Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραμμα καθένα από τα επόμενα διανύσματα στη μορφή j y i x r v + : (α) Το διάνυσμα που συνδέει την αρχή του συστήματος συντεταγμένων με το σημείο Ρ(2,-3). (β) Το διάνυσμα που συνδέει τα σημεία Ρ 1 (2,3) και Ρ 2 (4,2) με πέρας το Ρ 2 . (γ) το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του j i r r 4 3 + . (δ) το διάνυσμα που έχει μέτρο 6 και κατεύθυνση 60 0 (εντός του πρώτου τεταρτημορίου στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων). (Μονάδες: 4) Λύση (α) j i r v 3 2 − (β) ( ) ( ) j i j i r v r v − = − + − 2 3 2 2 4 (γ) j i j i n r r r v 5 / 4 5 / 3 4 3 4 3 ˆ 2 2 + = + + = (δ) 3 60 tan 36 0 2 2 = = = + x y y x ⇒ j i r v 3 3 3 + 2. ∆ίνονται τα διανύσματα ) 4 , 6 ( − = α r και ) 2 , 2 (− = β r . Να αναλύσετε το β r σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το α r . (Μονάδες: 6) Λύση Ας υποθέσουμε ότι p r r r + = α λ β , όπου α r r ⊥ p . Το εσωτερικό γινόμενο των α r και β r είναι: α α λ β α r r r r r ⋅ + = ⋅ p 2 2 | | α λ β α r r r = ⋅ x y (α) (β) (γ) Ρ 1 Ρ 2 60 0 (δ)
14
Embed
ergasia1 f lyseis · 526(−2) +(−4)⋅2 =λ⋅ −20=52λ 13 5 λ=− Εποµένως p r r r β=− α+ 13 5 = + = − + − = 13 6, 13 4 (6, 4) 13 5 ( 2,2)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Λύσεις 1ης Εργασίας
1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα
διανύσµατα στη µορφή jyixrv
+ :
(α) Το διάνυσµα που συνδέει την αρχή του συστήµατος συντεταγµένων µε το σηµείο
Ρ(2,-3).
(β) Το διάνυσµα που συνδέει τα σηµεία Ρ1(2,3) και Ρ2(4,2) µε πέρας το Ρ2.
(γ) το µοναδιαίο διάνυσµα στην κατεύθυνση του jirr
43 + .
(δ) το διάνυσµα που έχει µέτρο 6 και κατεύθυνση 600 (εντός του πρώτου
τεταρτηµορίου στο ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων).
(Μονάδες: 4)
Λύση
(α) jirv
32 −
(β) ( ) ( ) jijirvrv
−=−+− 23224
(γ) jijinrr
rv
5/45/343
43ˆ22
+=+
+=
(δ) 360tan
36
0
22
==
=+
xy
yx ⇒ ji
rv333 +
2. ∆ίνονται τα διανύσµατα )4,6( −=αr και )2,2(−=βr
. Να αναλύσετε το βr
σε δύο
κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη προς το αr .
(Μονάδες: 6)
Λύση
Ας υποθέσουµε ότι prrr+= αλβ , όπου αrr
⊥p . Το εσωτερικό γινόµενο των αr και βr
είναι:
ααλβα rrrrr⋅+=⋅ p2
2||αλβα rrr=⋅
x
y
(α)
(β)
(γ)
Ρ1
Ρ2
600 (δ)
522)4()2(6 ⋅=⋅−+− λ λ5220 =−
135
−=λ
Εποµένως prrr+−= αβ
135
=−+−=+=
136,
134)4,6(
135)2,2(
135 αβ rrrp
Τελικά
+−=
136,
134
135 αβ rr
.
3. ∆ίνονται τα µη µηδενικά και µη συγγραµµικά διανύσµατα αr και βr
. (α). Να αποδείξετε ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς λ και µ ισχύει:
0)(2 2222 ≥+⋅+ βµβαλµαλrrrr .
Πότε ισχύει το ""= ; (β) Να αποδείξετε ότι ο φορέας του διανύσµατος βαβ
rrrrr |||| au += διχοτοµεί τη
γωνία των διανυσµάτων αr και βr
.
(Μονάδες: 8)
Λύση
(α) Η σχέση 0)(2 2222 ≥+⋅+ βµβαλµαλrrrr γράφεται ισοδύναµα ως 0)( 2 ≥+ βµαλ
rr , που είναι προφανές ότι ισχύει.
Το ""= ισχύει, αν και µόνο αν 0rrr
=+ βµαλ ή, ισοδύναµα, βµαλrr
−= .
Αν 0≠λ , τότε βλµαrr −
= , οπότε βαrr // , που δεν ισχύει γιατί τα διανύσµατα είναι
µη συγγραµµικά.
Εποµένως 0=λ , οπότε 0rr
=βµ και άρα 0=µ . Άρα το ""= ισχύει, αν και µόνο αν 0== µλ .
(β) Αν ω είναι η γωνία των αr και βr
και το ur σχηµατίζει µε το αr γωνία 1φ και µε το β
r γωνία 2φ , τότε έχουµε:
βααβrrrrr |||| +=u
)(|||||| 2 βαααβαrrrrrrr
⋅⋅+⋅=⋅ u
ωβααβφα συν||||||||συν|||| 221
rrrrrr⋅+⋅=⋅ u
)συν1(||||συν|| 1 ωβαφ +⋅=⋅rrru
)συν1(||
||||συν 1 ωβαφ +⋅
=ur
rr
. (1)
Οµοίως έχουµε: βααβrrrrr |||| +=u
2||)(|| βαβαββrrrrrrr⋅+⋅⋅=⋅u
22 ||||συν||||||συν|||| βαωβαβφβ
rrrrrrr⋅+⋅⋅=⋅ u
)συν1(||||συν|| 2 ωβαφ +⋅=⋅rrru
)συν1(||
||||συν 2 ωβαφ +⋅
=ur
rr
. (2)
Από τις (1) και (2) έχουµε 21 συνσυν φφ = , άρα 21 φφ = .
Λύση
(α)
kibacrrrrr 2+=+= Άρα το µήκος της
διαγωνίου είναι 521 2 =+=cr .
jiabdrrrrr
2+=−= Άρα το µήκος της
διαγωνίου είναι 521 2 =+=dr
Εµβαδόν = barr
× = 6
(β)
( )=×× cba rrr
( )321
321321
cccbbbkji
kajaia
rrr
rrr×++=
( ) ( ) ( ) ( )[ ]kcbcbjcbcbicbcbkajaiarrrrrr
122131132332321 −+−+−×++=
4. (α) Υπολογίστε το µήκος των διαγωνίων και το εµβαδόν του παραλληλογράµµου