Teoría de Cinemática y Dinámica de Mecanismos ISBN 978 - 84 – 693-6455-0 Profesora: AMELIA NÁPOLES ALBERRO [email protected]Universitat Politècnica de Catalunya Escola Universitària d'Enginyeria Tècnica Industrial de Barcelona Departament d’ Enginyeria Mecànica 2 BIBLIOGRAFÍA • NORTON, R.L. Diseño de maquinaría. McGraw-Hill. 1995. • SHIGLEY, J.E.: Teoría de Máquinas y Mecanismos. McGraw Hill. • CALERO PÉREZ, R., CARTA GONZÁLEZ, J. A. Fundamentos de mecanismos y máquinas para ingenieros. McGraw-Hill. 1998. • KHAMASHTA; ALVAREZ, CAPDEVILA. Problemas resueltos de cinemática de mecanismos planos. Terrassa, UPC. • HAMILTON H. MABIE. Fred, OCVIRK W. Mecanismos y Dinámica de Maquinaria. Editorial Limusa. 1999. • CARDONA i FOIX, S., CLOS, D. Teoria de Màquines. Barcelona. Ed. UPC. 2000. • SIMÓN, BATALLER, GUERRA, ORTIZ, CABRERA. Fundamentos de teoría de máquinas. http:/www.uma.es/organización/idepartamentos.html. • MECHANISM AND MACHINE THEORY” • NAPOLES, A. Análisis de mecanismos. ISBN 978-84-92954-17-9. • NAPOLES, A. Problemas de análisis de mecanismos. ISBN 978-84-92954-18-6. • NAPOLES, A. Autoaprendizaje de análisis de mecanismos. ISBN 978-84-92954-19-3. Universitat Politècnica de Catalunya Escola Universitària d'Enginyeria Tècnica Industrial de Barcelona Amelia Nápoles Alberro Departament d’ Enginyeria Mecànica
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1- Geometría del movimiento.2- Velocidades.3- Aceleraciones4- Movimiento relativo.5- Análisis estático del sólido en movimiento plano.6- Análisis dinámico del sólido en movimiento plano.7- Dinámica de los sistemas con un grado de libertad.
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“Análisis de mecanismos”:Procedimiento que determina el movimiento, es decir la Trayectoria, la Velocidad y la Aceleraciónde un punto P, conociendo la geometría del mecanismo.
“Síntesis de mecanismos”:Es el proceso inverso, conocido el movimiento, se determinan las dimensiones geométricas a,b,c,....
II- a) Análisis estático: para máquinas de baja velocidad.Análisis de los movimientos considerando las fuerzas actuantes
II- b) Análisis dinámico: para maquinas de alta velocidad.Análisis de los movimientos considerando las fuerzas actuantes y de inercia.
Método utilizado en TDMM 1 ANÁLISIS
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Barras o Eslabones: nombre que recibe cada elemento o cuerpo sólido rígido encargado detransmitir el movimiento en los mecanismos.
Definiciones generales
Cuerpos sólidos rígidos formados por un solo cuerpo: los puntoscarecen de movimiento relativo entre ellos, sus distancias son invariables(levas, ruedas dentadas, árboles, ejes, palanca)
Cuerpos sólidos rígidos formado por conjunto de cuerposrígidamente unidos: Biela (formada por cabeza, cuerpo, casquillo, cojinetey tuerca).
Tipos de barras:
Cuerpos sólidos unirígidos: los puntos tienen movimiento relativo entreellos, sus distancias son invariables. (cadenas y correas, cables y poleas).
Elementos elásticos: Aquellos cuyas deformaciones son de gran magnitudy son comparables con sus movimientos (resortes, ballesta).
Elementos fluidos:-Agua, aceite o aire.- Transmisiones no mecánicas: Ej: Campo electromagnético (las líneasde fuerzas de un electroimán son una barra que transmite movimiento .
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Punto donde se interconectan las barras mediante los pares cinemáticos.
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Movimiento plano:
Cuando la trayectoria de tres cualesquiera de sus puntos materiales que no necesariamente estén alineados siguen trayectorias paralelas a un plano fijo.
MOVIMIENTO PLANO DE UN SÓLIDO RIGIDO
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Casos en los que el Criterio de Grübler da resultados incorrectos.
n=5 , i=6, s=0
GL = 3(5-1) - (2 . 6) – 0 = 0
Indica que es una estructura
La barra 3 tiene Dos CIR
• Hay ENGARROTAMIENTO
3
2
1
45
3
2
1
45
Sin embargo si la barra 5 se configura como la figura de la izquierda entonces será un mecanismo de doble paralelogramo con un grado de libertad, a pesar de que por Grübler resulte una estructura.
CIR , Hay MOVIMIENTO
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Por adición de Resortes: permite producir un equilibrio instantáneo, contrarrestando un peso y/o manteniendo una posición, pueden sustituir a una diada o ser adicionado al mecanismo.
Por adición de pares Cilíndricos (C) (cilindros hidráulicos o neumáticos): este además del movimiento de traslación añade uno de rotación el cual puede ser indeseable en la aplicación, por lo que los pares libres de la diada cilíndrica C se conectan a los pares de revolución (R).
Diada con par de Revolución
Grupos de Assur son grupos de barras que conectadas a un mecanismo a través de sus pares libres no modifican los GL de este, por lo que su GL tiene que ser cero.
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Criterio de Grübler para calcular el grado de libertad
Criterios no analíticos: Adición de grupos de Assur.
+Par usado
Pares Libres
=
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Ley de Grashof: Para que un cuadrilátero articulado plano, una o dos barrastengan rotaciones relativas completas es necesario que la suma de las longitudes delas barras mayor y menor sea inferior a la suma de longitudes de las otras dos.
Es decir a + d < b + c
En un mecanismo de 4 barras articuladas, la ley de Grashof, nos permitepronosticar el comportamiento de rotación de una barra.Se podrá predecir si una barra se comportará como manivela o como balancín.Esta característica de rotabilidad de una barra determinada, depende de 3factores:
1.- Las longitudes de las barras.2.- La barra que será la bancada.3.- El orden de montaje de las barras.
Si se cumple que a < b < c < d, estas pueden ser montadas en cualquier orden.ab c d
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1.- Si la bancada es una de las barras contiguas a la más corta, el elemento menor trabajará como manivela y el mayor como balancín, el mecanismo sería manivela-balancin.
CONSIDERACIONES DE LA LEY DE GRASHOF
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3.- Si se fija como bancada la barra opuesta a la más corta los dos elementos que giran trabajarán como balancines y el mecanismo sería doble balancín.
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– Análisis del movimiento general.– Ecuación de distribución de velocidades.– Método gráfico de determinación de velocidades.– Centro instantáneo de rotación.– Teorema de los tres centros.– Método analítico de determinación de velocidades.
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Mecanismos con movimiento respecto a referencia fija.
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MOVIMIENTO PLANO DE UN SÓLIDO RIGIDO
Rotación pura de B alrededor de A
Cuando todos los puntos están animados de movimiento menos unos que están sobre un eje perpendicular al plano de movimiento, que es el eje de rotación ( punto E).
Vector EP es:Módulo constanteDirección variable
E
P
RP
RE
Y
X
E PP ER R
( )P E d EPdR dRdt dt dt
( )0P E E
P
d EPV V V
dtV EP
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Mecanismos con movimiento respecto a referencia fija.
MOVIMIENTO PLANO DE UN SÓLIDO RIGIDO
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Ecuación de distribución de velocidades.
En el movimiento general de una barra se tiene que:
Velocidad de B = Traslación de A + Rotación de B en relación a A
Es decir
El punto A también puede tener rotación pura
X’
YY’
RB
RA
B
A
X
Interpretación
La ecuación fundamental de la cinemática en el movimiento plano o ecuación de distribución de velocidades plantea que “La velocidad del punto B es igual a la velocidad del punto A más la velocidad del punto B en relación a A, esta última debida a la rotación de B vista desde A”. Es decir el punto B tiene una velocidad en relación a A, que es VB,A.
La VB,A es definida como la diferencia de las velocidades entre dos puntos de una misma barra.
B AV V A B
,B A B AV V V
,B A B AV V V
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Distribución de velocidades absolutas a lo largo de la manivela.
Distribución de velocidades constante a lo largo de la biela (VA).
Distribución de velocidades aparente a lo largo de la biela.
Distribución de velocidades absolutas de cualquier punto de la biela.
Determinación gráfica (a escala) para el “Mecanismo Motor”Calcular VB conociendo la geometría del mecanismo, 2 y la dirección movimiento en B.
A2
B
VA
VB
VE
E
VA
VB
VBA
3
VDVC
CDVCA
VDA
Una vez conocida la velocidad VBA , se calcula analíticamente 3
B A 3V = . A B B A3
V
A B
¿Sentido de 3?Se obtiene interpretando la rotación teniendo en cuenta las velocidades aparentes.
Los orígenes de todos los vectoresde velocidad absoluta de todos lospuntos de la biela se encuentranalineados sobre la línea dedistribución de velocidadesaparente (color verde), y losextremos también alineados sobrela línea de distribución develocidad constante (color rosa).
La velocidad absoluta decualquier punto de la biela seobtiene sumando la distribuciónconstante VA y la distribuciónaparente de cada uno .
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• El CIR está sobre la recta que pasa por el punto en cuestión y es perpendicular a la velocidad de este. (o sea la velocidad de un punto es siempre perpendicular a la recta que lo une con el CIR). Vp perpendicular a IP
El movimiento plano más general siempre equivale en cada instante a una traslación ( = 0 ) o a una rotación ( 0 ) en torno a un punto llamado centro instantáneo de rotación o polo de velocidades cuya velocidad es nula en el instante considerado.El Centro Instantaneo de Rotación puede ser un punto propio o impropio del sólido
(que le pertenece o no)
El CIR se puede hallar conociendo la dirección de las velocidades de dos puntos, ya queestá en la intercepción de las rectas que son perpendiculares a sus velocidades.
A
VP
P
I
VA
p AV V
IP IA
*pV IP• EL módulo de la velocidad de un punto es siempre proporcional a su distancia al CIR y el coeficiente de proporcionalidad es .Cuanto más alejado esté el punto del C.I.R. mayor es su velocidad.
• Todos los puntos tienen en este instante, un movimiento de rotación alrededor de I.
Propiedades del C.I.R.
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La traslación del sólido puede ser considerada rotación entorno a un CIR que esta en el infinito en dirección perpendicular a las velocidades.
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Centro instantáneo de rotación.
TIPOS DE CIR:
CIR RELATIVO:
Son los CIR de los otros miembros al definir otra referencia diferente a la bancada. Permiten obtener información de los movimientos relativos entre miembros.El CIR Relativo es el punto que pertenece a los sólidos “a” y “b” y que tiene la misma velocidad absoluta, por lo tanto, la velocidad relativa es nula.
CIR ABSOLUTO:
Es el CIR definido respecto a la referencia de estudio, la bancada.El CIR Absoluto también es un centro instantáneo Relativo, con la particularidad de que la velocidad absoluta en ese punto es nula y por tanto la velocidad relativa también lo es.
Nº de CIR en un mecanismo
1#
2
n nCIR
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• Conociendo el CIR de una barra se puede determinar la velocidad (módulo, dirección, sentido) de cualquiera de sus puntos, por tanto es elemento clave en este análisis.
• Es un dato a tener en cuenta en el diseño de un mecanismo, ya que de él dependen las condiciones a las que se someten los sólidos.
• La posición del CIR afecta a la velocidad de los puntos del mecanismo, por lo que permite predefinir la ventaja mecánica del mismo.
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Ventaja mecánica:Para un cuadrilátero articulado suponemos que no hay rozamiento, ni fuerzas de inercia.
2 2 24 2 21 24 2 22V O I I I pI
4 4 24 4 41 24 4 44V O I I I pI
VM Infinita cuando
2 4
4 2
pVM
p
4 0
2 0p Es decir
42
2 2 4 4
V VI I
p p
42 4
4 2 2
salida
entrada
FMVM
M F
Entonces: Pe = Ps Por lo que M 2 · 2 = M 4 · 4
VI2=VI4
p2
p4
I 2 4
VAO2 VB
(2)
A
O4
(4)
B(3)
VB
I24
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Casos en los que el Criterio de Grübler da resultados incorrectos.
n=5 , i=6, s=0
GL = 3(5-1) - (2 . 6) – 0 = 0
Indica que es una estructura
La barra 3 tiene Dos CIR
• Hay ENGARROTAMIENTO
3
2
1
45
3
2
1
45
Sin embargo si la barra 5 se configura como la figura de la izquierda entonces será un mecanismo de doble paralelogramo con un grado de libertad, a pesar de que por Grübler resulte una estructura.
CIR , Hay MOVIMIENTO
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Centro instantáneo de rotación.APLICACIÓN DE LA DETERMINACIÓN DEL CIR
• El CIR es un dato a tener en cuenta en el diseño de un mecanismo, ya que de él dependen las condiciones a las que se someten los sólidos.
¿Condiciones a las que se somete la rueda de uncoche con suspensión transversal?
Premisa del Coche Automodelo: La no perdida de adherencia con el terreno.
La posición del CIR depende de la relación delongitudes de las barras del cuadrilátero del sistema desuspensión, el cual debe garantizar los parámetrosestablecidos para asegurar el correcto funcionamiento.
Parámetros a cumplir:
- Ángulo de salida o “caster”, - Ángulo de caída o “camber” - Ángulo de avance.- Ángulo de convergencia…
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Procedimiento para la determinación de los CIR aplicando el teorema de Kennedy.•Se calcula el número de CIRs.•Se identifican los CIR relativos y absolutos aplicando propiedades.•Para identificar los restantes CIR, se construye un polígono auxiliar que tenga tantos vértices como barras tenga el mecanismo en estudio. •Los C.I.R. del sistema son los lados y diagonales del polígono.•Se identifica el CIR buscado cuyo subíndice corresponde a una pareja de Barras.•Se forman dos Grupos de Barras cuyos CIR relativos están alineados. Cada Grupo tiene en común la pareja de barras definidas anteriormente y una tercera barra diferente.
• Dos CIR relativos de cada grupo son conocidos y pasan por una recta.
•En la intercepción de la recta de cada grupo está el C.I.R. buscado y cumple que está en línea recta con los dos anteriores.
Los centros instantáneos relativos de tres piezas cualesquiera de un mecanismo, no necesariamente consecutivas y con movimiento plano, están siempre alineados. 2
31
4
I13
I12
I32(132)
(134) I14
I34
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Interpretación: “La aceleración del punto B es igual a la aceleración de otro punto A más la aceleración del punto Brespecto de A”. Esta última es debida a la rotación de B respecto de A y será igual a la suma de la aceleración tangencial y normal.
A
BA Ba a
A
B
/B Aa
Traslación + Rotación
/B A B Aa a a
Aa
Ba
Ecuación fundamental de la aceleración en el movimiento plano
2
B A A B A Ba a
/ /B A B A B AT Na a a a
Aa
A
B
/B Aa Ba
/B A B Aa a a
ECUACIÓN DE ACELERACIONES: TRASLACIÓN + ROTACIÓN
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Aa• En la intercepción de las dos tangenciales está el punto de la
desde el polo de • aceleraciones y la desde laB
Aa
Ba
• Para calcular trazar las componentes de las aceleraciones del punto B referidas al punto A, la normal que es conocida porque se conoce la 3 y luego se traza la dirección de la tangencial a partir de esta y perpendicular a ella.
BA
a
89
Cuadrilátero articulado: Se conoce la aceleración angular de la barra 2 y la aceleración normal de los diferentes puntos.
CINEMA DE ACELERACIÓN
MÉTODO GRÁFICO PARA LA DETERMINACIÓN DE ACELERACIONES
B A B Aa a a
Barra 3
/ /T N
B A B A B Aa a a a
2/2
/ 3B AN
B AV
A BA B
a
Barra 42
24 4
4
BN V VB O B y a q u e RO Ba
T
T
Ba
BA
a
/
N
B Aa
N
Ba
Aa
O2 O4
B
A22
2
34
Aa • Trazar a escala y a partir del Polo de aceleraciones la aceleración
(A gira respecto a O2).
• Se traza la aceleración normal del punto B referido a otro punto del mecanismo (O4).
• Trazar la dirección de la tangencial a partir de esta y perpendicular a ella.
22
2 2 2
T NA A A O A O Aa a a
Barra 2
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Principios del análisis Estático -Análisis del movimiento teniendo en cuenta la acción de las fuerzas. - Se considera el sólido indeformable (Diseño). -Aplicación de las Leyes de Newton.
Análisis estático del sólido en movimiento planoTEMA 5
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Tipos de fuerzas: Con contacto físico y Sin contacto físico. Internas y Externas
Tipos de fuerzas Externas:-Peso.-Fuerza Motriz (de valor positivo, aporta energía)-Fuerza de Inercia (resistencia de los sólidos a cambios de cantidad de movimiento (V, a)
-Fuerza Resistente (se opone al movimiento).Útil: Realiza trabajo (corte de chapa)Pasiva: Provoca pérdidas (rozamiento)
1ª Ley de Newton 2ª Ley de Newton 3ª Ley de Newton
Acción y Reacción
Leyes de Newton
0 0i ii i
F M ··
d m VF m a
dt
107
Análisis estático del sólido en movimiento planoTEMA 5
Transmisión de esfuerzos: (no se generan esfuerzos sino que solo se transmiten).
Conocidos F2 y la dirección de E
Características de la transmisión de esfuerzo.
F2: Fuerza Motriz que aporta energía.
R: Fuerza Transmitida en C, causada por F2.
El aplicar F2 en P es igual que aplicar R en C.
Para equilibrar estáticamente el sistema, el hombre tiene que hacer una fuerza E en C llamada Equilibrante de manera que:
C
F2
O2
P
A2
B
R
3
O4
4
E
E = - R
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Reglas a cumplir:1- Las Fuerzas aplicadas a un mismo miembro del mecanismo pueden componerse odescomponerse siguiendo las reglas de la estática gráfica.
2- Una fuerza sólo puede transmitirse a otro miembro o a un apoyo si pasa por el puntode contacto y es perpendicular a la superficie de contacto.
En una articulación pueden transmitirse fuerzas de un miembro a otro en cualquierdirección con tal de que pase por el centro de la articulación.
Análisis estático del sólido en movimiento planoTEMA 5
Determinación de la Fuerza Equilibrante
F1
I
F12
F1 + F2 = F12
F2
FF
F'
F''
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Determinación de la Fuerza que F2 transmite al punto C.•Trazar Línea de Prolongación de F2 y de la barra 3. En la intersección esta el punto I.•Unir O2 con I.
•Trazar paralelas a las rectas O2I y AI y que pasen por el extremo de F2.
•En la intersección de la dirección de FB y la dirección de R esta el punto II.
•Trasladar la magnitud de F2 al punto I.
•En las intersecciones están las componentes FA y FO 2.
•La fuerza FA en la barra 3 es la misma en A y en B..•Prolongación la dirección y magnitud de FB.
•Trasladar la fuerza resultante transmitida R al punto C.
•Unir O4 con II.•Trazar paralelas a las rectas O4 II y C II y que pasen por el extremo de FB.•En las intersecciones están las componentes R y FO 4.
•La fuerza Equilibrante en C es igual a R pero de sentido opuesto.•Las componentes que se transmiten hacia los apoyos se anulan con las reacciones.
CF2
O2
P
A
2
B3
O4
4R
Fo2
FAFB
E
Fo4
R
Ro2
Fo4
Ro4
Fo2
F2I
IIFA FB
E = - R
111
Principio de superposiciónEl principio de superposición dice: Si dos o más sistemas de fuerzas son capaces porseparado, de mantener en equilibrio un mismo conjunto de sólidos rígidos, el sistema queresulta de superponerlos, también lo mantendría en equilibrio.
Análisis estático del sólido en movimiento planoTEMA 5
Determinación de la Fuerza Equilibrante
(2)
RO2
P
O2
A(3)
RO4
R
R
B
(4)
E
O4
FO4
E
RO4RO2
FO4
FO2FO2
F2
F2
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Análisis estático del sólido en movimiento planoTEMA 5
Determinación de la Fuerza Equilibrante
Método de los trabajos virtuales.Principio de los Trabajos Virtuales. Velocidades virtuales.
Un sistema mecánico (sólido rígido), interconectado con pares cinemáticos, está en equilibrio sí esnulo, el trabajo producido por las fuerzas aplicadas en la realización de pequeños desplazamientosvirtuales, compatibles con las ligaduras (restricciones o enlaces) del sistema.
Tipos de fuerzas “Actuantes”
Interiores: Se transmiten de partícula en partícula.Exteriores: Fuerzas de los Enlaces y Fuerzas Aplicadas
Los trabajos de las Fuerzas Interiores y de las de Enlaces se anulan.
Trabajo de las Fuerzas Aplicadas
int . .· · · ·
enl aplicn n nact n n n
n n
dW F dr F d r F d r F d r
· 0naplic aplic n
n
dW F d r
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Principios del análisis dinámico:• Todas sus piezas están en un plano común de simetría o un plano común de inercia.• Todas las fuerzas que actúan sobre él han de estar en ese plano y si no debe estarlo su resultante.• Se ha de tener en cuenta la masa de los elementos del mecanismo debido a que la aceleración que
alcanzan las masas generan otras fuerzas.
FUERZA DE INERCIA DEL MECANISMO.
Criterio de Newton: Plantea la ecuación para el equilibrio dinámico de una partícula o sólido rígido, cuya masa está concentrada en G.
Principio de D’Alembert: En una partícula acelerada, las sumas de las fuerzas que actúan sobre ella, incluyendo la de Inercia, es nula.
Análisis dinámico del sólido en movimiento plano.TEMA 6
Fuerza de inercia del mecanismo.
Se considera que la masa del cuerpo está concentrada en G y que existe movimiento de traslación de G y rotación respecto de G.
Fn = m * aG
G = IG * F3
G=
m, IG
G
rn
MG
Fn
F1
F2
Fn
iF F 0n
F ·m a
F · 0m a
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El Criterio de D’Alembert trata la dinámica bajo los principios de la estática
Si sobre un sólido actúan unas fuerzas y un par se puede considerar que:• Existe una fuerza Fi igual y contraria que se opone a su avance.• Existe un Par de Inercia Mi igual y contrario que se opone a que gire.
La masa “m” indica la resistencia que tiene un sólido a no dejarse ACELERAR LINEALMENTE.
El momento de Inercia “I” indica la resistencia de este a no dejarse ACELERAR ANGULARMENTE.
POR LO QUE: a mayor MASA y mayor MOMENTO DE INERCIA del sólido: Es necesario
aplicar mayor Par (M) de rotación para Acelerarlo Angularmente o mayor Fuerza (F) para Acelerarlo
Linealmente, sin embargo mayor energía cinética se acumula. Por ejemplo al utilizar un Martillo.
Análisis dinámico del sólido en movimiento plano.TEMA 6
Fuerza de inercia del mecanismo.
F1
F2
F3 Fn
m, IG
G
MG
Mi
Fi
R
n iF F 0n
· 0GR m a
M 0G n Gn
F I
M 0G in
M
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El análisis dinámico se realiza partiendo de los principios de la estática, por lo quetambién se utiliza el Principio de los Trabajos Virtuales, pero con la consideración delas fuerzas y pares de Inercia.
Análisis dinámico del sólido en movimiento planoTEMA 6
Determinación de la Fuerza Equilibrante
· 0naplic aplic n
n
dW F d r
Derivando la expresión de Trabajo se obtienen las Potencias Virtuales.
2 2 3 3 4 4 2 3 42 2 2 3 4 2 3 4· · ·· · · · · · · 0A C E i G i G i G i i iF F F FM V F V M V V V M M M
O
A
(2)
(3)
(4)
O
B
M2
ME
G2
G3
G4
F2
F3
C
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El punto donde golpea la pelota se considera punto de percusión O’
y donde está la mano el punto de rotación percusivo O.
La masa del sólido se puede considerar concentrada en O y O’ como masas puntuales.
El BATE cumple que:
-Traslada: con una Aceleración Constante.
-Rota: con una Aceleración Tangencial variable
121
Debido a la complejidad geométrica de los elementos en los mecanismos o a que su masa no es homogénea (densidad variable), estos son sustituidos por otros más simples pero dinámicamente equivalentes es decir que tengan los mismos comportamientos dinámicos.
Este procedimiento consiste en sustituir las piezas reales de los mecanismos por otras más sencillas cuyas masas están supuestamente concentradas en un punto.
Condiciones de sistemas dinámicamente equivalente.
1. La suma de las masas puntuales elegidas es igual a la masa real del mecanismo.m1 + m2 + .............. + mn = m
2. El centro de gravedad G debe estar en la misma posición que el mecanismo original, tal que la suma de los pares (estáticos) que producen las diferentes masas sea igual a cero, así como lo es el de la masa considerada en el centro de gravedad:m1*r1 + m2*r2 + ............+ mn*rn = m*rG = 0 ya que rG = 0
3. El momento de inercia polar IG debe ser también el mismo:m1*r1
2 + m2*r22 + ............+ mn*rn
2 = m*r2 = IG
Análisis dinámico del sólido en movimiento plano.TEMA 6
Sistemas dinámicamente equivalentes.
G
mG
m 2
m1
G
m, IG
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Comportamientos de la carga y del motor en las máquinas cíclicas:
Caso 1: El par de la carga es constante pero el par motor es variable:- Motores de combustión.
Caso 2: El par de la carga es variable pero el par motor es constante: - Punzonadoras, bombas alternativas, etc.
Debido a las elevadas fluctuaciones del par motor y/o de la carga, se precisa Volante de Inercia, para conseguir una velocidad de régimen casi constante (o con las menores fluctuaciones posibles).
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En los sistemas de un GL la energía cinética totalde un mecanismo es la suma de las energíascinéticas de cada una de sus partes (barras):
124
Dinámica de los sistemas con un grado de libertad.TEMA 7
• Permite simplificar el análisis dinámico de los mecanismos que funcionan en Régimen no Estacionario.• Plantea que toda la energía cinética del mecanismo es reducida a un punto, en el que se colocará unabarra (VOLANTE) que tendrá la misma energía cinética del mecanismo.
eje de reducción
IR
O1 O2
Momento de Inercia Reducido (IR) a un eje principal.Es el momento de inercia de un sólido con movimiento de rotación (volante), que montado en el eje de reducción y girando con él, tiene la misma Energía Cinética que todo el mecanismo. IR = IV
Teoría de la Reducción
EC del mecanismo será:2 21 1
· ·2 2n n nc n G G n
n
E m V I
Ec del sólido que rota con el eje de reducción 21
· ·2VC R RE I
V nC CE E
2 2 21 1 1· · · · · ·
2 2 2n nR R n G G nI m V I
Si
2 2
· ·nO n
Gn nR n G
j R R
VI m I
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Dinámica de los sistemas con un grado de libertad.TEMA 7
Par reducido a un eje:
MR
R
A
VA C
FAFC
VC
3
M3
Es el par, que aplicado en el eje de reducción, produciría en un pequeño movimiento del mecanismo, el mismo trabajo que producen las fuerzas realmente aplicadas.
MR es un Par Reducido
M3 es un Par Resistente o Equilibrante
3 3· · · ·R R A A C CM F V F V M
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Observe que no aparecen las potencias provocadas por las F y M de Inercia, como es en las Potencias Virtuales.
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Dinámica de los sistemas con un grado de libertad.TEMA 7
Masa reducida a un punto.
Llamaremos masa reducida a un punto R de un mecanismo, a la masa mR quecolocada en ese punto y moviéndose con él, tendría ella sola la misma energíacinética que todo el mecanismo real.
21· ·
2mRC R RE m v La masa reducida es considerada masa puntual, por lo que
desaparece la Energía Cinética debida a la rotación.
2 2
· ·A
A A
Gn nR n Gn
n nR R
vm m I
v v
La masa reducida depende de las velocidades por lo quees variable, y por ende de la posición del mecanismo.
2 21 1· · · ·
2 2T nC n G Gn nE m v I
m TRC CE E
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Parámetros utilizados para dimensionar el Volante de inercia:- La velocidad angular media.- El Grado de Irregularidad.- Par Motriz y Par Resistente.- Momento Inercia del Volante o IR