Erstellung einer offiziellen österreichischen Rententafel und deren Anwendung auf ein stochastisches Lebensversicherungsmodell Pr ¨ asentation beim Workshop f¨ ur junge Mathematiker der Deutschen Aktuarsakademie (DAA) Reisensburg, G ¨ unzburg, 22. September 2007 Reinhold Kainhofer Institut f. Wirtschaftsmathematik, FG Finanz- und Versicherungsmathematik, TU Wien [email protected]Erstellung einer offiziellen ¨ osterreichischen Rententafel – p.1/44
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Erstellung einer offiziellenösterreichischen Rententafel
und deren Anwendung auf ein stochastisches Lebensversiche rungsmodell
Prasentation beim Workshop fur junge Mathematiker der
Deutschen Aktuarsakademie (DAA)
Reisensburg, Gunzburg, 22. September 2007
Reinhold KainhoferInstitut f. Wirtschaftsmathematik, FG Finanz- und Versicherungsmathematik, TU Wien
◦ Änderungen gegenüber AVÖ 1996R◦ Diverse Bemerkungen
• Das Markov-Modell in der Lebensversicherung◦ Gewinnbeteiligung◦ numerische Ergebnisse
• Diskussion / Fragen / Bemerkungen
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.2/44
Sind neue Tafeln n otig?
Die letzten Rententafeln AVÖ 1996R haben ihr beabsichtigtes Alter erreicht(typischerweise 10 Jahre).
Manche Annahmen der AVÖ 1996R sind nicht eingetroffen:• Zu wenige Sicherheitsabschläge für Modellrisiko / Parameterunsicherheit.• Trendabschwächung nicht bemerkbar - im Gegenteil (bei hohen Altern).• Benutzte Selektionseffekte für Männer scheinen zu gering.
Neue deutsche Tafeln DAV 2004-R im Vergleich (NEP einer 20 Jahreaufgeschobenen Rente, Bezug ab 65 Jahre, 2.75% Zins):
AVÖ 1996R DAV 2004-R AVÖ in % von DAV
Männer 8.282 10.522 78.7%
Frauen 10.188 11.691 87.1%
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Allgemeines zur Tafelerstellung
Ziel: Erstellung einer Generationentafel (wie AVÖ 1996-R):
• ähnlicher Aufbau wie AVÖ 1996R hat (damit leicht zu implementieren)• an aktuelle Daten angepasst• langlebig (damit nicht in 10 Jahren wieder stark nachreserviert werden muss)
1. Grundlagen 2. Ordnung (Basistafel, Trend): Tatsächliche Versicherten-sterblichkeit (Daten der Statistik Austria und Selektionseffekte wie in D)
2. Grundlagen 1. Ordnung: zusätzliche Sicherheitsabschläge fürModellrisiko, Parameterunsicherheit, etc.
Für das Schwankungsrisiko soll auch diesmal kein Effekt eingebaut werden,die Argumentation ist gleich wie bei der AVÖ 1996R.Literatur: R. Kainhofer, M. Predota, U. Schmock: The new Austrian annuity valuation table
AVÖ 2005R, Mitteilungen der AVÖ, Heft 13, S.55–136, April 2006.
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Datenmaterial
Bevölkerungssterblichkeit (Statistik Austria)• Volkssterbetafeln der Volkszählungen seit 1870 (Alter bis 90 bzw. 100).• Jährlich fortgeschriebene rohe Sterbetafeln seit 1947 (bis 2002).
Altersgrenze 95 Jahre.• Sterbetafel der Volkszählung 2000/02 bis zum Alter von 112 Jahren.
Rentnerselektionseffekte• Keinerlei Aufzeichnungen in Österreich vorhanden. Auch Daten der
gesetzlichen Sozialversicherung standen diesmal nicht zur Verfügung.• In Deutschland Aufzeichnungen der GenRe und der Münchner Rück über
Rentenversicherungen der Jahre 1995 bis 2002. Außerdem Daten dergesetzlichen Rentenversicherung von 1986 bis 2002.
• In der Schweiz Beobachtungsdaten der Rentenversicherungen seit 1937vorhanden.
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Allgemeine Formel der Rententafel
Formel für Sterbewahrscheinlichkeit qJ(x) einer x-jährigen Person im Jahr J :
qJ(x) = fSel(x) · q2001(x)︸ ︷︷ ︸q(2001)
G|E(x)...Basistafel 2001
·e−G(J−2001)λx [·fSR(x)], (1)
q2001(x) . . .offizielle Sterbetafel 2000/02
fSel(x) . . .Selektionsfaktor für Person im Alter x
G(J − 2001) . . .langfristige Trendabschw. (in 100 J. halbiert, Grenzsterbl.)
λx . . .jährliche Verbesserung der Sterblichkeit (aus Trend seit 1972)
fSR(x) . . .Abschlag für Schwankungsrisiko, nicht in den Tafeln
Trend ist Modifikation des Mittelfristtrends (seit 1972) der Gesamtbevölkerung,plus Sicherheitszuschläge (Modell-, Parameterunsicherheit) und Selektion.
λx sind konstant und tabelliert, ebenso Basistafel 2001 q(2001)G|E .
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Selektionsfaktoren
Daten nur aus Deutschland vorhanden, in der Schweiz keine Untersuchungen.
Selektionsfaktoren AVÖ 2005R, Einzel- und Gruppentafel
DAV 04R F
DAV 04R M
AVÖ 05R F Gruppe
AVÖ 05R F
AVÖ 2005R M Gruppe
AVÖ 2005R M
Form ist 1) mathematisch einfach, 2) passt gut zu deutschen Kurven, 3) beiAVÖ 1996R als guter Fit der Daten der gesetzlichen SV in Österreich erhalten
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Weitere Bemerkungen zu den Selektionsfaktoren
• Selektion der Frauen deutlich geringer als bei M. Mögliche Gründe:1. Frauen haben schon eine geringe Sterblichkeit, daher keine starke
Selektion mehr möglich.2. Die Selektion orientiert sich stark am Ehemann, da viele Paare eine
Rentenversicherung gemeinsam abschließen. Der Einfluss der Frau istdaher nicht so stark. Dies kann (bzw. wird voraussichtlich) sich in derZukunft ändern, weshalb für Frauen die Selektionseffekte zusätzlicherhöht werden.
• In D zwei Tafeln: Selektionstafel (nur für Bezugszeit), in den ersten 5Jahren des Bezugs mit zusätzlichem Selektionseffekt a (daher scheinbargeringere Selektionsfaktoren), und Aggregattafel über den ganzenBestand (Bezug und Aufschub). Letztere wurde für die AVÖ 2005R benutzt(Ansonsten würde für jedes Rentenbeginnalter eine eigene Tafel benötigt).
aFaktor im 1. Jahr 0.67 (M) bzw. 0.71 (F), im 2.-5. Jahr 0.88 (M) und 0.80 (F)
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Basistafel 2000/02
Als Basistafel q2001(x) wird die Volkszählungstafel 2000/02 benutzt, die bis zumAlter 112 Jahre vorliegt. Darauf werden die Selektionsfaktoren angewendet:
20 40 60 80 100 120Alter
-8
-6
-4
-2
Log qx Basistafel nach Volkszählung 2000�02
Frauen mit Selektion
Männer mit Selektion
Frauen Gesamtbev.
Männer Gesamtbev.
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Extrapolation fur sehr hohe Alter
Der Vollständigkeit halber, genaue Wahl hat praktisch keinen Einfluss (außerauf Reserven, wenn jemand über 110 Jahren im Bestand).
80 90 100 110 120 130Alter x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ste
rbew
ahrs
chei
nlic
hkei
tqx
Extrapolation für hohe Alter, Frauen, Daten der Volkszählung 2000�02
Logistisch
Kannisto c¹0
Kannisto c=0
Weibull
Heligmann-Pollard
Quadratisch
Gompertz
Beobachtet
Bemerkung: Die Sterbewahrscheinlichkeiten für hohe Alter sind nach derneuen Volkszählung sogar gestiegen!
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Trendentwicklung (Volksz ahlungen), M anner
20 40 60 80 100Alter
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Λx Sterblichkeitsverbesserungen bis 2002, Volkszählungsdaten , Männer
Seit 1981
Seit 1971
Seit 1950
Seit 1870
• "Mulde" bei 40-60 Jahren nur im Mittelfristtrend• kein Trendrückgang
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Trendentwicklung (Volksz ahlungen), Frauen
20 40 60 80 100Alter
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Λx Sterblichkeitsverbesserungen bis 2002, Volkszählungsdaten , Frauen
Seit 1981
Seit 1971
Seit 1950
Seit 1870
• "Mulde" bei 40-60 Jahren, entspricht fast Langzeittrend!• starke Ausprägung des "Buckels" für hohe Alter!
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Rohtrend seit 1972: Lee-Carter Methode
Rohdaten: jährlich fortgeschriebene Sterbetafeln bis 95 Jahre der StatistikAustria, 1972 bis 2002. (Daten seit 1947 vorhanden)Bi-lineare Zerlegung der Sterbewahrscheinlichkeit in der Form:
log q(t)x = αx + βxκt + ε(t)
x
αx. . . allgemeine Form der Sterblichkeitskurveκt. . . Zeittrend, als Zeitreihe angesehenβx. . . altersabhängiger Einfluss des Trends
ε(t)x . . . normalverteilter Fehlerterm
• Bestimmung der αx als Mittelwert über den Betrachtungszeitraum.
• Z(t)x = q
(t)x − αx als Matrix aufgefasst, Singulärwertzerlegung
(Z = L · S · R), deren erster Term genau die Zerlegung in βxκt liefert.Entspricht "ordinary least-squares" Fit an die Matrix.
• κt als Zeitreihe angesehen (Random Walk mit Drift), die linear extrapoliertwerden kann: κ2001+n = κ2001 + n∆κ
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Lee-Carter Zerlegung
• Lee-Carter Methode vor allem in den USA und in GB standardmäßig.• Lineare Extrapolation (ARIMA(0,1,0) Zeitreihe) entspricht dem Modell der
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Extrapolationsparameter λx aus Lee-Carter
Aus der Lee-Carter Zerlegung ergeben sich folgende Parameter für dieGesamtbevölkerung, die noch an die Menge der Rentenversichertenangepasst werden müssen. Zum Vergleich sind hier schon die Parameter derAVÖ 1996R angegeben:
20 40 60 80 100Alter
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Λx Λx aus Lee-Carter, Männer
Rohtrend aus Lee-CarterAVÖ 1996R, Kurzfristtrend
AVÖ 1996R, Langfristtrend
20 40 60 80 100Alter
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Λx Λx aus Lee-Carter, Frauen
Rohtrend aus Lee-CarterAVÖ 1996R, Kurzfristtrend
AVÖ 1996R, Langfristtrend
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• In D: Vergleich Arbeiter vs. Angestellte (gesetzliche Rentenversicherung):Zuschlag von 0.2% auf Trend der Gesamtbevölkerung.
• Im Gegensatz zu D wird kein Trendrückgang angenommen (keineAnzeichen erkennbar, Trend hat in den letzten 10 Jahren sogarzugenommen). Dies entspricht zum Teil auch schon einem gewissenSicherheitszuschlag.
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Versichertentrend λx
• Trend für Gesamtbevölkerung aus Rohdaten seit 1972• Um 0.2% additiv nach oben verschoben (soziale Selektion): roher
Versichertentrend• Keine kurzfrist. Trendabschwächung. Langfristig abschwächen des Trends
(in 100 Jahren halbiert), dadurch erhält man Grenzsterbetafel. GeringerEinfluss auf Renten in der Lebensdauer der AVÖ 2005R.
• Buckel bei hohen Altern um 5 Jahre nach oben verschoben (medizinischerFortschritt, bessere Altenversorgung)
• Mulde in den Trends linearisiert (Monotonie!)• Für Modellrisiko (Bestimmungsfehler, bzw. Verstärkung): 0.3% additiver
Aufschlag a, dafür kein zusätzlicher Abschlag auf Basistafel. (Verlegt dieSicherheit in die Zukunft.)
• Keine Beschränkung nach unten (in D: 1% führt zu Problemen ab 90 J.)
aIn D: Bestimmt durch einen Knick in den kommenden 50 Jahren.
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Langfristige Trendabschw achung
• Trend λx pro Jahr nicht zeitlich konstant. Jährliche Verbesserung nimmt
nicht-linear ab auf λ(1)x (t) = λx
1+(t/t1/2)2im Jahr 2001 + t mit t1/2 = 100.
• Kumulierter (aufintegrierter) Trend von 2001 bis ins Jahr 2001 + t:
λx =t1/2
tarctan
(t
t1/2
)λ(orig)
x bzw. G(t) = t1/2 arctan
(t
t1/2
)
• Grenzsterbetafel: G(t)t→∞−−−→ π
2 t1/2. Mittl. Lebenserwartung: ≈ 102 Jahre
20 40 60 80 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1rel. Korrektur des jährlichen Trends
20 40 60 80 100
20
40
60
80
100Abschwächung des kumulierten Trends
langfrist. Abschw., GHtL wie oben
keine Abschw., GHtL=t
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.18/44
Trendvergleich AV O 2005R mit AV O 1996R• Starke Trendzunahme (vor allem im Altersbereich 60 bis 90 Jahre)
gegenüber der AVÖ 1996R.• Für Einzel- und Gruppentafel wird derselbe Trend benutzt.
20 40 60 80 100 120
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
AVÖ 2005R, Trend Männer
Langfristtrend AVÖ 1996R
Kurzfristtrend AVÖ 1996R
roher Versichertentrend, Männer
AVÖ 2005R Männer
20 40 60 80 100 120
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
AVÖ 2005R, Trend Frauen
Langfristtrend AVÖ 1996R
Kurzfristtrend AVÖ 1996R
roher Versichertentrend, Frauen
AVÖ 2005R Frauen
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.19/44
Generationenensterbetafeln 1915 und 1945
95 100 105 110 115 120Alter
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Log qx Tafel für Geburtsjahrgang 1915
ERF 99 Frauen
ERM 99 Männer
DAV 2004-R Frauen
DAV 2004-R Männer
AVÖ 2005 Frauen
AVÖ 2005 Männer
AVÖ 1996R Frauen
AVÖ 1996R Männer
70 80 90 100 110 120Alter
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Log qx Tafel für Geburtsjahrgang 1945
ERF 99 Frauen
ERM 99 Männer
DAV 2004-R Frauen
DAV 2004-R Männer
AVÖ 2005 Frauen
AVÖ 2005 Männer
AVÖ 1996R Frauen
AVÖ 1996R Männer
• Sterbewahrscheinlichkeiten nehmen tw. im Vergleich zur AVÖ 1996Rsogar zu. Dies ist auch auf die Steigung (in den Altern über 100 Jahren) inden offiziellen Sterbetafeln zurückzuführen.
• Sterbewahrscheinlichkeiten fast ausschließlich über deutschen WertenErstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.20/44
Generationenensterbetafeln 1965 und 2005
60 80 100 120Alter
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Log qx Tafel für Geburtsjahrgang 1965
ERF 99 Frauen
ERM 99 Männer
DAV 2004-R Frauen
DAV 2004-R Männer
AVÖ 2005 Frauen
AVÖ 2005 Männer
AVÖ 1996R Frauen
AVÖ 1996R Männer
20 40 60 80 100 120 140Alter
-10
-8
-6
-4
-2
Log qx Tafel für Geburtsjahrgang 2005
ERF 99 Frauen
ERM 99 Männer
DAV 2004-R Frauen
DAV 2004-R Männer
AVÖ 2005 Frauen
AVÖ 2005 Männer
AVÖ 1996R Frauen
AVÖ 1996R Männer
• Logarithmen der Sterbewahrscheinlichkeiten nicht mehr linear (im Bereich30 bis 80/90 Jahre). Diese Eigenschaft wäre für Altersverschiebungerwünscht...
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.21/44
Entwicklung der Lebenserwartung
Lebenserwartung von Rentenversicherten (Basistafel und Trend 2. Ordnung):
2000 2020 2040 2060Year t
10
20
30
40
Years Future lifetime of a 60-year old male, Quantiles
2000 2020 2040 2060Year t
10
20
30
40
Years Future lifetime of a 60-year old male, Quantiles
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.23/44
Schwankungsrisiko?
• Das Schwankungsrisiko ist in den Tafeln nicht berücksichtigt.Argumentation dafür wie bei AVÖ 1996R.
• Gründe:◦ Keine Daten in Österreich vorhanden, geringe Bestände◦ Statistischer Schwankungszuschlag wäre zu groß!◦ Wegen geringer Bestänge hängt Zuschlag stark von der Größe des
Unternehmens ab ⇒ Kleine Unternehmen würden benachteiligt.◦ Die Schadensverteilung ist sehr schief, das Risikokapital ist (im
Vergleich zu Ablebensversicherungen) relativ gering.◦ Geringer Einfluss auf die Barwerte
• Berücksichtigung des SR in entsprechender Höhe ist Aufgabe desjeweiligen Aktuars (wie bei AVÖ 1996R).
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.24/44
Vergleich ausgew ahlter Barwerte und Pr amien
• Abschluss der Rente (wenn nicht anders angegeben) 2005• Zinssatz: 2.75% (wie auch in der Publikation zur DAV 2004-R
angenommen)• Zum Vergleich jeweils BW in folgender Reihenfolge:
◦ AVÖ 2005R◦ AVÖ 1996R◦ DAV 2004-R (Deutschland)◦ ERM/F 1999 (Schweiz)◦ Steigung der AVÖ 2005R im Verhältnis zu AVÖ 1996R
• Achtung: DAV 2004-R und ERM/F 1999 beinhalten jeweils einen Zuschlagfür das statistische Schwankungsrisiko, die AVÖ 2005R nicht!
• Durch Rückgewähr ist Sterblichkeit in Aufschubzeit fast irrelevant =⇒Prämen proportional zu NEP von sofort beginnender Leibrente
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.25/44
Sofort beginnende LR an 60-j ahrigen Mann
2020 2030 2040 2050 2060 2070
18
19
20
21
22
23
24
25
BW einer sofort beg. LR, Männer 60
AVÖ 1996R
DAV 2004-R
ERM�F 1999
AVÖ 2005R Gruppe
AVÖ 2005R
• BW steigen gegenüber AVÖ 1996R stark an, liegen stark unter DAV2004-R und ERM 1999.
• DAV 2004-R hat einen noch stärkeren Trend als AVÖ 2005RErstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.26/44
Sofort beginnende LR an 60-j ahrige Frau
2020 2030 2040 2050 2060 2070
21
22
23
24
25
BW einer sofort beg. LR, Frauen 60
AVÖ 1996R
DAV 2004-R
ERM�F 1999
AVÖ 2005R Gruppe
AVÖ 2005R
• BW steigen gegenüber AVÖ 1996R stark an, liegen stark unter DAV 2004-R und ERF 1999.
• DAV 2004-R hat einen noch stärkeren Trend als AVÖ 2005R
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.27/44
• BW nimmt bei hohen Altern wieder ab im Vergleich zur AVÖ 1996R.• Prozentuelle Steigung etwa gleich wie in D, geringer als bei Männern.• BW liegt deutlich unter Werten nach DAV und ERM.
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.29/44
BW sof. beg. LR, M anner (AVO 05R, 96R, DAV04R und Anstieg von 96R)
40 45 50 55 60 65 70 75
2005
2703.462518.162751.231.07359
2543.362348.072591.581.08317
2363.112162.412411.211.09281
2162.951959.412208.961.10388
1937.531738.321981.151.11459
1685.031502.21728.641.12171
1416.861260.661462.981.12391
1141.831018.871194.341.12069
2015
2752.232543.432808.191.08209
2600.42375.382656.621.09473
2428.572191.132484.431.10837
2236.241988.972290.221.12432
2018.511768.152070.491.14159
1773.21531.561825.271.15777
1508.731288.291562.351.17111
1231.981043.751288.861.18034
2025
2791.022567.182859.031.08719
2646.152401.122714.951.10205
2481.612218.312550.51.1187
2296.392017.072364.071.13848
2085.971796.622152.271.16105
1847.881559.621914.471.18482
1588.121314.71655.391.20797
1311.71067.431379.641.22884
2035
2821.822589.62903.81.08967
2682.672425.552767.271.10601
2524.272244.262610.321.12477
2345.242044.072431.381.14734
2141.371824.172227.31.17389
1910.041586.971996.911.20358
1655.271340.631742.551.2347
1380.511090.841466.781.26555
2045
2846.372610.792939.581.09023
2711.882448.742812.061.10746
2558.552269.032663.621.1276
2384.772070.012492.651.15206
2186.61850.82296.341.18143
1961.281613.582073.341.21548
1711.361366.061824.411.25278
1438.981113.971550.451.29176
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.30/44
BW von sof. beg. LR, Frauen (AVO 05R, 96R, DAV04R und Anstieg von 96R)
40 45 50 55 60 65 70 75
2005
2815.742716.112865.71.03668
2670.542563.442723.181.04178
2504.962392.432560.281.04703
2316.622200.372374.071.05283
2099.871983.632161.781.0586
1851.281741.691922.461.06292
1575.541481.111657.991.06376
1280.721209.941378.351.0585
2015
2851.342742.842911.041.03956
2713.122593.272775.691.04621
2555.082425.012620.51.05364
2374.752235.412442.381.06233
2167.2021.032238.531.07222
1928.311781.122007.681.08264
1661.31521.251750.131.09206
1371.1248.911472.541.09776
2025
2879.652767.252951.931.04062
2747.172620.682823.191.04826
2595.472455.172675.121.05714
2422.042268.132504.621.06786
2222.222056.262308.851.08071
1992.51818.542086.241.09566
1733.911559.661835.871.11172
1449.131286.481561.731.12644
2035
2902.22789.622987.751.04036
2774.382645.952865.931.04854
2627.912483.22724.791.05828
2460.292298.792561.51.07025
2267.242089.542373.421.08504
2045.291854.192158.791.10306
1794.361596.61915.751.12386
1515.361323.1646.181.1454
2045
2920.292810.183014.771.03918
2796.242669.292901.381.04756
2654.052509.262768.51.0577
2491.232327.522613.121.07034
2303.842120.972432.821.08622
2088.481888.132225.961.10611
1844.241632.091990.311.12999
1570.81358.441726.191.15633
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.31/44
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.33/44
Anderungen zu AV O 1996R, Sicherheitszuschl age
In AVÖ 2005R eingebaute (oder im Vergleich zu DAV 2004-R nicht eingebaute)Effekte und Sicherheitszu- bzw. abschläge im Vergleich zur AVÖ 1996R:
Effekt 2. Ord. (tats.) 1. Ord. (Sich.)
Keine kurzfrist. Trendabschwächung +Selektionsfaktoren korrigiert +
Höhere Selektion für F (+) +Kein Sicherheitsabschlag auf Selektion a -0.2% Selektionsaufschlag auf Trend b +0.3% Sicherheitszuschlag auf Trend +Verschiebung des Buckels bei hohen Altern + +Monotonisierung des Trends (+) c
aDAV 2004-R hat zusatzlichen Sicherheitsabschlag von 7% auf WahrscheinlichkeitenbNur soziale Selektion, keine personliche Selektion miteinbezogen.cPraktisch wenig Einfluss, da fast nur in Aufschubzeit.
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.34/44
Einfluss der 1. und 2. Ordnung
Prämie einer aufgeschobenen Leibrente mit Rückgewähr währendAufschubzeit. 2.75% Zins.
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.35/44
Diverses• Einfluss der Trendabschwächung nur maximal 1-2% auf die Barwerte (im relev. Zeitbereich).
• Barwerte / Prämien in Gruppentafel etwa 2-3.5% niedriger als in Einzeltafel für Männer undetwa 1-2.5% niedriger für Frauen.
• In D festgestellt:◦ Sehr starker Einfluss eines Gesundheitschecks auf die Sterblichkeit◦ Einfluss der Rentenhöhe auf die Sterblichkeit
• Barwerte für hohe Alter sind gesunken, weil q in den Volkssterbetafeln gesunken ist. BW beihohen Altern liegen teilweise 30% unter den Barwerten nach DAV 2004-R. Zu geringe q indeutscher Tafeln für hohe Alter!
• Keine allzu vorsichtigen Annahmen in die Tafel eingebaut (um möglichst viel Sicherheit undlange Lebensdauer der Tafel zu gewährleisten). Gründe dafür:◦ Sicherheitszuschläge der DAV 2004-R sind noch höher, Werte in D und CH deutlich
über unseren◦ Momentan noch geringe Bestände. In 10 Jahren wäre der Nachreservierungs-Bedarf
sonst um ein Vielfaches höher.◦ Falls Annahmen wider Erwarten zu stark waren, kann über die Gewinnbeteilung ein Teil
wieder rückerstattet werden.
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.36/44
Gewinnbeteiligung in einem Markov-Modell
Beispielrechnung der Auswirkung des Umstiegs auf die AVÖ 2005-R in derGewinnbeteiligung.
Gemeinsame Arbeit mit Thomas Bauer und Uwe Schmock
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.37/44
Das Markov-Modell in der Lebensversicherung
• Zustand Z ∈ S der Polizze als Markovkette modelliert (künftigeEntwicklung hängt nur von aktuellem Zustand ab, nicht vonVergangenheit; „Markov-Eigenschaft“):
• Übergänge beschrieben durch Übergangswahrscheinlichkeiten P (t, u)bzw. -intensitäten Λ(t):
P Z(t, u) =
0
B
B
B
@
pZ11
(t, u) pZ12
(t, u) . . .
pZ21
(t, u) pZ22
(t, u) . . .
......
. . .
1
C
C
C
A
bzw. Λ(t) =
0
B
B
B
@
µ11(t) µ12(t) . . .
µ21(t) µ22(t) . . .
......
. . .
1
C
C
C
A
,
wobei µjk(t) = lim∆tց0pZ
jk(t,t+∆t)
∆t für alle j 6= k ∈ S, t ∈ [0,∞).
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.38/44
Markov-Modell II
• Zusammenhang durch Kolmogorovsche Differentialgleichungen:
∂
∂tP Z(s, t) = P Z(s, t)Λ(t)(Vorw.-Glg.) bzw.
∂
∂sP Z(s, t) = Λ(s)P Z(s, t)(Rückw.-Glg.)
• Größen wie Deckungskapital durch Rekursionsgleichungen bzw.Differentialgleichungen (Thielesche Differenzen-/Differentialgleichungen)gegeben für s < t < u:
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.39/44
Einfaches Rentenvers.-Modell mit stoch. Zins
Bestimmung der Prämien erfolgt nach (vorsichtigen) Rechnungsgrundlagen 1.Ordnung. Die Auszahlungen geschehen jedoch nach der wahren Sterblichkeitund dem wahren Zins (2. Ordnung), die i.A. von RG 1. Ordnung verschiedenund hier als stochastisch angenommen sind:
• zwei tatsächliche Zinszustände (2.Ord.): z.B. 2.5% und 2.75%, alsMarkovprozess
• zwei tatsächliche Sterblichkeitszustände (2. Ord), als Markovprozess
∗1 ⋄1
∗2 ⋄2 †
∗3 ⋄3
µ∗1⋄
µ∗1†
µ⋄1†
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.40/44
Arten der Gewinnbeteiligung
Durch Verwendung der RG 1. Ordnung bei Prämienbestimmung ergibt sich einGewinn für die Versicherung ⇒ muss an Versicherte ausgeschüttet werden.
• Cash-Bonus: Sofortige Auszahlung der Dividenden• Terminal-Bonus: Auszahlung der akkumulierten Dividenden am Ende der
Laufzeit• Erhöhte Versicherungsleistung: Dividenden werden benutzt, um
Versicherungsschutz zu erhöhen
Für jede dieser Typen der Gewinnbeteiligung lässt sich eine Thiele’sche DGaufstellen und numerisch lösen. Betrachtet werden diverse Szenarien (Wertefür die zwei Zins- und Sterblichkeitsniveaus). Untersucht wird Zins- undSterblichkeitsgewinn, sowie der Gesamtgewinn.
Literatur:
• Th. Bauer: Gewinnverteilungssysteme in einem stochastischen Lebensversicherungsmodell,Diplomarbeit, TU Wien, 2005.
• R. Norberg: A theory of bonus in life insurance. Finance Stochast., 3:373–390, 1999.
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.41/44
Numerische Ergebnisse
• Sterblichkeitsintensitäten durch Spline-Interpolation aus AVÖ 2005R.
Sterblichkeitsgewinn in 2 Szenarien, für erhöhte Versicherungsleistungen:Rententafel AVÖ 1996R:
Verhalten aller drei Typen bei allen Szenarios ähnlich:
• Sterblichkeitsgew. sinkt bei Übergang zu AVÖ 2005R, Gesamtgew. steigt!• Gesamtgewinn oft um eine Größenordnung höher als Sterblichkeitsgewinn
⇒ Zinsniveau wichtiger als Sterblichkeit
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.42/44
Einfluss von Sterblichkeit und Zinsraten
• Höchstrechnungszins von Finanzmarktaufsicht (FMA) von 2.75% auf2.25% gesenkt, gleichzeitig mit verpflichtender Einführung der AVÖ 2005R.
• Frage: Wirkt sich Zinsschwankung oder Sterblichkeitsschwankung stärkerauf den Gewinn aus?
• Vergleichsrechnung mit Cash-Bonus:
ǫµ�eδ − 1 2% 2.25% 2.5% 2.75% 3%
0 0. 0.439677 0.862117 1.26816 1.65858
0.5 0.168832 0.599408 1.0133 1.41129 1.79416
1 0.326785 0.748986 1.155 1.54559 1.92148
Abhängigkeit des Gesamtgewinnes bei Cash-Bonus von Zins- undSterbeintensität in einem deterministischen Modell (δa = δb = δ undµa = µb). Einfluss des Zinsniveaus ist beträchtlich höher als der derSterblichkeit.
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.43/44
Vielen Dank für IhreAufmerksamkeit!
Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.44/44