-
Equazione risolvente delle piastre sottili
Al fine di determinare l’equazione della superficie elastica,
cioè l’unica incognita del problema, dato che
tutte le altre grandezze sono scritte in funzione di essa, è
necessario imporre l’equilibrio globale di un concio
infinitesimo di piastra, riferendosi alle azioni
generalizzate.
Figura 1: Azioni generalizzate sul concio infinitesimo di
piastra
Scrivendo l’equilibrio alla rotazione intorno all’asse x:
∂myy
∂ydy dx − (ty +
∂ty
∂ydy) dx dy +
∂mxy
∂xdx dy = 0 (1)
da cui, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:
ty =∂mxy
∂x+
∂myy
∂y (2)
E analogamente, rispetto all’asse y:
tx =∂mxx
∂x+
∂mxy
∂y (3)
Scrivendo poi, l’equilibrio alla traslazione verticale si
ottiene:
∂ty
∂ydy dx +
∂tx∂x
dy dx = −Pzdx dy (4)
∂ty
∂y+
∂tx∂x
= −Pz (5)
Le tre equazioni di equilibrio contengono 5 incognite.
Derivando l’equazione (2) in y, l’equazione (3) in x, sommando e
sostituendo nell’equazione (4) si ottiene:
mxxyy + myyyy + mxxxx + mxxyy = −Pz (6)
-
∂mxx2
∂x2+ 2
∂mxy2
∂x ∂y+
∂myy2
∂y2= −Pz
(7)
Sostituendo nell’equazione (6) l’espressione dei momenti in
funzione della superficie elastica, si ottiene:
−B[wxxxx + υwyyxx + wyyyy + υwxxyy + (1 − 𝜐)2𝑤𝑥𝑥𝑦𝑦] = −Pz
(8)
Da cui:
wxxxx + 2wxxyy + wyyyy =PzB
(9)
∂w4
∂x4+ 2
∂w4
∂x2 ∂y2+
∂w4
∂y4=
PzB
(10)
che può essere scritta nella forma:
∇2∇2w(x; y) =Pz(x; y)
B Equazione di Germain-Lagrange (11)
∇2 è chiamato operatore laplaciano.
L’equazione (11) è detta equazione della superficie elastica
delle piastre sottili. E’ un’equazione
differenziale alle derivate quarte in due variabili.
La soluzione è quindi determinata a meno di 8 costanti di
integrazione, che a loro volta possono essere
determinate imponendo 8 condizioni al contorno: due per ogni
bordo della piastra.
Determinazione degli sforzi taglianti
Come premesso (nell’ipotesi di segmenti rettilinei) gli
scorrimenti angolari 𝛾𝑥𝑧 e 𝛾𝑦𝑧 sono nulli. Ciò non
comporta però l’annullamento degli sforzi tangenziali
corrispondenti 𝜏𝑥𝑧 e 𝜏𝑦𝑧, i quali possono essere
staticamente determinati ricorrendo alle equazioni di
equilibrio.
Si giunge quindi ad un’apparente contraddizione, poiché non
risulta verificata legge di Hooke:
0 = γxz =τxzG
≠ 0 (12)
0 = γyz =τyz
G≠ 0 (13)
Questa stessa contraddizione è presente nelle travi studiate con
la teoria di De Saint Venant e può essere
superata ricorrendo ad un compromesso ingegneristico. Infatti,
in realtà, l’ingobbamento esiste, ma ha un
effetto trascurabile che non modifica in modo significativo la
distribuzione lineare degli sforzi 𝜎𝑥 e 𝜎𝑦. Di
conseguenza l’ipotesi di segmenti rettilinei, che è un ipotesi
che governa la congruenza, è ben approssimata
poiché i carichi non sono elevati e il taglio risulta essere
modesto. Al contrario non sono trascurabili gli sforzi
tangenziali verticali che risultano dalle equazioni di
equilibrio trascurando le forze di massa. L’equilibrio
sarebbe violato in assenza di tali sforzi.
∂σx∂x
+∂τxy
∂y+
∂τxz∂z
= 0 (14)
∂σy
∂y+
∂τxy
∂x+
∂τyz
∂z= 0
(15)
Sostituendo nelle equazioni di equilibrio le equazioni che
legano gli sforzi alla funzione w, si ottiene:
-
∂τxz∂z
=zE
1 − ν2[wxxx + νwyyx + (1 − ν)wxyy] =
zE
1 − ν2(∇2w)x (16)
∂τyz
∂z=
zE
1 − ν2(∇2w)y
(17)
Integrando lungo lo spessore, come mostrato in Figura 2:
Figura 2
Si ottiene il valore dello sforzo tangenziale alla generica
quota z:
τxz = ∫ ∂τxz∂z
z
−s2
dz = ∫ zE
1 − ν2
z
−s2
(∇2w)xdz =E
1 − ν2 (∇2w)x (
z2
2−
s2
8) (18)
τyz = ∫∂τyz
∂z
z
−s2
dz =zE
1 − ν2 (∇2w)y (
z2
2−
s2
8)
(19)
Si osservi che l’espressione:
∫ 1 zz
−s2
dz (20)
Figura 3
rappresenta il momento statico di una striscia di piastra di
larghezza unitaria rispetto all’asse dato
dall’intersezione della superficie neutra con la sezione
considerata.
Gli sforzi tangenziali, dovuti all’azione tagliante sulla
piastra e legati all’ingobbamento della sezione, hanno
una distribuzione parabolica e sono massimi lungo la superficie
neutra, come mostrato in Figura 4.
Figura 4: Distribuzione degli sforzi tangenziali dovuti
all’azione tagliante sulla piastra
-
Le azioni taglianti risultanti possono essere scritte come:
tx = ∫ τxz
s2
−s2
dz =E
1 − ν2 (∇2w)x ∫ (
z2
2−
s2
8)
s2
−s2
dz = −Es3
12(1 − ν2)(∇2w)x (21)
ty = ∫ τyz
s2
−s2
dz = −Es3
12(1 − ν2)(∇2w)y (22)
Figura 5: Azioni taglianti
τxztz
=τyz
ty= (
z2
2−
s2
8)
12
s3= (
S(z)
J b)
b=1
(23)
Nel caso della trave di De Saint Venant come in Figura 6:
Figura 6
Si ha:
J =s3
12 momento di inerzia (24)
S(z) = (z2
2−
s2
8)
(25)
Da ui
τxz =txS(z)
J (26)
τyz =tyS(z)
J
(27)
-
Figura 7: Momenti agenti nella piastra
-
Soluzione di Navier dell’equazione delle piastre mediante
sviluppi in serie doppia di Fourier
Sono stati sviluppati diversi metodi per la risoluzione
dell’equazione differenziale delle piastre: metodo
delle differenze finite, metodo degli elementi finiti, sviluppi
in serie di Fourier semplice (Levy, 1899) e
doppia (Navier, 1820), nonché sviluppi in serie di funzioni
polinomiali.
A seguire verrà illustrata la soluzione per sviluppi in serie
doppia proposta da Navier, valida per piastre
quattro volte appoggiate e soggette all’azione di un carico
distribuito P(x,y), come mostrato in Figura 1:
Figura 1: Piastra quattro volte appoggiata soggetta a carico
distribuito
Nella soluzione proposta da Navier, il carico distribuito
P(x,y), e l’espressione della superficie elastica sono
scritti mediante sviluppi in serie doppia di seni nelle due
variabili spaziali indipendenti x e y:
(1)
(2)
Il ricorso agli sviluppi in serie di seni consente il
soddisfacimento delle condizioni al contorno, infatti ai
bordi (per x=0 ovvero x=a, oppure y=0 ovvero y=b) risulta:
(3)
(4)
quindi .
È noto che i momenti sono proporzionali alla curvatura e, poiché
la derivata seconda di una funzione
sinusoidale è ancora una funzione sinusoidale, anche i momenti
risultano nulli ai bordi.
Sommando in maniera opportuna le diverse armoniche, la relazione
(2) è in grado di approssimare qualsiasi
tipo di carico distribuito. Maggiore sarà il numero di armoniche
considerato, con i corretti pesi Pnm, migliore
sarà l’approssimazione del carico reale agente sulla
struttura.
Con i valori interi di n e m molto alti, si può approssimare un
carico uniformemente distribuito, visto che i
picchi delle funzioni seno si spostano vicino ai bordi.
-
Sostituendo le espressioni (1) e (2) nell’equazione di
Germain-Lagrange:
(5)
(6)
(7)
Quindi:
(8)
Perché sia valida l’uguaglianza della serie deve valere
l’uguaglianza delle singole armoniche aventi i
medesimi valori di n e m:
(9)
(10)
Quindi sostituendo quanto ricavato nell’equazione (1), si
ottiene:
(11)
Rimangono da calcolare i valori dei coefficienti che “pesano” le
diverse armoniche in modo che il carico
risulti ben approssimato. Tali pesi vengono definiti in funzione
del carico agente, dato noto, come indicato
nella seguente espressione:
(12)
Piastra appoggiata su quattro lati soggetta a carico a
montagnola (prima armonica)
Nell’ambito dello studio delle piastre è interessante
approfondire il caso di una piastra appoggiata su
quattro lati e soggetta ad un carico a montagnola p(x;y) come
indicato in Figura 2:
-
Figura 2: Piastra appoggiata caricata con carico a
montagnola
la cui distribuzione spaziale è descritta dalla prima armonica
degli sviluppi in serie doppia, quindi per m=1 e
n=1. In tale circostanza, la relazione (2) che descrive lo
sviluppo in serie del carico diventa:
(13)
L’espressione corrispondente della superficie elastica,
sostituendo l’equazione (13) nella (11) diventa:
(14)
con:
(15)
Tale formulazione soddisfa tutte le condizioni al contorno.
Nota la formulazione della superficie elastica è possibile
calcolare le sue derivate per determinare
l’andamento delle azioni interne generalizzate, , , , e ,
riferite ad una striscia di larghezza
unitaria:
(16)
(17)
(18)
(19)
-
(20)
(21)
(22)
Sviluppando l’espressione precedente si ottiene:
(23)
Analogamente:
(24)
Le reazioni lungo i bordi risultano:
(25)
Da cui:
(26)
Anche per la reazione è possibile scrivere:
(27)
Da cui:
(28)
Effettuando i dovuti raccoglimenti nelle equazioni precedenti,
si giunge alla formulazione:
(29)
(30)
In corrispondenza degli spigoli si avrà la reazione:
(31)
Tale razione è negativa e nasce per equilibrare il momento
torcente che tende a sollevare lo spigolo.
-
Si osserva, che i momenti flettenti e la superficie elastica
seguono l’andamento del carico, come mostrato in
Figura 3, mentre il momento torcente è in quadratura, massimo ai
bordi (dove maggiore è la collaborazione
fra le strisce ortogonali) e nullo in mezzeria.
Figura 3: Andamento di momenti flettenti e superficie
elastica
L’azione tagliante è massima negli appoggi della striscia di
competenza e nulla in mezzeria, inoltre decresce
verso gli appoggi paralleli alla striscia fino ad annullarsi, in
corrispondenza di tale zona è massima l’azione
tagliante in direzione ortogonale.
Le reazioni vincolari ai bordi seguono l’andamento mostrato in
Figura 4:
Figura 4: Andamento delle reazioni vincolari lungo i bordi
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
263
7.4.2 Progettazione di piastre in CA
Nel caso di piastre realizzate in acciaio, la verifica viene
effettuata con il metodo delle
tensioni ammissibili; nel caso di elementi in calcestruzzo, a
causa della bassa resistenza a
trazione, quest’ultima viene affidata alle barre in acciaio
(METODO n).
L’armatura verrà disposta nelle due direzioni (non si valutano
le direzioni e i momenti
principali combinando , e , poiché altrimenti si disporrebbero
le barre secondo
direzioni impraticabili).
7.4.2.1 Esempio di progettazione: piastra appoggiata sui 4
lati
Figura 7-34
Il valore utilizzato per il carico (comprensivo di peso proprio,
carichi permanenti e variabili)
rappresenta un valore tipico per i solai e le piastre.
1) Progettazione a trave
Si considera la piastra come una serie di travi di larghezza
unitaria dirette in direzione y.
Per tener sotto controllo la freccia in mezzeria si deve imporre
che il rapporto luce/altezza
sia:
(7.151)
Da cui, assumendo , si ha:
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
264
(7.152)
Figura 7-35
Risolvendo:
(7.153)
(7.154)
(7.155)
Si sceglie di inserire i seguenti valori di armatura:
(7.156)
(7.157)
Da cui:
(7.158)
(7.159)
Verifica flessionale:
(7.160)
(7.161)
(7.162)
(7.163)
(7.164)
Verifica a taglio:
(7.165)
(7.166)
Non è quindi necessario inserire armatura a taglio.
Per quel che riguarda la freccia in mezzeria, considerando :
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
265
(7.167)
(7.168)
2) Progettazione a piastra
Figura 7-36
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
266
Dalla Tabella 1.7 del libro del Prof. Bareš (Figura 7-36),
scegliendo :
(7.169)
Spostamento massimo in mezzeria
(7.170)
Momento massimo lungo x ( ) (7.171)
Momento massimo lungo y ( ) (7.172)
L’altezza della piastra viene scelta ricorrendo ai criteri di
deformabilità, imponendo che:
(7.173)
(7.174)
Da cui:
(7.175)
Si sceglie , considerando che in generale è preferibile non
scegliere spessori
inferiori a . Con si ha:
(7.176)
(7.177)
(7.178)
Si osserva che visto che . Inoltre
poiché le dimensioni dei
lati sono simili; Se una delle due dimensioni fosse di molto
maggiore dell’altra si avrebbe
.
(7.179)
(7.180)
Avendo assunto un copriferro lordo pari a 3 cm. Da cui:
(7.181)
(7.182)
(7.183)
Il risparmio di armatura rispetto al caso del dimensionamento a
trave è dovuto alla rigidezza
superiore legata alla bidimensionalità dell’elemento a
piastra.
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
267
Verifiche a flessione:
- Direzione x:
(7.184)
(7.185)
(7.186)
(7.187)
(7.188)
- Direzione y:
(7.189)
(7.190)
(7.191)
(7.192)
(7.193)
Le formulazioni analitiche del libro del Bareš non consentono di
calcolare la lunghezza dei
ferri. È prassi prolungare circa la metà dei ferri sino agli
appoggi e posizionare i restanti per
una lunghezza di circa il delle luci. Tali considerazioni sono
coerenti con ciò che è
osservabile dall’analisi agli elementi finiti.
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
268
Figura 7-37: Spostamenti verticali ws. (ws,max =6.94 mm)
Figura 7-38: Mxs unitari (Mxx,max =12300 Nm/m)
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
269
Figura 7-39: Myy unitari (Mxx,max =16800 Nm/m)
Figura 7-40: Reazioni Vincolari ai bordi e lungo i lati
appoggiati
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
270
Figura 7-41: Mxx lungo la retta y=b/2
Figura 7-42: Myy lungo la retta x=a/2
Dai grafici riportati in Figura 7-41 e in Figura 7-42 si può
evincere come la regola pratica
(50% dei ferri fino ai lati, 50% per l’80% della luce) sia
ragionevole.
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
271
Figura 7-43: Disposizione ferri
Verifica a taglio:
Come visto nel caso della progettazione a trave, generalmente
anche nel caso di elementi a
piastra non è necessario disporre staffe per il taglio. Bisogna
però porre attenzione alla
reazione sullo spigolo che essendo diretta verso l’alto tende a
sollevare la piastra: può in tal
caso essere opportuno disporre dell’armatura a raggiera al lembo
superiore.
Le reazioni di bordo sono calcolabili mediante le seguenti
relazioni:
(7.194)
Figura 7-44
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
272
Anche per le reazioni a taglio si fa riferimento ai valori
forniti dal Bareš (Tabella 1.1), tuttavia
calcolati per (i valori corrispondenti a non sono disponibili
sul testo ma sono
simili). Si ha:
(7.195)
(7.196)
Da cui:
(7.197)
(7.198)
Come previsto non è quindi necessario disporre staffe.
7.4.2.2 Risoluzione analitica
Il calcolo analitico dell’equazione della superficie elastica
per la piastra rettangolare in CA,
appoggiata su 4 lati e soggetta ad un carico uniformemente
distribuito è di seguito espresso
mediante uno sviluppo in serie di Fourier.
La Figura 7-45 mostra i risultati di alcuni dei termini dello
sviluppo, in funzione dei seguenti
dati in input:
E: modulo elastico del calcestruzzo espresso in kg/cm2
s: spessore della piastra espresso in m
ν: coefficiente di Poisson del calcestruzzo
a,b: dimensioni in pianta della piastra espresse in m
p: carico uniformemente distribuito agente sulla piastra,
espresso in kg/m2
Lim f: freccia massima consentita espressa come frazione della
luce maggiore
Pnm
[kg/m2]
Wmax
[mm]
Navier
Wmax [mm]
Galerkin Wxx Wyy
Mxx
[Kg m]
Myy
[Kg m] n m
1296.91 6.962 6.962 0.00133 0.00191 1391.328 1819.252 1 1
432.30 -0.071 -0.071 -0.00001 -0.00017 -34.302 -152.752 1 3
259.38 0.006 0.006 0.00000 0.00004 6.369 35.976 1 5
185.27 -0.001 -0.001 0.00000 -0.00002 -2.201 -13.437 1 7
432.30 -0.127 -0.127 -0.00022 -0.00003 -191.998 -58.124 3 1
144.10 0.010 0.010 0.00002 0.00002 17.177 22.460 3 3
86.46 -0.001 -0.001 0.00000 -0.00001 -3.229 -8.376 3 5
61.76 0.000 0.000 0.00000 0.00000 1.004 3.685 3 7
259.38 0.012 0.012 0.00006 0.00000 49.143 10.115 5 1
86.46 -0.002 -0.002 -0.00001 0.00000 -8.492 -5.266 5 3
51.88 0.000 0.000 0.00000 0.00000 2.226 2.911 5 5
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
273
37.05 0.000 0.000 0.00000 0.00000 -0.758 -1.584 5 7
185.27 -0.002 -0.002 -0.00002 0.00000 -18.825 -3.362 7 1
61.76 0.001 0.001 0.00000 0.00000 4.305 1.716 7 3
37.05 0.000 0.000 0.00000 0.00000 -1.465 -1.168 7 5
26.47 0.000 0.000 0.00000 0.00000 0.579 0.758 7 7
Totale 6.79 0.001 0.002 1211 1653
Bareš 6.8
1215 1656
Figura 7-45
Nella prima colonna si calcolano i coefficienti Pnm che pesano
le diverse armoniche:
La seconda colonna calcola la freccia in mezzeria w(x;y):
Nella quarta e nella quinta colonna vi sono le derivate seconde
dell’equazione della
superficie elastica fatte prima rispetto ad x (wxx) e poi
rispetto ad y (wyy):
che vengono utilizzate nella sesta e settima colonna per
calcolare i momenti massimi in x
(Mxx) e y (Myy):
Ad ogni riga vengono fatti variare gli indici “n” e “m” da 1 a
7; la riga finale riporta la
somma dei valori determinati utilizzando tutte le 49 armoniche;
in tabella sono riportate solo
le 16 che danno un contributo non nullo perché, per le regole di
ortogonalità delle serie di
Fourier, è sufficiente che uno dei due interi “n” e “m” sia pari
perché il coefficiente Pnm
relativo risulti nullo.
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
274
L’equazione della superficie elastica nelle diverse coordinate x
e y permette il calcolo della
freccia come sommatoria delle 49 armoniche sopra descritte. Tale
calcolo viene ripetuto per
ogni coordinata della maglia considerata, per un totale di 2500
punti.
La Figura 7-46 riporta un grafico tridimensionale, fuori scala
nell’asse verticale, relativo alla
deformata qualitativa della piastra.
Figura 7-46
L’obiettivo dell’analisi qui presentata è la valutazione della
velocità di convergenza delle
serie di Fourier così da determinare quali sono i valori minimi
degli interi “n” e “m” per cui
si ottenga un risultato che ben approssimi il carico
uniformemente distribuito.
Per fare questo calcoliamo la funzione carico:
in ognuno dei punti della maglia per 6 diverse combinazioni di
“n” e “m” (4 singole
armoniche e 2 sommatorie).
In Figura 7-47 è riportato il carico a montagnola equivalente
alla prima armonica (n=1, m=1):
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
275
Figura 7-47
In Figura 7-48, il carico equivalente alla seconda armonica
(n=1, m=3):
Figura 7-48
In Figura 7-49, il carico equivalente alla terza armonica (n=3,
m=1). Si noti la simmetria con il
precedente:
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
276
Figura 7-49
La Figura 7-50 presenta il carico equivalente alla quarta
armonica (n=3, m=3):
Figura 7-50
In Figura 7-51 viene infine riportata la sommatoria delle
funzioni carico delle 4 armoniche
sopra rappresentate:
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
277
Figura 7-51
In Figura 7-52 invece viene presentata la sommatoria delle
funzioni carico delle prime 16
armoniche non nulle, ottenuta facendo variare sia “m” che “n”
tra 1 a 7.
Figura 7-52
Dal confronto fra la Figura 7-51 e la Figura 7-52, si può
chiaramente osservare come
l’aumento del numero di armoniche considerate aiuti a meglio
approssimare il carico
uniformemente distribuito di 800 kg/m2, grazie all’aumento del
numero dei picchi e alla
modulazione dell’ampiezza degli stessi.
-
7. TEORIA DELLE PIASTRE
278
L’andamento dei momenti principali per la piastra oggetto di
studio è di seguito
schematicamente riportato. In Figura 7-53 viene presentata la
sommatoria delle funzioni
momento Mxx delle prime 16 armoniche non nulle (con “m” e “n”
varianti tra 1 e 7):
Figura 7-53
La Figura 7-54 presenta invece l’analoga sommatoria delle
funzioni momento Myy:
Figura 7-54
I valori di freccia massima e dei momenti massimi in x e y sono
del tutto simile ai valori
riportati nel libro del Prof. Bareš.
PIASTRE 1LUCIDI PIASTRE18 ESERCIZIO PIASTRA22 Soluzione di
Navier lucidi