Estabilidad en sistemas lineales.
Establecer la estabilidad de un sistema de fundamental
importancia a la hora de trabajar con sistemas fsicos reales, para
ello existen ciertos criterios, en este laboratorio usaremos los
criterios de polos y de Nyquist, para establecer la estabilidad en
un sistema; tambin se ver cmo es que un sistema puede volverse
inestable, para ello se calcularn los mrgenes de ganancia y de fase
de cada uno de los sistemas mostrados, adems tambin se ver cmo
influyen los polos en el sistema.
Antes de pasar al desarrollo se plantear los criterios a
utilizar para seguir lo realizado en el presente informe.
Criterio de polos
El criterio de polos, consiste en determinar los polos de la
funcin de transferencia del sistema, para ver donde estn ubicados
en el plano s, si los polos se encuentran ubicados en el semiplano
derecho, significar que son positivos, adems esto indicar que el
sistema es un sistema inestable, si resulta que los polos se
encuentran en la parte izquierda del plano s entonces se hablar de
polos negativos lo que implicar que el sistema es un sistema
estable, basta que uno de los polos del sistema sea positivo para
afirmar que el sistema es inestable.
Figura 1Regiones de estabilidad e inestabilidad en el plano s.
La expresin general de una raz est dada por + j
jRegin inestableRegin inestableRegin estableRegin estable
Para determinar los polos de la funcin de transferencia tenemos
dos opciones, la primera, ser utilizar la funcin roots de MATLAB,
con la cual se hallarn las races del denominador de la funcin de
transferencia y la otra opcin es usar la funcin pole, con lo cual
bastara ingresar la funcin de transferencia. En el presente informe
se usarn ambas formas.
Criterio de Nyquist.
Este criterio se basa en el anlisis del grfico de Nyquist de un
sistema, para determinar la estabilidad del mismo, si el grfico
encierra el punto (-1,0) el sistema ser inestable, si no entonces
estaremos frente a un sistema estable.Adems con esto podemos
averiguar el margen de ganancia y el margen de fase del sistema,
haciendo un anlisis del mdulo del |F0|y del desfase, que se muestra
en la grfica y tambin analticamente.
Metodologa:
Para determinar si es estable o no se analizar el Nyquist del
sistema para ellos se usar la funcin Nyquist () de MATLAB.
Yi=tf(num,den,inputdelay,__)// con esto se obtendr la funcin de
transferencia a analizar. (el input delay se utilizar en caso se
presente retardo).
Nyquist (Yi)// con esta funcin obtendr el grfico de Nyquist del
sistema.
Teniendo el grfico se puede analizar el margen de ganancia, para
lo cual se deber ver el punto en cual el grfico corta al eje real
en menos uno y luego dividir 1 entre este valor.
Grfico de ejemploComo se puede apreciar ese valor es
aproximadamente 0.186, por lo cual el margen de ganancia deber ser
aproximadamente 5.38
Adems matlab cuenta con la funcin margin, con esta funcin
obtendr los valores de margen de fase y de ganancia.
[Gm,PM]=margin(Yi)Dnde: Gm: margen de ganancia Pm: margen de
faseComo lo que se busca es exactitud usaremos la funcin margin,
ahora bien veremos cuanto es el margen de ganancia para la funcin
del grafico de ejemplo.
yi=tf(1,[4 5 6],'inputdelay',2)
Transfer function: 1exp(-2*s) * --------------- 4 s^2 + 5 s + 6
>> [Gm,Pm]=margin(yi)
Gm =
5.3644
Como se puede apreciar el valor calculado grficamente se acerca
bastante al valor real, pero como ya se mencion por exactitud se
usar la funcin margin de MATLAB.
1. Averiguar la estabilidad relativa de los siguientes sistemas
que representan procesos. Justificar la forma de los diagramas de
Nyquist.Adicionalmente podemos calcular el margen de ganancia y el
margen de fase, esto lo haremos de dos formas, la primera que ser
basndome en el grfico de Nyquist y la segunda ser utilizando la
funcin margin de MATLAB; debido a la exactitud que se busca
utilizaremos los valores obtenidos con la funcin margin.
a)
Transfer function: 1exp(-2*s) * --------------- 4 s^2 + 5 s +
6
Criterio de polos:dena=[4 5 6]roots(dena)ans = -0.6250 + 1.0533i
-0.6250 - 1.0533i
}Como se puede apreciar, las races reales de la funcin de
transferencia son negativas, por lo cual por el criterio de polos
podemos afirmar que el sistema es un sistema estable. Adems podemos
apreciar que presenta parte imaginaria lo cual no dice que el
sistema presentar oscilaciones.Como se mencion anteriormente el
sistema es estable y se presenta con oscilaciones lo cual se
demuestra a continuacin:
Criterio de Nyquist:
Para poder establecer la estabilidad en base a este criterio
hay, que analizar el diagrama de Nyquist de la funcin de
transferencia, el cual se muestra a continuacin.
Como se puede apreciar, la grfica muestra que para un desfase de
-180 la ganancia no es -1 sino menor, lo cual quiere decir, que
este diagrama no envuelve a -1 por lo que se puede asegurar que el
sistema es estable, adems si nos fijamos en ningn punto el mdulo de
C(s)*P(s) es igual a 1, por lo que se puede afirmar que a pesar del
retraso presente el sistema ser estable y se podra decir que ser un
sistema robusto.
b)
Transfer function: s - 1-------4 s + 5
Criterio de polos: >> roots([4 5])ans = -1.2500
Como se puede observar, esta funcin de transferencia, solo tiene
una raz y es una raz real negativa, por lo que se puede afirmar que
es un sistema estable, har falta analizar qu tan estable es.
Como se puede observar en la imagen anterior, el sistema como se
supuso, fue estable.
Criterio de Nyquist.
Para poder establecer la estabilidad en base a este criterio
hay, que analizar el diagrama de Nyquist de la funcin de
transferencia, el cual se muestra a continuacin.
Como se puede apreciar el sistema de Nyquist del sistema muestra
que no se envuelve a -1 en el eje real, por lo que se puede afirmar
que es estable y se puede afirmar que este sistema es robusto, dado
que en ningn punto |F0| es igual a 1.
c)
Transfer function: s + 8 ------------- s^2 + 6 s + 9
Criterio de polos: >> roots([1 6 9]) ans =
-3.0000 + 0.0000i -3.0000 - 0.0000i
Como se puede apreciar este sistema presenta dos races iguales y
negativas, por lo cual se afirma que este es un sistema estable,
habr que analizar como en los casos anteriores que tan estable es,
esto se puede analizar haciendo uso del criterio de Nyquist.
La grfica mostrada, comprueba que nuestro sistema es un sistema
estable.
Criterio de Nyquist.
Para poder establecer la estabilidad en base a este criterio
hay, que analizar el diagrama de Nyquist de la funcin de
transferencia, el cual se muestra a continuacin.
Como se aprecia en diagrama de Nyquist mostrado, el sistema es
un sistema estable y se puede afirmar que es un sistema robusto,
pues est bastante lejos del valor donde |F0|=1, tambin se puede
decir que el margen de ganancia es alto, lo que implica estabilidad
y asegura la robustez del sistema. Adems si se observa el diagrama
se puede observar que este sistema nunca podr volverse inestable,
debido a que no llegar a envolver al punto (-1,0), por ningn
motivo.
d)
Transfer function: s - 3------------- s^2 - 5 s + 8
Criterio de polos:>> roots([1 -5 8])ans = 2.5000 + 1.3229i
2.5000 - 1.3229iComo se puede apreciar las races de este sistema
son positivas, lo cual nos indica que el sistema ser inestable.
Como se observa en la imagen, se comprueba la inestabilidad de
este sistema, habr que usar el siguiente criterio que es el de
Nyquist para ver qu tan inestable result.
Criterio de Nyquist.
Para poder establecer la estabilidad en base a este criterio
hay, que analizar el diagrama de Nyquist de la funcin de
transferencia, el cual se muestra a continuacin.Como se puede
esperar el diagrama de Nyquist envolver a -1 en el eje real, dado
que basndonos en el criterio de polos el sistema es inestable.
2. Para cada proceso del apartado anterior, encontrar un
controlador que aplicado en realimentacin negativa haga que el
respectivo sistema a lazo cerrado se torne inestable.Para realizar
este apartado hay que tener en cuenta lo siguiente:Para que un
sistema se vuelva inestable, se puede aumentar el Kp o agregar un
retraso, usando un controlador proporcional, se puede ampliar el K
usando el Kc, para ello hay que tener en cuenta el margen de
ganancia, porque este margen de ganancia indica cuando deber
aumentar el Kp para volver al sistema inestable, por ello el Kc
bastar con ser igual a Kp pero para asegurar a inestabilidad se har
una aproximacin de los Kc.C(s)P(s)r+-euy
Para demostrar la inestabilidad entonces se har el diagrama de
Nyquist de |F0|, es decir C(s)*P(s).
a)
[Gma,Pma]=margin(ya)Gma =5.3644Pma =Inf
Dnde: Gma: margen de ganancia.Pma: margen de fase.
De lo anterior podemos deducir que: un Kc igual o mayor a 5.3644
generar una inestabilidad en el sistema. Se usar un Kc = 5.4
CPaa=tf(5.4,[4 5 6],'inputdelay',2) Transfer function:
5.4exp(-2*s) * --------------- 4 s^2 + 5 s + 6 >>
nyquist(CPaa)
Como se puede apreciar en el diagrama de Nyquist, el sistema
llega a tocar el punto -1 lo cual nos dice que el sistema es
inestable.
b)
[Gmb,Pmb]=margin(yb)Gmb = 5Pmb = Inf
Dnde: Gmb: margen de ganancia.Pmb: margen de fase.
De lo anterior podemos deducir que: un Kc igual o mayor a 5
generar una inestabilidad en el sistema. Se usar un Kc = 5
Kcb=tf(5,1) Transfer function:5 >> CPb=Kcb*yb Transfer
function:5 s - 5-------4 s + 5 >> nyquist(CPb)
Como se puede apreciar el diagrama de Nyquist de C(s)*P(s)
envuelve al punto (-1,0) lo que comprueba la inestabilidad.
c)
[Gmc,Pmc]=margin(yc)Gmc = InfPmc = Inf
Como ya se sospechaba en el ejercicio 1 no habr controlador
alguno que pueda volver inestable este sistema
d)
[Gmd,Pmd]=margin(yd)Warning: The closed-loop system is unstable.
> In warning at 26 In DynamicSystem.margin at 60
Gmd = 2.6667Pmd = Inf
Como se dijo en el primer ejercicio este sistema ya era
inestable, no es necesario un controlador para volverlo
inestable.
3. Se tiene un proceso de primer orden representado por la
siguiente ecuacin Evaluar como varan los mrgenes de fase y de
ganancia para las siguientes situaciones. Justifique los resultados
obtenidos. Mostrar los resultados grficos.y3=tf(5,[4
1],'inputdelay',2)
Transfer function: 5exp(-2*s) * ------- 4 s + 1
Como se puede apreciar el sistema es inestable.
a) Se aumenta la constante de tiempo de 4 a 20
y3a=tf(5,[20 1],'inputdelay',2) Transfer function: 5exp(-2*s) *
-------- 20 s + 1
Parte superior: nueva funcin de transferencia.Parte inferior:
funcin de transferencia original
Como se puede observar en la imagen anterior, al aumentar la
constante de tiempo de 4 a 20 el sistema se estabiliza en
comparacin al sistema inicial.b) Se aumenta el retardo de -2 a
-4
y3b=tf(5,[4 1],'inputdelay',4) Transfer function: 5exp(-4*s) *
------- 4 s + 1
Parte superior: nueva funcin de transferencia.Parte inferior:
funcin de transferencia original
Al apreciar la imagen anterior podemos darnos cuenta que el
sistema se volvi mas inestable al incrementar el retardo.
c) Aada un polo igual a -2
y3c1=tf(1,[1 2]) Transfer function: 1-----s + 2 >>
y3c=y3c1*y3
Transfer function: 5exp(-2*s) * --------------- 4 s^2 + 9 s +
2
Parte superior: nueva funcin de transferencia.Parte inferior:
funcin de transferencia original
Como se puede apreciar, la nueva funcin vuelve estable al
sistema inicialmente inestable, adems con un margen de ganancia
bastante alto.
d) Aada un polo igual a 4
y3d1=tf(1,[1 -4]) Transfer function: 1-----s - 4 >>
y3d=y3d1*y3
Transfer function: 5exp(-2*s) * ---------------- 4 s^2 - 15 s -
4
Parte superior: nueva funcin de transferencia.Parte inferior:
funcin de transferencia original
Como ya era de suponerse, el sistema sigue siendo inestable
debido a que se le ha agregado un polo positivo, lo que se muestra
es que el diagrama de Nyquist se ha invertido, lo que pasa debido
al retraso en el sistema.
e) Aada un cero igual a -3
y3e1=tf([1 3],1) Transfer function:s + 3 >> y3e=y3e1*y3
Transfer function: 5 s + 15exp(-2*s) * -------- 4 s + 1 >>
subplot(2,1,1)>> nyquist(y3e)>> subplot(2,1,2)>>
nyquist(y3)
Parte superior: nueva funcin de transferencia.Parte inferior:
funcin de transferencia original
Como puede apreciarse en el grfico anterior, el sistema se
vuelve ms inestable al aadirle un polo igual a -3.
f) Aada un cero igual a 5
y3f1=tf([1 -5],1) Transfer function:s - 5 >> y3f=y3f1*y3
Transfer function: 5 s - 25exp(-2*s) * -------- 4 s + 1 >>
subplot(2,1,1)>> nyquist(y3f)>> subplot(2,1,2)>>
nyquist(y3)
Parte superior: nueva funcin de transferencia.Parte inferior:
funcin de transferencia original
Como se observa en la imagen anterior obtenida de matlab, el
sistema se vuelve ms inestable an de lo que ya era, y nuevamente se
observa el giro del sistema.
4. Se tiene un proceso de segundo orden representado por la
siguiente ecuacin Evaluar como vara la respuesta en el tiempo en
trminos de overshoot y tiempo de establecimiento para las
siguientes situaciones. Justifique los resultados obtenidos.
Mostrar los resultados grficos.a) Aada un polo igual a -2b) Aada un
cero igual a -3c) Aada unos polos iguales a d) Aada unos ceros
iguales a
Para la obtencin de la respuesta en el tiempo, se recomienda
para esta apartado de ejercicios usar utilizar Simulink como se ve
en la siguiente figura:
Como se puede apreciar se estn almacenando las respuestas y el
tiempo para despus poder plotearlo.
Respuesta en el tiempo del sistema original.
a) Aada un polo igual a -2
ya1=tf(1,[1 2]) Transfer function: 1-----s + 2 >>
y4a=ya1*y4
Transfer function: 5exp(-3*s) * ------------------------- 4 s^3
+ 13 s^2 + 11 s + 2
Respuesta en el tiempo despus de aadirle un polo igual a -2 al
sistema.
Como se puede apreciar al incrementar un polo igual a -2, el
tiempo de establecimiento se mantiene igual, pero la ganancia del
sistema se disminuye a la mitad, lo cual nos da una idea de que no
es muy conveniente hacer esto, ya que cuando se disminuye la
ganancia lo que se busca es mejorar el tiempo de establecimiento,
lo cual no sucede en este caso.
b) Aada un cero igual a -3
y4f1=tf([1 3],1) Transfer function:s + 3 >> y4f=y4*y4f1
Transfer function: 5 s + 15exp(-3*s) * --------------- 4 s^2 + 5 s
+ 1
Respuesta en el tiempo despus de aadirle un cero igual a -3 al
sistema.
Ahora el tiempo de establecimiento se ha incrementado, es decir
se ha vuelto ms lento, pero la ganancia se ha triplicado, este
beneficio al triplicarse la ganancia en comparacin del tiempo que
se demora, resulta muy conveniente para el sistema porque por un
costo de tiempo muy pequeo se obtiene una ganancia ptima.
c) Aada unos polos iguales a
R4=[-4+5i -4-5i]R4 =
-4.0000 + 5.0000i -4.0000 - 5.0000i
>> y4c1=poly(R4)
y4c1 =
1 8 41
y4c1=y4c1/41
y4c1 =
0.0244 0.1951 1.0000
>> y4c2=tf(1,y4c1) Transfer function:
1--------------------------0.02439 s^2 + 0.1951 s + 1 >>
y4c=y4*y4c2 Transfer function: 5exp(-3*s) *
---------------------------------------------- 0.09756 s^4 + 0.9024
s^3 + 5 s^2 + 5.195 s + 1
Respuesta en el tiempo
Como se puede apreciar, el tiempo de establecimiento y la
ganancia permanecen igual que con la funcin original; sin embargo,
se puede decir que al agregar al proceso los polos, ste se hace
ligeramente ms rpido.
d) Aada unos ceros iguales a
R4d=[-5-2i-5+2i]R4d = -5.0000 - 2.0000i -5.0000 +
2.0000i>> den4d=poly(R4d)den4d = 1 10 29>>
den4d=den4d/29den4d = 0.0345 0.3448 1.0000>> y4d1=tf(den4d,1)
Transfer function:0.03448 s^2 + 0.3448 s + 1 >> y4d=y4d1*y4
Transfer function: 0.1724 s^2 + 1.724 s + 5exp(-3*s) *
------------------------ 4 s^2 + 5 s + 1
De igual manera que en caso anterior, en el tiempo de
crecimiento y en la amplitud no se aprecian cambios; pero esta vez,
se ve que al agregar los ceros al proceso, ste se hace ms
lento.
Conclusiones
Se pudo aprender y utilizar los criterios para medir la
estabilidad de un sistema, apreciando la facilidad con que los
mtodos, tanto el de polos como el de Nyquist, son aplicables.
Se ha podido determinar los valores de margen de ganancia y de
margen de fase, que vienen a ser parmetros importantes cuando se
quiere determinar la estabilidad de un sistema. Su importancia
radica en que ambos nos dan la informacin correspondiente a cun
cerca est nuestro sistema de ser inestable, lo que nos permitira
realizar algn cambio para evitar que se d esta inestabilidad.
Tambin hemos podido ver la influencia, sobre la estabilidad de
un sistema, de la constante de tiempo o del retardo, as como tambin
la influencia de los polos y ceros. Estos puede resultar de
utilidad cuando se requiera modificar algn proceso en busca de una
mejor estabilidad y segn el grado que se requiera de sta, ya que
como se ha visto, la modificacin a diferentes tipos de parmetros
corresponden a diferentes modificaciones en la estabilidad.
Por ltimo, se ha podido ver cmo el diagrama de Nyquist posee
varias aplicaciones y de cunta utilidad puede llegar a ser, por lo
que tenemos que estudiarlo detenidamente para poder llegar a ver
todas las caractersticas que nos puede proporcionar de un sistema y
poder realizar, bajo un buen criterio, las modificaciones que
creamos convenientes para mejorarlo.