendência central para a distribuição de probabilidades.
Símbolo utilizado; E (x) ou µ
Formula básica; E (xi) = ∑ [x i . p (x i)]
Onde: x i = valores observados P (xi) = probabilidade de ocorrência de x i
Exemplo prático:
Determinar a esperança matemática no lançamento de dois dados.
X i P (xi ) X i . P (xi ) 2 1/36 2/36 3 2/36 6/36 4 3/36 12/36 5 4/36 20/36 6 5/36 30/36 7 6/36 42/36 8 5/36 40/36 9 4/36 36/36 10 3/36 30/36 11 2/36 22/36 12 1/36 12/36
Total 252/36
E(Xi) = 25236
= 7
e) Variância Conceito: É a medida de variabilidade que mede a dispersão dos valores da
variável aleatória em análise.
• Símbolo utilizado: Variância (x) ou σ 2
• Formula básica: σ 2 = ∑ (x - µ) 2 . p (x)
Onde: µ = E (x i) = valor esperado ou esperança matemática
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Professor Everaldo 27
Exemplo pratico: calcular a variância no lançamento de dois dados X i x - µ (x - µ)2 (x - µ)2.p(x) P ( x i ) media
2 -5 25 0,694 0,0278 73 -4 16 0,889 0,05564 -3 9 0,750 0,0833 var = 5,835 -2 4 0,444 0,1111 dpad = 2,426 -1 1 0,139 0,13897 0 0 0,000 0,16678 1 1 0,139 0,13899 2 4 0,444 0,111110 3 9 0,750 0,083311 4 16 0,889 0,055612 5 25 0,694 0,0278
0 0 5,833 1,00
Exemplo 1: Revendedor Sabrico Estatística de Vendas do automóvel Gol durante os últimos 300 dias no
Revendedor Sabrico. Determinar a Esperança Matemática, a Variância e o
Desvio Padrão da amostra analisada.
Vendas (x) Dias P (x) X. p (x) X - µ (X - µ)2 (X - µ)2 . p(x)
0 54 1 117 2 72 3 42 4 12 5 3 300
R = Esperança Matemática = 1,50 Variância = 1.25 Desvio padrão = 1,118
Exemplo 2: Loja Lava Melhor Determinar a venda diária de maquinas de lavar na loja “A Melhor”, tomando-se
pôr base os resultados abaixo obtidos em uma pesquisa de 20 dias: Vendas pôr dia Pesquisa P (xi) X . P(xi) (X - µ)
(X - µ)2 (X-µ)2.p(x)
0 4
1 6
2 6
3 3
4 1
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Resposta: 1,55 maquinas / dia.
Determinar também:
• A Variância e o Desvio Padrão
• A venda mensal da loja considerando 300 lojas e 20 dias úteis do mês.
Resposta: 1,55 x 20 = 31 maquinas / mês
31 x 300 = 9.300 maquinas /mês
Exemplo 3: Execução de Obra Um profissional faz as seguintes estimativas para a execução de uma obra.
Determinar o prazo esperado:
Prazo de execução Probabilidades Xi P(Xi) 10 0,3
15 0,2
22 0,5
Resposta: (17 dias)
Exemplo 4: Investimento Um investidor acredita ter 40% de chance de ganhar 25.000 reais e 60% de
perder 15.000 reais em um determinado investimento. Qual o resultado
esperado?
Xi P(Xi) Xi P(Xi)
Resposta: (1000 reais)