CAP TUL OV ELABORACIN DEGRFICAS A.Obj eti vos Determi narlai
mportanci adelasgrficasenlavisualizacindelai nformaci n. I
dentificarlasclasesdegrficasyloscomponentesdelasmi smas.
Desarrollardestrezasparaelaborareinterpretargrficas. B.Conteni dos
Di agramas Di agramasdebarras Hi stogramas Di agramacircular P ol
gonos Cuadradosytringulos Ojivas GrficasdeGantt P i ctogramas P
irmides Cartogramas Otrasgrficas. E ntogramas Int r oducci n
Lapresentaci
ndelasinformacionesobtenidasenencuestas,sepuederealizardeva-riasformas:
Textual(enformadetexto) Cuadros. Grficas. Cuandoeli
nformesehaceenformatextual,setratadeunapresentaci
nsimpleylimita-da,talcomosucedeenlosreportajesoart culosperiod
sticos,dondelosdatosaparecen intercaladosconloscomentari
osyconlasconcl usi onesderivadasdelasinterpretacionesde losmi
smos,enunaformaligeraydescriptiva. E nuninformetextualcompl
ementadoconcuadros,estossirvendeayudaallectorpara
entenderoampliareltexto.Sinembargo,lautilizacindeltextoycuadrosnoessuficiente
paralapresentaci
ndeunbueninforme,yaquelalecturadeltextoimplicarunti empo
preciosoparaentendertodoelconteni
do;ahora,siellectorseremitealoscuadros,encontra-runascifras,queenal
gunoscasosnoleaclaranlosuficienteyenotros,noledicenmucho
sobreelprobl
emaestudiado,deahqueseanecesarioqueelinformevayaacompaadode
grficas,nocomosustitutodelasformasanterioresdepresentaci
n,sinocomolamejor maneradevisualizarlainformacin.
54CIROMARTNEZBENCARDINO Reg l aspar al a el abor aci n de gr f i
cas
Laformadelagrficadependeengranpartedelgustodelapersonaquelaelabora;sin
embargo,hayciertosprincipiosgeneralesquesedebentenerencuentaenellogrodeuna
buenagrfica.I
ndicaremosacontinuacin,algunosdelosprincipiosmsaceptados.
Lamejorgrficaeslamssimple.Lasl neasys
mbolosusados,debenserlosestricta-menteindispensablesparaunamejorvisualizacindelainformacin.
Sihaymsdedosgrficas(figuras),debensernumeradas,indicndose:grficaNf
i 1; grficaNs 2,yassucesivamente. Todagrficadebellevarunt
tuloqueaclaresucontenido.Sedicequedeberesponder
alosinterrogantes:qu,cmo,cundoydnde. Laposicindelt
tuloenlagrficaseconsideradegustopersonal,deahquealgunos
aconsejanquedebesercolocadoenlapartesuperior,y,otros,quedebeestarenla
parteinferior. Lasl
neasquellevanescalas,debendibujarsemsgruesasquelasdemscoordena-das;asuvez,lasl
neasquerepresentanlosdatosolavariabledebensermsgruesas
quelasdelasescalas. Lal neavertical,denomi
nadaordenada,seutlilizapararepresentarlasfrecuencias,las
cualesdebencomenzarencero. Lascaracter
sticascualitativasycuantitativas,porlogeneral,vanenlal
neahorizontal oabscisa.
Lalecturadelaescaladelejehorizontalsehacedeizquierdaaderecha.Lalecturadel
ejevertical,debehacersedeabajohaciaarriba.
Larepresentacindelfenmenodebevariarsloenunadi mensi n.
Entodagrficasedebeexplicarlafuenteendondefueronobtenidoslosdatos;ade-ms,aclararlasescalas,leyendas,notasyconvencionesqueayudenaidentificarlas
caracter sticaspresentadas.
Lasgrficasdebenserlobastantesencillasparaprocurarunaideaclarayser
comprensi bl essinlaayudadelasdescripcionesdeltexto.
Losdatosnumricossobrelosquesebasalagrficadebenpresentarseencuadro
(tabla)adjunto,sinosonincluidosenlami smagrfica.
Lasgrficasdebenseguir,ynuncaprecederalaexposicindeltexto. Cuandola
grficapresentamsdeunavariable,deberhacerseunamuyclaradiferen-ciacinpormedi
odeleyendas,notasosignosconvencionales. Ti posde gr f i cas
Haynumerosostiposdegrficasy,
porlogeneral,seclasificanencuatrograndesgrupos,
comopuedeverseenlafigura5. 1. Veamosdeteni
damentealgunasgrficas,especialmenteaquellasquesonconsideradas
comolasmsusuales,sintenerencuentalaclasificacinquesedaenlafigura5.1
Ojivas. Diagramasdefrecuencias. Histogramas. Pol gonos.
Diagramasdebarras Diagramacircular Diagramadel neas
Cuadradosytringulos P ictogramas Cartogramas GrficasdeGantt P
irmides ESTADSTICABSICAAPLICADA 55 Gr f i cas Fi gur a5.1Ti posdegr
f i cas rDepuntos [Rectilneas Lineales Diagramas< Curvilneas
fRectangulares(barras) _..Triangulares Superficiales^ C u a d r a d
o s 3Q t f t f l 22 o t f i re .o re
=O)erequeelpromediosearepresentativo,sedandossoluciones:a)utilizarotro
diferentealamedia,siendoelmsrecomendablelamediana;b)prescindirde
rextremo.Observemoselresultadoutilizadoesteltimoprocedimiento.
_Sx,4.335.300 x= -= = 394.118,18 n11 76 CIROMARTNEZBENCARDINO
Estevalorde$394. 118, 18comopromedio,esmuchomsrepresentativoqueelde
$427. 191, 67.
Enelejercicio2,veremosotrasituacinquenosharcomprenderporqulamediano
debeseraceptadasi
emprecomolamssignificativa,mientrasnosehagaunainspeccin
sobreelcomportami entodelavariable. E j e r c i c i o2.Consi
deremoslasutilidadesyprdidasdeunalmacnpordepartamentos(ver
tabla6.2). Siexami namossol
amentelospromedios,llegamosalaconclusindequeelpromedi ode
beneficioobtenidopordepartamentosemantiene,deunaoaotro,peronosocultalos
cambi
osquesehanproducidoenlosdepartamentosdondehahabidoundesplazamientode
losbeneficios,ylapoblacinrealen1999esmuydiferenteencomparaci
nconlaquese observenalgunosdepartamentosen1997. Tabl a6.2 Di st r i
buci ndeut i l i dadesypr di das UTILIDADES (+) Y PERDIDAS(-)
DEPARTAMENTOS (ENMILLONESDE $) 19971999 Cal zado-10+20
Electrodomsticos+ 153+58 J ugueter a-40-20 Mi scel neas-13+10
Ropa+130+152 Medi a( x )(P romedio)+44+44
Lafrmuladadaparacalcularlamediaaritmticasimplela
vamosautilizarcomoejercicio
deaplicacinconlosdatosdelastablas4.9y4.13,(Verenpp.
40y43)correspondientesa
observacionesnoagrupadasdevariablesdiscretaycontinua,respectivamente.
Enlavariablediscreta,lamediaaritmticaser: _I x,2+ 1 + 1+ 0+ ...+
2_59-* x= = = x= = 1,966x= 1,97 n3030
yenlavariablecontinua,elresultadoobtenidoalaplicarlami
smafrmula,ser: _48+ 56+ 60+ ...+ 672.039 C 7 0 C _ x= = = 67,966
3030
Lafrmulautilizadahastaelmomentoparacalcularlamediaaritmticatansloesaplicable
cuandosetratadetrminossimplesodatosnoagrupados.Generalmenteestaformadepre-sentacinydeclculosedacuandoelnmerodeobservacionesespequeo.
Mediaaritmticaponderada
Cuandoelnmerodeobservacionesesgrande,lasoperacionesparacalcularlamedi
a aritmticasesimplificansiagrupamoslosdatosenunatabladefrecuencias.
Ej e r c i c i o3.Supongamosquesetienen10observaci ones.
ESTADSTICABSICAAPLICADA77 Tabl a6.3 Dat osor i gi nal es 2642684
Lamedi aaritmticadeesos10valoresser: _I x,2+6 + 4 +. . . + 648 x=
-= n 4,8 1010
Silos10valoresanterioreslosordenamosdemenoramayoryluegolossumamos,se
obtendrelmi smoresultado. 2+ 2+ 4+ 4+ 4+ 6+ 6+ 6+ 6 +848 x= = = 4,8
1010 Lasumaanteriorsepodrabreviarenlasiguienteforma: _2(2)+ 4(3)+
6(4)+ 8(1)4+ 12+ 24+ 848. _ X===4,8 101010
Seobservarque2,4,6,8sonlosvaloresquetomalavariable,yque2,3,4,y1
sonsus respectivasfrecuenciasabsolutas. Cal cul
emoslamediaaritmticadelosdatosanteriores,peroordenadosenunatablade
frecuencias y, n y, n , 224 4312 6424 818 I1048 yf nt+ y2 n2+ y3
n3+ y4 n44+ 12+ 24+ 848 1010 4,8 _Iy r\,48 y= 7 11= = 4,8 n10 Ej er
c i c i o4.Apl i quemoslafrmulaparacalcularlamedi
aponderada(enunavariable discreta,conlosdatosdela tabla4.12)conla
cualyahab amoscalculadolamediaaritmtica simple. Tabl a4.12Var i abl
edi sc r et a. y, niVi n 030 166 21224 3721 428 I3059 y n i 59 30
1966
Losresultadosobtenidosalaplicarlafrmula,tantoparadatosnoagrupadoscomopara
osagrupados,enunavariablediscretadebenserexactamenteiguales.
78CIROMARTNEZBENCARDINO Enlavariablecontinua,alaplicarla
frmulaenelclculodelamediaaritmticacondatos
agrupados,sedebertrabajarconlasmarcasdeclase.
Elresultadoobtenido,porlogeneral,noesigualalobtenidoparadatossinagrupar.
Ellosedebealaprdidadeinformacinquesepresentaalagruparlosdatoseninterva-los,asporejemplo,lostresvalores(tabla4.13)x,=
48;x5= 47yx2 5= 52quedan
incluidosenelprimerintervalo46,1-54delatabla4.15;luegoalcalcularlamedi
asehar
conlasmarcasdeclase,siendo50elvalorquerepresentaralastresobservacionesdex,
queseencuentranenelprimerintervalo.Comparemoselresultadodelatabla4.13dondela
mediafue67,966,coneldelatabla4.15. E j e r c i c i o5 Tabl a4.15Var
i abl ec ont i nua y n. i y, n , 46,1- 54503150 54,1- 62586348
62,1- 706610660 70,1- 78746444 78,1- 86823246 86,1- 94902180 I-
302.028 S yjn n _2.028 y= = 67,6 30
Seobservarquelosresultadossondiferentes.Enelprimerodio67,97yahora67,6.
Enunavariablecontinua,cuandolosvaloresextremosnoestndefinidosylasfrecuen-ciascorrespondientesadichosintervalostienenciertaimportanciadentrodeladistribucin,
esmejoraplicarunpromediodiferentealamedia.Ahora,sidichasfrecuenciascarecende
pesooimportanciadentrodeladistribucin,sepodrcalcularlamedia,prescindiendopara
ellodelosintervalosextremosydelasrespectivasfrecuencias. E j e r c
i c i o6 Tabl a6.3Var i abl ec ont i nua y;.,-y;n. y, n. menor o
iguala 83 - - -8,1- 12101010100 12,1- 20181618288 20,1- 3014.
2514350 msde305 - - -I50- 42738 -738 y= = 17,57 y42
Clculodelamediautilizandofrecuenciasrelativas Recordandoquen,=
sepodrobtenerotrafrmulaparacalcularlamediaaritmtica,
utilizandoparaellolasfrecuenciasrelativas.Setieneque v=M=y,n, +yg
n2 + . . . +ymnm s e n j 0 . ESTADSTICABSICAAPLICADA 79 nnnn y= y,
h,+ y2 h?+ y3 h3+ ...+ y m h mdonde:y =I y , h , Ej e r c i c i
o7.Aplicamosla
frmulaanterioralosdatosdelastablas4.12y4.15,observando
quelosresultadossonexactamenteigualesalosobtenidosal calcularla
mediaponderada.Las
pequeasdiferenciasquesepuedenpresentarenlosresultados,sedebenalasaproximacio-nesquehacemosalcalcularlasfrecuenciasrelativas,ytrabajarcondosdecimales.
Tabl a4.12Var i abl edi s c r et a y, h yh 00,100 10,200,20
20,400,80 30,230,69 40,070,28 1,001,97 Tabl a4.15Var i abl ec ont i
nua y-y'h y,y,h 46,1-540,10505,00 54,1-620,205811,60
62,1-700,336621,78 70,1- 780,207414,80 78,1- 860,10828,20 86,1-
940,07906,30 I1,00- 67,68 y= - y. n, y= 67,68 Desviaciones
Antesdeexplicarlosmtodosabreviadosutilizadosparacalcularlamedia,veamosqu
sonlasdesviacionesycmoseusan.
Lasdesviacionessonlasdiferenciasquesepresentanentrelosvaloresquetomala
variable,yaseaxoy;yunvalorconstante,elquepuedeserlamediaaritmticaoun
origendetrabajo.
EsteltimosesimbolizaporO,ycorrespondeaunvalorcualquiera,seleccionadoarbi-trariamenteyquepuedeestarlocalizadodentroofueradelrangoorecorrido.
Seconsiderantresclasesdedesviaciones:
a)Desviacionesrespectoalamedia.SesimbolizaporZysedefinecomolasdiferen-ciasquehayentrecadavalorquetomalavariableysumediaaritmtica.
Zj= x-x(paradatosnoagrupados)Z= y,-y(paradatosagrupados) E j e r c
i c i
o8.Utilicemoslosdatosdelastablas4.12y4.15paracalcularlasdiferentes
clasesdedesviaciones.Enprimerlugarobtengamoslosvaloresparalasdesviacionesres-pectoalamedi
aZ,= y,-y. 80CIROMARTNEZBENCARDINO Tabl a4.12Var i abl edi s c r et
a Vin i yn Z.= y.-y 030-1,97 166-0,97 212240,03 37211,03 4282,03
I3059-y, n, n 59 30 1,97 Z|-y,-y Z,= y,-y=0 -|97=-1,97 Z 2 =y 2
-y=1-1,97=-0,97 z 3 =y3z4=y4 z 5=v5y=2 -1,97 =0,03 y=3 -1,97 =1,03
y=4 -1,97 =2,03 Tabl a4.15Var i abl econt i nua y*M-y;y.n Vi n z,=
y-y 46,1-54503150-17,6 54,1-62586348-9,6 62,1-706610660-1,6
70,1-787464446,4 78,1-8682324614,4 86,1-9490218022,4 S y n,2.028 30
67,6 Zi= y-y Z,=50 -67,6 = -17,6 Z2=58 -67,6 = -9,6 Z3=66 -67,6
=-1,6 Z4=74 Z5=82 Z6=90 67,6= 6,4 67,6= 14,4 67,6= 22,4
Enlavariablecontinua,elclculodeZ,
sedebehacerconlasmarcasdeclase.Veamos
ahoraelclculodelasdesviacionesrespectoalamediaendatosnoagrupados. E
j er c i c i o9 Supongamosquen= 10,cuyosvaloresson: 4 6 2464 6286 z
, = x, -x=2--4,8=-2,8 = x3-x=4 -4,8=-0,8 = x5-x=6 -4, 8= 1,2 z=
x7-x=4 -4, 8=-0,8 z5 = x9-x=4 -4, 8=-0,8 X= I x , 48 ==4,8 10 Z2 =
x2x=6 -4,8 x=2 -4,8 x=8 -4.8 1,2 2,8 3.2 T0 6-4,8 = 1,2 =6 -4.8
=1,2 EndatosnoagrupadoslaZ z = I>(x,-x) = 0,encambi
oparadatosagrupados,porlo
general,esdiferenteacero.Endatosagrupadoslasumadelasdesviacionesconrespectoa
ESTADSTICABSICAAPLICADA5'
lamediaserigualacero,cuandoladistribucinessimtricaocuandocadaZ/estmultipli-cadaporsurespectivafrecuencianrI
Z ( n ,= I ( y,-y)n,= 0
b)Desviacionesrespectoaunorigendetrabajo.SesimbolizaporZ'
yseleecomoZeta primasubi.
Esdegranaplicacinenelclculodelamediaaritmticacondatospresentados
entablasdefrecuencias. E j e r c i c i o10.Consi
deremos,arbitrariamente,algunosvaloresparaOtycal cul emoslas
respectivasdesviacionesZ!paralasvariablesdiscretaycontinua,dadasenlastablas4.12
y4.15. Tabl a4.12Var i abl edi s c r et a y, 0, - 2Of - 4ot =oOt
=20 y, z:z: i z:Z i 0-2-40-20 1-1-31-19 20-22-18 31-13-17 4204-16
z| =y -o Consi derandoOt= 2setendrque: z o. o. o 0-1-2-2=2=2=O, O,
3 -2 4 -2 Tabl a4.15Var i abl ec o nt i nua y-i-y; y 0, = 74O(
=50O( =900, = 68O,= 30 y-i-y; y z: i z:z: i z:z: i 46,
1-5450-240-40-1820 54, 1-6258-168-32-10*28 62.1-7066-816-24-236
70.1-7874024-16644 78, 1- 8682832-81452 86, 1-9490164C02260 y, - o,
Enla variablecontinua,elprocedimientodecalcularlasZ\selmi
smoqueelut i l i zadoenl a var i abl edi sc r et a,per oset r abaj
ac o nl asmar c asdec l ase.
c)Desviacionesrespectoaunorigendetrabajotomadasenunidadesdeintervalos.Se
simbolizaporz "yesiguala:
Seaplicanicamenteenlavariablecontinuayenespecialcuandolaamplitudenlosinter-valosesconstante.
VeamoscmosecalculaZ" (teniendoparaellolosdatosdelatabla4.15).
82CIROMARTNEZBENCARDINO Tabl a4.15Var i abl econt i nua y|-i-y.' yi
Ot = 74O,= 50Ot = 90Ot =68Ot = 30 y|-i-y.' yi z: i Z'z: i Z'z:Z"Z"
z: 46,1- 5450-24-300-40-5-2,252,5 54,1- 6258-16-281-32-4-1,253,5
62,1-7066-8-1162-24-3-0,254,5 70,1- 787400243-16-20,755,5 78,1-
868281324-8-11,756,5 86,1- 9490162405002,757,5 I- - - - - - - -
-Sedijoanteriormentequeelorigendetrabajoesunvalorarbitrario,quepuedeestar
localizadodentroofueradelrecorrido,sinembargoesaconsejabletomarunvalorqueapa-rezcaenlacol
umnadelasmarcasdeclase(y),siendopreferibleseleccionarcomotalal
valorcentraldelavariable,conelfindesimplificarlasoperacionesenelclculodelamedia,
comosevermsadelante
Enlatabla4.15deacuerdoaloanteriorespreferibletomarcomoorigendetrabajoa66
oa74. Porotraparte,sepodrobservarqueZ'tomaelvalor0,al
frentedelorigendetrabajo,y apartirdelsetendr- 1, -
2,-3,...haciaarribay1,2,3...haciaabajodela tabla.Si empreque
laamplitudseaconstantesetendrenZ,"
unadiferenciade1entrecadadesviacin. Mtodosindirectos
Sonaplicadosendistribucionesdefrecuencias(datosagrupados),cuandolasvariables
tomanvaloresgrandesquehacenengorrosoelclculodelamedia,facilitandoelclculocon
operacionesmssencillas. . a)Pr i mermt o d oab r ev i ad o .I
mplicalautilizacindeZ.'(desviacionesrespectoaun
origendetrabajo),dedondededuci moslafrmulaparaestemtododeclculo:
Sabi endoqueZ;= y(-O,luegodespejandoayjsetendrque:y= O,+ Z
Elprocesoqueacontinuacinsesigue,consisteenmultiplicaray,porntluegosele
anteponeadichoproductoelsignodelasumatoria,ylodividimosporn\lr esul
t adoobt eni do c or r esponder al af r mul apar
aelprimermtodoabreviado,el
queserutilizadoenelclcu-lodelamediaaritmticaponderada.Veamoseldesarrolloanterior:
a)Multiplicamospora :y n= O, n+ Z,n b)AnteponemoselsignoI :l y,n,=
O,En,+ I Zn l y. n,En,EZrv c)Dividimosporn:= u,+' vnnn Siendoy= O,+
i !frmulacorrespondientealprimermtodoabreviado.
Tambinsepuedepresentarla anteriorfrmulaenla siguienteforma:y= 0
{+ESTADSTICABSICAAPLICADA83 b)S egundomtodoabrevi
ado.Seaplicaexclusivamentecuandolavariableesconti-nua,ylaamplitudesconstante.EstemtodorequierelautilizacindeZ'laquese
puedeobtenerdirectamentepartiendodecero(alfrentedeO)odividiendoaZ!porel
valordelaamplitud(C). Z y.-o. C1c siendoZj= CZ",reempl
azamosenlafrmulautilizada,paracalcularlamedi aporel
primermtodoabreviado: ICZ"n. y= Ot+ '-IZ' n. y= ot +c'-tambin,y=
O,+ C MrE j e r c i c i
o11.Elcmputodelamedia,aplicandolosdosmtodosabreviadosanteriores,
seharutilizandolosdatosdelatabla4.15. Tabl a4.15 a)O f - >b)O
y,n i z:z:n,ZiZ," ni 503-8-24-3-9 5860-2-12 6610880-1-10 74616960 -
3 1 ^ " " " 823247213 902326424 I30- 288- -24 y =o, SZi ri i 288
y=58+ = 58+ 9,60= 67,60 30 O.+C IZ"n y= 74 +8 - 24 30 74 192 30 =
74-6,4= 67,60 Desardelarecomendaci
ndeconsiderarcomoorigendetrabajoalvalorcentraldela
'le,sehatomadounvalorquenoestubicadoeneselugar,parademostrarquese
eelmi
smoresultadotrabajandoconcualquiervalorcomoorigendetrabajo.Adems,
el productodela
frecuenciaporsudesviacin,enelorigendetrabajo,suresultadoser
icero,dichoespacioloutilizamosparaanotarlassemi -
sumasdelosvaloresnegativos tivos. Propiedadesdelamedia
Dadaalimportanciaquetieneelclculodelamediaaritmticaysufrecuenteuso,con-detenernosaconsideraralgunasdesuspropiedades.
Primerapropiedad:Lasumadelasdesviacionesrespectoalamediaaritmticaesigual
84CIROMARTNEZBENCARDINO a)EndatosnoagrupadosuoriginalessetienequeI
Z = 0 IZ,= I( x, - x)= I x,- I x= I x,-nx -Ex Siendo: x=-JJ-;nx=I x
,reemplazando,setendrnx- nx= 0siendoigual aconsiderar:I x,-I x,=0
b)Entablasdefrecuencias,lasdesviacionesconrespectoala
mediadebernponderarse,
esdecir,multiplicadasporsusrespectivasfrecuenciasabsolutas.Endistribucionessi-mtricasnohaynecesidaddeponderarlasdesviacionesparaquelasumaseacero.
IZ n= I(y -y)n- 2 y, n,-yIn= Iy n-yn Siendoy=sy.n, se tendrqueyn=
Synreemplazando,se obtienequeZ y ^- E y ^ = 0 E j e r c i c i
o12.Lossueldosde5personasenunal macnson: $382.000,365. 000,358.000,
375. 000y380.000.Calcularlasdesviacionesrespectoalamedia. So l u c
i n : 382. 000 365. 000 358. 000 375. 000 380. 000 1.860.000 x=n
1.860.000 x= 372.000 10.000 -7.000 14.000 3.000 8.000 I Z =0 E j e
r c i c i o13.Lossueldosde20personasquetrabajanenunal
macn,sepresentana
continuacinenunatabladefrecuencias.Calcularlasdesviacionesrespectoalamedia.
So l u c i n : y n Y i n i Zn, 352. 0002704. 000-18.800-37.600 360.
00031.080.000-10.800-32.400 368. 00051.840.000-2.800-14.000 376.
00062.256.0005.20031.200 384. 00041.536.00013.20052.800
I207.416.000- 0 y= u - i=n y= 370.800 I Z;n;7.416.000 20 0
Segundapropiedad:Lamediaaritmticadeunaconstante,esigualalaconstante.
SetienequeM, I x, = x; siendoxlavariable.
Ahora,considerandoaKcomoconstante,reempl azamos: I KnK
K(endatosnoagrupados) ESTADSTICABSICAAPLICADA 85 M I K n ,r m, i =
K " n i = K r m, i = K nnn K(endatosagrupados) Estapropi
edadsepuedecomprenderfcilmente.Sinembargo,veamosunejemplo. Ej e r c
i c i
o14.Enlaconstruccindeunedificiosecontrataron20obrerosconunsueldo
de$362. 000mensual escadauno;lamediaaritmticasimpleseobtendr
asumandoveinte veceslos$362.
000yeltotalresultante,sedividirporveinte,siendoelpromedi oiguala
$362. 000.
Tercerapropiedad:Lamediadelproductodeunaconstanteporunavariable,esiguala
multiplicaralaconstanteporlamediadelavariable. M I K X; [k. = K I
x, = Kx(endatosnoagrupados) M.M M . = K M In ly,n
Ky(endatosagrupados) Ej e r c i c i
o15.Enuninventariorealizadoenlabodegadeunal macn,seencontraron200
art culosquefueroni
mportadosadiferentesprecios(datosendlares).(Vertabla6.5). Tabl a6.5
y, n y, n , 20, 520410 32, 030960 48, 6502.430 50,0603.000 60,
4402.416 I2009.216 y=y =sy.n, n 9.216 200 46,08 Elpreciopromedi
odelart culoesde US$46, 08.
Resultaahora,quesequierehacerelregistrocontabledeesos200art
culosenpesos colombianos.Siel tipodecambi
oactualfuerade$1.396setendr aqueelpreciopromedi ode esosart
culosser a: MK(y)= (1.396)(46,08)= $64.327,68
Unmtodoinnecesario,queseaplicapordesconocimientodelaanteriorfrmula,eselde
convertirenpesos,lospreciosendlaresparacadagrupodeart
culos.Veamosacontinua-cincomosehubieranefectuadoesasoperaciones.
Tabl a6.6 n i y, n , 28. 618, 0020572. 360 44. 672, 00301.340.160
67. 845, 60503.392.280 69. 800, 00604.188.000 84. 318,
40403.372.736 I20012.865.536 y=sy.n, y. 1 2 8 6 5 - 5 3 6.64.327,68
y200 y= 64.327,68 86 CIROMARTNEZBENCARDINO
Cuartapropiedad:Lamediaaritmticadeunavariablems(omenos)unaconstante,
serigualalamediadelavariable,ms(omenos)laconstante. M [ X , K ]= M
[ X ]+ M [ K ]= x+ KM[ X _ K ]= M[ x ]-M[ K ]= x-K E j e r c i c i
o16.Unafirmadedicadaalaconstruccincontrata80obreros,ofrecindoles
unsalariodiario(vertabla6.7)deacuerdoconlaclasedetrabajoqueejecutan.
Tabl a6.7 CLASEDE TRABAJ O y, nj yn P lomeros11.32010113.200
Ayudantes11.38020227. 600 Albailes11.50025287.500
Carpinteros11.600558.000 Electricistas11.700781.900
Pintores11.75013152.750 - -80920. 950 l y , ^ _920.950 n"80
11.511,87
Elpromediodesalariodiarioparaestegrupodeobrerosesde$11.511,87.Resultaque
elgerentedelafirmaresuelvereconocerlesunaumentode$1.
000diarios,porlotantoel nuevopromedi oser M [ y t K ]= y+ Ky=
11.511,87+ 1.000= 12.511.87 Sinel conocimientodeestapropiedad,la
mediasehubiesecalculadoenla formasiguiente: Tabl a6.8 y, njy n ,
12.32010123.200 12.38020247. 600 12.50025312. 500 12.600563.000
12.700788.900 12.75013165.750 I801.000.950 sy.n, n 1.000.950
12.511,87 80 y= 12.511,87 Ej e r c i c i
o17.Elsalariomediomensualporobrerodelaempresafuede$278. 000durante
1998.Para1999laempresadaacadaunodesusobreroslasumade$42.
000,admitiendo quelascategor
asysalariosnosehanmodificadodesdeentonces Culeselpromedi ode
salariomensualen1999? So l u c i nx= 278.000M[ Kt x ]= K+ x K=
42.000M[ k,= 42.000+ 278.000= 320.000 x= $320. 000
Quintapropiedad.Lamediaaritmticadeunamuestradivididaensubmuestras,esigual,
alamediaponderadadelassubmuestras,tomandocomoponderacinlostamaosdelas
mismas. ESTADSTICABSICAAPLICADA 87 x=n,+n 2+...+n mGeneralizandose
tendrquey=oy =yi ni+y2 n 2+. . . + ym nf 1^ +n2+... +nmAhora,si se
consideraqueh=,setendr: n x=x,h,+x2h2 + xmhr x= Ix, h, y =zy h, E j
e r c i c i o18.Un inversionistatiene1.200 accionesde un
precioinferior a $ 3.490,siendo suvalorpromedi ode $ 2.905;
adems,800 accionescuyovalorunitarioes superiora $3.490 ysu
valorpromedi ode $4.275. Sequiereaveriguarel valorpromediode las
2.000acciones. So l u c i n Unaoperacinmuy
comn,peroerrnea,consisteen sumarlos dos promedi
osydividir-losentredos. x=2.905+4.2757.180 = 3.590 n22
Lasolucinacertadaesaplicandolaquintapropiedad. __x ^ + x 2 n
2_2.905(1.200)+4.275(800) n1 +n21200+800
3.486.000+3.420.0006.906.000 2.0002.000 3.453 Ej e r c i c i o19.El
preciode un centenarde art culoses $1.857,los art culosse dividenen
oosgrupos,conmedi as$1.758y$1.978. Cuntosart culoshay en cadagrupo?
So l u c i n x=1.857 *i=1758 N = -JOO x2=1978 N I=? n,+n2=100 N 2
=? n,=100-n2x, n,+ x2 n2r\n21.758 n+1.978 n 1857= J8-100 1857(100)
=1758 (100 -n j+1978n2185.700=175.800-1.758 n2+1978
n2185.700-175.800=1978 n,-1758 n. 9-900 =220 n2 9.900 n?= =45 2220
n,=100 -45=55 88CIROMARTNEZBENCARDINO Ej e r c i c i o20.Lamedi
adelos salariospagadosenunmes alosempleadosde una empresaascendi
a$380. 000.Lamediadelossalariospagadosaloshombresyalas
mujeresfueron,respectivamente,de$390.000y $373.
000.Determinarlosporcentajesde
hombresymujeresempleadosendichaempresa. So l u c i nx=380.000X1
=390.000x2=373.000ht =?h2 =? _x, n.+xn2__ x= ;x=x, h, +x2h2siendo1
=h, +h2;h, =1 -h2reemplazandosetiene 380.000=390.000(1 -h2 )
+373.000 h2380.000=390.
000-390.000h2+373.000h2390.000h2-373.000h2=390.000-380.000
17.000h2=10.000h2= ^jjjj^-0,5882h, =1 -0,5882=0,4118 58,
82%mujeres41, 18%hombres Sextapropiedad:Lamediaaritmticade
lasumadedosvariablesquetienenlamisma ponderacinseriguala lasumade
lasmediasdedichasvariables. Siexistenn paresde valoresde la
variablexy de la variabley, se puedenformarsumas x,+y, I (xl+
y,)n,zxjsM x+ y ix+yj nnn y y ' Lapropiedadanteriorpuedeser
aplicadaparala sumaorestade unnmerocualquiera devariables.
Sptimapropiedad:Lasumade loscuadradosde lasdesviacionesrespectoa
lamedia esmenor,si secomparacondesviacionesrespectoa
unorigendetrabajo. (1)2 ^ - 0 , (2)z. =y. -yDela ecuacin(1)
retamosla (2) z rz = (y-0t )-(vi- y) z rz =y - y+ y -t z! -z.
=y-Otsiendoy- Ot=K se tendrque :z! -z. =K z! =z. +K z.2 =fz. +K)2
zj2 n. =(z.+K)2 n. Sz:2 n. = l (z . +K)2 n. I z | 2 n i = s z ] n
\2 Ksz n i + K 2 I IsiendoI z . a -0 I z '2n. =Zz2 n+n K2 ;Por lo
tantoSzf n=I z!2 n-nK2I I I I'I I I I Setendrque:I z. 2 n.281521221
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