Espaces Lp non commutatifs associ es a des …...Espaces L p non commutatifs associ es a des groupes discrets Colloque Inter’Actions 2016 Ignacio VERGARA Unit e de Math ematiques

Espaces Lp non commutatifs associes a desgroupes discrets

Colloque Inter’Actions 2016

Ignacio VERGARA

Unite de Mathematiques Pures et Appliquees

ENS Lyon26 mai 2016

Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 1 / 12

Espaces Lp non commutatifs

Espaces Lpclassiques

Espaces Lpnon commutatifs

Espace mesurable(Ω,A)

←→ Algebre de von NeumannM⊂ B(H)

Mesure µ ←→ Trace τ

Cas particulier : G groupe discret

M = L(G) ⊂ B(`2(G))









M = L(G) ⊂ B(`2(G))









M = L(G) ⊂ B(`2(G))


L’espace `2(G)

Soit G un groupe discret.

`2(G) =

x : G→ C

∣∣∣∣ ∑s∈G|x(s)|2 <∞

.

C’est un espace de Hilbert avec

〈x, y〉 =∑s∈G

x(s)y(s),

‖x‖`2 =

(∑s∈G|x(s)|2

) 12

.


L’espace `2(G)

Soit G un groupe discret.

`2(G) =

x : G→ C

∣∣∣∣ ∑s∈G|x(s)|2 <∞

.

C’est un espace de Hilbert avec

〈x, y〉 =∑s∈G

x(s)y(s),

‖x‖`2 =

(∑s∈G|x(s)|2

) 12

.


Representation reguliere a gauche

Soit B(`2(G)) l’espace des operateurs bornes sur `2(G), c’est-a-dire,

B(`2(G)) = f : `2(G)→ `2(G) | f lineaire continue.

‖f‖∞ := ‖f‖B(`2(G)) = sup‖x‖`2=1

‖f(x)‖`2 .

La representation reguliere a gauche λ : G→ B(`2(G)) est definie par

[λ(s)x](t) = x(s−1t), ∀s, t ∈ G, ∀x ∈ `2(G).

Remarque

Soit δt : G→ C definie par δt(s) =

1, s = t0, s 6= t.

Alorsλ(s)δt = δst.





‖f‖∞ := ‖f‖B(`2(G)) = sup‖x‖`2=1

‖f(x)‖`2 .


[λ(s)x](t) = x(s−1t), ∀s, t ∈ G, ∀x ∈ `2(G).

Remarque


1, s = t0, s 6= t.






‖f‖∞ := ‖f‖B(`2(G)) = sup‖x‖`2=1

‖f(x)‖`2 .


[λ(s)x](t) = x(s−1t), ∀s, t ∈ G, ∀x ∈ `2(G).

Remarque


1, s = t0, s 6= t.



Algebre de von Neumann de groupe L(G)

La representation reguliere peut s’etendre a C[G] (fonctions a supportfini).

λ

(∑s∈G

ass

)=∑s∈G

asλ(s) ∈ B(`2(G)).

Remarque

Les elements de λ (C[G]) sont des operateurs de convolution.[λ

(∑s∈G

ass

)x

](t) =

∑s∈G

asx(s−1t) = a ∗ x(t),

ou a =∑asδs.

Definition

L(G) = λ (C[G])WOT ⊆ B(`2(G))




λ

(∑s∈G

ass

)=∑s∈G

asλ(s) ∈ B(`2(G)).

Remarque


(∑s∈G

ass

)x

](t) =

∑s∈G

asx(s−1t) = a ∗ x(t),

ou a =∑asδs.

Definition

L(G) = λ (C[G])WOT ⊆ B(`2(G))




λ

(∑s∈G

ass

)=∑s∈G

asλ(s) ∈ B(`2(G)).

Remarque


(∑s∈G

ass

)x

](t) =

∑s∈G

asx(s−1t) = a ∗ x(t),

ou a =∑asδs.

Definition

L(G) = λ (C[G])WOT ⊆ B(`2(G))


La trace τ

On definit la trace (ou mesure non commutative) τ : L(G)→ C par

τ(f) = 〈f(δe), δe〉,

ou e est l’element neutre de G.

Proprietes

τ est lineaire

∀f ∈ L(G), τ(f∗) = τ(f)

∀f ∈ L(G), |τ(f)| ≤ ‖f‖∞

τ(λ(s)) =

1, s = e0, s 6= e


La trace τ


τ(f) = 〈f(δe), δe〉,


Proprietes

τ est lineaire

∀f ∈ L(G), τ(f∗) = τ(f)

∀f ∈ L(G), |τ(f)| ≤ ‖f‖∞

τ(λ(s)) =

1, s = e0, s 6= e


La trace τ


τ(f) = 〈f(δe), δe〉,


Proprietes

τ est lineaire

∀f ∈ L(G), τ(f∗) = τ(f)

∀f ∈ L(G), |τ(f)| ≤ ‖f‖∞

τ(λ(s)) =

1, s = e0, s 6= e


La trace τ


τ(f) = 〈f(δe), δe〉,


Proprietes

τ est lineaire

∀f ∈ L(G), τ(f∗) = τ(f)

∀f ∈ L(G), |τ(f)| ≤ ‖f‖∞

τ(λ(s)) =

1, s = e0, s 6= e


La trace τ


τ(f) = 〈f(δe), δe〉,


Proprietes

τ est lineaire

∀f ∈ L(G), τ(f∗) = τ(f)

∀f ∈ L(G), |τ(f)| ≤ ‖f‖∞

τ(λ(s)) =

1, s = e0, s 6= e


L’espace Lp non commutatif associe a (L(G), τ)

Soit 1 ≤ p <∞. Pour tout f ∈ L(G) on definit

‖f‖p = τ(

(f∗f)p2

) 1p.

Inegalite de Holder

Soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ tels que 1p + 1

q = 1. Pour tous f, g ∈ L(G)

|τ(fg)| ≤ ‖f‖p‖g‖q.

Definition

Pour 1 ≤ p <∞, l’espace Lp(L(G), τ) est le complete de L(G) pour lanorme ‖ · ‖p. On pose L∞(L(G), τ) = L(G).




‖f‖p = τ(

(f∗f)p2

) 1p.

Inegalite de Holder



|τ(fg)| ≤ ‖f‖p‖g‖q.

Definition





‖f‖p = τ(

(f∗f)p2

) 1p.

Inegalite de Holder



|τ(fg)| ≤ ‖f‖p‖g‖q.

Definition



Cas abelien (G = Z)

Pour tout x ∈ `2(Z),

[λ(m)x] (n) = x(n−m), ∀n,m ∈ Z.

Rappel

La transformee de Fourier F : `2(Z)→ L2(R/Z),

F(x)(θ) =∑n∈Z

x(n)e2πinθ

est une isometrie.

Pour tout m ∈ Z,

F(λ(m)x)(θ) =∑n∈Z

x(n−m)e2πinθ = e2πimθF(x)(θ).

Donc λ(m) est un operateur de multiplication sur L2(R/Z).Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 8 / 12

Cas abelien (G = Z)


[λ(m)x] (n) = x(n−m), ∀n,m ∈ Z.

Rappel


F(x)(θ) =∑n∈Z

x(n)e2πinθ

est une isometrie.

Pour tout m ∈ Z,




Cas abelien (G = Z)


[λ(m)x] (n) = x(n−m), ∀n,m ∈ Z.

Rappel


F(x)(θ) =∑n∈Z

x(n)e2πinθ

est une isometrie.

Pour tout m ∈ Z,




Cas abelien (G = Z)


[λ(m)x] (n) = x(n−m), ∀n,m ∈ Z.

Rappel


F(x)(θ) =∑n∈Z

x(n)e2πinθ

est une isometrie.

Pour tout m ∈ Z,




Cas abelien (G = Z)

On peut montrer que L(Z) = L∞(R/Z) en identifiant∑n∈Z

anλ(n) ←→∑n∈Z

ane2πinθ.

De plus,

τ

(∑n∈Z

anλ(n)

)= a0 =

∫ 1

0

(∑n∈Z

ane2πinθ

)dθ.

Par consequent, pour tout 1 ≤ p ≤ ∞,

Lp(L(Z), τ) = Lp(R/Z).

Remarque

En general, pour G abelien discret,

Lp(L(G), τ) = Lp(G).


Cas abelien (G = Z)



ane2πinθ.

De plus,

τ

(∑n∈Z

anλ(n)

)= a0 =

∫ 1

0

(∑n∈Z

ane2πinθ

)dθ.



Remarque




Cas abelien (G = Z)



ane2πinθ.

De plus,

τ

(∑n∈Z

anλ(n)

)= a0 =

∫ 1

0

(∑n∈Z

ane2πinθ

)dθ.



Remarque




Cas abelien (G = Z)



ane2πinθ.

De plus,

τ

(∑n∈Z

anλ(n)

)= a0 =

∫ 1

0

(∑n∈Z

ane2πinθ

)dθ.



Remarque




Transformee de Hilbert

La transformee de Hilbert H : L2(R/Z)→ L2(R/Z) est donnee par

f =∑n∈Z

f(n)e2πinθ 7−→∑n>0

f(n)e2πinθ.

Theoreme (M. Riesz, 1928)

La transformee de Hilbert definit un operateur borneH : Lp(R/Z)→ Lp(R/Z) pour tout 1 < p <∞.

Remarque

f(n) =

∫ 1

0f(θ)e−2πinθ dθ = τ(fλ(−n))

Ainsi, dans le cas general on peut definir les coefficients de Fourier def ∈ L(G) :

f(s) = τ(fλ(s−1)), ∀s ∈ G.Inter’Actions 2016 Lp(L(G), τ) 26 mai 2016 10 / 12



f =∑n∈Z


f(n)e2πinθ.



Remarque

f(n) =

∫ 1






f =∑n∈Z


f(n)e2πinθ.



Remarque

f(n) =

∫ 1






f =∑n∈Z


f(n)e2πinθ.



Remarque

f(n) =

∫ 1





Pour tout f ∈ λ (C[G]) ⊆ L(G),

f =∑s∈G

f(s)λ(s) =∑s∈G

τ(fλ(s−1))λ(s).

Soit maintenant G = F2 = F(a, b) le groupe libre a deux generateurs.On peut definir la transformee de Hilbert sur F2 par∑

s∈F2

f(s)λ(s) 7−→∑

s∈W (a)

f(s)λ(s),

ou W (a) designe l’ensemble des mots reduits qui commencent par a.

Theoreme (Mei, Ricard, 2016)

Sur le groupe libre F2, la transformee de Hilbert definit un operateurborne H : Lp(L(F2))→ Lp(L(F2)) pour tout 1 < p <∞.




f =∑s∈G

f(s)λ(s) =∑s∈G



s∈F2

f(s)λ(s) 7−→∑

s∈W (a)

f(s)λ(s),







f =∑s∈G

f(s)λ(s) =∑s∈G



s∈F2

f(s)λ(s) 7−→∑

s∈W (a)

f(s)λ(s),





Merci pour votre attention.


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