Capitolo Esercitazioni 1. Ex 1.1 Un consumatore esprime le sue preferenze tramite la funzione di utilità U=x 1 x 2 . Si determini Z panieri W 1 =( 8 ; 24 ) e W 2 =( 16 ;z) siano indifferenti U W 1 =U W 2 8∗24 =16 ∗z → z ¿ 192 16 =12 W 1 =( 8 ; 24 ) W 2 =( 16 ; 12 ) { U W 1 = 8∗24=192 ¿ U W 2 =16∗12=192 2. Ex 1.2 Due consumatori fanno preferenza che vengono espresse dalle rispettive funzioni di U U A = √ X 1 ∗X 2 U B =X 1 2 ∗X 2 Supponendo che possono scegliere fra i panieri di consumo W 1 =( 4 ; 9 ) e W 2 =( 9 ; 4 ). Determinare la misura dell’utilità di ciascun consumatore
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Capitolo
Esercitazioni
1. Ex 1.1 Un consumatore esprime le sue preferenze tramite la funzione di utilità U=x1 x2 .
Si determini Z panieri W 1=(8 ;24) e W 2=(16 ; z) siano indifferenti
UW 1=UW 2
8∗24=16∗z → z¿ 19216 =12
W 1=(8 ;24) W 2=(16 ;12) { UW 1=8∗24=192
¿UW 2=16∗12=192
2. Ex 1.2 Due consumatori fanno preferenza che vengono espresse dalle rispettive funzioni di U
U A=√X1∗X2UB=X 1
2∗X2
Supponendo che possono scegliere fra i panieri di consumo W 1=(4 ;9) e W 2=(9 ; 4). Determinare la misura dell’utilità di ciascun consumatore
U W 1
A =√4∗9=√36=6¿UW 2
A =√9∗4=√36=6}⇒Uguale
2 Ex. 5.8(pag.60)
U W 1
A =√4∗9=√36=6¿UW 2
A =√9∗4=√36=6}
UW 1
B =42∗9=144
UW 1=UW 2
8∗24=16∗z → z¿ 19216 =12
W 1=(8 ;24) W 2=(16 ;12) { UW 1=8∗24=192
¿UW 2=16∗12=192
()
3. Ex 2.2f (u )U=X1 X2+2 X2
a)Ricavare la funzione della generica curva di indiffenza
b) calcolare il saggio marginale di sostituzione
a) Esplicitando la funzione rispetto a X2 si haU=X2 ( X1+2 )
X2=U 1X1+2
b) Sappiamo che :
MU 1=ΔUΔX2
=U ( X1+ΔX1 ; X2 )−U (X1 ; X2)
ΔX1
MU 1Δ X1+MU2 ΔX2=ΔU=0
MRSo SMS=ΔX 2
ΔX 2=
MU 1
MU 2
U M 1=dUd X 1
=X2
U M 2=dUd X2
=X1+2
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Esecitazioni 3
|MRS|=
dUd X1
dUd X2
=X 2
X1+2
4. Ex 3.2Un consumatore adopera la sua automobile ogni mattina per andare in ufficio. Lo stress è funzione del tempo di percorrenza ( x )secondo la seguente funzione :
y=40 x2−94 x+10
Quale è il tempo di percorrenza che minimizza la funzione?
Si vuole determinare il valore di x che minimizza la funzione senza tracciare il grafico. Allora, tracciamo il valore della derivata prima della funzione.
dydx
=2∗40 x−94=80 x−94
Poniamo la cordinazione del primo ordine cioè uguaglianza a zero la derivata prima
80 x−94=0 x=9480=1,17
Per stabilire se si tratta di un min o max relativo occorre la condizione del II° ordine. Calcolare la derivata II ed osservare il segno:
¿0minse
¿0max
d2 yd x2
=80∗1=80>0 MIN 1,17 => ok
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4 Ex. 5.8(pag.60)
5. Ex 3.7(pag.26)Un consumatore ama vini di marca. Ai prezzi correnti la sua funzione di domanda per un buon Bordeaux è q=0,02∗m−p dove m è il suo reddito e p il prezzo del vino e q il numero di bottiglie domandate. Il reddito di Giuliano è di 7.500€ e il presso per una bottiglia è di 30€ .
a) Quante bottiglie acquista il consumatore?b) Se il prezzo del vino aumentasse a 40 € di quale reddito dovrebbe disporre il
consumatore per poter continuare ad acquistare esattamente le stesse bottiglie e le stesse quantità di altri beni che acquistava prima (X Δaltri beni e se fosse pari a 1€ il costo PΔ=1)
c) In corrispondenza di questo nuovo reddito e di un prezzo di 40 €quante bottiglie acquista il consumatore?
d) Dato il suo reddito iniziale di 7.500€ ed un prezzo pari a 40 € quante bottiglie acquista il consumatore
e) Quando il prezzo del vino aumenta da 30€ a 40 € di qunato variano le bottiglie domandate
f) Quale quota di questa variazione è dovuta all’effetto sostituzione? Qual è l’effetto sul reddito
a) m=7.500 € e P=30 €q=0,02∗m−p=0,02∗7500−2∗30=90
b) PΔX Δ+PX=m1∗X Δ+30∗90=7500
X Δ=7500−2700=4800
m'=40∗90+4800=8400c) q '=0,02∗8400−2∗40=88 aumenta p ma aumenta m→potere di acquisto invariato
d) q '=0,02∗7500−2∗40=70
e) q−q '=Δq=−20
f) Effetto sostituzione.Varia il prezzo potere di acquisto inalteratoΔ qs=q' '−q❑=88−90=−2 ↑posizione di partenza
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Esecitazioni 5
Effetto reddito. Flusso di prezzo nuovo. Varia il potere di acquisto riportato a quello iniziale
Δ qm=q'−q' '=70−88=−18
Totale : Δ qm+Δ qs=−20
6. Ex 4.1 (pag.35)Un consumatore dispone di un reddito m=200. Egli può acquistare quantità del bene 1 e del bene 2 rispettivamente a pari P1=8 P2=2.
Det:
a) retta di bilancio e l’insieme delle possibilità di consumo;b) retta di bilancio e l’insieme delle possibilità di consumo se è presunta una spesa
aggiuntiva fissa, pari a 6 € per il bene 1 e 2€ per il bene 2.
P1 x1+P2 x2≤m Vincolo
P1 x1+P2 x2=m Retta
8 x1+2x2=200
x2=100−4 x1
−P1P2
=−4 Coefficiente Angolare
x1=mP1
=2008
=25
x2=mP2
=2002
=100
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6 Ex. 5.8(pag.60)
Area delle possibilità8 x1+2x2≤200
Riscriviamo la retta inserendo le spese fisse.
8 x1+2x2+8=200
Oppure
8 x1+2x2=192
x=96−4 x1 Coefficiente Angolare
x1=1928
=24
x2=1922
=96
7. Ex. 4.3 (pag.39)Siano P1=8 e P2=5 i prezzi unitari di due beni le cui quantità indichiamo con X1 e X2 :
a) Tracciare un riferimento cartesiano la cui retta di brl. di un caso che la reddita m=40; indicare: intercetta e coefficiente angolare.
b) Come si modifica la retta di brl se il prezzo corrispondente al bene 2 varia da 5 a 10?c) Come si modifica l’andamento della retta se i prezzi dei due beni raddoppiano?
Ris.
a) P1 X1+P2X2=m
X2=m−P1X1
P2X2=
mP2
−P1
P2X1
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Esecitazioni 7
X2=mP2
=405
=8 −P1P2
=Coefficente=−85
X1=mP1
=408
=5
b) ¿ X2=mP2
=4010
=4
c) X1=4010
=2,5 X2=4010
=4
8. Ex. 5.7 (pag.42)Determinare la scelta ottima del consumatore data la funzione di utilità:
U=X1 X2
Si supponga che il reddito sia m=5 e P1=2 P2=3
U=X1 X2→f (u )
2 X1+3 X2=5→Vincolo
X2=5−2 X1
3
Inseriamo il valore X2trovato nella funzione di utilità:
U=X1( 5−2 X1
3 )=¿U=5 X1−2 X1
2
3
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8 Ex. 5.8(pag.60)
Calcolare la derivata della f (u ) :
dUd X1
=5−2∗2 X1
3=5−4 X1
3
Poniamo la condizione del primo ordine
5−4 X1
3=05−4 X1=05=4 X1
Sostituiamo questo valore in X2=5−2 X1
3
¿>X2=5−2∗5
43
=
10−523
=
52∗1
3=56=0,83
Derivata seconda per vedere se max o min di
U=5−4 X1
3
d2Ud X1
2=0−43
=−34
<0max
Paniere ottenuto W ¿=(1,25 ;0,83 )
9. Ex. 5.8(pag.60)Data la funzione di utilità :
U=x2+ y2
Determinare la scelta ottima essendo noti i valori monetari P x=1P y=2edm=4
Ris.
Calcolare le utilità marginali relative ai due beni :
dUdx
=U M x=2 x
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Esecitazioni 9
dUdy
=U M y=2 y
Retta di brl : x+2 y=4
x= mPx
=4
y= mP y
=2
Inserendo i valori di x e y avremo :
U M x=2 (4 )=8 ϵ utmerg x
U M y=2 (2 )=4 ϵ ut merg y
MRS=U M x
U M y=84=2
Perciò l’utilità marginale di x è doppia rispetto ad y, e il prezzo di y è doppio rispetto ad x. Perciò il consumatore investirà tutto il reddito in x.
10. Ex. 5.10 (pag. 64)Data la funzione di utilità:
U=x1 x2+x1 x2 con m=10 P1=1 P2=1
Determinare la scelta ottima di consumo.
Ris.
Massimizzazione funzione vincolata:
dUd x1
=x2+1dUdx2
=x1+1
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10 Ex. 5.8(pag.60)
|MRS|=x2+1x1+1
Coef. Orq. Curva red.
P1
P Coef. Orq.
Imponiamo l’uguaglianza fra il SMS e il rapporto fra i prezzi (VINCOLO DI TANGENZA) e fornendo il sistema con il vincolo di bilancio:
{ x2+1x1+1
=P1P2
P1 x1+P2 x2=m { x2+1x1+1
=1
x1+ x2=10{x2+¿ x1+1x1+ x2=1 {x2=x1+1−1
x2=10−x1 { x2=x1x1=10−x2
x1=10−x1→2 x1=10→x1=5→x2=5
Paniere ottimo W ¿ (5 ;5 )
11. Ex. 5.11 (pag. 65)Tizio consuma dei beni perfetti sostenuti il cui |MRS|=3:
a) Scrivere la funzione di utilità;b) Se P1=2 e P2=4 em=100 individuare la scelta ottima;
Ris.
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Esecitazioni 11
a) h(u) perfetti sostenibili è U=a x1+b x2 dovendosi verificare che |MRS|=3 la funzione di
utilità sarà: MRS=
dUd x1dUd x2
infatti dUd x1
=3 dUd x2
=1|MRS|=3
b) Trattandosi di beni perfetti sostenuti il consumatore razionale opterà per il consumo del bene avente il minor prezzo cioè bene 1 P=2;
Pertanto: x1=mP1
=1002
=50
Risulta quindi un paniere ottimo W ¿ (50 ;0) si giustifica in base alle seguenti considerazioni:vincolo: 2 x1+4 x2=100 x1+2 x2=50 P2>P1
Si assume che x2=0
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12 Ex. 5.8(pag.60)
12. Ex 5.12 (pag.66)Si consideri la funzione di utilità:
U=min {1,5x1 ; x2 }
Beni perfettamente complementari:
P1=3 P2≠18m=6
Determinare la scelta ottima.
Ris.
{ 1,5 x1=x23x1+18 x2=60
(Condizione di ottimo)(Vincolo)
3 x1+18 (1,5 x1 )=603 x1+27 x1=60 x1=2 x2=3
13. Ex 5.14 (pag.69)Data la funzione di utilità U=5∗√X1+X2 il reddito m=100 e P1=2 e P2=1 scelta ottima?
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Esecitazioni 13
dUd X1
= 5∗12∗√X1
dUd X2
=1
|MRS|=
dUd X1
dUd X2
= 5∗12∗√X1
Vincolo di tangenza
|MRS|=P1P2
Vincolo di bilancio
P1 X1+P2X2=m
Impostiamo e risolviamo:
{ 5∗12∗√X1
=2
2 X1+X2=100{ 5=4∗√X1
2 X1+X 2=100
{ 25=16 X 1
2 X1+X2=100 { X1=2516
2 2516
+X2=100 { X1=2516
2∗25+8∗X2=100
{ X1=2516
X2=7758
Quindi ottimo W ¿=(2516
; 7758
)
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14 Ex. 5.8(pag.60)
14. Ex. 10.4(pag. 100)
La funzione di banda di un bene, che chiamiamo B : q=10+ m2 p
Il consumatore dispone di un redito m=300 il prezzo iniziale del bene è P=2; Se il prezzo aumenta e diventa P'=6;
a) Quale sarà il nuovo livello di banda;b) Quale parte della variazione della banda è dovuta all’effetto redd. E quale all’effetto
sostituzione?
Ris.
q=10+ 3002∙(2)
=85
a) Nuovo prezzo :
q '=10+ 3002(6)
=35
∆ p=6−2=+4
∆ q=35−85=−50
b) La variazione di prezzo influisce sul reddito diminuendo il potere di acquisto del consumatore:
q '=∆m∆ p
85=∆ m4
∆m=340
Quantità aggiuntiva di redita necessaria per acquistare 85 unità di P=6.
Data la funzione di utilità U=8∗X1−X12+X2 indichiamo con P1 il prezzo per il bene 1 e P2=6
il prezzo per il bene 2. Scrivere la funzione di domanda diretta ed indiretta peril bene 1
Partendo dalla condizione di tangenza
|MRS|=P1P2
{ dUd X1
=8−2∗X1
dUd X2
=1
MRS=
dUd X1
dUd X2
=8−2∗X1
Relazione di tangenza
8−2∗X1=P16⟹6 (8−2∗X1 )=P1
48−12∗X1=P1⇒ X1=48−P112
=4812
− 112
P1
Funzione di domanda diretta bene 1
Ora esplicitando rispetto a P1 si ottiene la domanda inversa
0,08∗P1=4−X1
P1=4−X1
0,08=50−12,5∗X1
16. Ex. 11.2(pag. 105)Data la seguente funzione di domanda inversa
P=12−0,3Q
Stabilire per quali valori di P la domanda è elastica
Lungo la curva di domanda l’elasticità non è sempre uguale
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16 Ex. 5.8(pag.60)
5 ε p=5
4
2 ε p=0,5
1,6
10 20 40 44
P1=5→4Q1=10→20}→ε p=5
P1=2→1,6Q1=40→44 }→ε p=0,5
Esplicitare la domanda 0,3q=12−p→q=40−3,33 p
Elasticità
ε p=
PQ
∗ΔQ
ΔP⟸ ΔQ /Q
ΔP/P
ΔQΔP
=b←coefficiente angolare
Ponendo ε=1
ε p=b∗PQ
⟹1=3,33(12−0,3QQ )Q=39,96−0,99Q
Q+0,99Q=39,96→Q=39,961,99
≅ 20
Quantità della domanda in corrispondenza dell’elasticità ε=1 con Q≅ 20 e sostituendo in 0,30Q=12−P→P=12−0,3 (20 )≅ 6
Si può verificare che per P<6 la domanda è anelastica perche rende 0<¿ ε p∨¿1, per P>6 la domanda è elastica perché 1<¿ε p∨¿∞. Rappresentiamo graficamente le funzione di domanda dirette, in pratica l’espressione
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Esecitazioni 17
{Q=40−3,33Pp=0
→Q=40 (INTERCETTA ASSE ASCISSE )
{Q=40−3,33 PQ=0
→P=40 ( INTERCETTA ASSEORDINATE )
P
12 ε>1
6 ε=¿1∨¿
|ε|=1
20 40 Q
17. Ex. 11.3(pag. 108)Data la seguente funzione di domanda di un bene
Q=5000−10P
a) Calcolare il valore dell’elasticità di domanda quando il prezzo varia da P=150 a P’ 200b) Esporre graficamente il risultato
εP=
PQ
∗dQ
dP
dQdP
=−10
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18 Ex. 5.8(pag.60)
εP=150
5000−10(150)(−10 )=−1500
3500=¿−0,42∨¿
Valore compreso tra 0<¿ ε p∨¿1, la domanda rimane anelastica nonostante un aumento del prezzo, fa pensare che il bene abbia pochi sostituti
Si può calcolare
εP=
Q'−QQ
P'−PP
{Q=5000−10PP=0
→Q=5000 (INTERCETTA ASSE ASCISSE )
{Q=5000−10PQ=0
→P=500 ( INTERCETTA ASSEORDINATE )
P
5000 ε=¿1∨¿
150 |ε|=0,42
Q=a2 3500 5000 Q
18. Ex. 11.5(pag. 112)La seguente funzione di domanda si riferiscono ai beni A e B
Qa=30Pa
Qb=30Pb
a) Calcolare elasticità della domanda rispetto al prezzo per ciascun beneb) L’elasticità della domanda rispetto al reddito delle seguenti funzioni
Qa=0,16mae Qb=0,7mb
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Esecitazioni 19
a) Elasticità della domanda del bene A al prezzo
εP A=
P A
QA∗dQA
d PA
Calcoliamo la derivata prima della funzione
dQA
d PA=−30
PA2
εP A=
PA
30PA
∗(−30PA2 )= PA
30 (−30PA2 )=−1→|εP A|=1
Analogamente per il bene B si ha
εPB=
PB
QB∗d QB
d PB
dQB
d PB=−60
PA2
εPB=
PB
60PB
∗(−60PB2 )=PB
60 (−60PB2 )=−1→|εPB|=1
Vuol dire che ad una variazione percentuale del prezzo corrisponde una pari, ma opposto variabile percentuale delle domanda
b) Elasticità rispetto al reddito
εm=
mQ
∗Δm
ΔQ
Per i beni di lusso con elasticità >1 più aumento il reddito e più si acquista(vacanza, auto…)
Per i beni di pura necessità elasticità sempre >1, ma più basso
Att.: quando si parla di elasticità della domanda al reddito il riferimento non è più a ciò che accade lungo la curva di domanda (relazione prezzo domanda), ma gli spostamenti dell’intera curva di domanda in base alle variazioni di reddito
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20 Ex. 5.8(pag.60)
εmA=
mA
QA∗dQA
d mA=
mA
QA(0,16 )
Sostituiamo con Qa=0,16ma
εmA=
mA
0,16mA∗0,16=1
εmB=
mB
QB=
dQB
d mB=1
19. Ex. 11.6(pag. 115)Per due beni A e B si sono verificate le seguenti variazioni
A { {PA=20QA=40
¿ {PA' =10
QA' =50
B{ {PB=35QB=50
¿ {PB' =60
QB' =20
Calcolare l’elasticità
ϵ AB=%ΔQA
%ΔPB=
ΔQA
QA
ΔPB
PB
=
PB
QA∗ΔQA
ΔPB=3540
∗(1025 )= 3501000
=0,35
20. Ex. 11.7(pag. 115)Data la funzione di domanda di un bene q=80−4 p p=6 conviene ai produttori di aumentare il prezzo
ε= PQ
d PdQ
= 680− (4∗6 )
(−4 )=−0,43
|ϵ|=0,43<1
Anelastica perciò ai produttori conviene aumentare il prezzo
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Esecitazioni 21
21. Ex. 4.3(pag. 234)Q=48−6∗Pfunzione di domanda.
Determinare il prezzo che consente di ottenere il massimo ricavo totale
RT=P∗Q
RT=P (48−6 P )=48 P−6P2
Calcolando la derivata prima otteniamo di RT si ottiene il ricavo marginale MR
MR A=d RT
dP=48−12 P⟹ 48−12 P=0⟹ P=4
d2RMd P2 =d (48−12 p )=−12<0⟸MAX
22. Ex. 4.3(pag. 234)Siano P=60−QD e P=−20+4Q S rispettivamente la funzione di domanda e di offerta di domanda e di offerta di un certo mercato. Calcolare.
a) Equilibrio di mercatob) Elasticità di domanda e offerta nel punto di equilibrio
a) Trasformo la domanda e offerta da inverse a dirette
QD=60−P
QS=14
P−5
La condizione di equilibrio è QS=QD
60−P=14
P−5
P=44Q=16⟹QS=QD=16
E=(Q=16P=44 )
b)
dQD
dP=60−P=−1
εD=
PQ
∗d QD
dP=4416
(−1 )=−2,75⟹ εD>1elasticitàrispetto al prezzo
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22 Ex. 5.8(pag.60)
ε S=
PQ
∗dQS
dP=4416 ( 14 )=0,68⟹ εS<1offerta anaelastica
23. Ex. 4.5(pag. 240)Un impresa ha la seguente funzione di costo totale di breve periodo CT=0,5Q2−Q+5
Calcolare
a) La funzione di offerta dell’impresab) La funzione di offerta dell’industria nell’ipotesi che sul mercato operino 4 imprese aventi
la medesima funzione di costo totale; la configurazione di equilibrio del mercato di concorrenza perfetta in corrispondenza della domanda di mercato QD=148−8 P nel breve periodo
c) L’ammontare del prodotto reddito di ciascuna impresa;d) Il comportamento atteso dalle imprese nel breve periodo
a)
P=MC=dCT
dq=q−1
P=Q−1⟹QS=1+P (offerta ˘periodo del l' impresa )
b) indichiamo con QS la funzione di offerta dell’industria
QS=4 (1+P )=4+4 P
P=12QS=52⟸E
QS
4=ogni ℑ presa produce 13
c)
π=P∗Q−CT=12∗13−(0,5∗132−13+5 )=79,5 profitto
d)Si è in un libero mercato. Le imprese entrano visto che vi è un profitto > 0 e la cruva di offerta di porterà a destra, i prezzi diminuiscono e π tenderà a zero
24. Ex. 4.6(pag. 241)Prof.ssa Iacobone
Esecitazioni 23
Un mercato esprime la funzione di domanda QD=80−10 P; ogni impresa realizza un output (Qs
) sostenendo un costo totale di lungo periodo CT=Q3−¿4 Q2+8Q.
Ipotizzando che i prezzi dei fattori rimangono costanti determinare:
a) Equilibrio di lungo periodo se non vi sono barriere all’entrata e all’uscitab) Il numero di imprese operandi nel mercatoc) Il livello di π delle imprese
a) Nel lungo periodo verifica ΔC=MC .Pertanto calcoliamo ΔC partendo da CT
27. Ex. 4.9(pag. 245)La funzione di costo dell’impresa A è di CT A=X2+2; quella dell’impresa B è CT B=2 X2+X
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26 Ex. 5.8(pag.60)
Si ipotizza che sul mercato siano soltanto due consumatori aventi le seguenti funzioni di utilità: U 1=XY e U 2=X (Y −2 ) .
Si suppone che il prezzo del bene Y è P y=2ed il reddito diciascun consumatore è m=16. Determinare il prezzo e la quantità di equazione del bene x
La funzione di domanda del bene X si ottiene svolgendo l’usuale stima fra vincoli di tangenza e vincoli di bilancio. Dalla funzione di utilità del primo consumatore si ottiene
{ MRS=PX
PY
Px X+PY Y =m|MRS|=
dU 1
dXdU 1
dY
= YX¿¿
{ YX
=PX
2PX X+2Y=16
{ 2Y =PX X2Y =16−PX X
PX X=16−PX X
PX X+PX X=16⟹2PX X=16
X1D= 8
PXfunzione di domandadel primo consumatore
Per il secondo consumatore
|MRS|2=
dU 2
dXdU 2
dY
=Y −2X
{ Y−2X
=PX
2PX X+2Y=16
{2Y−4=PX XPX X+2Y=16
2Y−4+2Y=16❑
4 Y=20⟹Y=5 il valore inserito nel vincolodi tangenza reale
Prof.ssa Iacobone
Esecitazioni 27
10−4=PX X⟹6=PX X
X2D= 6
Px=funzionedi domanda del secondoconsumatore
La funzione di domanda aggregata si ottine sommando membro a membro le fuznione data dei