PROBABILIDAD
2. ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Estadstica descriptiva describe las regularidades o
caractersticas existentes en un conjunto de datos, organizndolos en
tablas y representaciones grficas y analizndolos mediante la
obtencin de ndices estadsticos representativos (medidas de
tendencia central y de dispersin).
2.1 Conceptos bsicos. Muestreo y tipos de muestreo. -Poblacin:
Colectivo que se desea estudiar, puede ser finita infinita, pero
normalmente incluye demasiados individuos para poder estudiarlos a
todos.
-Muestra: es el subconjunto de la poblacin sobre el que se
recogern y analizarn datos, con el objeto de extraer conclusiones
para toda la poblacin.-Variable: caracterstica observable medida en
la muestra, que vara en la poblacin. Existen diferentes tipos de
variables en funcin de los valores que puede tomar y/o de cmo ha
sido su medicin.
-Muestreo: Es el procedimiento que permite obtener una muestra
que sea representativa de la poblacin. Se llama muestreo aleatorio,
a aqul en que los individuos son seleccionados al azar. a) Muestreo
aleatorio simple: todos los individuos de la poblacin (N) tienen
igual probabilidad de ser elegidos. Es el ms habitual aunque no
siempre es posible realizarlo. Presenta la ventaja de que puede
asumirse la independencia de los valores observados entre los
sujetos y cuando el tamao de la poblacin es muy grande es
irrelevante si se permite o no la posibilidad de que los individuos
puedan ser reelegidos (muestreo con reemplazamiento).b) Muestreo
aleatorio sistemtico: para obtener una muestra de n individuos, se
toma un nmero aleatorio k entre 1 y h=N/n, como integrantes de la
muestra se tomaran a los individuos: K, k+h, k+2h, k+3h, ,
k+(n-1)h. La muestra podra no ser representativa si los datos
dentro de los grupos estn ordenados segn alguna caracterstica que
tenga que ver con el parmetro de inters.c) Muestreo aleatorio
estratificado: Es el mtodo ideal cuando la poblacin se divide en
varios grupos o estratos cuya representacin en la muestra se desea
asegurar. Consiste en tomar una submuestra en cada grupo
manteniendo en la muestra la proporcionalidad que se da en la
poblacin.
Es decir, si N: tamao de la poblacin y Ni el tamao del estrato
i, , y se desea obtener una muestra de tamao n, en cada estrato se
seleccionarn ni individuos, siendo
Este tipo de muestreo posibilita la inferencia en cada grupo, y
es tanto ms efectivo cuanto ms homogneos son los estratos
internamente, respecto a la caracterstica sobre la que se desea
inferir. Es algo ms costoso que el muestreo aleatorio simple pero
puede ser ms preciso, ya que elimina como posible fuente de sesgos
la caracterstica que define los grupos. d) Muestreo aleatorio por
conglomerados: Se eligen al azar grupos de sujetos y se estudian
todos los individuos de cada grupo seleccionado. Los conglomerados
deben ser lo ms homogneos entre s y lo ms heterogneos posibles
dentro de ellos. Se puede reducir bastante el coste del estudio y
si los conglomerados no tienen la misma cantidad de individuos
pueden establecerse pesos.2.1 Representacin numrica. Una vez
recogida una muestra aleatoria de tamao n de una variable X, , los
valores obtenidos se presentan y resumen mediante una tabla de
frecuencias (TDF). En una tabla de frecuencia las filas son las p
categoras distintas de la variable X obtenidas en la muestra a las
que llamaremos modalidades, ordenadas de menor a mayor. xi: valores
o modalidades de la variable registrados en la muestra. Adems de la
columna con las modalidades, la TDF debe constar de al menos una de
las columnas siguientes:- fi: frecuencias absolutas ordinarias:
nmero de casos en que se da en la muestra cada modalidad: fi =ni-
hi: frecuencias relativas ordinarias: probabilidad de la modalidad
xi:
(%)i: Porcentaje ordinario:
- Fi: frecuencias absolutas acumuladas: nmero de casos que toman
un valor inferior a la modalidad i-sima: . Si solo se conocieran
las frecuencias absolutas acumuladas, las frecuencias absolutas
ordinarias podran calcularse como:
- Hi: frecuencias relativas acumuladas: probabilidad de tomar
una modalidad inferior a la i-sima: . Si solo se conocieran las
frecuencias relativas acumuladas, las frecuencias relativas
ordinarias podran calcularse como:
- (%)acum,i: Porcentaje acumulado: porcentaje de valores
inferiores a la modalidad i-sima
Nota 1: los indicadores acumulados slo tienen sentido si la
variable es cuantitativa (discreta o continua).Nota 2: Si solo se
muestra una frecuencia relativa o un porcentaje como columna en la
TDF, ser necesario proporcionar tambin el nmero de individuos en la
muestra (n) para tener toda la informacin. Nota 3: Categorizacin de
una variable continua: Cuando se toma una muestra de una variable
cuantitativa continua es necesario categorizar la variable por
medio de intervalos equiespaciados para poder resumir el resultado
de la muestra en una tabla de frecuencia. En este caso la tabla de
frecuencia se realiza utilizando como modalidades los valores
llamados marcas de clase. Si se desea trabajar con k intervalos,
las respectivas marcas de clase se obtienen siguiendo los
siguientes pasos.
1.) Obtener la sensibilidad. Sensibilidad es la unidad de medida
o precisin del aparato que se ha utilizado para la medicin. 2.)
Calcular la Amplitud del intervalo total: A= xmax-xmin+s
3.) Se obtiene la longitud (l) de cada intervalo redondeando por
exceso a un mltiplo de la sensibilidad el cociente:
4.) Los lmites exactos (LE) de los sucesivos intervalos se
obtienen fijando como lmite inferior del primero s0= xmin-s/2 y
sumando l sucesivamente. Es decir los k intervalos sern:
siendo:
Se llaman lmites aparentes (LA) a aquellos que tienen por
extremos valores observables.
Dados los lmites aparentes se obtienen los lmites exactos
correspondientes restando y sumando s/2 a los extremos inferior y
superior respectivos de cada intervalo.Dados los lmites exactos se
obtienen los lmites aparentes correspondientes sumando y restando
s/2 a los extremos inferior y superior respectivos de cada
intervalo.
5.) Se llama marca de clase de un intervalo a la media de sus
dos lmites exactos: . Las marcas de clase coinciden con LA y
LE.Alternativa: utilizar intervalos cerrados por un extremo y
abiertos por el otro siempre buscando la continuidad. Las marcas de
clase sern los puntos medios de los intervalos correspondientes.
Este procedimiento ignora el conocimiento de la precisin del
aparato de medida y es el que suele usarse con la edad.
Notar que con la edad los intervalos suelen expresarse en aos
cumplidos: 0-4 aos, 5-9 aos,, 65-70. Debe tenerse en cuenta que en
lo relativo a los clculos estos intervalos son equivalentes a
[0,5[, [5,10[,, [65, 70[.Ejemplo 1 Durante los meses de julio y
agosto, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas
mximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31,
31, 30, 30, 29,
29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29, 27, 40, 28, 30, 33,
27, 27, 30, 30,
32, 33, 32, 34, 34, 35, 32, 28, 29, 28, 30, 32, 31, 30, 30, 31,
32, 33, 36, 38,
32, 26
Agrupar en 4 intervalos de igual amplitud. Presentar lmites
exactos y despus obtener los lmites aparentes.
xmin=26 ; xmax=40; s=1. Luego A=40-26+0,5=14,5.
Como se desean k=4 intervalos, la longitud de cada intervalo
viene dada por el cociente: 14,5/4=3,625. L es el mltiplo de la
sensibilidad inmediatamente superior al cociente, luego l=4.
Los extremos de los 4 intervalos se generan aadiendo l=4 al
extremo inferior que se toma por definicin
xmin-s/2=26-0,5=25,5.
En nuestro caso, los 4 intervalos con lmites exactos son:
25,5-29,5 ; 29,5-33,5; 33,5-37,5; 37,5-41,5Los 4 intervalos con
lmites aparentes seran: 26-29 ; 30-33; 34-37; 37-41.Ejemplo 2 Sea
X: nmero de partos previos en una muestra de 795 embarazadas. Hubo
655 mujeres con ningn parto previo. 123 con 1 parto previo, 16 con
2 partos previos y tan solo 1 con 3 partos previos. Construir la
tabla de frecuencia con todos sus
elementos.xifiFihiHi(%)i(%)acum.,i
0655655655/795=0,8240,82482,4%82,4%
1123655+123=778123/795=0,1550,824+0,155=0,97915,5%97,9%
216778+16=79416/795=0,0200,979+0,02=0,9992%99,9%
31797+1=7951/795=0,001100%0,1%100%
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Nota 4: Cuando la variable represente la ocurrencia de cierto
fenmeno en intervalos de tiempo consecutivos y con periodicidad
constante (das, meses, aos) se dice que se trata de una serie
temporal o cronolgica. En estos casos la presentacin numrica de los
datos es una TDF sin proporciones y porcentajes, ya que no tienen
sentido en este contexto. Adems si el fenmeno estudiado est
relacionado con una poblacin cuyo nmero de individuos ha variado a
lo largo del tiempo, es conveniente incluir en la tabla una columna
que muestre el nmero de veces que ocurri el fenmeno por cada 10k
individuos.Ejemplo 5
Tablas de contingencia
Si estudiamos dos variables [X con M modalidades e Y con M
modalidades] la variable conjunta tendr M*M modalidades y la
presentacin de los datos la haremos mediante una tabla de doble
entrada [tabla de contingencia] con contendr las modalidades y el
nmero (o proporcin) de casos que observamos de cada una de
ellas.
Cada celda contiene el numero de casos que presentan a la vez
una modalidad de X y una de Y. Asi el valor 19 (f32) indica que 19
casos presentan a la vez el valor M3 de la variable X y el valor M2
de la variable Y.
Si sumamos todas las frecuencias de la fila 2, obtendremos el
nmero de casos en la modalidad M2 de la variable X. Esta frecuencia
se denota por .
Si sumamos todas las frecuencias de la columna 3, obtendremos el
nmero de casos en la modalidad M3 de la variable Y. Esta frecuencia
se denota por .
A las frecuencias resultantes de sumar toda una fila o columna
se les llama frecuencias marginales y proporcionan la TDF de cada
una de las variables estudiadas, Si sumamos todas las frecuencias
obtendremos el numero total de casos y lo mismo ocurre si sumamos
las frecuencias marginales de cualquiera de las dos variables
estudiadas.
Las tablas de contingencia pueden presentarse tambin en
porcentajes, dividiendo por la frecuencia total y multiplicando por
100. Segn la frecuencia que se utiliza como total se obtienen
diferentes resultados.
Ingresos en la unidad de obstetricia Hospital Dr Peset. Ao
1996.
Tabla 1
Evol/lugarMaternidad (M)Dilatacin (D)Paritorio (P)total
Normal444285A=14743
Otra3021253
total47430616796
A: 14 ingresos ocurridos por paritorio y con evolucin no
normal.
Si se divide por el total de individuos en la muestra (n total
de datos), la tabla resultante expresa la distribucin de
probabilidad conjunta de las variables X e Y. La suma de todos sus
elementos ser 100.
Tabla 2Evol/lugarMaternidad (M)Dilatacin (D)Paritorio
(P)total
NormalB=55,835,81,893,3
Otra3,82,60,36,7
total59,538,42,0100
B: 55,8% de ingresos ocurridos por maternidad y con evolucin
normal
Si se divide por la frecuencia marginal de la fila
correspondiente, la tabla resultante expresa la distribucin de
probabilidad condicionada a tipo de evolucin. Las nuevas
frecuencias marginales por filas sern 100.
Tabla 3Evol/lugarMaternidad (M)Dilatacin (D)Paritorio
(P)total
Normal59,7638,361,88100
Otra56,6039,62C=3,77100
total58,1838,992,83100
C: Los ingresos por paritorio suponen un 3,77% de los ingresos
con evolucin no normal, i.e. de los ingresos con evolucin no
normal, el 3,77% fueron por paritorio. Si se divide por la
frecuencia marginal de la columna correspondiente, la tabla
resultante expresa la distribucin de probabilidad condicionada al
lugar de ingreso. Las nuevas frecuencias marginales por columnas
sern 100.
Tabla 4Evol/lugarMaternidad (M)Dilatacin (D)Paritorio
(P)total
Normal93,6793,1487,5091,44
Otra6,336,86D=12,508,56
total100100100100
C: Los ingresos con evolucin no normal, suponen un 12,5% de los
ingresos por paritorio, i.e. de los ingresos por paritorio, el
12,5% tienen una evolucin no normal. El porcentaje de ingresos con
evolucin no normal es casi el doble cuando el ingreso es por
paritorio que cuando es por maternidad o dilatacin.2.2
Representacin grfica. Aunque la tabla de distribucin de frecuencias
contiene toda la informacin disponible en ocasiones resulta
necesario presentarla mediante un grafico para conseguir una mejor
visin de conjunto.
VARIABLES CUALITATIVAS O VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETASSe
basan en el principio de proporcionalidad entre reas y
frecuencias.
*Diagrama de sectores
Se asocia a cada modalidad un sector circular con ngulo central
proporcional a la frecuencia de dicha modalidad. As el ngulo ((i)
que corresponder a una modalidad con frecuencia fi se obtiene
fcilmente mediante la regla de tres:
Ejemplo 6: El grfico de sectores de los datos sobre trasplantes
del ejemplo 3 se muestra a continuacin. El ngulo que correspondera
por ejemplo a la categora hgado es:
-> grados
*Diagrama de barras
Sobre unos ejes coordenadas marcamos en el eje de abscisas las
posibles modalidades y sobre el eje de ordenadas la frecuencia (o
porcentaje). Sobre cada modalidad trazamos rectngulos de base
constante y altura igual a la frecuencia (o porcentaje)
correspondiente [en el ejemplo se representan las proporciones de
las modalidades de la variable Lugar de ingreso]
*Diagrama de barras dobles
Similar al diagrama de barras, se utiliza para representar
conjuntamente dos o ms variables
cualitativas y se basa en los datos recogidos en la tabla de
contingencia [en el ejemplo se representan las frecuencias/casos de
las modalidades de la variable conjunta Lugar de ingreso Evolucin
del parto]
*Diagrama de barras estratificado
Presenta las modalidades de una variable condicionadas a una
segunda variable. Normalmente se expresa en porcentajes [en la
primera grfica se representan los porcentajes de las modalidades de
la variable Evolucin del parto condicionada a la variable Lugar de
ingreso; en la segunda los porcentajes de las modalidades de la
variable Lugar de ingresocondicionada a la variable Evolucin del
parto]
*Grficos de secuencia de Serie temporal o perfil ortogonal se
representan en abcisas las posibles modalidades y en ordenadas las
correspondientes frecuencias (en ocasiones utilizaremos las cifras
relativas calculadas: ndices, tasas, ...). Uniendo los puntos
obtenemos el perfil ortogonal. En algunos casos hay que recurrir a
una escala semi-logartmica para que los perfiles se puedan apreciar
(en la evolucin de la mortalidad en el Camp de Turia en el eje de
ordenadas se representa el logaritmo decimal de las defunciones por
1000 habitantes).
N diario de casos de gripe en Valencia obtenidos a partir del
sistema de declaracin obligatoria (EDO) para el periodo
2006-2009.
VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS
*Histograma asociamos a cada clase o intervalo un rectangulo
cuya base sera la longitud de la clase (trabajaremos con limites
exactos) y cuya rea sera igual a la frecuencia (proporcion o
porcentaje) correspondiente a dicha clase. La altura de cada barra
se vendr dada por tanto por: siendo ai la amplitud del intervalo
correspondiente. Nota: si todos los intervalos tienen la misma
amplitud pueden utilizarse como alturas las frecuencias, es
decir:
*Polgono de frecuencias consideramos los pares formados por la
marca de cada clase y su
correspondiente frecuencia (proporcin o porcentaje). Al
representar estos puntos y unir dos
consecutivos mediante una linea recta obtenemos el poligono de
frecuencias.
*Polgono acumulativo o curva de distribucin si consideramos la
proporcin (porcentaje) de una clase uniformemente repartida a lo
largo de ella, podremos definir a la proporcin acumulada a un punto
del intervalo como:
esta funcin es montona creciente y su representacin grfica la
llamaremos polgono acumulativo.
2.3 Medidas de tendencia central y de dispersin. Son medidas
numricas que se emplean para describir conjuntos de datos. Permiten
conocer la muestra y a veces detectar errores en los datos
registrados. Adems algunas de estas medidas sern la base para hacer
inferencias, esto es, para sacar conclusiones sobre el fenmeno
recogido en toda la poblacin a la que representa la muestra.
*Medidas de tendencia: Las medidas de tendencia central son
aquellas que intentan caracterizar el centro de la distribucin. Las
ms importantes son la media aritmtica, la mediana y la moda. En
general para describir variables cualitativas ninguna, salvo la
moda tiene sentido. Para describir variables cuantitativas son muy
tiles, sobre todo las dos primeras.
*Medidas de dispersin: son aquellas que cuantifican la dispersin
de los datos observados (recorrido, intervalo intercuartlico,
varianza y coeficiente de variacin)* Media aritmtica: es la suma de
las observaciones en todos los individuos, dividido por el tamao
muestral:
Es decir, supuesta una barra sin peso que empezara en el dato de
menor valor y acabara en el de mximo, si se colocaran en las
posiciones correspondientes a los datos tantos kilos como su
frecuencia, la media aritmtica sera el punto dnde se ha de apoyar
la barra para que sta se mantuviera en equilibrio.
Ejemplo 6: X: nmero de hijos en 500 mujeres entre 20 y 30
aos
Nota: Caso de calcular la media aritmtica de una distribucin
cuantitativa continua, a partir de su tabla de frecuencia, como xi
se utilizarn las marcas de clase de los intervalos.
Propiedades de la media:
La media aritmtica se mide en las mismas unidades de la variable
y se ubica entre el mnimo y el mximo de los valores recogidos.
La media depende directamente de los valores de la variable, por
lo que es sensible a datos extremos, de hecho cuando se dan este
tipo de valores o bien la distribucin no es simtrica se recomienda
no usar la media sino la mediana como medida de tendencia central.
La media aritmtica es un operador lineal:
Cuando se incorporan nuevos datos, x2, a una muestra, x1, la
media aritmtica tambin puede actualizarse, sin necesidad de ser
recalculada:
la suma de las desviaciones en torno a la media es cero:
Ejemplo 7: En una variable dicotmica (0: fracaso, 1: xito) la
probabilidad muestral de xito es tambin la media. Por ejemplo si en
una muestra de 280 individuos, 93 resultaron afectados de cierta
enfermedad, la probabilidad de enfermar: 93/280, sera el resultado
de sumar todos los valores de la variable, o sea todos los 1 y
dividir por el total.
Ejemplo 8: X=N de lesiones causadas por el virus de la viruela
en membranas ovulares.
N de lesiones
Marca de clase(xi) fi hi Fi Hi
[0,10)510,012510,0125
[10, 20)1560,07570,0875
[20, 30)25140,175210,2625
[30,40)35140,175350,4375
[40,50]45170,2125520,65
[50, 60)5580,1600,75
[60, 70)6590,1125690,8625
[70, 80)7530,0375720,9
[80, 90)8560,075780,975
[90, 100)9510,0125790,9875
[100, 110)10500790,9875
[110, 120)11510,0125801
totales801,00
Ejemplo 9: Supongamos que la media de ingresos urgentes diarios
en un hospital es 10, Cul es la media de ingresos semanales? X=N de
ingresos urgentes, Y=n de ingresos semanales, Y=7X ->
Ejemplo 10: Supongamos que la media de ingresos diarios por
causas circulatorias en Valencia es 9 y por causas respiratorias es
3. Entonces la media de ingresos por causas cardio-respiratorias
sera 12:X=N de ingresos circulatorios, Y=n de ingresos
respiratorios, Z=n de ingresos cardio-respiratorios Z=X+Y ->
.
Ejemplo 11: Supongamos una muestra de 20 datos en los que la
media muestral result 18, se obtienen 10 nuevos datos que tienen
una media de 16, la media aritmtica del conjunto es:
* Mediana: Es el valor de la variable que deja atrs la mitad de
la frecuencia, o dicho de otro modo, es el primer valor de la
variable que divide a la muestra en dos grupos con el mismo nmero
de individuos. Cuando no es posible, se prefiere dejar por debajo
algo ms que hacerlo por delante. Es decir, colocados en orden
ascendente y tantas veces como se repiten en la muestra, la mediana
sera el dato central. Si se tratara de una muestra con un nmero par
de datos por convenio se da como mediana la media aritmtica de los
dos valores en torno al centro.
Cuando se calcula la mediana partiendo de una tabla de
frecuencia, se hace segn las siguientes reglas:
- En variables discretas: Se da como mediana el primer valor que
tiene una frecuencia absoluta acumulada superior a n/2. De existir
un dato con frecuencia absoluta acumulada exactamente igual a n/2,
se da como mediana la media entre dicho valor y el siguiente
Ejemplo 12:
- En variables continuas se calcula mediante la frmula
La frmula viene de haber aplicado la ley de proporcionalidad de
tringulos sobre el polgono de frecuencias acumulado:Ejemplo 13:
Calcular la mediana de la siguiente distribucin.
n/2=250. Luego la mediana est entre 1 y 2:
Propiedades de la Mediana
La mediana no depende de los valores de la variable, tan solo de
la frecuencia con la que se dan, por lo que no es sensible a datos
extremos.
En caso de distribuciones simtricas, la media y la mediana toman
el mismo valor. En caso de distribuciones asimtricas, la mediana es
mejor medida de tendencia central que la media.
En el mismo sentido que la mediana puede trabajarse con otro
porcentaje del tamao muestral y calcular los llamados percentiles.
Algunos percentiles, muy usados, tienen nombres especiales. Por
ejemplo se llaman cuartiles (Q1,Q2,Q3) a los valores que separan la
distribucin en 4 partes con igual frecuencia, es decir a los
valores que dejan atrs respectivamente el 25, el 50 y el 75% de los
datos. Los deciles (D1,,D9) son los puntos que separan a la
distribucin en 10 partes con igual frecuencia. Los percentiles se
calculan igual que la mediana sin ms que cambiar n/2 por la fraccin
de la frecuencia correspondiente. Por ejemplo si se va a calcular
el percentil 25, n/2 se sustituir por 25n/100, es decir por n/4.*
Moda: es el valor ms frecuente de la muestra. Si la variable es
continua hablamos de intervalo modal.Propiedades de la Moda La moda
no tiene porqu ser nica, las distribuciones con una sola moda se
llaman unimodales.
En caso de distribuciones simtricas y unimodales, la media, la
mediana y la moda coinciden
Ejemplo 14:
* Varianza: es una medida de alejamiento de los valores de la
variable con respecto a la media
Propiedades de la Varianza- El clculo anterior es equivalente
a:
-Se mide en las unidades de la variable al cuadrado.
-La varianza es un operador cuadrtico, que no depende de los
cambios de origen. Es decir: Var(AX+B)=A2Var(x)
-La varianza de la suma de dos variables solo es igual a la suma
de las varianzas en el caso en que las dos variables son
independientes.* desviacin tpica: Es la raz cuadrada positiva de la
varianza:
Propiedades de la desviacin tpica- La desviacin tpica se mide en
las mismas unidades que la variable. Por tanto, es comparable con
la media de la distribucin. Cuando la variable es simtrica sin
datos extremos suele darse como rango habitual de los valores de la
variable como:
Ejemplo 15:
* Coeficiente de variacin: es una medida relativa de dispersin
que permite as comparar la dispersin entre dos variables.
Ejemplo 16: Supongamos que deseamos saber si el peso dentro de
una muestra de obesos, es ms variable que el peso dentro de una
muestra de anorxicos. En la primera muestra la desviacin tpica es
de 6 kilos y en la segunda es de 3, el peso medio en la primera
muestra es de 100 kg, mientras que en la segunda es de 40 kg. As
pues, el peso en la muestra de anorxicos es ms variable en trminos
relativos. (CV(anorxicos)=0.075; CV(obesos)=0.06).* Recorrido:
diferencia entre el mnimo y el mximo: R=xmax-xmin* Rango
intercuartlico: diferencia entre el percentil primero y tercero:
RI= Q3-Q1 El rango intercuartlico es el rango del 50% centrado de
la muestra. Un RI pequeo indica que los valores estn muy
concentrados en torno a la mediana. EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
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