MATEMÁTICA III 1 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA EQUAÇÃO GERAL DA RETA .............................................................. 2 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA........................................................ 8 EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA .............................................. 14 EQUAÇÃO PARAMÉTRICA............................................................... 15 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO................... 18 CONDIÇÃO DE PARALELISMO ........................................................ 26 CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO ......................................... 29 ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS ........................................ 34 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ............................................... 35 ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR..................................................... 40 RESPOSTAS ..................................................................................... 44 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 46 No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3.
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MATEMÁTICA III 1 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
EQUAÇÃO GERAL DA RETA .............................................................. 2
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA ........................................................ 8
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA .............................................. 14
No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3.
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
EQUAÇÃO GERAL DA RETA
A toda reta r do plano está associada uma equação na forma ax + by + c = 0 onde a, b e c são números reais e a e b não são simultaneamente nulos. Qualquer par ordenado (x, y) que satisfaz a equação citada representa um ponto de r.
Dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), consideremos um ponto genérico G(x, y) pertencente à reta determinada por A e B, então podem os escrever que:
0
1
1
1
22
11
yx
yx
yx
e, desenvolvendo o determinante, temos
012122121 yxyxxyyxxyyx
012211221 yxyxxxyyyx
e, por fim, fazendo ayy 21 ,
bxx 12 e cyxyx 1221 , temos:
012211221
cba
yxyxxxyyyx
0 cbyax
que é chamada de EQUAÇÃO GERAL da reta. É importante destacar, que, a partir do que vimos, qualquer reta possui uma equação geral e esta pode ser encontrada a partir de dois de seus pontos. Vale ressaltar também que uma mesma reta pode assumir equações diferentes visto que a equação encontrada depende dos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) considerados. Entretanto, independente dos pontos escolhidos, as diferentes equações de uma mesma reta são equivalentes, daí concluímos que uma reta r do plano está associada à um conjunto de equações equivalentes e que um conjunto de equações equivalentes está associado à uma reta. O coeficientes a e b não serão simultaneamente nulos se os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), forem distintos, observe:
BAxxxxb
yyyya
2112
2121
00
00
A seguir, veremos alguns exemplos.
MATEMÁTICA III 3 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
Ex.1: Escrever a equação da reta que passa pelos pontos A(5, -1) e B(2, 3). Resolução:
0
1
132
115
yx
0253215 yxyx
01734 yx
Logo, a equação procurada é
01734 yx .
Observações: 1. Note que não é necessário fazer o
esboço da reta em questão para encontrar sua equação.
2. É possível verificar se a resposta
está correta substituindo as coordenadas dos dois pontos A e B dados na equação encontrada, veja:
Para A(5, -1):
00
017320
0171354
01734
yx
Para B(2, 3)
00
01798
0173324
01734
yx
Como, em ambos os casos,
encontramos igualdades verdadeiras, podemos afirmar que a resposta está correta.
O que acabamos de fazer é, na verdade, uma forma de verificar se um ponto A pertence a uma reta r. Vale ainda ressaltar que podemos multiplicar ambos os termos da equação encontrada por um número real qualquer diferente de zero. Isto apenas nos entregará uma outra equação da mesma reta. Assim, multiplicando os dois termos por -1, encontramos:
01734
101734
yx
yx
Ex.2: Encontre a equação da reta da figura abaixo:
Resolução:
Para escrever a equação devemos escolher dois pontos da reta, vamos tomar, neste exemplo, os pontos B(-2, 1) e E(6, 5).
0
1
156
112
yx
0625610 yxyx
01684 yx
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Vamos, agora, escolher outro par de pontos: faremos com os pontos A(-6, -1) e D(4, 4).
0
1
144
116
yx
0464424 yxyx
020105 yx
Note que a equação encontrada foi
diferente mas as duas são equivalentes, veja:
042
5020105
401684
yx
yx
yx
Logo, a equação da reta da figura e 042 yx .
___________________________ Nesta vídeo-aula, podemos ver uma forma diferente de se encontrar a equação geral de uma reta a partr de dois pontos conhecidos.
01) Determinar as equações das retas suporte dos lados do triângulo ABC determinado pelos pontos A(0, 0), B(1, 3) e C(4, 0).
MATEMÁTICA III 5 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
02) Determinar a equação da reta
definida pelos pontos
2
5,
2
7A e
2
7,
2
5B .
03) A reta determinada por A(a, 0) e B(0, b) passa por C(3, 4). Qual a relação entre a e b?
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
04) A reta determinada por A(p, q) e B(3, -2) passa pela origem. Qual a relação entre p e q?
05) Prove que os pontos A(a; b+c), B(b; a+c) e C(c; a+b) são colineares e determine a equação de reta que os contém.
MATEMÁTICA III 7 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
06) Dados A(-5, -5), B(1, 5), C(19, 0) e r:5x – 3y = 0, verificar se r passa pelo baricentro do triângulo ABC.
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 60 – Exercício 06
______________________
07) Desenhar no plano cartesiano as retas cujas equações são dadas a seguir: r: y = 2x s: x + y = 5 t: x – y + 5 = 0 u: x + y + 3 = 0 v: 2y + x = 0 w: x – y – 4 = 0
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
Dada a equação geral de uma reta não vertical r: ax + by + c = 0 como a apresentada na página 2 desta mesma apostila, vamos isolar y:
b
cx
b
ay
caxby
cbyax
0
Fazendo b
am e
b
cn , temos
nmxyr :
denominada equação reduzida da reta. Os dois coeficientes que apareceram na equação reduzida merecem um estudo especial. Acompanhe: Sejam A(x1; y1) e B(x2; y2) dois
pontos de uma reta r: ax + by + c = 0 e o ângulo formado entre r e o eixo das abscissas no sentido positivo.
temos que:
12
12
xx
yy
AC
BCtg
pelo que foi definido na página 2, temos
que 12 yya e 12 xxb . Assim,
podemos reescrever a expressão acima substituindo, em seguida, a e b:
1 22 1
2 1 2 1
y yy y a
x x x x b
como está definido na coluna anterior,
b
am , assim, concluímos que:
tgm
daí m ser chamado de coeficiente angular da reta ou simplesmente de declividade.
Para r vertical, temos x = 0 logo não há como representar esta reta por meio de uma equação reduzida visto que, inclusive, m não é definido para este tipo de reta. Falando ainda da equação y = mx + n, fazendo x = 0, temos y = n, assim podemos concluir que a reta cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, n) daí n ser chamado de coeficiente linear da reta. A interpretação correta destes dois coeficientes é de suma importância para a perfeita localização de uma reta no plano.
Ex.1: Reescrever na forma reduzida a equação da reta r dada por
0623: yxr .
Resolução:
MATEMÁTICA III 9 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
32
3
632
0623
xy
xy
yx
Logo, 32
3: xyr
Ex.2: Escrever a equação reduzida da reta que passa por A(0, 3) e B(-1, 0). Resolução:
Como a reta passa pelo ponto (0, 3) já sabemos que n = 3. Falta determinar o valor de m que pode ser
encontrado fazendo-se x
y
:
3
10
03
ba
ba
xx
yy
x
ym
Assim, a equação procurada é
y = 3x+3
Ex.3: Obter a equação reduzida da reta que passa pelo ponto K(3, -1) e forma 45º com o eixo OX.
Resolução:
1
º45
m
tgm
tgm
Já sabemos que m = 1, agora, tomando um ponto genérico (x, y) podemos escrever:
4
31
1
31
xy
yx
x
y
Assim, a equação procurada é y = x + 4. Ex.4: Escrever a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4). Resolução:
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Podemos substituir as coordenadas dos pontos em y = mx + n e resolver um sistema, veja:
Para A(-3, 2), temos 2 = -3m + n. Para B(5, -4) temos -4 = 5m + n.
4
368
45
23
45
23
mm
nm
nm
nm
nm
4
12
4
3323
nnnm
Logo, 4
1
4
3 xy
Observação: Os 4 exemplos acima podem ser resolvidos de várias outras formas mas o objetivo foi mostrar apenas algumas soluções. Nesta vídeo-aula, podemos ver uma forma diferente de se encontrar a equação reduzida de uma reta a partir de dois pontos conhecidos.
08) Determine o coeficiente angular da reta que passa por (0, 2) e (5, 1) e a seguir escreva sua equação reduzida. 09) Obtenha a equação reduzida da reta que possui coeficiente linear -2 e coeficiente angular -3.
MATEMÁTICA III 11 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
10) Dentre os pontos A(5; -1), B(1; -5), C
3;
3
1 e D
2;
2
1 quais pertencem à
reta da questão anterior? 11) Escreva a equação reduzida da reta
que passa pelo ponto 3;5 e forma,
com o eixo das abscissas um ângulo de 60º no sentido positivo.
12) Determine as equações reduzida e geral de uma reta que passa pela origem
e pelo ponto
1;
2
7.
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
13) Determine os coeficientes angular e linear da reta de equação 3x + 4y – 12 = 0
14) Encontre a tangente do ângulo indicado na figura.
15) Qual a equação da reta mostrada na figura abaixo?
MATEMÁTICA III 13 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
16) Determine a equação da reta que passa por P(2, 3) e pelo ponto Q simétrico de P em relação à origem.
17) Dados B(-3, -9) e C(-4, 2), determine a equação da reta que passa pelo ponto
médio de BC e tem declividade 2
3.
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
18) Na figura, OABC é um quadrado. Determine as equações das retas AB e BC.
19) Qual a área do quadrado OABC da questão anterior?
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA
Consideremos uma reta que
intercepta os eixos cartesianos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q) distintos, como na figura:
A equação da reta é:
0
10
10
1
p
q
yx
0 pqpyqx
pqpyqx
pq
pq
pq
pyqx
1q
y
p
x
Esta equação é denominada
equação segmentaria.
Ex.1: Obter a equação geral da reta que intercepta o eixo Ox no ponto P(2, 0) e o eixo Oy no ponto Q(0, -3). Resolução: Como temos os pontos de interseção da reta com os eixos, podemos partir da ideia de equação segmentária.
MATEMÁTICA III 15 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
12 3
3 2 6
6 6
3 2 6
3 2 6 0
x y
x y
x y
x y
Assim, a equação procurada é 3x – 2y – 6 = 0. Ex.2: Sendo P(p, 0) e Q(0, q) os pontos de intersecção da reta 0ax by c
onde 0a b c com cada um dos eixos
coordenados, escreva p e q em função e a, b e c. Resolução: Se P e Q pertencem à reta, então:
0 0 ...c
a p b c pa
0 0 ...c
a b q c pb
Ex.3: Qual a equação segmentaria da reta de equação geral 4x – 9y + 5 = 0? Resolução:
4 9 5 0
4 9 5
4 9 5
5 5 5
15 5
4 9
x y
x y
x y
x y
Esta é a equação que estamos procurando e concluímos que a reta
intercepta os eixos nos pontos 5
,04
P
e 5
0,9
Q
.
EQUAÇÃO PARAMÉTRICA
As equações geral, reduzida e
segmentária relacionam diretamente entre si as coordenadas (x, y) de um ponto genérico da reta. As equações paramétricas dão as coordenadas (x, y) de um ponto qualquer da reta em função [geralmente linear] de uma terceira variável t chamada de parâmetro. Assim, temos que:
1 2x f t e y f t
A partir destas equações paramétricas, encontramos a equação geral isolando e eliminando o parâmetro t.
Ex.1: Qual a equação geral da reta onde
2
5
tx
e 3 1y t ?
Resolução: Isolando o parâmetro t em ambas as equações, temos:
22 5 5 2
5
13 1 3 1
3
tx t x t x
yy t t y t
Comparando as equações, obtemos:
15 2
3
15 6 1
15 5 0
yx
x y
y
Assim, a equação procurada é 15 5 0y .
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Como forma geral, no caso em que é dada a equação de uma reta numa determinada forma e pedida em outra, tal mudança deve ser feita passando pela forma geral. Veja este exemplo:
Ex. Determine a equação reduzida da
reta
1
2:
2
4
tx
rt
y
.
Resolução: Vamos em princípio escrever a equação geral de r:
11 2 1 2
2
24 2 4 2
4
4 2 1 2
2 4 3 0
tx t x t x
ty y t t y
y x
x y
Agora vamos passar para a forma segmentária:
2 4 3 0
2 4 3
2 4 3
3 3 3
13 3
2 4
x y
x y
x y
x y
Aí está, então, a equação segmentária de r. DICA: Compare a forma paramétrica e a segmentária de reta r e tira algumas conclusões.
20) Determinar a equação reduzida da reta AB quando A = (-1, 1) e B = (7, 25). 21) Dados A(3, 10) e B(-6, -5), determinar a equação segmentária da reta AB.
MATEMÁTICA III 17 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
22) Determinar a equação geral das retas abaixo: a)
b)
c)
23) Quais as coordenadas do ponto de intersecção com o eixo horizontal da reta do item c) acima?
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
24) Dadas as equações paramétricas de
uma reta 5 3
:2 4
x tr
y t , determinar a
equação segmentária de r. 25) Achar as coordenadas do ponto de intersecção entre as retas r e s onde:
` 3 ` 3: :
2 2
x t x ur t e s u
y t y u
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO
Dadas duas retas r e s cujas equações são:
1 1 1
2 2 2
:
:
r a x by c
s a x b y c
elas podem ocupar três posições relativas no plano cartesiano. Essas posições podem ser definidas com base na quantidade de pontos em comum entre as retas, isto é:
r e s concorrentes ↕
um ponto em comum
r s
r e s paralelas distintas ↕
nenhum ponto em comum
r s
r e s coincidentes ↕
Infinitos pontos em comum
r s
Obs: Com o símbolo r s
indicaremos que as retas r e s são concorrentes, com o símbolo r s
indicaremos que r e s são paralelas e distintas e com r s , indicaremos que r
e s são coincidentes. É importante destacar ainda que r // s indica r s
ou r s .
MATEMÁTICA III 19 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
Todo ponto comum a r e s é solução de um sistema linear formado pelas equações das retas r e s:
1 1 1
2 2 2
:
:
r a x b y c
s a x b y c
Se o sistema é possível e determinado, a única solução será o ponto de intersecção das retas r e s. Caso o sistema não apresente solução, podemos concluir que as retas são paralelas e distintas e, por fim, se o sistema for indeterminado, as retas r e s são coincidentes. Vamos “resolver” o sistema acima a fim de entender a caracterização da posição relativa entre duas retas a partir dos coeficientes a, b e c de suas equações gerais:
1 1 1
2 2 2
: 1
: 2
r a x b y c
s a x b y c
fazendo 21 b e 12 b , temos:
1 2 1 2 2 1
2 1 1 2 1 2
1 2 2 1 2 1 1 2 3
a b x b b y b c
a b x b b y b c
x a b a b b c b c
agora, fazendo 21 a e 12 a ,
obtemos:
1 2 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1 4
a a x a b y a c
a a x a b y a c
y a b a b a c a c
e, assim, temos que:
2 1 1 2
1 2 2 1
3 :
b c b cde x
a b a b
e
1 2 2 1
1 2 2 1
4 :
a c a cde y
a b a b
Assim, se 1 2 2 1 0 a b a b podemos
afirmar que x e y são únicos, logo r e s são concorrentes:
1 11 2 2 1 1 2 2 1
2 2
0 a b
a b a b a b a ba b
Por outro lado, se 1 2 2 1 0 a b a b o
sistema será indeterminado ou
impossível: se 2 1 1 2 0 b c b c e
1 2 2 1 0 a c a c o sistema será
indeterminado e r e s serão coincidentes;
se 2 1 1 2 0 b c b c ou 1 2 2 1 0 a c a c então o
sistema é impossível e as retas r e s são paralelas distintas:
1 1 12 1 1 2 1 2 2 1
2 2 2
0 0 a b c
b c b c e a c a ca b c
1 1 12 1 1 2 1 2 2 1
2 2 2
0 0 a b c
b c b c ou a c a ca b c
e, desta forma, podemos resumir:
r s 1 1
2 2
a b
a b
r s 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
r s 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
Ex.1: Verificar a posição relativa das retas r e s em cada caso: a) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 2x + 3y + 4 = 0 Resolução:
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
1 1
2 2
1 2
2 3
a b
a b r e s são concorrentes
b) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 3x + 6y + 1 = 0 Resolução:
1 1 1
2 2 2
1 2 3
3 6 1
a b c
a b c
r e s paralelas distintas c) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 2x + 3y + 4 = 0 Resolução:
1 1 1
2 2 2
1 2 3
2 4 6
a b c
a b c
r e s paralelas coincidentes
Ex.2: Verificar a posição relativa das retas r: x + y + m = 0 e s: x + y + 2 = 0. Resolução:
1 1
2 2
1 1
1 1
a b
a br e s são paralelas
Para m = 2 temos r s (coincidentes)
Para m ≠2 temos r s (paralelas
distintas)
26) Achar a intersecção entre as retas
: 2 3 0 r x y e : 2 3 5 0 s x y .
27) As retas suportes dos lados do
triângulo ABC são :3 4 0 AB x y ,
: 4 3 0 AC x y e : 7 0 BC x y .
Encontre os vértices deste triângulo.
MATEMÁTICA III 21 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
28) Mostre que as retas : 2 3 1 0 r x y ,
: 0 s x y e : 3 4 1 0 t x y concorrem
num mesmo ponto.
29) Mostre que as retas : 2 0 r x y , : 2 8 0 s x y e
: 1 2 1 8 0 t k x k y concorrem
num mesmo ponto P, ∀ k ∈ ℝ
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
30) Determine k para que as retas de equações x + 2y – 2k = 0, kx – y – 3 = 0 e 2x – 2y – k = 0 sejam concorrentes no mesmo ponto,
31) Mostre que as retas : 2 3 0r x y ,
: 2 1 3 2 5 0s m x m y e
: 2 5 0t x y são concorrentes num
mesmo ponto, qualquer que seja m.
MATEMÁTICA III 23 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
32) Determine a de modo que as retas : 3 0r x y a , : 3 1 0s x y e
5 1 0x y sejam suportes para os
lados de um triângulo.
33) Em cada caso, determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é paralela à reta r: a) P(1, 2) e :8 2 1 0 r x y
b) P(2, 5) e : 12 3
x yr
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c) P(4, -4) e : 5 0 r x y
d) P(-1, 3) e : 2 5 7 0 r x y
e) P(-4, 2) e : 2 0 r y
f) P(2, -5) e : 2r x
MATEMÁTICA III 25 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
34) Determine o perímetro do triângulo ABC que verifica as seguintes condições:
O vértice A pertence ao eixo OX
O vértice B pertence ao eixo OU
A reta BC tem equação 0x y
A reta AC tem equação 2 3 0x y
35) Dadas as retas: : 2 3 0
: 2 3 0
: 2 5 0
: 2 4 3 0
: 3 6 3
: 4 2 6
r x y
s x y
t x y
u x y
v x y
z x y
Determine a posição relativa entre:
r e s
r e t
r e u
r e v
r e z
s e t
s e u
s e v
s e z
t e u
t e v
t e z
u e v
u e z
v e z
CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
36) Quando nos deparamos com a equação 2x + 6y – 10 = 0 temos o hábito de dividir todos os coeficientes por 2 a fim de simplificar os coeficientes. Neste caso, obtemos a equação x + 3y – 5 = 0. Verifique se as duas equações representam ou não a mesma reta.
CONDIÇÃO DE PARALELISMO
Dadas duas retas r e s, não verticais, são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.
/ / r sr s m m
Demonstração:
1 2
1 2
/ /
r s
r s
tg tg
m m
Ex.1: Verificar se as retas
: 3 6 1 0r x y e : 2 4 7 0s x y são
paralelas. Resolução: Vamos escrever as duas equações na forma reduzida:
Reta r:
3 6 1 0
6 3 1
3 1
6
1 1
2 6
x y
y x
xy
y x
1
2rm
Reta s: 2 4 7 0
4 2 7
2 7
4
1 7
2 4
x y
y x
xy
y x
1
2sm
Como mr=ms, podemos afirmar que r//s.
MATEMÁTICA III 27 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
Ex.2: Escrever a equação da reta s que passa pelo ponto (3, -1) e é paralela á reta : 2 3 6 0r x y .
Resolução: Vamos, em princípio, encontrar a inclinação da reta r escrevendo sua equação reduzida:
2 3 6 0
3 2 6
3 2 6
2 6
3
22
3
x y
y x
y x
xy
y x
assim, concluímos que 2
3rm . Como
r sm m pois s deve ser paralela a r, já
conhecemos a inclinação de s e um de seus pontos. Usaremos agora o mesmo princípio visto nos exemplos 3 e 4 das páginas 145 e 146:
12
3 3
2 6 3 3
2 3 9 0
p
s
p
y ym
x x
y
x
x y
x y
daí, a equação procurada é
: 2 3 9 0s x y .
Obs.: Existe uma outra forma de resolver esta questão e partiremos da ideia de que duas retas paralelas, quando escritas na forma geral ( 0ax by c ) possuem os
coeficientes a e b iguais diferenciando apenas o coeficiente c caso não sejam coincidentes. Daí substituímos as coordenadas do ponto P em r deixando c como incógnita, observe:
2 3 0
2 3 3 1 0
6 3 0
9 0
9
x y c
c
c
c
c
por fim, substituímos 9c na primeira
linha a fim de encontrarmos a equação e fica : 2 3 9 0s x y .
37) Determinar a equação da reta s que contém P(-5, 4) e é paralela à reta de
equações paramétricas 3
:2 5
x tr
y t
CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
38) Determinar a equação da reta que passa por P(-5, 2) e é paralela à reta
definida por 1 6
,2 5
A
e 3 4
,2 5
B
.
39) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas r e t e é paralela à reta s. Dados:
: 12 2
x yr ,
3:
2 3
x ts
y t
e : 3 4 0t x y .
MATEMÁTICA III 29 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
40) Dois lados de um paralelogramo ABCD estão contidos nas retas : 2r y x
e : 2s x y . Dado o vértice (5, 4)A ,
determine os vértices B, C e D.
CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO
Duas retas r e s são perpendiculares entre si se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1.
1r sr s m m
Demonstração:
Conforme o caso, das figuras acima, tiramos:
2 12
ou 1 2
2
Pois o ângulo externo é igual a soma dos ângulos externos não adjacentes, lembra-se? Então:
2 1
2 1
2 1
2
1
2 1
2
2
cot
1
1
1r s
tg tg
tg g
tgtg
tg tg
m m r s
Observação:
Existem duas formas práticas de determinar se duas retas são perpendiculares:
CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
1. A partir de suas equações reduzidas
: r rr y m x b e : s ss y m x b , as
retas r e s serão perpendiculares se:
1r
s
mm
2. A partir de suas equações gerais
: 0r r rr a x b y c e
: 0s s ss a x b y c , as retas r e s
serão perpendiculares se:
0r s r sa a b b
Ex.1: Verificar se as retas
: 3 2 1 0r x y e : 4 6 3 0s x y são
perpendiculares. Resolução:
3
2 3 21
2 34 2
6 3
rr
r
ss
s
am
b
am
b
logo, as retas r e s são perpendiculares. Ex.2: Escreva a equação da reta s que passa pelo ponto (6, -1) e é perpendicular à reta : 3 2 1 0r x y .
Resolução:
32
3
2
1
1 2
3
rr
r
s
r
s
am
b
mm
m
1 2
6 3
3 3 2 12
2 3 15 0
s
ym
x
y x
x y
Assim, a equação procurada é : 2 3 15 0s x y
Ex.3:Qual a equação da reta mediatriz do segmento AB onde A = (3, 2) e B = (-4, 6)? Resolução: Primeiramente vamos encontrar o ponto médio do segmento AB.
3 4 1
2 2Mx
2 64
2My
1, 4
2M
Agora calculamos a inclinação da reta que passa por A e B.
2 6 4 4
3 4 7 7AB ABm m
A inclinação da reta r, perpendicular àquela determinada por A e B pode ser encontrada a partir de
1r
AB
mm
, assim:
47
1 7
4rm
Por fim, vamos escrever a
equação da reta r que passa por
1, 4
2M
e tem inclinação 7
4rm :
7 4
14
2
77 4 16
2
497 4 0
2
y
x
x y
x y
14 8 49 0x y
MATEMÁTICA III 31 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
41) Mostre que as retas : 17 9
x yr e
:9 7
x ys são perpendiculares.
42) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r em cada caso: a) P(-3, 2) e : 3 4 4 0r x y
b) P(2, 6) e : 2 3 0r x y
c) P(1, 4) e : 1 0r x y
CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
d) P(3, 5) e : 4 0r y
43) Dadas as retas 2: 0r p x py p e
: 3 1 7 0s x p y , determine p de
forma que r e s sejam perpendiculares.
44) Determinar a projeção ortogonal do
ponto P(-7, 15) sobre a reta 2
:3
x tr
y t
.
MATEMÁTICA III 33 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
45) Determinar a projeção do ponto P(3, 2) sobre a reta : 1 0r x y .
46) Determinar o ponto Q, simétrico de
3, 2P em relação á reta
r: x + y – 1 = 0.
CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS
Consideremos duas retas concorrentes r e s, oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si, de coeficientes mr e ms
respectivamente. A tangente do ângulo formado entre elas pode ser encontrada a partir de mr e ms.
1
tg tg
tg tgtg
tg tg
1r s
r s
m mtg
m m
Observações: 1. Se r e s forem paralelas, mr = ms
e = 0. 2. Se r e s são perpendiculares,
mrms = -1 e = 90º. 3. Se uma das retas for vertical,
temos:
90º
90º
90º
cotg
1
tg tg
tg
tgtg
1
s
tgm
Ex.: Determinar o ângulo agudo formado
entre as retas : 4 3 5r y x e
: 2 7 0s x y .
Resolução
: 4 3 5
4 3 15
3 11
3r
r y x
y x
y x
m
: 2 7 0
2 7
2s
s x y
y x
m
3 2 5
1 3 2 5
1 45º
tg
tg
Observação: As retas r e s deste exemplo
formam dois ângulos: um de 45 e outro de 135º. Pense nisso e justifique a presença do módulo na fórmula a que chegamos na coluna ao lado.
47) Determinar o ângulo agudo formado entre as retas : 4 6r y x e
1
: 3 54
s y x .
MATEMÁTICA III 35 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
48) Determinar a tangente do ângulo agudo formado pelas retas r: y = 7 e s:2x – 3y + 5 = 0. 49) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 1) e forma um
ângulo de 45º com a reta de equação y = 5x + 3.
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Sabemos que calcular a distância
entre um ponto P e uma reta r é, na verdade, encontrar a MENOR distância entre P e r e isto pode ser feito encontrando-se a distância de P até sua projeção ortogonal P’ em r. Uma outra forma de encontrar tal distância é aplicando uma fórmula de demonstração não tão simples a ponto de não caber neste curso mas que pode ficar como pesquisa para interessados. Dados um ponto P(xP, yP) e uma reta r: ax + by + c = 0, a distância entre P e r pode ser encontrada a partir de:
Pr2 2
P Pax by cd
a b
Ex.1: Determinar a distância entre o ponto P(3, -1) e a reta : 2 4 0r x y .
Resolução:
Pr
2 2
3 2 1 4 3 3 5
551 2d
Assim, a distância procurada é 3 5
5u. c.
Ex.2: Encontrar a distância ente as retas
: 2 3 10 0r x y e : 2 3 6 0s x y .
Resolução: Se r e s são duas retas paralelas,
então a distância entre elas é igual à distância entre um ponto e r e a reta s,
CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
assim, vamos encontrar um ponto qualquer de r e achar a distância deste ponto até s. Determinando um ponto de r: Fazendo, arbitrariamente, x = -1, temos
2 1 3 10 0
3 12 0
3 12
4
( 1, 4)
y
y
y
y
P
Agora vamos, aplicando a fórmula, calcular a distância de ( 1, 4)P à reta
: 2 3 6 0s x y :
Pr
2 2
2 1 3 4 6 4 4 13
13132 3d
Logo, a distância procurada é 4 13
13u. c.
50) Nos seguintes casos, calcule a distância de P e r: a) P(0, 3) e r: 4x + 3y + 1 = 0
b) P(1, -5) e r: 3x – 4y – 2 = 0 c) P(3, -2) e r: 2x + y + 6 = 0 d) P(6, 4) e r: y – 2 = 0
MATEMÁTICA III 37 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
51) Sendo P a intersecção a reta r: x + y – 4 = 0 e o eixo das abscissas e s a reta de equação 3x – 4y + 10 = 0, determine a distância entre P e s.
52) Determine a distância entre as retas paralelas : 4 3 9 0r x y e
: 4 3 6 0s x y .
CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
53) Determine k sabendo que a distância entre o ponto P(0, k) e a reta
: 4 3 2 0r x y é 2,
54) Se a distância de P(k, 2) à reta
: 3 4 40 0r x y é 4 unidades, qual o
valor de k?
55) Qual a distância do ponto A(8, 7) à reta determinada pelos pontos B(7, -2) e C(-2, 3)?
MATEMÁTICA III 39 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
56) Os pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4) são vértices de um triângulo. Quanto mede a altura relativa ao lado BC?
57) As retas : 5 3 7 0r x y ,
: 4 17 0s x y e : 3 11 23 0t x y
são suportes dos lados de um triângulo. Determine a altura relativa ao lado definido pela reta t.
CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
58) Calcule a área do ABC definido pelos pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4). (Dica: chame o lado BC de base e a distância do ponto A à reta BC de altura e, a seguir, faça S = b x h)
ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR
No último tópico da apostila anterior vimos que o determinante
1 1
2 2
3 3
x y 1
x y 1
x y 1
é igual a zero se, e somente
se, os pontos 1 1A(x , y ) , 2 2B(x , y ) e
3 3C(x , y ) estão alinhados. Caso estes
pontos não estejam alinhados, eles formarão os vértices de um triângulo e esse mesmo determinante ajudará a encontrar a área deste triângulo. Chamando de D o determinante acima e de S a área do triângulos de vértices A, B e C temos que:
1 1
2 2
3 3
x y 1
D x y 1
x y 1
e 1
S D2
Ex.: Calcule a área do ABC definido pelos pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4). Resolução:
1 2 1
D 9 3 1 58
1 4 1
1S 58 29
2
Assim, a área do ABC é 29 u. a.
MATEMÁTICA III 41 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
59) Calcule a área do triângulo que tem como vértices, os pontos A(4, 0), B(-1, 1) e C(-3, 3). 60) Um triângulo com vértices nos pontos A(5, 3), B(4, 2) e C(2, k) tem área igual a 8. Calcule k.
61) As retas suporte dos lados de um triângulo, tem como equações r : y 5 0 , s : x 2y 1 0 e
t : x 2y 7 0 . Calcule a área deste
triângulo.
CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
62) Sabendo que os pontos A(m, m), B(m, -m) e C(0, 0) são vértices de um triângulo, determine sua área em função de m.
63) Calcule a área do quadrilátero definido pelos pontos A(-2, -1), B(2, -2) C(-1, 4) e D(11, 5).
MATEMÁTICA III 43 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
Para resolver as questões a seguir, você deve utilizar todo o conhecimento adquirido nesta apostila e na anterior. Não fique preso a um único tópico. 64) Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo: a) é paralelo ao terceiro lado. b) tem comprimento igual à metade do comprimento do terceiro lado.
65) Sendo A, B e C os vértices que um triângulo e M, N e P os pontos médios de cada lado, determine a razão entre as áreas dos triângulos ABC e MNP.
CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
RESPOSTAS 01) AB: 3x – y = 0; BC: x + y – 4 = 0; e
AC: y = 0
02) x – y – 1 = 0
03) 3b + 4a – ab = 0
04) 2p + 3q = 0
05) x + y – (a + b + c) = 0
06) G r
07)
08) 5
1m ; 2
5
xy
09) 23 xy
10) B e C
11) 363 xy
12) xy7
2 e 072 yx
13) Coef. Angular 4
3
Coef. Linear: 3
14) 5
3
15) 2x + y + 2 = 0
16) xy2
3
17) 6x – 4y + 7 = 0 18) AB: y = x + 6 BC: y = –x – 6 19) 18 u. a. 20) y=3x+4
21) 13 5
x y
22) a)3x – 3y + 6 = 0 b) x – 2y – 2 = 0 c) 3x + 2y + 4 = 0
MATEMÁTICA III 45 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
29) Resolução:
Em princípio vamos obter a intersecção entre r e s:
2 04 2
2 8 0
x yx e y
x y
Vamos agora verificar se P(4, 2) pertence à reta t:
1 2 1 8 0
1 4 2 1 2 8 0
4 4 4 4 8 0
0 0,
k x k y
k k
k k
k
30) 2k ou 3
2k
31) (Demonstração) 32) 7a e a
33) a) 4 6 y x
b) 3
82
y x
c) y x
d) 2 17
5 5 y x
e) 2y
f) 2x
34) Resolução:
0,
2 3 0
, 3,0
A
A A
A A
A A
A OX yA x y
A AC x y
A x y A
0,
0
, 0,0
B
B B
B B
B B
B OY xB x y
B BC x y
B x y B
2 3 0,
0
, 1,1
C C
C C
C C
C C
C AC x yC x y
C BC x y
C x y C
Perímetro:
2 2 2 2 2 23 0 2 1 1 1
3 2 5
AB AC BCd d d
35) r e s → Concorrentes r e t → Paralelas distintas r e u → Concorrentes r e v → Concorrentes r e z → Paralelas coincidentes s e t → Concorrentes s e u → Concorrentes s e v → Paralelas distintas s e z → Concorrentes t e u → Concorrentes t e v → Concorrentes t e z → Paralelas distintas u e v → Concorrentes u e z → Concorrentes v e z → Concorrentes
36) Você deve vericar que as retas são coincidentes.