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Meccanica e Tecnica delle Costruzioni MeccanicheEsercitazioni
del corso. Periodo IIProf. Leonardo BERTINIIng. Ciro SANTUS
Esercitazione 01:
Calcolo degli spostamenti mediante il teoremadel Castigliano
Indice
1 Flessione fra tre punti 1
2 Flessione generata da piu` carichi 3
3 Utilizzo del carico ttizio 4
1 Flessione fra tre punti
In Fig.1 e` mostrato lo schema di una trave in essione su tre
punti, carico in mezzeria e supportiverticali alle estremita`.
P
/ 2P / 2P
bh
G
l
/ 2P
[
fM
/ 4Pl
T
Figura 1: Trave in essione su tre punti.
1
-
Considerando il contributo della sola essione e applicando il
teorema del Castigliano, si puo`calcolare lo spostamento del punto
di mezzeria:
M =P
UM =P
l0
M2f2EI
d
=P
2 l/20
12EI
P2P2d =
P
P2
4EI
[ 3
3
]l/20
=148
Pl3
EI
(1)
Considerando il contributo della essione e anche quello del
taglio (per la sezione rettangole ilfattore di taglio e`: =
6/5):
= M +T (2)
T =P
UT =P
l0
T 2
2GAd =
P
l0
65
(P/2)2
2GAd =
310
PlGA
(3)
A questo punto e` interessante valutare quantitativamente il
peso dei due contributi.Considerando una trave snella: l = 1000 mm,
b = 12 mm, h = 20 mm, sollecitata con uncarico P = 100 N (materiale
acciaio, costanti elastiche: E = 205000 MPa, = 0.3, G = 78800MPa1),
si ottiene: M = 1.270 mm e T = 0.002 mm. Il contributo del taglio
e` minore dell1%.Considerando, invece, una trave tozza: l = 80 mm,
b = 12 mm, h = 20 mm (stesso materiale estesso carico) si ottiene:
M = 0.00065 mm e T = 0.00013 mm. In questo caso i due
contributisono dello stesso ordine di grandezza, tuttavia la
freccia totale e` molto piccola.
Da notare che nello svolgimento dellesempio precedente e` stata
determinata lenergia elastica esuccessivamente e` stata eseguita
loperazione di derivazione. Tuttavia si puo` osservare che valeil
teorema:
P
l0
M2f2EI
= l0
MfMfP
EI(4)
Ritrovare la soluzione M relativa al caso precedente, sfruttando
il teorema di derivazione intro-dotto. Notare come lonere di
calcolo sia minore.
1Il modulo tangenziale G e` legato al modulo di Young E e al
modulo di Poisson attraverso la relazione:
G =E
2(1+)
2
-
2 Flessione generata da piu` carichi
In Fig.2 e` mostrato lo schema di un telaio caricato da due
forze, che entrambe produco uncontributo sullo spostamento
orizzontale 1 del punto C.
1P
1l
1G
B
2P
A
C
2l
Figura 2: Telaio sollecitato da due carichi, o forze attive.
Determinare lo spostamento 1, considerando soltanto i termini
essionali.
Soluzione:
1 =1EI
[l1l2
(P1l2 +
12P2l1
)+
13P1l32
](5)
Trovare lo spostamento 1 dello stesso telaio di Fig.2, nel caso
in cui non ci sia la forza P1
Soluzione:Sostituire P1 = 0 nellequazione del risultato
precedente:
1 =12P2l21 l2EI
(6)
3
-
3 Utilizzo del carico ttizio
La possibilita` di introdurre un carico e successivamente
imporre tale carico nullo, al ne di tro-vare una componente di
spostamento in un punto, suggerisce la tecnica del carico
ttizio.
Determinare lo spostamento di rotazione B, per effetto del
carico P1, nello schema di telaio diFig.3
1lB
1P
A
C
BM
2l
Figura 3: Utilizzo del carico ttizio.
Suggerimento:Determinare il momento ettente sui vari tratti,
introducendo un momento ttizio MB (con dire-zione e verso secondo
B), eseguire la derivata rispetto a MB, eseguire lintegrale sulla
strutturaed inne imporre MB = 0. E` anche possibile imporre MB = 0
prima di eseguire lintegrale,ottenendo calcoli piu` veloci.
Soluzione:
B =P1l1l2EI (7)
4
-
Determinare la componente, secondo la direzione indicata, dello
spostamento del punto C, dovee` applicata la forza P1, Fig.4
1l B
1P
A
CD
2l
DG
Figura 4: Componente di spostamento non allineata con il carico
applicato.
Suggerimento:Trovare il vettore spostamento ed inne la
componente secondo la direzione indicata.
Soluzione:
=P1l22EI
(l1 +
13l2
)cos()+
P1l21 l2EI
sin() (8)
5
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Meccanica e Tecnica delle Costruzioni MeccanicheEsercitazioni
del corso. Periodo IIProf. Leonardo BERTINIIng. Ciro SANTUS
Esercitazione 02:
Calcolo degli spostamenti mediante il metododegli integrali di
Mohr
Indice
1 Flessione fra tre punti 1
2 Flessione generata da piu` carichi 2
3 Determinazione dello spostamento di generico punto 3
4 Equazione della linea elastica mediante lintegrale di Mohr
4
5 Risoluzione dellequazione differenziale della linea elastica
5
1 Flessione fra tre punti
In Fig.1(a) e` mostrato lo schema di una trave in essione su tre
punti, carico in mezzeria esupporti verticali alle estremita`. Al
ne di determinare lo spostamento verticale in mezzeria,utilizzando
il teorema dei lavori virtuali si applica un carico unitario
(esploratore) avente pun-to di applicazione, direzione e verso,
coincidenti con lo spostamento che si intende valutare,Fig.1(b).E`
importante sottolineare che il carico esploratore unitario ha punto
di applicazione direzione everso secondo lo spostamento che si
intende determinare, indipendentemente dal carico applica-to. Nel
caso considerato il carico esploratore ha direzione e verso del
carico reale che sollecitala struttura, ma questo e` dovuto solo al
fatto che si cerca lo spostamento esattamente in
quelpunto.Considerando il contributo della sola essione, si
determina lo spostamento del punto di mez-zeria, combinando
spostamento e deformazioni dello schema di carico generato da P,
concaratteristiche e sollecitazioni del carico unitario, ottenendo
la seguente forma (integrale diMohr):
1 (= L.V.E.) = l0
M(P)EI
M(1)d (= L.V.I.) (1)
1
-
P/ 2P / 2P
bh
G
l
/ 2P
[
fM
/ 4Pl
T
1l[
fM
/ 4l
T
12
121 N
2
(a) (b)
Figura 1: (a) Trave in essione su tre punti. (b) Carico
esploratore unitario.
Essendo il carico unitario, il primo termine e` esattamente lo
spostamento cercato. Conoscendole caratteristiche della
sollecitazione e` quindi possibile risolvere lintegrale:
= 2 l/20
P/2EI
2d =
P2EI
[ 3
3
]l/20
=148
Pl3
EI(2)
Considerando il contributo della essione e anche quello del
taglio (per la sezione rettangolareil fattore di taglio e`: =
6/5):
= M +T (3)
T = l0T (P)GA
T (1) = 2 l/20
65P/2GA
12d =
310
PlGA
(4)
Notare che si ritrovano gli stessi risultati ottenuti
nellesercitazione precedente, utilizzando ilteorema di Castigliano.
Infatti, il teorema dei lavori virtuali e quello di castigliano,
anche sehanno una formulazione diversa, si implicano a vicenda.
Piu` precisamente si puo` notare chela distribuzione di momento
ettente (ed eventuali altre caratteristiche della sollecitazione
chehanno un peso signicativo nel calcolo dello spostamento)
ottenuta applicando lo spostamentoesploratore unitario (Mohr)
coincide con la derivata del momento rispetto alla forza che
agiscesul punto e secondo la direzione dello spostamento cercato
(Castigliano). Secondo la notazionedellesercizio mostrato: M(1) =
M/P. Quindi gli argomenti di integrazione di Castigliano edi Mohr
coincidono, come era lecito attendersi dal momento che il risultato
nale deve esserelo stesso.
2 Flessione generata da piu` carichi
In Fig.2 e` mostrato lo schema di un telaio caricato da due
forze, che entrambe producono uncontributo sullo spostamento
orizzontale 1 del punto C.Determinare lo spostamento 1,
considerando soltanto i termini essionali, utilizzando il
metododellintegrale di Mohr.
2
-
1P
1l
1G
B
2P
A
C
2l
Figura 2: Telaio sollecitato da due carichi, o forze attive.
Soluzione:
1 =1EI
[l1l2
(P1l2 +
12P2l1
)+
13P1l32
](5)
3 Determinazione dello spostamento di generico punto
Il metodo degli integrali di Mohr fa sempre riferimento a due
sistemi di carico: quello effet-tivamente agente sulla struttura e
quello esploratore unitario, che ha la funzione di porre inevidenza
lo spostamento cercato. A differenza del metodo del Castigliano,
non ce` nessuna dif-ferenza formale nellutilizzo di tale metodo per
determinare lo spostamento in un punto secondola direzione di una
forza effettivamente presente, piuttosto che lo spostamento in un
qualsiasipunto della struttura non caricato.
Determinare lo spostamento di rotazione B, per effetto del
carico P1, nello schema di telaio diFig.3.
1lB
1P
A
C
BM
2l
Figura 3: Utilizzo del carico ttizio.
Suggerimento:Introdurre un momento esploratore unitario in
corrispondenza di B, con direzione e verso se-condo B.
3
-
Soluzione:
B =P1l1l2EI (6)
4 Equazione della linea elastica mediante lintegrale di Mohr
Mediante lintegrale di Mohr (ma anche attraverso il metodo del
Castigliano) si puo` determinarele componenti di spostamento in
tutti i punti di una struttura, secondo una direzione,
ottenendoquindi lequazione della linea elastica.
Determinare la linea elastica della trave incastrata (con carico
non allestremita`, Fig.4), mediantelintegrale di Mohr.
1l B
PA
lz
z B1
A[
( )u z
Figura 4: Trave incastrata con carico non di estremita`,
condizione di carico esploratore unitarionella generica posizione
z.
Suggerimento:Introdurre un carico esploratore unitario in una
generica posizione z. Tenere presente che lavariabile z non deve
essere confusa con la variabile di integrazione .
Soluzione:Per z l1:
u(z) =Pz2
2EI
(l1 z3
)(7)
Per z > l1:
u(z) =Pl212EI
(z l1
3
)(8)
4
-
5 Risoluzione dellequazione differenziale della linea
elastica
Una trave sollecitata a essione nel piano (trascurando leffetto
del taglio) si deforma secondolequazione differenziale ordinaria
lineare del secondo ordine:
d2u(z)dz2
=MEI
(9)
Conoscendo le caratteristiche della sollecitazione e` quindi
possibile risolvere lequazione diffe-renziale della linea elastica,
ed imporre le condizioni al contorno:
in corrispondenza di un vincolo di spostamento nullo, in un
punto z, la condizione daimporre e`: u(z) = 0;
un vincolo di incastro, inoltre elimina anche la rotazione, per
cui le condizioni da imporresono: u(z) = 0, du(z)/dz = 0;
in un punto in cui il momento ettente e` nullo (ad esempio una
cerniera o un appoggio diestremita`) la condizione da imporre e`:
d2u(z)/dz2 = 0;
Risolvere lequazione differenziale appena mostrata, nel caso di
trave incastrata e sollecitata daun carico P non di estremita`,
Fig.4.
Suggerimento:Risolvere prima il tratto di sinistra,
successivamente utilizzare spostamento e derivata prima
perrisolvere il tratto di destra.
Soluzione:Per z l1:
u(z) =Pz2
2EI
(l1 z3
)(10)
Per z > l1:
u(z) =Pl212EI
(z l1
3
)(11)
5
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Meccanica e Tecnica delle Costruzioni MeccanicheEsercitazioni
del corso. Periodo IIProf. Leonardo BERTINIIng. Ciro SANTUS
Esercitazione 03:
Calcolo della linea elastica e carico critico distrutture a
trave
Indice
1 Trave incastrata in essione a sezione variabile 1
2 Trave appoggiata su due punti, caricata a sbalzo 2
3 Instabilita` dellequilibrio di strutture a trave caricate di
punta 33.1 Sistemi ad elasticita` concentrata . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 33.2 Trave ad elasticita` distribuita .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Trave incastrata in essione a sezione variabile
In Fig.1 e` mostrato lo schema di una trave incastrata,
sollecitata da un carico ettente di estre-mita`, la cui sezione b
e` variabile lungo lasse della trave, ed e` pari a b0 in
corrispondenzadellincastro.
F
( )u z
z
0b
h
Figura 1: Trave incastrata, sollecitata da un carico ettente di
estremita`, con sezione variabile.
Determinare labbassamento dellasse della trave u in funzione
della coordinata curvilinea z,considerando soltanto i termini
essionali. Confrontare la soluzione ottenuta con quella relativaal
caso notevole di trave incastrata e caricata allestremita`, con
sezione uniforme.
1
-
Soluzione:
u(z) =6Fl
Eb0h3z2 (1)
2 Trave appoggiata su due punti, caricata a sbalzo
In Fig.2 e` mostrato lo schema di una trave appoggiata su due
punti e sollecitata da un caricoettente posto a sbalzo.
F ( )u z
z
BA
C
a b
'z
Figura 2: Trave su due appoggi con carico a sbalzo.
Determinare labbassamento dellasse della trave u in funzione
della coordinata curvilinea z,considerando soltanto i termini
essionali.
Suggerimento: Trovare lintegrale generale nei due tratti AB e
BC, imporre spostamento nulloin corrispondenza degli appoggi B e C
ed inne imporre la condizione di continuita` e di tangen-za in
corrispondenza del punto B. Utilizzare la coordinata z nel primo
tratto, mentre risulta piu`comodo introdurre unaltra coordinata z
per il secondo tratto.
Soluzione:
Tratto AB:
u(z) =Fz3
6EI Fa
EI
(a2
+b3
)z+
Fa2
3EI(a+b) (2)
Tratto BC:
u(z) =Fz3
6EIab
+Faz2
2EI Fab
3EIz (3)
2
-
3 Instabilita` dellequilibrio di strutture a trave caricate di
punta
3.1 Sistemi ad elasticita` concentrata
In Fig.3 e` mostrato lo schema di una trave dotata di una
sconnessione in mezzeria, sostenutada un elemento ad elasticita`
concentrata (molla essionale) e caricata da una forza P
secondolasse della trave.
PM
B
A
Cl kM
lM
C 2k
PlM v
P
Figura 3: Trave caricata di punta con sconnessione in mezzeria
ed elasticita` concentrata.
La condizione indeformata e` di equilibrio, ma, tale equilibrio
perde di stabilita` ad un certo va-lore del carico, detto carico
critico PC.Al ne di valutare lentita` del carico critico e`
necessario considerare la struttura in una congu-razione diversa da
quella indeformata. Tuttavia, e` di interesse soltanto il carico
critico e non ilcomportamento successivo alla perdita di
stabilita`. Per cui e` possibile sfruttare tutte le sempli-cazioni
relative alla linearizzazione e scrivere la condizione di
equilibrio nella congurazionedeformata:
Pv k 2vl = 0 (4)
Al ne di avere tale condizione soddisfatta, con spostamento v
non nullo, e` necessario che:
P2kl
= 0 (5)
per cui il carico critico e` pari a:
PC = 2kl
(6)
Avendo sfruttato la linearizzazione non e` possibile avere
nessuna informazione circa il compor-tamento dopo aver raggiunto il
carico critico. Spesso non e` di interesse tale informazione,
inquanto e` bene che la struttura rimanga lontana dalla condizione
di perdita di stabilita`.
3
-
Determinare il carico critico relativo alla struttura di
Fig.4.
P
B
A
C1l
kM
2l
Figura 4: Trave caricata di punta con sconnessione non in
mezzeria ed elasticita` concentrata.
Soluzione:
PC =kl
,1l
=1l1
+1l2
(7)
Determinare il carico critico relativo alla struttura di
Fig.5.
PB
A kMl
Figura 5: Trave caricata di punta, incernierata alla base con
elasticita` concentrata.
Soluzione:
PC =kl
(8)
4
-
Osservazione:Notare che il carico critico della struttura di
Fig.5 e` lo stesso di quella della struttura di Fig.4,nel caso in
cui: l2 l1.
Determinare il carico critico relativo alla struttura di Fig.6,
in cui compaiono due sconnessionielastiche.
P
a
kMkM
a
a
Figura 6: Trave caricata di punta, dotata di due sconnessioni ad
elasticita` concentrata.
Suggerimento:Notare che la generica congurazione deformata e`
funzione di due parametri, ad esempio glispostamenti orizzontali
dei due punti intermedi. La condizione di equilibrio diventa quindi
unsistema. Lequilibrio perde la stabilita` in corrispondenza del
carico per il quale il sistema am-mette innite soluzioni, ossia
determinante della matrice del sistema nullo.
Soluzione:
PC =ka
(9)
5
-
3.2 Trave ad elasticita` distribuita
Le strutture mostrate in precedenza hanno interesse didattico,
tuttavia, le travi sono caratteriz-zate da elasticita` distribuita,
piuttosto che concentrata.Il caso piu` semplice di calcolo di
carico critico con struttura a trave (elasticita` distribuita) e`
for-nito dalla trave caricata di punta con estremita` vincolata
lateralmente (trave di Eulero), Fig.7.
PB
A
l
( )v [
[
2
2
d 0d
vEI P v[
Figura 7: Trave caricata di punta ed incernierata alla base.
Ce` una profonda differenza fra il calcolo della linea elastica
per strutture che non si discostanomolto dalla loro congurazione di
riferimento ed invece problemi di instabilita`, dove la
minimaperturbazione dalla congurazione di riferimento e` la causa
stessa della perdita di stabilita`. Ilmomento ettente Pv e` appunto
generato dalla deformazione stessa della struttura.Imponendo
lequazione della linea elastica, nella congurazione deformata
rispetto allequili-brio:
EId2vd 2
+Pv = 0 (10)
ponendo:
=
PEI
(11)
ed utilizzando lapice per intendere la derivata rispetto
allascissa curvilinea , si puo` riscriverelequazione della linea
elastica secondo la forma:
v+ 2v = 0 (12)
che ammette come integrale generale:
v( ) = Asin( )+Bcos( ) (13)
Imponendo la condizione al contorno:
v( = 0) = 0 (14)
segue che: B = 0.Inne, imponendo laltra condizione di
spostamento nullo allestremita`, si ottiene:
Asin( l) = 0 (15)
Anche in questo caso si ripresenta la soluzione indeformata: A =
0, ma anche la possibilita` diavere una soluzione deformata che
soddis le condizioni al contorno:
sin( l) = 0 (16)
6
-
che e` risolta da:
l = n (17)
E` opportuno determinare soltanto la prima delle soluzioni (n =
1), dato che se la struttura perdela stabilita` ad un certo carico
non ha interesse il comportamento a carichi piu` alti. Quindi
indenitiva il carico critico e` dato dalla condizione precedente
sostituendo n = 1 (carico di criticodi Eulero):
PC =2EIl2
(18)
Il risultato appena trovato e` corretto, tuttavia, limposizione
dellequazione differenziale dellalinea elastica, Eq.10, e` valida
solo nei casi particolari in cui e` possibile scrivere il
momentoettente in funzione dello spostamento incognito. Nel caso di
Fig.8, invece, il carico P generaun momento ettente variabile lungo
la trave che e` funzione dello spostamento v( ) ma anchedello
spostamento dellestremita` v(l).
PB
A
l
( )v [
[
2
2
d [ ( ) ( )] 0d
vEI P v l v [[
Figura 8: Trave caricata di punta, incastro alla base ed
estremita` libera.
Lequazione della linea elastica e`:
EId2vd 2
+Pv = Pv(l) (19)
che e` a differenza della precedente presenta un termine noto.
Questa equazione differenzialepuo` essere riscritta introducendo ,
con lo stesso signicato del caso precedente:
v+ 2v = 2v(l) (20)
ed ammette la soluzione:
v( ) = Asin( )+Bcos( )+ c1 (21)
7
-
Determinare il carico critico, di perdita di stabilita` a carico
di punta, per il caso di Fig.8.
Suggerimento:Utilizzare la soluzione dellequazione differenziale
Eq.21, ed imporre le condizioni al contorno.
Soluzione:
PC =2EI4l2
(22)
Osservazione:Si puo` ritrovare la stessa soluzione per
similitudine geometrica dal caso di Eulero, precedente-mente
risolto.
8
-
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Esercitazione 04:
Collegamenti bullonati
Indice
1 Flangia bullonata sottoposta a sollecitazione generica 11.1
Calcolo delle azioni sui bulloni . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 11.2 Verica statica bullone, criterio di locale
aderenza fra le piastre . . . . . . . . . 2
2 Collegamento bullonato fra due travi 4
3 Collegamento con distribuzione dei bulloni non a doppia
simmetria 5
1 Flangia bullonata sottoposta a sollecitazione generica
1.1 Calcolo delle azioni sui bulloni
In Fig.1 si mostra una angia bullonata che collega due piastre,
di cui una e` vincolata al suolo,mentre laltra e` saldata ad un
telaio sollecitato da carichi esterni.
P
N.8 bulloni
1L2L2
h
1h
Figura 1: Flangia bullonata.
Al ne di determinare le sollecitazioni che agiscono sui singoli
bulloni, il piano della angiapuo` essere visto come la sezione di
una trave, in cui larea e` sostituita da elementi puntiformi
incorrispondenza delle posizioni dei bulloni. Nelle zone di
competenza dei bulloni agiscono deicarichi tali da garantire
lequilibrio. Facendo alcune ipotesi sulla distribuzione di tali
carichi eimponendo lequilibrio e` possibile stimarli. In Fig.2 si
mostrano le distribuzioni di carichi suibulloni, per effetto delle
sollecitazioni di: azione normale, taglio, momento ettente e
momento
1
-
torcente.
iNNn
N
iTTn
T
t
02
0
i i
jj
MT dI
I d
tM
id
fMiy
f
2
i ix
x jj
MN yI
I y
Figura 2: Distribuzioni dei carichi sui bulloni, per effetto
delle varie sollecitazioni.
Nel caso di azione normale o taglio, semplicemente il carico si
ripartisce equamente sui varibulloni. Nel caso di essione o
torsione si assume lipotesi di piastra molto piu` rigida deibulloni
e quindi le forze sono proporzionali alla distanza dallasse neutro,
per la essione, e dalbaricentro, per la torsione.
Determinare le sollecitazioni che agiscono sui singoli bulloni
relativi alla condizione di caricodi Fig.1.I dati del problema
sono:
P = 10 kNL1 = 3 mL2 = 2 mh1 = 200 mmh2 = 150 mm
(1)
Individuare il bullone che subisce lazione tangenziale maggiore
(in modulo) e quello che su-bisce lazione di forza normale maggiore
(con segno, ossia quello che subisce unazione ditrazione
maggiore).
Soluzione:Uno dei bulloni della angia subisce la massima azione
tangenziale di Tmax = 14.4 kN, e anchela massima azione di trazione
di Nmax = 33.3 kN.
1.2 Verica statica bullone, criterio di locale aderenza fra le
piastre
I bulloni vengono preserrati con un carico relativamente
elevato, altrimenti la loro condizione diesercizio non e` corretta.
Il preserraggio dei bulloni genera una condizione di compressione
fra
2
-
le piastre. Prima dellapplicazione di carichi esterni la forza
di preserraggio sui bulloni e` ugualeallazione di compressione fra
le piastre. Successivamente, la presenza di azione di
trazionegenera una riduzione della forza locale di compressione fra
le piastre, Fig.3.
iF
T
i F NT
N
i s
Aderenza:( ) !F N f T
Figura 3: Azioni che agiscono nella zona intorno al bullone.
N e` lazione di trazione, le piastre sono quindi in compressione
di una forza pari a: FiN, incui Fi e` la forza di preserraggio
iniziale. T e` lazione tangenziale da garantire, la condizione
diaderenza che deve essere soddisfatta e`:
(FiN) fs > T
in cui fs e` il coefciente di attrito di primo distacco o di
aderenza.Il precarico da imporre al bullone Fi e` pari a:
Fi = 0.9SpAt
in cui: Sp e` la massima tensione di precarico che e` molto
alta, pari al 90% del carico di sner-vamento, e At e` larea della
sezione resistente. Il diametro con il quale si valuta la
sezioneresistente e` circa diametro esterno della lettatura (cresta
dei letto) meno il passo della llet-tatura, per tenere di conto che
il diametro della vite non e` pieno. Tipicamente non si sfrutta
almassimo la tensione di precarico, da cui il coefciente 0.9 nella
formula di Fi.
Vericare la condizione di aderenza fra le due piastre del
bullone relativo allesercitazione pre-cedente su cui agisce azione
tangenziale e forza di trazione massime (ipotizzando che sia
statoapplicato il serraggio opportuno).Assumere:fs = 0.2,Classe del
bullone buona: SAE 8.8, Sp = 600 MPa (pari a circa 0.9SY),Diametro
esterno della vite, d = 22 mm, passo p = 2.5 mm.
Soluzione:La condizione di aderenza fra le piastre risulta
vericata.
3
-
2 Collegamento bullonato fra due travi
In Fig.4 si mostra un collegamento bullonato, al ne di
realizzare un incastro fra due travi.
yP
N.6 bulloni L
h
b
x
y
z
zP
Figura 4: Collegamento bullonato fra due travi.
La forza ha una direzione generica per cui, nella sezione di
bullonatura, si ha: forza normale,taglio, essione e torsione.I dati
del problema sono:
Py = 1000 NPz = 500 NL = 800 mmb = 50 mmh = 50 mmClasse bullone
SAE: 5.8, Sp = 380 MPa
(2)
Determinare il bullone che presenta la situazione piu`
sfavorevole di azione di tangenziale / azio-ne di trazione.
Vericare la condizione di aderenza, considerando stesso materiale
dellesercizioprecedente e diametro vite d = 10 mm, passo p = 1.5
mm.
Suggerimento:Vericare che le azioni tangenziale e normale sui
bulloni generate da forza normale e tagliosono trascurabili,
rispetto a quelle generate da essione torsione.
Soluzione:La condizione di aderenza risulta vericata, anche se
con un margine ridotto. Quindi si sugge-risce di utilizzare unaltra
classe di materiale del bullone, o un diametro d maggiore, al ne
diavere un preserraggio piu` elevato.
4
-
3 Collegamento con distribuzione dei bulloni non a doppia
simme-tria
In Fig.5 si mostra una angia bullonata che realizza lincastro di
una trave a essione. In questocaso lo schema dei bulloni non
ammette due simmetrie.
P
N.9 bulloni
2h
1h
b
xy
G L
Figura 5: Flangia bullonata trave a essione, schema dei bulloni
non simmetrico.
La disposizione dei bulloni di Fig.5 e` ottimizzata. La densita`
dei bulloni superiori e` doppiarispetto ai bulloni inferiori.
Essendo i bulloni superiori in trazione si trovano in
condizionipeggiori rispetto a quelli inferiori, per cui una
migliore ripartizione delle azioni di trazione e`vantaggiosa.La
disposizione dei bulloni di Fig.5 ammette tuttavia una simmetria.
Risultano quindi denitele due direzioni principali della sezione:
una e` la direzione di simmetria e` laltra e` la
direzioneortogonale. Si possono quindi facilmente valutare i
momenti secondi baricentrici principali.Inoltre il momento ettente
che agisce e` secondo una delle direzioni principali.
Vericare la condizione di aderenza fra piastre per il bullone
che presenta la peggiore condizioneazione tangenziale / trazione.I
dati del problema sono:
P = 10000 Nb = 100 mmh1 = 50 mmh2 = 100 mmL = 500 mm
(3)
Suggerimento:Determinare il baricentro della distribuzione di
bulloni, e successivamente calcolare il momentosecondo baricentrico
principale.
5
-
Soluzione:Sollecitazione di taglio (uguale su tutti i bulloni)
pari a: Ti = 1111 N, trazione sulla la superioredi bulloni pari a:
Nmax = 9524 N.Scegliendo un diametro esterno della vite pari a d =
10 mm, p = 1.5 mm, classe di materialeSAE 5.8, Sp = 380 MPa, ed
assumendo un tipico coefciente di attrito di primo distacco fra
duepiastre in acciaio pari a fs = 0.2, la condizione di aderenza
risulta soddisfatta:
(FiN) fs = 1977 N > Ti = 1111 N
6
-
Meccanica e Tecnica delle Costruzioni MeccanicheEsercitazioni
del corso. Periodo IIProf. Leonardo BERTINIIng. Ciro SANTUS
Esercitazione 05:
Collegamenti bullonati e saldature
Indice
1 Collegamenti bullonati con schema complesso 1
2 Collegamenti saldati 4
1 Collegamenti bullonati con schema complesso
In precedenza e` stato affrontato il problema di determinare le
forze che agiscono in corrispon-denza dei bulloni, per ange con
schemi simmetrici, Fig.1(a). In questo caso le direzioni
princi-pali sono ovviamente gli assi di simmetria dello schema dei
bulloni. Anche nel caso di un soloasse di simmetria, tale asse e`
principale (quindi il suo perpendicolare e` a sua volta
principale).
tM
N.12 bulloni
2h
1h
G
b
D
fM
x X{
y Y{
tM
N.8 bulloni
2h
1h
G
b
D
fM
x
X
yY M
Figura 1: (a) Flangia bullonata con schema a doppia simmetria.
(b) Flangia bullonata conschema non simmetrico.
Nel caso di schema non simmetrico, le direzioni principali non
sono immediatamente evidenti,Fig.1(b). Presi due assi baricentrici
generici x,y, gli assi principali X ,Y sono ruotati di un
angolo
1
-
, in genere, non nullo. Inizialmente si possono calcolare i
momenti secondi rispetto agli assix,y:
Ix =iy2i
Iy =ix2i
Ixy =ixiyi
in cui xi,yi sono le coordinate delle posizioni dei bulloni (ad
esempio, nello schema di Fig.1(b):i = 1 . . .8).Successivamente si
determina langolo di rotazione invertendo la relazione:
tan(2) =Ixy
Ix Iye si possono trovare i momenti secondi principali:
IX =Ix + Iy
2+
(Ix Iy
2
)2+ Ixy
IY =Ix + Iy
2(
Ix Iy2
)2+ Ixy
Ovviamente, qualora fosse Ixy = 0, le direzioni x,y sarebbero
gia` le principali, per denizione.Tale situazione puo` accadere
anche se lo schema non e` simmetrico, dato che x,y sono
semplice-mente direzioni qualsiasi.Le direzioni principali e i
momenti secondi principali sono necessari per la determinazione
delleazioni normali generate da una sollecitazione di essione (Mf
in Fig.1). Nel caso in cui il vettoreMf sia allineato con una delle
direzioni principali, si ha essione retta. Invece, nel caso in
cuinon sia allineato con nessuna direzione principale si ha essione
deviata. In questultimo casoe` necessario scomporre Mf nelle
componenti secondo X e Y , eseguire i due calcoli di essionerette
ed applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.
Determinare le azioni che agiscono sui bulloni (sia tangenziali
che normali), per effetto dei mo-menti Mf e Mt, dello schema di
Fig.1(a). In particolare determinare la massima azione normalee la
massima azione tangenziale.I dati del problema sono:
Mt = 1200 NmMf = 3500 Nm = 20h1 = 75 mmh2 = 20 mmb = 50 mm
(1)
2
-
Soluzione:Un bullone dello schema di Fig.1(a) subisce sia la
massima azione normale Nmax sia la massimaazione tangenziale
Tmax:
Nmax = 6501 N
Tmax = 1179 N
Dimensionare il bullone piu` sollecitato, scegliendo fra le
dimensioni (diametro esterno e passo)riportate in Tab.1, classe SAE
5.8, Sp = 380 MPa, e coefciente di attrito statico fs = 0.2.
[ mm ] p [ mm ] [ mm ] p [ mm ]5 0.8 12 1.756 1.0 14 2.07 1.0 16
2.08 1.25 18 2.510 1.5 20 2.5
Tabella 1: Diametro esterno e passo di alcuni bulloni
unicati.
Soluzione:La combinazione = 10 mm, p = 1.5 mm, garantisce la
condizione di aderenza, con un mar-gine di sicurezza superiore a 2:
(FiNmax) fs = 2581 N Tmax = 1179 N.
Si supponga che le due coppie di bulloni laterali vengano
eliminate, ottenendo la congurazionedi Fig.1(b).Determinare azione
normale massima e tangenziale massima, e vericare se il
dimensionamen-to fatto in precedenza garantisce anche in questa
congurazione laderenza fra le piastre.
Suggerimento:Notare che la posizione del baricentro non cambia,
individuare le nuove direzioni principali,inne, scomporre la
sollecitazione di essione nelle due componenti di essione retta e
applicareil principio di sovrapposizione degli effetti. Notare
inoltre che la direzione di Mf e` circa la stessadel nuovo asse
principale. Sfruttare tale semplicazione.
Soluzione:Le azioni che agiscono sul bullone piu` sollecitato
sono:
Nmax = 5772 N
Tmax = 1851 N
3
-
Utilizzando le stesse dimensioni del bullone trovate per il caso
precedente, la verica di aderen-za viene soddisfatta anche se con
margine ridotto.
Osservazione:Nonostante siano stati eliminati due bulloni il
margine di sicurezza e` lo stesso vericato. Talesituazione puo`
sembrare paradossale. Da notare che i bulloni eliminati hanno
allineato lassedi sollecitazione (ossia lasse perpendicolare
allasse neutro) con la diagonale contente gli altribulloni rimasti.
Invece, eliminare i bulloni dellaltra diagonale avrebbe prodotto un
effetto moltonegativo.
2 Collegamenti saldati
Analogamente ai collegamenti bullonati una soluzione dello stato
di tensione, nella sezione disaldatura, si puo` ottenere assumendo
il cordone molto piu` cedevole rispetto ai due elementi sal-dati
fra loro, ed imponendo lequilibrio, Fig.2.
NA
V
N
TA
W
T
t
0
20 d
A
M dI
I d A
W
d
f
2dx
xA
M yI
I y A
V
tMfM
y
Figura 2: Stato di tensione nella sezione di saldatura, generato
dalle varie caratteristiche disollecitazione.
Anche per il calcolo delle tensioni nella sezione di saldatura
si presentano le eventuali difcolta`di essione deviata e sezione
non simmetrica.Larea A e` quella del cordone proiettata sul piano
della saldatura, e I0, Ix (Iy) sono i momenti se-condi di area
rispettivamente polare ed assiale. Nel caso di giunto saldato a
cordone dangolo, siindividua come sezione resistente il
ribaltamento dello spessore di gola sul piano della sezionedella
saldatura, Fig3.Analogamente ai collegamenti bullonati, le
differenti componenti della tensione nel cordonehanno ruoli
diversi. Per il caso di cordone dangolo, considerando la direzione
del cordone,si individuano le componenti di tensione: (tensione
normale perpendicolare), (tensionetangenziale perpendicolare), ||
(tensione tangenziale parallela).E` importante sottolineare che la
componente non esiste secondo la teoria dello stato di
solle-citazione della trave, dato che implica uno stato di tensione
su un bordo libero. Nella trattazionedella sollecitazione della
saldatura a cordone dangolo invece tale tensione e` ammessa in
quantoe` una media di uno stato di tensione fortemente variabile.
Nel caso di cordone a piena penetra-zione fra due lembi, lo stato
di sollecitazione e` lo stesso di quello nella sezione di una
trave, ed
4
-
VA
saa
WA
||W
Si puassumere:
22
a s
Figura 3: Giunto a cordone dangolo, componenti di tensione.
infatti la componente non e` presente.La procedura di calcolo
descritta nella norma italiana CNR 1001197, permette di valutare
laresistenza del giunto saldato a cordone dangolo sulla base dei
valori di ,,||, della qualita`della saldatura e della tensione
ammissibile del materiale.
In Fig.4 e` mostrata una mensola sollecitata da unazione normale
posta allestremita`.
L
F
d
s
Figura 4: Mensola saldata sollecitata da una forza normale
allestremita`.
La sezione di saldatura e` ricavata allinterno di un foro, ed e`
sollecitata a trazione e a essione.Notare che in corrispondenza
della sezione di saldatura e` presente solo la componente .
Determinare lo stato di sollecitazione nel cordone della
saldatura, in particolare determinare lamassima tensione normale
.
5
-
I dati del problema sono:
F = 270 NL = 1300 mmd = 50 mms = 2 mm
(2)
Soluzione:Nella sezione della saldatura la massima tensione
normale e`:
(max) = 139 MPa
In Fig.5 e` mostrata una mensola sollecitata da unazione
tangenziale posta allestremita`.
L
Fh
b
s
Figura 5: Mensola saldata sollecitata da una forza tangenziale
allestremita`.
La sezione di saldatura e` su due cordoni ed e` sollecitata a
torsione e a taglio. Nel cordone agi-scono soltanto tensioni
tangenziali normale e parallela ,||.
Determinare lo stato di sollecitazione nella sezione della
saldatura di Fig.5, in particolare indi-viduare il punto in cui
2+
2|| e` maggiore, e i valori di ,|| in tale punto.
I dati del problema sono:
F = 1.8 kNL = 1300 mmb = 120 mmh = 200 mms = 2 mm
(3)
Soluzione:Nel punto piu` sollecitato della saldatura le
componenti di tensione tangenziale sono:
= 146 MPa
|| = 20 MPa
6
-
Inne, si puo` eseguire la verica statica del punto piu`
sollecitato del collegamento. Secondo lanormativa CNR e` necessario
vericare che:
2+ 2+
2|| 0.70adm
nel caso si utilizzi Fe 510, per il quale adm = 240
MPa.Considerando lo stato di sollecitazione dellesempio
precedente:
2+ 2+
2|| = 147 MPa < 0.70adm = 168 MPa
la verica risulta quindi soddisfatta.
7
-
Meccanica e Tecnica delle Costruzioni MeccanicheEsercitazioni
del corso. Periodo IIProf. Leonardo BERTINIIng. Ciro SANTUS
Esercitazione 06:
Verica di strutture sollecitate a fatica
Indice
1 Verica della resistenza a fatica 11.1 Resistenza statica . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2
Resistenza a fatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 21.3 Effetto della tensione media . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Sensibilita` allintaglio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Struttura sollecitata da carico ripetuto 5
1 Verica della resistenza a fatica
1.1 Resistenza statica
La resistenza statica di un materiale e` determinata attraverso
la semplice prova di trazione. Laprova viene eseguita sollecitando
un provino, in genere cilindrico, mediante un carico crescentenel
tempo molto lentamente. Durante la prova vengono misurati carico
applicato al provino edeformazione e riportati su un graco, Fig.1.
La perdita di linearita` della curva rappresentail limite di
snervamento SY mentre SU e` la tensione di rottura del
materiale.
PA
V P
Area AYSUS
ll
H '
LunghezzaAllungamento
ll'
E VH
Figura 1: Curva di resistenza statica del materiale.
1
-
Landamento mostrato in Fig.1 e` tipico di materiali metallici
che riescono a deformarsi molto,dopo aver superato lo snervamento,
prima di arrivare a rottura.
1.2 Resistenza a fatica
Un componente sollecitato in modo ciclico puo` tuttavia
rompersi, dopo un numero elevato diripetizioni del carico, anche se
lentita` della sollecitazione e` inferiore a SY. Questa modalita`
dirottura viene detta a fatica.Solitamente si ssa un numero di
cicli molto elevato (ad esempio 106 o 107) e si individua illimite
di fatica, ossia il valore di variazione di tensione Se per il
quale il materiale resiste allasollecitazione di fatica, Fig.2.
(log)V'
eS'
f (log)N610
ProveLinea media
maxV
minVtempo
max min
max minm 02
V V VV VV
'
V
Figura 2: Curva di fatica e limite di fatica.
Una stima del limite di fatica, valido per gli acciai, e`:
Se SU (1)In realta` si corregge il valore fornito da tale
relazione con fattori cautelativi (inferiori allunita`)per tenere
di conto di eventuali effetti che riducono la resistenza a fatica,
ad esempio lo statodella supercie.
1.3 Effetto della tensione media
Nella Fig.2 e` stato mostrato un carico ciclico di fatica a
tensione media m nulla. La presenzadi tensione media positiva tende
a ridurre la resistenza a fatica del componente. Un modello
cheriproduce questo effetto e` lequazione di Soderberg.Si corregge
la variazione di tensione individuando una variazione di tensione
maggiorata, che tenga di conto della presenza della tensione media
positiva:
=
1 mSY
(2)
potra` quindi essere confrontato con il limite di fatica Se a
tensione media nulla. Se < Se allora il componente garantisce
una resistenza di 106 cicli altrimenti e` probabile chesi
rompa.Inne, si denisce Coefciente di Sicurezza CS il rapporto fra
il limite di fatica e la variazionedi tensione corretta:
CS =Se
(3)
Nel caso di verica positiva della resistenza a fatica, CS e`
maggiore dellunita` e quindi fornisceuna misura del margine di
sicurezza che il componente ha rispetto alla rottura a fatica.
2
-
maxV
minVtempo
*
m
Y
1
1V V V' '
S
V
V'
eS'
mV YS
*V'
max min
max minm 02
V V VV VV
' !
Figura 3: Modello di Soderberg per considerare leffetto della
tensione media sulla resistenza afatica.
1.4 Sensibilita` allintaglio
Finora sono state considerate prove di fatica eseguite su
provini cilindrici, tuttavia i componen-ti meccanici sono spesso
caratterizzati da forme complesse, che introducono una locale
con-centrazione di tensioni, ossia un aumento della sollecitazione
connato in una zona, ma chefavorisce linnescarsi della
sollecitazione di fatica.Considerando ad esempio un foro in una
lastra sollecitata da un carico assiale F alternato, Fig.4,e`
possibile denire una tensione nominale n, nellipotesi di
distribuzione uniforme. Per ef-fetto del presenza del foro lo stato
di tensione subisce una locale concentrazione che vienequanticata
dal parametro kt denito come fattore di concentrazione delle
tensioni:
kt =0n
(4)
in cui 0 e` la tensione locale massima.Il fattore di
concentrazione kt dipende unicamente della geometria. In
particolare, per il caso dilastra con foro circolare piccolo
rispetto alla larghezza, b D, vale kt = 3.0.
tempo
b
n
0t
n
( )
3.0
Fh b D
k
V
VV
h
D
F
F
F
nV0V
Figura 4: Lastra con foro centrale sollecitata da un carico
remoto alternato.
In queste condizioni di geometria e carico, si esegue la verica
a fatica semplicemente moltipli-cando la tensione nominale per kt,
e ripetendo la procedura esposta precedentemente valutando
3
-
in denitiva il coefciente di sicurezza CS.
La lastra di Fig.5, con fori vicini alle estremita`, e`
sollecitata a essione ripetuta nel tempo dazero ad un valore
massimo.
tempo1b
t 3.0k |
h
D
fM
fM
fM
1b2b
f (max)M
f (min)M
Figura 5: Lastra con fori vicino alle estremita`, sollecitata da
un momento ettente ripetuto.
I dati del problema sono:
Geometria :D = 10 mmb1 = 30 mmb2 = 100 mmh = 5 mmMateriale :SU =
900 MPaSY = 650 MPaCarico :Mf(max) = 3000 NmMf(min) = 0 Nm
(5)
Determinare il coefciente di sicurezza CS a fatica.
Soluzione:Nel punto piu` sollecitato il coefciente di sicurezza
e` pari a: CS = 1.95. Essendo maggioredellunita` la struttura
garantisce resistenza a fatica.
4
-
2 Struttura sollecitata da carico ripetuto
In Fig.6 si mostra una piccola gru che sostiene un carico P, il
quale oscilla fra due posizioni.Nonostante il carico non cambi, per
effetto della variazione di congurazione, le travi della
grurisultano sollecitate a fatica.
x
1l
tempo
1l 2l
x
3l
P
2l
1d2d
s
4l
Figura 6: Gru sollecitata da un carico di posizione
variabile.
I dati del problema sono:
Geometria :l1 = 1 ml2 = 2 ml3 = 4 ml4 = 1 md1 = 300 mmd2 = 400
mms = 10 mmMateriale :SU = 520 MPaSY = 345 MPaCarico :P = 250
kN
(6)
Vericare se la trave orizzontale, che sostiene il carico P, e`
in sicurezza rispetto alla sollecita-zione di fatica.
Soluzione:Nel punto critico della trave il coefciente di
sicurezza (minimo) e`: CS = 3.3.
5
-
Meccanica e Tecnica delle Costruzioni MeccanicheEsercitazioni
del corso. Periodo IIProf. Leonardo BERTINIIng. Ciro SANTUS
Esercitazione 07:
Progettazione di strutture meccaniche
Indice
1 Progettazione e dimensionamento di strutture meccaniche 11.1
Verica e dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 11.2 Progettazione e dimensionamento . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Utilizzo di valori tabulati di
proprieta` di sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Dimensionamento di un asse sollecitato a fatica 6
1 Progettazione e dimensionamento di strutture meccaniche
La progettazione di strutture meccaniche consiste
nellindividuare una congurazione in gradodi sostenere il carico a
cui la struttura e` sottoposta ed evitare il vericarsi di cedimenti
di ognitipo.Le modalita` di cedimento, analizzato in precedenza,
sono:
rottura statica, raggiungimento del limite di rottura o anche
soltanto del limite di snerva-mento;
instabilita` elastica, la soluzione elastica non e` stabile, la
struttura si deforma notevolmentecausando quindi una rottura;
rottura per fatica, in una zona della struttura (tipicamente in
corrispondenza di concentra-zione di tensioni) la sollecitazione
ciclica, ripetuta per un numero molto elevato di volte(dellordine
di 106), genera una sezione di frattura sul componente.
altre forme di cedimento.
1.1 Verica e dimensionamento
Nelle esercitazioni precedenti le modalita` di cedimento appena
elencate erano gia` state presen-tate. In particolare era stata
svolta la verica. La congurazione geometrica, le dimensioni, e
lecondizioni di carico erano date e quindi era necessario
individuare la sezione critica e vericareche il coefciente di
sicurezza fosse maggiore dellunita`.
1
-
Il dimensionamento consiste, invece, nel trovare le dimensioni
della struttura, data la congu-razione geometrica e i carichi. Un
modo di dimensionamento e` quello di fare delle verichepartendo da
dimensioni di tentativo e iterativamente trovare la condizione di
coefciente disicurezza maggiore dellunita`. La linea guida per il
metodo di dimensionamento iterativo e` che:maggiore e` la
dimensione della sezione e maggiore e` anche la sua capacita` di
sostenere il carico.In alcuni casi e` tuttavia possibile risolvere
il problema del dimensionamento in modo diretto,piuttosto che
iterativamente. In questi casi semplici, infatti, e` possibile
imporre la condizionedi coefciente di sicurezza pari allunita` e
determinare per formula inversa la dimensione dellasezione che
soddis tale condizione. Ovviamente e` poi necessario considerare
una dimensionemaggiore in modo da avere un certo margine di
sicurezza.
In Fig.1 si mostra una travatura reticolare, che sostiene un
carico allestremita`. Dimensionare lasezione delle aste
(ipotizzando di realizzare tutte le aste con lo stesso
diametro).
P1L
?d
1 1m1000 N
LP
U
Y
Materiale:500MPa325MPa
SS
Figura 1: Dimensionamento di una travatura reticolare.
Suggerimento:Notare che le modalita` di rottura sono: il
superamento del limite elastico delle travi, ma anchela perdita di
stabilita` delle travi in compressione.
Soluzione:Diametro minimo, per il quale coefciente di sicurezza
e` pari allunita`:
d = 13.0mm
Applicando una maggiorazione cautelativa:
d = 15.0mm
1.2 Progettazione e dimensionamento
Talvolta i termini dimensionamento e progettazione vengono
considerati come sinonimi.Tuttavia, e` bene puntualizzare che per
dimensionamento si intende la determinazione delle di-mensioni di
una struttura meccanica al ne di sostenere una certo livello di
carico (ad esempiolesercizio precedente), mentre per progettazione
si intende, in modo piu` ampio, pensare unacongurazione della
struttura migliore, ai ni della resistenza, e quindi
successivamente farne ildimensionamento.
2
-
Individuare una congurazione di maggiore resistenza al ne di
sostenere il carico della Fig.1.
Soluzione:Dato che la modalita` di cedimento piu` critica e`
linstabilita` (a carico di punta) si puo` suggeriredi considerare
la congurazione speculare, nella quale i versi delle forze si
invertono (puntonidiventano tiranti e viceversa). I questo modo si
ottiene come diametro minimo:
d = 11.9mm
Applicando una maggiorazione cautelativa:
d = 13.0mm
quindi il diametro richiesto e` (leggermente) minore.
1.3 Utilizzo di valori tabulati di proprieta` di sezione
Molto spesso vengono utilizzate sezioni standardizzate, per le
quali sono disponibili i valori ta-bulati delle proprieta` di
sezione. In questo caso, il dimensionamento mediante formula
inversanon e` fattibile, mentre e` immediato il procedimento di
dimensionamento iterativo.
Si consideri la struttura di Fig.2, in cui una traversa,
caricata da un peso che grava sopra, e` so-stenuto da 3 pilastri
allineati.
/ 3P
P
/ 3P / 3P
h
Figura 2: Traversa sostenuta da 3 pilastri.
In Fig.3 si mostrano i due possibili modi di cedimento, per
instabilita` elastica, che ammette lastruttura.In particolare il
secondo modo, Fig.3(b), ammette un carico critico piu` basso di 4
volte, dato chenel senso laterale la struttura ha una lunghezza di
libera inessione (da punto di esso a puntodi esso) doppia.
Tuttavia, non e` detto che la sezione sia isotropa (stesso momento
dinerzia Inelle due direzioni).
3
-
/ 2h/ 2h
2
C1 20
0
EIPL
L h
S
h
2
C2 20
0 2
EIPL
L h
S
h
(a) (b)
Figura 3: Modi di cedimento della struttura per instabilita`
elastica.
Il progetto della struttura, in questo caso, consiste nel
decidere di utilizzare una sezione con ani-sotropia (momenti
dinerzia diversi, ad esempio Ix > Iy), in modo da compensare la
disparita` dicarico critico in una direzione. Scegliendo di
utilizzare una trave a doppio T, la congurazionepiu` favorevole e`
quella mostrata in Fig.4.
Maggiore rigidezza sezione, per contrastare minore resistenza
strutturale
Figura 4: Disposizione migliore di sezione a doppio T.
A questo punto si puo` procedere con il dimensionamento della
sezione.In Fig.5 vengono riportate le proprieta` di sezione di
prolati IPE, fra cui scegliere quale usare,sfruttando la
congurazione favorevole di Fig.4.
4
-
hmm
bmm
amm
emm
rmm
Pesokg/m
Sezionecm2
Momenti di inerzia Moduli di resistenza Raggi di inerziaJx
cm4 Jy
cm4 Wxcm3
Wycm3
ixcm
iycm
80 46 3,8 5,2 5 6,0 7,64 80,14 8,49 20,03 3,69 3,24 1,05100 55
4,1 5,7 7 8,1 10,32 171,0 15,92 34,20 5,79 4,07 1,24120 64 4,4 6,3
7 10,4 13,21 317,8 27,67 52,96 8,65 4,90 1,45140 73 4.7 6,9 7 12,9
16,43 541,2 44,92 77,32 12,31 5,74 1,65160 82 5,0 7,4 9 15,8 20,09
869,3 68,31 108,7 16,66 6,58 1,84180 91 5,3 8,0 9 18,8 23,95 1.317
100,9 146,3 22,16 7,42 2,05200 100 5,6 8,5 12 22,4 28,48 1.943
142,4 194,3 28,47 8,26 2,24220 110 5,9 9,2 12 26,2 33,37 2.772
204,9 252,0 37,25 9,11 2,48240 120 6,2 9,8 15 30,7 39,12 3.892
283,6 324,3 47,27 9,97 2,69270 135 6,6 10,2 15 36,1 45,95 5.790
419,9 428,9 62,20 11,23 3,02300 150 7,1 10,7 15 42,2 53,81 8.356
603,8 557,1 80,50 12,46 3,35330 160 7,5 11,5 18 49,1 62,61 11.770
788,1 713,1 98,52 13,71 3,55360 170 8,0 12,7 18 57,1 72,73 16.270
1.043 903,6 122,8 14,95 3,79400 180 8,6 13,5 21 66,3 84,46 23.130
1.318 1.156 146,4 16,55 3,95450 190 9,4 14,6 21 77,6 98,82 33.740
1.676 1.500 176,4 18,48 4,12500 200 10,2 16,0 21 90,7 115,5 48.200
2.142 1.928 214,2 20,43 4,31550 210 11,1 17,2 24 106 134,4 67.120
2.668 2.441 254,1 22,35 4,45600 220 12,0 19,0 24 122 156,0 92.080
3.387 3.069 307,9 24,30 4,66
(a) (b)
Figura 5: Prolati IPE.
Scegliere la sezione IPE piu` piccola, in grado di garantire
resistenza ad entrambi i tipi di cedi-mento elastico.
Soluzione:Essendo Jx > 4Jy per tutte le sezioni, sfruttando
la congurazione di Fig.4, il tipo di cedimentopiu` pericoloso e`
quello di Fig.3(a).La sezione piu` piccola in grado di sostenere il
carico e` la IPE 220 (altezza della sezione: 220mm). Con tale
sezione si ha:
PC1 = 41kN >P3
= 33kN
5
-
2 Dimensionamento di un asse sollecitato a fatica
In Fig.6 si mostra un asse, sostenuto da cuscinetti radiali,
alla cui estremita` e` collocata una pu-leggia su cui si avvolge
una cinghia precaricata.
0T 0T
D D
L
?d
Sezionecritica
Figura 6: Puleggia folle. Sollecitazione sullasse e sui
supporti, generato dal precarico dellacinghia.
Essendo i rami delle cinghie sollecitate dal precarico, tale
sollecitazione si scarica sullasse equindi sui cuscinetti (o
supporti). In corrispondenza della sezione critica (momento
massimo,sezione minima) si ha essione rotante, e concentrazione di
tensione kt, dovuta ad una variazio-ne di sezione, anche se
mitigata da un evidente raggio di raccordo.Determinare il diametro
d tale che lasse sia in grado di sostenere la sollecitazione di
essionerotante.
Dati:
SU = 900MPaSY = 800MPakt = 2.0L = 370mmT0 = 1200N = 30
Soluzione:Il diametro che garantisce un coefciente di sicurezza
unitario e` pari a: d = 36.8 mm.Tuttavia, nella fatica e`
particolarmente importante sovradimensionare. Un valore afdabile
didiametro e` pertanto: d = 50 mm, a cui corrisponde un coefciente
di sicurezza pari a 2.5.
6
-
Meccanica e Tecnica delle Costruzioni MeccanicheEsercitazioni
del corso. Periodo IIProf. Leonardo BERTINIIng. Ciro SANTUS
Esercitazione 08:
Introduzione alla cinematica e dinamicadel punto materiale e del
corpo rigido
Indice
1 Dinamica del punto materiale 1
2 Cinematica del corpo rigido 4
1 Dinamica del punto materiale
Il punto materiale e` unastrazione concettuale di un sistema le
cui dimensioni sono piccole ri-spetto alle dimensioni della
traiettoria del moto che realizza. Addirittura la terra puo`
essereconsiderata un punto materiale studiandone il moto intorno al
sole.Il punto materiale e` caratterizzato da dimensioni di ingombro
nulle, per cui la sua posizione(rispetto ad un qualsiasi sistema di
riferimento) e` denita, semplicemente, da una terna di coor-dinate:
x,y,z. Il punto materiale inoltre e` caratterizzato da una massa
m.Le note denizioni della cinematica sono:
Velocita` vx,vy,vz:
vx =dxdt
vy =dydt
vz =dzdt
in cui t e` il tempo.
Accelerazione ax,ay,az:
ax =dvxdt
=d2xdt2
ay =dvydt
=d2ydt2
az =dvzdt
=d2zdt2
La legge fondamentale della dinamica lega le componenti della
risultante delle forze che agisco-no sul punto materiale alle
componenti dellaccelerazione rispetto ad un sistema di
coordinateinerziale:
Fx = max Fy = may Fz = maz
1
-
Per le applicazioni di interesse del presente corso, un sistema
di coordinate inerziale e` il suoloterrestre, e quindi anche un
qualsiasi altro sistema che trasla, in modo uniforme e senza
ruotare,rispetto al suolo.
In Fig.1 si mostra un punto materiale di massa m che si muove
lungo una traiettoria circolare,sul quale agisce lazione F
esercitata da un lo.
v
rF
m
Figura 1: Punto materiale in moto lungo una traiettoria
circolare.
Nel caso in cui il moto circolare sia uniforme, determinare:
1. langolo formato dal cavo con la tangente della
traiettoria;
2. la massima velocita` di rotazione senza causare il cedimento
del cavo (resistenza materialeSU, diametro lo ).
I dati del problema sono:
m = 10 kgr = 1 mSU = 300 MPa = 2 mm
Soluzione:La velocita` periferica a cui il lo si rompe e` pari
a: vr = 9.71 m/s.
2
-
Si consideri nuovamente il punto materiale di Fig.1 che si muove
lungo una traiettoria circolare,e a cui viene imposto un moto vario
di accelerazione tangenziale a costante, mediante lazioneF del
lo.La velocita` moto e` variabile nel tempo:
v = v0 +at [m/s ]
Le componenti di accelerazione, tangenziale e centrifuga, sono
rispettivamente:
at = a
ac =v2
r
Allistante iniziale t0 = 0 s, il corpo si muove di velocita` v0
= 0.5 m/s, e si imprime unaccele-razione tangenziale costante a =
0.1 m/s2.Determinare:
La tensione agente nel cavo al tempo t1 = 5 s. Langolo formato
dal cavo con la tangente alla traiettoria al tempo t1. Il tempo tr
necessario per raggiungere la condizione di rottura del lo.
Soluzione:Al tempo t1 = 5 s la tensione sul cavo e`: 1 = 3.199
MPa, langolo formato con la tangente e`:1 = 84.29. Inne, mantenendo
laccelerazione imposta, il tempo necessario per raggiungerela
rottura del lo e`: tr = 92.1 s.
3
-
2 Cinematica del corpo rigido
Un corpo rigido e` linsieme di piu` punti materiali i quali non
possono modicare la loro po-sizione relativa. Tutti i materiali di
fatto sono invece deformabili, tuttavia il modello di corporigido
e` spesso molto efcace per descrivere fenomeni dinamici dove la
deformazione dei corpie` trascurabile.Il campo di velocita`
istantaneo di un corpo rigido puo` essere espresso nella forma:
vP =vO +rOP (1)Dove: vO e` la velocita` di un qualsiasi punto O
del corpo rigido, vP e` la velocita` di un qualsiasialtro punto P
del corpo rigido, rispetto ad un sistema di riferimento,rOP e` il
vettore dal puntoO al punto P, inne e` il vettore velocita`
angolare, rispetto allo stesso sistema di riferimento,ossia come
varia nel tempo lorientamento del corpo rigido.
In Fig.2 si mostra una ruota che rotola su un piano. Dato che il
moto e` di rotolamento il puntodella ruota a contatto con il suolo
e` fermo. Quindi, assumendo il sistema di riferimento x,ysolidale
al suolo la sua velocita` e` nulla: vO = 0. Inoltre la velocita`
del punto centrale della ruotae` vC con orientamento
orizzontale.
Pr
O 0v
r
O
C Cv
PD
xy
z
Figura 2: Moto di rotolamento di una ruota rispetto ad un
piano.
Determinare la velocita` angolare , conoscendo vC e r, e tenendo
conto che il moto della ruotae` piano. Inoltre determinare la
velocita` vP del punto P.
Soluzione:La velocita` angolare e`:
=(0,0,vC
r
)La velocita` del punto P e`:
vP =(vC + vC
rPr
sin,vC rPr cos,0)
4
-
Derivando, nel tempo, lEq.1 si puo` scrivere il campo di
accelerazione istantaneo di un corporigido:
aP =aO +rOP + (rOP) (2)in cui e` il vettore derivata della
velocita` angolare, ossia laccelerazione angolare:
=ddt
Nel caso in cui il punto O sia fermo e abbia accelerazione
nulla, il termine rOP rappresentalaccelerazione tangenziale e il
termine (rOP) rappresenta laccelerazione centripeta.
Con riferimento alla Fig.2, assumendo che laccelerazione del
punto C sia nulla, determinarelaccelerazione del punto P.
Soluzione:Laccelerazione del punto P e`:
aP =(vC
r
)2rCP
5
-
Nel caso in cui il punto C sia dotato di velocita` vC e di
accelerazione tangenziale aC, determinarelaccelerazione del punto
P.
Soluzione:
aP =
aC0
0
+
aC(rP/r)sinaC(rP/r)cos
0
(vC
r
)2 rP cosrP sin0
Se al punto P e` ssata una massa m, determinare lazione che la
ruota esercita su tale puntomateriale.Dati:
m = 10 gvC = 70 km/haC = 0.15 m/s2
r = 200 mmrP = 150 mm = 30
Soluzione:
FP = 14.177 N
6
-
Meccanica e Tecnica delle Costruzioni MeccanicheEsercitazioni
del corso. Periodo IIProf. Leonardo BERTINIIng. Ciro SANTUS
Esercitazione 09:
Forze dinerzia e oscillatore armonico
Indice
1 Moto relativo 1
2 Utilizzo delle forze dinerzia 22.1 Dinamica del meccanismo
biellamanovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Modello di un oscillatore ad un grado di liberta` 53.1
Oscillatore smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 6
1 Moto relativo
Dati due sistemi di riferimento, un primo sistema i, j, k ed un
secondo sistema i, j, k, la velocita`di un generico punto materiale
puo` essere espressa sia rispetto al primo sistema: va, sia
rispettoallaltro sistema: vr. In generale, le velocita` dello
stesso punto materiale, osservate dai duesistemi sono diverse, e
legate dalla relazione:
va =vt +vr
in cuivt e` la velocita` osservata dal primo sistema di
riferimento del punto appartenente al secon-do sistema in cui
istantaneamente cade il punto materiale. Le velocita`va,vt,vr
vengono indicatecome velocita` assoluta, di trascinamento e
relativa, rispettivamente.Una relazione analoga vale per le
accelerazioni. Sianoaa ear le accelerazioni assoluta e relativadel
punto materiale osservate rispetto a due sistemi di riferimento
diversi, vale la relazione:
aa =at +ac +ar (1)
in cui: laccelerazione di trascinamentoat e` laccelerazione
osservata dal primo sistema di riferi-mento del punto appartenente
al secondo sistema in cui istantaneamente cade il punto
materiale,mentre il termine ac e` laccelerazione di Coriolis (che
non ha un corrispettivo nella relazioneprecedente relativa alle
velocita`) e che e` pari a:
ac = 2vr
1
-
in cui e` la velocita` angolare del secondo sistema di
riferimento osservata dal primo.In alcune situazioni il termine ac
e` nullo, ad esempio se vr = 0, ossia se il punto materiale e`fermo
rispetto al secondo sistema di riferimento, oppure se = 0, ossia se
il secondo sistemarispetto al primo non ruota, pur eventualmente
spostandosi.
2 Utilizzo delle forze dinerzia
La legge fondamentale della dinamica:
F = ma
e` valida qualoraa venga osservata rispetto ad un sistema
inerziale.Supponendo di avere laccelerazione ar rispetto ad un
sistema non inerziale, preso un secondosistema inerziale, le
accelerazioni sono legate dallEq.1 (tale equazione e` di natura
cinematicaper cui vale per qualsiasi coppia di sistemi di
riferimento, anche entrambi non inerziali):
mar = Fmatmac (2)I due termini mat,mac sono deniti come forze
dinerzia di trascinamento e di Coriolis.Le forze dinerzia vengono
talvolta dette apparenti, in quanto sono appunto solo
componentidellaccelerazione e non effettive forze esercitate sul
punto materiale. Laspetto fondamentaleche distingue le forze
dinerzia apparenti da quelle vere e` che per le forze dinerzia non
vale ilprincipio di azione e reazione, dato che non si tratta di
una interazione con un altro corpo.Per quanto lutilizzo delle forze
dinerzia possa sembrare uninutile complicazione, molti pro-blemi di
dinamica possono essere risolti in modo piu` agevole osservando il
moto rispetto ad unsistema non inerziale.
In Fig.1 si mostra lesempio piu` classico di utilizzo del
concetto di forze dinerzia. Un puntomateriale che si muove lungo
una traiettoria circolare, di moto rettilineo uniforme e il cui
motoviene osservato da un sistema di riferimento non inerziale, che
ruota intorno al centro della tra-iettoria con la stessa velocita`
angolare del punto materiale.
v
ri
mj 'i 'jFG
tmaG
Figura 1: Punto materiale in moto lungo una traiettoria
circolare. Utilizzo di un secondo sistemadi riferimento non
inerziale.
Sapendo che i, j costituisce un sistema inerziale, considerando
invece il sistema non inerzialei, j, individuare i termini
dellEq.2.
2
-
Osservazione:Il termine forza centrifuga rappresenta appunto la
forza dinerziamat e quindi non e` una forzavera ma una forza
apparente.
In Fig.2 si mostra un cilindro con elementi longitudinali sulla
supercie laterale, posto in rota-zione con velocita` angolare .
ZG
,m lr
Figura 2: Cilindro con elementi longitudinali in rotazione.
Ogni singolo elemento laterale, di massa m e di lunghezza l, e`
obbligato ad eseguire una traiet-toria circolare di raggio r per
cui e` sottoposto ad unaccelerazione.Determinare le caratteristiche
della sollecitazione del generico elemento laterale
(considerando-lo come trave), e sfruttando il concetto di forza
centrifuga.Determinare, inoltre, la massima tensione di essione nel
caso in cui lelemento laterale abbiasezione bh.I dati del problema
sono:
l = 350 mmb = 15 mmh = 25 mmr = 200 mm = 7.86 kg/dm3n = 3000
giri/min
in cui: e` la densita` (in questo esempio si considera la
densita` dellacciaio) e n e` il numero digiri al minuto.
Soluzione:La massima tensione di essione e`: (max) = 570
MPa.
3
-
2.1 Dinamica del meccanismo biellamanovella
In Fig.3 si mostra il meccanismo biellamanovella, in grado di
trasformare un moto alternatolongitudinale in rotatorio, o
viceversa.
r
t- Z ,m l
O
A
B
costZ
Figura 3: Meccanismo biellamanovella.
Determinare le caratteristiche della sollecitazione dellelemento
biella (modello a trave), nellecongurazioni notevoli del
meccanismo, considerando soltanto gli effetti dinamici, quindi
inassenza di carichi esterni.
Suggerimento:Semplicare la cinematica del meccanismo al primo
ordine, in particolare considerando la lun-ghezza dellelemento
biella molto piu` grande del raggio della manovella (anche se
invece spessoqueste due lunghezze sono confrontabili, ad esempio
nei motori automobilistici). Determinarele accelerazioni alle
estremita` della biella ed estrapolare linearmente le accelerazioni
nei puntiintermedi.
4
-
3 Modello di un oscillatore ad un grado di liberta`
Sistemi dinamici molto importanti sono gli oscillatori ossia
quei sistemi che vibrano nellin-torno della loro congurazione di
riferimento.Loscillatore ad un grado di liberta` e` costituito da
un elemento ad elasticita` concentrata (molla)ed un elemento ad
inerzia concentrata (massa), Fig.4.
x m
k
x m
k
( )F t
(a) (b)
Figura 4: Oscillatore ad un grado di liberta`: (a) moto libero,
(a) moto forzato.
Lequazione differenziale del moto e`:
mx+ kx = F(t) (3)
in cui: k e` la rigidezza della molla, m e` la massa, x e` il
discostamento dalla posizione di riposoe F(t) e` la forza applicata
alla molla variabile nel tempo.Nel caso in cui loscillatore sia
abbandonato a se stesso (F(t) = 0), la massa oscilla con
unafrequenza naturale pari a:
n =
km
quindi:
x(t) = Acos(nt +0) (4)
in cui A,0 dipendono dalle condizioni iniziali. Ovviamente il
sistema oscilla solo se vieneabbandonato o in una posizione diversa
da quella di riposo, oppure ad una velocita` non nulla.Quindi A = 0
soltanto se inizialmente il corpo ha velocita` nulla e si trova
nella congurazionedi riferimento.Nel caso in cui loscillatore sia
sollecitato da una forza esterna F(t) il moto e` ovviamente
di-pendente da tale forza, oltre che comunque dalle condizioni
iniziali. Tuttavia, le condizioniiniziali hanno un ruolo sulla
dinamica delloscillatore limitato nel tempo. Nel caso in cui
laforza esterna sia di tipo armonico:
F(t) = F cos(t +)
con: = n la risposta delloscillatore e` (dopo che il transitorio
delle condizioni iniziali si e`estinto):
x(t) =F/k
1 (/n)2 cos(t +) (5)
Come ben noto, la forma della soluzione appena trovata mette in
evidenza la possibilita` divericarsi la condizione di risonanza per
= n. In tale condizione loscillazione si
amplicaindenitivamente.
5
-
3.1 Oscillatore smorzato
Nel caso il moto venga impedito da un effetto di dissipazione,
interviene un ulteriore parametroconcentrato che e` la viscosita`
c, Fig.5.
x m
kc
x m
k
( )F t
c
(a) (b)
Figura 5: Oscillatore ad un grado di liberta` smorzato: (a) moto
libero, (a) moto forzato.
Nellipotesi di viscosita` proporzionale alla velocita` il moto
dello smorzatore e` descritto dale-quazione:
mx+ cx+ kx = F(t) (6)
Nel caso in cui loscillatore sia abbandonato a se stesso (F(t) =
0), analogamente a prima, lamassa oscilla, ma con un progressivo
rallentamento. Lequazione del moto e`:
x(t) = Aent cos( t +0) (7)
in cui: n e` denita come sopra e:
=c
2mn = n
1 2
In realta` questa soluzione e` valida soltanto se lo smorzamento
e` piccolo, ossia se < 1, cheequivale alla condizione c < cc,
in cui cc e` la viscosita` critica pari a: cc = 2mn.Nel caso in cui
leccitazione esterna sia di tipo armonico:
F(t) = F cos(t +)
la soluzione (dopo transitorio iniziale) e`:
x(t) =F/k
(1 (/n)2)2 +4 2(/n)2cos(t ++c) (8)
in cui:
tanc =2 (/n)1 (/n)2Da notare che, nel caso di viscosita` non
nulla, la condizione di risonanza ( = n) non causauna soluzione
singolare, ma semplicemente unampiezza di oscillazione molto
grande.E` bene inoltre ricordare che un certo valore minimo di
viscosita` e` intrinseco in ogni sistema equindi la risonanza non
e` mai una singolarita`, ma comunque un problema pratico
importante.Inne, la presenza di una certa viscosita` (anche se
piccola) giustica la possibilita` di trascurareil transitorio
relativo alle condizioni iniziali, che appunto si estingue per
effetto dissipativo.
6
-
Determinare la frequenza propria del sistema dinamico costituito
da una trave incastrata adunestremita`, Fig.6.
G
Sez.:Lungh.:
b hL
u Rigidezza:Densit:
EU
Figura 6: Oscillazione trave incastrata.
I dati del problema sono:
b = 12 mmh = 18 mmL = 1.2 m = 7.86 kg/dm3E = 205000 MPa
Suggerimento:Ricondurre il sistema ad un oscillatore ad un grado
di liberta`, determinando la rigidezza alle-stremita` della trave e
considerando una frazione di tutta la massa concentrata
allestremita` (adesempio pari a meta` massa totale).
Soluzione:La frequenza propria stimata e`: fn = n/(2) = 7.2
Hz.
Con riferimento allesercizio precedente, partendo
dallinformazione che il sistema lasciato li-bero di vibrare, riduce
la propria ampiezza di oscillazione di un fattore 2, dopo un certo
tempo:t2 = 3 s, determinare il coefciente di viscosita` c,
rifacendosi al sistema oscillatore smorzato.
Soluzione:La viscosita` e`: c = 0.471 kg/s.Lo smorzamento
relativo = c/cc e` pertanto: = 5.119103.
7