8/20/2019 Esercitazioni Di Elettrotecnica - Circuiti in Regime Stazionario
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A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005
2
Università degli Studi di Cassino
Esercitazioni di Elettrotecnica:
circuiti in regime stazionario
Antonio Maffucci
ver.3 – settembre 2005
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A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005
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1. Serie, parallelo e partitori.
ES. 1.1 Calcolare la resistenza equivalente vista ai capi del generatore E.
Utilizzando l’equivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da E si può ridurre ad ununico resistore attraverso i seguenti passi:
ES. 1.2 Calcolare la resistenza equivalente vista dal generatore J.
Utilizzando l’equivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da E si può ridurre ad ununico resistore attraverso i seguenti passi:
Ω=Ω=
Ω=Ω=
2 3
4 1
43
21
R R
R R + E
1 R 3 R
4 R 2 R
Ω=+= 543 R R R A
+ E 1 R
A R
2 R
Ω=+
== 22.2//2
22
R R
R R R R R
A
A A B
+ E 1 R
B R
Ω=+= 22.31 R R R Beq
+ E eq R
Ω==
Ω=Ω==
2
3 5
53
241
R R
R R R
3 R
J 1 R 5 R
4 R
2 R
Ω=+=
Ω=+=
87.1
7
21
21
54
R R
R R
R
R R R
B
A
Ω=
+= 49.2
C A
C Aeq
R R
R R R
J 3 R
A R B R
J C R A R ⇔
⇔ ⇔
⇔ eq R J
Ω=+= 87.33 R R R BC
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ES. 1.3 - Calcolare la eq R vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D.
Risultato: .600.1 ,125.7 Ω=Ω= eqCDeqAB R R
ES. 1.4 - Calcolare la eq R vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D.
Risultato: .126.0 ,147.0 Ω=Ω= eqCDeqAB R R
ES. 1.5 - Calcolare il valore di 4 R tale che ai morsetti A-B si abbia R Req = .
Risultato: .24 R R =
ES. 1.6 - Calcolare la eq R vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D.
Risultato: .m63.0 ,m47.0 Ω=Ω= eqCDeqAB R R
2 R
Ω=
Ω=Ω=Ω=Ω==
2
3 410 5
6
54
321
R
R R
R R R
1 R
3 R
5 R
4 R
6 R A
B
C
D
Ω=Ω==
Ω=Ω==
3 1
4.0 2.0
654
231
R R R
R R R
1 R 3 R
5 R
4 R
2 R
6 R
A
B
C
D
2/ 321 R R R R R === 2 R 1 R
3 R 4 R B
Ω=Ω=Ω=
Ω=Ω=
m8.0,m3 ,m1
m4.1 m3.2
543
21
R R R
R R 1 R
3 R 4 R
2 R
5 R
A
B
C
D
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ES. 1.7 - Calcolare la tensione v3 usando il partitore di tensione.
Il partitore di tensione si applica a due resistori in serie, quindi occorre preliminarmentericondursi alla rete equivalente seguente:
Applicando ora il partitore di tensione si ha:
.1101
3 V R R
R E v
A
A =+
=
ES. 1.8 - Calcolare la corrente i3 usando il partitore di corrente.
Il partitore di corrente si applica a due resistori in parallelo, quindi occorre riferirsi alla reteequivalente seguente:
Applicando ora il partitore di corrente si ha (tenuto conto dei versi):
.mA84.31
13 −=+
−= R R
R J i
A
Ω==
Ω=
=
100
50
220
32
1
R R
R
V E
+ E 1 R 3 R
2 R
−+ 3v
+ E
1 R
A R
−
+
3v
Ω=+
== 50//23
2332
R R
R R R R R A
Ω=+= µ 832 R R R A J
1 R A R
3i
Ωµ=
Ωµ==
=
3
5
10
2
31
R
R R
mA J
J 1 R 3 R
3i 2 R
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ES. 1.9 - Calcolare la potenza erogata dal generatore E e quella assorbita dal resistore R 5
Scegliendo le correnti come in figura, le potenze richieste sono date da:
. , 2555
i R P Ei P R E
erog E ==
La E i si valuta a partire dal calcolo della resistenza equivalente vista ai capi del generatore:
da cui si ricava: W80.8=erog E P .
Nota la corrente E i , si può ricavare la 5i applicando due volte il partitore di corrente. Dapprima
ricaviamo 3i dalla rete equivalente seguente
quindi ricaviamo 5i ripartendo 3i tra i resistori 4 R ed 5 R :
.20.72 0.19A5
54
435 mW P
R R
Rii R =⇒=+
=
ES. 1.10 - Calcolare la potenza erogata dal generatore J e quella assorbita dal resistore 1 R .
Risultato: .25.7 ,25.62 1 W P W P Rerog J ==
Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=
=
2 5 32 10
10
543
21
R R R
R R
V E
+ E
1 R 3 R 5 R
4 R 2 R
Ω==
Ω=Ω==
=
2
3 5
5
53
241
R R
R R R
A J
J 1 R
3 R
5 R
4 R
2 R
E i5i
+ E eq R
2
3
54
//
//
R R R
R R R
R R R
BC
A B
A
=
+=
=
E i
A88.0 36.11 1 ==⇒Ω=+=⇒eq
E C eq R
E i R R R
+ E 1 R
B R 2 R
E i
3i
B E
R R
Rii
+=
2
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ES. 1.11 - Calcolare la potenza erogata dal generatore e quella assorbita da ogni resistore.
Verificare la conservazione delle potenze.
Risultato: kW.524.0,kW335.0,kW004.0,kW023.0,kW886.04321
===== R R R Rerog
J P P P P P
ES. 1.12 - Calcolare la corrente icc che circola nel corto-circuito.
Risultato: A.87.5−=cci
ES. 1.13 - Calcolare la tensione v0 sul circuito aperto in figura.
Risultato: V43.60
−=v .
ES. 1.14 - Valutare la potenza assorbita dai resistori della rete in figura.
Risultato: W.100,0231
=== R R R P P P
Ω=Ω=
Ω=Ω==
15 20
10 210
43
21
R R
R R A J
1 R 3 R
4 R 2 R
J
Ω=Ω=
Ω=Ω=
=
k 2 25
k 1.0 10
220
43
21
R R
R R
V E
+ E 1 R 3 R
4 R 2 R
cci
Ω=Ω=
Ω=Ω=
Ω=Ω=
=
25 30
5 15
10 10
1
65
43
21
1
R R
R R
R R
A J
1 R
3 R 4 R
2 R
J
5 R 6 R
0v
Ω=
Ω=Ω=
=
100
1 10
10
3
21
R
R R
V E
+ E
1 R 2 R
3 R
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2. Sovrapposizione degli effetti.
ES. 2.1 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori.
Adottando la convenzione del generatore sui due generatori della rete, la potenza erogata daciascuno di essi sarà data da:
. , J erog J E erog E Jv P Ei P ==
La tensione J v e la corrente E i si possono valutare applicando la sovrapposizione degli effetti,
risolvendo i due circuiti ausiliari ottenuti considerando un solo generatore acceso:
Con riferimento al primo circuito ausiliario, il contributo J v′ è ottenuto valutando la resistenzaequivalente vista dal generatore:
.80.3579.1//)//( 1243 V J Rv R R R R R J eq J J eq ==′⇒Ω=+=
Per valutare E i′ si può utilizzare la tensione v′ sul parallelo 43 // R R R A = :
A R
vi
R R
Rvv A E
A
A J A 31.2
42
−=′
−=′⇒+
′=′
(nell’ultimo passaggio si è tenuto conto della convenzione adottata su 4 R ). Nel secondo circuito
ausiliario, il contributo E i ′′ è ottenuto valutando la resistenza equivalente vista dal generatore:.54.1/50.6//)( 4321 A R E i R R R R R E eq E E eq ==′′⇒Ω=++=
Per valutare J v ′′ è utile passare attraverso il calcolo della corrente Bi ′′ della serie 21 R R R B += :
V i Rv R R
Rii B J
B E B 14.11
3
3 =′′=′′⇒+
′′=′′ .
Se ne conclude che:
W70.7)( −=′′+′== E E E erog
E ii E Ei P , kW.74.0)( =′′+′== J J J erog
J vv J Jv P
(Si osservi che in questa rete il generatore di tensione sta assorbendo potenza elettrica positiva).
4 R 2 R
Ω=Ω=
Ω==
==
5 2
3
20 10
43
21
R R
R R
A J V E
+ E 1 R 3 R J
4 R 2 R E i ′′
1 R 3 R
J v ′′ + E
4 R 2 R
E i′ 1 R 3 R J
J v′ v′
Bi ′′
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ES. 2.2 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori.
Risultato: .kW12.0,W67.1621
== erog E
erog
E P P
ES. 2.3 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori.
Risultato: .kW36.1,kW09.0 =−= erog J erog
E P P
ES. 2.4 - Calcolare la tensione v1 e la corrente i3.
Risultato: .A90.0,V60.1 31 −== iv
ES. 2.5 - Utilizzando la sovrapposizione degli effetti, dimostrare la Formula di Millmann.
Ω=Ω=
==
1 ,2
V20 V,10
21
21
R R
E E +
1 E
1 R 2 R +
1 R 1 R
1 R
2 E
Ω==Ω=Ω=
==
105 1
20 50
43
21
R R
R R
A J V E
J +
2 R
1 R 3 R
4 R
E
321
3
3
2
2
1
1
111
R R R
R
E
R
E
R
E
v AB++
++=
1 R 3 R 2 R
+++
1 E 3 E 2 E
A
B
−
+
ABv
V2 V,5
2
21
4321
==
Ω====
E E
R R R R 1 R
3 R 2 R
4 R
−
+
1v
3i
1 E 2 E
+ +
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ES. 2.6 - Determinare la potenza erogata dal generatore E1.
Risultato: .W05.21
−=erog E
P
ES. 2.7 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la tensione v.
Risultato: .V32.0−=v
ES. 2.8 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la corrente i e
la potenza assorbita da R 3
Risultato: .mW57.6,mA37.1 == P i
ES. 2.9 - Valutare la corrente i e la potenza erogata dal generatore E1.
Risultato: .W86.2,A86.01
−=−= erog E
P i
R1
E 2 R2 E 1 +
R3+
.2.3,3.2,5.3 ,12,5 32121
Ω=Ω=Ω= == R R R E V E
Ω=Ω=Ω=
==
k 2.3,k 4.2,k 3
2,5
321 R R R
mA J V E
R1
J
R2 E + R3
v
Ω=Ω=Ω=
==
k 5.3,k 2.2,k 2.3
1,10
321 R R R
mA J V E
R1
J
R2
E + R3
i
E 2+
R1 R3
R2+ E 1
i
Ω=Ω=Ω=
==
10,20,5
20 ,10
321
21
R R R
V E V E
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A250.6)//( 213
3 −=+
−=′ R R R
R J I cc
Il contributo cc I ′′ dovuto al generatore di tensione si valuta sostituendo il generatore di correntecon un circuito aperto. Applicando il partitore di tensione si può ricavare la tensione sul parallelo
32 // R R R p = e quindi ricavare la corrente richiesta (che circola in 3 R ).
A375.3 31
=′′
=′′⇒+
=′′ R
v I
R R
R E v
pcc
p
p p .
Si ottiene in definitiva
⇒−=′′+′= A875.2cccccc I I I .A000.14 −=i
ES. 3.4 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita dal resistore 2 R .
Risultato: .85.02
mW P R =
ES. 3.5 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la corrente 5i .
Risultato: .185 mAi −=
Ω=
Ω=Ω==
==
k R
k Rk R R
mA J V E
5
2 1
2 1
4
321 J
1 R
3 R
4 R 2 R
+
E
Ω==
Ω=Ω==
=
k R R
k R
k R R
V E
4.0
6.02.0
12
54
2
31
+
1 R
3 R 2 R 5i
4 R 5 R
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ES. 3.6 - Utilizzando il teorema di Norton calcolare la potenza assorbita dal resistore 3 R .
Risultato: .43.03
W P R µ=
ES. 3.7 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita da 5 R .
Risultato: .87.545
W P R µ=
ES. 3.8 - Verificare che il resistore R non è percorso da corrente se tra le resistenze vi è la
seguente relazione (ponte di Wheatstone):
(Suggerimento: applicare Norton ai capi di R ed imporre che sia nulla la corrente Icc)
4 R
3 R
2 R
Ω=
Ω=
Ω==
µ=
=
k R
k R
M R R
A J
V E
300
800
2
1
5
4
2
31 1 R
+
J
E
k Ω3
k Ω10
k 2
mA1
mA2
4
53
21
2
1
=
==
Ω==
=
=
R
R R
R R
J
J
2 J 5 R
4 R
1 R
3 R 2 R
1 J
3
2
4
1
R
R
R
R
=
E
4 R
1 R
3 R
2 R
+
R
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4. Metodi generali per l’analisi delle reti in regime stazionario.
ES. 4.1 - Date le seguenti reti di bipoli, scrivere un sistema completo di equazioni di
Kirchhoff indipendenti.
Rete (a)
Orientando il grafo come in figura e scegliendo, ad esempio, l’albero indicato, un possibilesistema completo di equazioni di Kirchhoff è dato da:
LKC
=−+−
=+−−
=++−
0
0
0
654
432
621
iii
iii
iii
LKT
=+−−
=++
=−+
0
0
0
642
543
321
vvv
vvv
vvv
Rete (b)
Orientando il grafo come in figura e scegliendo, ad esempio, l’albero indicato, un possibilesistema completo di eq. di Kirchhoff è dato da:
LKC
=+−=+−−
=−+−
00
0
643
532
621
iii
iii
iii
LKT
=++
=+++
=−−−
0
0
0
543
6542
521
vvv
vvvv
vvv
Si osservi che su tutti i bipoli delle reti (a) e (b) è stata adottata la stessa convenzione.
1
2 4
3 5
6
12 4
3 5
6
2 43
15
2
4
3 6
(a) (b)
1
2
3
4
56
2
4
5
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ES. 4.2 - Utilizzando il metodo dei potenziali nodali calcolare la corrente nel resistore R 4.
Si individuino i nodi della rete e si orientino tutte le correnti nei resistori, adottando su di essi laconvenzione normale:
Avendo scelto come potenziale di riferimento quello del nodo D, le incognite saranno i potenziali degli altri tre nodi: C B A eee ,, . Per le convenzioni adottate si ha:
. , , , , 654321 C BC A B A A eveveeveevevv ==−=−===
Applicando la LKC ai nodi A, B, C e sostituendo le caratteristiche dei resistori (scritte conriferimento alle conduttanze) si ottiene il sistema:
−=+−
=+−
+=+++
364
353
214321
J ii
J ii
J J iiii
−=+−−
=+−−
+=−+−++
⇒
364
353
214321
)(
)(
)()(
J eGeeG
J eGeeG
J J eeGeeGeGeG
C C A
B B A
C A B A A A
Si osservi che tale sistema può essere posto nella forma matriciale:
0
0
3
3
21
644
533
434321
J
J
J J
e
e
e
GGG
GGG
GGGGGG
C
B
A
−
+
=
+−
+−
−−+++
Risolvendo tale sistema si ottiene:
V eV eV e C B A 625.5,125.48,500.7 −===
da cui: .625.2)(44
44 AeeG
R
vi C A =−==
3 J
1 R
3 R 4 R
2 R
1 J
5 R 6 R
4i
2 J
6i
1i 2i 3i
5i
B C
D
3 J
Ω=Ω=
Ω=Ω=
Ω=Ω=
===
15 35
5 25
10 30
3 1
65
43
21
321
R R
R R
R R
A J A J J
1 R
3 R 4 R
2 R
1 J
5 R 6 R
4i
2 J
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5. Analisi di reti con doppi-bipoli resistivi e generatori pilotati
ES. 5.1 - Analizzando i seguenti doppi-bipoli:
schema a T (stella) schema aΠ
(triangolo)
a) verificare che lo schema a T realizza una qualunque matrice R con le posizioni
seguenti (formule di sintesi): ;, , 2211 mC m Bm A R R R R R R R R =−=−=
b)
verificare che lo schema a Π realizza una qualunque matrice G con le posizioni
seguenti (formule di sintesi): ; , , 2211 m ABm BC m AC GGGGGGGG −=+=+=
c) verificare le seguenti formule di trasformazione stella-triangolo (suggerimento:
imporre l’equivalenza tra gli schemi a T e aΠ
A
C BC A B A BC
B
C BC A B A AC
C
C BC A B A AB
R
R R R R R R R
R
R R R R R R R
R
R R R R R R R
Y
++=
++=
++=
∆→
BC AC AB
BC AC C
BC AC AB
BC AB B
BC AC AB
AC AB A
R R R
R R R
R R R
R R R
R R R
R R R
Y
++=
++=
++=
→∆
ES. 5.2 - Con riferimento alla seguente rete:
a. caratterizzare attraverso la matrice G il doppio bipolo resistivo visto ai capi
dei generatori;
b.
utilizzare la matrice G per calcolare la potenza assorbita dal doppio-bipolo;
Ω=Ω=
==
1 2
10
21
21
R R
V E E
+1 E
1 R 2 R +
1 R 1 R
1 R
2 E
AB R
BC R
−
+
1v
−
+
2v
1i 2i
AC R
1i 2i
R B R
−
+
1v
−
+
2v C R
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20
a.) L’elemento 11G è definito come:
quindi corrisponde alla conduttanza di ingresso della rete descritta in alto. Applicando le regoledi equivalenza serie e parallelo di conduttanze si ottiene:
S
GG
GG
G
GG
GGGG
G 33.0
2
2
2
2
2
21
211
21
2111
11 =
++
++
= .
Per la simmetria della rete rispetto alle due porte, si ha anche 2211 GG = (si provi a dimostrarlo).L’elemento 12G è definito come:
Il circuito per il calcolo di tale parametro è disegnato in alto. Si osservi che:
01
211
01
2
01
1
01
212
2222 ====
⋅=⋅==vvvv
i
iG
i
i
v
i
v
iG
quindi ci si riporta al calcolo di01
2
2=vi
i, che può essere effettuato con l’applicazione reiterata del
partitore di corrente:
25.02/2
12/
121
11
111
2 −=++
−=−
= R R R
Ri
ii
i
i
i x
da cui: S GG 08.025.0 1112 −=⋅−= .
Si provi a verificare che mGGG == 2112 , proprietà valida per tutti i doppi-bipoli reciproci.
b.) Introdotto il vettore 21 E E T =e , la potenza assorbita dal doppio-bipolo è esprimibile
come:
.502 2122222111 W E E G E G E GG P mT T =++=⋅⋅=⋅= eeie
1 R 2 R
1 R 1 R
1 R
01
212
2 =
=v
v
iG
2i +
1i
1v
xi
1 R 2 R
1 R 1 R
1 R
01
111
2==
vviG
8/20/2019 Esercitazioni Di Elettrotecnica - Circuiti in Regime Stazionario
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A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005
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ES. 5.3 - Con riferimento alla seguente rete:
a) caratterizzare attraverso la matrice H il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei
generatori;
b)
utilizzare la matrice H per calcolare la potenza assorbita da tale doppio-bipolo;
Risultato: a) 045.0 ,073.0 ,909.0 21122211 =−==Ω= H H S H H ; b) kW P 546.0= .
ES. 5.4 - Con riferimento al seguente doppio-bipolo:
a) caratterizzarlo attraverso la matrice R;
b) sintetizzare un doppio-bipolo equivalente con uno schema a T;
Risultato: a) Ω=Ω=Ω= 8 ,12 ,24 2211 m R R R ; b) Ω=Ω=Ω= 8 ,4 ,16 C B A R R R .
ES. 5.5 - Valutare l'equivalente di Thévenin ai capi dei morsetti 1-1'
Risultato:10 −β
+= RJ
E V ,β−
=1
R R
eq.
Ω=
==
====
243
1
3
265
4321
R
R R R R
R R R R R
1 R
3 R 2 R
6 R 4 R
5 R
−
+
1v
−
+
2v
1i 2i
Ω==
Ω=Ω=
==
10
5 1
20 50
43
21
R R
R R
A J V E
J 2 R
1 R 3 R 4
R E
Ri
1
)(t i Rβ + E
R
J
1′
+
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005
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Per calcolare 0V basta applicare la LKC e la LKT:
1
−β=⇒−=β−
J i J ii R R R , 10 −
+=+= β
RJ E Ri E V R
Per calcolare eq R occorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè E e J, e valutare
R R R iiiii )1( β−=⇒β−=
R
vi R =
β−==
1
R
i
v Req
Per 1>β si ha 0
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A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005
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ES. 5.7 - Per il circuito Il seguente circuito rappresenta lo schema equivalente di un
amplificatore di tensione. Calcolare:
a) la matrice delle conduttanze del doppio bipolo ai capi dei morsetti 1-1' e 2-2';
b)
il guadagno di tensione S U v vv A /=
c) i valori dei parametriin
R edout
R per cui il guadagnov
A è massimo.
a)
Orientando correnti e tensioni del doppio-bipolocome nella figura a lato, la matrice delle conduttanzesi valuta applicando la definizione:
ininv Ri R
i
v
iG
1
1
1
1
111
02
====
;
00101 2
1
2
112 ===
== vinvv R
v
v
iG ;
out out v Rv R
v
v
iG
α−=
α−==
= 1
1
1
221
02
;out out v
Rv R
v
v
iG
1
2
2
2
222
01
====
.
Si osservi che 2112 GG ≠ , cioè il doppio-bipolo non è reciproco.
b)
analizzando la maglia alla porta 1 e quella alla porta 2 si ottiene:
S in
in sin
R R
Rvv
+= ,
U out
U inu
R R
Rvv
+α= ,
da cui
U out
U
S in
in
s
uv
R R
R
R R
R
v
v A
++α== .
c)
Osservando l'espressione di v A è semplice verificare che il massimo è dato da
α=maxv A
e si ottiene per 0 , →∞→ out in R R .
U R
ini 1
)(t vinα + +
S v
S R
in R
out R 2
1′ 2′
−
+
inv
−
+
U v
1i 1
)(1 t vα +
in R
out R 2
1′ 2′
−
+
1v
−
+
2v
2i
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005
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ES. 5.8 - Calcolare i potenziali di nodo del circuito seguente.
Indicando con B A V V , i potenziali dei nodi A e B si ha che
B A B V V V vV V vV )1( 11 α+=⇒α−=α=−⇒−= .
Applicando il metodo dei potenziali nodali (modificato) si ha:
V
R R
J V J V
R R
V J
R
V
R
V
i R
V
J i R
V
A A A B A
B
A
4)1(1
)1(
021
2121
2
1 =α+
+=⇒=
α++⇒=+⇒
=+
=−
.20)1( V V V A B =α+=
ES. 5.9 - Calcolare la potenza dissipata in R 2.
Risultato: W P 52 = .
ES. 5.10 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l’equivalente di Norton ai capi di
R 2 e la corrente i2 circolante in tale resistenza.
Risultato: .,1
,)1(2
21
1 eq
eq
cceqcc R R
R I i R R R
E I +
−=β−
=β−=
1vα 1 R
J
A +
2 R
4
10 4
3
21
=α
Ω=Ω=
=
R R
A J
+
−
1v
5
20 10
6
21
=β
Ω=Ω=
=
R R
V E
1 R
iβ + E
2 R
i
1 R
1iβ
2 R
2i
1i
+ E