CAPTULOI 3BASES MATEMATICAS PARA ESTADISTICA I 3Operaciones con
enteros y racionales 3Redondeo de datos. ... 6Sistema de
coordenadas rectangulares (S.C.R.). .. 6Simbologa a utilizarse en
estadstica I. 7CAPTULO II. 9GENERALIDADES. 9
Concepto de estadstica. 9Importancia y aplicaciones de la
estadstica en otras ciencias.. 9Clasificacin de la estadstica:
Descriptiva e Inductiva... 10Estadsticas y parmetros. 10El mtodo
estadstico... 10CAPTULO III.. 12NOCIONES PRELIMINARES. 12
Concepto de variables. Clasificacin.. 12Ordenacin de datos 12
Amplitud total o recorrido de la variable... 12Tamao o anchura de
un intervalo de clase 13Lmites de clase.. 13Intervalos de
clases..14Tabulacin de datos 15Distribucin de frecuencia...15Marca
de clase o punto medio.17Frecuencia acumulada 18Porcentaje...
18CAPTULO IV. 20REPRESENTACIONES GRFICAS. 20
Representaciones grficas. 20Recomendacin para la construccin de
grficas. 20Grficos lineales 20Histograma.20Polgono de frecuencias
21Interpretacin pedaggica del polgono de frecuencias 22Grfica de
frecuencia acumulada.. 26Interpretacin pedaggica de la frecuencia
acumulada. 27Grficos de superficie.. 28Grfica de barras.. 28Barras
verticales... 29Barras horizontales29Barras compuestas.31Porcentaje
de barras compuestas.. 31Grfico circular. 32CAPTULO V.. 35MEDIDAS
DE TENDENCIA CENTRAL.. 35
Medidas de tendencia central 35Media Aritmtica. Tipos 35Mediana.
Tipos.. 40Modo. Tipos... 43Representacin grfica de la , Mdn y Mo,
en un polgono de frecuencias..45Media Geomtrica..45Media Armnica
46CAPTULO VI. 47MEDIDAS DE VARIABLILIDAD (DISPERSIN) 47
Medidas de dispersin47Desviacin media. Tipos... 47Desviacin
tpica. Tipos.49Interpretacin pedaggica de la desviacin media y de
la desviacin tpica.54CAPTULO VII55MEDIDAS INDIVIDUALES... 55
Medidas individuales55Cuartiles55Deciles.
59Percentiles59Puntuaciones Tipificadas (z)... 62Puntuaciones
Derivadas (T).63
UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJAFACULTAD DE CIENCIAS DE LA
EDUCACINDEPARTAMENTO DE MATEMTICASMODALIDAD ABIERTA
CAPTULO I
BASES MATEMTICAS PARA ESTADSTICA
1. Operaciones con enteros y racionales1.1. Adicin de enteros y
racionales.1.1.1. Adicin de enteros positivos. Para adicionar
enteros que estn precedidos de signo (+), se suman los valores
absolutos y se escribe la respuesta con el signo (+), que bien
puede ir sobrentendido.
EJERCICIOS: 1) +17 + 15 = +322) +100 + 58 = +1583) +1 + 8 =
+9
1.1.2. Adicin de enteros negativos. Para adicionar enteros que
estn precedidos del signo (-), se aumentan los valores absolutos y
se escribe la respuesta con el signo (-).
EJERCICIOS: 1) -25 - 12 = -372) -80 120 = -2003) -12 0 = -12
1.1.3. Adicin de enteros de diferente signo. Para adicionar
enteros de diferente signo, se restan los valores absolutos y la
respuesta se la escribe con el signo del mayor valor absoluto.
EJERCICIOS: 1) -25 + 18 = -72) +17 8 = + 93) -5 + 12 = + 7
1.1.4. Adicin de racionales. Para adicionar racionales es
necesario hallar el mnimo comn denominador (es el denominador comn
el que contiene a todos los denominadores). Luego el m.c.d. se
divide para cada uno de los denominadores y el coeficiente se lo
multiplica por el numerador, por ltimo se suman los productos
parciales.
EJERCICIOS: 1) 1/4 + 3/2 = = 7/42) -2/3 5/6 = = -9/6 = -3/23)
6/5 1/3 = = 13/154) -3/2 5/7 = = -31/14
1.2. Sustraccin de enteros y racionales.Para restar enteros y
racionales, la resta se transforma en suma, cambindole el signo al
sustraendo y luego se suman los enteros.
EJERCICIOS: Sustraccin de enteros: 1) 7 - (+4) = 7 4 = 32) -3
(5) = -3 5 = -83) +2 (-3) = +2 + 3 = +54) -3 (+10) = -3 10 =
-13
Sustraccin de raciones: 1) 3/5 (-2/15) = 3/5 + 2/15 = = 11/152)
-2/3 (+3/8) = -2/3 3/8 = = -25/24
1.3. Multiplicacin de enteros y racionales.Para multiplicar o
dividir enteros y racionales es necesario saber la ley general de
signos.
(+) . (+) = +() . () = (+) . () = () . (+) =
1.3.1. Para multiplicar enteros, se multiplican los signos y
luego los valores absolutos.
EJERCICIOS: 1) (+4) (+3) = 122) (-5) (-8) = 403) (-6) (+3) =
-184) (+7) (-4) = -28
1.3.2. Para multiplicar racionales, primero se multiplican los
signos y luego se multiplican los numeradores y denominadores entre
si.
1) (+ 3/4) (+8/9) = + 24/36 = 2/32) (-5/4) (+16/25) = -80/100 =
-4/5
1.4. Divisin de enteros y decimales.1.4.1. Para dividir enteros,
se multiplican los signos y luego se divide el dividendo para el
divisor.
EJERCICIOS: 1) (-21) (7) = 122) (+48) (-6) = -8
1.4.2. Para dividir racionales, la divisin se transforma en
multiplicacin, as, se escribe el dividendo multiplicado por el
divisor invertido.
EJERCICIOS: 1) (3/5) (15/9) = (3/5) (9/15) = 27/75 = 9/252)
(-8/21) (4/7) = (-8/21) (7/4) = -56/84 = -2/3
1.5. Potenciacin de enteros y racionales.La potenciacin tiene
tres elementos: Base, exponente y potencia.
4 se llama la base.3 se llama el exponente.64 se llama
potencia.
El exponente indica el nmero de veces que se repite la base.Para
elevar un nmero entero o un racional a un cierto exponente, se
multiplica el entero o el racional por si mismo, las veces que
indica el exponente.
POTENCIACIN DE ENTEROS
EJERCICIOS: 1) (+5)2 = (5) (5) = 252) (-7)2 = (-7) (-7) = 493)
(-2)2 = (-2) (-2) = 44) (-3)3 = (-3) (-3) (-3) = -275) (-2/3)2 =
4/96) (11/10)2 = 121/100
1.6. Radicacin de enteros y racionales.La raz cuadrada de un
nmero negativo, no existe en el conjunto de los nmeros enteros ni
en los racionales, pero si existe en el conjunto de nmeros
complejos.1.6.1. Para extraer la raz de un entero, si Ud. Cree
conveniente puede utilizar el mecanismo operatorio de raz cuadrada,
caso contrario acuda a las tablas de races cuadradas o bien a
mquinas calculadoras.
EJERCICIOS: 1) = 42) = 11
1.6.2. La raz de un racional, es igual a la raz del numerador
sobre la raz del denominador y luego se extrae la raz del numerador
y del denominador.
EJERCICIOS: 1) = = 9/52) = = 7/6
1.7. EJERCICIOS PROPUESTOS PARA EL ESTUDIANTE
1) -19+12-13+8 = 19) 1/2 3/4 = 2) 25-7+13-9-3 =20) 35/2 5/6 =3)
-23-12+18-2 =21) -5/7 9/8 =4) 12 (-9) =22) -2/3 (-5/6) =5) -16 (14)
=23) -9/8 (-15/8) =6) -14 (-9) =24) -56/3 (-9/5) =7) (-7) (-5) (-2)
=25) (-2/7) (-5/6) =8) (-9) (-8) (-1) =26) (-9/8) (8/6) =9) (-2)
(-3) (-4) =27) (2/48) (96/4) (76/98) =10) (-72) (+9) =28) (48/56)
(-7/8) = 11) (-81) (-3) =29) (-58/86) (29/43) =12) (-45) (-15) =30)
(24/56) (12/34) =13) (-3)4 = 31) (3/4)2 =14) (-5)3 =32) (-3/5)3
=15) (10)6 =33) (-6/5)3 = 16) = 34) =17) =35) =18) =36) =
2. Redondeo de datos:En la actualidad se utilizan con mucha
frecuencia las mquinas calculadoras para realizar operaciones
matemticas, obtenindose algunas cifras decimales, para evitar
escribir todas las cifras decimales, es necesario el redondeo de
datos utilizndose el siguiente procedimiento: Cuando el ltimo dgito
es menor q 5, se omite; en cambio si el ltimo dgito es mayor o
igual a 5, al dgito anterior se le aumenta 1.
Aproximacin a un entero: 9,3=9Aproximacin a un entero:
10,5=11Aproximacin a la dcima: 12,18=12,2Aproximacin a la dcima:
6,23=6,2Aproximacin a la centsima: 5,139=5,14Aproximacin a la
centsima: 2,532=2,53Aproximacin a la centsima: 15,678=15,68
3. Sistema de Coordenadas Rectangulares
Esta formado por la interseccin perpendicular de dos rectas
numricas, las mismas que tienen ciertas caractersticas propias.3.1.
Caractersticas del Sistema Coordenado Rectangular. Esta formado por
dos ejes coordenados. El eje horizontal se llama eje de las equis o
eje de las abscisas. El eje vertical se llama eje de las yes o eje
de las ordenadas. Se pueden representar puntos P (x,y), de tal
manera que sus elementos (x,y) tienen un orden fijo.El semieje (0Y)
es positivoEl semieje (0Y`) es negativoEl semieje (0X) es
positivoEl semieje (0X`) es negativoEJEMPLO: Al representar el
punto A(4,5) que tiene de abscisa 4 y de ordenada 5, se localiza en
los respectivos ejes y luego se realiza la interseccin y ese ser el
punto A.
4. Simbologa a utilizarse en Estadstica I
Por lo general todos los autores de obras de Estadstica,
establecen su propia simbologa, ahora se trata de unificar la
simbologa que se ha venido estudiando.
Amp. = Amplitud.ni.=Nmero de intervalos.N=Nmero total de casos o
poblacin.i=ancho de intervalo.Xm=Punto medio.ls=Lmite superior.li=
Lmite inferior.P=Porcentaje.f= Frecuencia.fa=Frecuencia
acumulada.Ao=rea del sector circular.u=Desviacin respecto de la
media supuesta.=Media aritmtica.=Media
supuesta.Mdn.=Mediana.fai=Frecuencia acumulada
inferior.Mo.=Modo1=Diferencia entre la frecuencia del modo y la
frecuencia inferior.2=Diferencia entre la frecuencia del modo y la
frecuencia superior.G.=Media geomtrica.H=Media Armnica.DM=Desviacin
media.d=Desviaciones.=Desviacin estndar, o desviacin
tpica.C.V.=Coeficiente de variacin.Qp1 =Ubicacin del primer
cuartil.Qp2 =Ubicacin del segundo cuartil.Qp3 =Ubicacin del tercer
cuartil. Q1=Primer cuartil.Q2=Segundo cuartil.Q3=Tercer cuartil.Dp1
=Ubicacin del primer decil.Dp2 =Ubicacin del segundo decil.Dp3
=Ubicacin del tercer decil.D1=Primer decil.D2=Segundo
decil.D3=Tercer decil.Pn=Ubicacin del
percentil.P100=Percentil.z=Puntuaciones tipificadas.T=Puntuaciones
derivadas.Ls=Lmite real superior.Li=Lmite real inferior.
CAPTULO II
GENERALIDADES
1. Concepto de EstadsticaEs una parte de la matemtica, que
utiliza sus propios medios para recolectar datos, expresarlos en
forma matemtica, analizarlos y luego investigar las relaciones
existentes entre los hechos, para poder inferir ciertas
conclusiones.
2. Importancia y aplicaciones de la Estadstica en otras
ciencias.2.1. Importancia de la estadstica En la actualidad toda
institucin o toda organizacin, debe tener sistemas de control
estadstico, desde ese punto de vista la importancia es enorme, ya
que no solo en educacin podra ser utilizada, sino en la industria,
en el comercio y en la salud pblica.En la escuela primaria,
mediante la estadstica se podr conocer si un alumno lee muy bien o
regular; si la asistencia de los escolares es normal, irregular; si
la estatura est en relacin con la edad.En la escuela secundaria,
los Sres. Profesores Dirigentes de curso, pueden conocer a fondo el
rendimiento de su curso, mediante los mtodos estadsticos.En el
campo de las predicciones ayudara a tener un concepto mas claro de
cmo se produciran ciertos fenmenos.Todo profesional competente de
las ciencias del comportamiento, debe conocer ciertos mtodos
estadsticos y su aplicacin.
2.2. Aplicaciones de la estadstica en otras cienciasLa
estadstica es un mtodo necesario, que se utiliza en las ciencias de
la agricultura. Por ejemplo, cuando se desea explicar la abundancia
agrcola, debido a la aplicacin estadstica, a los planos y a los
anlisis de los experimentos agrcolas.La estadstica es utilizada por
las ciencias econmicas en lo que respecta a las estadsticas del
desempleo y sus repercusiones sociales.Las ciencias mdicas, usan
las estadsticas para probar la eficacia de nuevos medicamentos. La
lista sera interminable. La estadstica se emplea en la Geologa,
Biologa, Psicologa, Sociologa, y en todo sector en el que las
inferencias deben hacerse a base de datos o informes
incompletos.Las ciencias pedaggicas tienen a la estadstica como un
instrumento indispensable de trabajo, ya que puede conocer a los
problemas escolares en los cuales sea posible utilizar la
estadstica para poder resolverlos. Clasificacin de los alumnos de
acuerdo a la edad cronolgica y de acuerdo a la edad mental. Medicin
del aprovechamiento, utilizando pruebas objetivas. Evaluacin de las
pruebas (fciles, difciles y normales). Clasificacin de los
estudiantes de acuerdo a su calificacin. Establecer correlaciones
entre asignaturas diferentes. Comprobacin del rendimiento de los
estudiantes de un mismo curso o grado. Para la interpretacin de los
resultados de una investigacin con el objeto de planificar el
trabajo docente. Para la promocin de los estudiantes.
3. Clasificacin de la estadstica3.1. Estadstica DescriptivaEl
objeto de la estadstica descriptiva es la clasificacin de datos,
representar grficos, utilizar medidas de tendencia central, medidas
de variabilidad, medidas individuales y obtener ciertas
conclusiones.3.2. Estadstica InferencialLa inferencia estadstica
tiene por tanto como funcin generalizar los resultados de la
muestra, para estimar las caractersticas de la
poblacin[footnoteRef:1] [1: Cfr. Barbancho Alonso, Estadstica
Elemental Moderna, p.12]
La estadstica descriptiva y la Inductiva, utiliza as mismo dos
tipos de elementos matemticos.La estadstica descriptiva para
analizar sus datos utiliza procesos operatorios de aritmtica, en
cambio la estadstica inductiva cuando trata de obtener
conocimientos acerca de poblaciones a partir de muestras extradas
de esa poblacin.Los medios matemticos se fundamentan en la teora de
la probabilidad.
4. Estadstica y Parmetros4.1. Estadsticos. Se llama as al
conjunto de caractersticas y resultados de una elaboracin
estadstica cuando se han obtenido a partir de una muestra. El
estadstico no afirma ni niega nada con respecto a la poblacin.4.2.
Parmetros. Se llama al estadstico que por sus condiciones es
aceptado como vlido para la poblacin. El parmetro no se puede
obtener directamente, sino que se infiere por clculo de
probabilidades.
CUADRO DE ALGUNOS PARMETROS Y ESTADSTICOS
CARACTERSTICAPARMETROESTADSTICO
Media Aritmticam
Desviacin tpicas
Varianzas22
Fraccin o proporcinpp
Coeficiente de correlacinRr
Nmero de casosnN
CUADRO No. 2
5. Mtodo EstadsticoToda investigacin experimental conlleva un
mtodo de trabajo.El mtodo estadstico, para su aplicacin requiere
del siguiente proceso:5.1. Determinacin precisa del problema. Es
fundamental delimitar claramente el problema y plantearlo bien en
todas sus dimensiones.5.2. Comprobacin de datos. Es conveniente
verificar los hechos que van a ser objeto de anlisis y que han sido
captados por la observacin o la experimentacin, mediante los
instrumentos de medida.5.3. La Elaboracin Estadstica. Se refiere a
la recoleccin, seleccin y seriacin de los datos que han de ser
tratados y expresados numricamente y grficamente.5.4. La
Interpretacin de los datos. Una vez que se ha llegado a determinar
el valor de las cifras recopiladas, se pueden obtener ciertas
conclusiones.5.5. Obtencin de inferencias y generalizacin de los
resultados. Las conclusiones anteriores que son la muestra, se la
puede llegar a generalizar para toda la poblacin.
CAPTULO III
NOCIONES PRELIMINARES
1. Concepto de variable. Variable es toda magnitud que est
dispuesta a cambiar de valor.Las variables tienen dos
caractersticas: La primera es la diferencia entre los valores
posibles de la variable y los valores realmente observados; la
segunda es la diferencia entre variables discretas y continuas, o
variables cuantitativas.1.1. Diferencia entre valores posibles es
el conjunto de valores realmente observados. Los valores posibles
es el conjunto de valores que puede tener la variable. Por ejemplo
si las calificaciones de un examen van de 0 a 20 en enteros, la
variable calificacin los 21 valores que van desde 0, 1, 2,3,..20, a
este conjunto se lo llama valores posibles. Los valores observados,
es el conjunto de valores posibles de la variable, que se han
observado realmente por Ejm. Los cuatro valores de la variable que
se han observado son 10, 12, 15, 19, a este grupo se les llama
valores realmente observados.1.2. Variables cuantitativas.Desde
tiempos antiguos se conocen que vienen influyendo en el desarrollo
de la matemtica el dominio de lo discreto y de lo continuo.1.2.1.
Variable discretaLas magnitudes discretas interpretan la naturaleza
matemtica en forma individual, precisa, separadas como los nmeros
enteros, por ejemplo los estudiantes de un curso.1.2.2. Variable
continuaLas magnitudes continuas interpretan la naturaleza y la
matemtica en forma ininterrumpida, por ejm. El peso de los alumnos,
la edad de las personas.1.3. Variables CualitativasSe trata de una
caracterstica del fenmeno que se investiga o ms bien de una
cualidad, que no puede ser representada mediante numerales, por
ejm. El sexo, el tipo de colegio, etc.
2. Ordenacin de datosCuando el investigador dispone de un
conjunto de datos tiene que ordenarlos de acuerdo a las variables
cualitativas y cuantitativas.Para ordenar las variables
cualitativas se toma en cuenta las caractersticas o cualidades de
la investigacin. En cambio para ordenar de acuerdo a las variables
cuantitativas, se disponen los valores que sea en forma ascendente
o descendente y luego se los escribe en un cuadro estadstico.
3. Amplitud total o recorrido de la variable.Se llama amplitud
total a la diferencia que se establece entre el valor mayor y el
valor menor de la variable,
Ampl. = X mayor X menor.X. mayor = Valor mayor de la serie.X.
menor = Valor menor de la serie.
Una serie tiene sus valores lmites que son: 185 y 131,
determinar su amplitud.
Amp. = X mayor X menor.Utilizando la frmula, reemplazando los
valores tenemos:Amp. = 185 131 Amp. = 54
4. Tamao o anchura de un intervalo de claseSe llama al nmero de
valores que existen entre dos valores lmites.4.1. Ancho del
intervalo de clase. Es conveniente en Pedagoga que toda serie tenga
como ancho del intervalo un nmero impar es decir: i = 3, i = 5, i =
7, i = 9, etc.Con el objeto de que el punto medio de la serie sea
un nmero entero.4.2. Determinacin del anchi del intervalo de una
serie. Para conocer el nmero exacto de valores que existe en un
intervalo, se lo puede hacer mediante la frmula:
i = ls li + 1ls. = lmite superior.li. = lmite inferior.i = ancho
de intervalo.
A proponerse los intervalos de una serie de valores; se desea
conocer el ancho del Intervalo. XSi tomamos la frmula del
intervalo.i = ls li + 1al tomar el primer intervalo y reemplazar
sus valores en la frmula tenemos:i = 52 48 + 1i = 5
1ra.47.5 52.5
2do.42.5 47.5
3ro.37.5 42.5
4to.32.5 37.5
5to.27.5 32.5
6to.22.5 27.5
7mo.17.5 22.5
8vo.12.5 17.5
CUADRO No. 3
5. Lmites de claseSe llaman lmites de clase a los valores
expresados que estn formando los intervalos, por ejm. Los valores
de la serie del cuadro No. 3.5.1. Lmite superior e inferior de un
intervalo.5.1.1. Se llama lmite superior, al mayor valor del
intervalo, podemos tomar los valores 52, 47, 42,37, etc. del cuadro
No. 3, que son lmites superiores.5.1.2. Se llama lmite inferior al
menor valor del intervalo por ejm. los valores 47, 42, 37, etc. del
cuadro No. 35.2. Lmite real superior e inferior de un
intervalo.5.2.1. Lmite real superior, se lo obtiene de la semisuma
del lmite superior del intervalo en referencia con el lmite
inferior del intervalo mayor.Para su clculo utilizamos la siguiente
frmula:Ls = Lmite real superiorls = lmite superior del intervalo en
referencia.li = Lmite inferior del intervalo mayor.
Obtener el lmite superior del tercer intervalo.
Ls = 42,5
5.2.2. Lmite real inferior asimismo se obtiene de la semisuma
del lmite inferior del intervalo en referencia, con el lmite
superior del intervalo menor. Para su clculo utilizamos la misma
frmula anterior.Por ejm. obtener el lmite real inferior del tercer
intervalo del cuadro No. 3.Li = Lmite real inferior
Li = 37,5
En consecuencia los lmites reales del tercer intervalo son los
siguientes: 42,5 37,5
6. Intervalos de claseEs un conjunto de numerales que se los
agrupa, en una clase porque debido al nmero de elementos que se
repiten, no pueden ser representativos todos a la vez.Una serie de
valores se la agrupa en intervalos, cuando el nmero de elementos
que la forman es mayor o igual a 25.Para determinar el nmero de
intervalos de clase, se divide la amplitud para el ancho del
intervalo (nmero impar) que se desee de acuerdo al nmero de
elementos y se le suma la unidad.
EJEMPLO: Ordenar en intervalos las estaturas de 50
estudiantes.
177- 167 169 176 - 159 - 161 165 163 167 167 160 141 133 180 168
170 172 160 161 163 163 166 163 153 148 131 185 167 173 171 160 162
162 164 165 161 154 140 131 167 175 171 160 164 161 166 164 162 158
132.Primero: se localiza los valores mayor y menor de la serie.X
mayor = 185Amp. = X mayor X menorX menor = 131
Segundo: se halla la amplitudAmp. = 185 131Amp. = 54
Tercero: Se impone el ancho del intervalo (i = 9)Cuarto: Se
obtiene el nmero de intervalos:
ni = 6 + 1ni = 7
De esta manera hemos obtenido que la nueva serie debe tener 7
intervalos.
7. Tabulacin de datosEs el proceso mediante el cual se anota
frente a la columna de la variable el nmero de veces que se repite
una magnitud, se lo puede hacer mediante rayitas verticales u
horizontales.
8. Distribucin de frecuencias8.1. Frecuencia. Se denomina al
nmero de veces que se repite una misma magnitud.8.2. Serie simple
con frecuenciaSe llama as a la ordenacin de la variable realizada
en forma ascendente o descendente, siempre que la amplitud o
recorrido no sea demasiado grande, porque si esto sucede se puede
ordenar por intervalos.Ejemplo: Ordenar y tabular los siguientes
datos en una serie con frecuencias.
159 161 165 163 167 167 160 160 161 163 163 166 163 160 162 162
164 165 161 160 164 161 166 164 162 Se ordena la variable en forma
descendente y luego se realiza el proceso de tabulacin.XTabul.Frec.
f.
167166165164163162161160159 I I I I I I I I I I I I I I I I I I
I I I I I I I222343441
TOTAL:25
8.3. Serie ordenada de intervalosCuando una serie esta formada
por ms de 25 elementos, es necesario utilizar los intervalos para
agrupar los valores de la variable.8.3.1. Proceso para ordenar una
variable mediante intervalos. Primero: Se halla la magnitud o
recorrido de la variable, tomando el ejemplo propuesto en (6)
tenemos:Amp. = X mayor X menor Amp. = 185 131 Amp. = 54 Segundo: Se
calcula el nmero de intervalos. ni = 7
Si el nmero de intervalos es de 7 y el ancho del intervalo
propuesto es de 9.
Tercero: Se construye la columna de los intervalos, inicindose
por el mayor valor de la variable que es 185, se disminuye 8
unidades y se obtiene el primer intervalo: 177 185, como puede
notarse en este intervalo estn incluidos (9) valores. (177,178,
179, 180, 181, 182, 183, 184, 185) lo que equivale a decir que en
el intervalo existen nueve numerales o que i= 9.Asimismo para
obtener el segundo intervalo, se resta 9 unidades del primer
intervalo, es decir el lmite superior y el lmite inferior se les
resta 9 unidades, as obtenemos el intervalo 168 176, este mismo
proceso se sigue hasta obtener los siete intervalos.
X
177 185 168 176 159 167150 158141 149132 140123 131
CUADRO No. 5
Cuarto: Se tabula los valores del conjunto de datos de la serie
de datos del nmero (6) y se establecen la columna de las
frecuencias.
XTABULACINf
177 185 168 176 159 167 150 158 141 149 132 140 123 131
TOTAL://////////////////////////////////////////////////31225323250
CUADRO No. 6
Este es el proceso para ordenar una serie de datos, mediante
intervalos.
9. Marca de clase o Punto medio. Es el valor medio de cada uno
de los intervalos. Se lo representa por la letra Xm. , y para
calcular su valor se utiliza la siguiente frmula:
Calcular los puntos medios de la serie del cuadro No. 7.Por
ejemplo:
Xm = 181
Este es el proceso que se sigue para obtener todos los puntos
medios.
XfXm
177 185 168 176 159 167 150 158 141 149 132 140 123 131
TOTAL:31225323250181172163154145136127
CUADRO No. 7 10. Frecuencia acumuladaComo su nombre lo indica,
es la acumulacin de la frecuencia a partir del menor valor de la
variable, su smbolo es (fa).La frecuencia acumulada es muy
utilizada en la construccin de ojivas.Construir la columna de la
frecuencia acumulada de la serie del cuadro No. 7.
Xffa
177 185 168 176 159 167 150 158 141 149 132 140 123 131
TOTAL:3122532325050473510752
CUADRO No. 8
11. PorcentajeSe llama as al valor correspondiente de cada
frecuencia determinada por cada 100 casos del total. Se lo
simboliza con una P y para el clculo se utiliza la frmula: P =
porcentajeN = nmero total de elementosf= frecuencia
Hallar los porcentajes para las columnas de frecuencia y
frecuencia acumulada de la siguiente tabla.
Xf% ffa%fa
177 185 168 176 159 167 150 158 141 149 132 140 123 131
39283232
618566464
50473510752
10094762014104
TOTAL:50100
CUADRO No. 9
Obtener el porcentaje de la frecuencia del primer intervalo.
P = ?f = 3 P = 6N = 50
Asimismo se obtienen el porcentaje de la frecuencia
acumulada.
P = ?f = 50 P = 100N= 50
Si Ud. sigue este mismo proceso puede obtener los valores que se
encuentran en las columnas.
CAPTULO IV
REPRESENTACIONES GRFICAS
1. Representaciones grficas
Las representaciones grficas tienen por objeto ofrecer una visin
de conjunto del fenmeno que est investigando.Es ms fcil examinar
datos que estn representados en grficos antes que cuando estn dados
en tablas o en cuadros numricos.Las representaciones grficas hacen
uso de todos los medios geomtricos, en consecuencia se atienen a la
rigurosidad y precisin de las construcciones geomtricas.
2. Recomendaciones para la construccin de grficas
Para la construccin de grficos se debe tener presente las
siguientes recomendaciones:2.1. Elegir la escala que ms se adapte
al fenmeno a representarse para que puedan apreciarse todos los
detalles.2.2. Tratar de que las dimensiones para el eje x y para el
eje y sean simtricas, utilizando el sistema de coordenadas
rectangulares.2.3. Colocar en la parte superior o inferior el
ttulo.2.4. Construir el grfico en papel milimetrado, porque de esta
manera es ms fcil para el que construye el grfico, como para el que
interpreta el mismo.
3. Grficos Lineales
Es un tipo de grfico que utiliza el primer cuadrante del
S.C.R.Para construir este tipo de grfico es necesario de que
existan dos tipos de variables: Dependiente e independiente.
3.1. HistogramaUn histograma de frecuencias es una serie de
rectngulos que tienen las siguientes caractersticas. La base est
sobre el eje x, haciendo centro el punto medio, la longitud
horizontal es igual al ancho del intervalo de clase, en forma
general la variable se ubica en el eje de las equis. Asimismo la
frecuencia se la ubica en el eje de las yes, como
alturas.Representar los siguientes datos en un histograma.
Xf
182
175
168
1510
146
135
124
113
102
TOTAL:45
CUADRO No. 10
Representar en un histograma el siguiente cuadro de valores.
xfXm
18 20 15 17 12 14 9 116 8 3 5 310168421916131074
TOTAL43
CUADRO No. 11
Para representar un histograma de una serie ordenada en
intervalos es conveniente representar en el eje de las equis el
punto medio tambin se puede escribir los lmites de cada intervalo,
y en el eje de las yes se ubica la frecuencia.
3.2. Polgono de frecuenciaEs un grfico lineal que se forma por
la interseccin de la variable con las frecuencias dando origen al
llamado polgono de frecuencias o curva de frecuencias.
xfXm
18 20 15 1712 149 116 83 5310168421916131074
TOTAL43
CUADRO No. 12
GRFICO No. 5
3.2.1. Interpretacin Pedaggica del polgono de frecuencias.El
polgono de frecuencias nos permite observar cmo se distribuyen los
puntajes en un grupo, y se puede estimar si el tipo de evaluacin es
normal, demasiado difcil, sin tomar en cuenta otros criterios
sicopedaggicos.3.2.1.1. Si en el polgono de frecuencias existe un
agrupamiento mayor en el extremo derecho se puede decir que la
evaluacin fue demasiado fcil.
xf
20191817161514131211410108632221
TOTALCUADRO No. 13
18
GRFICO No. 6
3.2.1.2. Asimismo si en el polgono de frecuencias existe un
agrupamiento mayor en el extremo izquierdo, se puede decir que la
evaluacin tuvo alto grado de dificultad.
xf
201918171615141312111098765111222356781010964
TOTAL77
CUADRO No. 14.
GRFICO No. 7
3.2.1.3. En cambio si existen dos agrupamientos en el polgono de
frecuencias, diremos que es un curso en el cual hay dos grupos de
estudio, para el primer grupo la prueba es inadecuada por ser
difcil, y para el segundo grupo la prueba es demasiado fcil. xf
201918171615141312111098713477521267631
TOTAL55
CUADRO No. 15
GRFICO No. 8
3.2.1.4. Si los puntajes se distribuyen en forma uniforme o
normal se obtiene el siguiente grfico, se puede decir entonces que
la evaluacin tomada ha sido normal.
xf
20191817161514131211234610107532
TOTAL52
GRFICO No. 9
3.3. Grfico de frecuencia acumulada
Es un diagrama lineal que para utilizarlo en Pedagoga, se ordena
en el eje de las equis la frecuencia acumulada y los valores de la
variable en el eje y, la interseccin de todos los puntos da origen
a la curva de magnitud a la que se llama grfico de frecuencia
acumulada o tambin ojiva.
xffaXm
18 2015 1712 149 116 83 5 3101684243403014621916131074
TOTAL43
CUADRO No. 17
GRFICO No. 10
3.3.1. Interpretacin Pedaggica de la Frecuencia Acumulada.
La curva de magnitud asimismo nos permite observar la
distribucin de la variable, es as que se puede resultar de mucha
utilidad en el campo pedaggico, para clasificar las evaluaciones
sin tomar en cuenta a algn criterio sicopedaggico.
xffa
20191817161514131211109112346754321393837353228221510631
TOTAL39
CUADRO No. 18
GRFICO No 11
La posicin de la curva (a), nos indica que la evaluacin que se
ha tomado ha sido normal. (segn datos de la serie) La posicin de la
curva (b) nos indicara que el tipo de evaluacin ha sido demasiada
fcil. La posicin de la curva (c), asimismo nos indica que la
evaluacin ha estado difcil.
4. Grficos de SuperficieEs un tipo de representacin que se la
realiza por medio de puntos, lneas y superficies: es decir que
existe proporcionalidad entre lnea y superficie de los valores
propuestos, por ejm. Los grficos de barras, grficos circulares.4.1.
Grficos de barrasEn el diagrama que se lo representa mediante
rectngulos el eje de las equis sirve de base de los rectngulos, y
no tiene el mismo significado que los histogramas.Cada uno de los
rectngulos tiene una sola representacin, y en este tipo de grfico
los rectngulos no estn unidos como en el histograma.Por ejemplo
representar el siguiente cuadro de valores en un grfico de
barras.
CursosF
SextoQuintoCuartoTerceroSegundoprimero200350400450500600
TOTAL:2500
CUADRO No. 19
DATOS POBLACIONALES DE UN COLEGIO DE LA CIUDAD DE LOJA
GRFICO No. 12
4.1.1. Barras verticales y horizontales
Para la construccin de grficos de barras se tiene que tomar en
cuenta algunos aspectos como ser el ancho de las barras, la
distancia entre las barras y la escala a usarse.A continuacin
proponemos un ejemplo de barras verticales. Asimismo es posible
representar cuadros de calificaciones de estudiantes de un curso
por ejm.
xfXm
18 2015 1712 149 116 8 3 5 310168421916131074
TOTAL:43
CUADRO No. 20
GRFICO No. 13
Representar el siguiente cuadro en un grfico de barras
horizontales.
Cursosf
Sexto200
Quinto350
Cuarto400
Tercero450
Segundo500
Primero600
CUADRO No. 21
GRFICO No. 14
4.1.2. Barras compuestas
A este tipo de grfico se lo llama barra subdividida y se lo
utiliza cuando se desea representar dos o ms series de
datos.Representar en barras compuestas las calificaciones de
Ciencias Naturales de dos cursos diferentes.
xXmf(A)f(B)Total f.
19 2116 1813 1510 127 94
620171411850204160804030210020514024141813185
TOTAL:3735
CUADRO No 22
GRFICO No. 15
Este tipo de grfico se lo utiliza para realizar comparaciones en
el rendimiento de dos cursos diferentes.
4.1.3. Porcentaje de barras compuestas
Es un tipo de grfico mediante el cual se representa los
porcentajes, donde todas las barras tienen la misma
altura.Representar en un grfico de porcentaje de barras compuestas
dos cursos diferentes en una misma asignatura.
xXmf(A)f (B)Total f% f (A)% f (B)
18 2015 1712 149 116 83
5191613107426148532108126441622201175037,563,644045,4542,865062,536,366054,5457,14
TOTAL:3842
CUADRO No. 23
Para trazar el grfico se ubica los puntos medios en el eje de
las equis y los porcentajes tanto de A, como de B, en el eje de las
yes, tomando una columna para cada intervalo.
GRFICO No. 16
4.2. Grfico CircularEs un diagrama de superficie que se lo
utiliza para representar datos, el grfico est dividido en partes
tales segn el nmero de variables que existan en la serie de
datos.Para el clculo matemtico se utiliza la siguiente frmula:Ao =
superficie en gradosf = frecuenciaN = nmero total de casos
Representar en un diagrama circular los siguientes datos de un
Colegio de Loja.
CURSOSfAoPor ejemplo obtener los valores correspondientes a
Sexto y Primer curso respectivamente.
Sexto20029
Quinto35050
Cuarto40058
Tercero45065
Segundo50072
Primero60086
TOTAL2500360
Para representar grficamente, se parte del semieje positivo de
las equis, tomando en sentido contrario a las agujas del reloj.
GRFICO No. 17
BARRAS SUPERPUESTASEste tipo de barras, regularmente son
utilizadas cuando se trata de una Poblacin Estudiantil, osea
escuelas, colegios, etc., o un conjunto bien definido.Para
representar grficamente se procede as:
1. Cuadro EstadsticoEjemplo: Poblacin estudiantil de un
Colegio.
Ciclo Tercer CursoDiversificado Segundo Curso Primer
Curso110120140
Ciclo Tercer CursoBsico Segundo Curso Primer Curso150170240
2. Se utiliza dos semiejes:a. En el semieje horizontal no se la
escala con respecto al cuadro, sino se centraliza para colocar las
barras.b. En el semieje vertical se lo escala con las frecuencias,
o sea con el nmero mayor que exista de alumno con cualquier curso o
ente que se trate. En nuestro ejemplo observamos que el nmero 240
es mayor por lo cual este semieje debe tener ese mximo, con la
escala igual de acuerdo al espacio que se va a utilizar.
3. RepresentacinSe observa el cuadro estadstico y se toma el que
tenga menor frecuencia, se lo coloca como barra en el centro del
semieje horizontal, en nuestro caso es el tercer curso del ciclo
diversificado que tiene la menor frecuencia que es 110, luego el
que le siga, la frecuencia se grafica encima del primero, o sea el
de segundo curso del mismo ciclo que tiene 120 y as sucesivamente
todas las dems barras. Se considera para cada barra el mismo ancho
y su forma es a partir del semieje horizontal.
4. Representacin de la grficaAl haber construido la grfica se
pinta cada barra de diferente color o se raya de diferente manera
cada una para diferenciar y a la derecha de la grfica se coloca la
leyenda indicando el color o rayando utilizado para cada barra.
CAPTULO V
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1. MEDIDAS DE TENDENCI CENTRALEs un conjunto de valores que
tienden a ubicarse en el centro de una serie de datos
ordenados.Entre las principales medidas de Tendencia Central
tenemos: La media Aritmtica, la mediana, la media Geomtrica, El
modo, y la media armnica.
1.1. Media AritmticaEs el valor promedio de un conjunto de
datos. Por ejm: La Media de los siguientes valores es:14, 15, 13,
12, 15 = La media aritmtica de esta serie es 13,8
1.1.1. Media Aritmtica de una serie sin frecuencias.Para hallar
la Media Aritmtica, se suman los valores, sin ordenarlos y luego se
divide para el nmero de valores existentes. Esta proposicin se la
puede transformar en una frmula.
= Media Aritmticax= Sumatoria de valoresN = Nmero de valores
Calcule la media de los siguientes pesos de alumnos dados en
kilos.
47, 49, 51, 48, 50
= ?x = 245N= 5
La media aritmtica es 49 kilos.
1.1.2. Media Aritmtica de una serie simple con frecuancia.Cuando
una serie se le agrupa en serie simple con frecuencias para obtener
la media artimtica, se multiplica la variable por la frecuencia
respectiva y luego se obtiene la suma de todos estos productos y
luego a este valor se lo divide para el nmero de elementos. Todo
esto puede representarse mediante una frmula matemtica, as:
= Media Aritmtica = Sumatoria de producto de la variable por la
frecuencia.N = Nmero de elementos.
Las calificaciones de matemticas de un curso de un colegio de
Loja, en el primer Trimestre de ste ao lectivo obtiene las
siguientes calificaciones:
14 13 13 16 14 12 15 13 13 19 09 11 19 11 15 12 10 12 11 10 17
16 11 15 17 19 15 14 12 16 14 14 12 12 16 14 18 14 16 11- 15 14 13
14
Las mismas que al ordenarlas en una serie simple con frecuencias
tenemos:
xfxf
2019181716151413121110903125595652105718348075126657255209
TOTAL44611
CUADRO No. 25
N = 44
La media aritmtica en la asignatura de Matemticas es de 13,
89.
1.1.3. Media Aritmtica de una serie ordenada en
intervalos.Cuando una serie est ordenada en intervalos, es posible
determinar su valor mediante dos procesos diferentes, determinados
por la utilizacin de dos frmulas matemticas.
PRIMER MTODO Algunos autores le llaman Mtodo Largo, consiste en
obtener los puntos medios con su respectiva frecuencia y luego se
suman todos estos productos parcialesy se divide para el nmero de
elementos. Todo esto traducido en una frmula quedara as:
Media Aritmtica= sumatoria de prodcuto de los puntos medios por
la frecuencia.N = Nmero de casos
Se estableci un grupo de 100 estudiantes para medirles la talla
en uno de los colegio de Loja, una vez ordenados los datos se
obtiene la siguiente tabla de valores.El ejemplo propuesto en la
tabla tiene un ancho de intervalo que es igual a 8, es decir que es
un nmero par; como consecuencia todos los puntos medios tandrn
decimales.
xXmfXm . f
143 150135 142127 134119 126111 118103 11095 102 146, 5138,
5130, 5122, 5114, 5106, 598, 528263120112293110833933797,
522901171, 5197
10012,250
CUADRO No. 26
122,5
SEGUNDO MTODOAs como el anterior a ste proceso algunos autores
le llaman mtodo corto, porque cuando se tiene una serie con un
nmero grande de casos este proceso es ms factible manejarlo que al
anterior proceso.Para hallar la Media Aritmtica mediante ste mtodo,
la serie debe estar ordenada en intervalos y luego seguir este
proceso:
1. Se supone una media supuesta (), este valor puede ser
cualquier punto medio, de preferencia que sea el que tiene mayor
frecuencia.2. Se establece las diferencias entre el punto medio y
la supuesta, dividiendo cada uno para el ancho del intervalo.
U= 3
3. Se realiza el producto de las diferencias por las frecuencias
y se suman algebraicamente.4. Una vez que se han obtenido todos
estos valores, es posible determinar la X , con la siguiente
frmula.
Utilizaremos la serie del cuadro anterior para la aplicacin del
segundo mtodo.
XXmfUf . u
143 150135 142127 134146,5138,5130,5282632161626
119 128 122,531122,500
111 118103 11095 102114,5106,598,520112-1-2-3-20-22-6
1000
CUADRO No. 27
= ? = 122,5 0
N = 100
1.1.4. Media Aritmtica de varias mediasEs valor promedio de
todas las medias que se dan.Este promedio se lo utiliza mucho, para
saber el aprovechamiento de un curso. Ejemplo:Despues de una Junta
de curso se pudo conocer que uno de los cursos en estudio obtuvo
las siguientes medias en cada una de las asignaturas sealadas.
ASIGNATURAS
Idioma NacionalMatemticasEstudios Sociales Ciencias
NaturalesInglsEducacin fsicaOpciones prcticasEducacin
Artstica13,413,514,213,814,216,715,813,4
TOTAL115,0
CUADRO No. 28
Se utiliza la frmula: = ? 115N = 8
138
La media del aprovechamiento del curso es de 14,38: de acuerdo a
la escala dada por el Ministerio de Educacin, se puede notar de que
se trata de un aprovechamiento Bueno.
1.1.5. Propiedades de la Media Aritmtica1.1.5.1. La suma
algebraica de las desviaciones de un conjunto de nmeros es igual a
cero.
XX -
14151312150,21,2-0,8-1,81,2
0
CUADRO No. 29 = 13,8
1.1.5.2. Si f1 nmeros tienen de media m1, f2 nmeros tienen de
media m2,.. fk nmeros tienen de media mk, entonces media de todos
los nmeros es:
Se llama Media ponderada de todas las medias.
1.2. Mediana: Se llama Mediana al valor que ocupa al centro de
una distribucin, dejando a cada lado el 50% de los casos.Halle la
Mediana de los siguientes valores:
17 16 15 14 13
Mdn. = 15
Se puede notar que Mdn. = 15 o sea que es el valor que est
ubicado en el centro de la serie.1.2.1. Mediana de una serie sin
frecuencias1.2.1.1. Si el nmero de elementos es impar, se ordenan,
los datos y se toma el valor central. Ejemplo: Halla la Mdn de los
siguientes valores:
101 100 99 98 97 96 95Mdn. = 98
1.2.1.2. Si el nmero de elementos es par, se ordena los daros y
luego los dos valores del centro se los suma y se los divide para
dos. Por ejemplo: Halle la Mdn. de los valores:101 100 98 96 95 94
Mdn. = Mdn. = 97
1.2.2. Mediana de una serie simple con frecuenciaPara el clculo
de la mediana en esta serie, se procede as:Se halla la columna de
frecuencias acumuladas, luego se divide el nmero de casos para dos
y ste valor se lo ubica en la columna (fa) en el valor igual o
prximo mayor al valor N/2 y la variable correspondiente ser el
valor de la Mdn.Halle la Mdn. de la siguiente serie:
Xffa
1918171615312554441403833
14928
131211109566211914831
44
CUADRO No. 30
El valor igual o prximo mayor ser 28, en consecuancia el valor
de la variable es 14, por tanto la Mdn. es 14.
1.2.3. Mediana de una serie ordenada en IntervalosPara hallar el
valor correspondiente a la Mdn de una serie ordenada en intervalos,
se utiliza el siguiente proceso:1. Se halla la columna de la
frecuencia acumulada.2. El nmero de casis se divide para dos y ste
valor se lo ubica en la columna de la fa, si es el valor igual o
mayor que 3. Una vez que se ha ubicado donde se encuentra la
mediana, se procede a encontrar el lmite real inferior del
intervalo (Li)4. Se obtiene (fai) que es el valor de la frecuencia
acumulada inferior a la localizada con 5. Se escribe el valor f que
es la frecuencia del intervalo donde est 6. El ancho de intervalo
(i)7. Se utiliza la frmula siguiente:
Mdn. = MedianaLi = Lmite inferior real = El nmero dividido para
dosfai = Frecuencia acumulada inferiorf = frecuencia del
intervalo.
Obtener la Mdn de la siguiente tabla de valores.Xffa
143 150135 142127 134 28261009890
119 126 3164
111 118 103 110 95 102 2011233132
100
CUADRO No 31.
Li = 118,5fai = 33f = 31i = 8
Se reemplaza estos valores enla frmula y tenemos:
Este es el valor central.
1.3. ModoEl modo o la moda es el valor de la variable que se
repite mayor nmero de veces o sea es el valor mas frecuente.Es
frecuente que una serie tengs 2 valores modales, a la que se la
llamara serie bimodal, etc.Por ejem: En la siguiente serie el valor
modal es el 15.17 19 15 15 15 - 13 14 Mo. = 15
1.3.1. El modo de una serie sin frecuenciasPara determinar el
Modo de esta serie, es muy sencillo, de avuerdo a un concepto, el
Modo es el valor que se repite mayor nmero de veces.Por ejem: Halle
el Mo de la Serie:155 159 161 161 162 163El Mo es 161
1.3.2. El Modo de una serie simple con frecuenciaPara determinar
el Mo es esta serie, nos atenemos al concepto de Mo: Que es el
valor que ms se repite.Por ejemplo: Determinar el Mo en la
siguiente serie: Se procede as: se determina la variable que tiene
mayor frecuencia y dicha variable ser el Mo.
Xf
191817161531255Mo = 14
149Mo
13121110956521
44
1.3.3. El Modo de una serie ordenada en IntervalosPara
determinar el Mo de una serie ordenada en intervalos se procede
as:1. Se localiza la mayor frecuancia en esa fila estar el Mo.2. Se
halla el lmite inferior.3. Se halla el valor 1 = F . modal f .
inferior4. Se determina el valor 2 = f . modal f . mayor5. Se
utiliza la frmula
Halle el Modo de la siguiente serie:
Xf
143 150135 142127 134 2826Mo
119 126 31
111 118 103 110 95 102 20112
100
CUADRO No 33Mo = ?Li = 118,51 = 31 20 = 112 = 31 26 = 5i = 8
Mo = 118,5 + 5,5Mo = 124
El Mo = 124
1.4. Reepresentacin grfica de: . Mdn y MoPara su representacin
grfica se la realiza en el sistema de coordenadas rectangulares en
su Primer Cuadrante.Representa grficamente la , Mdn y Mo en un
polgono de frecuencia para los siguientes valores.
XXmf
143 150135 142127 134119 126111 118103 11095 102 146,5
138,5130,5122,5 114,5106,598,528263120112
100
CUADRO No 34.
Para esta serie de valores, se han obtenido los siguientes
resultados:
= 122,5Mdn. = 122,89Mo = 124
Mo Mdn X
1.5. Media GeomtricaEste tipo de medida no es utilizada en
Padagoga.La media geomtrica de n elementos es igual a la raz de n,
del producto de todos sus elementos. As puede ser: La media
geomtrica de 2 valores es la raz cuadrada de su producto.La media
Geomtrica de 3 valores, es la raz cbica del producto de sus valores
y as sucesivamente.La frmula de la Media Geomtrica es:
Halle la Mg de 9 y 4
Mg = 6
1.6. Media ArmnicaSe define como la recproca de la media
aritmtica de los inversos 1.Su frmula es:
Halla le Meda armnica de: 3, 7, 2
1. Cfr. Downie Heath; Mtodos Estadsticos Aplicados.Pag. 63
CAPTULO VI
MEDIAS DE VARIABILIDAD (DISPERSIN)
1. Medidad de dispersinSe llama dispersin a la intensidad con
que los valores de una variable tienden a extenderse alrededor de
un valor medio.Entre las principales medidas de variabilidad o de
dispersin tenemos:La desviacin media y la desviacin tpica.
1.1. Desviacin MediaSe llama as a la diferencia que se establece
entre la variable y la media aritmtica.
1.1.1. Desviacin media de una Serie de FrecuenciasEs conveniente
ordenar la variable, luego se calcula la Media Aritmtica y luego se
construye la columna de las desviaciones, que es la diferencia
entre la variable y la media aritmtica.La frmula a utilizarse es la
siguiente:
D. M. = Desviacin Mediad = Sumatoria de las desviacionesN =
nmero de casos
EJEMPLO:Halle la D. M de los siguientes valores: 20 19 18 17 16
15
Xd = X -
2019181716152,51,50,5-0,5-1,5-2,5
1059
CUADRO No 35.
Para la sumatoria de las desviaciones, se las suma, sin tomar en
cuenta el signo.
D. M. = 1,5
1.1.2. Desviacin Media de una serie simple con frecuenciasPara
obtener la desviacin media de una serie simple se utiliza el
siguiente proceso:1. Se halla la media aritmtica2. Se halla la
columna de las desviaciones (d)3. Se construye la columna (f.d)4.
La frmula a utilizarse es la siguiente
D.M = Desviacin Mediaf.d = Sumatoria de frecuencias por
desviacionesN= Nmero de casos
5. Se suman todos los valores de la columna (f.d) sin tomar en
cuenta los signos.
EJEMPLO:Halle la desviacin media del siguiente cuadro de
valores
XfX.fdm.f.dm.
201918171615142234633403854689645423,352,351,350,35-0,65-1,65-2,656,74,74,051,4-3,9-4,95-7,95
TOTAL2338333,65
CUADRO No 36.
D.M. = 1,46
1.1.3. Desviacin media de una serie ordenada en intervalosPara
el clculo de la D.M de una serie ordenada en intervalos, se utiliza
el siguiente proceso:1. Se halla la media aitmtica por cualquiera
de los mtodos estudiados.2. Se halla la columna de las
desviaciones, establecindose la diferencia entre el punto medio y
la media aritmtica3. Se construye la columna f. dm. Que es el
producto de la frecuencia por las desviaciones mediasAl final se
suman todos los valores sin tomar en cuenta los signos.4. Se
utiliza la frmula:
D.M. = Desviacin mediaf. dm. = Sumatoria de prodcutos de la
frecuencia por las desviaciones medias.EJEMPLO:Calcular la
desviacin media de los valores de la siguiente tabla.
XXmff. Xmdmf.dm
18 20 15 1712 149 116 83 5
19161310742416103138642081002146,923,920,92-2,08-5,08-8,0813,8415,6814,72-20,80-15,24-8,08
TOTAL1643588,36
CUADRO No 37
D.M. = 2,45
1.2. Desviacin tpicao desviacin estandarEs la raz cuadrada de la
media de los cuadrados de las desviaciones.Para el clculo matemtico
la desviacin tpica se tiene los siguientes casos:1.2.1. Desviacin
Tpica de una serie sin frecuenciasPara determinar el valor de la
desviacin tpica, se utiliza el siguiente procedimiento:1. Se halla
la media aritmtica2. Se construye la columna de las desviaciones3.
Se halla la columna (d2)4. Se utiliza la frmula
Desviacin tpica= sumatorias de las desviaciones elevadas al
cuadradoN = Nmero de casos
Halle la desviacin tpica de la siguiente serie de valores:20 19
18 17 16 15
Xdd2
2019181716152,51,50,5-0,5-1,5-2,56,252,250,250,252,256,25
17,50
CUADRO No 38
1.2.2. Desviacin tpica de una serie simple con frecuenciasPara
el clculo de la desviacin tpica, se utiliza el siguiente proceso:1.
Se determina la media aritmtica2. Se halla la columna de las
desviaciones3. Se construye la columna de las desviaciones elevadas
al cuadrado4. Se elabora la columna de f.d2.5. Se utiliza la
siguiente frmula
Desviacin tpica= sumatorias del producto de las frecuancias por
el cuadrado de las desviaciones.N = Nmero de casos
EJEMPLO:Halle la desviacin tpica de la siguiente serie:20 19 18
17 16 15 14
Xfdd2f . d2
2019181716151422346333,352,351,350,35-0,65-1,65-2,6511,225,521,820,120,422,727,0222,4411,045,460,482,528,1621,06
TOTAL2371,16
CUADRO No 39
Si la
1.2.3. Desviacin tpica de una serie ordenada en intervalosPara
el clculo matemtico de la desviacin tpica en una serio ordenada en
intervalos, se utiliza el siguiente proceso.1. Se determina la
media aritmtica2. Se halla la columna de las desviaciones3. Se
construye la columna de las desviaciones elevadas al cuadrado4. Se
elabora la columna de f.dm25. Se utiliza la frmula:
Desviacin tpica= sumatoria del producto de las frecuencias por
las desviaciones elevadas al cuadrado.N = Nmero de casos.
XfXmXsuf.udmdm2f. dm2
18 2015 1712 149 116 83 5 4141966119 1613107413
210-1-1-38140-6-12-35,942,940,06-3,06-6,06-9,0635,288,640,00393636,7282,08141,12120,960,0656,16220,3282,08
TOTAL501620,70
CUADRO No. 40
GRFICO No 19.
Como Ud. Puede darse cuenta las calificaciones estan dadas por
nmeros enteros en consecuencia tenemos:Para la calificacin
Sobresaliente, estarn las estudiantes que tengan los puntajes de 19
y 20 Para la calificacin muy Buena, los puntajes: 15, 16, 17
,18.Para la calificacin Buena se tendrn los puntajes 12, 13
,14.Para la calificacin Regular se tienen los puntajes: 8, 9. 10,
11Para la calificacin deficiente se tienen los puntajes 5, 6, 7.De
acuerdo a los puntajes existentes en cada calificacin es posible
determinar el nmero de estudiantes que estn ubicados en cada grupo
de las calificaciones cualitativas.En el presente caso se tendran
las calificaciones distribuidas as: SobresalienteMuy
buenaBuenaRegular Deficiente2 Estudiantes16 Estudiantes19
Estudiantes8 Estudiantes5 Estudiantes
Total50 Estudiantes
CUADRO No 41A continuacin ampliaremos este tipo de distribucin
.
1.2.4. Distribucin de las calificaciones mediante la desviacin
tpica o desviacin estndar.Mediante e3stewe proceso es posible
ubicar a cada uno de los estudianes en el rango de calificacin
cualitativa de acuerdo a los valores de la media aritmtica y a la
desviacin tpica de todo el grupo.EJEMPLO: Distribur las
calificaciones siguientes que pertenecen a la tabla de valores que
se utiliz en el cuadro anterior.
12 14 9 16 18 15 16 17 10 8 12 14 8 13 17 14 13 16 10 7 12 15 7
12 16 13 = 14 13 19 6 13 16 6 15 16 12 15 14 18 10 13 10 5 14 1711
13 9 16 12.Que constituye latabla de valores:
XfXm
18 2015 1712 149 116 83 5 414196611916131074
CUADRO No 42Se han obtenido en clculos anteriores los siguientes
datos :
Para distribucin se debe tener en cuenta la siguiente tabla:
CUADRO No 43CALIFICACIONESNUMERALES
SobresalienteMuy buenaBuenaRegularDeficiente18,04 a 21,5614, 82
a 18,0411,30 a 14,827,78 a 11,304,26 a 7,78
Para obtener los intervalos se parte de la media aritmtica
sumando y restando la mitad de la desviacin tpica, se obtiene el
intervalo de la calificacin Buena. Para obtener el intervalo de la
calificacin Muy Buena, al lmite superior del intervalo anterior se
le adiciona el valor de la deviacin tpica; Para el intervalo de
Sobresaliente, al lmite superior del intervalo anterior se le
adiciona el valor de la desviacin estandar.Para obtener el
intervalo de la calificacin Regular, al lmite inferior de la
calificacin Buena se le resta el valor de la desviacin tpica.As
mismo para obtener el intervalo de la calificacin Deficiente, al
lmite inferior de la calificacin Regular, se le resta el valor de
la desviacin estandar. As se obtiene todos los intervalos.As puede
Ud. realizar la distribucin mediante la desviacin estandar que es
muy utilizada en la escuela primaria.
2. Interpretacin Pedaggica de la Desviacin Media y de la
Desviacin Tpica.En pedagoga se utiliza mucho estas medias de
variabilidad, para poder realizar anlisis sobre la homogeniedad o
heterogeneidad del grupo.Si la desviacin tpica o la desviacin media
tiene valores menores, se considera que el grupo es ms homogenio y
viseversa.La desviacin media se la utiliza cuando se desea dar la
importancia a todos los puntajes de la serie.La desviacin estandar
se utiliza cuando se necesita una medida de variabilidad de mayor
precicin; si ha sido calculada la media aritmica, como medida de
tendencia central; si se desea dar a cada valor de la serie la
importancia que tiene y se proyecte realizar clculos estadsticos
posteriores en la curva normal [footnoteRef:2] [2: Cfr. Vizuete,
Cedeo, Estadstica Aplicada a la Educacin pg. 143 ]
CAPTULO VII
MEDIDAS INDIVIDUALES
1. Medidas individuales
En educacin, al maestro no solo le interesa conocer el valor que
representa al conjunto de datos y el valor de variabilidad del
grupo, si no que necesita conocer datos ms precisos que le permitan
observar en forma concreta el valor de cada individuo.Mediante el
desarrollo de las diferentes medidas individuales como son: los
Cuartiles, Deciles, Percentiles, Puntuaciones Tipificadas ( ) y las
puntuaciones derivadas T.
1.1. Los cuartiles
Es un tipo de medidas individuales que se los utiliza para
dividir la serie en cuatro partes iguales, las mismas que reciben
el nombre de Cuartiles: Primer Cuartil (Q1), Segundo Cuartil (Q2) y
Tercer Cuartil (Q3).Conviene indicar que bajo primer cuartil est el
25 % de los casos, entre el primero y el segundo cuartil est otro
25% de los casos y sobre el tercer cuartil est el otro 25 %.
1.1.1. Calculo de los cuartiles de una serie simple con
frecuencias.
Se utiliza el siguiente proceso:
1. Se construye la columna de la frecuencia acumulada.2. Se
ubica la posicin de cada uno de los cuartiles en la columna de la
frecuencia acumulada, mediante la utilizacin de las siguientes
frmulas:
Qp1 = Posicin del cuartil uno.Qp1 = N / 4Qp2 = Posicin del
cuartil dos.Qp2 = 2N / 4Qp3 = Posicin del cuartil tres.Qp3 = 3N /
4
3. Una vez que ha sido ubicado cada uno de los cuartiles en la
frecuencia acumulada, es posible determinar el valor de cada
cuartil, tomando el valor de la variable, correspondiente al
cuartil ubicado.
EJEMPLO:
Determine los cuartiles de los puntajes de un curso que estn
dados en la siguiente tabla.
Xffa
201918171615141312 1110987651234321542323221150494744Qp3
4037Qp2
352016Qp1
141196421
Total50
CUADRO No 44
Qp1 = N/4Qp1 = 50/4Qp1 = 12,5Equivale: Q1 = 11QP2 = 2N/4QP2 =
25Equivale: Q2 = 14QP3= 3N/4QP3 =37,5Equivale: Q3 = 16
Se puede observar que la posicin del cuartil uno es 12,5; y el
valor que corresponde en la variable es 11; por tanto Q1 = 11 y as
se obtienen los dems valores.
1.1.2. Clculo de los cuartiles de una serie ordenada en
intervalos:Para el clculo de los cuartiles de una serie ordenada en
intervalos se utiliza el siguiente procedimiento.1. Se halla la
frecuencia acumulada.2. Se ubica a los cuartiles de acuerdo a su
posicin en cuartil uno, cuartil 2, y cuartil tres.3. Se emplea las
siguientes frmulas para hallar los cuartiles:
Uds. Pueden notar que estas frmulas son aplicaciones de la
frmula de la mediana.Q1= Cuartil unoQ2= Cuartil dosQ3= Cuartil
tresLi= Lmite real inferiorN= Nmero de elementosfai= Fraccin
acumulada inferiorf= Fraccin del intervalo donde est ubicado el
cuartili= ancho del intervalo.EJEMPLO:Calcular los cuartiles de la
siguiente tabla de valores:XXmfFa
43 5144 4740 4336 3932 3528 1124 2720 2316 1912 158 114
749,545,541,537,533,529,525,521,517,513,59,55,5267101218131065429593878070584027171162
Total95
CUADRO No. 45
Ubicacin de los cuartiles:Qp1= N/4Qp1= 95/4Qp1= 23,75Qp2=
2N/4Qp2= 190/4Qp2= 47,5Qp3= 3N/4Qp3= 285/4Qp3= 71,25
Clculo de los cuartiles:Para el Primer cuartilDatos:Li = 19,5N/4
= 23,75fai = 17f = 10i = 4 Frmula:
Para el Segundo Cuartil.Datos:Li= 27,52N/4 = 47,5fai= 40f= 18i =
4Frmula
+ 1,666
Para el tercer Cuartil.DatosLi = 35,53N / 4 = 71,25fai = 70f=
10i= 4
Frmula:
Toda la serie se ha dividido en tres cuartiles:Q1 = 22,2Q2=
29,17Q3= 36
Podemos notar que Q2 es equivalente al valor de la mediana, en
consecuencia es la misma frmula de la mediana.
1.2. Los DecilesLos deciles dividen a la serie en diez partes.As
como en el caso de los cuartiles, para su clculo matemtico, los
deciles se los puede ubicar en forma directa en una serie simple
con frecuencias.Mientras tanto que para su clculo en una serie
ordenada en intervalos es conveniente ubicarlos en la frecuencia
acumulada y despus para el clculo matemtico se utilizan las frmulas
que damos a continuacin:
FRMULAS DE UBICACIN DE FRMULAS PARA EL CLCULO DELOS DECILES LOS
DECILES
Dp1 = Dp2 = Dp3 = Dp4 = Dp5 = Dp6 = Dp7 = Dp8 = Dp9 =
Ud. Puede realizar aplicaciones tomando como modelo el ejercicio
propuesto en los cuartiles.
1.3. Los PercentilesLos percentiles dividen a la serie total en
cien partes.Para su clculo matemtico hay que tomar en consideracin
las siguientes frmulas: de posicin y de clculo.Frmula de posicin
Frmula de clculo de percentil
Determine los valores correspondientes a los percentiles: P10,
P30, P50, P75.XXmFfa
48 5144 4740 4336 3932 3528 31 24 2720 23 16 1912 158 114 7
49,545,541,537,533,529,525,521,517,513,59,55,526710121813106542959387P75
8070P50
5840P30
2717P10
1162
Total95
CUADRO No 46
Ubicacin de los percentiles:
P10 = 9,5 P30 = 28,5
P50 = 47,5
P75 = 71,25
Para el clculo de los diferentes percentiles, se necesita los
siguientes datos:
P10 = ?Pp = 9,5fai = 6f = 5i = 4
Para el P30Datos:Li = 23,5Pp = 28,5fai = 27f = 13i = 4
Para el P50Datos:Li = 27,5Pp = 47,5fai = 50f = 18i = 4
Para el P75
Datos:Li = 35,5Pp = 71,25fai = 70f = 10i = 4
Frmulas:
De esta manera Ud. puede obtener los 99 percentiles.
1.4. Puntuaciones tipificadas Z.Se llama puntuacin tipificada a
la desviacin de cada uno de los valores con respecto a la media
aritmtica de todo el grupo y a esta diferencia se le divide para la
desviacin tpica de todo el grupo.La frmula para su clculo matemtico
es:
1.4.1. Aplicacin de las puntuaciones tipificadasSe utiliza para
determinar cuando un estudiante est mejor ubicado en una cierta
asignatura.As por ejemplo un estudiante de colegio obtiene las
siguientes calificaciones:
AsignaturasX
I. NacionalMatemticasE. Sociales151417161216222,5
CUADRO No47
I Nacional : z = - 1/2 z = - 0,5Matemticas: z = 2/ 2 z = 1E.
Sociales: z = 1/ 2,5 z = 0,4
Se puede notar claramente que el estudiante esta mejor ubicado
en matemticas, porque su puntaje est por encima de la media, as
mismo su variacin es mnima.En cambio en Estudios Sociales su
puntaje as mismo es mayor que en , pero la desviacin tpica es
menor, en consecuencia los puntajes tienen mayor variacin.En Idioma
Nacional se puede notar que z es un valor negativo, ya que su
puntaje est por debajo de la , a pesar de que tiene la misma
variacin que en matemticas.
1.5. Puntuacin derivada TEste tipo de puntuaciones se las
utiliza con el objetivo de aumentar la escala evitando la
utilizacin de decimales menores que la unidad y de valores
negativos en la aplicacin de z.Para su clculo matemtico se utiliza
la siguiente frmula:
T = 20z +50
T = Puntuacin derivada T.Z = puntaje z20 y 50 = son valores
constantes
EJEMPLO:Transformar los siguientes puntajes z en puntuacin
derivada T.
Z = 0,21T= 20 . 0,21 + 50 T= 4,2 + 50T= 54,2Z = -2,3T= 20 .(
-2,3) + 50T = -46 + 50T = 4Z = 1,5T= 20 . (1,5) + 50T = 30 + 50T =
80Z = -1,6T= 20 . (-1,6) + 50T = -32 + 50T = 18Z = 0,08T= 20 .
(0,08) + 50T = 1,6 + 50T = 51,6
Se puede observar claramente que entre los dos valores
negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto por ejm. Z=
2,3 mediante los puntajes T se obtiene: T = 4 y Z= -1,6 mediante
los puntajes T, se obtiene: T = 18.
Mediante los puntajes T, esta diferencia se puede aclarar
fcilmente y se puede notar de que el valor de Z = -1,6 es mayor
porque T= 18.
GALO LUNA Z.
3