Page 1
1
ESERCIZIO 1 Risolvere la struttura e tracciare in modo CORRETTO la deformata strutturale;
determinare i valori delle caratteristiche della sollecitazione e tracciare i relativi diagrammi;
calcolare le reazioni vincolari.
DATI
L1 = 5,00m; L2 = 6,00m; Ls = 1,80m; materiale: c.a.;
sez. BxH 400x600 [mm]; E = 30000 MPa; P = 5 kN; q1 = 40 kN/m;
q2 = 10 kN/m
A
B C D
Page 2
2
ESERCIZIO 1
A
B C
M=PLs
Metodo delle forze: cerniera in A e B
XB XB XA 1
1 2
0 ( ; ; )
( ; ; ) ( ; ; )
A A A B
sx dx
B B A B B B B
q X X
q X X q X
M
equazioni di congruenza:
rotazioni +
3
1 1 1 1
3 3
1 1 1 1 2 2 2 2
03 6 24
6 3 24 3 6 24
A B
A B B
X L X L q L
EI EI EI
X L X L q L X L L q L
EI EI EI EI EI EI
M
= 5·1,8= 9kNm
1
1 2
5 5 125
3 6 24
5 11 125 216 6
6 3 2
96
74 6
5
2
,
54
A B
A B
A
B
X X q
X X q q
X kNm
X kNm
M
Page 3
3
ESERCIZIO 1 Campata AB:
B C
M=PLs
A
B
MB MA
1
1
1
1
7,90 100 107,902
7,90 100 92,102
A BA
sx A BB
M M qLT kN
L
M M qLT kN
L
Campata BC:
B C
M=PLs
A
B
MB
2
2
1
1
8 30 382
8 30 222
dx MB
A BC
M qLT kN
L
M M qLT kN
L
M
107,90
92,10 38 130,10
22 5 27
A
sx dx
B B B
C C
R kN
R T T kN
R T P kN
Reazioni vincolari della struttura completa:
Page 4
4
ESERCIZIO 1 Equilibrio globale:
A
B C D
RA RB RC
MA
1 1 2 2
2
1 1 21 1 2 2 2 1 1 2
0 ( ) ( )
107,90 130,10 27 200 60 5 0
0 ( ) ( )2 2
96,5 650,5 297 500 480 64 0
V A B C
A A B C s
F R R R q L q L P
OK
q L LM M R L R L L q L L P L L L
OK
Page 5
5
ESERCIZIO 1
1
2
2
( ) 107,90(0 ) 107,90
(0 ) 96,50 ( ) 107,90 96,502
T x qxT kN c
qM kNm c M x x x
2
( ) 0 107,90 0 107,90 / 2,69
( ) 2,69 107,9 2,69 96,5 492
T x qx x q m
qM M x kNm
Caratterizzazione dei diagrammi del momento flettente e del taglio: leggi di variazione
Campata AB
B C
M=PLs
A
B
MB MA
2
2
2
1 1 2
; ;
( ) ( )2
dT dM d Mq T q
dx dx dx
qT x qx c M x x c x c
Ascissa Mmax,+
Mmax,+
Punti di nullo del diagramma
del momento
12
2
1,13( ) 107,9 96,5 0
4,262
x mqM x x x
x m
Page 6
6
ESERCIZIO 1 Caratterizzazione dei diagrammi del momento flettente e del taglio: leggi di variazione
Campata BC
Ascissa Mmax,+
Mmax,+
Punti di nullo del diagramma
del momento
B C
M=PLs
A
B
MB
1
2
2
( ) 38(0 ) 38
(0 ) 57 ( ) 38 672
T x qxT kN c
qM kNm c M x x x
2
( ) 0 38 0 38 / 3,8
( ) 3,8 38 3,8 57 15,22
T x qx x q m
qM M x kNm
2
2
2
1 1 2
; ;
( ) ( )2
dT dM d Mq T q
dx dx dx
qT x qx c M x x c x c
12
2
2,06( ) 38 57 0
5,542
x mqM x x x
x m
Page 7
7
ESERCIZIO 1 Controllo della congruenza: rotazioni in B ed in C:
Campata AB
B C
M=PLs
A
B
MB MA
3
1 1 1 1
6 3 24
96,5 5 57 5 40 1250,0001525
6 216000 3 216000 24 216000
sx A BB
M L M L q L
EI EI EI
rad
340,4 0,6
0,007212
I m
2EI = 216000kNm
B C
M=PLs
A
B
MB
Campata BC:
3
2 2 2 2
3
2 2 2 2
3 6 24
57 6 9 6 10 2160,0001525
3 216000 6 216000 24 216000
6 3 24
57 6 9 6 10 2160,0000695
6 216000 3 216000 24 216000
dx BB
BC
M L L q L
EI EI EI
rad
M L L q L
EI EI EI
rad
M
M
antioraria
antioraria
Page 8
8
ESERCIZIO 1
T
M
D
Diagramma del taglio, del momento flettente e deformata della struttura
Page 9
9
ESERCIZIO 2 Risolvere la struttura e tracciare in modo CORRETTO la deformata strutturale;
determinare i valori delle caratteristiche della sollecitazione e tracciare i relativi diagrammi;
calcolare le reazioni vincolari.
A
B C D
DATI
L1 = 5,00m; L2 = 6,00m; Ls = 1,80m; materiale: c.a.
sez. BxH 400x600 [mm]; E = 30000 MPa; P = 15kN; q = 40 kN/m;
T = + 25 °C;
a = 0,00001 [1/°C]
Page 10
10
ESERCIZIO 2 Metodo delle forze: cerniera in A e B
( ; ) ( ; ; )sx dx
B B B B B Bq X T X Mequazione di congruenza:
rotazioni +
= 15·1,8= 27kNm
A
B C
M=PLs
3
1 1 1 2 2 2
3 24 3 6
5 6 40 125 27 6 0,00001 25 6 216000
3 3 24 6 0,6
3 40 125 27 6 0,00001 25 6 216000
11 24 6 0,697,82
B B
B B
B
X L q L X L L T L
EI EI EI EI h
X X
X kNm
a
M
340,4 0,6
0,007212
I m
2EI = 216000kNm
Verso opposto a
quello ipotizzato
XB XB
Page 11
11
ESERCIZIO 2
A B
B C
M=PLs
Campata AB:
Campata BC:
A B
B C
M=PLs
1
1
1
1
19,56 100 119,562
19,56 100 80,442
BA
sx BB
M qLT kN
L
M qLT kN
L
MB
2
2
20,80
20,80
dx BB
BC
MT kN
L
MT kN
L
M
M
MB
119,56
80,44 20,80 59,64
20,80 15 35,80
A
sx dx
B B B
C C
R kN
R T T kN
R T P kN
Reazioni vincolari della struttura completa:
Page 12
12
ESERCIZIO 2 Equilibrio globale:
RA RB RC
1 1
2
1 11 1 2 1 2
0 ( )
119,56 59,64 35,80 200 15 0
0 ( ) ( )2
298,2 393,8 500 192 0
V A B C
A B C s
F R R R q L P
OK
q LM R L R L L P L L L
OK
A
B C D
Page 13
13
ESERCIZIO 2 Caratterizzazione dei diagrammi del momento flettente e del taglio: leggi di variazione
Campata AB
Ascissa Mmax,+
Mmax,+
Punti di nullo del diagramma
del momento
1
2
2
( ) 119,56(0 ) 119,56
(0 ) 0 0 ( ) 119,562
T x qxT kN c
qM c M x x x
2
( ) 0 119,56 0 119,56 / 2,99
( ) 2,99 119,56 2,9 178,682
T x qx x q m
qM M x kNm
2
2
2
1 1 2
; ;
( ) ( )2
dT dM d Mq T q
dx dx dx
qT x qx c M x x c x c
2 1
120
( ) 119,568
02 5,9
xqM
Lx
mx
xx
A B
B C
M=PLs
MB
Page 14
14
ESERCIZIO 2 Caratterizzazione dei diagrammi del momento flettente e del taglio: leggi di variazione
Campata BC 2
2
2
1 1 2
; ;
( ) ( )2
dT dM d Mq T q
dx dx dx
qT x qx c M x x c x c
A B
B C
M=PLsMB
Non è presente nessun carico distribuito, ne consegue che il diagramma del taglio è
costante, mentre il diagramma del momento varia linearmente.
In dettaglio, il valore del momento flettente in B è +97,82kNm mentre in C vale -27kNm, il
punto di nullo si può ricavare da una semplice proporzione:
2
2
97,826 4,70
97,82 27
B B B
B
M M Mx L m
x L M
MM
Page 15
15
ESERCIZIO 2
3
1 1 1
3 24
97,82 5 40 1250,00172
3 216000 24 216000
sx BB
M L q L
EI EI
rad
Campata BC:
2 2 2 97,82 6 9 6 0,00001 25 6
6 3 6 216000 3 216000 0,6
0,00213
BC
M L L T L
EI EI h
rad
a
M
antioraria
antioraria
Controllo della congruenza: rotazioni in B ed in C:
Campata AB
A B
B C
M=PLs
MB
A B
B C
M=PLsMB 2 2 2
3 6
97,82 6 9 6 0,00001 25 6
3 216000 6 216000 0,6
0,00172
dx BB
M L L T L
EI EI h
rad
a
M
oraria
Page 16
16
ESERCIZIO 2 Diagramma del taglio, del momento flettente e deformata della struttura
T
M
D
Page 17
17
ESERCIZIO 3 Risolvere la struttura e tracciare in modo CORRETTO la deformata strutturale;
determinare i valori delle caratteristiche della sollecitazione e tracciare i relativi diagrammi;
calcolare le reazioni vincolari.
A
DKM
B C
DATI
L = 6,00m;Ls = 2,00m; materiale: acciaio; sez. HE 400 B (h sez. 400mm) I = 576800000 mm4; E = 210000 MPa; P = 15kN; q = 40 kN/m; KM = 6000 kN/m
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18
ESERCIZIO 3 Metodo delle forze: può risultare più conveniente, dal punto di vista computazionale,
rimuovere il vincolo in B ed inserire la reazione incognita iperstatica.
A
C
B
M=PLs
XB
rotazioni
+
spostamenti
( ; ; )M BB B B B
M
Xv v v q X
K M
equazione di congruenza: KM
B
XB Azione della struttura
sulla molla
Azione della molla sulla
struttura
3 2( 2 ) 3 ( 2 );
48 48
BX L L
EI EI
M
= +
simmetrico emisimmetrico
C
B
A
C
B
A
C
B
A
2EI = 121128kNm
Page 19
19
ESERCIZIO 3
45 ( 2 )
384 2B
q Lv
EI
= +
simmetrico emisimmetrico
C
B
A
C
B
A
C
B
A
0Bv
4 2 3 3 4 25 1 5
48 4 6 6 48 4
91,30
B BB
M M
B
qL L X L X L qL LX
EI EI EI K EI K EI EI
X kN
M Mequazione di congruenza:
2 2
2 2 0 31,852 2 4 2
SBB C S C
L LL R LR L R L q P L L R q P kN
L
0 131,85A B C A B CR R R qL P R R R qL P kN
Equilibrio alla rotazione: polo A
Equilibrio alla traslazione verticale
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20
ESERCIZIO 3 Taglio e momento nelle sezioni significative
2
131,85 ; 108,15 ; 16,85
16,85
0; 71,10 ; 302
sx dx sx
A A B A B B B
sx
C C
A B A C S
T R kN T R qL kN T T R kN
T P R kN
LM M R L q kNm M PL kNm
Nella campata BC non è presente nessun carico
distribuito il diagramma del momento varia
linearmente. Il punto di nullo si ricava dalla
proporzione tra il momento in B ed il momento in C
1
2
2
( ) 131,85(0 ) 131,85
(0 ) 0 0 ( ) 131,852
T x qxT kN c
qM c M x x x
2
( ) 0 131,85 0 131,85 / 3,29
( ) 3,29 131,85 3,29 217,302
T x qx x q m
qM M x kNm
2
2
71,16 4,22
71,1 30
B B B
B
M M Mx L
x L M
m
MM
Page 21
21
ESERCIZIO 3 Diagramma del taglio, del momento flettente e deformata della struttura
T
M
D