ESERCIZI SVOLTI DI TOPOGRAFIA – PROF. ING. PIANTONI ALDO 1. si deve determinare la pendenza tra due punti P e Q, che rappresentano gli estremi di una strada rettilinea. Poiché non si è riusciti ad individuare un punto dal quale siano visibili contemporaneamente i due punti, sono state effettuate, con un teodolite a graduazione destrorsa integrato da distanziometro ad onde, due stazioni celerimetriche collegate tra loro in modo indiretto. I dati rilevati sono i seguenti. stazione Punto collimato C.O. C.V. Distanza inclinata A H=1.705 P 210,3416° 83,6861° 135,618 m C 88,6014° 90,3043° 206,405 m D 57,4844° 88,6549° 287,835 m B H=1.644 C 114,6545° 87,3615° 238,437 m D 154,7458° 84,4818° 196,585 m Q 246,3489° 94,3215° 175,606m Si assuma, per i calcoli altimetrici, un’altezza del prisma pari a 1,500m, k=0,12 e R=6.376.500 m. Con i dati forniti nel libretto delle misure si determinano innanzi tutto le distanze orizzontali AP=135.618 sen83.6861 = 134.795 m AC=206.405 sen90.3043 = 206.402 m AD=287.835 sen88.6549 = 287.756 m BC = 238.437 sen87.3615 = 238.184 m BD=196.585 sen84.4818 = 195.647 m BQ=175.606 sen94.3215 = 175.107 m Per risolvere la parte planimetrica conviene determinare le coordinate di P e Q nel sistema di riferimento celerimetrico con origine in A, adottando il procedimento del collegamento di Porro. Le coordinate del punto P possono essere determinate subito, poiché tale punto è stato collimato direttamente da A: x p =AP senθ AP =134.795 sen210.3416 = -68.092 m y p =AP cosθ AP =134.795 cos210.3416 = -116.332 m si procede col calcolo dell’angolo di disorientamento tra le due stazioni, calcolando le coordinate dei due punti C e D nei due sistemi di riferimento
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ESERCIZI SVOLTI DI TOPOGRAFIA – PROF. ING. PIANTONI ALDO 1. si deve determinare la pendenza tra due punti P e Q, che rappresentano gli estremi di una strada rettilinea. Poiché non si è riusciti ad individuare un punto dal quale siano visibili contemporaneamente i due punti, sono state effettuate, con un teodolite a graduazione destrorsa integrato da distanziometro ad onde, due stazioni celerimetriche collegate tra loro in modo indiretto. I dati rilevati sono i seguenti.
stazione Punto collimato C.O. C.V. Distanza inclinata
A H=1.705
P 210,3416° 83,6861° 135,618 m C 88,6014° 90,3043° 206,405 m D 57,4844° 88,6549° 287,835 m
B
H=1.644
C 114,6545° 87,3615° 238,437 m D 154,7458° 84,4818° 196,585 m Q 246,3489° 94,3215° 175,606m
Si assuma, per i calcoli altimetrici, un’altezza del prisma pari a 1,500m, k=0,12 e R=6.376.500 m. Con i dati forniti nel libretto delle misure si determinano innanzi tutto le distanze orizzontali
AP=135.618 sen83.6861 = 134.795 m AC=206.405 sen90.3043 = 206.402 m AD=287.835 sen88.6549 = 287.756 m BC = 238.437 sen87.3615 = 238.184 m BD=196.585 sen84.4818 = 195.647 m BQ=175.606 sen94.3215 = 175.107 m
Per risolvere la parte planimetrica conviene determinare le coordinate di P e Q nel sistema di riferimento celerimetrico con origine in A, adottando il procedimento del collegamento di Porro. Le coordinate del punto P possono essere determinate subito, poiché tale punto è stato collimato direttamente da A:
xp=AP senθAP=134.795 sen210.3416 = -68.092 m yp=AP cosθAP=134.795 cos210.3416 = -116.332 m
si procede col calcolo dell’angolo di disorientamento tra le due stazioni, calcolando le coordinate dei due punti C e D nei due sistemi di riferimento
Sistema di riferimento con origine in A xC=AC senθAC=206.402 sen 88.6014 = 206.341 m
yC=AC cosθAC=206.402 cos 88.6014 = 5.038 m xD=AD senθAD=287.756 sen 57.4844 = 242.649 m yD=AD cosθAD=287.756 cos 57.4844 = 154.677 m
xD - xC
θCD=ARCTAN --------------- = 13.6385° yD - yC
Sistema di riferimento con origine in B
x’C=BC senθ’BC=238.184 sen 114.6545 = 216.471 m y’C=BC cosθ’BC=238.184 cos 114.6545 = -99.357 m x’D=BD senθ’BD=195.674 sen 154.7458 = 83.481 m
y’D=BD cosθ’BD=195.674 cos 154.7458 = -176.972 m x’D - x’C
θ’CD=ARCTAN --------------- = 239.7315° y’D - y’C
L’angolo di disorientamento tra le due stazioni è pari alla differenza dei due azimut
ε=θ’CD - θCD =226.0930°
le coordinate del punto Q, nel sistema di riferimento con origine in A valgono:
che, in pratica, coincidono con quelle calcolate precedentemente. La distanza tra i punti P e Q risulta quindi:
PQ= w (xQ - xP )2 + (yQ - yP )
2 =669.994 m
Anche la parte altimetrica può essere risolta considerando i percorsi PACBQ e PADBQ. I dislivelli misurati si calcolano con la formula della livellazione trigonometrica:
∆AP = h A - h P + AP cot φ AP + (1-k) AP2/2R = 15,121 ∆AC = h A - h P + AC cot φ AC + (1-k) AC2/2R = -0.888 ∆AD = h A - h P + AD cot φ AD + (1-k) AD2/2R = 6.967
∆BC = h B - h P + BC cot φ BC + (1-k) BC2/2R = 11.124 ∆BD = h B - h P + BD cot φ BD + (1-k) BD2/2R = 19.051
∆BQ = h B - h P + BQ cot φ BQ + (1-k) BQ2/2R = -13.086 utilizzando il percorso PACBQ si ottiene il seguente dislivello PQ: ricordando che ∆PA= - ∆AP
utilizzando invece il percorso PADBQ si ottiene: ∆PQ =∆PA +∆AD +∆DB +∆BQ = -15.121 +6.967 - 19.051 - 13.086 = - 40.291m
si adotta come valore più attendibile del dislivello la media aritmetica dei due valori
∆PQ = (- 40.291- 40.219)/2 = -40.255m
la pendenza della strada vale dunque: pPQ= -40.255/669.994 = -0.0601 = - 6.01% 2. determinare le coordinate planimetriche e la quota del punto P, dal quale si sono collimati, con un teodolite centesimale destrorso, i tre punti A, B e C di coordinate note:
dalla sequenza con cui si succedono gli angoli di direzione, il punto P non può che stare a sinistra della spezzata ABC; infatti, se il punto P fosse a destra, gli angoli di direzione dovrebbero aumentare da C verso A, mentre si verifica il contrario. Stabilita dunque la posizione di P è possibile effettuare la costruzione grafica, che permette di stabilire una soluzione approssimata del problema. Dalle coordinate di A e di B si ricava la distanza e l'azimut tra tali punti
AB= w q (385.606 - 317.818)2 + (201.304 - 404.606)2 r = 214.306 m
tracciata la circonferenza passante per P, A e B, detto H il punto di intersezione con il segmento PC, si ha, visto che gli angoli AHB e BAH sono uguali agli angoli α, β
AH=AB/senα x sen(α+β) = 328.113 m
Le coordinate di H valgono quindi:
xH= xA +AH senθAH = xA+AH sen(θAB+ β ) = 182.873 m yH= yA +AH cosθAH = yA +AH cos(θAH+ β) = 105.528 m
∆PA = h P + PA-------- cot ϕ PA + (1-k) PA2/2R = - 3.442 R R+Q
∆PB = h P + PB-------- cot ϕ PB + (1-k) PB2/2R = - 3.000 R R+Q
∆PC = h P + PC-------- cot ϕ PC + (1-k) PC2/2R = +9.321 R La quota del punto P può quindi essere determinata in tre modi diversi a seconda che si consideri come riferimento rispettivamente il punto A, B o C:
che risulta inferiore alla tolleranza angolare prefissata:
ta = 4cw3 = 6,9c > 5,4c
e pertanto si può procedere con la compensazione angolare. Poiché la somma degli angoli misurati è risultata minore di
200 g, si dovrà aggiungere a ciascun angolo misurato 1/3 dell'errore di chiusura angolare εα:
αc = 44,040 + 0,018 = 44,058 g
βc = 78,069 + 0,018 = 78,087 g
γc = 77,837 + 0,018 =77,855 g
Si possono ora calcolare gli azimut, assumendo un sistema di riferimento avente origine nel punto 100 e asse delle
ordinate diretto lungo l'origine del cerchio orizzontale in tale stazione;
θ100-200 = 121,583 g
θ200-300 = θ100-200 + βc +200= 399.670 g
θ300-100 = θ200−300 + γc -200= 277.525 g
Per controllo:
θ100-200 = θ300-100 + αc -200= 121.583 g
Si procede con la compensazione lineare, calcolando le coordinate parziali provvisorie:
sono le proiezioni dei lati sugli assi
(x200)100 = d100-200 sen θ100-200 = 23,151 m (x300)200 = d200-300 sen θ200-300 = -0,086 m (x100)300 = d100-300 sen θ300-100 = -23,049 m (y200)100 = d100-200 cos θ100-200 = -8,164 m (y300)200 = d200-300 cos θ200-300 = 16,625 m (y100)300 = d100-300 cos θ300-100 = - 8,493 m
Gli errori di chiusura lineare, rispettivamente lungo X e lungo Y, si ricavano facendo la somma: delle coordinate
parziali:
ex = n(Xj)i = 23,151 - 0,086 - 23,049 = 0,016 m
ey = n(yj)i = -8,164 + 16,65 - 8,493 = -0,032 m
Si ricava quindi l'errore lineare complessivo, confrontandolo con la tolleranza lineare:
εL = e(ε2x + ε2
y)= 0,036 m < tL = 0,02 e65,737 =. 0,162 m
Poiché la verifica è soddisfatta, si può procedere con la compensazione lineare; si calcolano
dapprima gli errori unitari:
ux= εεεεx / nnnn|(xj )i = 3,457 10-4
uy= εεεεy / nnnn|(yj )i = - 9,615 10-4
(x200)100 = (x200)100 - ux |(x200)100 | = 23,143 m (x300)200 = (x300)200 - ux |(x300)200 | = -0,086 m (x100)300 = (x100)300 - ux |(x100)300 | = -23,057 m (y200)100 = (x200)100 - ux |(y200)100 | = -8,156 m (y300)200 = (x300)200 - uy |(y300)200 | = 16,641 m (y100)300 = (x100)300 - uy |(y100)300 | = - 8,485 m
Le coordinate compensate delle tre stazioni valgono quindi:
x100 = 0,000 m x200 = x100 +(x200)100 = 23.143 m x300 = x200 +(x300)200 | = 23,057 m
y100 = 0,000 m y200 = y100 +(y200)100 = -8,156 m y300 = y200 +(y300)200 | = 8,845 m
Si ricavano ora le coordinate dei quattro vertici dell'appezzamento, partendo dalle coordinate compensate della
poligonale e facendo la media aritmetica dei punti iper-determinati:
x101 = x100 +d100-101 sen θ100-101=0,000+ 12,400 sen 8,801 = 1,709 m
y101 = y100 +d100-101 cos θ100-101=0,000+ 12,400 cos 8,801 = 12,282 m
x'102 = x100 +d100-102 sen θ100-102=0,000+ 12,868 sen 198,201 = 0,364 m
y'102 = y100 +d100-102 cos θ100-102=0,000+ 12,868 cos 198,201 = -12,863 m
x"102 = x200 +d200-102 sen θ200-102=23,143+ 23,235 sen 287,011 = 0,390 m
y"102 = y200 +d200-102 cos θ200-102= -8,156 + 23,235 cos 287,011 = -12,864 m
x102= (x'102+ x"102)/2 = 0,377
y102= (y'102+ y"102)/2 = -12,864
x'201 = x200 +d200-201 sen θ200-201= 23,143+ 6,679 sen 79,518 = 29,479 m
y'201 = y200 +d200-201 cos θ200-201= -8,156 + 6,679 cos 79,518 = -6,044 m
x"201 = x300 +d300-201 sen θ300-201=23,057 + 15,859 sen 173,528 = 29,463 m
y"201 = y300 +d300-201 cos θ300-201= 8,485 + 15,859 cos 173,528 = -6,023 m
x201= (x'201+ x"201)/2 = 29,471 m
y201= (y'201+ y"201)/2 = -6,034
x301 = x300 +d300-301 sen θ300-301= 23,057+ 4,395 sen 348,724 = 19,888 m
y301 = y300 +d300-301 cos θ300-301= 8,485 + 4,395 cos 348,724 = 11,530 m
Avendo determinato le coordinate dei vertici, si può ora calcolare l'area compensata dell'appezzamento racchiuso dalla
1,709)] =517,3 m2 4 . il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un tacheometro centesimale destrorso determinando i seguenti elementi
stazione Punto collimato Cerchio orizzontale Distanza orizzontale
A D 0,000 gon 66,153 gon B 135,456 gon 98,389 gon
B
C 31,558 gon 115,444 gon A 377,165 gon 98,387 gon
Dividere il quadrilatero in tre parti, proporzional i ai numeri 3,5 4,5 3,2
con due dividenti parallele al lato CD, in modo che l'area proporzionale a 3,5 contenga tale lato, mediante le distanze dei loro estremi dai vertici C e D Dal libretto delle misure si ricavano gli angoli in A e in B e la distanza media AB: α=(AB)-(CD)=135,456 gon β=(BC)-(BA) + 400 = 54,393 gon AB= (98,389 + 98,387)/2= 98,388 m dapprima risolviamo il quadrilatero ABCD, scomponendolo nei due triangoli ABD e BDC.
TRIANGOLO ADB
BD= w AB2 + AD2 - 2AB AD cos α = 144,697 m
Per determinare l'angolo β1 possiamo applicare il teorema dei seni, poichè α è ottuso
Applichiamo ora la formula del trapezio alla prima superficie CDMN
MN = w CD2 - 2A1(cotγ +cotδ) = 70,169 m
h= 2A1 / (CD+MN) = 29,703 m
CM = h/senγ = 30,461 m DN = h/senδ = 29,764 m In modo analogo si procede per determinare la posizione della dividente PQ, salvo verificare in questo caso che il punto Q ricada all'interno del segmento DA (altrimenti si deve procedere partendo dalla terza superficie)
PQ = w CD2 - 2(A1+ A2 )(cotγ +cotδ) = 75,947 m
h2= 2(A1 + A2 )/ (CD+PQ) = 65,117 m
CP = h2/senγ = 65,777 m DN = h2/senδ = 65,250 m < AD=66,153 m
5. la bisettrice CM divide il triangolo ABC in due parti aventi la seguente valenza unitaria:
triangolo ACM: v 1=5,00 €/m2 triangolo BCM: v2 = 7,00€/m2 la posizione degli estremi P e Q delle due nuove dividenti uscenti dal vertice C che dividono il triangolo in tre parti di uguale valore, conoscendo i seguenti dati
c= 158,42 m αααα = 42,615° ββββ= 38,744°
applicando il teorema dei seni, determiniamo gli elementi incogniti del triangolo
γ= 180 - (α+β) = 98,641°
b= c/senγ x senβ = 100,284 m
a= c/senγ x senα = 108,493 m e la bisettrice che divide le superfici a diversa valenza : b CM = sen α = 67,938 m sen (α+γ/2) il valore complessivo dell'appezzamento ABC è quindi
pertanto ciascuna delle parti derivate dovrà avere un valore pari ad 1/3 di quello totale, che diviso per il valore unitario della parte corrispondente fornisce la relativa area
A (ACQ) = v1 /5,00 = 10.827,09/5,00 = 2165,4 m2 AQ= 2A(ACQ)/(b senα) = 63,783 m A (BCP) = v2 /7,00 = 10.827,09/7,00 = 1546,7 m2 BP= 2A(BCP)/(a senβ) = 45,559 m
6. due appezzamenti di terreno contigui, appartenenti a due distinti proprietari, hanno la parte di confine in comune rappresentata dalla spezzata ABCD. Uno degli appezzamenti è rappresentato dalla poligonale ABCDE; i confini dell'altro appezzamento sono rappresentati in corrispondenza del punto A dal prolungamento del lato EA ed in corrispondenza del punto D dal prolungamento del lato ED. I due proprietari desiderano sostituire alla spezzata ABCD un nuovo confine rettilineo, parallelo alla direzione AD, in modo da realizzare la condizione di compenso delle aree aggiunte e sottratte ai due proprietari. Gli elementi misurati con un tacheometro destrorso sono raccolti nel seguente libretto di campagna.
stazione Punto collimato Cerchio orizzontale Distanza orizzontale
A E 44,9074 g - B 143,7116 g 109,003
B
A 0,0000 g - C 84,3715 g -
C
B 0,0000 g 156,374 D 315,3065 g 85,606
D
C 0,0000 g - E 35,6848 g -
Determinare la posizione della nuova dividente
Si ricavano innanzi tutto dal libretto di campagna gli angoli al vertice (vedi figura):
α= (AB) - (AE) = 98,8042 g β = (CD) - (CB) = 315,3065 g
γ = (BC) - (BA) = 84,3715 g δ = (DE) - (DC) = 35,6848 g
II problema può essere risolto in due modi diversi: imponendo che l'area ceduta da un proprietario sia
equivalente a quella acquisita dallo stesso, oppure calcolando l'area di un appezzamento di terreno fittizio
che contenga la spezzata
da rettificare e imponendo la stessa area all'appezzamento col confine rettificato. Generalmente la prima
soluzione è conveniente quando la spezzata da rettificare è formata da solo due lati, mentre conviene la
seconda soluzione quando la spezzata ha più di due lati. In quest'ultimo caso è opportuno calcolare l'area
dell'appezzamento fittizio mediante la formula di Gauss; infatti, se il poligono è intrecciato, abbiamo visto
nella prima unità che tale formula fornisce già la differenza tra l'area percorsa in senso antiorario e quella
percorsa in senso orario. Per rendersi conto dei vantaggi della seconda soluzione rispetto alla prima, con
una spezzata di soli tre lati, come in questo caso, si presentano qui di seguito entrambe le soluzioni.
Prima modalità
Congiunto A con D, e indicato con P il punto di intersezione col lato BC, si nota dalla figura che se le aree
dei due triangoli ABP e PCD fossero uguali, il lato AD sarebbe la dividente cercata. Se invece dovesse
prevalere l'area ABP sull'area PCD, si dovrà spostare il confine AD verso B, parallelamente a se stesso, in
modo che l'area del trapezio AA'D'D risulti uguale all'eccedenza dell'area ABP rispetto all'area PCD.
Viceversa, se dovesse risultare maggiore l'area del triangolo PCD, il confine AD dovrà essere spostato verso
C.
Ricaviamo dunque le aree dei due triangoli staccati dal lato AD. Considerato il triangolo ABC, del quale si
conoscono due lati e l'angolo compreso, si ha:
AC = eAB2 + BC2 - 2 AB BCcos β = 167,479 m
AC2 + BC2 - AB2
ACB = arccos------------------------ = 43,4982 g 2 AC BC
CAB = 200 - β - ACB = 72,1303 g
Considerando ora il triangolo ACD:
ACD = ACB + (400 - δ) = 128,1917 g
AD = wAC2 + CD2 - 2 AC CD cos ACD = 218,323 m
CD2 + AD2 - AC2 ADC = arccos---------------------------= 48,7531 g
2 CD AD
CAD = 200 - ACD - ADC = 23,0552 g
Si possono pertanto ricavare le aree dei due triangoli, applicando la formula :
A'D' = w (AD2 - 2∆ (cotDAA' +cotADD') )= 228,404 m
L'altezza del trapezio si ricava dalla formula inversa dell'area:
h =2∆/ (AD+A'D')= 8,014 m
e, procedendo come nel caso precedente:
AA' = h/sen DAA' = 11,381 m
DD' = h/senADD' = 8,259 m
7. Un appezzamento di terreno di forma quadrilatera ABCD è individuato altimetricamente dalle due falde ABC e ACD. Conoscendo le coordinate e le quote dei vertici: A(O; O; 5,456) B(35,466; - 15,443; 7,554) C(81,466; - 5,455; 5,649) D(12,455; 33,566; 6,876) si determini il volume di terreno necessario per realizzare lo spianamento nei seguenti casi: a) piano orizzontale a quota 5,000 m; b) piano orizzontale a quota 10,000 m.
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Caso a Determiniamo le quote rosse nei vertici per stabilire se si tratta di spianamento di sferro, riporto o misto (vedi figura):
rA = 5,000 - 5,456 = - 0,456 m rC = 5,000 - 5,649 = - 0,649 m
rB = 5,000 - 7,554 = - 2,554 m rD = 5,000 - 6,876 = - 1,876 m
Dato che tutte le quote rosse sono negative, lo spianamento sarà completamente di sferro. Per calcolare il volume necessario, calcoliamo le aree delle due falde con la formula di Gauss: