Erik Šoltés Katedra štatistiky Fakulta hospodárskej informatiky Ekonomická univerzita v Bratislave Slovenská spoločnosť aktuárov Slovenská spoločnosť aktuárov Bratislava, 29. júna 2009 Bratislava, 29. júna 2009 M ODELY K R ED IBILITY N A V ÝPOČET N ETTO PO ISTN ÉH O Bühlmannov-Straubov model kredibility Bühlmannov-Straubov model kredibility
16
Embed
Erik Šoltés Katedra štatistiky Fakulta hospodárskej informatiky
Slovenská spoločnosť aktuárov. Bühlmannov-Straubov model kredibility. Erik Šoltés Katedra štatistiky Fakulta hospodárskej informatiky Ekonomická univerzita v Bratislave. Bratislava, 29. júna 2009. faktor kredibility. Kredibilné poistné. Individuálne poistné. Kolektívne poistné. - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Erik Šoltés
Katedra štatistiky
Fakulta hospodárskej informatiky
Ekonomická univerzita v Bratislave
Slovenská spoločnosť aktuárovSlovenská spoločnosť aktuárov
Bratislava, 29. júna 2009Bratislava, 29. júna 2009
MODELY KREDIBILITY NA VÝPOČET NETTO POISTNÉHO
Bühlmannov-Straubov model kredibilityBühlmannov-Straubov model kredibility
Poistné riziko, ktorému je vystavená uvažovaná trieda poistenia, budeme označovať individuálne riziko. Každá trieda poistenia je zložkou celého portfólia (kolektívu), a teda každé individuálne riziko je súčasťou kolektívneho rizika.
Slovo kredibilita bolo pôvodne zavedené do aktuárstva ako miera vierohodnosti, ktorú aktuár preukazuje skúsenostiam s príslušnou triedou poistenia za účelom stanovenia poistného pre túto triedu poistenia. V mnohých prípadoch je súbor údajov o uvažovanej triede poistenia pri stanovení sadzby poistného pre túto triedu poistenia príliš malý aby bol úplne vierohodný, ale dosť veľký aby mal nejakú vierohodnosť.
Whitney v roku 1918 formuloval problém stanovenia poistného m, definovaného ako očakávané poistné náklady pripadajúce na jedno riziko, pre individuálne riziko vybrané z portfólia podobných rizík. Na základe myšlienky kombinovaného použitia skúseností s individuálnym rizikom a skúseností z portfólia (kolektívne riziko), navrhol, aby poistná sadzba bola lineárnou kombináciou m̂ a :
ˆ 1m z m z
Individuálnepoistné
Kolektívnepoistné
KredibilnéKredibilnépoistnépoistné
faktor kredibilityfaktor kredibility
Whitney stanovil, že faktor kredibility z musí byť v tvare
n
zn
AMERICKÁ TEÓRIA KREDIBILITY - úplná kredibilita, parciálna kredibilita
Na konci 60-tych rokov bola teória kredibility presadzovaná najmä švajčiarskymi aktuármi Hansom Bühlmannom a Erwinom Straubom. Hansom Bühlmann ukázal, že optimálny odhad kredibilného poistného a jeho priemerná štvorcová chyba (MSE) nevyžaduje znalosť apriórneho rozdelenia ale len jeho prvého a druhého momentu, ktoré sa zvyčajne jednoducho odhadnú zo štatistických údajov.
BAYESOVSKEJ TEÓRIE KREDIBILITY - založená na princípe bayesovskej štatistiky. Pod podmienkou minimalizácie priemernej štvorcovej chyby (MSE – Mean Squared Error) sa hľadá bayesovský odhad. Bayesovský odhad vyžaduje aby sme okrem výberového zisťovania, t. j. údajov o uvažovanom poistnom riziku poznali aj apriórne rozdelenie, ktorým je v prípade teórie kredibility rozdelenie pravdepodobnosti výšky poistných škôd pripadajúcej na jednu poistnú zmluvu portfólia.
Na základe prác Hansa Bühlmanna, Erwina Strauba a ich nasledovateľov sa neustále rozvíja tzv. empirická bayesovská teória kredibility, ktorá sa niekedy označuje aj ako európska teória kredibility. Empirická bayesovská teória kredibility v porovnaní s bayesovskou teóriou kredibility:
vyžaduje menej matematických schopností,
vyžaduje menej výpočtových zdrojov,
nevyžaduje výber apriórneho rozdelenia, čo môže by niekedy obtiažne rozhodovanie.
Bühlmannov-Straubov model na kredibilný odhad poistnéhoBühlmannov-Straubov model na kredibilný odhad poistnéhoPredpokladajme, že portfólio je rozdelené do I rizík alebo rizikových tried,
pre ktoré chceme stanoviť netto poistné. i-ta riziková trieda ( 1, 2, ,i I ) je charakterizovaná individuálnym profilom rizika i , ktorý je realizáciou náhodnej premennej i . Pri stanovení sadzby poistného pre jednotlivé rizikové triedy budeme vychádzať z charakteristík:
ijS - agregovaná výška poistných škôd pre riziko i v roku j ( 1, 2, ,j n )
ijw - počet poistení pre riziko i v roku j
ijij
ij
SX
w - priemerná ročná výška poistných plnení pre riziko i v roku j
Predpoklady (Bühlmannov-Straubov model) BS1: Podmienene pre dané i sú ijX pre 1, 2, ,j n nezávislé s parametrami:
ij i iE X
2
iij i
ij
Var Xw
BS2: Dvojice 1 1, X , 2 2, X , sú nezávislé a 1 2, , sú nezávislé
a rovnako rozdelené.
štatistika interpretácia
i ij iE X individuálne poistné
2i ij i ijVar X w rozptyl v i-tej rizikovej triede
štatistika interpretácia
0 iE kolektívne poistné
2 2iE stredná hodnota
vnútroskupinových rozptylov
2iVar medziskupinový rozptyl
Veta:
Kredibilný odhad netto poistného v Bühlmannovom-Straubovom modeli Ak sú splnené predpoklady Bühlmannovho-Straubovho modelu, potom
kredibilným odhadom netto poistného je
01B S
i i i iz X z
1 1
n nij
i ij i ijj ji
wX X w w
w
2
2
i ii
ii
w wz
ww
01
B S
i i i iz X z
1 1
n nij
i ij i ijj ji
wX X w w
w
2
2
i ii
ii
w wz
ww
Hodnota faktora kredibility iz pre i-tú rizikovú triedu rastie, ak:
počet poistení iw pre uvažovanú rizikovú triedu rastie ( iw v Bühlmannovom-Straubovom modeli preberá úlohu počtu rokov n) pre
iw platí 1z ,
koeficient kredibility (podiel vnútroskupinovej variability 2 a medziskupinovej variability 2 ) klesá, t. j. pre 0 platí 1z .
Štrukturálne parametreŠtrukturálne parametre
Odhad kolektívneho poistného 0 :
Intuícia: priemerná ročná výška poistných plnení za celé portfólio
1 1
I Ii
i ii i
wX X w w
w
Lepší odhad: 01 1
I Ii
i ii i
zX z z
z
Homogénny kredibilný odhad
hom
01B S
i i i iz X z
Veta: vlastnosť rovnováhy Pre homogénny kredibilný odhad platí
hom
1 1 1 1
B Sn I n I
i ij ij ijj i j i
w X w
Odhad štrukturálnych parametrov 2 a 2
2
2
1
1
1
n
i ij i ijj
X X wn
2 2
1
1 I
iiI
22 I
c Tw
kde
1
1
11
Ii i
i
I w wc
I w w
2
11
Ii
ii
I wT X X
I w
Poznámka:
Ak nastane situácia, že 2 bude záporné, tak sa nedajú zistiť rozdiely medzi
rizikovými skupinami a vtedy parameter 2 položíme rovný 0.
2 2max ; 0
Odhad 2 :
Odhad 2 :
2
1 1
1 I n
ij i iji j
X X wI
SSError
SSModel
2
1
2
1ˆ 1
wF
c I
0 1: IH
1 0:H non H
Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA)
Kritická oblasť: 1 1 ; 1F F I I n
Testovacia charakteristika: MSM
FMSE
1
1
SSMISSE
I n
Kvadratické straty odhadov
Kolektívne poistné 0kolP , t. j. poistné odhadnuté len na základe apriórnych
informácií o celom portfóliu má kvadratickú stratu
2 20E
Individuálne poistné indiP X , t. j. poistné odhadnuté len na základe údajov
z uvažovanej triedy poistenia má kvadratickú stratu
22
ii
E Xw
Kvadratická strata nehomogénneho kredibilného odhadu získaného podľa Bühlmannovho-Straubovho modelu sa dá vyjadriť v tvare
2
221
B S
i i i ii
E z zw
Pre kvadratickú stratu homogénneho kredibilného odhadu platí