-
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
Estado de Tenso Num PontoEstado Geral ou Triaxial de Tenso Num
Ponto
F x= F y= F z=0
Figura 01
M x=0 , yz . dx .dz . dy=zy .dx . dy . dz=0 yz=zyM y=0, xz=zxM
z=0 , xy= yx
Em dois planos ortogonais entre si, as componentes das tenses de
cisalhamento, perpendiculares aresta comum, so iguais e formam
binrios de sentidos opostos.
Sejam as componentes de tenso num plano qualquer, inclinado em
relao s direes x, y e z.
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
1
Nas facetas paralelas escondidas, temos as mesmas componentes,
de modo que:
x
y
dxdz
dy
z
zx
y
xy
xy
xz
zy
yzyx
-
Figura 02
Componentes de tenso num plano qualquer:
Figura 03
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
2
y
dAx
dAz
dA: rea do tringulo inclinado
dAx
z
x
y
x
z
x
y
z
-
Componentes da tenso nos planos a x, y e z:
Figura 04
Equilbrio de Foras:
Fx=0 , x . dA= x . dA x+ yx .dA y+zx . dA z F y=0 , y . dA=xy .
dAx y . dAyzy . dAz F z=0 , z . dA= xz .dAx yz .dAy z . dAz
ou, matricialmente,
dA[xyz ]=[ x xy xzxy y yz xz yz z ][dA xdA ydA z ]
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
3
y
x
z
z
yx
x
y
xy yz
zy
zxxz
-
Obs.: A matriz das componentes da tenso nos planos
perpendiculares a x, y e z simtrica (xy = yx, yz = zy, zx = xz)
Escrevendo dAx = nx.dA, dAy = ny.dA e dAz = nz.dA,onde nx, ny e
nz so os cossenos diretores da normal n ao plano inclinado,
relativos s direes x, y e z, respectivamente, temos:
[x yz ]=[ x xy xzxy y yzxz yz z ][nxn yn z ]
O estado de tenso num ponto fica determinado pelas seis
componentes x, y, z, xy = yx, yz = zy, zx = xz, medidas em trs
planos ortogonais entre si, que contenham o ponto. As componentes
em qualquer outro plano so obtidas a partir dessas seis
componentes.
A tenso resultante no plano inclinado
= x2 y2 z2
e pode ser decomposta numa componente normal e outra tangencial
, tais que
= 22
com = x .n x y . n yz . n z ou
= x .nx2+ y . n y
2+ z .nz2+2. xy . nx .ny+2. yz .n y . nz+2. xz . nz . nx
Considerando que nx, ny e nz so as variveis em questo (cada
conjunto nx, ny, nz define um plano que contem o ponto), a expresso
acima a equao de uma superfcie central de 2a ordem. Assim sendo,
girando-se o sistema de coordenadas (nx, ny, nz), pode-se obter uma
equao onde so nulos os coeficientes dos produtos de
coordenadas.
Se assim o fizermos, teremos
=1 .n12 2. n2
23 . n32 e
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
4
-
12=23=31=0 ,
onde as novas direes 1, 2 e 3 so chamadas de direes
principais.
Os planos normais a estas direes so os chamados planos
principais e as tenses normais 1, 2 e 3 so as tenses principais.
Designa-se 1 2 3.
Figura 05
Tomando como referncia as direes principais, as componentes da
tenso num plano qualquer seriam:
[123] = [1 0 00 2 00 0 3
][n1n2n3] ou {1=1 . n12= 2 . n23=3 . n3
}Como n x
2n y2n z
2=n12n2
2n32=1 , temos:
1 1 2
2 2 2
33 2
=1
Interpretando as componentes 1, 2 e 3 como um conjunto de
variveis, a expresso acima representa um elipside cujos semi-eixos
so as tenses principais 1, 2 e 3. o chamado elipside das
tenses.
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
5
2
13
-
=122232
Figura 06
Da se conclui que 1 = mx e que 3 = min (no h coordenada da
superfcie do elipside maior do que 1 nem menor do que 3).
Determinao das Tenses Principais:
Suponhamos que o plano inclinado um plano principal.
Figura 07
Assim, x= . n x , y= .n y , z= . nz e
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
6
2
1
3
1
2
3
yn
z
x
= ( = 0)
-
.[nxn ynz ]=[ x xy xzxy y yz xz yz z ][n xn ynz ] ou
[x xy xzxy y yzxz yz z ][n xn ynz ]=[000] (sitema homogneo)
A soluo trivial nx = ny = nz = 0 contraria a hiptese nx2 + ny2 +
nz2 = 1.
Para que um sistema homogneo tenha soluo no trivial necessrio
que o determinante da matriz do sistema seja nulo, isto ,
x xy xzxy y yzxz yz z=0Desenvolvendo este determinante, temos a
equao do terceiro grau:
3 I 1 .2 I 2.I 3=0
ondeI 1= x y zI 2= x . y+ y . z+ z . xxy
2 yz2 xz
2
I3= x xy xzxy y yzxz yz zAs razes desta equao so:
1=I 132cos 3 Q onde, =arc cos RQ3
1=I 132cos 32400Q Q= I 1
23. I 29
1=I 132cos 31200Q R=9. I 1 . I 227 . I 32 . I 1
354
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
7
-
Como os valores das tenses principais 1, 2 e 3 independem das
direes x, y e z previamente estabelecidas, os coeficientes I1, I2 e
I3 tambm independem destas direes e, por isto, so chamados de
Invariantes de Tenso ou Invariantes do Estado de Tenso.
Casos Particulares:a) Se I3 = 0, uma das solues nula Estado
Plano ou Biaxial de Tensob) Se I2 = I3 = 0, duas solues so nulas
Estado Simples ou Uniaxial de Tenso
Para determinarmos os planos principais basta substituir cada um
dos valores de (1, 2, 3) no sistema homogneo e determinar, em cada
caso, os cossenos diretores da normal ao plano (nx, ny e nz).
Porm, como as equaes de um sistema homogneo so linearmente
dependentes, teremos, em cada caso, infinitas solues do tipo
[n xn ynz ]=[n x0n y0n z0 ]
onde um escalar diferente de zero e nxo, nyo e nzo valores
numricos conhecidos, obtidos na resoluo do sistema.
A soluo nica, para cada plano principal, obtida da condio n x2n
y
2n z2=1 ,
isto ,
[n xn ynz ]=1n[nx0n y0n z0 ] onde n=nx02 n y02 nz02 .
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
8
-
Crculos de Mohr:
Em muitos casos prticos, um dos planos principais reconhecido
por simples observao (casos das solicitaes simples, por exemplo).
Nestes casos, a determinao dos demais planos principais e das
tenses principais se simplifica.
Seja determinar as componentes de tenso normal e de cisalhamento
num plano qualquer paralelo a uma das trs direes principais (por
exemplo, direo 3).
Figura 08
F n=0 , dS=1dScoscos 2dSsensen
=1 cos22sen
2
F t=0 , dS= 1dScossen 2sencos
=1 2sencos
A primeira expresso pode ser escrita na forma, lembrando que
cos2=1cos 2
2e sen2=
1cos22
,
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
9
dz
dy
dx
dSdS . cos
dS . sen
1
2
3
1
2
n
t
-
=11cos2
2 2
1cos 22
=1 2
21 2
2cos2
A segunda expresso pode ser escrita na forma
=12
2sen2
Estas expresses fornecem os valores das componentes de tenso
normal e de cisalhamento nos planos paralelos ao eixo principal 3.
De maneira anloga, podemos expressar as componentes de tenso nos
planos paralelos aos demais eixos principais.
As expresses acima so, na verdade, as equaes paramtricas de uma
circunferncia
x=arcosy=brsen
onde x= a tenso normaly= a tenso de cisalhamento
a , b=1 22 ,0 so as coordenadas do centro do crculo r=
123
o raio do crculo
=2 o parmetro ( o ngulo entre o plano principal 1 e o plano
qualquer)
Elevando ao quadrado cada membro de cada equao e somando membro
a membro, obtemos:
[122 ]2
2=[122 ]2
ou xa 2 yb 2=r 2
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
10
-
que a equao normal da circunferncia.
r= 12
2
1 22
Figura 09
Cada ponto da circunferncia representa um plano inclinado de um
ngulo em relao ao plano principal 1, onde atuam componentes de
tenso e iguais s suas coordenadas.
Analogamente, teremos mais dois crculos semelhantes a este: um,
cuja circunferncia representa os planos paralelos direo principal 2
e outro, cuja circunferncia representa os planos paralelos direo
principal 1.
Figura 10A estes crculos d-se o nome de Crculos de Mohr.
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
11
2
1
2r
(,)
mx
32 1
2 = 90
-
Pode-se demonstrar que os planos de inclinao arbitrria em relao
aos eixos principais so representados pelos pontos da regio
hachurada da figura acima.
Assim sendo, a mxima tenso de cisalhamento num ponto qualquer de
um corpo solicitado vale
mx=1 3
2=
mxmin2
e age num plano paralelo direo principal 2 (direo da tenso
principal intermediria 2), inclinado de 45o em relao aos planos
principais 1 e 3 (respectivamente, os planos onde agem as mxima e
mnima tenses normais 1 e 3).
Como podemos observar, pontos diametralmente opostos da
circunferncia, representam planos ortogonais entre si.
Assim, podemos construir o Crculo de Mohr a partir das
componentes de tenso em dois planos quaisquer ortogonais entre si,
paralelos a uma direo principal.
Figura 11
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
12
y
x
z
y
zx
xy
yx
-
Adotando-se a seguinte conveno de sinais para as tenses de
cisalhamento,
o Crculo de Mohr fica
xy= yx
FIGURA 12
Centro do Crculo: x y2 , 0Raio do Crculo: r= x y2 2 xy2
As tenses principais so, portanto, z, I e II, onde
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
13
( + ) ( - )
Ix
yII
2
yx
xy
(x + y)/2 (x - y)/2
-
I , II= x y
2 x y2 2 xy2
Os planos principais so o plano perpendicular ao eixo z e os
planos paralelos a z dados por:
tg 2P= xy
x y2
ou tg 2P=2 xy x y
Casos Particulares:a) Estado Plano de Tenso:
Figura 13b) Estado Simples de Tenso:
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
14
2 = 90
2 = 3 = 0
1
mx = 1 / 2
2 = 90
3 = 0
mx = 1 / 2
2 1
-
Figura 14
c) Estado Triaxial Uniforme de Tenso:
Figura 15
Estado de Deformao Num Pontoy
v A
w A u
xz
Figura 16
AA: deslocamento do ponto genrico A(u,v,w): componentes de
vetor-deslocamento AA segundo os eixos x, y e z,
respectivamente
As deformaes lineares do ponto segundo as direes x, y e z so,
respectivamente:
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
15
1 = 2 = 3
-
x = u / x, y = v / y e z = w / z.
As deformaes angulares segundo os planos xy, yz e zx so,
respectivamente:
xy = u / y + v / x, yz = v / z + w / y e zx = w / x + u / z.
Estas componentes da deformao (deformaes lineares e angulares)
constituem o Estado de Deformao do Ponto, isto , so suficientes
para se determinar as componentes em quaisquer outras direes.
De fato, seja determinar as componentes da deformao segundo as
direes arbitrrias x, y e z, tais quenxx, nxy e nxz sejam os
cossenos diretores de x em relao a x, y e z, respectivamente,nyx,
nyy e nyz sejam os cossenos diretores de y em relao a x, y e z,
respectivamente,nzx, nzy e nzz sejam os cossenos diretores de z em
relao a x, y e z, respectivamente.
Assim, podemos escrever
x = nxx.x + nyx.y + nzx.z x = nxx.x + nxy.y + nxz.zy = nxy.x +
nyy.y + nzy.zou y = nyx.x + nyy.y + nyz.zz = nxz.x + nyz.y + nzz.z
z = nzx.x + nzy.y + nzz.z
As variaes das componentes do deslocamento, u, v e w, so:
du= u xdxu
ydyu
zdz
dv=v xdx v
ydy v
zdz
dw=w x
dxw y
dyw z
dz
ou, matricialmente,
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
16
-
[ dudvdw ]=[u x
u y
u z
v x
v y
v z
w x
w y
w z
][dxdydz ]=[u x
u y
u z
v x
v y
v z
w x
w y
w z
][nxx n yx n zxnxy n yy n zyn xz n yz nzz ][dx 'dy 'dz ' ]A
variao da componente u, por exemplo, segundo o novo sistema de
eixos :
du = nxx.du + nxy.dv + nxz.dw.
Se substituirmos, nesta expresso, os valores de du, dv e dw
acima indicados , poderemos deduzir que:
x '=u ' x '
=nxx2 . xnxy
2 . yn xz2 . znxx . nxy . xyn xy .n xz . yznxz .n xx . zx
que a equao de uma superfcie central de 2a ordem anloga obtida
no estudo do estado de tenso. A comparao entre as duas equaes
estabelece as seguintes correspondncias:
x x, y y, z z, xy 2xy, yz 2yz, zx 2zx.
Esta expresso d o valor da deformao linear numa direo qualquer,
enquanto a obtida anteriormente dava o valor da tenso normal tambm
numa direo qualquer.
Da, podemos afirmar que todo o estudo feito para o estado de
tenso vlido para o estado de deformao, se respeitarmos as
correspondncias acima.
Desta forma, existem trs direes ortogonais entre si, segundo as
quais as deformaes angulares so nulas. So as direes principais,
designadas por 1, 2 e 3. Os planos normais a estas direes so os
chamados planos principais e as deformaes lineares segundo estas
direes, 1 2 3, so as deformaes principais.
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
17
-
Tais deformaes podem ser obtidas, a exemplo do estado de tenso,
pelas solues da equao
3 - I1.2 + I2. - I3 = 0
onde, I 1= x yz
I 2=x . y y . z z . x xy
2
4 yz
2
4 zx
2
4
I3= xxy2
xz2
xy2
y yz2
xz2
yz2
z so os Invariantes de Deformao ou Invariantes do Estado de
Deformao.
Casos Particulares:a) Se I3 = 0, uma das solues nula Estado
Plano ou Biaxial de
Deformaob) Se I2 = I3 = 0, duas solues so nulas Estado Simples
ou Uniaxial de
Deformao
Os planos principais so obtidos de maneira anloga do estado de
tenso.
Os Crculos de Mohr tambm podem ser construdos analogamente aos
do estado de tenso, lembrando que, no eixo horizontal marcamos as
deformaes lineares e no vertical, a metade das deformaes angulares
.
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
18
/2
mx/2 = (1 3) /2
90
32
1
-
Figura 17
Supondo, por exemplo, a direo z principal, as deformaes
principais, normais aos planos paralelos essa direo z, so
I , II=x y
2 x y2 2xy2 2
Os planos principais so o plano perpendicular ao eixo z e os
planos paralelos a z dados por:
tg 2P=xy
x y
Lei de Hooke Generalizada
Estado Geral ou Triaxial de Tenso Num Ponto
Figura 18
Sendo ij a deformao linear na direo i provocada pela tenso
normal j, temos:
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
19
y
x
z
dy
dxdz y
xz
xy
yxyz
zy
zx xz
-
a) deformaes devidas a x:
xx= xE
, yx= zx= xx= x
E
b) deformaes devidas a y:
yy= yE
, xy= zy= yy= y
E
c) deformaes devidas a z:
zz= zE
, xz= yz= zz= z
E
d) deformaes devidas a xy, yz e zx:
xy= xyG
, xz=xzG
e yz= yzG
Superpondo os efeitos, temos:
x= xE
E y z
y= yE
E z x
z= zE
E x x
xy= xyG
, yz= yzG
e zx= zxG onde G=
E21
As expresses acima representam a Lei de Hooke Generalizada, isto
, para o Estado Geral de Tenso.
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
20
-
Observa-se que se os eixos principais do estado de tenses so
exatamente os mesmos eixos principais para o estado de
deformaes.
Se no plano xy tem-se um estado plano de tenses, as deformaes
neste memo plano se comportaro como em um estado plano de deformaes
porm a
deformao principal z=E x x ser, em geral, diferente de zero.
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
21
-
Nos planos principais, as deformaes so:
1=1E
E 2 3
2= 2E
E31
3=3E
E 1 2
12=23=31=0
A deformao volumtrica no ponto dada por:
v=VV=
V fV iV i
onde V i=dxdydzV f=dxdydz1x 1 y1 z
v=1x 1 y1z 1=1 x yzx y xz y z x y z1
Devido hiptese das pequenas deformaes, os produtos de deformaes
so valores desprezveis na presena das deformaes. Assim, a deformao
volumtrica pode ser escrita, de forma aproximada, como
v= x y z= I 1=123
ou, devido Lei de Hooke,
v= x y z12
E
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
22
dy
dx dz
dy+y.dy
dx+x.dx
dz+z.dz
-
Observao:Para o Estado Triaxial Uniforme, x = y = z = ,
temos:
x= y= z=12
Ee
v=312
E=
K
onde K=E
312 o Mdulo de Deformao Volumtrica
do Material
Se 0, ento v 0 e se 0, ento v 0. Isto implica em dizer que 1 - 2
0 0,5. Este valor um limite para o coeficiente de Poisson, isto ,
no h material com este coeficiente maior do que 0,5.
Medidas de deformaes planas - rosetas
As deformaes lineares em um ponto podem ser medidas com o uso de
extensmetros. O extensmetros eltricos propiciam medidas precisas
das deformaes atravs do registro das variaes da corrente eltrica
(quando o extensmetro se deforma, a resistncia eltrica e, por
conseguinte, a corrente eltrica so alteradas).
A determinao do estado de tenso em um ponto (estado plano de
tenses) pode ser feita a partir de medidas de deformaes com a
utilizao de rosetas de deformao. Uma roseta de deformao composta de
um conjunto de extensmetros eltricos dispostos em um dado plano e
segundo direes conhecidas.
Colando-se uma roseta com 3 extensmetros sobre a superfcie de um
elemento estrutural faz-se a leitura das deformaes lineares segundo
estas 3 direes e calcula-se as componentes do estado de
deformaes.
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
23
-
Clculo da deformao linear em uma dada direo a:
=[ x xy2
xz2
xy2
yyz2
xz2
yz2
z]{nxn ynz }
como se trata de um problema de estado plano de tenses,
xy= xz=0 e, portanto, xy=xz=0
assim,
=[ x xy2 0 xy2 y 00 0 z
]{cosasena0 }={xcosa xy2 senaxy2 cosa y sena0
}
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
24
xa
bc
-
a=xcosa xysena ; xy2cosa ysena ; 0{cosasena0 }
a= xcos2a
xy2 senacosa
xy2 cosasena y sen
2a
a= xcos2a y sen
2a xy2sen 2a
analogamente para os ngulos b e c, vem
b= xcos2b y sen
2b xy2sen 2b
c=xcos2c y sen
2c xy2sen 2c
Tem-se, assim, um sistema com 3 equaes e 3 incgnitas, cuja soluo
oferece como resultado os valores das componentes de deformao no
plano (x, y e xy).
Roseta 45 (so medidas as deformaes 0, 45 e 90)
fazendo o eixo x na direo 0 e o eixo y na direo 90,
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
25
90
45
0
-
x=0 y=90
45= xcos245 ysen 45
xy2sen 245
45= x12 y
12 xy2
xy=245x y
Roseta 60 (so medidas as deformaes 0, 60 e 120)
fazendo o eixo x na direo 0
x=0
60= xcos260 ysen 60
xy2sen260 = x
14 y
34xy232
120=xcos2120 ysen 120
xy2sen2120= x
14 y
34xy23
2
resolvendo o sistema de equaes, vem:
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
26
0
60
120
-
xy=2360120
y=2360 120
02
Conhecidas as componentes de deformao no plano xy e sabendo que
se trata de um estado plano de tenses (z = 0, xz = yz = 0), pode-se
determinar as componentes do estado tensional e a componente de
deformao perpendicular ao plano xy (z) utilizando a lei de Hooke
generalizada.
x= xE
E y
y= yE
E x
z=E x x
xy= xyG
multiplicando a expresso de x por e somendo-a com a expresso de
y,
x y= yE1 2 ,
y=E
12 y x e x=
E1 2
x y
xy=G . xy
substituindo os valores de x e de y na expresso de z, vem
z=EE1
x y 1
z=
12x y
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
27
-
Energia Potencial de Deformao
No Estado Simples de Tenso, temos:
- Fora elementar resultante na direo x: dF x= xdA= xdydz
- Deslocamento correspondente:d x= xdx
- Energia potencial acumulada no volume elementar:
dU x=12dF xd x=
12 x xdx.dydz=
xx2dV
No Estado Geral de Tenso (usando o PSE), temos:
dU= 12 xx y y z z xyxy yz yzzx zxdV
ou, usando a Lei de Hooke Generalizada,dUdV
= 12 E[ x
2 y2 z
22 x y y z z x]1
2Gxy
2 yz2 zx
2 .
Em termos das tenses principais,dUdV
= 12 E[1
2 22 3
22 1 2 2 331] .
Suponhamos cada estado de tenso como a superposio de dois outros
estados tais que:
e que a variao do volume do estado (1) seja a mesma do estado
resultante, isto , a variao do volume do estado (2) seja nula.
Assim, a deformao volumtrica do estado (2)
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
28
x x
dxdzdy
dUx
ddx
dFx
dF
13
2
=
+ 1'
3'
2'
(1) (2)
-
v = 1 + 2 + 3 = 0 (1 + 2 + 3).(1 - 2) = 0
Como esta relao vlida para qualquer material (qualquer valor de
),1 + 2 + 3 = 0
De acordo com a suposio acima,1 = + 12 = + 23 = + 3
Somando as expresses acima membro a membro, temos:
1 + 2 + 3 = 3 + 1 + 2 + 3 = 3
Da, conclumos que as componentes dos estados (1) e (2) so:
=123
3,
1 '=1 ,2 '=2 e3 '= 3 .
Como o estado (1) no realiza trabalho nos deslocamentos
originados pelas foras do estado (2) e vice-versa, podemos
afirmar:
dUdV
=dU vdV
dU ddV
onde Uv a energia de variao da volume eUd a energia de variao da
forma (energia de distoro)
Substituindo as componentes de tenso do estado (1) na expresso
da energia de deformao, temos:
dU vdV
=32122 E
dU vdV
=1 2 3212
6 Eou
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
29
-
dU vdV
= x y z212
6 Eou
dU vdV
= I 1212
6 E
onde I1 o primeiro invariante de tenso.
dU ddV
= dUdV
dU vdV
,
dU ddV =[1 2
2 232 31
2]16 Eou
dU ddV
=[ x y2 y z
2 z x 2]1
6 E xy
2 yz2 zx
2 2G
Observao:
Para o estado simples de tenso, 1 = , 2 = 3 = 0 (trao) ou 1 = 2
= 0, 3 = (compresso), temos
dU vdV
= 2126 E
edU ddV
= 213 E
dUdV
=dU vdV
dU ddV
= 2
2 E=
2.
Para o estado de cisalhamento puro, 1 = - 3 = , 2 = 0,
temos:
dU vdV
=0 e dU ddV
= 21E
.
Para o estado triaxial uniforme, 1 = 2 = 3 = , temos:
dU vdV
=32122 E
e dU ddV
=0 .
ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO
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