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Captulo 5Intervalos de confianza
Introduccin
En el captulo 4 se analizaron estimaciones de diferentes
parmetros; por ejemplo, p repre-senta la estimacin de una
probabilidad de xito p, y X lo es de una media poblacional m.Ambas
son llamadas estimaciones puntuales, porque son slo nmeros, o
puntos. Un hechoimportante de las estimaciones puntuales es que
casi nunca son exactamente iguales a los va-lores reales que estn
estimando.
Difieren casi siempre, a veces por poco y otras por mucho. Con
la finalidad de que unaestimacin sea til, se necesita describir qu
tan alejada est del valor verdadero. Una mane-ra de lograr esto
ltimo es reportar una estimacin de la desviacin estndar, o de la
incerti-dumbre. En este captulo se mostrar que cuando la estimacin
tiene una distribucin normal,se puede obtener ms informacin acerca
de su precisin cuando se calcula un intervalo deconfianza. El
siguiente ejemplo presenta la idea bsica.
Suponga que se hace gran nmero de mediciones independientes,
todas mediante el mis-mo procedimiento, del dimetro de un pistn. La
media muestral de las mediciones es 14.0 cm,y la incertidumbre en
esta cantidad, que representa la desviacin estndar de la media
mues-tral, es 0.1 cm. Suponga que las mediciones no estn sesgadas.
El valor 14.0 proviene de unadistribucin normal, ya que es el
promedio de un importante nmero de mediciones. Ahora eldimetro
verdadero del pistn no ser exactamente igual a la media muestral de
14.0 cm. Sinembargo, dado que sta proviene de una distribucin
normal, se puede utilizar dicha desvia-cin estndar para determinar
qu tan cerca est probablemente del dimetro verdadero. Porejemplo,
es muy improbable que la media muestral sea diferente del dimetro
verdadero enms de tres desviaciones estndares. Por tanto, se tiene
una enorme confianza de que el dime-tro verdadero est en el
intervalo (13.7, 14.3). Por otro lado, es muy probable que la
mediamuestral difiera del valor verdadero en ms de una desviacin
estndar. Por tanto, se tiene queexiste poca certeza de que el
dimetro verdadero se encuentre en dicha cercana (13.9, 14.1).
Los intervalos (13.7, 14.3) y (13.9, 14.1) son intervalos de
confianza para el dimetroverdadero del pistn. En este captulo se
ver cmo calcular una medida cuantitativa del ni-
300
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:34 PM Page 300
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vel de la confianza que se puede tener en estos intervalos, as
como en otros que se puedaconstruir. Especficamente, los resultados
de la seccin 5.1 mostrarn que se puede tener unaconfianza de 99.7%
de que el dimetro verdadero del pistn se encuentre en el
intervalo(13.7, 14.3), pero slo certeza de 68% de que ese valor
verdadero lo est en (13.9, 14.1).
5.1 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras grandes
Se comienza con un ejemplo. Un ingeniero que supervisa el
control de calidad quiere calcu-lar la media del peso de cajas que
se han llenado con cereal por una mquina especfica du-rante cierto
da. Toma una muestra aleatoria de 100 cajas que se han llenado con
esa mquinaen ese da. Calcula que la media muestral del peso de
llenado es de X 12.05 oz y la desvia-cin estndar s 0.1 oz.
Debido a que la media poblacional no ser exactamente igual a la
media muestral de12.05, es mejor construir un intervalo de
confianza alrededor de 12.05 que quiz contenga aaqulla. Despus se
puede cuantificar el nivel de confianza de que la media poblacional
estrealmente contenida por el intervalo. Con el propsito de ver cmo
construir un intervalo deconfianza en este ejemplo, sea m la media
poblacional desconocida y s2 la varianza respecti-va. Sean X1, . .
. , X100 los 100 pesos del llenado de las cajas muestreadas. El
valor observadode la media muestral es X 12.05. Ya que X es la
media de una muestra grande, el teoremadel lmite central especifica
que proviene de una distribucin normal cuya media es m y
cuyadesviacin estndar es
La figura 5.1 presenta una curva normal, que representa la
distribucin de X. Aqu seindica que 95% intermedio de la curva se
extiende una distancia 1.96 sX a cada lado de lamedia poblacional.
El valor observado X 12.05 constituye una sola muestra de esta
distri-bucin. No se tiene manera alguna de saber de qu parte de la
curva fue extrado este valorespecial de X. La figura 5.1 presenta
una posibi1idad: que la media muestral est dentro del
X = /
100.
5.1 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras grandes 301
m Xm 1.96sX
X 1.96sX
m 1.96sX
95%
X 1.96sX
FIGURA 5.1 La media muestral X se extrae de una distribucin
normal con media m ydesviacin estndar Para esta muestra en
particular, X proviene de 95% in-termedio de la distribucin, por lo
que el intervalo de confianza 95% contie-ne con seguridad la media
poblacional m.
X1.96XX = /
n.
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95% intermedio de la distribucin. Noventa y cinco por ciento de
todas las muestras que sepoda haber tomado estn dentro de esta
categora. La recta horizontal debajo de la curva enla figura 5.1
significa un intervalo alrededor de X que tiene exactamente la
misma longitud de laparte central de 95% de la distribucin; es
decir, el intervalo X 1.96 sX. Este intervalo deconfianza es de 95%
para la media poblacional m. Es obvio que aqul contiene la media
po-blacional m.
Por otra parte, la figura 5.2 representa una muestra cuya media
X est fuera de 95% in-termedio de la curva. Slo 5% de todas las
muestras se encuentra en dicha categora. Para es-tas muestras ms
inusuales el intervalo de confianza de 95% X 1.96 sX no contiene
lamedia poblacional m.
FIGURA 5.2 La media muestral X viene de una distribucin normal
con media m y des-viacin estndar Para esta muestra en particular, X
proviene de 5% exteriorde la distribucin, por lo que el intervalo
de confianza de 95% X 1.96 sX no contiene lamedia poblacional
m.
Ahora se calcular un intervalo de confianza de 95% X 1.96 sX
para la media del pe-so de llenado. El valor de X es 12.05. La
desviacin estndar poblacional s y, por tanto, sX son desconocidos.
Sin embargo, en este ejemplo, debido a que el tamao muestrales
grande, se podra aproximar s con la desviacin estndar muestral s
0.1. Por tanto, secalcula al intervalo de confianza de 95% para la
media del peso de llenado m como 12.05 (1.96)(0.01), o (12.0304,
12.0696). Se puede decir que hay 95% de confianza, o un nivel
deconfianza de 95%; que la media del peso de llenado est entre
12.0304 y 12.0696.
Este intervalo de confianza de 95% realmente contiene la media
poblacional m? Estoltimo depende de si esta muestra en particular
ocurri en otra cuya media proviene de 95%intermedio de la
distribucin, o si era una muestra cuya media era inusualmente
grande o pe-quea, en el 5% exterior de la distribucin. No hay
ninguna manera de saber con seguridaden qu categora est contenida
esa muestra particular. Pero imagine que el ingeniero repitieste
procedimiento todos los das, extrayendo una muestra grande y
calculando el intervalode confianza de 95% X 1.96 sX. A la larga,
95% de las muestras que extrae tendrn mediasen el 95% intermedio de
la distribucin, por lo que en tal porcentaje de los intervalos de
con-fianza que el ingeniero calcula estar contenida la media
poblacional. En otras palabras, unintervalo de confianza de 95% se
calcula mediante un procedimiento que con seguridad con-tiene a la
media poblacional 95% de las veces.
g/
100
n X = /
n.
302 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
mX m 1.96sX
X 1.96sX
m 1.96sX
95%
X 1.96sX
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Es posible utilizar este mismo razonamiento para calcular
intervalos de confianza condiferentes niveles. Por ejemplo, se
puede construir un intervalo de confianza de 68%, comose muestra a
continuacin. Se sabe que 68% intermedio de la curva normal
corresponde al in-tervalo que se extiende una distancia 1.0 sX a
cualquier lado de la media poblacional m. Porconsecuencia, un
intervalo del mismo largo alrededor de X, especficamente X sX,
conten-dr la media poblacional en 68% de las muestras que se
pudiera extraer. Por tanto, un inter-valo de confianza de 68% para
la media del peso de llenado de las cajas es 12.05 (1.0)(0.01), o
(12.04, 12.06).
Observe que el intervalo de confianza de 95% es ms ancho que el
de 68%. Esto es in-tuitivamente creble. Con el fin de aumentar la
confianza que se tiene de contener a la verda-dera media
poblacional, se debe hacer ms ancho al intervalo, que proporcionar
un margenms ancho de error. Tomando dos casos extremos, se tiene
una confianza de 100% de que laverdadera media poblacional est en
un intervalo infinitamente ancho (-, ), y una confian-za de 0% de
que la verdadera media poblacional est en el intervalo de ancho
cero [12.05,12.05] que contenga a la media muestral y no a otro
punto.
A continuacin se mostrar cmo encontrar un intervalo de confianza
con cualquier ni-vel de confianza deseado. Sea un nmero entre 0 y
1, y 100(1 )% el nivel de confian-za requerido. La figura 5.3
muestra la curva normal que representa la distribucin de X.
Sedefine a z/2 como el puntaje z que corta un rea de /2 en la cola
del lado derecho. Por ejem-plo, la tabla z (tabla A.2) indica que
z
.025 1.96, ya que 2.5% del rea bajo la curva normalestandarizada
est a la derecha de 1.96. De manera similar, la cantidad z/2 corta
un rea de/2 en la cola del lado izquierdo. El rea 1 intermedia bajo
la curva corresponde al in-tervalo m z/2sX. Como consecuencia del
razonamiento que se muestra en las figuras 5.1 y5.2, el intervalo X
z/2sX contendr a la media poblacional m para una proporcin 1 de
todas las muestras que se pudieran extraer. Por tanto, un intervalo
de confianza de nivel100(1 )% para m es X z/2sX, o X z/2s/n.
FIGURA 5.3 La media muestral X se extrae de una distribucin
normal con media m ydesviacin estndar La cantidad z/2 constituye el
puntaje z que corta un reade /2 en la cola del lado derecho.
Asimismo, z/2 representa el que corta un rea de /2la cola del lado
izquierdo. El intervalo X z/2sX contendr la media poblacional m
parauna proporcin 1 de todas las muestras que se pudiera extraer.
Por tanto, X z/2sXsignifica un intervalo de confianza de nivel
100(1 )% para m.
Ntese que aun para muestras grandes, la distribucin de X es slo
aproximadamentenormal, y no exactamente normal. Por tanto, los
niveles establecidos para los intervalos deconfianza son
aproximados. Cuando el tamao muestral es lo suficientemente grande
paraque se utilice el teorema del lmite central, la distincin entre
los niveles aproximados y exac-tos se ignora en la prctica.
X = /
n.
5.1 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras grandes 303
m za/2sX m za/2sXm
1 aa/2 a/2
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:34 PM Page 303
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En particular,
es intervalo de confianza de 68% para m.
es intervalo de confianza de 90% para m.
es intervalo de confianza de 95% para m.
es intervalo de confianza de 99% para m.
es intervalo de confianza de 99.7% para m.
La media y desviacin estndar muestrales para todos los pesos de
llenado de las 100 cajasson X 12.05 y s 0.1. Encuentre un intervalo
de confianza de 85% para la media de lospesos de llenado de las
cajas.SolucinCon el propsito de determinar un intervalo de
confianza de 85%, haga 1 0.85 paraobtener 0.15 y /2 0.075. Cuando
se busca en la tabla a z
.075, el puntaje z que corta7.5% del rea en la cola del lado
derecho. Se encuentra z
.075 1.44. Se aproxima sX s/n
0.01. Por lo que el intervalo de confianza de 85% es 12.05
(1.44)(0.01). Esto ltimo sepuede escribir como 12.05 0.0144, o como
(12.0356, 12.0644).
El artculo Study on the Life Distribution of Microdrills (Z.
Yang, Y. Chen y Y. Yang, enJournal of Engineering Manufacture,
2002:301-305) notifica que en una muestra de 50 mi-croperforadoras,
stas perforan una aleacin de acero con bajo contenido de carbono,
el tiem-po de vida promedio (expresado como el nmero de huecos
perforados antes de que falle) erade 12.68 con desviacin estndar de
6.83. Determine un intervalo de confianza de 95% parala media del
tiempo de vida de las microperforadoras bajo estas condiciones.
X 3 sn
X 2.58 sn
X 1.96 sn
X 1.645 sn
X sn
304 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
Resumen
Sea Xl, . . . , Xn una muestra aleatoria grande (n > 30) de
una poblacin con media m ydesviacin estndar s, por lo que X es
aproximadamente normal. Entonces un interva-lo de confianza 100(1
)% para m es
X z/2sX (5.1) donde sX s/n
. Cuando el valor de s es desconocido, se puede sustituir por la
des-viacin estndar muestral s.
5.1Ejemplo
5.2Ejemplo
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:34 PM Page 304
-
SolucinPrimero se traslada el problema al lenguaje estadstico.
Se tiene una muestra aleatoria simpleXl, . . . , X50 de los tiempos
de vida. La media y desviacin estndar muestrales son X
12.68y s 6.83. La media poblacional es desconocida y se denota
por m.
El intervalo de confianza tiene la forma X z/2sX, como se
especifica en la expresin(5.1). Dado que se quiere un intervalo de
confianza de 95%, el nivel respectivo 1 es iguala 0.95. Por lo que
0.05 y z/2 z.025 1.96. Se aproxima s con s 6.83 y se obtienesX
6.83/50
0.9659. Por lo que el intervalo de confianza de 95% es 12.68
(1.96)(0.9659). Lo anterior se puede escribir como 12.68 1.89, o
como (10.79, 14.57).
El siguiente resultado de computadora (de MINITAB) presenta el
intervalo de confian-za de 95% calculado en el ejemplo 5.2.
La mayor parte del resultado se explica solo. La cantidad
etiquetada con SE Mean repre-senta la desviacin estndar de la media
muestral sX, aproximada por s/n
. (SE Mean es-tablece el error estndar de la media, que es otro
trmino para la desviacin estndar de lamedia muestral.)
En el ejemplo 5.2 determine un intervalo de confianza de 80 por
ciento.SolucinPara determinar un intervalo de confianza de 80%,
haga 1 0.80 para obtener 0.20.Despus busque en la tabla para z
.10, el puntaje z que corta 10% del rea en la cola del
ladoderecho. El valor es z
.10 1.28. Por lo que el intervalo de confianza de 80% es 12.68
(1.28)(0.9659). ste se puede escribir como 12.68 1.24, o bien
(11.44, 13.92).
Se ha visto cmo calcular un intervalo de confianza con un nivel
de confianza especfi-co. Es posible calcular el nivel de un
intervalo de confianza dado. El ejemplo 5.4 ilustra elmtodo
apropiado.
Con base en los datos del tiempo de vida de las
microperforadoras que se present en el ejem-plo 5.2, un ingeniero
notifica un intervalo de confianza de (11.09, 14.27), pero olvid
especi-ficar el nivel. Cul es el nivel de confianza de este
intervalo de confianza?
SolucinEl intervalo de confianza tiene la forma X z/2s/n
. Se despeja a z/2 y despus se consultala tabla z para
determinar el valor de . Ahora X 12.68, s 6.83 y n 50. El lmite
supe-
5.1 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras grandes 305
5.3Ejemplo
5.4Ejemplo
One-Sample Z
The assumed standard deviation = 6.830000
N Mean SE Mean 95% CI50 12.680000 0.965908 (10.786821,
14.573179)
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rior de confianza de 14.27 satisface la ecuacin 14.27 12.68
z/2(6.83/50). Por tanto,z/2 1.646. De la tabla z se determina que
/2, el rea a la derecha de 1.646, es aproxima-damente 0.05. El
nivel es 100(1 )%, o 90 por ciento.
Ms acerca de niveles de confianzaEl nivel de confianza de un
intervalo mide la confiabilidad del mtodo utilizado para calcularel
intervalo. Un intervalo de confianza de un nivel 100(1 )% se
calcula mediante un m-todo que a la larga dar como resultado que la
media poblacional se site en una proporcin1 todas las veces que se
utilice. En la prctica, cuando se calcula un intervalo de
confian-za, se debe decidir qu nivel de confianza se utilizar. Esta
decisin implica un intercambio,porque los intervalos con niveles de
confianza ms grandes son menos precisos. Por ejemplo,un intervalo
de confianza de 68% especifica la media poblacional dentro de
1.0sX, mien-tras que un intervalo de confianza de 95% especifica a
ste solamente dentro de 1.96sX;por tanto, tiene slo casi la mitad
de la precisin del intervalo de confianza de 68%. La figu-ra 5.4
ilustra el intercambio entre confianza y precisin. Se extrajeron
cien muestras de unapoblacin con media m. La figura 5.4b presenta
cien intervalos de confianza de 95%, cada unobasado en una de estas
muestras. Los intervalos de confianza son todos diferentes, porque
ca-da muestra tiene una media X diferente. (Tambin tienen valores
diferentes de s con los quese aproxima a s, pero esto ltimo tiene
un efecto mucho muy pequeo.) Cerca de 95% de es-tos intervalos
contiene la media poblacional m. La figura 5.4a presenta intervalos
de confian-za de 68% basados en las mismas muestras. Estos
intervalos son ms precisos (ms angostos),pero muchos de ellos no
contienen la media poblacional. La figura 5.4c presenta intervalos
deconfianza de 99.7%. Estos intervalos son muy confiables. A la
larga, solamente tres de los 1 000intervalos no contendrn la media
poblacional. Sin embargo, son menos precisos (ms an-chos); por
tanto, no transmiten mucha informacin.
El nivel de confianza ms utilizado en la prctica es de 95%. Para
muchas aplicaciones,este nivel proporciona un buen compromiso entre
precisin y confiabilidad. Los niveles deconfianza inferiores a 90%
rara vez se utilizan. Para algunas aplicaciones de aseguramientode
calidad, donde la confiabilidad de producto es importante, se
utilizan intervalos con nive-les de confianza muy altos, de 99.7
por ciento.
Probabilidad contra confianzaEn el ejemplo del peso de llenado
analizado al inicio de esta seccin, se calcul un intervalode
confianza de 95% para la media poblacional m de (12.304, 12.696).
Es arriesgado decirque la probabilidad es de 95% y que m est entre
12.304 y 12.696. Sin embargo, esto ltimono es correcto. El trmino
probabilidad se refiere a los eventos aleatorios que pueden
resul-tar diferentes cuando se repiten los experimentos. Los nmeros
12.304 y 12.696 son fijos, noaleatorios. La media poblacional es
tambin fija. La media del peso de llenado est ya sea enel intervalo
de 12.304 a 12.696, o no lo est. No hay aleatoriedad implicada. Por
tanto, se di-ce que se tiene confianza de 95% (no una probabilidad)
que la media poblacional est en talintervalo.
Por otra parte, se dice que se est analizando un mtodo utilizado
para calcular un in-tervalo de confianza de 95%. El mtodo dar como
resultado que la media poblacional est95% de las veces, y no el
otro 5%. En este caso, si la media poblacional est contenida o noes
un evento aleatorio, porque puede variar entre experimentos. Por
tanto, es correcto decir
306 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:34 PM Page 306
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que un mtodo para calcular un intervalo de confianza de 95%
tiene esa probabilidad de con-tener a la media poblacional.
Un intervalo de confianza de 90% para la media del dimetro (en
cm) de varillas de acero fa-bricadas en cierta mquina de extrusin
se calcula de (14.73, 14.91). Verdadero o falso: Laprobabilidad de
que la media del dimetro de las varillas fabricadas por este
proceso est en-tre 14.73 y 14.91 es de 90 por ciento.
5.1 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras grandes 307
a) b) c)m m m
5.5Ejemplo
FIGURA 5.4 a) Cien intervalos de confianza de 68% para una media
poblacional, cada uno calculado con una muestra di-ferente. Aunque
precisos, no contienen a la media poblacional 32% de las veces.
Esta alta tasa de fallas hace que el inter-valo de confianza de 68%
sea inaceptable para propsitos prcticos. b) Cien intervalos de
confianza de 95% calculado deestas muestras. ste presenta un buen
compromiso entre precisin y confiabilidad para muchos propsitos. c)
Cien interva-los de confianza de 99.7% calculado de estas muestras.
Estos intervalos no contienen a la media poblacional solamente
tresveces en 1 000. Son sumamente confiables, pero poco
precisos.
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:34 PM Page 307
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SolucinFalso. Un intervalo especfico de confianza est dado. La
media est o no en el intervalo. Hayconfianza de 90% de que la media
poblacional est entre 14.73 y 14.91. El trmino probabi-lidad no es
adecuado.
Una ingeniera planea calcular un intervalo de confianza de 90%
para la media del dimetrode varillas de acero. Medir los dimetros
de una muestra grande de varillas, calcular X y s,y despus el
intervalo X 1.645s/n. Verdadero o falso: La probabilidad de que la
media deldimetro estar en este intervalo es de 90 por ciento.
SolucinVerdadero. Lo que se describe aqu es un mtodo para
calcular un intervalo de confianza, msque un valor numrico
especfico. Es correcto decir que un mtodo para calcular un
interva-lo de confianza de 90% tiene probabilidad de 90% de
contener la media poblacional.
Un equipo de gelogos planea medir los pesos de 250 rocas. Despus
de pesar cada roca mu-chas veces, calcular un intervalo de
confianza de 95% para su peso. Suponga que no hay ses-go en el
procedimiento de pesado. Cul es la probabilidad de que ms de 240 de
losintervalos de confianza contengan los pesos verdaderos de las
rocas?
SolucinAqu se han analizado 250 implementaciones planeadas de un
mtodo de clculo de interva-los de confianza, no 250 intervalos
especficos que ya han sido calculados. Por tanto, es ade-cuado
calcular la probabilidad de que un nmero especfico de estos
intervalos contendr lospesos verdaderos de sus rocas respectivas.
Debido a que el procedimiento de pesado no tienesesgos, el peso
verdadero de una roca es igual a la media poblacional de sus
mediciones. Sepuede pensar en cada uno de los 250 intervalos de
confianza como un ensayo de Bernoulli,con el xito ocurriendo si el
intervalo de confianza contiene la media poblacional. Como
con-secuencia de que un intervalo de confianza de 95% se calcula
con un proceso que contiene lamedia poblacional 95% de las veces,
la probabilidad de xito para cada ensayo es de 0.95. SeaY el nmero
de intervalos de confianza que contiene al peso verdadero. Entonces
Y Bin(250, 0.95) N(237.5, 11.875). La desviacin estndar de Y es Con
el uso de la curva normal, la probabilidad de que Y > 240 es
0.1922. Vase la figura 5.5.Observe que se ha utilizado la correccin
de continuidad (vase la seccin 4.10).
Determinacin del tamao muestral necesario para un intervalo de
confianza de ancho especficoEn el ejemplo 5.2, un intervalo de
confianza de 95% fue dado por 12.68 1.89, o (10.79,14.57). ste
especifica que la media est dentro de 1.89. Ahora suponga que es
demasiadoancho para ser til. Suponga que es deseable obtener un
intervalo de confianza de 95% queespecifique que la media est
dentro de 0.50. Con este propsito se debe aumentar el tama-
g = 11.875 = 3.45.
308 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
5.6Ejemplo
5.7Ejemplo
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 308
-
o muestral. Se ilustra cmo calcular el tamao necesario para
obtener un intervalo de con-fianza de cualquier ancho
especfico.
FIGURA 5.5 Solucin al ejemplo 5.7.
Se sigue de la expresin (5.1) que el ancho de un intervalo de
confianza para una me-dia poblacional basado en una muestra de
tamao n extrada de una poblacin con desviacinestndar s es
z/2s/n
. Si se especifica el nivel de confianza 100(1 )% se puede
bus-car el valor z/2. Si la desviacin estndar s poblacional tambin
se especifica, se calcular elvalor de n necesario para producir un
ancho especfico. En el ejemplo 5.2, el nivel de confianzaes de 95%
y la desviacin estndar se calcula de 6.83. Se busca z/2 z.025 1.96.
El tama-o muestral necesario para obtener un intervalo de confianza
de 95% con ancho 0.50 se en-cuentra al despejar n de la ecuacin
(1.96)(6.83)/n 0.50. Se obtiene n 716.83, que seredondea hacia
arriba a n 717.
En el ejemplo del peso de llenado que se analiz en esta seccin,
la desviacin estndar mues-tral de pesos de las 100 cajas era de s
0.1 oz. Cuntas cajas se probarn para obtener unintervalo de
confianza de 99% de ancho 0.012 oz?
SolucinEl nivel es 99%, por lo que 1 0.99. Por tanto, 0.01 y z/2
2.58. Se calcula elvalor de s con s 0.1. El tamao muestral
necesario se encuentra con (2.58)(0.1)/n 0.012. Se obtiene n
463.
Intervalos de confianza de un ladoLos intervalos de confianza
que se han analizado son de dos lados, ya que especifican tantoun
lmite inferior como otro superior. Ocasionalmente se tiene inters
slo en uno de estos l-mites. En estos casos son adecuados los
intervalos de confianza de un lado. Por ejemplo, su-ponga que un
ingeniero que supervisa la confiabilidad quiere calcular la media
de la fuerzade compresin de cierto tipo de bloque de concreto, con
el propsito de determinar los tipos deaplicaciones para los que ser
adecuado. El ingeniero estar interesado solamente en un lmi-te
inferior para la fuerza, ya que las especificaciones para
diferentes aplicaciones en generalespecificarn slo una fuerza
mnima.
Suponga que una muestra grande tiene una media muestral X y
desviacin estndar sX.La figura 5.6 muestra cmo se puede adaptar la
idea detrs del intervalo de confianza de doslados para obtener un
intervalo de confianza de un lado para la media poblacional m. La
cur-
5.1 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras grandes 309
237.5 240.5z = 0.87
0.1922
5.8Ejemplo
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 309
-
va normal representa la distribucin de X. Para 95% de todas las
muestras que se pueden ex-traer, X m 1.645sX y, por tanto, el
intervalo (X 1.645sX, ) contiene a m. Este lti-mo no contendr a m
slo si la media muestral est en el 5% superior de su distribucin.
Elintervalo (X 1.645sX, ) es un intervalo de confianza de un lado
de 95% desigual para m,y la cantidad X 1.645sX es un lmite inferior
de confianza del 95% para m.
FIGURA 5.6 La media muestral X es extrada de una distribucin
normal con media m ydesviacin estndar sX s/n. Para esta muestra en
particular, X
proviene de 95% msbajo de la distribucin, por lo que el
intervalo de confianza de un lado de 95% (X 1.645sX, ) seguramente
contiene a la media poblacional m.
Al construir una figura, como la 5.6, con 5% de la cola inferior
sombreada, se puedever que la cantidad X 1.645sX es el lmite
superior de confianza de 95% superior para m.Ahora se generalizar
el mtodo para obtener intervalos de confianza de un lado a
cualquiernivel deseado. Se define z como el puntaje z que corta un
rea en la cola de la derecha dela curva normal. Por ejemplo, z
.05 1.645. Mediante el razonamiento que se utiliz para ob-tener
un intervalo de confianza de 95%, se pueden apreciar un nivel 100(1
)% con lmiteinferior de confianza para m dado por X zsX y un nivel
1 con lmite superior de con-fianza para m dado por X zsX.
310 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
X 1.645sX
1.645sX
95%
Xm m
Resumen
Sea Xl, . . . , Xn una muestra aleatoria grande (n > 30) de
una poblacin con media m ydesviacin estndar s, se tiene que X es
aproximadamente normal. Entonces el nivelde confianza 100(1 )% con
lmite inferior de confianza para m es
X zsX (5.2)y un nivel 100(1 )% con lmite de confianza superior
para m es
X zsX (5.3)donde sX s/n
. Cuando el valor de s es desconocido, se puede sustituir por la
des-viacin estndar muestral s.
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 310
-
En particular,
representa un lmite superior de confianza de 90% para m.
constituye un lmite superior de confianza de 95% para m.
significa un lmite superior de confianza de 99% para m.
Los correspondientes lmites inferiores se encuentran al
reemplazar el con el .
Con referencia al ejemplo 5.2, encuentre tanto un lmite inferior
de confianza de 95% comouno superior de 99% para la media del
tiempo de vida de las microperforadoras.
SolucinLa media muestral y la desviacin estndar son X 12.68 y s
6.83, respectivamente. Eltamao muestral es n 50. Se calcula sX
s/n
0.9659. El lmite inferior de confianzade 95% es X 1.645sX 11.09
y el de 99% es X
2.33sX 14.93.
En el ejemplo 5.2, el intervalo de confianza de 95% de dos lados
se calcul de (10.79,14.57). El lmite inferior de confianza de 95%
de 11.09, calculado en el ejemplo 5.9, es msgrande que el lmite
inferior del intervalo de confianza de dos lados. La razn de esto
ltimoconsiste en que el intervalo de dos lados puede fallar en dos
maneras: el valor de m podra serdemasiado alto o demasiado bajo. El
intervalo de confianza de 95% de dos lados est disea-do para fallar
2.5% de las veces en el lado superior y 2.5% en el inferior. En
contraparte, ellmite inferior de confianza de 95% nunca falla sobre
el lado superior. ste est, por tanto, di-seado para fallar 5% de
las veces en el lado inferior, por lo que su lmite inferior es
mayorque para el intervalo de dos lados.
Intervalos de confianza que deben estar basados en muestras
aleatoriasLos mtodos descritos en esta seccin requieren que los
datos sean una muestra aleatoria deuna poblacin. Cuando se utiliza
para otras muestras, los resultados podran ser no significa-tivos.
Los siguientes son dos ejemplos en los que se incumple la suposicin
de muestreo alea-torio.
Un ingeniero qumico desea calcular la media de la produccin de
un nuevo proceso. El pro-ceso est operando 100 veces durante un
periodo de varios das. La figura 5.7 presenta las 100producciones
graficadas en funcin del tiempo. Sera adecuado calcular un
intervalo de con-fianza para la media de la produccin mediante el
clculo de X y s para las producciones ydespus utilizar la expresin
(5.l)?
X + 2.33 sn
X + 1.645 sn
X + 1.28 sn
5.1 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras grandes 311
5.9Ejemplo
5.10Ejemplo
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 311
-
FIGURA 5.7 Produccin de 100 operaciones de un proceso qumico,
graficadas en fun-cin del tiempo. Hay un patrn claro que indica que
los datos no forman una muestra alea-toria.
SolucinNo. La expresin (5.1) es vlida slo cuando los datos son
una muestra aleatoria de una po-blacin. La figura 5.7 muestra un
patrn cclico. ste podra indicar que la produccin de cadaoperacin
est influida por la produccin de la operacin previa, lo que violara
la suposicinde independencia. Otra posibilidad es que la produccin
est influida por condiciones am-bientales que fluctan en forma
regular. En cualesquiera de los dos casos, los datos no satis-facen
las condiciones de una muestra aleatoria y no se debe utilizar la
expresin (5.1).
El ingeniero de quien se habl en el ejemplo 5.10 est
investigando la produccin de otro pro-ceso. La figura 5.8 presenta
las producciones de 100 operaciones de ste, graficadas en fun-cin
del tiempo. Se debe utilizar la expresin (5.1) para calcular un
intervalo de confianzapara la media de la produccin de este
proceso?
FIGURA 5.8 Produccin de 100 operaciones de un proceso qumico,
graficadas en fun-cin del tiempo. Hay tendencia creciente con el
tiempo, al menos en la parte inicial de lagrfica, lo que indica que
los datos no forman una muestra aleatoria.
312 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
Prod
ucci
nTiempo
Prod
ucci
n
Tiempo
5.11Ejemplo
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 312
-
SolucinNo. Como en el ejemplo 5.10, hay un patrn en el tiempo.
En este caso, las producciones tien-den a aumentar con el tiempo,
al menos en la parte inicial de la grfica. Esto ltimo podraindicar
un efecto de aprendizaje; conforme un operador se hace ms
experimentado respec-to de un proceso, los resultados mejoran. Un
anlisis ms minucioso de los datos podra indi-car un momento donde
el aumento parece parar y, en tal caso, la parte que tiene xito se
utilizapara formar un intervalo de confianza.
5.1 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras grandes 313
Ejercicios para la seccin 5.11. Determine el valor de z/2 para
utilizar la expresin (5.1)
con el fin de construir un intervalo de confianza con nivel
a) 90%b) 83%c) 99.5%d ) 75%
2. Determine los niveles de los intervalos de confianza que
tie-nen los siguientes valores de z/2:
a) z/2 1.96b) z/2 2.17c) z/2 1.28d ) z/2 3.28
3. Conforme se eleva el nivel de confianza, la
confiabilidad_____________ y la precisin _________. Opciones:
aumenta,disminuye.
4. Los mtodos de interpolacin se utilizan para calcular altu-ras
superiores al nivel del mar para ubicaciones donde lasmediciones
directas no estn disponibles. En el artculoTransformation of
Ellipsoid Heights to Local LevelingHeights (M. Yanalak y O. Baykal,
en Journal of SurveyingEngineering, 2001:90-103), se evala un mtodo
de interpo-lacin para un polinomio de segundo orden que tiene
comoobjetivo calcular las alturas de mediciones GPS (sistema
deposicionamiento global). En una muestra de 74 ubicacio-nes, los
errores del mtodo tienen promedio de 3.8 cm, condesviacin estndar
de 4.8 cm.
a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la me-dia del
error de este mtodo.
b) Determine un intervalo de confianza de 98% para la me-dia del
error de dicho mtodo.
c) Un topgrafo afirma que el error de media est entre 3.2y 4.4
cm. Con qu nivel de confianza se puede haceresta afirmacin?
d ) Aproximadamente cuntas ubicaciones se deben mues-trear con
el propsito de que un intervalo de confianzade 95% especificar la
media dentro de 0.7 cm?
e) Aproximadamente cuntas ubicaciones se debe mues-trear con el
propsito de que un intervalo de confianzade 98% especificar la
media dentro de 0.7 cm?
5. En una muestra aleatoria de 100 bateras producidas porcierto
mtodo, el promedio del tiempo de vida fue de 150horas y la
desviacin estndar de 25 horas.
a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la me-dia del
tiempo de vida de las bateras producidas por es-te mtodo.
b) Determine un intervalo de confianza de 99% para la me-dia del
tiempo de vida de bateras producidas por dichomtodo.
c) Un ingeniero afirma que la media del tiempo de vida es-t
entre 147 y 153 horas. Con qu nivel de confianza sepuede hacer esta
afirmacin?
d ) Aproximadamente cuntas bateras se deben muestrearcon el
propsito de que un intervalo de confianza de95% especificar la
media dentro de 2 horas?
e) Aproximadamente cuntas bateras se deben muestrearcon el fin
de que un intervalo de confianza de 99% es-pecificar la media
dentro de 2 horas?
6. En una muestra aleatoria de 53 especmenes de concreto,
lamedia de la porosidad (en %) fue de 21.6 y la desviacin es-tndar
de 3.2.
a) Determine un intervalo de confianza de 90% para la me-dia de
la porosidad de los especmenes de este tipo deconcreto.
b) Determine un intervalo de confianza de 95% para la me-dia de
la porosidad de los especmenes de este tipo deconcreto.
c) Cul es el nivel de confianza del intervalo (21.0, 22.2)?
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 313
-
d ) Cuntos especmenes se deben muestrear con el prop-sito de que
un intervalo de confianza de 90% especifi-que la media dentro
0.3?
e) Cuntos especmenes se deben muestrear con el prop-sito de que
un intervalo de confianza de 95% especifi-que la media dentro
0.3?
7. En una muestra de 80 clavos con costo de diez centavos,
elpeso promedio era 1.56 g y la desviacin estndar era de
0.1gramos.
a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la me-dia del
peso de este tipo de clavo.
b) Determine un intervalo de confianza de 98% para la me-dia del
peso de este tipo de clavo.
c) Cul es el nivel de confianza del intervalo (1.54, 1.58)?d )
Cuntos clavos se deben muestrear con el propsito de
que un intervalo de confianza de 95% especifique la me-dia
dentro de 0.01 g?
e) Aproximadamente cuntos clavos se deben muestrearcon el fin de
que un intervalo de confianza de 98% es-pecifique la media dentro
de 0.01 g?
8. Una etapa en la fabricacin de cierta abrazadera de
metalimplica perforar cuatro huecos. En una muestra de
150abrazaderas, el promedio del tiempo necesario para comple-tar
dicha etapa era de 72 segundos y la desviacin estndarde 10
segundos.
a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la me-dia del
tiempo necesario para completar tal etapa.
b) Determine un intervalo de confianza de 99.5% para lamedia del
tiempo necesario para completar esta etapa.
c) Cul es el nivel de confianza del intervalo (71, 73)?d )
Cuntas abrazaderas se deben muestrear con el prop-
sito de que un intervalo de confianza de 95% especifi-que la
media dentro de 1.5 segundos?
e) Cuntas abrazaderas se deben muestrear con el objeti-vo de que
un intervalo de confianza 99.5% especifiquela media dentro de 1.5
segundos?
9. Un proveedor vende fibras sintticas a una compaa de
ma-nufactura. Se selecciona una muestra aleatoria simple de
81fibras de un envo. El promedio de la fuerza de ruptura destas es
de 29 lb y la desviacin estndar de 9 lb.
a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la me-dia de
la fuerza de ruptura de todas las fibras del envo.
b) Determine un intervalo de confianza de 99% para la me-dia de
la fuerza de ruptura de todas las fibras del envo.
c) Cul es el nivel de confianza del intervalo (27.5, 30.5)?d )
Cuntas fibras se deben muestrear con el propsito de
que un intervalo de confianza de 95% especifique la me-dia
dentro de 1 lb?
e) Cuntas fibras se deben muestrear con el propsito deque un
intervalo de confianza de 99% especifique la me-dia dentro de 1
lb?
10. Con referencia al ejercicio 5.a) Determine un lmite inferior
de confianza de 95% para
la media del tiempo de vida de tal tipo de batera.b) Un
ingeniero afirma que la media del tiempo de vida es
mayor de 148 horas. Con qu nivel de confianza sepuede hacer esta
afirmacin?
11. Con referencia al ejercicio 6.a) Determine un lmite superior
de confianza de 99% para
la media de la porosidad.b) Se hizo una afirmacin de que la
media de la porosidad
es menor que 22.7%. Con qu nivel de confianza se pu-do haber
hecho tal afirmacin?
12. Con referencia al ejercicio 7.a) Encuentre un lmite superior
de confianza de 90% para
la media del peso.b) Alguien dice que la media del peso es menor
que 1.585
g. Con qu nivel de confianza se pudo haber hecho di-cha
afirmacin?
13. Con referencia al ejercicio 8.a) Determine un lmite inferior
de confianza de 98% para
completar la etapa.b) Un especialista en eficiencia dice que la
media del tiem-
po es mayor de 70 segundos. Con qu nivel de confian-za se pudo
haber hecho esta afirmacin?
14. Con referencia al ejercicio 9.a) Determine un lmite superior
de confianza de 95% para
la media de la fuerza de ruptura.b) El proveedor afirma que la
media de la fuerza de ruptu-
ra es mayor que 28 lb. Con qu nivel de confianza sepudo haber
hecho tal afirmacin?
15. Una investigadora calcula un intervalo de confianza de
95%para una media poblacional con base en una muestra de ta-mao 70.
Si desea calcular un intervalo de confianza de95% que sea la mitad
de ancho, qu tamao muestral ne-cesita?
314 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 314
-
5.2 Intervalos de confianza para proporciones
Los mtodos de la seccin 5.1, en particular la expresin (5.1), se
pueden utilizar con el finde determinar los intervalos de confianza
para la media de cualquier poblacin de la cual seha extrado una
muestra grande. Cuando la poblacin tiene una distribucin de
Bernoulli, es-ta expresin toma una forma especial. Se muestra esto
ltimo con un ejemplo.
En el ejemplo 5.2 (de la seccin 5.1), se construy un intervalo
de confianza para la me-dia del tiempo de vida de una
microperforadora cuando perforaba una aleacin de acero conbajo
contenido de carbono. Ahora suponga que se ha establecido una
especificacin de queuna perforadora debe tener un tiempo de vida
mnimo de diez huecos perforados antes de fa-
5.2 Intervalos de confianza para proporciones 315
16. Un intervalo de confianza de 95% para una media poblacio-nal
se calcula de una muestra de tamao 50. Se calcularotro intervalo de
confianza de 95% para una muestra de ta-mao 200, extrada de la
misma poblacin. Elija la mejorrespuesta que complete el espacio en
blanco: El intervalo deuna muestra de tamao 50 ser aproximadamente
________del intervalo de la muestra de tamao 200.
i) Un octavo de ancho.ii) Un cuarto de ancho. iii) La mitad de
ancho. iv) El mismo ancho. v) Dos veces de ancho. vi) Cuatro veces
de ancho. vii)Ocho veces de ancho.
17. Con base en pruebas de comportamiento de una gran mues-tra
de uniones soldadas, se calcul un intervalo de confian-za de 90%
para la media de la dureza Rockwell B de ciertotipo de soldadura de
(83.2, 84.1). Determine un intervalo deconfianza de 95% para la
media de la dureza Rockwell B deeste tipo de soldadura.
18. Se hicieron 64 mediciones independientes de la velocidadde
la luz. Con un promedio de 299 795 km/s y tenan unadesviacin
estndar de 8 km/s. Verdadero o falso:
a) Un intervalo de confianza de 95% para la velocidad dela luz
es 299 795 1.96 km/s.
b) La probabilidad es de 95% de que la velocidad de la luzest en
el intervalo 299 795 1.96.
c) Si se hace la medicin 65, la probabilidad es de 95% deque
estuviera en el intervalo 299 795 1.96.
19. Una caja grande contiene 10 000 cojinetes de bola. Se
eligeuna muestra aleatoria de 120. La media muestral del dime-
tro es 10 mm y la desviacin estndar es 0.24 mm. Verda-dero o
falso:
a) Un intervalo de confianza de 95% para la media del di-metro
de los 120 cojinetes en la muestra es 0 (1.96)(0.24)/120.
b) Un intervalo de confianza de 95% para la media del di-metro
de los 10 000 cojinetes en la caja es 10 (1.96)(0.24)/120.
c) Un intervalo de confianza de 95% para la media del di-metro
de los 10 000 cojinetes en la caja diez es 10
(1.96)(0.24)/10000.
20. Todos los das un ingeniero de control de calidad seleccio-na
una muestra aleatoria de 100 pernos de la produccin delda, mide sus
longitudes y calcula un intervalo de confianzade 95% para la media
de la longitud de todos los pernos fa-bricados ese da. Cul es la
probabilidad de que ms de 15de los intervalos de confianza
construidos en los siguientes250 das no contendrn la media
verdadera?
21. Con base en una muestra de registros de reparacin, un
in-geniero calcula el intervalo de confianza de 95% para lamedia
del costo de reparar un componente de fibra ptica de($140, $160).
Un supervisor resume este resultado en un in-forme, diciendo: Se
tiene una confianza de 95% de que lamedia del costo de las
reparaciones es menor que $160.El supervisor est subestimando la
confianza, sobreesti-mndola u obtenindola de manera correcta?
Explique.
22. Un meteorlogo mide la temperatura en el centro de la ciu-dad
de Denver a medioda todos los das durante un ao.Las 365 lecturas
tienen un promedio de 57F y una desvia-cin estndar de 20F . El
meteorlogo calcula un intervalode confianza de 95% para la media de
la temperatura a me-dioda de 57 (1.96)(20)/365. Es esto correcto?
Porqu si o por qu no?
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 315
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llar. Se prueba una muestra de 144 microperforadoras, y 120,
83.3%, satisfacen la especifica-cin. Sea p la proporcin de
microperforadoras en la poblacin que satisface la especificacin.Se
desea encontrar un intervalo de confianza de 95% para p.
Se empieza construyendo un estimador de p. Sea X el nmero de
perforadoras en lamuestra que satisface la especificacin. Entonces
X Bin(n, p), donde n 144 es el tama-o muestral. El estimador de p
es p X/n. En este ejemplo, X 120, por lo que p 120/144 0.833. La
incertidumbre, o desviacin estndar de p, es Puesto que eltamao
muestral es grande, se tiene por el teorema del lmite central
(ecuacin 4.52 de la sec-cin 4.10) que
El razonamiento que se ilustra en las figuras 5.1 y 5.2 (de la
seccin 5.1) muestra que en 95%de todas las muestras posibles, la
proporcin poblacional p satisface la siguiente desigualdad:
(5.4)
A primera vista, la expresin (5.4) parece un intervalo de
confianza de 95% para p. Sinembargo, los lmites contienen una p
desconocida, y por eso no sepuede calcular. El punto de vista
tradicional es sustituir p con p, obtener el intervalo de
con-fianza Investigaciones recientes muestran que ese intervalo se
pue-de mejorar modificando ligeramente tanto a n como a p. En
especfico, se debe sumar 4 alnmero de los ensayos y 2 al de los
xitos. As que en lugar de n se utiliza n n 4, y enlugar de p se usa
p (X 2)/ n. Un intervalo de confianza de 95% para p es as dado
por
En este ejemplo, n 148 y p 122/148 0.8243, por eso el in-tervalo
de confianza de 95% es 0.8243 0.0613, o (0.763, 0.886).
Se justifica lo anterior con base en el teorema del lmite
central, que requiere que n seagrande. Sin embargo, este mtodo de
clculo de intervalos de confianza es adecuado paracualquier tamao n
de muestra. Cuando se utiliza con muestras pequeas, podra ocurrir
queel lmite inferior sea menor a 0 o que el superior a 1. Dado que
0 < p < 1, un lmite inferiormenor que 0 se debe sustituir con
0, y un lmite superior mayor que 1 se debe sustituir con 1.
p p p (p 1.96
p(1 p)/n.
p pp 1.96
p(1 p)/n.
p 1.96p(1 p)/n
p 1.96
p(1 p)n
< p < p + 1.96
p(1 p)n
p N(p,
p(1 p)n
)p =
p(1 p)/n.
316 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
Resumen
Sea X el nmero de xitos en n ensayos de Bernoulli independientes
con probabilidadde xito p, por lo que X Bin(n, p).
Se define n n 4 y Entonces un nivel 100(1 )% de un interva-lo de
confianza para p es
(5.5)
Si el lmite inferior es menor que 0, se reemplaza ste con 0. Si
el superior es mayorque 1, se remplaza ste con 1.
p z/2
p(1 p)n
p = X + 2n
.
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 316
-
El intervalo de confianza dado por la expresin (5.5) algunas
veces es llamado interva-lo de Agresti-Coull, en honor a Alan
Agresti y Brent Coull, quienes lo desarrollaron. Para ma-yor
informacin consulte Approximate Is Better Than Exact for Interval
Estimation ofBinomial Proportions (A. Agresti y B. Coull, en The
American Statistician, 1998:119-126).
Los mtodos de interpolacin se usan para calcular las alturas
sobre el nivel del mar para ubi-caciones donde las mediciones
directas no estn disponibles. En el artculo Transformationof
Ellipsoid Heights to Local Leveling Heights (M. Yanalak y O.
Baykal, en Journal of Sur-veying Engineering, 2001:90-103), se
evala un mtodo de promedio ponderado de interpo-lacin para calcular
las alturas de mediciones GPS. El mtodo se estableci para
interpretarerrores grandes (errores cuya magnitud estn por encima
de umbral comnmente aceptado)en 26 de 74 ubicaciones de prueba.
Determine un intervalo de confianza de 90% para la pro-porcin de
ubicaciones en las que este mtodo tendr errores grandes.
SolucinEl nmero de xitos es X 26 y el de ensayos n 74. Por
tanto, se calcula n 74 4 78, p (26 2)/78 0.3590, y Paraun intervalo
de confianza de 90%, el valor de /2 es 0.05, por lo que z/2 1.645.
El inter-valo de confianza de 90% es, por tanto, 0.3590
(1.645)(0.0543), o (0.270, 0.448).
Los intervalos de confianza de un lado se pueden calcular tambin
para proporciones.Son anlogos a los intervalos de un lado para una
media poblacional (ecuaciones 5.2 y 5.3 dela seccin 5.1). Los
niveles para los intervalos de confianza de un lado son slo
aproximacio-nes burdas para muestras pequeas.
p p(0.3590)(0.6410)/78 = 0.0543.
p(1 p)/n =
5.2 Intervalos de confianza para proporciones 317
5.12Ejemplo
Resumen
Sea X el nmero de xitos en n ensayos de Bernoulli independientes
con probabilidadp de xito, por lo que X Bin(n, p).
Se define n n 4 y Entonces un nivel 100(1 )% de un lmiteinferior
de confianza para p es
(5.6)
y nivel 100(1 )% de un lmite superior de confianza para p es
(5.7)
Si el lmite inferior es menor que 0, se reemplaza con 0. Si el
superior es mayor que 1,se reemplaza con 1.
p + z
p(1 p)n
p z
p(1 p)n
p = X + 2n
.
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-
El ejemplo 5.13 muestra cmo calcular el tamao muestral necesario
para un intervalode confianza que tenga un ancho especfico cuando
se conoce un valor preliminar de p.
En el ejemplo 5.12, qu tamao muestral se necesita para obtener
un intervalo de confianzade 95% con ancho 0.08?
SolucinUn intervalo de confianza de 95% tiene un ancho donde n n
4. Portanto, se determina el tamao muestral n con la ecuacin 0.08.
Delos datos del ejemplo 5.12, p 0.3590. Al sustituir este valor
para p y despejando a n, se ob-tiene n 135.
A veces se puede desear calcular un tamao muestral sin tener
disponible un estimadorp confiable. La cantidad p (1 p), que
determina el ancho del intervalo de confianza, se ma-ximiza por p
0.5. Debido a que el ancho es el ms grande cuando p (1 p) es mayor,
sepuede calcular un estimador de tamao muestral conservador con p
0.5 y prosiguiendo co-mo en el ejemplo 5.13.
En el ejemplo 5.12, qu tamao muestral es necesario para
garantizar que el ancho del inter-valo de confianza de 95% no ser
mayor que 0.08, si no se ha tomado alguna muestra pre-liminar?
SolucinUn intervalo de confianza de 95% tiene un ancho El
intervalo deconfianza ms ancho posible, para una muestra de tamao
n, es o Al despejar a n de la ecuacin , se obtiene n 147.Observe
que este clculo es un poco ms grande que el que se obtuvo en el
ejemplo 5.13.
El mtodo tradicionalEl mtodo que se ha descrito se ha
desarrollado recientemente (aunque se cre para simplifi-car un
mtodo mucho ms antiguo). Muchas personas todava usan un mtodo ms
tradicio-nal. ste utiliza el tamao muestral n real en lugar de n y
la proporcin real p en lugar de p.Aunque este mtodo todava es
usado, falla para lograr la probabilidad de cobertura estable-cida,
incluso para algunos valores bastante grandes de n. Esto significa
que intervalos de con-fianza 100(1 )% que se calculan con los
mtodos tradicionales contendrn la proporcinverdadera menos del
100(1 )% de las veces. El mtodo tradicional no puede ser usado
pa-ra todas las muestras pequeas; una regla prctica respecto del
tamao muestral es que tantonp (el nmero de xitos) como n(1 p) (el
nmero de fracasos) deben ser mayores que 10.
Debido a que el mtodo tradicional todava es muy usado, lo
resumimos en el siguien-te cuadro. Para tamaos muestrales muy
grandes, los resultados del mtodo tradicional soncasi idnticos a
los obtenidos con el mtodo moderno. Para tamaos muestrales pequeos
omedianamente grandes, el punto de vista moderno es mejor.
0.98/
n + 4 = 0.080.98/
n + 4.1.96(0.5)(1 0.5)/(n + 4),
1.96
p(1 p)/(n + 4).
1.96
p(1 p)/(n + 4) =1.96
p(1 p)/n,
318 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
5.13Ejemplo
5.14Ejemplo
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 318
-
1. Las concentraciones de contaminantes atmosfricos, comomonxido
de carbono (CO), se pueden medir con un espec-trmetro. En una
prueba de calibracin, se hicieron 50 me-diciones de una muestra de
gas del laboratorio que se sabatena una concentracin de CO de 70
partes por milln(ppm). Se considera que una medicin es
satisfactoria si es-t dentro de 5 ppm de la concentracin verdadera.
De las 50mediciones, 37 fueron satisfactorias.
a) Qu proporcin de mediciones de la muestra fue
satis-factoria?
b) Determine un intervalo de confianza de 95% para la pro-porcin
de mediciones hechas por este instrumento quesern
satisfactorias.
c) Cuntas mediciones se debe tomar para especificar laproporcin
de mediciones satisfactorias dentro de0.10 con una confianza de
95%?
d ) Determine un intervalo de confianza de 99% para la
pro-porcin de mediciones hechas por este instrumento queser
satisfactorio.
e) Cuntas mediciones se debe tomar para especificar laproporcin
de mediciones satisfactorias dentro de0.10 con una confianza de
99%?
2. En cierto da, se fabric gran nmero de fusibles, cada
unotasado a 15 A. Al extraer una muestra de 75 de la produc-cin del
da, se encontr que 17 de ellos tenan amperajesde quemado mayores de
15 A.
a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la pro-porcin
de fusibles fabricada ese da, cuyo amperaje dequemado es mayor que
15 A.
b) Determine un intervalo de confianza de 98% para la pro-porcin
de fusibles fabricados ese da, cuyo amperaje dequemado es mayor que
15 A.
c) Determine el tamao muestral necesario para que un in-tervalo
de confianza de 95% especifique la proporcindentro de 0.05.
d ) Determine el tamao muestral necesario para que un in-tervalo
de confianza de 98% especifique la proporcindentro de 0.05.
e) Si se calcula un intervalo de confianza de 95% a
diariodurante 200 das, cul es la probabilidad de que ms de192
intervalos de confianza contengan las proporcionesverdaderas?
3. Un fabricante de refresco compra latas de aluminio de
undistribuidor externo. Se selecciona una muestra aleatoria de70
latas de un envo grande, se prueba la resistencia de ca-da una
aplicando una carga creciente en los lados de la latahasta que se
perfora. De las 70 latas, 52 satisfacen la espe-cificacin para la
resistencia de perforacin.
a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la pro-porcin
de latas que satisface la especificacin en el envo.
b) Determine un intervalo de confianza de 90% para la pro-porcin
de latas que satisface la especificacin en el envo.
c) Determine el tamao muestral necesario para que un in-tervalo
de confianza de 95% especifique la proporcindentro de 0.05.
d ) Determine el tamao de la muestra necesario para queun
intervalo de confianza de 90% especifique la propor-cin dentro de
0.05.
5.2 Intervalos de confianza para proporciones 319
Resumen
El mtodo tradicional para calcular intervalos de confianza para
una pro-porcin (ampliamente usado pero no recomendado)
Sea p la proporcin de xitos en un gran nmero n de ensayos de
Bernoulli indepen-dientes con probabilidad de xito p. Entonces el
intervalo de confianza tradicional denivel 100(1 )% para p es
(5.8)
El mtodo no se puede utilizar a menos que la muestra contenga un
mnimo de diezxitos y diez fracasos.
p z/2
p(1 p)n
Ejercicios para la seccin 5.2
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 319
-
e) Si un intervalo de confianza de 90% se calcula a
diariodurante 300 das, cul es la probabilidad de que ms de280
intervalos de confianza contengan las proporcionesverdaderas?
4. Con referencia al ejercicio 1, encuentre un lmite inferior
deconfianza de 95% para la proporcin de medidas
satisfacto-rias.
5. Con referencia al ejercicio 2, encuentre un lmite superiorde
confianza de 98% para la proporcin de fusibles con am-perajes de
quemado mayores de 15 A.
6. Con referencia al ejercicio 3, encuentre un lmite inferior
deconfianza de 99% para la proporcin de latas que satisfacela
especificacin.
7. Se prueba una muestra aleatoria de 400 componentes
elec-trnicos fabricados por cierto proceso y se encuentra que
30estn defectuosos.
a) Sea p la proporcin de componentes fabricados con es-te
proceso que estn defectuosos. Determine un interva-lo de confianza
de 95% para p.
b) Cuntos componentes se deben muestrear con el pro-psito de que
el intervalo de confianza de 95% especifi-que la proporcin
defectuosa dentro de 0.02?
c) (Difcil) La compaa enva los componentes en lotes de200. Los
lotes que contienen ms de 20 componentesdefectuosos pueden ser
regresados. Determine un inter-valo de confianza de 95% para la
proporcin de lotesque sern regresados.
8. Con referencia al ejercicio 7, se fabricar un dispositivo
enel cual se conectarn en serie dos de los componentes delejercicio
7. Los componentes funcionan de manera inde-pendiente, el
dispositivo funcionar slo si ambos compo-nentes funcionan. Sea q la
probabilidad de que undispositivo funcione. Determine un intervalo
de confianzade 95% para q. (Sugerencia: exprese q en funcin de p,
ydespus utilice el resultado del ejercicio 7a.)
9. El artculo Leachate from Land Disposed
ResidentialConstruction Waste (W. Weber, Y. Jang y cols., en
Journalof Environmental Engineering, 2002:237-245) presenta
unestudio de la contaminacin en basureros que contienen de-sechos
de construccin y desperdicio de demolicin. De unsitio de prueba se
tomaron muestras de lixiviado. De cada42 muestras, 26 contienen
niveles detectables de plomo, 41de arsnico y 32 de cromo.
a) Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la
pro-babilidad de que una muestra contendr un nivel detec-table de
plomo.
b) Determine un intervalo de confianza de 95% para la
pro-babilidad de que una muestra contenga un nivel detecta-ble de
arsnico.
c) Determine un intervalo de confianza de 99% para la
pro-babilidad de que una muestra contenga un nivel detecta-ble de
cromo.
10. Los aceros inoxidables pueden ser susceptibles al
agrieta-miento de corrosin por tensin bajo ciertas condiciones.Un
ingeniero especializado en materiales est interesado endeterminar
la proporcin de fallas de aleaciones de aceroque son atribuibles al
agrietamiento de corrosin por ten-sin.
a) En ausencia de datos preliminares, de qu tamao de-be ser una
muestra para asegurar que el intervalo de con-fianza de 95%
especificar la proporcin dentro de0.05?
b) En una muestra de 100 fallas, 20 eran ocasionadas porel
agrietamiento de corrosin por tensin. Encuentre unintervalo de
confianza de 95% para la proporcin de fa-llas ocasionadas por el
agrietamiento de corrosin portensin.
c) Con base en los datos del inciso (b), calcule el
tamaomuestral necesario con el propsito de que el intervalode
confianza de 95% especificar la proporcin dentro de0.05.
11. Para que los proyectos de remediacin ecolgica muy
impor-tantes sean exitosos, deben tener apoyo pblico. El
artculoModelling the Non-Market Environmental Costs and Be-nefits
of Biodiversity Using Contingent Value Data (D.Macmillan, E. Duff y
D. Elston, en Environmental and Re-source Economics, 2001:391-410)
notifica los resultados deuna encuesta en que a votantes escoceses
se les pregunt siestaran dispuestos a pagar impuestos adicionales
con la fi-nalidad de restaurar el bosque Affric. De los 189 que
respon-dieron, 61 decan que s apoyaran esa medida.
a) Suponiendo que los 189 votantes que respondieron,constituyen
una muestra aleatoria, determine un interva-lo de confianza de 90%
para la proporcin de votantesque estaran dispuestos a pagar para
restaurar el bosqueAffric.
b) Cuntos votantes se deben muestrear para especificar
laproporcin dentro de 0.03 con una confianza de 90%?
c) Se planea realizar otra encuesta en la cual se les pregun-tar
a los votantes si estaran dispuestos a pagar con la
320 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 320
-
finalidad de restaurar el bosque Strathspey. En este mo-mento,
no hay alguna estimacin disponible. Determineun clculo conservador
del tamao muestral necesariocon el propsito de que la proporcin
estar especifica-da dentro de 0.03 con una confianza de 90 por
ciento.
12. Un analista del mercado de valores observa que, en ciertoao,
el precio de cada accin de la IBM aument en 131 delos 252 das
burstiles. Con estos datos se puede encontrarun intervalo de
confianza de 95% para la proporcin de dasen que la accin de IBM se
incrementa? Explique.
5.3 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras pequeas 321
5.3 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras pequeas
Los mtodos descritos en la seccin 5.1 con el fin de calcular
intervalos de confianza para lamedia de una poblacin requieren que
el tamao muestral sea grande. Cuando ste es peque-o, no hay ningn
buen mtodo general para encontrar intervalos de confianza. Sin
embargo,cuando la poblacin es aproximadamente normal, se puede
utilizar una distribucin de pro-babilidad denominada t de Student
para calcular los intervalos de confianza para una
mediapoblacional. En esta seccin se describe dicha distribucin y se
muestra cmo utilizarla.
Distribucin t de StudentSi X es la media de una muestra grande
de tamao n de una poblacin con media m y varian-za s2, entonces el
teorema del lmite central especifica que X N(m, s2/n). La
cantidad(X m)/(s/n) tiene una distribucin normal con media 0 y
varianza 1. Adems, la desvia-cin estndar muestral s estar cerca de
la desviacin estndar s poblacional. Por esta raznla cantidad (X
m)/(s/n) es aproximadamente normal con media 0 y varianza 1, por lo
quese pueden buscar las probabilidades relacionadas con esta
cantidad en la tabla normal estn-dar (tabla z). Esto ltimo permite
que se calcule intervalos de confianza para diferentes nive-les
para la media poblacional m.
Qu se puede hacer si X es la media de una muestra pequea? Si ste
es pequeo, spodra no estar cercano a s, y X puede no ser
aproximadamente normal. Si no se sabe nadaacerca de la poblacin de
la que la muestra pequea fue extrada, entonces no hay ningn m-todo
fcil para calcular intervalos de confianza. Sin embargo, si la
poblacin es aproximada-mente normal, X lo ser incluso cuando el
tamao muestral sea pequeo. Lo anterior propiciaque an se puede
utilizar la cantidad (X m)/(s/n), pero debido a que s no est
necesaria-mente cercana a s, esta cantidad no tendr una distribucin
normal. En su lugar, tiene la dis-tribucin t de Student con n 1
grados de libertad, que se denota por tn 1. El nmero degrados de
libertad para la distribucin t es uno menos que el tamao
muestral.
La distribucin t de Student fue descubierta en 1908 por William
Sealy Gossett, un es-tadstico que trabaj en la cervecera Guinness,
en Dubln, Irlanda. La direccin de Guinnessconsider que el
descubrimiento era informacin privada y prohibi a Gossett que lo
publi-cara. Aun as, l lo public, usando el seudnimo Estudiante.
Gossett haba hecho ya estoantes; vase la seccin 4.3.
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 321
-
La funcin de densidad de probabilidad de la distribucin t de
Student es diferente pa-ra distintos grados de libertad. La figura
5.9 presenta grficas de la funcin de densidad deprobabilidad para
diferentes elecciones de grados de libertad. Las curvas tienen una
forma si-milar a la curva normal, o z, es una curva con media 0 y
desviacin estndar 1. Sin embargo,las curvas t son ms extendidas.
Por ejemplo, la curva t con un grado de libertad correspon-de a un
tamao muestral de 2. Cuando se extraen muestras de tamao 2, ocurrir
con frecuen-cia que la desviacin estndar muestral s sea mucho ms
pequea que s, lo que llevar a queel valor de (X m)/(s/n) sea muy
grande (ya sea positivo o negativo). Por esta razn, la curvat con
un grado de libertad tiene mucho ms rea en las colas. Para tamaos
muestrales msgrandes, el valor de s es menos probable que est lejos
de s y la curva t es ms cercana a lacurva normal. Con diez grados
de libertad (correspondiendo a un tamao muestral de 11), la
di-ferencia entre la curva t y la curva normal no es grande. Si una
curva t con 30 grados de la li-bertad estuviera dibujada en la
figura 5.9, sera indistinguible de la curva normal.
FIGURA 5.9 Grficas de la funcin de densidad de probabilidad de
la curva t de Studentpara diferentes grados de libertad. La curva
normal con media 0 y varianza 1 (curva z) esgraficada para
comparar. Las curvas t estn ms extendidas que la normal, pero la
cantidadde extensin adicional disminuye conforme se aumenta el
nmero de grados de libertad.
322 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
Resumen
Sea Xl, . . . , Xn una muestra pequea (por ejemplo n 30) de una
poblacin normalcon media m. Entonces la cantidad
tiene una distribucin t de Student con n 1 grados de libertad,
denotada por tn 1.Cuando n es grande, la distribucin de la cantidad
(X m)/(s/n) es muy cercana
a la curva normal, de esta forma la curva normal puede usarse en
lugar de la t de Stu-dent.
X s/
n
t4 t1
t10 z
0
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 322
-
La tabla A.3 (en el Apndice A), denominada tabla t, proporciona
probabilidades rela-cionadas con la distribucin t de Student. Se
presentan algunos ejemplos para mostrar el usode la tabla.
Se extrae una muestra aleatoria de tamao 10 de una distribucin
normal con media 4. Laestadstica t de Student t (X 4)/(s/10) es
calculada. Cul es la probabilidad de quet 1.833?
SolucinEsta estadstica t tiene 10 1 9 grados de libertad. De la
tabla t, P(t 1.833) 0.05. Va-se la figura 5.10.
FIGURA 5.10 Solucin al ejemplo 5.15.
Con referencia al ejemplo 5.15, determine P(t
1.5).SolucinBuscando a travs del rengln correspondiente a 9 grados
de libertad, se ve que la tabla t nolista el valor 1.5. Se
encuentra que P(t 1.383) 0.10 y que P(t 1.833) 0.05. Se con-cluye
entonces que 0.05 P(t 1.5) 0.10. Vase la figura 5.11. Un resultado
ms preci-so que esta desigualdad se puede obtener mediante
interpolacin lineal
Un software proporciona la respuesta correcta con tres dgitos
significativos como 0.0839.
FIGURA 5.11 Solucin al ejemplo 5.16.
Determine el valor para la distribucin t12 cuya cola superior de
probabilidad es 0.025.
P(t > 1.5) 0.10 1.5 1.3831.833 1.383 (0.10 0.05) = 0.0870
5.3 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras pequeas 323
5.15Ejemplo
5.16Ejemplo
5.17Ejemplo
0 1.833
0.05
0 1.38
1.51.83
0.10
0.05
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 323
-
SolucinAl buscar hacia abajo la columna encabezada con 0.025 en
el rengln correspondiente a 12grados de libertad. El valor para t12
es 2.179.
Determine el valor para la distribucin de tl4 cuya cola de la
probabilidad inferior es 0.01.
SolucinBusque hacia abajo de la columna encabezada con 0.01 en
el rengln que corresponde a 14grados de libertad. El valor para tl4
es 2.624. Este valor corta un rea, o probabilidad, de 1%en la cola
superior. El valor cuya cola inferior de probabilidad es 1% es
2.624.
No use la estadstica t de Student si la muestra contiene datos
atpicos Para que la estadstica t de Student sea vlida, la muestra
debe provenir de una poblacin quees aproximadamente normal. Tales
muestras rara vez contienen datos atpicos. Por tanto, losmtodos que
implican la estadstica t de Student no se deben utilizar en
muestras que contie-nen datos atpicos.
Intervalos de confianza al usar la distribucin t de
StudentCuando el tamao muestral es pequeo y la poblacin es
aproximadamente normal, se puedeutilizar la distribucin t de
Student para calcular intervalos de confianza. Se muestra esto
l-timo con un ejemplo.
Un metalrgico estudia un nuevo proceso de soldadura. Fabrica
cinco uniones soldadasy mide la resistencia producida por cada uno.
Los cinco valores (en ksi) son 56.3, 65.4, 58.7,70.1 y 63.9.
Suponga que estos valores son una muestra aleatoria de una poblacin
aproxima-damente normal. La tarea es determinar un intervalo de
confianza para la media de la resis-tencia de las soldaduras hechas
por este proceso.
Cuando el tamao muestral es grande, no necesita preocuparse
mucho acerca de la na-turaleza de la poblacin, porque el teorema
del lmite central garantiza que la cantidad X ten-dr una
distribucin aproximadamente normal. Sin embargo, cuando la muestra
es pequea,la distribucin de la poblacin debe ser aproximadamente
normal.
En este caso el intervalo de confianza se construye de la misma
manera que en la sec-cin 5.1, exceptuando que el puntaje z se
reemplaza con un valor de la distribucin t de Stu-dent. La
cantidad
tiene una distribucin t de Student con n 1 grados de libertad.
La figura 5.12 muestra la dis-tribucin t4. De la tabla t de Student
se encuentra que 95% del rea bajo la curva est conte-nida entre los
valores t 2.776 y t 2.776. Por consecuencia, para 95% de todas
lasmuestras que se pudo haber elegido,
2.776 < X s/
n
< 2.776
X s/
n
324 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
5.18Ejemplo
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 324
-
FIGURA 5.12 La distribucin t de Student con cuatro grados de
libertad. Un 95% del reacae entre t 2.776 y t 2.776.
Expresado de otra manera, para 95% de todas las muestras que se
pudo haber elegido, se tie-ne que
Multiplicando por 1 y al sumar X en todos los lados de la
desigualdad, se obtiene un inter-valo de confianza 95% para m:
En este ejemplo, la media muestral es X 62.88 y la desviacin
estndar muestral ess 5.4838. El tamao muestral es n 5. Al sustituir
valores para X, s y n, se encuentra queun intervalo de confianza de
95% para m es 62.88 6.81 m 62.88 6.81, o (56.07,69.69).
En general, para producir un intervalo de confianza de nivel
100(1 )%, sea tn l, /2el 1 /2 cuantil de la distribucin t de
Student con n 1 grados de libertad, es el valor quecorta un rea de
/2 en la cola de la derecha. Por ejemplo, antes se encontr que t4,
0.025 2.776. Entonces un intervalo de confianza de nivel 100(1 )%
para la media m poblacio-nal es X tn l, /2(s/n) m X tn l, /2(s/n),
o X tn l, /2(s/n).
Cmo se determina si la distribucin t de Student es adecuada?La
distribucin t de Student es adecuada siempre que la muestra
provenga de una poblacinque es ms o menos normal. A veces se sabe
por experiencia si un proceso genera datos conuna distribucin
aproximada. Sin embargo, en muchos casos, se debe decidir si una
poblacines aproximadamente normal examinando la muestra. Por
desgracia, cuando el tamao mues-tral es pequeo, desviaciones a la
normalidad pueden ser difciles de detectar. Una manera ra-
X 2.776 sn
< < X + 2.776 sn
2.776 sn
< X < 2.776 sn
5.3 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras pequeas 325
02.776 2.776
2.5% 2.5%95%
Resumen
Sea Xl, . . . , Xn una muestra aleatoria pequea de una poblacin
normal con media m.Entonces un intervalo de confianza de nivel
100(1 )% para m es
(5.9)X tn1,/2 sn
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 325
-
zonable de proceder es construir un diagrama de caja o de puntos
de la muestra. Si estos dia-gramas no revelan una asimetra fuerte o
algn dato atpico, entonces en la mayor parte de loscasos la
distribucin t de Student ser confiable. En principio, tambin se
puede determinarsi una poblacin es aproximadamente normal al
construir una grfica de probabilidad. Sinembargo, con muestras
pequeas, los diagramas de caja y de puntos son ms fciles de
dibu-jar, especialmente a mano.
El artculo Direct Strut-and-Tie Model for Prestressed Deep Beams
(K. Tan, K. Tong y C.Tang, en Journal of Structural Engineering,
2001:1076-1084) presenta mediciones de la fuer-za nominal de corte
(en kN) para una muestra de 15 vigas de concreto. Los resultados
son
580 400 428 825 850 875 920 550575 750 636 360 590 735 950
Es adecuado utilizar la estadstica t de Student para construir
un intervalo de confianza de99% para la media de la fuerza de
corte? Si es as, construya el intervalo de confianza. Si
no,explique por qu.
SolucinPara determinar si la estadstica t de Student es
adecuada, se hace un diagrama de caja y depuntos de la muestra.
stos se muestran en la figura siguiente.
No hay evidencia de una desviacin muy importante a la
normalidad; en particular lasgrficas no son fuertemente asimtricas,
y no hay algn dato atpico. El mtodo t de Studentes adecuado. Por
tanto, se calcula X 668.27 y s 192.089. Se utiliza la expresin
(5.9) conn 15 y /2 0.005. De la tabla t con 14 grados de libertad,
se encuentra t14, 0.005 2.977.El intervalo de confianza de 99% es
668.27 (2.977)(192.089)/15, o (520.62, 815.92).
326 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
5.19Ejemplo
1 000
900
800
700
600
500
400
300
Fuer
za d
e co
rte (k
N)
300 400 500 600 700 800 900 1 000Fuerza de corte (kN)
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 326
-
El siguiente resultado de computadora (de MINITAB) presenta el
intervalo de confian-za calculado en el ejemplo 5.19.
El resultado es muy claro. La cantidad etiquetada SE Mean
representa la desviacin estn-dar de la media muestral, s/n.
En el artculo referido en el ejemplo 5.19, la fuerza compresiva
cilndrica (en MPa) fue me-dida para 11 vigas. Los resultados
fueron
38.43 38.43 38.39 38.83 38.45 38.35 38.43 38.31 38.32 38.48
38.50
Es adecuado utilizar la estadstica t de Student para construir
un intervalo de confianza de95% para la media de la fuerza
compresiva cilndrica? Si es as, construya el intervalo de
con-fianza. Si no, explique por qu.
SolucinComo en el ejemplo 5.19, se realizar un diagrama de caja
y un diagrama de puntos de lamuestra. stos se muestran en la figura
siguiente.
Hay un dato atpico en esta muestra. La estadstica t de Student
no se debe utilizar.
5.3 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras pequeas 327
One-Sample T: Strength
Test of mu = 0 vs not = 0
Variable N Mean StDev SE Mean 99% CIStrength 15 668.2667
192.0891 49.59718 (520.6159, 815.9175)
39
38.9
38.8
38.7
38.6
38.5
38.4
38.3
38.2
Fuer
za c
ompr
esiv
a (M
Pa)
38.2 38.4 38.6 38.8 39Fuerza compresiva (MPa)
5.20Ejemplo
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 327
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Un ingeniero lee un informe que dice que una muestra de 11 vigas
de concreto tena una fuer-za compresiva promedio de 38.45 MPa con
desviacin estndar de 0.14 MPa. Se debe utili-zar la curva t para
encontrar un intervalo de confianza para la media de la fuerza
compresiva?
SolucinNo. El problema es que no hay ninguna manera de saber si
las mediciones provienen de unapoblacin normal. Por ejemplo, si las
mediciones contienen un dato atpico (como en el ejem-plo 5.20), el
intervalo de confianza sera invlido.
La distribucin t de Student se puede utilizar para calcular
intervalos de confianza deun lado. Las frmulas son anlogas a las
que se utilizan con muestras grandes.
Utilice z, no t, si se conoce a ssEn ocasiones se puede tomar
una pequea muestra de una poblacin normal cuya desviacinestndar s
se conoce. En estos casos, no se utiliza la curva t de Student,
porque no se estaproximando a s con s. En su lugar, se utiliza la
tabla z. El ejemplo 5.22 ilustra el mtodo.
Con referencia al ejemplo 5.19. Suponga, con base en un nmero
muy grande de medicionesprevias de otras vigas, que la poblacin de
las fuerzas de corte es aproximadamente normal,con desviacin
estndar s 180.0 kN. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para
lamedia de la fuerza de corte.
SolucinSe calcula X 668.27. No se necesita calcular s, porque se
conoce la desviacin estndar po-blacional s. Dado que se quiere un
intervalo de confianza de 99%, /2 0.005. Ya que seconoce s, se
utiliza z/2 z0.005, en lugar de un valor de t de Student, para
calcular el inter-valo de confianza. De la tabla z se obtiene
z0.005 2.58. El intervalo de confianza es 668.27 (2.58)(180.0)/15,
o (548.36, 788.18).
Es importante recordar que cuando el tamao muestral es pequeo,
la poblacin debeser aproximadamente normal, se conozca o no la
desviacin estndar.
328 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
5.21Ejemplo
Sea Xl, . . . , Xn una muestra aleatoria pequea de una poblacin
normal con mediam. Entonces un lmite superior de confianza de nivel
100(1 )% para m es
(5.10)
y un lmite inferior de confianza de nivel 100(1 )% para m es
(5.11)X tn1, sn
X + tn1, sn
5.22Ejemplo
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 328
-
En ocasiones se tiene un solo valor que se muestrea de una
poblacin normal con des-viacin estndar conocida. En estos casos se
puede obtener un intervalo de confianza para my deducir como un
caso especial de la expresin (5.12) al hacer n 1.
5.3 Intervalos de confianza para la media poblacional con
muestras pequeas 329
Resumen
Sea Xl, . . . , Xn una muestra aleatoria (de cualquier tamao) de
una poblacin normalcon media m. Si se conoce la desviacin estndar
s, entonces un intervalo de confian-za de nivel 100(1 )% es
(5.12)X z/2 n
Resumen
Sea X un solo valor que se muestrea de una poblacin normal con
media m. Si se conoce la desviacin estndar s, entonces un intervalo
de confianza de nivel 100(1 )% para m es
(5.13)X z/2
1. Determine el valor de tn l, /2 necesario para construir
unintervalo de confianza de dos lados de un nivel especficocon los
siguientes tamaos muestrales:
a) Nivel 90%, tamao muestral 9. b) Nivel 95%, tamao muestral
5.c) Nivel 99%, tamao muestral 29.d ) Nivel 95%, tamao muestral
2.
2. Determine el valor de tn l, necesario para construir un
l-mite superior o inferior de confianza en cada uno de los ca-sos
del ejercicio 1.
3. Determine el nivel de confianza para un intervalo de dos
la-dos que est basado en el valor dado de tn l, /2 y el tama-o
muestral especfico.
a) t 2.179, tamao muestral 13. b) t 3.365, tamao muestral 6.
c) t 1.729, tamao muestral 20. d ) t 3.707, tamao muestral 7. e)
t 3.707, tamao muestral 27.
4. Verdadero o falso: La distribucin t de Student se puede
uti-lizar para construir un intervalo de confianza para la mediade
cualquier poblacin, en tanto que el tamao muestral seapequeo.
5. El artculo Ozone for Removal of Acute Toxicity fromLogyard
Run-off (M. Zenaitis y S. Duff, en Ozone Scien-ce and Engineering,
2002:83-90) presenta anlisis qumi-cos del agua que escurre de
aserraderos en la ColumbiaBritnica. Incluye seis mediciones de pH
para seis muestrasde agua: 5.9, 5.0, 6.5, 5.6, 5.9, 6.5. Suponiendo
que stassean una muestra aleatoria de las muestras de agua de
unapoblacin aproximadamente normal, encuentre un intervalode
confianza de 95% para la media del pH.
Ejercicios para la seccin 5.3
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 329
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7. El artculo An Automatic Visual System for Marble
TileClassification (L. Carrino, W. Polini, y S. Turchetta,
enJournal of Engineering Manufacture, 2002:1095-1108)describe una
medida para la sombra del azulejo de mrmolen el cual la cantidad de
luz reflejada por ste se mide enuna escala de 0-255. Un azulejo
perfectamente negro no re-fleja luz alguna y mide 0, y un azulejo
perfectamente blan-co medira 255. Se midi una muestra de nueve
azulejosMezza Perla, con los siguientes resultados:
204.999 206.149 202.102 207.048 203.496206.343 203.496 206.676
205.831
Es adecuado utilizar la estadstica t de Student para cons-truir
un intervalo de confianza de 95% para la media de lasombra del
azulejo Mezza Perla? Si es as, hgalo. Si no,explique por qu.
8. Una qumica hizo ocho mediciones independientes del pun-to de
fusin del tungsteno. Obtuvo una media muestral de3 410.14C y una
desviacin estndar muestral de 1.018C.
a) Determine un intervalo de confianza de 95% para elpunto de
fusin del tungsteno.
b) Determine un intervalo de confianza de 98% para elpunto de
fusin del tungsteno.
c) Si las ocho mediciones hubieran sido 3 409.76, 3 409.80,3
412.66, 3 409.79, 3 409.76, 3 409.77, 3 409.80 y3 409.78 seran
vlidos los intervalos de confianza quese encuentran en los incisos
a) y b)? Explique.
9. Se hacen ocho mediciones independientes del dimetro deun
pistn. Las mediciones (en pulgadas) son 3.236, 3.223,3.242, 3.244,
3.228, 3.253, 3.253 y 3.230.
a) Realice un diagrama de puntos de los ocho valores.b) Se debe
utilizar la curva t para encontrar un intervalo
de confianza de 99% para el dimetro de este pistn? Sies as,
encuentre el intervalo de confianza. Si no, expli-que por qu.
c) Se toman ocho mediciones independientes del dimetrode otro
pistn. Las mediciones en este momento son
3.295, 3.232, 3.261, 3.248, 3.289, 3.245, 3.576 y 3.201.Realice
un diagrama de puntos de estos valores.
d ) Se debe utilizar la curva t para encontrar un intervalode
confianza de 95% para el dimetro de este pistn? Sies as, encuentre
el intervalo de confianza. Si no, expli-que por qu.
10. Se toman cinco mediciones de la clasificacin de octano pa-ra
un tipo especial de gasolina. Los resultados (en %) son87.0, 86.0,
86.5, 88.0, 85.3. Encuentre un intervalo de con-fianza de 99% para
la media de la clasificacin de octano demedia para este tipo de
gasolina.
11. Un modelo de transferencia de calor de un cilindro
sumer-gido en un lquido predice que el coeficiente de
transferen-cia de calor para el cilindro es constante en razones
muybajas de circulacin del fluido. Se toma una muestra de
diezmediciones. Los resultados, en W/m2K, son
13.7 12.0 13.1 14.1 13.114.1 14.4 12.2 11.9 11.8
Determine un intervalo de confianza de 95% para el coefi-ciente
de transferencia de calor.
12. Los tensioactivos son agentes qumicos, como detergentes,que
bajan la tensin superficial de un lquido. Son impor-tantes en la
limpieza de suelos contaminados. En un expe-rimento para determinar
la eficacia de cierto mtodo pararetirar tolueno de arena, esta
ltima fue lavada con un agen-te tensioactivo, y luego enjuagada con
agua desionizada. Esimportante la cantidad de tolueno que sale en
el enjuague.En cinco de estos experimentos, las cantidades de
toluenoeliminado en el ciclo de enjuague, expresado como
porcen-taje de la cantidad total originalmente presente, fueron
de5.0, 4.8, 9.0, 10.0 y 7.3. Determine el intervalo de confianzade
95% para el porcentaje de tolueno eliminado en el enjua-gue. (Este
ejercicio est basado en el artculo LaboratoryEvaluation of the Use
of Surfactants for Ground Water Re-mediation and the Potential for
Recycling Them D. Lee, R.Cody, y B. Hoyle, en Ground Water
Monitoring and Reme-diation, 2001:49-57.)
330 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
N Mean Median TrMean StDev SE Mean10 8.905 6.105 6.077 9.690
3.064
Minimum Maximum Q1 Q30.512 39.920 1.967 8.103
6. Los siguientes son resmenes estadsticos para un conjunto de
datos. Sera adecuado utilizar la distribucin t de Student
paraconstruir un intervalo de confianza de estos datos?
Explique.
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:35 PM Page 330
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13. En un experimento para medir la razn de absorcin de
pesticidas a travs de la piel, 500 mg de uniconazol se aplic a la
pielde cuatro ratas. Despus de diez horas, las cantidades
absorbidas (en mg) fueron 0.5, 2.0, 1.4 y 1.1. Encuentre un
intervalo deconfianza de 90% para la media de la cantidad
absorbida.
14. El siguiente resultado de MINITAB presenta un intervalo de
confianza para una media poblacional.
a) Cuntos grados de libertad tiene la distribucin t de
Student?b) Utilice la informacin en el resultado, junto con la
tabla t, para calcular un intervalo de confianza de 99 por
ciento.
15. El siguiente resultado de MINITAB presenta un intervalo de
confianza para una media poblacional, pero algunos de los nme-ros
estn borrosos y son ahora ilegibles. Complete los nmeros faltantes
para (a), (b) y (c).
16. La concentracin de monxido de carbono (CO) en una muestra de
gas se mide con un espectrmetro y se encuentra que es de85 ppm. A
partir de la gran experiencia con este instrumento, se cree que sus
mediciones no tienen sesgos y se distribuyen nor-malmente, con
incertidumbre (desviacin estndar) de 8 ppm. Determine un intervalo
de confianza de 95% para la concentra-cin de CO en esta
muestra.
5.4 Intervalos de confianza para la diferencia entre dos
medias
Ahora se tratan ejemplos en los que se desea calcular la
diferencia entre las medias de dos po-blaciones. Los datos constarn
de dos muestras, una para cada poblacin. La idea bsica essimple. Se
calcular la diferencia de las medias muestrales y la desviacin
estndar de esa di-ferencia. Entonces una modificacin simple de la
expresin (5.1) (de la seccin 5.1) propor-cionar el intervalo de
confianza. El mtodo que se describe est basado en los resultados
quese relacionan con la suma y la diferencia de dos variables
aleatorias normales independientesque se presentaron en la seccin
4.5. Aqu se repasan estos resultados:
5.4 Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias
331
One-Sample T: X
Variable N Mean StDev SE Mean 95% CIX 10 6.59635 0.11213 0.03546
(6.51613, 6.67656)
One-Sample T: X
Variable N Mean StDev SE Mean 99% CIX 20 2.39374 (a) 0.52640 (
(b), (c) )
Sean X y Y independientes, con X N(mX, s2X ) y Y N(mY, s2Y).
Entonces
X Y N(mX mY, s2X s2Y) (5.14)
X Y N(mX mY, s2X s2Y) (5.15)
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:36 PM Page 331
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Ahora se ver cmo construir un intervalo de confianza para la
diferencia entre dos me-dias poblacionales. Como ejemplo, suponga
que se ha estado desarrollando un diseo nuevode foco que se piensa
durar ms que el diseo viejo. Una muestra aleatoria simple de 144
fo-cos nuevos tiene un tiempo de vida promedio de 578 horas y una
desviacin estndar de 22horas. Una muestra aleatoria simple de 64
focos viejos tiene tiempo de vida promedio de 551 ho-ras y
desviacin estndar de 33 horas. Las muestras son independientes, de
tal manera que lostiempos de vida para una muestra no influyen
sobre los tiempos de vida de la otra. Se quiereencontrar un
intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre la media de
los tiemposde vida de los focos de los dos diseos.
Se inicia por traducir el problema en el lenguaje estadstico. Se
tiene una muestra alea-toria simple X1, . . . , X144 de los tiempos
de vida de los focos nuevos. La media muestral esX 578 y la
desviacin estndar muestral es sX 22. Se tiene otra muestra
aleatoria simpleY1, . . . , Y64 de los tiempos de vida de los focos
viejos. Esta muestra tiene una media Y 551y desviacin estndar sY
33. Las medias poblacionales y las desviaciones estndares no
seconocen. Se denota a la media poblacional de los tiempos de vida
de los nuevos focos por mXy la media poblacional de los focos
viejos por mY. Se denota las correspondientes desviacio-nes
estndares por sX y sY. Se tiene inters en la diferencia mX mY.
Se puede construir el intervalo de confianza para mX mY
determinando la distribucinX Y. Mediante el teorema del lmite
central, X proviene de una distribucin normal con me-dia mX y
desviacin estndar sX/144
, y Y proviene de una distribucin normal con media mYy desviacin
estndar sY/64
. Dado que las muestras son independientes, se tiene por mediode
la expresin (5.15) que la diferencia X Y proviene de una
distribucin normal con me-dia mX mY y varianza s2X Y s2X /144 s2Y
/64. La figura 5.13 muestra la distribucin deX Y e indica que 95%
intermedio de la curva tiene un ancho 1.96sX Y.
FIGURA 5.13 La diferencia observada X Y 27 se extrae de una
distribucin normalcon media mX mY y desviacin estndar
Al estimar las desviaciones estndares poblacionales sX y sY con
las desviaciones estn-dares muestrales sX 22 y sY 33,
respectivamente, se estima 4.514. Por tanto, el intervalo de
confianza de 95% para mX mY es 578 551 1.96(4.514),o 27 8.85.
pXY
222/144+332/64
XY =
2X/144 + 2Y /64.
332 CAPTULO 5 Intervalos de confianza
95%
mX mY 1.96sX Y mX mY 1.96sX YmX mY
NAVIDI Cap 05 2/10/06 10:36 PM Page 332
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La composicin qumica del suelo vara con la profundidad. El
artculo Sampling Soil Waterin Sandy Soils: Comparative Analysis of
Some Common Methods (M. Ahmed, M. Sharmay colaboradores, en
Communications in Soil Science and Plant Analysis,
2001:1677-1686)describe anlisis qumicos del suelo tomado de una
granja en Australia occidental. Se toman50 muestras a profundidades
de 50 y 250 cm. A una profundidad de 50 cm, la concentracinpromedio
de NO3 (en mg/l) era de 88.5 con una desviacin estndar de 49.4. A
una profun-didad de 250 cm, la concentracin promedio era de 110.6
con una desviacin estndar de51.5. Determine un intervalo de
confianza de 95% para la diferencia entre las concentracio-nes de
NO3 a las dos profundidades.
SolucinSean X1, . . . , X50 las concentraciones de 50 muestras
tomadas a 50 cm y sean Y1, . . . , Y50 lasconcentraciones de 50
muestras tomadas a 250 cm. Entonces X 88.5, Y 110.6, sX 49.4y sY
51.5. Los tamaos muestrales son nX nY 50. Ambas muestras son
grandes, por loque se puede utilizar la expresin (5.16). Como
consecuencia de que se quiere un intervalo deconfianza de 95%, z/2
1.96. El intervalo de confianza de 95% para la diferencia mY
mXe