www.pappalardovincenzo.135.it Studio di Funzioni Esercizi di Matematica Funzioni e loro proprietà
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E
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ONSIDERAZIONI GENERALI
grafico, quindi studiare una funzione significa determinare il qui acquisite, di una funzione siamo in grado di studiare:
Studio di Funzioni C Ad ogni funzione corrisponde un uo grafico. Per le conoscenze fins
TIPO DI FUNZIONE: stabilire se si tratta di una funzione algebrica (intera, fratta,irrazionale) o trascendente (non algebrica)
SIMMETRIE: una funzione è pari (simmetrica rispetto all’asse delle y) se f(-x) = f(x); una funzione è dispari (simmetrica rispetto all’origine) se f(-x) = - f(x)
DOMINIO: rappresenta l’insieme dei valori che può assumere la variabile indipendente x, in corrispondenza dei quali la funzione y esiste, ossia assume valori che appartengono all’insieme dei numeri reali R. FUNZIONI INTERE y = f(x) - Il dominio è tutto l’insieme R
FUNZIONI FRATTE )x(D)x(Ny = – Il dominio è tutto l’insieme R senza i valori che annullano il
indenominatore, cioè dall’ sieme R bisogna eliminare i valori dell’incognita che si ricavano dall’equazione:
0=)x(D
FUNZIONI IRRAZIONALI )x(fy = – Se l’indice della radice è pari, il dominio si determina
ponendo maggiore o uguale a 0 il radicando, cioè l’espressione che compare sotto radice:
Se l’indice è dispari, il dominio è tutto R.
0≥)x(f
INTERSEZIONE CON GLI ASSI CAella funzione con gli assi cartesiani:
RTESIANI - Determinare i punti d’intersezione
= 0y
INTERSEZIONE CON L’ASSE DELLE Y
d
INTERSEZIONE CON L’ASSE DELLE X ⎨⎧ =
⇒)x(fy
⎩ ⎩⎨⎧
==
⇒0x
)x(fy
SEGNO DELLA FUNZIONE - D ali valori della variabile x la f eterminare per qu unzione yssume valori positivi e negativi, cioè stabilire in quale zona del piano cartesiano la
fu
cioè bisogna risolvere una disequazione.
anzione è positiva ed in quale è negativa. La condizione da porre è:
0>)x(f
COMPORTAMENTO DELLA FUNZIONE NEI PUNTI DI DISCONTINUITA’ – Poiché nei punti discontinuità la funzione non esiste, ossia è infinita, bisogna capire se tende a +∞ o
-∞, cioè in termini matematici bisogna effettuare l’operazione di limite:
±∞=±→
)x(flim 0xx
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te funzione:
y = 3x – 1
SOLUZIONE
funzione: funzione algebrica razionale intera
Studio di FunzioniE Studiare la seguen
1. Tipo di
2. Simmetrie:
)x(f )x(f)x(f1x31)x(3=− −≠≠−−=−− La funzione non è né pari e né dispari
io:
ne c gli assi cartesiani:
3. Domin ℜ=D
4. Intersezio on
31013
013
=⇒=−⇒⎩⎨⎧
=−=
xxy
xy:X La funzione interseca l’asse delle x nel punto A = (1/3; 0)
La funzione interseca l’asse delle y nel punto B = (0; -1)
5. Segno:
10
13−=⇒
⎩⎨⎧
=−=
yx
xy:Y
31013 >⇒>− xx
a funzione è negativa per i valori della x ; 1/3) a funzione è positiva per i valori della x appartenenti all’intervallo (1/3; +∞)
. Grafico della funzione:
7. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità:
0 ⇒>)x(f
L appartenenti all’intervallo (-∞L
6
Non ci sono punti di discontinuità e quindi asintoti verticali.
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te funzione:
Studio di FunzioniE Studiare la seguen
xxy
2423
−+
=
SOLUZIONE
funzione: funzione algebrica razionale fratta
1. Tipo di
2. Simmetrie:
)x(f)x(fx242x3
)x(242)x(3)x(f −
=− −≠≠++−
=−−+
La funzione non è né pari e né dispari
3. Dominio:
{ }2242024 −ℜ=⇒=⇒=⇒=− Dxxx
4. Intersezione con gli assi cartesiani:
La funzione interseca l’asse delle x nel
unto A = (-2/3; 0)
p
20
24 =⇒⎪⎩
⎪⎨
=− y
xx:Y La funzione interseca l’asse delle y nel punto B = (0; 1/2)
5. Segno:
123⎧ +
=xy
024
230 >−+
⇒>x
x)x(f
a funzione è negativa per i va e all’intervallo
(2; +∞)
6. Grafico della funzione:
7. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità:
L lori della x appartenenti all’intervallo (-∞; -2/3)
La funzione è positiva per i valori della x appartenenti all’intervallo (-2/3; 2)
+∞=+ 2x3lim −−→ x242x
−∞=+ 2x3lim → x = 2 Asintoto verticale−+→ x242x
320230
24024 −=⇒=+⇒=
−⇒
⎪⎩⎨
=− xx
xyx:X 2323
+⎪⎧ +
= xxy
20243223
<⇒>−
−>⇒>+
xx:D
xx:N 0
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Studiare la seguente funzione: 15 −= xy SOLUZIONE
1. Tipo di funzione: funzione algebrica irrazionale intera 2. Simmetrie:
)x(f)x(f1x51)x(5)x(f −≠≠−−=−−=− La funzione non è né pari e né dispari
3. Dominio:
51015 ≥⇒≥− xx ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡ +∞=⇒ ;D
51
4. Intersezione con gli assi cartesiani:
⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒=⇒=−⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−= 0
51
51015
015 ;Axx
yxy:X
1
015 −=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−= y
xxy:Y
Poiché la radice quadrata di un numero negativo non esiste, non ci sono intersezioni con l’asse delle y
5. Segno:
51015 >⇒>−⇒ xx0150 >−⇒> x)x(f
La funzione irrazionale è positiva per i valori della x appartenenti all’intervallo (1/5; +∞). Si ricordi che le funzioni irrazionali sono sempre positive
6. Grafico della funzione:
7. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità: Non ci sono punti di discontinuità e quindi asintoti verticali.
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Studiare la seguente funzione: x
xy42
57−−
=
SOLUZIONE
1. Tipo di funzione: funzione algebrica irrazionale fratta 2. Simmetrie:
)x(f)x(fx425x7
)x(425)x(7)x(f −≠≠
+−−
=−−−−
=− La funzione non è né pari e né dispari
3. Dominio:
iani:
hé la radice quadrata di un numero negativo non esiste, non ci sono intersezioni con l’asse
5. Segno:
21042
75057
<⇒>−⇒
≥⇒≥−⇒
xxD
xxN⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤=
75;
21D0
4257≥
−−
xx
4. Intersezione con gli assi cartes
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒=⇒=−⇒
⎪⎩
⎪⎨
=−−
= 075
75057
042
57;Axx
yx
xy:X
⎧
25
4257
−=⇒
⎩
⎪⎨
⎧
−−
= yxxy:Y
0⎪ =x
Poicdelle y
042
57>
−−
⇒x
x 0
42570 >
−−
⇒>x
x)x(f
La funzione irrazionale è positiva per i valori della
x appartenenti all’intervallo (1/2;5/7].
6. Grafico della funzione:
7. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità:
+∞=−−
+
→ x425x7lim
21x
→ x = 1/2 Asintoto verticale
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are la seguente funzione:
Studio di Funzioni
xxy
44510
+−
=
lgebrica irrazionale fratta
trie:
Studi
SOLUZIONE
1. Tipo di funzione: funzione a 2. Simme
)x(f)x(fx44
5x10)x(44
)x(f+
=−5)x(10
−≠≠−
=−
La funzione non è né pari e né dispari
3. Dominio:
Intersezione con gli assi cartesiani:
Poi non esidelle y
−−−−
4.
ché la radice quadrata di un numero negativo ste, non ci sono intersezioni con l’asse
5. Segno:
044
5100 >+−
⇒>x
x
445100
+−
⇒>x
x)x(f
La ionale è positiva per i valori della x ap tervallo (-∞;-1)U[1/2;+∞).
funzione irrazpartenenti all’in
5. Grafico della funzione:
7. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità:
+∞=+−−→ x44
lim1x
→ x = -1 Asintoto vertical− 5x10
e
⎟⎠⎞
⎜⎝⎪
⎩
⎨=
+ 022
044 ;Axx
yx: ⎛=⇒=⇒=−⇒⎪
⎧ −= 110510
510xyX45
044
510−=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
= yx
xxy:Y
1044210510
−>⇒>+⇒
≥⇒≥−⇒
xxD
xxN0510
≥−x44 + x ( ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡ +∞−∞−= ;21U)1;D
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tudiare la seguente funzione:
Studio di Funzioni
xxy−+
=2
24S
SOLUZIONE
1. Tipo di funzione: funzione algebrica irrazionale fratta
trie:
2. Simme
)x(f)x(fx2
2x42)x(4 +−+−)x
−≠≠+
=−
=− La funzione non è né pari e né dispari
3. Dominio:
(2)x(f
−
20221024
<⇒>−⇒
−≥⇒≥+⇒
xxD
xxN 02
≥− x
4. Intersezio ani
: ne con gli assi cartesi
5. Segno:
02
24>
−+
⇒x
x 0
2240 >
−+
⇒>x
x)x(f
La funzione irrazionale è positiva per i valori della x
tervallo [-1/2;2)
appartenenti all’in
5. Grafico della funzione:
7. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità:
+∞=−−−→ x2
lim2x
→ x = 2 Asintoto verticale + 2x4
⎟⎠⎞
⎝⎪⎩
⎨
⎧
=
022
0;
y);(By
xx
y:Y 1010
2 =⇒=⇒⎪⎩
⎪⎨
=−
=x 24⎧ +
⎜⎛−=⇒−=⇒=+⇒⎪
−+
= 11024224
Axxxxy:X
24 +x
⎟⎠⎞
⎢⎣⎡−= 2
21 ;D
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ESERCIZIO N. 7 Studiare la seguente funzione:
Studio di Funzioni
1xx31y 2 −
−=
SOLUZIONE
funzione: funzione algebrica fratta in valore assoluto
1. Tipo di
2. Simmetrie:
)x(f)x(f1xx31)x(f − 2 −≠≠−
+= La funzione non è né pari e né dispari
3. Dominio:
A questo punto conviene esprimere la o come:
funzione valore assolut
⎪⎪⎩
⎪⎪⎧ ≤∪−<⇒≥
−→
−=
−x
311x0
1xx31se
1xx31y
x31 221
⎨>∪<<−⇒<
−−
→−
−−=
<−−
⇒−
=1x
31x10
1xx31se
1xx31y
1
1xy
222
2
1x1x01xD31x0x31N
2 >∪−<→>−→
≤→≥−→
Non confondere questo grafico con il unzione valore assoluto, per definizione, è sempre positiva. trovano le funzioni y e y , la cui unione dà luogo alla funzione valore assoluto.
ant o e la
funzione valore assoluto è sempre positiva.
a funzione valore assoluto è sempre positiva.
segno della funzione, in quanto la fQuesto grafico ci dice dove si
1 2
4. Intersezione con gli assi cartesiani:
La funzione y1 non interseca l’asse delle y in qu o il valore trovato y = -1 è negativ
5. Segno: L
⎟⎠⎞
⎜⎝
=⇒=⇒=−⇒⎪⎩⎨
=− 0;
3A
3x0x31
0y1x: 21 ⎛⎪
⎧ −= 11
x31yX ℜ∈∃/⇒−=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
−=
y1y0x
1xx31y
:Y 21
{ }1D1x01x 2 ±−ℜ=±=→=− ⇒
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎪⎩ =0;
31
30y⇒=⇒=+−⇒⎪
⎨⎧
−−
−=A1x0x311x
x31y:X 22 )1;0(B1y1x
y:Y 22 =⇒=⇒⎪⎩
⎪⎨
=−x31⎧ −
−=
0x
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7.
Studio di Funzioni
6. Grafico della funzione:
Comportamento della funzione nei punti di discontinuità:
+∞=−±−→ 1x
lim 21x → x = -1 Asintoto verticale
− x31
+∞=−
−±→ 1x
x31lim 21x →
x = 1 Asintoto verticale
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SERCIZIO N. 8
tudiare la seguente funzione:
Studio di Funzioni E S
1xxx2y 2
2
+−
=
SOLUZIONE
funzione: funzione algebrica fratta in valore assoluto
2. Simmetrie:
1. Tipo di
)x(f)x(f1xxx2)x(f − 2
2
−≠≠++
= La funzione non è né pari e né dispari
3. Dominio:
oic quanto è diverso da zero per qualunque valore ella x, non ci sono punti di discontinuità e quindi asintoti verticali.
P hé il denominatore non si annulla mai, in d
A questo punto conviene esprimere la funzione valore assoluto come:
⎪⎪⎩
⎪⎪∪≤⇒≥
+→
+=
−x0x0
1xse
1xy
xx2 2212
⎨
⎧
<<⇒<+−
→+−
−=
≥−−
⇒+
=
21x00
1xxx2se
1xxx2y
21xx2xx2
1xy
2
2
2
2
2
2
22
ℜ∈∀⇒>+→
≥∪≤→≥−≥⇒−→
x01xD21x0x0)1x2(xxx2N
2
2
Non confondere questo grafico con il segn de valore assoluto, per definizione, è sempre positiva. funzioni y1 e y2, la cui unione dà luogo alla funzione va
a funzione valore assoluto è sempre positiva.
o lla funzione, in quanto la funzioneQuesto grafico ci dice dove si trovano lelore assoluto.
4. Intersezione con gli assi cartesiani:
5. Segno: L
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==⇒==⇒=−⇒=−⇒
⎪⎩ =
+ 0;21B;0;0A
2x;0x0)1x2(x0xx2
0y1x:X 2⎪
⎧ −= 1xx2y 2
2
1⎨ )0;0(C0y1xxx2y:Y 2
2
1 =⇒=⇒⎪⎨
⎧
+
−=
ℜ∈∃/→=+ x01x 2
0x⎪⎩ =
( ) ⎟⎠⎞
⎩ =
0;0y
⎜⎝⎛==⇒==⇒=+−⇒=+−⇒
⎪
⎪⎨
⎧
+
−−=
21B;0;0A
21x;0x0)1x2(x0xx21x
xx2y:X 22
2
2 )0;0(C0y0
1x2 =⇒=⇒
⎩ =+
−=
x
y:Y 2
⎪
⎪⎨
xx2 2⎧ −
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7. Grafico della funzione:
. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità:
Non ci sono punti di discontinuità e quindi asintoti verticali.
Studio di Funzioni
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