Geotecnia I ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Ana Elza Dalla Roza [email protected] Tensões no solo
Geotecnia I
ESTADO DE MATO GROSSOSECRETARIA DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Ana Elza Dalla [email protected]
Tensões no solo
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DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES VERTICAIS
Alguns métodos foram desenvolvidos para a determinação das tensões verticais, tais como:Método do espraiamento das tensões
• Simplificadamente, o método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas com a profundidade, com um ângulo de espraiamento de 30º.
Aula 13 – TENSÕES NO SOLOProfª Ana Elza Dalla Roza
|Métodos de Cálculo|
º30.222.0 tgzL
Lv
2L
30°30°
2Lz.tg30° z.tg30°
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DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES VERTICAIS – TEORIA DA ELASTICIDADE
Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade (relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke - material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo).Um solo é dito isotrópico se os parâmetros definidos em um ponto são os mesmos em qualquer direçãoA isotropia reduz as constantes elásticas do solo em apenas duas: módulo de elasticidade (E) e coeficiente de Poisson (n)Se as constantes elásticas são as mesmas em todos os pontos de uma massa de solo então ele pode ser considerado homogêneo
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|Métodos de Cálculo|
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DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES VERTICAIS – TEORIA DA ELASTICIDADE
Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade (relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke - material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo).
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|Métodos de Cálculo|
e
D
De
eDD
E
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DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES VERTICAIS – TEORIA DA ELASTICIDADE
Entretanto, a aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos solos é questionável, pois os mesmos podem não satisfazer as hipóteses:
• Comportamento linear e elásticoPara que seja válida, os acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas
deformações), tal que o estado de tensões seja muito distante da ruptura• Homogeneidade
Foge da realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo pela sua natureza e também apresenta relações tensão-deformação variáveis com a tensão de confinamento, logo variável com a profundidade
• Isotropia
O solo é, em muitos casos, anisotrópico pela natureza e arranjo de suas partículas. Entretanto, a condição de isotropia é válida para terrenos onde o solo mantém constituição uniforme por distâncias da ordem de algumas vezes a menor dimensão da área carregada
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DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES VERTICAIS – TEORIA DA ELASTICIDADE
Como ainda não há melhor alternativa para a análise do comportamento das obras e também porque tem tido uma avaliação satisfatória das tensões atuantes no solo, a Teoria da Elasticidade é aplicada como base de várias soluções desenvolvidas.
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DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES VERTICAIS – TEORIA DA ELASTICIDADE
Boussinesq - carga concentrada;Flamant - carga ao longo de uma linha de extensão infinita;Carothers-Terzaghi - carga uniformemente distribuída ao longo de uma faixa de extensão infinita;Osterberg - carga distribuída na forma de trapézio retangular em uma faixa de extensão infinita;Carothers - carga distribuída na forma de triângulo em uma faixa de extensão infinita;Love - carga uniforme sobre superfície circular;Soluções para carga uniforme sobre superfície retangular:
• Newmark• Steinbrenner
Solução para carga uniforme sobre superfície qualquer - Método das superposição de áreas (Ábaco circular de Newmark).
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|Métodos de Cálculo|
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SOLUÇÃO DE BOUSSENESQ – CARGA CONCENTRADA
Nesta solução foram determinadas as tensões, deformações e deslocamentos no interior de uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semi-espaço infinito de superfície horizontal, devido a uma carga pontual aplicada na superfície deste semi-espaço.A equação de Boussinesq para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q na superfície é:
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|Métodos de Cálculo|
2522
3
vzr2
zQ3σ
Sendo r e z definidos como:
r
z
Q
v
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SOLUÇÃO DE BOUSSENESQ – CARGA CONCENTRADA
Na vertical abaixo do ponto de aplicação da carga (r = 0), as tensões são iguais a:
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|Métodos de Cálculo|
r
z
Q
v2v z.Q48,0
σ
2522
3
vzr2
zQ3σ
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SOLUÇÃO DE BOUSSENESQ – CARGA CONCENTRADA
As tensões variam inversamente com o quadrado da profundidade, sendo infinita no ponto de aplicação.
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|Métodos de Cálculo|
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
20 40 60 80 100 120
Tensão vertical
Q
Prof
undi
dade
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SOLUÇÃO DE FLAMANT – CARGA DISTRIBUÍDA
Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao infinito.Exemplos:
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|Métodos de Cálculo|
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SOLUÇÃO DE FLAMANT – CARGA DISTRIBUÍDA
Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao infinito.
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|Métodos de Cálculo|
222
3
vzr
zQ2σ
Sendo r e z definidos como:
r
z
Q
v
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SOLUÇÃO PARA CARGA DISTRIBUÍDA EM PLACA
Solução de Carothers-Terzaghi, para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga uniformemente distribuída, sobre uma placa corrida, onde uma das dimensões é predominante às demais, podendo ser considerada infinita.
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|Métodos de Cálculo|
2cos.senQv
2b
z
Q
v
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SOLUÇÃO PARA CARREGAMENTO TRIANGULAR
Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de um carregamento triangular linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao infinito
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|Métodos de Cálculo|
2sen
br
2Q
v
z
Q
v
2b
r
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SOLUÇÃO DE NEWMARK – SUPERFÍCIE RETANGULAR
A partir da integração da equação de Boussinesq, Newmark (1933) desenvolveu uma solução para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaço infinito de superfície horizontal por carregamento uniformemente distribuído numa área retangular, numa vertical passando por um dos vértices da área.Newmark verificou que a solução era a mesma para situações em que as relações entre os lados da área retangular e a profundidade fossem as mesmas e definiu as seguintes relações:
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|Métodos de Cálculo|
za
m
zb
n
b
a
z
x
z
v
a.bQ
σ0
y zb
m
za
n
ou
ou
b
a
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SOLUÇÃO DE NEWMARK – SUPERFÍCIE RETANGULAR
Em função destes parâmetros, a solução de Newmark é expressa pela equação:
Trata-se uma solução muito trabalhosa, mas se considerarmos que a tensão num ponto qualquer é função só dos parâmetros m e n, a expressão pode ser reescrita como:
sendo I um coeficiente de influência que pode ser obtido a partir de um ábaco, em função de m e n.Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar as tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela.
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|Métodos de Cálculo|
2222
5,022
222222
225,022
0
112
11
212.
.4 nmnmnmmnartg
nmnmnm
nmnmmnv
v 0I .
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SOLUÇÃO DE NEWMARK – SUPERFÍCIE RETANGULAR
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|Métodos de Cálculo|
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,01 0,10 1,00 10,00n
I
1,4
1,01,2
0,9
2,0m ≥ 101,6
0,8
m = 0,1
0,2
0,3
0,6
0,4
0,5
0,7
m = 0 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
Ábaco para a solução de Newmark para
cargas uniformemente distribuídas em área
retangular
za
m
zb
n
zb
m
za
n
ou
ou
b
a
z
x
z
v
a.bQ
σ0
y
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SOLUÇÃO DE LOVE – CARGA CIRCULAR
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|Métodos de Cálculo|
z v
Q
2/322
3
vzr
z1Q2r
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ÁBACO CIRCULAR DE NEWMARK
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|Métodos de Cálculo|
Esta solução tem por base a equação de Love e o Princípio da Superposição dos Efeitos. Quando é aplicada uma carga uniformemente distribuída sobre uma superfície, a tensão gerada a uma dada profundidade é igual ao somatório dos efeitos dos carregamentos em áreas parciais.Para a construção do ábaco são traçados 10 círculos concêntricos cujo acréscimo de carga a um ponto do centro dos círculos situado a uma profundidade z corresponde a 10%, 20%, 30%,...da carga total aplicada. Logo, cada um dos anéis apresenta Iσ = 0,1. Da equação de Love:
23
20
z
zr1
11I
20
ÁBACO CIRCULAR DE NEWMARK
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|Métodos de Cálculo|
rdr
dq
q
adA
drrddA q
2
522
03
zzr2
dAσz3dσ
z
a
rQ
dAσQ 0P
R
2522
3
zzr2
Qz3σ
22 rzR
2522
30
zzr2
drdrzσ3dσ
q
q
2
0
r
0 2522
30
zzr2
drrdzσ3σ
23
20z
zr1
11σσ
a0
21
ÁBACO CIRCULAR DE NEWMARK
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|Métodos de Cálculo|
1
1
13
2
I
zr
Como Iσ = f(r/z), isolando r/z teremos:
22
ÁBACO CIRCULAR DE NEWMARK
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|Métodos de Cálculo|
O traçado dos círculos segue dessa maneira:
270zr10I ,,
400zr20I ,,
520zr30I ,,
640zr40I ,,
770zr50I ,,
920zr60I ,,
111zr70I ,,
391zr80I ,,
911zr90I ,,
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ÁBACO CIRCULAR DE NEWMARK
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|Métodos de Cálculo|
1º círculo: 20 quadros
2º círculo: 20 quadros
3º círculo: 20 quadros
4º círculo: 20 quadros
5º círculo: 20 quadros
5 círculos * 20 = 100 quadros
+
As áreas que se compensam
+10 quadros
+
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ÁBACO CIRCULAR DE NEWMARK
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|Métodos de Cálculo|
20
1º círculo: 20 quadros
2º círculo: 20 quadros
3º círculo: 20 quadros
4º círculo: 20 quadros
5º círculo: 20 quadros
5 círculos * 20 = 100 quadros
+
As áreas que se compensam
+10 quadros
+=
Ao se contarem os quadros, faz-se uma compensação para as frações dos quadros abrangidos pela edificação.
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ÁBACO CIRCULAR DE NEWMARK
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|Métodos de Cálculo|
Quadros completos
1º círculo: 20 quadros
2º círculo: 20 quadros
3º círculo: 20 quadros
4º círculo: 20 quadros
5º círculo: 20 quadros
+
10 + 100 = 110 pontos
20
5 círculos * 20 = 100 quadros
As áreas que se compensam
+10 quadros
+=
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ÁBACO CIRCULAR DE NEWMARK
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|Métodos de Cálculo|
O ábaco é dividido em 20 setores de igual área, originando trapézios circulares (“quadros”) cuja unidade de influência Iσ = 0,005. Contam-se quantos quadros foram ocupados pela planta. Cada quadro carregado provoca no ponto 0,5% da tensão aplicada. O nº de quadros vezes o valor da influência (0,005) vezes a tensão aplicada indica a tensão provocada por todo o carregamento da superfície.
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SOLUÇÃO DE WETERGAARD
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|Métodos de Cálculo|
Para o caso de solos estratificados, material fino entremeado por lentes de areia, caso de solos sedimentares, a solução de Boussinesq não se aplica.Nesses solos, as camadas com diferentes materiais dão ao solo uma certa resistência as deformações horizontaisNesse caso, utiliza-se a solução de Westergaard que considera deformações laterais nulas.
23
2
zr21
12z
z
Qσ
Mecânica dos Solos I
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