1. CARICHI TRIFASE EQUILIBRATI ALIMENTATI DA TERNE DI TENSIONI DIRETTE: ESERCIZI PRELIMINARI 1.1 Esercizio 1.1 (1) (2) Figura 1.1: La rete in fig. 1.1, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, ` e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s). Calcolare: • la potenza apparente S e il fattore di potenza pf del carico in figura; • determinare la capacit`a minima C Y dei condensatori necessari per rifasare il carico a cos φ ≥ 0.9 (inserzione a stella). Dati. Lettura del voltmetro: U = 380 V; carico (1): P 1 = 10 kW; Q 1 = 10 kVAr; carico (2): P 2 = 10 kW; cos φ 2 =0.894 (rit.). Risultati. S = 25 kVA; pf= 0.8; C Y = 118 µF. 1.2 Esercizio 1.2 La rete in fig. 1.2, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, ` e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s). Calcolare: • la potenza attiva P e reattiva Q assorbita dal carico in figura; • determinare la capacit`a minima C ∆ dei condensatori necessari per rifasare il carico a cos φ ≥ 0.9 (inserzione a triangolo). Dati. lettura del voltmetro: U = 380 V; carico (1): A 1 = 14.142 kVA; Q 1 = 10 kVAr; carico (2): P 2 = 10 kW; sin φ 2 =0.447. Risultati. P = 20 kW; Q = 15 kVAr; C ∆ = 40 µF. 2
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1. CARICHI TRIFASE EQUILIBRATI ALIMENTATI DA TERNE DI
TENSIONI DIRETTE: ESERCIZI PRELIMINARI
1.1 Esercizio 1.1
(1)
(2)
Figura 1.1:
La rete in fig. 1.1, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:
• la potenza apparente S e il fattore di potenza pf del carico in figura;
• determinare la capacita minima CY dei condensatori necessari per rifasare il carico a cosφ ≥ 0.9 (inserzione astella).
Dalla lettura della corrente di fase, si puo ricavare la tensione stellata sul carico 2 (Z2 = R2|| − jX2):
Z2 = |Z2| =∣∣∣∣R2(−jX2)
R2 − jX2
∣∣∣∣ = R2X2√R2
2 +X22
= 4.472Ω
E2 = Z2I#2 = 134.2V;
e, quindi, la lettura del voltmetro
V#1 =√3E2 = 232.4V.
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Per determinare la corrente di linea nell’impedenza 3, e, cosı, la lettura del voltmetro, e necessario calcolare la potenzaassorbita dall’insieme dei carichi 1-2. Per il carico 1 (rit.), essendo
φ1 = arccos pf1 = 0.7954
si ha:
Q1 = P1 tan(φ1) = 20.40 kVAr.
Per il carico 2:
P2 = 3E2
2
R2= 5.40 kW
Q2 = −3E2
2
X2= −10.80 kVAr
Nel complesso, la potenza assorbita a valle del carico 3 e:
P12 = P1 + P2 = 25.40 kW
Q12 = Q1 +Q2 = 9.60 kVAr,
S12 = |P12 + jQ12| =,
da cui si ha:
I3 =S12√3V#1
= 67.46A
La lettura del voltmetro e:
V#3 = |R3 + jX3|I3 = 15.08V.
La potenza assorbita dal carico in linea e:
P3 = 3R3I23 = 2.731 kW
Q3 = 3X3I23 = 1.366 kVAr
da cui la potenza assorbita dal carico equivalente 1-2-3
P123 = P12 + P3 = 28.13 kW
Q123 = Q12 +Q3 = 10.97 kVAr
S123 = |P123 + jQ123| = 30.19 kVA,
e, a monte del carico 3, la tensione concatenata e
V4 =S123√3I3
= 258.4V
La voltmetrica del wattmetro e inserita fra la fase 2 e il centro stella dei carichi equilibrati (tensione stellata sul caricoequivalente 1-2-3), e l’amperometrica e sulla linea 2. La lettura del wattmetro coincidera, quindi, con:
W#4 =1
3P123 = 9.38 kW.
Il fattore di potenza del carico a valle dei condensatori e:
pf3 =P123
S123= 0.932 < 0.95,
Detto φrif = arccos(pfrif) = 0.3176, per rifasare il carico equivalente 1-2-3, i condensatori assorbire una potenzareattiva pari a:
Q4 = P123 tan(pfrif)−Q123 = −1.723 kVAr,
da cui, essendo
Q4 = −3V 24
X4= −3ωC4∆V
24
16
si ha:
X4 = −3V 24
Q4= 38.74Ω,
C4∆ = − Q4
3ωV 24
= 82.2µF.
A rifasamento fatto, il carico equilibrato e caratterizzato da:
Pe = P123 = 28.13 kW
Qe = P123 tan(φrif) = 9.25 kVAr
Se = |Pe + jQe| = 29.61 kVA,
φe = φrif = 0.3176
Ie =Se√3V4
= 66.17.
e, quindi:
I(2,s)
=V
(23)
4
R5 + jX5,
I(2,e)
= Ie∠− φrif −2
3π.
Assumendo che il riferimento per gli angoli sia tale che il primo vettore della terna di tensioni stellate abbia argomento
nullo, ovvero argE(1) = 0, si ha V(23)
4 = −jV4, e quindi:
I(2,e)
= (−49.32− j44.11)A,
I(2,s)
= (−0.99− j4.97)A,
da cui
I(2)
= I(2,e)
+ I(2,s)
= (−50.31− j49.08)A
e, infine
I#5 = |I(2)| = 70.28A.
Ovviamente,
V#6 = V4 = 258.4V.
4.3 Esercizio S02
La rete in fig. 4.2, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale. Calcolare:
• lettura dell’amperometro IA;
• la potenza attiva P totale assorbita dal carico.
I wattmetri sono inseriti in inserzione Aron (i wattmetri Wa e Wb leggono, rispettivamente, le tensioni concatenate
V(12)
e −V(23)
), pertanto:
P1 = Wa +Wb = 34 kW
Q1 =√3(Wb −Wa) = −10.39 kVAr.
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A
Wa
Wb
VXL2
R2
(1)
XL3
XL3
R3
Figura 4.2:
Su parte del carico 2 e assegnata la tensione V0 (letta dal voltmetro su XL2), dunque:
I2 =V0
XL2= 6.67A,
da cui possibile ricavare il valor efficace della tensione (stellata e concatenata) su tutti i carichi (sono tutti in parallelo):
E2 = |Z2|I2 =√R2
2 +X2L2I2 = 120.18V,
V2 =√3E2 = 208.2V,
e la potenza assorbita dal carico 2:
P2 = 3R2I22 = 1.33 kW
Q2 = 3XL2I22 = 2.00 kVAr.
Nel complesso, il carico equilibrato assorbe:
Pe = P1 + P2 = 35.33 kW
Qe = Q1 +Q2 = −8.39 kVAr,
Al fine di determinare la lettura dell’amperometro, e necessario calcolare la somma delle due correnti di linea I(2)
e e
I(2)
s (fasori) nella fase 2 dei carichi equilibrato e squilibrato, rispettivamente. Il valor efficace della corrente nel caricoequilibrato Ie e la fase del carico equilibrato φe:
Ie =Se√3V2
=
√P 2e +Q2
e√3V2
= 100.7A,
φe = arctanQe
Pe= −0.23 rad.
Assumendo che il riferimento per gli angoli sia tale che il primo vettore della terna di tensioni stellate abbia argomento
nullo, ovvero argE(1) = 0, il fasore I(2)
e si esprime:
I(2)e = Ie∠− 2
3π − φe = 100.7∠− 1.86.
Per calcolare la corrente I(2)
s , si osserva che ciascuna delle impedenze del triangolo 3 e soggetta alla tensione concatenata,quindi, indicando con Js le correnti di lato nel triangolo squilibrato 3 e applicando la LKC, si ottiene:
I(2)
s = J(23)
s − J(12)
s =V
(23)
R3− V
(12)
jXL3= (−6.94 + j7.85)A.
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Sommando i due contributi, si ottiene
IA = I(2)
e + I(2)
s = (−35.78− j88.65)A = (95.6∠− 1.95)A.
La lettura cercata e data da:
IA = |IA| = 95.6A.
La potenza attiva assorbita dal carico squilibrato coincide con quella ssorbita dalla solo resistore R3, quindi:
Ps = R3|J(23)
s |2 =V 22
R3= 0.867 kW,
da cui la potenza attiva richiesta:
P = Pe + Ps = 36.2 kW.
4.5 Esercizio S03
Figura 4.3:
La rete in fig. 4.31, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale. Calcolare:
• il valore pfx del fattore di potenza del carico a valle della Sx;
I valori efficaci delle tensioni stellata e concatenata sul carico 2 sono:
E2 = R2I0 = 220V,
V2 =√3E2 = 381V
La potenza assorbita dal carico equivalente 1-2 e:
P12 = P1 + 3R2I20 = 9.6 kW
Q12 = Q1 = −1.0 kW
da cui si ricava il valor efficace della corrente che fluisce in 1-2 e sulla linea RL −XL:
IL =
√P 212 +Q2
12√3Vx
= 14.62A.
Nel complesso, il carico equilibrato e caratterizzato da:
Pe = P12 + 3RLI2L = 16.12 kW
Qe = Q12 + 3XLI2L = 5.42 kVAr
Ie = IL = 14.62A
φe = arctanQe
Pe= 0.326
Ee =
√P 2e +Q2
e
3Ie= 385.3V
Ve =√3Ee = 667.5V.
La voltmetrica del wattmetro e collegata alla fase 1 (a monte del carico equilibrato) e al centro stella del carico
equilibrato 2. In virtu dell’unicita del centro stella, tale tensione coincide con la E(1)
, fasore della tensione stellata
(fase 1) di alimentazione del carico in figura. Pertanto, detto I(1)
e il fasore della corrente di linea (fase 1) nel caricoequilibrato, si ha:
Wwattmetro = ℜE(1)
I(1)∗e
=
Pe
3= 5.34 kW.
21
Assumendo che il riferimento per gli angoli sia tale che il primo vettore della terna di tensioni stellate di alimen-tazione abbia argomento nullo, i fasori delle tensioni si possono esprimere come:
E(1)
= Ee∠0
V(12)
= Ve∠π
6
V(23)
= −jVe
le correnti nel carico equilibrato (entranti nel carico) saranno, di conseguenza,
I(1)
e = Ie∠− φe
I(2)
e = Ie∠− φe −2
3π
I(3)
e = Ie∠− φe −4
3π
e, definendo Z3 = R3 + jX3, le correnti nel carico squilibrato (entranti nel carico):
I(1)
s =V
(12)
x
Z3
= (15.79− j14.00)A
I(3)
s = −V(23)
x
Z3
= (20.02− j6.67)A
I(2)
s = −I(1)
s − I(3)
s = (−35.82 + j7.33)A
La potenza reattiva assorbita dal carico squilibrato e:
Qs = X3(I(1)s )2 +X3(I
(3)s )2 = 26.73 kVAr
I fasori delle correnti di linea si trovano sommando i fasori componenti:
I(1)
line = I(1)
e + I(1)
s = (35.04∠− 0.56)A.
I(2)
line = I(2)
e + I(2)
s = (46.86∠3.19)A.
I(3)
line = I(3)
e + I(3)
s = (27.13∠0.89)A.
4.9 Esercizio S05
il fasori delle correnti di linea
Indicazione voltrmetro V=50V
Figura 4.5:
La rete in fig. 4.53, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale. Calcolare:
3dalla prova d’esame di Elettrotecnica II per ing. Elettronica del 20 gennaio 2009
da cui si puo ricavare il valor efficace delle tensione stellata sui carichi 1 e 2:
E12 =√R2
2 +X2C2I2 = 70.71V.
La potenza assorbita dal carico equivalente 1-2 e data da:
P12 =√A2
1 −Q21 + 3R2I
22 = 4.51 kW
Q12 = Q1 − 3XC2I22 = 8.85 kVAr.
da cui si ricava il valor efficace della corrente che fluisce in 1-2 e sulla linea RL:
IL =
√P 212 +Q2
12
3E12= 46.82A.
Si noti che la voltmetrica del wattmetro e collegata alla fase 1 (a monte del carico 1-2-L) e al centro stella di un caricoequilibrato a stella (non importa che esso si trovi inserito a monte del wattmetro). In virtu dell’unicita del centro
stella, tale tensione coincide con la E(2)
, fasore della tensione stellata (fase 2) di alimentazione del carico. Dato che lacorrente che attraversa l’amperometrica del wattmetro ` proprio la corrente di fase 2 nel carico 1-2-L, si deduce cheWwattmetro = P12L
3 . E sufficiente calcolare la potenza assorbita dal carico 1-2-L:
P12L = P12 + 3RLI2L = 6.48 kW
Q12L = Q12 = 8.85 kVAr,
per cui
Wwattmetro =P12L
3= 2.16 kVA.
Il carico 1-2-L vede ai suoi morsetti la tensione di alimentazione
Ee =
√P 212L +Q2
12L
3IL= 78.10V
Il suo fattore di potenza e
pf12L = cos arctanQ12L
P12L= 0.591.
L’equazione da verificare per rifasare il carico e:
Q12L − 3E2
e
XC= P12L tan arccos 0.9,
23
ovvero:
XC =3E2
e
Q12L − P12L tan arccos 0.9= 3.20Ω,
Nel complesso, il carico equilibrato e caratterizzato da:
Pe = P12 + 3RLI2L = 6.48 kW
Qe = Pe tan arccos 0.9 = 3.14 kVAr
Ie =
√P 2e +Q2
e
3Ee= 30.74A
φe = arccos 0.9 = 0.451
Assumendo che il riferimento per gli angoli sia tale che il primo vettore della terna di tensioni stellate di alimentazioneabbia argomento nullo, i fasori delle tensioni si possono esprimere come:
E(1)
= Ee∠0
E(2)
= Ee∠− 2
3π
E(3)
= Ee∠− 4
3π
le correnti nel carico equilibrato (entranti nel carico) saranno, di conseguenza,
I(1)
e = Ie∠− φe
I(2)
e = Ie∠− φe −2
3π
I(3)
e = Ie∠− φe −4
3π.
Applicando la formula di Millman si ha:
VOO′ =
E(1)
R3+jXL3+ E
(2)
R3+jXL3+ E
(3)
−jXC3
1R3+jXL3
+ 1R3+jXL3
+ 1−jXC3
da cui si possono calcolare le correnti nel carico squilibrato (entranti nel carico):
I(1)
s =E(1) −VOO′
R3 + jXL3= (2.52− j0.68)A
I(2)
s =E(2) −VOO′
R3 + jXL3= (0.68− j0.18)A
I(3)
s =E(3) −VOO′
−jXC3= (−3.20 + j0.86)A
La lettura dell’amperometro e:
Ix = |I(1)s | = 2.61A
mentre i fasori delle correnti di linea si trovano sommando i fasori componenti:
I(1)
line = I(1)
e + I(1)
s = (33.31∠− 0.44)A
I(2)
line = I(2)
e + I(2)
s = (30.29∠− 2.53)A
I(3)
line = I(3)
e + I(3)
s = (31.98∠1.74)A
4.11 Esercizio S06
La rete in fig. 4.64, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale. Calcolare:
• il valore di capacita C affinche si abbia pf=0.9;
• la lettura Wx del wattmetro;
• i fasori delle correnti di linea.4dalla prova d’esame di Elettrotecnica II per ing. Elettronica del 15 settembre 2009
24
Figura 4.6:
Dati. frequenza di rete: f = 50 Hz. lettura dell’amperometro: I0 = 10A;letture dei wattmetri: W1 = 10 kVA,W2 = 5kVA;carico in linea: RL = XL = 0.5Ω;carico squilibrato: R1 = XL1 = XC1 = 50Ω.
L’inserzione Aron dei wattmetri (le voltmetriche dei wattmetri 1 e 2 leggono, rispettivamente, −V(12)
1 e V(31)
1 ) permettedi calcolare la potenza complessa assorbita dal carico 1 come:
P1 = W1 +W2 = 15 kW
Q1 =√3(W1 −W2) = 8.66 kVAr.
L’indicazione dell’amperometro permette di determinare la corrente della linea RL −XL e del carico 1. Infatti, detto
ZL = RL||XL =RLjXL
RL + jXL= (0.25 + j0.25)Ω
= (0.354∠0.785)Ω
l’impedenza di linea, il valore efficace UL della tensione su ZL si calcola come:
UL = RLI0 = 5V,
da cui e possibile calcolare la corrente di linea e del carico 1:
IL = I1 =UL
|ZL|= 14.14A.
La potenza assorbita dalla linea e:
PL = 3U2L
RL= 0.150 kW
QL = 3U2L
XL= 0.150 kVAr,
e, quindi, la potenza assorbita, il fattore di potenza e il valor efficace della tensione (stellata) di alimentazione delcarico equivalente da rifasare sono:
P1L = P1 + PL = 15.15 kW
Q1L = Q1 +QL = 8.810 kVAr
pf1L = cos arctanQ1L
P1L= 0.864
E =
√P 21L +Q2
1L
3IL= 413.1V.
25
L’equazione da verificare per rifasare il carico e:
Q1L − 3E2
XC= P1L tan arccos 0.9,
da cui si puo ricavare:
XC =3E2
Q1L − P1L tan arccos 0.9= 347.6Ω,
e, quindi:
C =1
ωXC=
1
2πfXC= 9.16µF.
Nel complesso, il carico equilibrato e caratterizzato da:
Pe = P1L = 15.15 kW
Qe = Pe tan arccos 0.9 = 7.34 kVAr
Ie =
√P 2e +Q2
e
3E= 13.58A
φe = arccos 0.9 = 0.451
Assumendo che il riferimento per gli angoli sia tale che il primo vettore della terna di tensioni stellate di alimentazione,
E(1)
, abbia argomento nullo, i fasori delle tensioni si possono esprimere come:
E(1)
= E∠0
E(2)
= E∠− 2
3π
E(3)
= E∠− 4
3π.
Le correnti nel carico equilibrato (entranti nel carico) saranno, di conseguenza:
I(1)
e = Ie∠− φe
I(2)
e = Ie∠− φe −2
3π
I(3)
e = Ie∠− φe −4
3π.
Applicando la formula di Millman si puo calcolare lo spostamento del potenziale del centro stellaO del carico squilibratorispetto al quello del centro stella dei carichi equilibrati O′:
VOO′ =
E(1)
R1+ E
(2)
−jXC1+ E
(3)
jXL1
1R1
+ 1−jXC1
+ 1jXL1
= 1.129 kV
da cui si possono calcolare le correnti nel carico squilibrato (entranti nel carico):
I(1)
s =E(1) −VOO′
R1= (−14.30)A
I(2)
s =E(2) −VOO′
−jXC1= (7.15− j26.70)A
I(3)
s =E(3) −VOO′
jXL1= (7.15 + j26.70)A
mentre i fasori delle correnti di linea si trovano sommando i fasori componenti:
I(1)
line = I(1)
e + I(1)
s = (6.2771∠− 1.9093)A
I(2)
line = I(2)
e + I(2)
s = (34.5711∠− 1.6893)A
I(3)
line = I(3)
e + I(3)
s = (40.7199∠1.4187)A
La lettura del wattmetro e:
Wx = ℜ(E
(1) −VOO′)(−I(3)
line)∗= 4.41 kVA.
26
Figura 4.7:
4.13 Esercizio S07
La rete in fig. 4.75, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale. Calcolare:
• la lettura Wx del wattmetro;
• la potenza complessa assorbita dalla serie R2 −X2.