Diapositiva 1
Las condiciones de esfuerzo que encontramos previamente al
analizar barras en tensin y compresin, ejes en torsin y vigas en
flexin, son ejemplos de un estado de esfuerzo llamado esfuerzo
plano (o estado plano de esfuerzos). Para explicarlo,
consideraremos el elemento de esfuerzo mostrado en la figura. Este
elemento es de tamao infinitesimal y puede esbozarse como un cubo o
un paraleleppedo rectangular.
Cuando el material est en esfuerzo plano en el plano xy slo las
caras x y y del elemento estn sometidas a esfuerzos y lodos los
esfuerzos actan paralelamente a los ejes x y y como se muestra.Los
smbolos para los esfuerzos ilustrados tienen los siguientes
significados.
Un esfuerzo normal a tiene un subndice que identifica la cara
sobre la que acta el esfuerzo.
Puesto que el tamao del elemento es infinitesimal. los esfuerzos
normales que actan sobre las caras opuestas son iguales.
Un esfuerzo cortante tiene dos subndices: El primero denota la
cara sobre la que acta el esfuerzo y el segundo da el sentido sobre
esa cara.
Convencin de signos para los esfuerzos cortantes es como sigue.
Un esfuerzo cortante es positivo cuando acta sobre una cara
positiva de un elemento en el sentido positivo de un eje y es
negativo cuando acta sobre una cara positiva de un elemento en el
sentido negativo de un eje
De manera similar, un esfuerzo cortante es positivo cuando acta
en el sentido negativo de un eje, sobre una cara negativa de un
elemento.
Transformacin de esfuerzosEsfuerzos sobre secciones
inclinadasPara representar los esfuerzos que actan sobre una seccin
inclinada, tomamos un nuevo elemento de esfuerzo que se encuentra
en el mismo punto en el material que el elemento original.El nuevo
elemento posee caras paralelas y perpendiculares a la direccin
inclinada.
A partir de esta ecuacin y del equilibrio del elemento, vemos
que los esfuerzos cortantes que actan sobre las cuatro caras de un
elemento en el esfuerzo plano son conocidos si determinamos el
esfuerzo cortante que acta sobre cualquiera de las caras.Los
esfuerzos que actan sobre el elemento inclinado pueden expresarse
en trminos de los esfuerzos sobre el elemento xy usando ecuaciones
de equilibrio. Con este fin, escogemos un elemento de esfuerzo en
forma de cua que tiene una cara inclinada que es la misma que la
cara x,
Ecuaciones de transformacin
Un elemento en esfuerzo plano est sometido a los esfuerzos x = 6
500 lb/pulg2 y = 1 700 lb/pulg2 XY = 2 750 lb/pulg2. corno se ve en
la figura.Determine los esfuerzos que actan sobre un elemento
orientado a un ngulo = 60 respecto al eje x, donde el ngulo es
positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj. Muestre
estos esfuerzos sobre un croquis de un elemento orientado segn el
ngulo .
Resuelva el problema para x = 9,900 psi, y = 3,400 psi, xy =
3,600 psi, y = 50
Los esfuerzos que actan en el elemento A en el alma de un riel
de tren son de 42 MPa en tensin en direccin horizontal y de 140 MPa
en compresin en direccin vertical. Los esfuerzos cortantes son de
60 MPa de magnitud y actan en los sentidos mostrados.Determine los
esfuerzos que actan sobre un elemento orientado a un ngulo
contrario a las manecillas del reloj de 48 desde la horizontal.
Muestre los esfuerzos sobre un croquis de un elemento orientado
segn este ngulo.
Se encuentra que los esfuerzos que actan sobre el elemento B en
el alma de una viga de patn ancho son una compresin de 11 000
lb/pulg2 en direccin horizontal y una compresin de 3 000 lb/pulg2
en direccin vertical (vase la figura). Adems, en la direccin que se
muestra, actan esfuerzos de cortante con una magnitud de 4 200
lb/pulg2.Determine los esfuerzos que actan sobre un elemento
orientado a 41. en sentido contrario a las manecillas del reloj,
con respecto a la horizontal. Muestre esto esfuerzos en el diagrama
de un elemento con dicha orientacin.
El recubrimiento de polietileno de una laguna de sedimentacin
est sometido a los esfuerzos x= 350 Ib/pulg2. y = 112 lb/pulg2 y xy
= -120 lb/pulg2 como se ve por el elemento de esfuerzo plano en la
primera parte de la figura.Determine los esfuerzos normales y
cortantes que actan sobre una costura orientada a un ngulo de 30
con respecto al elemento, como se aprecia en la segunda parte de la
figura. Muestre los esfuerzos sobre un croquis de un elemento que
tenga los lados paralelos y perpendiculares a la costura.
Esfuerzos Principales
Un elemento plano se somete a los esfuerzos x = 80 MPa, y y = 52
MPa, y xy = 48 MPa. Determine los esfuerzos principales y dibuje el
elemento plano orientado.
Un elemento plano se somete a los esfuerzos x = 42 MPa, y y =
-140 MPa, y xy = -60 MPa. Determine los esfuerzos principales y
dibuje el elemento plano orientado.
Un elemento en el esfuerzo plano est sometido a los esfuerzos x
= 6 500 lb/pulg2, y = I 700 lb/pulg2 y xy =2 750 lb/pulg2.Determine
los esfuerzos principales y mustrelos en un diagrama de un elemento
bien orientado.
Un elemento en el esfuerzo plano est sujeto a los esfuerzos K =
-9 900 lb/pulg2 y= -3 400 lb/pulg2, y xy - 3 600 lb/pulg2.
Determine los esfuerzos principales y mustrelos en un diagrama de
un elemento orientado de manera adecuada.
Esfuerzo mximo de cortadura
El plano de mximo esfuerzo cortante se ubica a 45 del plano
principal
Un elemento en el esfuerzo plano est sujeto a los esfuerzos K =
-22.5 MPa y= 6.5 MPa, y xy = -12 MPa. Determine los esfuerzo
cortante mximo y esfuerzos normales asociados y mustrelos en un
diagrama de un elemento orientado de manera adecuada.
Un elemento en el esfuerzo plano est sujeto a los esfuerzos x =
-11 000 psi y = 3 000 psi, y xy = - 4 200 psi. Determine los
esfuerzo cortante mximo y esfuerzos normales asociados y mustrelos
en un diagrama de un elemento orientado de manera adecuada.
Un elemento plano de esfuerzo se somete a los esfuerzos x = 3
500 psi, y =1 120 psi, xy = 1 200 psi. (a) Determine los esfuerzos
principales y mustrelos sobre un elemento orientado. (b) Determine
el esfuerzo cortante mximo y los esfuerzos normales asociados y
mustrelos en un elemento orientado.
Un elemento plano de esfuerzo se somete a los esfuerzos x = 2
100 MPa, y = 300 MPa, xy = -560 MPa. (a) Determine los esfuerzos
principales y mustrelos sobre un elemento orientado. (b) Determine
el esfuerzo cortante mximo y los esfuerzos normales asociados y
mustrelos en un elemento orientado.
ESTADO GENERAL DE ESFUERZO En las secciones precedentes se ha
supuesto un estado de esfuerzo plano.
Considerando transformaciones asociadas a una rotacin respecto
al eje z.
Ahora consideraremos el estado de esfuerzo de la figura.
Aplicacin del circulo de Mohr al anlisis tridimensional de
esfuerzoSi el elemento de la figura gira con respecto a uno de los
ejes principales en Q, por ejemplo eje c, la correspondiente
transformacin de esfuerzo puede analizarse mediante el circulo de
Mohr, como si fuera una transformacin de esfuerzo plano.
Los esfuerzos cortantes ejercidos sobre las caras
perpendiculares al eje c permanecen iguales a cero y el esfuerzo
normal c es perpendicular al plano ab en el cual la transformacin
tiene lugar, no afectando as la transformacin.
Se puede usar el circulo de diametro AB para determinar los
esfuerzos normales y cortantes sobre la cara del elemento que gira
respecto al eje c.
Anlogamente los crculos de diametro BC y CA pueden usares para
para determinar los esfuerzos en el elemento cuando gira respecto a
los ejes a y b. El radio mayor de los crculos da el esfuerzo
cortante mximo en el punto Q.
Retomemos el caso particular de esfuerzo plano, si los ejes se
eligen en el plano xy entonces.
Es decir el eje z perpendicular al plano de esfuerzo es uno de
los tres ejes principales de esfuerzo. En un diagrama del circulo
de Mohr este eje corresponde al origen O, en donde, = =0 los otros
ejes principales corresponden a los puntos A y B donde el circulo
de Mohr, para el elemento xy , intercepta el eje .
Si A y B estn localizados en lados opuestos del origen O, los
esfuerzos principales correspondientes representan al esfuerzo
mximo y mnimo en el punto Q, y el esfuerzo cortante mximo es igual
al mximo esfuerzo cortante correspondiente a los puntos D y E del
circulo de Mohr.Estn a 45 de los planos principales
correspondientes a los puntos A y B, son los planos sombreados de
la figura..
Asimismo, si Ay B estn del mismo lado de O, esto es a y b tienen
el mismo signo, entonces el circulo que define min y max y max no
es el circulo correspondiente a una transformacin dentro del plano
xy. Si a > b > 0, entonces de la figura se tiene es a = maxi
y min =0 y max es igual al radio del circulo definido por los
puntos OA, esto es max = max . Tambin podemos apreciar que las
normales Qd y Qe a los planos maximos de esfuerzo cortante se
obtienen haciendo girar el eje Qa un ngulo de 45 dentro del plano
za. Los planos de esfuerzo cortante mximo son los planos diagonales
sombreados.
Los recipientes de pared delgada constituyen una aplicacin
importante en el anlisis de esfuerzo plano.
Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexin, pude
suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la
pared son tangentes a la pared del recipiente. recipiente
Los esfuerzos resultantes en un elemento de pared estarn en un
plano tangente a la superficie del recipiente. Esfuerzo de costilla
o radial
Esfuerzo longitudinal
El tanque de un compresor de aire se somete a una presin interna
de 90 psi. Si el diametro del tanque es 22 pulg; y el espesor de
pared 0.25 pulg; determine el esfuerzo que actan en el punto A.
Dibuje el elemento de volumen del material en este punto, y muestre
los resultados en el elemento
Un tanque esfrico se fabrica con dos cascarones hemisferios de
30 mm de espesor empernados. Si el gas dentro del tanque se
encuentra a 2 MPa manomtricas, determine el esfuerzo normal
desarrollado en la pared del tanque y en cada uno de los pernos. El
tanque tiene un diametro interno de 8 m y esta sujeto por 900
pernos cada uno de 25 mm de diametro.
Un tanque para almacenamiento de gas se fabrica empernando do
cascarones cilndricos y dos cascarones esfricos. Si el tanque se
disea para soportar una presin de 3 MPa, determinar el mnimo
espesor requerido del cascaron cilndrico y esfrico y numero mnimo
de pernos longitudinales por metro de longitud en cada lado del
cascaron cilndrico. El tanque y los pernos de 25 mm de diametro son
fabricados con materiales que tiene esfuerzos normales admisibles
de 150 MPa y 250 MPa, respectivamente. El tanque tiene un dimetro
interno de 4 m.
Un tanque cilndrico con tapas esfricas se construye de acero y
se suelda circunferencialmente. El tanque tiene un diametro de 1.25
, y un espesor de pared de 22 mm, y una presin interna de 1750 kPa.
a.- Determine el esfuerzo normal mximo en las tapas del tanque.b.-
Determine el esfuerzo normal mximo el la seccin cilndrica del
tanque.c.- Determine el esfuerzo mximo que acta perpendicular a las
juntas soldadas.d.- determine la cortadura mxima en las tapas del
tanque.e.- determine la cortadura mxima en la seccin cilndrica del
tanque.
Se construye un tanque de acero presurizado con una soldadura
helicoidal con ngulo = 55 con respecto al eje horizontal. El tanque
tiene un radio r = 0.6 m, con espesor de pared t = 18 mm, y una
presin interna p = 2.8 MPa.a.- Determine los esfuerzos
circunferencial y longitudinal.b.- Determine los esfuerzos mximos
dentro del plano y fuera del plano.c.- Determine los esfuerzos
normal y cortantes que actan en planos paralelos y perpendiculares
a la soldadura
Muchos de los inconvenientes que se encuentran en el diseo en
ingeniera involucran una combinacin de cargas
aplicadas:Axial.Torsin.Momentos flectores.
En algunas situaciones los esfuerzos ese pueden calcular en la
forma descrita en oportunidades anteriores, con los esfuerzos
mximos y los esfuerzos cortantes mximos como codician de diseo.
Si la estructura es compleja para ser analizada de esta manera
los esfuerzos se deben obtener experimentalmente.Como los esfuerzos
son una abstraccin no se pueden medir directamente, estos no se
pueden medir directamente.A menudo la relacion definida por la Ley
de Hooke permite los esfuerzos partiendo de las deformaciones, las
deformaciones se pueden medirEn este tema derivaremos la ecuacin de
transformacin de la deformacin.En la figura se muestra un elemento
infinitesimal de dimensiones dx y dy bajo los efectos de
deformaciones normales x y y y deformacin angular xy
Si sustituimos = + 90, nos queda.
Si sustituimos = + 90, nos queda.
Un elemento de un material esta sujeto a las deformaciones como
se muestra en la figura. x = 220x10-6 , y = 480x10-6 , xy =
180x10-6. . Calcule la deformacin para un elemento orientado = 50 y
muestre estos esfuerzos orientados apropiadamente.
Resuelva el siguiente problema con los datos dados: x = 420x10-6
, y = -170x10-6 , xy = 310x10-6 , = 37.5 .
Las deformaciones de un elemento de un material en esfuerzo
plano son como sigue:x = 480x10-6 , y = 140x10-6 , xy = -350x10-6.
. Determine las deformaciones principales y mxima deformacin por
angular, y muestre estas deformaciones en un elemento correctamente
orientado.
Un elemento estado de deformacin plana se somete a las
siguientes deformaciones :x = 480x10-6 , y = 70x10-6 , xy =
420x10-6 . Determine las siguientes cantidades. (a) las
deformaciones de un elemento orientado un ngulo de 75, (b) las
deformaciones principales, (c ) La mxima deformacin angular.
Muestre los resultados de los elementos con sus orientaciones
respectivas.