1 Prof. Lorí Viali, Dr. [email protected]http://www.ufrgs.br/~viali/ Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS Coleção de números = estatísticas O número de carros vendidos no país aumentou em 30%. A taxa de desemprego atinge, este mês, 7,5%. As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. Resultados do Carnaval no trânsito: 145 mortos, 2430 feridos. Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS Estatística: uma definição A ciência de coletar, organizar, apresentar, analisar e interpretar dados numéricos com o objetivo de tomar melhores decisões. Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS Estatística (divisão) Descritiva Indutiva Os procedimentos usados para organizar, resumir e apresentar dados numéricos. A coleção de métodos e técnicas utilizados para estudar uma população baseado em amostras probabilísticas desta população. Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS População Uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas de interesse.
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Estatística (divisão) População - pucrs.br · Estatística Descritiva Probabilidade Estatística Indutiva Amostragem. 3 Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática- Departamentode
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Coleção de números = estatísticas
� O número de carros vendidos no país
aumentou em 30%.
� A taxa de desemprego atinge, este mês, 7,5%.
� As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje.
� Resultados do Carnaval no trânsito: 145
mortos, 2430 feridos.
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Estatística: uma definição
A ciência de coletar, organizar,
apresentar, analisar e interpretar
dados numéricos com o objetivo de
tomar melhores decisões.
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Estatística (divisão)
Descritiva
Indutiva
Os procedimentos usados paraorganizar, resumir e apresentardados numéricos.
A coleção de métodos etécnicas utilizados para estudaruma população baseado emamostras probabilísticas destapopulação.
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População
Uma coleção de todos os
possíveis elementos, objetos ou
medidas de interesse.
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Censo
Um levantamento efetuado sobre
toda uma população é denominado de
levantamento censitário ou
simplesmente censo.
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Amostra
Uma porção ou parte de
uma população de interesse.
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Amostragem
O processo de escolha de
uma amostra da população é
denominado de amostragem.
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PROBABILIDADE(Matemática) Univariada
ESTATÍSTICA(Matemática
Aplicada)Multivariada
POPULAÇÃO(Censo)
AMOSTRA(Amostragem)
InferênciaErro
PROBABILIDADE
Estatística Descritiva
Probabilidade
Estatística Indutiva
Amostragem
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Estatística x Probabilidade
Faces Probabilidades Faces Frequências
1 1/6 1 15
2 1/6 2 18
3 1/6 3 23
4 1/6 4 25
5 1/6 5 22
6 1/6 6 17
Total 1 Total 120
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Arredondamento
Todo arredondamento é um
erro.
O erro deve ser evitado ou
então minimizado.
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Regra básica:
Arrendondar sempre para o
mais próximo.
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Exemplos:
1,456 1,46
1,454 1,45
1,475 1,48
1,485 1,48
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V
A
R
I
Á
V
E
I
S
QUALITATIVAS
QUANTITATIVAS
ORDINAL
NOMINAL
DISCRETA
CONTÍNUA
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NOMINAL
SexoReligião
Estado civil Curso
ORDINAL
Conceito
Grau de Instrução
Mês
Dia da semana
Variável Qualitativa
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Variável Quantitativa
Número de faltas
Número de irmãos
Número de acertos
Altura
Área
Peso
Volume
CONTÍNUA
DISCRETA
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Estatística Descritiva
Organização;
Resumo;
Apresentação.
Conjunto de dados:
�Amostra
ou
�População
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Um conjunto de dados é resumido deacordo com as seguintes características:
Tendência ou posição central
Dispersão ou variabilidade
Assimetria (distorção)
Achatamento ou curtose
Amostra ouPopulação
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Tendência ou Posição Central
(a) As médias
Si
mples
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
Interna
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A média Aritmética (mean)
nn
1
n
...x
xx
xxx
ii
n21
∑∑ ==
=+++
=
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A média Geométrica
ni
nn21g
x
x ... .x.xm
∏=
==
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A média Harmônica
∑=
+++
=
=
+++
=
xxxx
xxx
m
in
n
h
n
...
n
n
...
1111
1111
21
21
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A média Quadrática
nx
nx...xx
m
2i
2n
22
21
q
∑=
=++
=
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A média Interna (trimmed mean)
É a mesma média aritmética só
que aplicada sobre o conjunto onde
uma parte dos dados (extremos) é
descartada.
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Conjuntos mg mh
4 6 5 4,9 4,8
1 9 5 3 1,8
x
Médias
Exemplo
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Relação entre as médias
Dado um conjunto de dados qualquer,
as médias aritmética, geométrica e
harmônica mantém a seguinte relação:
mm hgx ≥≥
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Tendência ou Posição Central
(a)As
médias
Ponderadas
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
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A média Aritmética Ponderada
∑∑
=
=+++
+++=
wwx
wwwwxwxwx
m
i
ii
k
kkap
.
...
......
21
2211
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A média Geométrica Ponderada
∑=
=∑
=
∏w w
w w ... .w.w
i ii
i kkgp
x
xxxm 22
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A média Harmônica Ponderada
∑
∑
+
=
=
+++
+=
xww
xw
xw
xw
wwwm
i
i
i
k
k
kP
...h
2
2
1
1
21
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A média Quadrática Ponderada
∑w
∑ xw=
w+...+w+w
xw+...+xw+xw=m
i
2i
k21
2kk
222
21
qpi1
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Produtos p01 p02 q
Carne 4,80 5,52 5 kg
Cana 5,20 4,94 1 l
Ceva 0,80 0,92 12 lt
Pão 1,50 2,10 2 u
Total -- -- --
Exemplo:
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Produtos p01 p02 α p(0,t)
1 4,80 5,52 0,58 1,15
2 5,20 4,94 0,12 0,95
3 0,80 0,92 0,23 1,15
4 1,50 2,10 0,07 1,40
Total -- -- 1,00 --
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114,31%=1,1431 =
=07,0+23,0+12,0+57,0
07,0.40,1+23,0.15,1+12,0.95,0+58,0.15,1=map
Média aritmética ponderada dos
relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 14,31%.
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Média geométrica ponderada dos relativos
(aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 13,90%.
%90,113=1390,1 =
=40,115,195,015,1 =
=40,115,195,015,1=m
07,023,012,058,0
1 07,023,012,058,0gp
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Média harmônica ponderada dos
relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 13,48%.
%48,113=1348,1=
=
40,107,0
+15,123,0
+95,012,0
+15,158,0
1=m h P
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Tendência ou Posição Central
(b) A mediana (median)
me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par
É o valor que separa o conjunto em
dois subconjuntos do mesmo tamanho.
me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar
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Separatrizes
A idéia de repartir o conjunto de
dados pode ser levada adiante. Se ele for
repartido em 4 partes tem-se os
QUARTIS, se em 10 os DECIS e se em
100 os PERCENTIS.
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Considere o seguinte conjunto:
1 -1 0 4 2 5 3
Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4
Ordenando o conjunto, tem-se:
-1 0 1 2 4 3 5
Então: me = x4 = 2
Exemplo
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Se o conjunto for:
1 -1 0 4 2 5 3 -2Tem-se: n = 8 (par)
Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2
Ordenando o conjunto, tem-se:
-2 -1 0 1 2 3 4 5
me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50
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(c) A moda (mode)
É o(s) valor(es) do conjunto que
mais se repete(m).
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Considere o conjunto
0 1 1 2 2 2 3 5
Então: mo = 2
Pois, o dois é o que mais se repete
(três vezes).
Exemplo
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Considere o conjunto:
0 1 1 2 2 3 5
Então: mo = 1 e mo = 2
O conjunto é bimodal.
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Considere o conjunto:
0 1 2 3 4 5 7
Este conjunto é amodal, pois
todos os valores apresentam a mesma
frequência.
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(a) A amplitude (h)
(b) O Desvio Médio (dma)
(c) A Variância (s2)
(d) O Desvio Padrão (s)
(e) A Variância Relativa (g2)
(f) O Coeficiente de Variação (s)
Dispersão ou Variabilidade
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h = xmáx - xmín
A Amplitude (range)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
h = 5 – (-2) = 7
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A média é:
15
5
5
53021==
+++−−=x
O dma (average deviation)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
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Calculando os desvios: xxi −
Tem-se: d1 = -2 – 1 = -3
d2 = -1 – 1 = -2
d3 = 0 – 1 = -1
d4 = 3 – 1 = 2
d5 = 5 – 1 = 4
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Como pode ser visto a soma é igual
a zero. Tomando o módulo vem:
40,25
125
|4||2||1||2||3|n
|xx|dma i
==
=++++−+−+−
=
=∑ −
=
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Se ao invés de tomar o módulo,
elevarmos ao quadrado, tem-se:
8065
34
5
164149
542123 22222
22
,
((
ni
)))(
)xx(s
==++++
=
=+++
=
==
+−−−
∑ −
A variância (variance)
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ni
nn....
)xx(
)xx()xx()xx(s
∑ −
−−−
=
=+++
=
2
2222 21
A variância de um conjunto de dadosserá:
xx
sn
i2 22
−=∑
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É a raiz quadrada da variância.
xn
x
n
)xx(s 2
2i
2i −
∑=
∑ −=
O Desvio Padrão (standard deviation)
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Se extrairmos a raiz quadrada
teremos do resultado anterior teremos o
desvio padrão:
61,280,6n
)xx(s i
2==
∑ −=
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g2 = s2 / x 2
g = s / x
A Variância Relativa
O Coeficiente de Variação
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O coeficiente de variação do
exemplo anterior, será:
%77,2601
6077,2
x
sg ===
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Organização;
Resumo;
Apresentação.
Amostra ou
População
Grande Conjuntos de Dados
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Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
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Defeito Freqüência %Desenho 71 14,20
Esmalte 95 19,00
Lascado 97 19,40
Maior 70 14,00
Menor 83 16,60
Torto 57 11,40
Trincado 27 5,40
TOTAL 500 100
Distribuição de freqüências
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SIMPLES
ACUMULADAS
Absoluta
Relativa
Absoluta
Relativa
FREQÜÊNCIAS
Percentual
Apresentação
Percentual
Decimal
Decimal
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Valores fi Fi fri fri Fri
0 60 60 0,30 30 30
1 50 110 0,25 25 55
2 40 150 0,20 20 75
3 30 180 0,15 15 90
4 10 190 0,05 5 95
5 6 196 0,03 3 98
6 4 200 0,02 2 100
Total 200 — 1,00 100 —
Frequências: representação
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Defeitos em uma linha de produção
14%
20%
19%14%
17%
11%5%
Desenho
Esmalte
Lascado
Maior
Menor
Torto
Trincado
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Número de irmãos dos alunos da turma G
Estatística Aplicada - PUCRS - 2011/01
0 1 1 6 3 1 3 1 1 0
4 5 1 1 1 0 2 2 4 1
3 1 2 1 1 1 1 5 5 6
4 1 1 0 2 1 4 3 2 2
1 0 2 1 1 2 3 0 1 0
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Distribuição de frequências por ponto ou
valores da variável: “Número de irmãos
dos alunos da turma G” da disciplina:
Estatística Aplicada - PUCRS - 2011/01.
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N0 de irmãos N0 de alunos0 71 212 83 54 45 36 2∑ 50
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Diagrama de colunas simples da variável:
Número de irmãos dos alunos da
turma G Disciplina: Estatística
Aplicada, PUCRS - 2011/01
14
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0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6
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Neste caso, a média a dada por:
nx.f
f...ff
x.f...x.fxfx ii
k21
kk2211 ∑=
+++
+++=
A média Aritmética
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xi fi fixi0 7 01 21 212 8 163 5 154 4 165 3 156 2 12∑ 50 95
Exemplo:
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A média será, então:
irmãos 90,150
95
nx.f x ii ==
∑=
15
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Como n = 50 é par, tem-se:
irmão
2 me
xx
xxxx )/(/)/n(/n
12
11
2
2
2625
1250250122
=+
=+
=
=+
=+
=++
A Mediana
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Total de dados n = 50 (par)
xi fi Fi
0 7 7
1 21 28
2 8 36
3 5 41
4 4 45
5 3 48
6 2 50
∑∑∑∑ 50 —
Metade dos dados n/2 = 25
Exemplo:
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mo = valor(es) que mais se repete(m)
A Moda
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xi fi
0 71 212 83 54 45 36 2∑ 50
A moda é igual a1 (um)
Pois ele se repete mais
vezes
Exemplo
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h = xmáx - xmín
h = 6 - 0 = 6 irmãos.
A Amplitude
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Neste caso, o dma será dado por:
n
|xx|.f
f...ff
|xx|f...|xx|f|xx|fdma
ii
k21
k21 k21
−∑=
=+++
−++−+−=
O Desvio Médio
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A variância será, então:
irmãos 3700,2
90,150
299 x
n
xfs
2
22
2
i2 i
=
=−=−∑
=
17
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O desvio padrão será dado por:
irmãos 1,54 1,5395
3700,2xn
xfs 22ii
≅=
==−∑
=
O Desvio Padrão
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Dividindo o desvio padrão pela
média pelo, tem-se o coeficiente de
variação:
%03,8190,1
539480,1g ==
O Coeficiente de Variação
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Idade (em meses) dos alunos
da turma G da disciplina:
Probabilidade e Estatística -
PUCRS - 2011/01
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276 245 345 240 270 310 368
334 268 288 336 299 236 239 355 330
287 344 300 244 303 248 251 265 246
240 320 308 299 312 324 289 320 264
252 298 315 255 274 264 263 230 303
369 247 266 275 281 230 234
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Distribuição por classes ou intervalos da
variável “idade dos alunos da turma G”
da disciplina: Probabilidade e Estatística
da PURCRS - 2011/01.
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Histograma de frequências da
variável “Idade dos alunos da turma
G” de Probabilidade e Estatística da
PUCRS - 2011/01.
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Portanto a moda poderá ser
obtida através de uma das seguintes
expressões:
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Critério de King:
meses 250 9
9.20023
90
9.20302
ff
fhli m
1i 1i
1iiio
=
+=
=
++=
++=
− +
+
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Critério de Czuber:
meses 246 16230
924
12.20023
)90(12.2
012.20302
)ff(f.2
ffhli m
1ii
i
1i
1iiio
=+=
=
−+=
=
+−
−+=
=
+−
−+=
− +
−
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h = xmáx - xmín
h = 370 - 230 = 140 meses
A Amplitude
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Neste caso, o dma será dado por:
n
|xx|.f
f...ff
|xx|f...|xx|f|xx|fdma
ii
k21
k21 k21
−∑=
=+++
−++−+−=
O Desvio Médio Absoluto
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