Estabilidad

Análisis de Señales y Sistemas Hector Peña M. EIE - UCV

CAPITULO 12

ESTABILIDAD


Sistemas 360

¿PORQUE SUCEDEN ESTOS FENÓMENOS?.Puente Tacoma (EEUU)

Líneas de transmisión (Inglaterra)


Sistemas 361

En dinámica de sistemas, una de las restricciones deseables y exigibles es la que dice relación con la Estabilidad.

En general, esta restricción es asociada a obtener un comportamiento ( i.e. Respuesta) acotado frente a una o varias entradas acotadas.

MOTIVACION:Suponga un sistema denominado Péndulo Invertido,


Sistemas 362

Si se asume que el péndulo se encuentra en la vertical (θ=00), entonces un pequeño disturbio ∆F producirá la siguiente respuesta temporal:

animaciónθ


Sistemas 363

El comportamiento obtenido prueba que el péndulo NO se mantiene en la vertical por acción de un disturbio, es decir, su repuesta NO es acotada.

Como los sistemas son, en general, nolineales, entonces los atributos que definen la estabilidad deben necesariamente referirse a los puntos de operación (fase. ) Con esto queremos decir que cada punto de operación puede presentar una particular CONDICION DE ESTABILIDAD.


Sistemas 364

CONDICIONES DE ESTABILIDAD

La matriz de transición permite representar la trayectoria de estado desde un tiempo t0 a uno determinado t, según la relación:

esta relación indica, además, que la trayectoria generada dependerá de la estructura del sistema representada por la matriz de transición y no de la particular entrada que este tenga.

)0(),()( 0 xtttx φ=


Sistemas 365

Para establecer claramente las definiciones de las condiciones de estabilidad, se supondrá que el espacio estado estaráformado por las coordenadas :estado, x(t), su razón de variación con el tiempo, , y el tiempo, t.)( tx

•

t

X(t)

)(tx•


Sistemas 366

0)()( =++•••

xKxDxM

Suponga el sistema no lineal que se muestra:

La ecuación diferencial que lo modela viene dada como:

M x•

xPara el caso conservativo se cumple que D( )= 0. La energía total del sistema es constante.

Sea x1= x , x2= y M=1, entonces el modelo de estado será:

•

x

D( )•

x

K(x)


Sistemas 367

.

Vamos a suponer que K(0)=0 y que K(x1) ≠ 0 para x1 ≠ 0, asíel punto de operación es el origen del plano de fase (x1;x2).

Las trayectorias entorno al origen se obtienen dividiendo las dos ecuaciones de estado, es decir:

supongamos por un momento que K(x)=Kx, es decir, el resorte es lineal. Entonces se obtiene:

)( 12

21

xKx

xx

−=

=•

•

1

2

2

1

1

2 )(dxdx

xxK

x

x=−=•

•

01122 =+ dxKxdxx


Sistemas 368

Que al integrar entrega:

que corresponde a la suma de la energía cinética y potencial. Además, en el plano de fase (x1;x2) corresponden a elipses y/o círculos centrados en el origen dependiendo del valor de K.

constantecxx==+

22

2

2

2

1

x1

x2

E=c1

E=c2

E=c3

C1 < C2 < C3


Sistemas 369

Ahora bien, ya se discutió que el punto de equilibrio o punto de operación, es siempre aquel de mínima energía cinética para el sistema (las derivadas son nulas). Esto es, serían uno o mas puntos sobre el eje x1 del plano de fase incluido el origen. Se infiere así que, estudiando el comportamiento en el plano de fase, puede obtenerse información en relación a la ganancia, mantención o disipación de energíaen un sistema cuando éste es perturbado. Claramente, si el sistema es lineal, el comportamiento se centra en torno al origen (el punto de operación)


Sistemas 370

Incorporando la coordenada de tiempo, nuestro plano de fase se torna tridimensional

t

x1

x2

ε

δ

δ < ε

ENERGIA


Sistemas 371

Logramos con esto visualizar el comportamiento del vector de estado , por así decirlo, el “tratamiento” que el sistema realiza con la energía suministrada a medida que el tiempo transcurre. Esto define lo medular de la estabilidad y permite definir las Condiciones de Estabilidad (según LIAPUNOV) como sigue:

ESTADO DE EQUILIBRIO ESTABLE: (ESL)Un estado de equilibrio es estable en el sentido de Liapunov si

sometido a una perturbación ||xp|| < δ con δ > ||xe|| , tiene una respuesta φ(t;t0) acotada para todo t∈[t0,t] y menor que ε.


Sistemas 372

ESTADO DE EQUILIBRIO ASINTOTICAMENTE ESTABLE(AESL)

Un estado de equilibrio es asintóticamente estable en el sentido Liapunov, si sometido a una perturbación tal que ||xp||< δ, con δ > ||xe|| , tiene una respuesta φ(t0;t) acotada para todo t∈[t0,t] y que converge al punto de equlibrio primitivo a medida que transcurre el tiempo.

ESTADO DE EQULIBRIO INESTABLE (I)Un estado de equilibrio es inestable si sometido a una perturbación

||xp|| ||xe|| , tiene una respuesta φ(t0;t) que no es acotada cuando transcurre el tiempo, o bien es acotada tendiendo a otro punto de equilibrio con ||xe|| > ε.


Sistemas 373

Observen que hemos enfatizado las condiciones de estabilidad en torno a un punto de equilibrio (o de operación), puesto que los sistemas no lineales pueden tener varios puntos de operación con diversas condiciones de estabilidad. No se puede hablar, entonces, de las condiciones de estabilidad del sistema. Para los sistemas lineales, en cambio, la condición de estabilidad se define como:ESTABILIDAD DE UN SISTEMA LINEAL:

Un sistema lineal es estable si y sólo si a cada excitación acotada se obtiene una respuesta acotada.

Como esta definición debe aplicarse a cada par excitación respuesta, se cambia el punto de vista de variables de estado por el de función de transferencia.


Sistemas 374

Lo anterior se resume en la expresióndonde h(τ) representa la respuesta impulsiva y M es un

número real finito.

DETERMINACION DE LAS CONDICIONES DE ESTABILIDAD

Deseamos ahora estudiar los métodos que permitan establecer las condiciones de estabilidad de un punto de operación (no lineales) o del sistema (lineales).

La restricción es la de NO resolver la matriz de transición o la función de transferencia.

∫ <0

)( Mdh ττ∞


Sistemas 375

Los métodos pueden dividirse en Analíticos y Gráficos. Los primeros, utilizando de la representación en variables

de estado o función de transferencia, permiten determinar las condiciones que debe cumplir el sistema o punto de operación para un comportamiento AESL, ESL o I. A estas condiciones se les denominan Condiciones Absolutas de Estabilidad. Los segundos permiten no sólo determinar las condiciones si no que además, a que derivan cuando varía uno o varios parámetros del sistema. Estas son, por lo tanto, Condiciones Relativas de Estabilidad.

Es decir, los primeros responden CUAL es la condición?, y los segundos el COMO se llega o CUANTO es posible variar un parámetro ?.


Sistemas 376

Métodos Analíticos La discusión se realizará considerando un punto de

equilibrio perturbado representado por la ecuación de estado:

Primer Método de Liapunov La solución de la ecuación de estado anterior viene

dada como:

Si la matriz A es no diagonal, es posible aplicar una transformación lineal que la diagonalize o que la transforme a una Forma Canónica de Jordan.

0)0(),()( xxtAxtx ==•

0)( xetx At=


Sistemas 377

Será posible escribir entonces:

Claramente, la expresión para cada variable de estado xi(t) será acotada si los exponentes λi son negativos o cero. Como estos coeficientes corresponden a los valores propios o característicos se establece el siguiente criterio:

0

202

101

)(

)(

)(2

1

nt

n

t

t

xetx

xetx

xetx

nλ

λ

λ

=

⋅⋅

=

=


Sistemas 378

C-1 Si TODOS los valores característicos de la matriz de planta A, tienen parte real negativa, entonces el estado de equilibro es AESL.

C-2 Si alguno de los valores característicos tienen parte real nula, y el resto tiene parte real negativa entonces el estado de equilibrio es ESL.

C-3 Si uno o varios, de los valores característicos tiene parte real positiva , el estado de equilibrio es I.

SUGERENCIA 1:Aplique el 1er Método a:

0)1(5.0 2 =+−−•••

yyyy


Sistemas 379

Criterio de Routh-Hurwitz Como los valores propios, o polos, son la solución de la

ecuación característica:

aplicaremos los criterios del 1er Método para establecer las condiciones de estabilidad de un sistema lineal. Para ello es necesario analizar los coeficientes de la ecuación característica. Se puede establecer el siguiente Criterio de Routh-Hurwitz:

0...)( 01

1

1 =++++=∆=− −

− asasasasAsI n

n

n

n


Sistemas 380

C1 Si alguno de los coeficientes de la ecuación característica es cero (0), con excepción del correspondiente al término s0, o tiene diferente signo a otro coeficiente , entonces se tienen raíces con parte real positiva y el sistema será inestable.

C2 Si todos los coeficientes de la ecuación característica son positivos y diferentes de cero, y todos los elementos de la primera columna del arreglo Routh-Hurwitz (R-H) son positivos, entonces todas las raíces tendrán parte real negativa y el sistema será AESL.

C3 Si todos los coeficientes de la ecuación característica son positivos y diferentes de cero y la primera columna del arreglo tiene cambio de signo, existirán tantas raíces con parte real positiva como cambios de signo existan en el arreglo.


Sistemas 381

El arreglo R-H se forma de la siguiente manera: utilizando la definición de la ecuación característica ya presentada, escribimos: Sn an an-2 an-4 ……

sn-1 an-1 an-3 an-5 ……sn-2 A1 A2 A3 …..sn-3 B1 B2 B3 …..…..s1

s0


Sistemas 382

Donde:

y así sucesivamente . Veamos un ejemplo de arreglo Routh-Hurwitz:

1

13512

1

12311

1

5412

1

3211

AaAaAB

AaAaAB

aaaaaA

aaaaaA

nnnn

n

nnnn

n

nnnn

−−−−

−

−−−

−

−−−

∗−∗=

∗−∗=

∗−∗=

∗−∗=


Sistemas 383

Sea

entonces el arreglo es:

10014.52127.63552.040145.050005.0)( +++++=∆ ssssss

S5 0.0005 0.552 521.4 S4 0.0145 6.7 1001 S3 0.317 486.9 S2 -15.556 1001 S1 507.3 S0 1001

Primer cambio

Segundo cambio

2 cambios de signo implican 2 raíces con parte real positiva


Sistemas 384

Particularidades en el arreglo: P1 Un término de la primera columna es cero (0) P2 Todo un renglón del arreglo tiene elementos iguales a cero (0). Para P1: Reemplazar el elemento cero (0) por un elemento ε > 0

muy pequeño, y continuar con el arreglo. Ejemplo para P1

Ksssss ++++=∆ 234)(


Sistemas 385

El arreglo entrega:

claramente, cuando ε 0, la 1a columna de la 4a fila es negativa. Existen en consecuencia, y para K > 0, 2 cambios de signo, es decir, dos raíces con parte real positiva .

S4 1 1 K S3 1 1 S2

0 ε > 0 K S1

εε K−

S0 K


Sistemas 386

Para P2 Esta particularidad indica la presencia de raíces complejas

conjugadas con parte real nula o la existencia de pares de raíces reales de signo opuesto.

El procedimiento a seguir es el que se presenta en el siguiente ejemplo:

Sea ∆(s) = s5+2s4+24s3+48s2+25s+50, el arreglo se presenta a continuación.


Sistemas 387

El arreglo es entonces:

como existe una fila con coeficientes nulos, se forma un polinomio con los coeficientes de la fila inmediatamente anterior , denominado Ecuación Auxiliar

P(s) = 2s4+48s2+50 y se deriva esta respecto de s, para obtener:

S5 1 24 25 S4 2 48 50

S3 0 0 0


Sistemas 388

P’(s)=8s3+96s reemplazando estos coeficientes en la fila con coeficientes

0, se continua con el arreglo hasta completarlo

S5 1 24 25 S4 2 48 50 /:2 S3 8 96 /:8 S2 12 25 S1 9.9 S0 25

como no existen cambios de signo en la primera columna. ES NECESARIO RESOLVER PARA LAS RAICES DE LA ECUACION AUXILIAR .


Sistemas 389

Así: 2s4 + 48s2 + 50 = 0 cuya solución es: s1= j1.04 s2 = -j 1.04 s3 = j 4.78 s4 = -j 4.78 visto que existen raíces con partes reales nulas, y en el

arreglo original no existen cambios de signo, el comportamiento será ESL.


Sistemas 390

Segundo Método de Liapunov (Método Directo) El método se basa en el concepto que todo sistema tiene un

nivel mínimo de energía en el estado de equilibrio, y que la condición en el es AESL. Cuando el estado de equilibrio es perturbado, este acumula, disipa o lo sitúa en otro estado de equilibrio.

ALGUNAS DEFINICIONES: Matriz Definida Positiva 1.- M es definida positiva si xT Mx es definida positiva 2.- M es definida positiva si sus autovalores tienen todos partes reales positivas.


Sistemas 391

Matriz Semidefinida positiva M es semidefinida positiva o Positiva semidefinida, si uno

o mas de sus autovalores tienen parte real nula y el resto parte real positiva.

CRITERIO : 1.- Si se puede construir una función definida positiva

V(x,t) de los estados de un sistema y si su derivada temporal es definida negativa, entonces el sistemaes AESL.

),( txV•


Sistemas 392

El criterio es de gran simpleza, no así su aplicación. Sin embargo, la extensión del criterio a sistemas lineales es de gran utilidad para la determinación de las condiciones de estabilidad.

2.- Un estado de equilibrio xe(t) de un sistema lineal, es AESL si se satisface la relación: (deducción)

ATP+PA = -E conocida como Ecuación de Liapunov, donde P y E son

matrices reales y definidas positivas y A es la matriz de planta de la ecuación de estados. La matriz E puede ser elegida como la matriz identidad y determinar P. Si P resulta definida positiva, el punto de equilibrio es AESL.


Sistemas 393

Si P es semidefinida positiva, el sistema es estable en el sentido Liapunov. Si, P es definida o semidefinidanegativa, el sistema es inestable.

Ejemplo: Sea el modelo lineal de estados el siguiente:

Se obtiene:

24

12

22

11

xxx

xxx

−=

−−=

•

•

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−−

=4121

A


Sistemas 394

Sea E la matriz identidad, entonces la solución de la ecuación de Liapunov entrega:

cuyos autovalores son 0.4362 y 0.1298, por lo que P es definida positiva y el sistema es AESL.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

183.0116.0116.0383.0

P

Estabilidad

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